Những ứng dụng của các định lý sylow trong lý thuyết nhóm hữu hạn

Công trình được hoàn thành tại
Trường Đại học Sư phạm – ĐHĐN

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 1:
……………………………………………………………
Phản biện 2:
……………………………………………………………

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt
nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm –
ĐHĐN vào ngày 1 tháng 9s năm 2018

Có thể tìm hiểu luận văn tại
- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong lý thuyết nhóm hữu hạn, một định lý quan trọng và nổi tiếng là
Định lý Lagrange: “ Với một nhóm hữu hạn
đều có cấp là ước của

”. Ngược lại, nếu

cấp của một nhóm hữu hạn

cấp , mọi nhóm con của
là một ước nguyên dương của

, có luôn tồn tại một nhóm con cấp d của

nhóm

hay không? Trả lời cho câu hỏi này là không, chẳng hạn nhóm thay

phiên

có cấp 12, nhưng không có nhóm con cấp 6 nào. Tuy nhiên, nếu d

là một lũy thừa của một số nguyên tố , thì Định lý Sylow khẳng định sự
tồn tại của những nhóm con cấp d. Các Định lý Sylow cùng với các -nhóm
con Sylow có nhiều ứng dụng sâu sắc và hiệu quả trong lý thuyết nhóm,
chẳng hạn: xác định và phân loại đẳng cấu nhóm hữu hạn, khảo sát một số
tính chất của nhóm như tính giao hoán, tính đơn, tính giải được,…
Nhằm tìm hiểu những ứng dụng của Định lý Sylow, tôi chọn đề tài
cho luận văn thạc sĩ của mình là: “ Những ứng dụng của các Định lý Sylow
trong lý thuyết nhóm hữu hạn ”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
-

Nghiên cứu cấu trúc nhóm và p- nhóm hữu hạn.

-

Tìm hiểu p- nhóm con Sylow và các Định lý Sylow.

-

Các ứng dụng của các Định lý Sylow trong nhóm hữu hạn.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
-

Nhóm và p- nhóm hữu hạn.

-

Các ứng dụng của các Định lý Sylow trong nhóm hữu hạn.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu.


2

- Thu thập và hệ thống các tài liệu về lý thuyết nhóm có liên quan đến
nội dung đề tài. Đặc biệt là các tài liệu về Định lý Sylow và các ứng
dụng của chúng.
- Phân tích, khảo sát các tài liệu thu thập được.
- Trao đổi với người hướng dẫn và các chuyên gia để thực hiện đề tài.
5. Cấu trúc luận văn.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội
dung của khóa luận được chia thành 2 chương:
Chƣơng 1: Cấu trúc nhóm và các định lý Sylow.
Để làm cơ sở cho chương sau, chương này nhắc lại những khái niệm,
kết quả về cấu trúc nhóm, đặc biệt là các Định lý Sylow và các hệ quả liên
quan.

Chƣơng 2: Những ứng dụng của các Định lý Sylow.
Chương này là phần chính của luận văn, trình bày một số ứng dụng
của các Định lý Sylow trong nhóm hữu hạn.


3

CHƢƠNG 1. CẤU TRÚC NHÓM VÀ CÁC ĐỊNH LÝ SYLOW.
Để làm cơ sở cho chương sau, chương này nhắc lại những khái niệm,
kết quả về cấu trúc nhóm, đặc biệt là các Định lý Sylow và các hệ quả liên
quan.
1.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CỦA CẤU TRÚC NHÓM
1.1.1. Một số kết quả của cấu trúc nhóm.
Mệnh đề 1.1.1.1
Cho một nhóm , kí hiệu
( )

*

+

khi đó ( ) là một nhóm con giao hoán và chuẩn tắc của .
Nhóm ( ) được gọi là nhóm con tâm của .
Mệnh đề 1.1.1.2
Cho

là một nhóm và

là một nhóm con của

. Khi đó hai

tập con
( )

*

|

( )

*

|

+
+

là hai nhóm con của .
Định nghĩa 1.1.1.3
Hai nhóm con
hóa và nhóm chuẩn hóa của

( ) và

( ) được gọi lần lượt là nhóm tâm

trong .

Định nghĩa 1.1.1.4

Một nhóm

được gọi là nhóm xyclic nếu nó chứa một phần tử

sao cho mọi phần tử của
Phần tử
xyclic .

