Cơ sở Groebner và hệ phương trình đa thức

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM


NGUYỄN THỊ THANH VÂN

CƠ SỞ GROEBNER
VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60.46.01.04

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2017


Công trình được hoàn thành tại:
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Chánh Tú

Phản biện 1:.................................................................................
Phản biện 2:.................................................................................

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp
thạc sĩ Toán học họp tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng vào
ngày.......tháng.......năm..........

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng.
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình toán phổ thông, khi giải hệ phương trình đa thức
một biến ta thường sử dụng phép chia có dư và thuật toán Euclide. Vậy đối
với hệ phương trình đa thức nhiều biến ta còn có thể sử dụng phép chia có
dư và thuật toán Euclide được nữa không hay sử dụng phép chia và thuật
toán nào tương tự ? Cách chia và thuật toán đó có gì đặc biệt và có được
ứng dụng rộng rãi không ?
Khi học môn đại số giao hoán, ta đã giải đáp được các câu hỏi trên dựa
vào lý thuyết cơ sở Groebner với phần ứng dụng của nó. Cơ sở Groebner
được nhà toán học Bruno Buchberger giới thiệu trong luận án tiến sĩ vào
năm 1965 dưới sự hướng dẫn của giáo sư Wolfgang Groebner. Sử dụng thuật
toán Buchberger giúp ta tìm được cơ sở Groebner cho các đa thức nhiều
biến. Và từ đó giúp ta hình thành phương pháp giải các hệ phương trình đa
thức nhiều biến. Ngoài ra lý thuyết cơ sở Groebner đã mở ra các ứng dụng
khác thực sự phong phú từ đó cho đến nay.
Với những lý do trên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Chánh Tú,
tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: Cơ sở Groebner và hệ phương trình
đa thức.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết về cơ sở Groebner, tiêu chuẩn Bucheberger, thuật
toán Buchberger và ứng dụng của cơ sở Groebner vào việc giải hệ phương
trình đa thức nhiều biến.

2

2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nắm được các khái niệm về đa thức, thứ tự đơn thức, iđêan dẫn đầu,
cơ sở Groebner, tiêu chuẩn và thuật toán Buchberger.
Sử dụng thuật toán Buchberger tìm cơ sở Groebner của các đa thức
nhiều biến và ứng dụng vào giải hệ phương trình đa thức nhiều biến.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Cơ sở Groebner và ứng dụng giải hệ phương trình đa thức nhiều biến.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận: thu thập, đọc và nghiên cứu các tài liệu,
các bài báo, giáo trình về các vấn đề: đa thức, thứ tự đơn thức, iđêan dẫn
đầu, cơ sở Groebner, tiêu chuẩn và thuật toán Buchberger, một số bài toán
ứng dụng.
Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên hướng dẫn và
các giảng viên khác thuộc khoa Toán trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Luận văn giúp bản thân tôi hiểu rõ lý thuyết cơ sở Groebner, nắm được
các ứng dụng của nó trong nghiên cứu toán học đặc biệt là việc ứng dụng vào
giải hệ phương trình đa thức nhiều biến và biết được một số loại hệ phương
trình đa thức nhiều biến giải được thông qua việc tìm cơ sở Groebner.
6. Cấu trúc của luận văn
Luận văn được trình bày theo cấu trúc gồm 02 chương:
Chương I. Lý thuyết về cơ sở Groebner.
Chương II. Ứng dụng cơ sở Groebner giải hệ phương trình đa thức với
sự hỗ trợ của phần mềm Maple.


3

CHƯƠNG 1

LÝ THUYẾT VỀ CƠ SỞ GROEBNER

Trong chương này, chúng tôi nêu ra các khái niệm, tính chất về iđêan
đơn thức, thứ tự đơn thức, hạng tử dẫn đầu, cơ sở Groebner, tiêu chuẩn
và thuật toán Buchberger. Tất cả các khái niệm, kết quả trong chương này,
chúng tôi lấy từ tài liệu tham khảo [1], [4], [5].
1.1. Vành đa thức
1.1.1. Các khái niệm cơ bản về vành đa thức
Vành đa thức n biến trên k là k[x1 , ..., xn ]. Sau đây, ta luôn kí hiệu

k[X] = k[x1, ..., xn].
Các phần tử của k[X] được gọi là đa thức n biến f. Vành k[X] không
phụ thuộc vào thứ tự các biến vì mọi đa thức n biến f đều có dạng