đều bằng một lũy thừa nguyên nào đó của .

có tính chất như thế được gọi là một phần tử sinh của nhóm


4

Hệ quả 1.1.1.5
(i)

Mọi nhóm xyclic đều là nhóm giao hoán.

(ii)

Với mỗi số nguyên dương

(iii)

Hai nhóm xyclic có cùng bậc thì đẳng cấu với nhau.

thì có duy nhất một nhóm xyclic

cấp .
Mệnh đề 1.1.1.6
Nếu
chia hết cấp của

là một nhóm giao hoán hữu hạn và
thì

là số nguyên tố

có một phần tử cấp .

Mệnh đề 1.1.1.7
Nếu
và

là một nhóm hữu hạn,

là một - nhóm con của . Khi đó,

là một -nhóm con Sylow của
( )

.

Định lý 1.1.1.8 (Định lý Lagrange)
Giả sử

là một nhóm hữu hạn và

là một nhóm con của

.

Khi đó, | | là một bội của | |.
Hệ quả 1.1.1.9
Mọi nhóm hữu hạn có cấp là một số nguyên tố đều là nhóm
xyclic và được sinh ra bởi một phần tử bất kì, khác phần tử đơn vị
của nhóm.
Định nghĩa 1.1.1.10
Giả sử

là một nhóm con của nhóm . Lực lượng của tập

gồm các lớp kề trái của

trong , được gọi là chỉ số của nhóm con

nhóm , và được kí hiệu là ,

trong

-

Định nghĩa 1.1.1.11
Nếu

là một nhóm con chỉ số 2 của một nhóm

nhóm con chuẩn tắc của .

, thì

là


5

Định nghĩa 1.1.1.12

(i)

Giả sử

là một số nguyên tố.

Nhóm

được gọi là một - nhóm nếu cấp của nó là một lũy

Nhóm

được gọi là một -nhóm con của nhóm

thừa của .
(ii)

là một nhóm con của
(iii)
hạn

của

Nhóm

nếu

vừa

vừa là một - nhóm.
được gọi là một - nhóm con Sylow của nhóm hữu

nếu

là một - nhóm con của
chia hết | |.

và | |

là lũy thừa cao nhất

Mệnh đề 1.1.1.13
Nếu

là một

*

- nhóm Sylow của nhóm hữu hạn

+ cũng là một

, thì

- nhóm Sylow của .

Định lý 1.1.1.14
Mỗi - nhóm giao hoán đều đẳng cấu với một tích trực tiếp
của các

- nhóm xyclic. Hai sự phân tích như thế chỉ có thể khác nhau ở

thứ tự của các nhân tử.
Định nghĩa 1.1.1.15
Một nhóm

được gọi là nhóm đơn nếu

* + và

chỉ có

hai nhóm con chuẩn tắc là * + và .
Định nghĩa 1.1.1.16
Một nhóm

được gọi là nhóm giải được nếu tồn tại một dãy

các nhóm con
* +
trong đó mỗi

là nhóm con chuẩn tắc của

là giao hoán, với mọi

.

và nhóm thương


6

1.1.2 Một số nhóm quen thuộc.
Định nghĩa 1.1.2.1
Xét đa giác đều

cạnh

với

. Gọi

là phép quay mặt

một góc (có hướng) bằng

phẳng xung quanh tâm của

phép đối xứng qua một đường thẳng đi qua tâm của
Khi đó, tất cả các phép đối xứng của

⁄ , còn

là

và một đỉnh của nó.

(tức là các biến đối đẳng cự của

thành chính nó) được liệt kê như sau:

mặt phẳng biến

Chúng lập thành một nhóm không giao hoán cấp
, và được gọi là nhóm nhị diện. Nhóm

, kí hiệu

còn được biểu thị qua các phần

tử sinh và các quan hệ như sau:
〈
|

(

〉

)

Định nghĩa 1.1.2.2
là một tập hợp nào đó. Khi ấy, dễ dàng kiểm tra lại

Giả sử

rằng tập hợp ( ) tất cả các song ánh trên

cùng với phép hợp thành các

ánh xạ lập nên một nhóm.
*

Đặc biệt, nếu
đơn giản là

+ thì nhóm ( ) được kí hiệu

và gọi là nhóm đối xứng trên

nhóm hữu hạn cấp

, ta đặt

Xét tác động của
)

Do đó

(

)

∏

∏

(

trên

, được định nghĩa như sau:

( ()

( ))

)
(

là một song ánh trên tập *

Vì mỗi
mỗi nhân tử của

là một

.