cα1,...,αn xα1 1 ...xαnn

f (X) =
α1 +...+αn ≤α

với α là một số tự nhiên nào đó và cα1 ,...,αn ∈ k. Các phần tử cα1 ,...,αn được
gọi là hệ số, trong đó c0,...,0 là hệ số tự do của f . Các biểu thức xα1 1 ...xαnn
được gọi là đơn thức. Bậc của đơn thức xα1 1 ...xαnn là tổng α1 + ... + αn của
các số mũ. Bậc của đa thức f = 0 là bậc lớn nhất trong các bậc của các
đơn thức với hệ số khác không của f . Ta kí hiệu bậc của f là degf .
1.1.2. Iđêan đơn thức
Định nghĩa 1.1.1. Iđêan I ⊂ k[x1 , ..., xn ] là iđêan đơn thức nếu có
tập con A ⊂ Zn≥0 mà trong đó I bao gồm tất cả các đa thức là tổng hữu

hạn của dạng

α∈A

hα xα , trong đó hα ∈ k[x1, ..., xn]. Trong trường hợp

này, ta viết I = xα : α ∈ A .


4

Ví dụ 1.1.2. Trong vành k[x, y], I =

x3, xy 2, x là một iđêan

đơn thức.
Bổ đề 1.1.3. Cho I = xα : α ∈ A là một iđêan đơn thức. Một
đơn thức xβ ∈ I khi và chỉ khi xβ chia hết cho xα với α ∈ A.
Bổ đề 1.1.4. Cho I là một iđêan đơn thức và f ∈ k[x1 , ..., xn ].
Các điều kiện sau là tương đương:

(i) f ∈ I.
(ii) Mọi hạng tử của f thuộc I .
(iii) f là một tổ hợp tuyến tính trên k của các đơn thức trong I .
Hệ quả 1.1.5. Hai iđêan đơn thức được gọi là bằng nhau nếu tập
các đơn thức của chúng là như nhau.
Định lí 1.1.6. (Bổ đề Dickson) Mọi iđêan đơn thức I đều viết được
dưới dạng I =

xα(1), ..., xα(s) , trong đó ta có α(1), ..., α(s) ∈ A.

Đặc biệt, I có hệ sinh hữu hạn.
1.1.3. Định lí Hilbert
Định nghĩa 1.1.7. Vành k được gọi là vành Noether nếu mọi iđêan
của k đều hữu hạn sinh.
Bổ đề 1.1.8. Các điều kiện sau là tương đương:

(i) Vành k là vành Noether,
(ii) Mọi dãy tăng các iđêan trong k :
I1 ⊆ I2 ⊆ ...In ⊆ In+1 ⊆ ...
đều dừng, tức là tồn tại j ≥ 1 để Ij = Ij+1 = ...

(iii) Mọi hệ khác rỗng các iđêan trong k đều có ít nhất một phần tử
cực đại (không nằm trong bất kì một iđêan nào khác của hệ).
Định lí 1.1.9. Nếu k là vành Noether thì vành đa thức k[x] Noether.


5

Áp dụng định lí trên nhiều lần ta được kết quả sau:
Hệ quả 1.1.10. (Định lí Hilbert về cơ sở) Nếu k là vành
Noether thì vành đa thức nhiều biến k[X] là vành Noether.
1.1.4. Tập đại số
Trong phần này chúng ta quan tâm đến các tập đại số, tức là tập nghiệm
của một họ đa thức trong vành đa thức k[x1 , ..., xn ] trên một trường k .
Ta gọi k n = {(a1 , ..., an )|ai ∈ k, ∀i = 1, ..., n} là không gian affin

n chiều. Với mỗi tập con S của k[x1, ..., xn], kí hiệu:
Z(S) = {(a1, ..., an) ∈ k n|f (a1, ..., an) = 0, ∀f ∈ S}.
là tập nghiệm (hay tập các không điểm chung) của S.

Định nghĩa 1.1.11. Một tập con A của k n được gọi là tập đại số
(hay đa tạp affin) nếu tồn tại S ⊆ k[x1 , ..., xn ] sao cho A = Z(S). Khi đó
ta cũng nói A là tập đại số định nghĩa bởi S .
Ví dụ 1.1.12. Trong mặt phẳng affin R2 , tập đại số Z(x2 + y 2 − 1)
là đường tròn bán kính bằng 1 và tâm là gốc tọa độ.
Mệnh đề 1.1.13. Mỗi tập đại số trong k n là tập nghiệm của một
iđêan trong vành đa thức k[x1 , ..., xn ].
Mệnh đề 1.1.14. Mỗi tập đại số là một tập nghiệm của hữu hạn
đa thức.
Chú ý 1.1.15. Việc quy mỗi tập đại số về tập nghiệm của hữu hạn
đa thức là vô cùng quan trọng. Nó cho phép thực hiện được thuật toán
Buchberger để tìm một cơ sở Groebner của một iđêan xuất phát từ một hệ
sinh hữu hạn.


6

1.2. Cơ sở Groebner
1.2.1. Thứ tự đơn thức
Định nghĩa 1.2.1. Thứ tự đơn thức trên k[x1 , ..., xn ] là một quan
hệ > trên tập các đơn thức xα trong k[x1 , ..., xn ], α ∈ Zn≥0 thỏa mãn các
tính chất sau:

(i) > là một quan hệ sắp thứ tự toàn phần trong Zn≥0.
(ii) Nếu α > β, với mọi γ ∈ Zn≥0 thì α + γ > β + γ .
(iii) > là một quan hệ sắp thứ tự tốt. Nghĩa là mọi tập khác rỗng của
Zn≥0 đều có phần tử nhỏ nhất.
Sau đây ta định nghĩa một số thứ tự đơn thức quan trọng:
Định nghĩa 1.2.2. Thứ tự từ điển (Lexicographic Order)
Với α = (α1 , ..., αn ) và β = (β1 , ..., βn ) ∈ Zn≥0 . Ta có α >lex β nếu

α−β ∈ Zn và thành phần đầu tiên bên trái là số dương. Ta viết xα >lex xβ
nếu α >lex β .
Định nghĩa 1.2.3. Thứ tự từ điển phân bậc (Graded Lex
Order)
Với α = (α1 , ..., αn ) và β = (β1 , ..., βn ) ∈ Zn≥0 . Ta nói α >grlex β nếu
n
i=1

αi >

n
i=1 βi

hoặc là

n
i=1

αi =

n
i=1

βi và α >lex β .

Định nghĩa 1.2.4. Thứ tự từ điển ngược (Graded Reverse
Lex Order) Với α = (α1 , ..., αn ) và β = (β1 , ..., βn ) ∈ Zn≥0 . Ta
có α >grevlex β nếu

n
i=1

αi >

n
i=1 βi

hoặc

n
i=1

αi =

n
i=1 βi

và

α − β ∈ Zn có thành phần đầu tiên bên phải là số âm.
Ví dụ 1.2.5. Cho đa thức f = 3x3 y 2 z +4x2 y 4 −y 2 z +2x4 −5y 4 +2,
với x > y > z .


7

a) Xếp theo thứ tự từ điển >lex ta được:

f = 2x4 + 3x3y 2z + 4x2y 4 − 5y 4 − y 2z + 2.

b) Xếp theo thứ tự từ điển phân bậc >grlex ta được:

f = 3x3y 2z + 4x2y 4 + 2x4 − 5y 4 − y 2z + 2.
c) Xếp theo thứ tự từ điển ngược >grevlex ta được:

f = 4x2y 4 + 3x3y 2z + 2x4 − 5y 4 − y 2z + 2.
1.2.2. Hạng tử dẫn đầu, iđêan dẫn đầu
Định nghĩa 1.2.6. Cho f là một đa thức khác không trong k[x1 , ..., xn ]
và một thứ tự đơn thức >. Hạng tử dẫn đầu của f , kí hiệu LT> (f ), là
hạng tử lớn nhất của đa thức f đối với thứ tự >. Nếu LT> (f ) =

α cα x

α

thì hệ số dẫn đầu của f , kí hiệu LC> (f ), là cα và đơn thức dẫn đầu của

f , kí hiệu LM>(f ), là xα .
Chú ý: LT (0), LC(0), LM (0) không xác định.
Ví dụ 1.2.7. Cho đa thức f = 3x3 y 2 z+4x3 y 3 −y 2 z+2x4 −5y 4 +2y.
a) Đối với thứ tự từ điển ta có hạng tử dẫn đầu, hệ số dẫn đầu và đơn
thức đầu lần lượt là: LT (f ) = 2x4 , LC(f ) = 2, LM (f ) = x4 .
b) Đối với thứ tự từ điển phân bậc ta có hạng tử dẫn đầu, hệ số dẫn đầu và
đơn thức đầu lần lượt là: LT (f ) = 3x3 y 2 z, LC(f ) = 3, LM (f ) = x3 y 2 z .
c) Đối với thứ tự từ điển ngược ta có hạng tử dẫn đầu, hệ số dẫn đầu và
đơn thức đầu lần lượt là: LT (f ) = 4x2 y 4 , LC(f ) = 4, LM (f ) = x2 y 4 .
Định lí 1.2.8. (Thuật toán chia trong vành đa thức)
Cố định một thứ tự đơn thức bất kì > trong Zn≥0 . Đặt F = (f1 , ..., fs ) là
một S - bộ các đa thức đã sắp thứ tự trong k[x1 , ..., xn ]. Vì thế, mọi đa
thức f ∈ k[x1 , ..., xn ] đều viết được dưới dạng f = a1 f1 + ... + as fs + r,

trong đó ai , r ∈ k[x1 , ..., xn ], thỏa mãn:


8

(i) Với mọi i = 1, ..., s, nếu aifi = 0 thì LT>(f ) ≥ LT>(aifi).
(ii) r = 0 hoặc r là một tổ hợp tuyến tính các đơn thức,với hệ số trong
k , trong đó không có đơn thức nào chia hết cho các LT>(f1), ..., LT>(fs).
Ta gọi r là phần dư của f khi chia cho F . Kí hiệu r = f¯F .
Định nghĩa 1.2.9. Cho I ⊂ k[x1 , ..., xn ] là một iđêan khác 0.