Với
(

phần tử. Nhóm

xuất hiện trong

(

)

(

)
+, nên

) đúng một lần với dấu

.

Định nghĩa 1.1.2.3
Kí số (hoặc dấu) của phép thế

, kí hiệu bởi

( ), là số

.


7
)

*

( )

Nếu
( )

nếu

(

( )

sau đây:

, thì

+.

, thì ta nói

là một phép thế chẵn. Trái lại,

là một phép thế lẻ.

Mệnh đề 1.1.2.4
gồm tất cả các phép thế chẵn trên tập *

Tập

một nhóm con của nhóm
Nhóm

+ là

.
, được gọi là nhóm thay phiên trên

có cấp

phần tử.
Mệnh đề 1.1.2.5
.

Cho hai ma trận

.

và

/, với

là một căn bậc ba của đơn vị. Khi đó nhóm con sinh

và
bởi hai phần tử
(

/

là một nhóm không giao hoán cấp 12 của nhóm

), ký hiệu

(

).
(

Các phần tử của nhóm

) thỏa mãn các hệ thức sau:

1.2. CÁC ĐỊNH LÝ SYLOW VÀ KẾT QUẢ LIÊN QUAN.
Định nghĩa 1.2.1
Hai nhóm con
nếu tồn tại

và

của một nhóm
, trong đó

sao cho

được gọi là liên hợp
*

+.

Định nghĩa 1.2.2
Cho
một nhóm con của
sao cho

và

là hai tập con khác rỗng của một nhóm , và

. Tập
. ( Nếu

được gọi là
thì

và

- liên hợp của

nếu

là liên hợp nhau ).

là


8

Bổ đề 1.2.3

Cho

là nhóm hữu hạn,
. Khi đó, số các

là nhóm con của

( ) trong

số của

là tập con khác rỗng của

- liên hợp phân biệt của

, tức là ,

, và
bằng chỉ

( )-.

Mệnh đề 1.2.4
Giả sử 𝒜 là một tập các tập con của nhóm
𝒜 ta định nghĩa một quan hệ hai ngôi như sau: với
nếu

là

. Khi đó,

- liên hợp của

và

và

. Trên

thuộc 𝒜,

là một quan hệ tương đương

trên 𝒜.
Bổ đề 1.2.5
Giả sử 𝒜 là một tập hợp khác rỗng các tập con của
nhóm ,

𝒜 và với mỗi

. Giả sử rằng với mỗi
𝒜 . Kí hiệu

là một quan hệ tương đương trên 𝒜, được định

𝒜

nghĩa như sau:

nếu B là một

- liên hợp của

. Gọi ℛ

là, tập hợp tất cả đại diện của các lớp tương đương. Khi đó
|𝒜|

∑,

( )-

ℛ

Hệ quả 1.2.6
Cho
𝒜

là một tập con khác rỗng của nhóm

*

+; ℛ ,

, và

. Đặt

được xác định như trong Bổ đề 1.2.5.

Khi đó
|𝒜|

∑,

( )-

,

| |

+,

( )-

ℛ

Hệ quả 1.2.7
Cho 𝒜

*

là một quan hệ tương

đương trên 𝒜 được định nghĩa như Bổ đề 1.2.5, với

và ℛ là, tập


9

hợp các phần tử đại diện của các lớp tương đương. Đặt
ℛ

*

( )

ℛ +. Khi đó

| |

| ( )|

∑

ℛ

,

| |

| ( )|

∑

ℛ

,

( )( ) -, hệ thức này được gọi là phương

trình lớp của nhóm
Mệnh đề 1.2.8
Nếu

* +, thì ( )

là một - nhóm hữu hạn,

* +.

Hệ quả 1.2.9
Nếu

là một nhóm có cấp

, với

là một số nguyên tố, thì

là nhóm giao hoán.
Mệnh đề 1.2.10
Giả sử

. Khi đó

là một nhóm có cấp

có một

nhóm con chuẩn tắc cấp
Hệ quả 1.2.11
Giả sử

, khi đó:

là một nhóm có cấp

(i)

là nhóm giải được.

(ii)

là nhóm đơn khi và chỉ khi

Định lý 1.2.12 ( Định lý Sylow thứ nhất )
Giả sử

là một nhóm hữu hạn,

là lũy thừa cao nhất của
con của

có cấp là

chia hết cấp của

là một số nguyên tố và

. Khi đó, tồn tại một nhóm

.

Định lý 1.2.13 ( Định lý Sylow thứ hai )
Giả sử

là một nhóm con của nhóm hữu hạn , và

- nhóm con Sylow của
một - liên hợp của

.

. Nếu

là một - nhóm thì

là một

được chứa trong


10

Định lý 1.2.14 ( Định lý Sylow thứ ba )
(i)

đều là

Hai - nhóm con Sylow bất kì của một nhóm hữu hạn

- liên hợp với nhau.
(ii)

là số các - nhóm con Sylow phân biệt của . Khi đó

Gọi

(mod ).
Nếu | |

(iii)

, (

)

|

, thì

.

1.3 TÍCH TRỰC TIẾP CỦA HAI NHÓM.
Định nghĩa 1.3.1
Giả sử

và

là các nhóm (với luật hợp thành viết theo lối

định nghĩa một phép toán như sau: (
dàng kiểm tra được tập

)

*(

nhân). Trên tập hợp tích Decartes
)(

+, ta

)

(

). Dễ

với phép toán ở trên là một nhóm.

Định lý 1.3.2
Nếu

là một nhóm với hai nhóm con

* +, mọi phần tử của
. Khi đó

và

và

sao cho

giao hoán với mọi phần tử của
.

Hệ quả 1.3.3
Cho

là một nhóm với hai nhóm con chuẩn tắc

* +,

giả sử

. Khi đó

và

, và

.

Định lý 1.3.5
Cho
và

. | || |

là nhóm hữu hạn với hai nhóm con chuẩn tắc
| |. Khi đó , nếu

* + hoặc

thì

.
Định nghĩa 1.3.6
Cho
Nhóm

là một nhóm và

là các nhóm con chuẩn tắc của

được gọi là tích trực tiếp trong của

và

nếu:

.


11

(i)

*

(ii)

+

Mệnh đề 1.3.7
Giả sử

và

lần lượt là nhóm xyclic cấp

là nhóm xyclic khi và chỉ khi

và

và

. Khi đó

nguyên tố cùng nhau.

Mệnh đề 1.3.8
Ta có:
CHƢƠNG 2: NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ SYLOW.
Chương này là phần chính của luận văn, trình bày một số ứng dụng
của các Định lý Sylow trong nhóm hữu hạn.
2.1 KHẢO SÁT TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM HỮU HẠN.
2.1.1. Nhóm hữu hạn bất kì.

Mệnh đề 2.1.1.1
là - nhóm con Sylow duy nhất của một nhóm hữu hạn
nếu và chỉ nếu

là nhóm con chuẩn tắc của

.

Chứng minh:
Theo Định lý 1.2.14,

là - nhóm con Sylow duy nhất của

đương với:

. Điều này có nghĩa là

tương

.

Mệnh đề 2.1.1.1 trên và Định lý 1.3.3 cho ta ba hệ quả sau.
Hệ quả 2.1.1.2
Giả sử
của

,

là một nhóm cấp

có duy nhất một

sao cho với mỗi ước nguyên tố

- nhóm con Sylow. Khi đó

của các nhóm con Sylow của nó.

là tích trực tiếp


12

Hệ quả 2.1.1.3
Nếu

là một nhóm giao hoán hữu hạn, thì

là tích trực tiếp

của các nhóm con Sylow của nó.
Hệ quả 2.1.1.4
Giả sử
duy nhất một

là một số nguyên tố, và

- nhóm con Sylow. Khi đó

2.1.2 Nhóm có cấp

, với

là một nhóm hữu hạn có

không phải nhóm đơn.

là hai số nguyên tố.

Mệnh đề 2.1.2.1
Giả sử
. Khi đó

là một nhóm cấp

có duy nhất một

, với

là hai số nguyên tố,

- nhóm con Sylow.

Chứng minh:
Theo Định lý 1.2.14,
, nghĩa là

| . Vì

, và

nên

có duy nhất một - nhóm con Sylow.

Hệ quả 2.1.2.2
Giả sử
Khi đó

là một nhóm cấp

, với

là hai số nguyên tố.

là nhóm giải được và không phải là nhóm đơn.

Mệnh đề 2.1.2.3
Nếu

là nhóm có cấp

nhất một nhóm con cấp . Hơn nữa,
có

, với

nguyên tố lẻ, thì

có duy

có đúng một nhóm con cấp 2 hoặc

nhóm con cấp 2.