(i) LT (I) là tập hợp các hạng tử dẫn đầu của f trong I . Hay ta có:
LT (I) = {cα xα : ∃f ∈ I|LT (f ) = cα xα }.
(ii) LT (I) là iđêan dẫn đầu sinh bởi các phần tử của LT (I).
Mệnh đề 1.2.10. Cho I ⊂ k[x1 , ..., xn ] là một iđêan.

(i) LT (I) là một iđêan đơn thức.
(ii) Với g1, ..., gt ∈ I ta có LT (I) = LT (g1), ..., LT (gt) .
1.2.3. Định nghĩa cơ sở Groebner
Định nghĩa 1.2.11. Cố định thứ tự đơn thức bất kì trong k[x1 , ..., xn ].

I ⊂ k[x1, ..., xn] là một iđêan. Một cơ sở Groebner của I là tập hữu hạn
các đa thức G = {g1 , ..., gs } ⊂ I nếu và chỉ nếu:

LT (I) = LT (g1), ..., LT (gs) .
Định lí 1.2.12. Nếu G = {g1 , ..., gs } là cơ sở Groebner của iđêan

I thì với mọi f ∈ I ta có f¯G = 0.
Chứng minh. Với f ∈ k[x1 , ..., xn ]. Khi đó theo Định lí 1.2.8 về Thuật
toán chia đa thức, tồn tại r ∈ k[x1 , ..., xn ] sao cho f¯G = r. Do đó:

f − r ∈ I. Vậy f ∈ I khi và chỉ khi r ∈ I .
Dễ thấy, nếu r = 0 thì f ∈ I . Ngược lại nếu f ∈ I và r = 0 thì

r ∈ I vì G là cơ sở Groebner của ideal I nên tồn tại i ∈ {1, ..., s} sao cho
LT (gi)|LT (f ), mâu thuẫn vì r = f¯G. Do đó r = 0 và f¯G = 0.


9

Hệ quả 1.2.13. Nếu G = {g1 , ..., gs } là một cơ sở Groebner của
iđêan I thì G là một hệ sinh của I tức là I = g1 , ..., gs . Nếu I = 0
thì G = ∅ và ∅ = {0}.
Định lí 1.2.14. Cố định thứ tự đơn thức bất kì > và I ⊂ k[x1 , ..., xn ]
là iđêan. Phép chia f ∈ k[x1 , ..., xn ] bởi một cơ sở Groebner của I được
viết là f = g + r với g ∈ I và không có hạng tử nào trong r chia hết
cho bất kỳ phần tử của LT (I). Phần dư r được xác định là duy nhất.
1.2.4. Tiêu chuẩn Buchberger, Thuật toán Buchberger
Định nghĩa 1.2.15. Với f, g ∈ k[x1 , ..., xn ] là các đa thức khác đa
thức không. Cố định một thứ tự đơn thức bất kì > và LT (f ) = cxα ,

LT (g) = dxβ với c, d ∈ k . Đặt xγ = LCM (LM (f ), LM (g)) là bội
chung nhỏ nhất của LM (f ) và LM (g). Một S - đa thức của f và g là một
đa thức xác định bởi:

xγ
xγ
S(f, g) =
f−
g

LT (f )
LT (g)
Lưu ý: S(f, g) ∈ f, g .
Ví dụ 1.2.16. Xét f = x3 y − 2x2 y 2 + x và g = 3x4 − y trong
Q[x, y] với thứ tự từ điển. Ta có: xγ = x4 y và tính được S(f, g) như sau:

y 4
y2
3 2
2
S(f, g) = x(x y − 2x y + x) − (3x − y) = −2x y + x + .
3
3
s
Bổ đề 1.2.17. Giả sử ta có f =
i=1 ci fi , ci ∈ k và với mọi
3

2 2

i deg(fi) = δ ∈ Zn≥0. Nếu deg(

s
i=1 ci fi )

< δ thì

s
i=1 ci fi

là một

tổ hợp tuyến tính với hệ số trong k của các S -đa thức S(fj , fk ) với

1 ≤ j, k ≤ s. Hơn nữa, mỗi đa thức S(fj , fk ) có bậc < δ .
Định lí 1.2.18. (Tiêu chuẩn Buchberger)
Cho I = g1 , ..., gt . Một tập hợp hữu hạn G = {g1 , ..., gs } là một cơ
G

sở Groebner của I nếu và chỉ nếu S(gi , gj ) = 0 ∀i = j.


10

Chú ý 1.2.19.

i) Vì S(f, g) = −S(g, f ) nên để thử xem G = {g1, ..., gs} có phải là
cơ sở Groebner hay không, ta chỉ cần thử cho các cặp hạng tử S(gj , gk ) với

j < k.
ii) Không cần thử Tiêu chuẩn Buchberger cho các cặp có hạng tử dẫn
đầu nguyên tố cùng nhau.
Với những khái niệm về S−đa thức và tiêu chuẩn Buchberger, ta có
thuật toán tìm cơ sở Groebner của một iđêan I từ một hệ sinh tùy ý của

S như sau:
Định lí 1.2.20. (Thuật toán Buchberger)
Xét iđêan I = f1 , ..., fs = 0 là một iđêan đơn thức. Cơ sở Groebner

G = {g1, g2, ..., gt} của I được xây dựng qua một số bước hữu hạn theo

thuật toán sau:
Input: F = {f1 , ..., fs }
Output: Cơ sở Groebner G = {g1 , g2 , ..., gt } của I với F ⊂ G

G := F
REPEAT

G := G
FOR mỗi cặp {p, q} ∈ G

(p = q) DO
S := S(p, q)

G

IF S = 0 THEN G := G ∪ {S}
UNTIL G = G .
Ví dụ 1.2.21. Cho ideal I = x2 y + x, xy 2 + y − 2x . Tìm cơ sở
Groebner của I .


11

Giải:
Xét các đa thức: f1 = x2 y + x, f2 = xy 2 − 2x + y với thứ tự từ điển

x > y > z.
Ta có: LCM (LM (f1 ), LM (f2 )) = x2 y 2 .
Theo tiêu chuẩn Buchberger ta có:
F

S(f1, f2) = y(x2y +x)−x(xy 2 −2x+y) = 2x2 = 0. → S(f1, f2) = 0.
F

Đặt f3 = 2x2 . Ta xét F = (f1 , f2 , f3 ). Ta có: S(f1 , f2 ) = 0.

F
y
S(f1, f3) = (x2y + x) − (x2) = x2y + x − x2y = x → S(f1, f3) = 0.
2
Đặt f4 = x. Ta xét F = (f1 , f2 , f3 , f4 ).
F

F

Ta có: S(f1 , f2 ) = S(f1 , f3 ) = 0.
Ta tiếp tục tính: S(f1 , f4 ) = (x2 y + x) − xy(x) = x = f4
F

→ S(f1, f4) = 0.
F
y2 2
S(f2, f3) = x(xy + y − 2x) − (2x ) = −2x2 + xy → S(f2, f3) = 0.
2
2
Đặt f5 = −2x + xy . Ta xét F = (f1 , f2 , f3 , f4 , f5 ).
2

F

F

F

F

Ta có: S(f1 , f2 ) = S(f1 , f3 ) = S(f2 , f3 ) = S(f1 , f4 ) = 0.
Ta tiếp tục tính và được các kết quả sau:
F

S(fi, fj ) = 0 ∀1 ≤ i ≤ j ≤ 5.
Vậy cơ sở Groebner của I là:

{f1, f2, f3, f4, f5} = {x2y + x, xy 2 − 2x + y, 2x2, x, −2x2 + xy}.


12

CHƯƠNG 2

ỨNG DỤNG CƠ SỞ GROEBNER GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ĐA THỨC VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA PHẦN MỀM MAPLE

Trong chương này, trên cơ sở các kiến thức ở chương I chúng tôi nêu ra
phương pháp ứng dụng cơ sở Groebner vào giải hệ phương trình đa thức.
Đồng thời chúng tôi đưa ra các ví dụ cho việc ứng dụng giải hệ phương
trình đa thức cũng như các ưu, nhược điểm của việc ứng dụng này.
2.1. Hệ phương trình đa thức
Định nghĩa 2.1.1. Hệ phương trình đa thức P là một tập gồm các
phương trình fi (x1 , ..., xn ) = 0 trong đó fi (x1 , ..., xn ) với i = 1, ..., m là

các đa thức trên vành k[x1 , ..., xn ].
Tập nghiệm của các đa thức fi (x1 , ..., xn ) được xác định bởi:

Z(fi(x1, ..., xn)) = Z(I) = Z(G).
2.2. Ứng dụng cơ sở Groebner giải hệ phương trình đa thức
Trước khi ứng dụng cơ sở Groebner vào giải hệ phương trình đa thức
như thế nào, ta cần tìm hiểu thêm về iđêan khử biến và đinh lí khử biến
như sau.
Định nghĩa 2.2.1. ([5], Definition 1, Chapter 3) Xét I là một iđêan
trong k[x1 , ..., xn ], iđêan khử biến thứ

được xác định như sau:

I = I ∩ k[x +1, ..., xn].
Chú ý 2.2.2. I = I0 là iđêan khử biến thứ 0.
Định lí 2.2.3. ([5], Theorem 2, Chapter 3) Cho I ⊂ k[x1 , ..., xn ] và

G là một cơ sở Groebner của I với thứ tự từ điển và x1 > x2 > ... > xn.