Chứng minh:
Gọi

là

Mệnh đề 2.1.2.1,
Gọi

- nhóm con Sylow của

. Theo

có duy nhất một nhóm con cấp .

là 2- nhóm con Sylow của

Định lý 1.2.14, ta có
.

. Khi đó | |

( mod 2 ) và

|| |

, khi đó | |
. Suy ra

. Theo
hoặc


13

có đúng một nhóm con cấp 2 hoặc

Vậy,

2.1.3 Nhóm có cấp

, với

có

nhóm con cấp 2.

là hai số nguyên tố

Mệnh đề 2.1.3.1
Nếu

là một nhóm cấp 12, thì

hoặc chứa một 2- nhóm con

Sylow chuẩn tắc hoặc một 3- nhóm con Sylow chuẩn tắc.
Chứng minh:
Theo Định lý 1.2.14, ta có

hoặc

. Mỗi 3- nhóm con Sylow của

, và

có cấp 3, và giao của hai nhóm cấp

3 phân biệt chỉ là phần tử đơn vị. Mỗi 2- nhóm con Sylow của
Nếu

có 8 phần tử cấp 3, do đó

thì

. Nghĩa là hoặc

hoặc
có cấp 4.

. Vậy hoặc

hoặc

chứa một 3- nhóm con Sylow chuẩn tắc hoặc một

2- nhóm con Sylow chuẩn tắc.
Tổng quát Mệnh đề trên ta có Mệnh đề sau
Mệnh đề 2.1.3.3
Giả sử

là một nhóm có cấp

tố phân biệt, khi đó hoặc
một

, với

là hai số nguyên

có một - nhóm con Sylow chuẩn tắc, hoặc

có

- nhóm con Sylow chuẩn tắc.

Chứng minh:
Gọi

lần lượt là - nhóm con Sylow và - nhóm con Sylow

và

của nhóm .


Trường hợp:
| . Vì

Theo Định lý 1.2.14, ta có
nghĩa là


nên

.

Trường hợp:
Nếu

,

là nhóm con chuẩn tắc trong

Nếu

thì

với

.

là một số nguyên dương.

,

14

chia hết cho
Vì

hoặc

.
(

do đó

nên

Vì
|

nên

là số nguyên tố nên

|

)(

|

hoặc

).

. Mà

nên

.
và | |

Từ đó suy ra
Theo Mệnh đề 2.1.3.1

.

có một nhóm con chuẩn tắc cấp 3, hoặc

có một nhóm con chuẩn tắc cấp 4.
Mệnh đề đã được chứng minh.
Hệ quả 2.1.3.4
Nếu

là một nhóm có cấp

, với

là hai số nguyên tố,

là nhóm giải được và không phải là nhóm đơn.

thì

2.1.4 Nhóm có cấp

, với

là hai số nguyên tố

Mệnh đề 2.1.4.1
Giả sử

là một nhóm cấp
. Khi đó

và

, với

có duy nhất một

là hai số nguyên tố,
- nhóm con Sylow.

Chứng minh:
Theo Định lý 1.2.14,
hoặc

, thì

là số nguyên tố nên

ra vì giả thiết
một

|

. Vì

, nên

.

Nếu
và

, và

|(

và

|
) hoặc
. Vậy

(

. Do
|(

)(

)

), điều này không xảy
, nghĩa là

có duy nhất

- nhóm con Sylow.
Hệ quả 2.1.4.2
Giả sử
và

đơn.

là một nhóm cấp
. Khi đó

, với

là hai số nguyên tố,

là nhóm giải được và không phải nhóm


15

2.2 XÁC ĐỊNH VÀ PHÂN LOẠI ĐẲNG CẤU MỘT SỐ LỚP NHÓM
HỮU HẠN.
2.2.1 Nhóm có cấp

, với

là hai số nguyên tố và

.

Định lý 2.2.1.1
Sai khác một đẳng cấu có đúng hai nhóm cấp
nguyên tố lẻ, đó là nhóm xyclic cấp

, với

và nhóm nhị diện

là số

.

Chứng minh:
Giả sử

là một nhóm có cấp

Mệnh đề 2.1.2.3,


có

, với

là một số nguyên tố lẻ. Theo

và hoặc

, hoặc

.

Trường hợp 1:
Gọi

là

- nhóm con Sylow,

Theo Mệnh đề 2.1.1.1,
| || |

là 2- nhóm con Sylow của .
* +,
. Hơn nữa:

và

| |. Do đó theo Định lý 1.3.5,

. Ta có

lần lượt là nhóm xyclic cấp 2 và cấp , nên

và

là nhóm xyclic cấp

(Mệnh đề 1.3.7)


Trường hợp 2:
Gọi

, khi đó

là - nhóm con Sylow duy nhất của

〈 〉 là

nhóm xyclic cấp .
Gọi
và

là một phần tử của

chứa

,

. Khi đó:

, thì

phần tử phân biệt là:
.

Mặt khác,

*

với

đều có cấp 2 nên: (

thuộc
(

)

( )
̅ là nhóm cấp

)

(
(vì

).
Gọi

+ và mọi phần tử

bất kì.

)(

)
nên

. Từ đó suy ra
và


16

̅ có

- Nếu

, lập luận tương tự như trên, ̅ là nhóm xyclic

. Theo Hệ quả 2.1.1.5 thì mọi nhóm xyclic cùng cấp đều đẳng cấu

cấp

với nhau. Do đó, mọi nhóm cấp

và có duy nhất một nhóm con cấp 2 thì

đẳng cấu với nhau, và đẳng cấu với nhóm xyclic cấp
.
̅

̅
- Nếu
có nhóm con cấp 2, tương tự, có nhóm con ̅
( ̅)
với
và một phần tử ̅ có cấp 2 sao cho:
̅

*

̅

̅ xác định bởi: ( )

Nếu
( )

(

̅

Vậy

( )

̅

)

hay

̅.

̅
(

̅̅ .

)

với
̅

, nghĩa là

̅

(

̅ , do đó ̅ ̅

. Suy ra ̅

thì
)

̅

(̅ )

+

hay

).

Nếu
(

̅̅
và ̅ ̅

. Suy ra (

thì
. Khi đó

̅ ̅ hay

).

là một ánh xạ.

Với mọi
*

sao cho

+ và

Khi

, trong đó

và

*

+.

, ta có:
(

)

,(

) -

̅ ̅ ̅
Khi
(

(

(

̅ ̅

)

) ( )

(

).

) (

, ta có:
)

,(
̅

)(
̅

(
Do đó,

̅̅

+, ta có ( ̅ ̅ )

Xét



̅

̅

*

Với mọi


̅

〈 ̅〉

̅
) (

)-

(

̅ ̅̅
)

)
̅ ̅ ̅̅

̅
(

là đồng cấu, và là một song ánh nên

) (

).

là đẳng cấu.

̅

̅


17

Vậy, mọi nhóm cấp

, với

là số nguyên tố lẻ, và có

nhóm con

cấp 2 thì đẳng cấu với nhau.
Hơn nữa phép chứng minh cho thấy sai khác nhau một đẳng cấu thì
có nhiều nhất là 2 nhóm cấp
Hệ quả 1.1.1.5, mọi số

là số nguyên tố lẻ. Đồng thời theo

nguyên dương đều tồn tại một nhóm xyclic cấp

. Mặt khác nhóm nhị diện
mọi

, với
có cấp

và

không phải là xyclic với

.
Do đó, có thể kết luận rằng sai khác nhau một đẳng cấu có đúng 2

nhóm cấp

là số nguyên tố lẻ, đó là nhóm xyclic cấp

, với

nhóm nhị diện

và

.

Định lý đã được chứng minh.
Định lý 2.2.1.2
Giả sử

là hai số nguyên tố,

số nguyên dương. Mọi nhóm

và

, với

là một

đều là nhóm xyclic.

có cấp

Chứng minh:
Theo Mệnh đề 2.1.2.1,
tắc

cấp

có duy nhất một - nhóm con Sylow chuẩn

.

Theo Định lý 1.2.14 và giả thiết
duy nhất một - nhóm con Sylow chuẩn tắc
Vì

và

. Do đó

thì

là hai số nguyên tố nên

cấp

có

.
là nhóm xyclic, và

* +.
Đặt

*

+

Theo Định lý 1.1.1.8,
(

- Nếu
đó,

với
hay

)

có cấp là

*

+
hoặc

.

, thì nhóm xyclic sinh bởi
trùng với . Khi
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅, suy ra
. Vậy,
. Khi đó,
(mâu thuẫn).