13

Khi đó với mọi 0 <

< n, ta có G = G ∩ k[x , ..., xn] là một cơ sở

Groebner của iđêan khử biến thứ .
Ta tóm tắt phương pháp giải qua các bước như sau:
Xét hệ phương trình đathức:
f (x , ..., xn)



 1 1

=0
=0

f2(x1, ..., xn)
.....................



fs(x1, ..., xn) = 0

Gọi I là iđêan sinh bởi các đa thức f1 , ..., fs .
Bước 1: Sử dụng thuật toán Buchberger tìm cơ sở Groebner G của I ,

G = {g1, ..., gt}.
Bước 2: Ta xét các đa thức gi với i = 1, .., t và lấy ra đa thức đã
được khử biến. Tức là đa thức chỉ chứa biến xn hoặc chứa tổ hợp các biến

xn, xn−1. Giải phương trình đa thức gi(xn) = 0 hoặc gi(xn, xn−1) = 0, ta
tìm được giá trị của xn hoặc xn−1 .
Bước 3: Ứng với mỗi giá trị của xn hoặc xn−1 tìm được ở Bước 2, ta
thay vào các đa thức còn lại của G và giải các phương trình đa thức để xác
định giá trị của các biến còn lại.
Bước 4: Tập nghiệm của hệ phương trình ban đầu được xác định qua
các nghiệm của các đa thức của G vừa tìm được.
Để hiểu rõ việc ứng dụng cơ sở Groebner vào giải hệ phương trình đa
thức được thực hiện cụ thể ra sao, ta cùng xét một ví dụ như sau:

Ví dụ 2.2.4. Giải hệphương trình:
xz − xyz + 2 = 0

xy + 3y − 1
xz + y − 4



=0
=0

Đầu tiên ta xét iđêan I = xz − xyz + 2, xy + 3y − 1, xz + y − 4 .
Bước 1: Sử dụng thuật toán Buchberger ta tìm được cơ sở Groebner của


14

I theo thứ tự từ điển là G = {g1, g2, g3} trong đó:
g1 = 40z 2 + 47z + 12;
g2 = −40z − 66 + 17y;
g3 = 287 + 40z + 102x.
Bước 2: Trong các đa thức của G, đa thức g1 chỉ chứa biến z . Các biến
còn lại đã bị khử. Ta đi giải phương trình g1 = 0 như sau:


−3
8
g1 = 0 ⇐⇒ 40z 2 + 47z + 12 = 0 ⇐⇒ 

−4

z=
5
−3
, ta thay vào các đa thức g2 , g3 và nhận được các
Bước 3: Với z =
8
đa thức một biến y và x, tiến hành giải các phương trình đa thức tương
z=

ứng g2 = 0 và g3 = 0 để tìm giá trị x, y như sau:

−3
− 66 + 17y = 0 ⇐⇒ y = 3.
8
−3
8
g3 = 0 ⇐⇒ 287 + 40
+ 102x = 0 ⇐⇒ x = .
8
3
−4
ta cũng thay vào các đa thức g2 , g3 để nhận
Tương tự với giá trị z =
5
được các đa thức một biến y , x. Và ta giải phương trình đa thức tương ứng
g2 = 0 ⇐⇒ −40

g2 = 0 và g3 = 0, tức là:
−4
g2 = 0 ⇐⇒ −40

− 66 + 17y = 0 ⇐⇒ y = 2.
5
−4
5
g3 = 0 ⇐⇒ 287 + 40
+ 102x = 0 ⇐⇒ x = .
5
2
Bước 4: Từ các giá trị của từng biến vừa tìm được ta rút ra tập nghiệm
của hệ phương trình: (x, y, z) =

5 −4
8 −3
; 3;
, ; 2;
3
8
2
5

.