18

(

- Nếu
đó,

)

với

thì nhóm xyclic sinh bởi
trùng với . Khi

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅, suy ra
. Vậy,
. Khi đó,

hay

(mâu thuẫn).
(

- Nếu

)

. Do đó

thì

, suy ra

, nghĩa là

là nhóm xyclic có cấp

(mâu

thuẫn).
(

Vậy

)

.

Định lý đã được chứng minh.
2.2.2 Nhóm có cấp

, với

là hai số nguyên tố.

Định lý 2.2.2.1
Mọi nhóm có cấp

, với

là hai số nguyên tố,

và

(mod ), đều là nhóm giao hoán.
Chứng minh:
Giả sử

tắc

là một nhóm có cấp

là hai số nguyên tố,

và

(mod ). Theo Định lý 1.2.14,

nên

nghĩa là

cấp

có duy nhất một

| . Vì

- nhóm con Sylow chuẩn

.
|

Tương tự
, do đó

nên
tắc

, với

. Theo giả thiết

không chia hết

có duy nhất một - nhóm con Sylow chuẩn

cấp .
Ta có

là hai nhóm con chuẩn tắc, giao hoán của

* +. Do đó theo Định lý 1.3.5,

và

, và

là một nhóm

giao hoán.
Định lý đã được chứng minh.
Hệ quả 2.2.2.2
Cho

là hai số nguyên tố,

đó sai khác nhau một đẳng cấu có hai nhóm cấp

và
là

(mod ). Khi
và

.


19

Định lý 2.2.2.3
Mọi nhóm
và

có cấp

, với

là hai số nguyên tố,

), đều là nhóm giao hoán.

(mod

Chứng minh:
Giả sử

là một nhóm có cấp

và

, với

(mod ).

Theo Định lý 1.2.14 và điều kiện
đó

có duy nhất một

(mod ), ta có

-nhóm con Sylow chuẩn tắc

theo chứng minh Mệnh đề 2.1.3.5, ta có
một

là hai số nguyên tố,

- nhóm con Sylow chuẩn tắc
Ta có

cấp

. Nghĩa là

cấp

. Do

. Vì

và

chứa duy nhất

.

là hai nhóm con chuẩn tắc, giao hoán của

* +. Do đó theo Định lý 1.3.5,

và

và

là một nhóm

giao hoán.
Định lý đã được chứng minh.
Hệ quả 2.2.2.4
Cho

là hai số nguyên tố,

và

(mod ). Khi

đó sai khác nhau một đẳng cấu có hai nhóm cấp

là:

và

.
Định lý 2.2.2.6 [4]
Sai khác nhau một đẳng cấu, có năm nhóm cấp 12, đó là các
nhóm:

và

(

).

Chứng minh:
Giả sử
con Sylow của

là nhóm cấp 12. Ta có
và

là số 2- nhóm

là số 3- nhóm con Sylow của .

Áp dụng Định lý 1.2.14, ta có:
hoặc

. Gọi

. Tương tự,

|

và

hoặc

(mod 2), suy ra
. Như vậy có 4


20

trường hợp có thể xảy ra:
(i)

và

(ii)

và

(iii)

và

(iv)

và

Theo Mệnh đề 2.1.3.1, trường hợp (iv):

và

không

xảy ra. Ta sẽ xét lần lượt 3 trường hợp còn lại:


Trường hợp (i) :
Gọi

đó

và

là 2- nhóm con Sylow và
,

là 3- nhóm con Sylow của . Khi

* +. Hơn nữa, | | | |

, và

. Mà | |

Định lý 1.3.5, ta có
, và | |
nên
Vậy,

. Theo

nên

hoặc

hoặc

cả hai

nhóm này đều là nhóm giao hoán, và không đẳng cấu với nhau.
Vì mọi nhóm con của một nhóm giao hoán đều là nhóm con chuẩn
tắc, nên nếu

là nhóm giao hoán cấp 12 thì

hoặc
cấp 12. Hơn nữa, giả sử
con Sylow cấp 3 của
|

là nhóm không giao hoán

là 2- nhóm con Sylow cấp 4 và

là 3- nhóm

* +. Áp dụng Mệnh đề 1.3.4, ta có:

, thì
| || |
|
|

Với bất kì
,

. Do đó

.