Nhận xét 2.2.5. Như vậy, khi sử dụng thuật toán Buchberger tìm
cơ sở Groebner theo thứ tự từ điển đã giúp ta chuyển từ việc giải hệ
phương trình đã cho thành hệ phương trình có chứa phương trình đa thức


15

đã được khử biến. Từ đó, việc tìm nghiệm của hệ phương trình được thực

hiện dễ dàng, thuận lợi. Trong quá trình giải hệ phương trình trên chúng
ta đã thực hiện việc tìm cơ sở Groebner của I thông qua sự hỗ trợ của
phần mềm Maple.
2.3. Tìm cơ sở Groebner với sự hỗ trợ của phần mềm Maple
Phần mềm Maple là một phần mềm tính toán chuyên dụng với rất nhiều
gói lệnh hỗ trợ việc thực hiện các tính toán phức tạp. Trong luận văn này ta
sử dụng phiên bản Maple 17 và chỉ quan tâm chủ yếu đến gói lệnh Groebner.
Để gọi gói lệnh này, trên menu chính trong cửa sổ của phần mềm ta chọn
Tools/LoadPackage/Groebner Basis Calculations. Cửa sổ tính toán hiện câu
lệnh: Loading Groebner.
Khi sử dụng gói lệnh này ta có thể thực hiện thuật toán chia đa thức,
tìm cơ sở Groebner và một số câu lệnh liên quan đến cơ sở Groebner như
tìm hạng tử dẫn đầu, hệ số đầu, đơn thức dẫn đầu hay tìm S - đa thức của
hai đa thức bất kì.
2.4. Giải hệ phương trình đa thức với sự hỗ trợ của phần mềm
Maple
Khi giải hệ phương trình đa thức có ứng dụng cơ sở Groebner, ta thấy
rằng quá trình thực hiện phụ thuộc chủ yếu vào cơ sở Groebner G tìm được
của iđêan sinh bởi các đa thức trong hệ. Cụ thể cơ sở Groebner G đó phải
có chứa đa thức mà từ đó ta có thể tìm được giá trị của biến. Và các đa
thức này có thể là đa thức chỉ chứa một biến, hoặc đa thức chứa một tổ
hợp các biến mà khi phân tích tiếp ta sẽ tìm được giá trị của từng biến.
Ta cùng xét một số ví dụ ứng với mỗi trường hợp và trong đó cơ sở
Groebner đã tìm được nhờ sự hỗ trợ của phần mềm Maple.


16

Trường hợp 1: Cơ sở Groebner có đa thức chứa một biến xn
Ví dụ 2.4.1. Giải hệ phương trình:

x2y + xy + 3x = 0
2xy 2 − xy + 4y = 0

(2.1)

Xét iđêan I = x2 y + xy + 3x, 2xy 2 − xy + 4y ⊂ C[x, y].
Ta có cơ sở Groebner của I theo thứ tự từ điển là G = {g1 , g2 } trong đó:

g1 = 2y 3 + y 2 − 3y;
g2 = 4y 2 + 3x + 8y. 

y=0
 y=1
Xét: g1 = 0 ⇐⇒ y(y − 1)(2y + 3) = 0 ⇐⇒ 
−3
y=
2
Thay y = 0 vào g2 = 0 ta được x = 0.
Thay y = 1 vào g2 = 0 ta được 4 + 3x + 8 = 0 suy ra x = −4.
Thay y =

−3
9
−3
vào g2 = 0 ta được 4 + 3x + 8.
= 0 suy ra x = 1.
2
4
2

Vậy hệ phương trình (2.1) có nghiệm:

(x, y) = (0; 0), (−4; 1), 1;

−3
2

.

Ví dụ 2.4.4. Giải hệ phương trình:

x4 − 2x2y + 3xy = 0
5x2 + 4xy − 6y = 0

(2.2)

Xét iđêan I = x4 − 2x2 y + 3xy, 5x2 + 4xy − 6y ⊂ C[x, y]. Ta có
cơ sở Groebner của I theo thứ tự từ điển là G = {g1 , g2 , g3 } trong đó:

g1 = 64y 3 − 125y 2;
g2 = 25xy + 32y 2;
g3 = 125x2 − 128y 2 − 150y.


17

y=0
125
y=

64

2

Xét: g1 = 0 ⇐⇒ y (64y − 125) = 0 ⇐⇒
Với y = 0 thay vào g3 = 0 ta được x = 0.
Với y =

125
5
thay vào g2 = 0 ta được: x = .
64
2

Vậy hệ phương trình (2.2) có nghiệm:

(x, y) = (0; 0),

5 125
;
2 64

.