Trong các trường hợp còn lại, ta giả sử

|

, và

| || |

| |. Suy ra

, tồn tại
. Giả sử

.
và

với mọi

và
(vì

(vì
.

sao cho
, ta có:

là nhóm giao hoán)

là nhóm giao hoán)


21

Do đó,

là nhóm giao hoán.
không phải là nhóm giao hoán thì không xảy ra trường

Vậy nếu
hợp


với mọi

và

Trường hợp (ii):

Ta có: | |

.

và

nên

hoặc

,

a)
*
Vì

+ với

*

,

+ với

là 2- nhóm con Sylow duy nhất nên

- Nếu

.

, suy ra

.

(mâu thuẫn với điều giả sử rằng

thì

không phải nhóm giao hoán).
- Nếu

thì
, nghĩa là

hay

thì

. Suy ra

Vậy

hay

.

(vô lý).

〉 là nhóm xyclic sinh bởi phần tử
(

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Ta thấy rằng 〈
〈

〉. Do đó,

)

, ta có:

(
(

〉 chứa cả 2 phần tử

)
)

(

)

và , suy ra 〈

〉

là nhóm giao hoán (mâu thuẫn với điều giả sử ).

Vậy, không có nhóm cấp 12 với
Sylow đẳng cấu với

,

(vô lý).

- Nếu
Xét 〈

hay

. Suy ra

và

.

b)
Tương tự như phần a), ta có:

đẳng cấu với nhóm

Bằng lập luận tương tự, ta có các kết quả sau:

và 2- nhóm con


22



Trường hợp (iii) :
Gọi

và
*

là một 2- nhóm con Sylow và

+, với

, là

3- nhóm con Sylow. Xét 2 trường hợp của nhóm .
*

a)

+
(

đẳng cấu với nhóm
*

b)

+ và

đẳng cấu với nhóm
Tóm lại: Với

*

+.

.

là một nhóm cấp 12, ta có

Trường hợp (i):

và

Trường hợp (ii) (b):
, thì

).

, thì

hoặc

.

,

và

có 2- nhóm con Sylow là

,

và

có 2- nhóm con Sylow là

,

và

có 2- nhóm con Sylow là

.

Trường hợp (iii) (a):
(

, thì

).

Trường hợp (iii) (b):
, thì

.

Vậy sai khác một đẳng cấu, có 5 nhóm cấp 12.
Định lý đã được chứng minh.
2.2.3 Nhóm có cấp

, với

là hai số nguyên tố.

Định lý 2.2.3.1
Mọi nhóm có cấp

, với

là hai số nguyên tố phân biệt

, đều là giao hoán.

và
Chứng minh:
Giả sử
phân biệt,

là một nhóm có cấp
và

.

, với

là hai số nguyên tố


23

Gọi

- nhóm con Sylow của , | |

là

|

. Các ước dương của

Nếu

, thì
(

cho

)(

Nếu
. Do đó

tắc

có cấp

là:

. Vì thế
|

|

.
nên

chia hết

(mâu thuẫn)

có duy nhất một - nhóm con sylow chuẩn

.

Tương tự ta cũng chứng minh
nhóm con sylow chuẩn tắc

có cấp

. Vậy

có duy nhất một -

.

là hai nhóm con chuẩn tắc và giao hoán ( Định lý 1.3.5 )

Ta có

* +, do đó

và

và

) (mâu thuẫn).
, thì

Nên

. Theo Định lý 1.2.14,

và

là một nhóm giao hoán.

Định lý đã được chứng minh
Hệ quả 2.2.3.2
Cho
hết

và

có 4 nhóm cấp
.

là hai số nguyên tố phân biệt sao cho

không chia hết
là:

,

không chia

. Khi đó sai khác nhau một đẳng cấu
,

,

24

KẾT LUẬN
Luận văn “ Những ứng dụng của các Định lý Sylow trong lý thuyết
nhóm hữu hạn ” đã thực hiện được mục tiêu đã đề ra, cụ thể là ứng dụng
của các Định lý Sylow, để:
1. Khảo sát tính chất của một số lớp nhóm hữu hạn, chẳng hạn tính
chuẩn tắc, tính giao hoán, tính đơn và tính giải được của - nhóm con
Sylow có cấp

, với

là hai số nguyên tố.

2. Xác định và phân loại đẳng cấu một số lớp nhóm hữu hạn có cấp
12, cấp 2 với

là số nguyên tố lẻ.

Hy vọng rằng các kỹ thuật được sử dụng trong luận văn, còn tiếp
tục được khai thác và mở rộng hơn, nhằm chứng tỏ tầm quan trọng và tính
hiệu quả của các định lý Sylow trong lý thuyết nhóm hữu hạn.