Nhận xét 2.4.5. Trong ví dụ này, cơ sở Groebner gồm 3 đa thức.
Ngoài đa thức g1 chỉ chứa biến y còn có 2 đa thức g2 , g3 đều chứa 2 biến

x, y . Với y = 0 khi thay vào g2 = 0 ta không xác định được giá trị cụ thể
của biến x do x khi đó nhận giá trị tùy ý. Vì vậy ta phải thay y = 0 vào

g3 để tìm giá trị x = 0.
Trường hợp 2: Cơ sở Groebner có đa thức chứa tổ hợp các
biến xn−1 , xn
Trong trường hợp này, ta cần phân tích tổ hợp các biến của đa thức gi
bằng các phương pháp biến đổi thông thường để giải phương trình của đa
thức gi = 0.
Ví dụ 2.4.8. Giải hệ
trình:
 phương
2
2
4x − x z + 3xy = 0

4yz + x2 − 6y
 2
3x − 4y

=0
=0

(2.3)

Xét iđêan I = 4x2 − x2 z + 3xy, 4yz + x2 − 6y, 3x2 − 4y ⊂ C[x, y, z].
Ta có cơ sở Groebner của I theo thứ tự từ điển là G = {g1 , g2 , g3 , g4 } với:

g1 = 6yz − 7y;
g2 = 243y 2 − 289y;
g3 = 27xy + 34y;
g4 = 3x2 − 4y.

18

Xét: g1 = 0 ⇐⇒ y(6z − 7) = 0 ⇐⇒
Với y = 0 thay vào g4 = 0 ta được x = 0.

y=0
7
z=
6

y=0
289
Xét: g2 = 0 ⇐⇒ y(243y − 289) = 0 ⇐⇒
y=
243
289
34
34
Với y =
thay vào g4 = 0 ta được x =
hoặc x = − .
243
27
27
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm:

(x, y, z) =

0; 0;

7
34 289 7
34 289 7
,
;
;
, − ;
;
6
27 243 6
27 243 6

.

Nhận xét 2.4.11. Các hệ phương trình trong các ví dụ trên đều giải
được khi ứng dụng cơ sở Groebner. Việc tìm ra cơ sở Groebner có chứa đa
thức một biến hoặc đa thức của tổ hợp các biến phân tích được đã hỗ trợ
ta nhanh chóng tìm ra nghiệm của hệ. Tuy nhiên, không phải hệ phương
trình nào cũng giải được bằng phương pháp ứng dụng cơ sở Groebner. Các
ví dụ sau sẽ cho ta thấy điều này.
Ví dụ 2.4.12. Giải hệ phương trình:
 2
x + y 2 + xy = 37

x2 + z 2 + xz = 28
 2
y + z 2 + yz = 19

(2.4)

Xét iđêan I = x2 + y 2 + xy − 37, x2 + z 2 + xz − 28, y 2 + z 2 + yz − 19
với I ⊂ C[x, y, z]. Ta có cơ sở Groebner của I theo thứ tự từ điển là

G = {g1, g2, g3, g4} trong đó:
g1 = x − 2y + z;
g2 = 2yz + z 2 − 16;
g3 = 2y 2 + z 2 − 22;
g4 = 3z 3 + 32y − 60z.


19

Nhận xét 2.4.13. Ta thấy rằng cơ sở Groebner G trong ví dụ trên
có 4 đa thức g1 , g2 , g3 , g4 . Trong 4 đa thức này không có đa thức nào chỉ
chứa một biến hoặc chứa tổ hợp các biến như trong các ví dụ 2.4.1 - 2.4.9.
Do đó ta không thể tìm ra giá trị của các biến dẫn đến ta không thể tìm
nghiệm của hệ phương trình (2.10). Trong khi đây là dạng hệ phương trình
hoán vị, ta có thể áp dụng phương pháp biến đổi tương đương và đặt ẩn
phụ để giải hệ phương trình đã cho với kết quả tập nghiệm của hệ là:

(x, y,√z) = √
√
√
√ √
−10 3 − 3 8 3
10 3 3 −8 3
(4; 3; 2) , (−4; −3; −2) ,
;
;

,
;
;
3
3
3
3
3
3
Ví dụ 2.4.14. Giải hệ
trình:
 phương
6
2
x − x y + y 4 = 0

xz − 2
xy + 3x3 + z



=0
=0

(2.5)

Xét iđêan I = x6 − x2 y + y 4 , xz − 2, xy + 3x3 + z ⊂ C[x, y, z].
Ta có cơ sở Groebner của I theo thứ tự từ điển là G = {g1 , g2 , g3 } trong
đó:

g1 = z 16 + 96z 12 + 3488z 8 + 56064z 4 + 1024z 2 + 331776;
g2 = −z 14 − 96z 10 − 3488z 6 − 42240z 2 + 27648y − 1024;
g3 = z 15 + 96z 11 + 3488z 7 + 56064z 3 + 165888x + 1024z.
Nhận xét 2.4.15. Trong ví dụ trên, cơ sở Groebner G vừa tìm được
có chứa đa thức g1 = z 16 + 96z 12 + 3488z 8 + 56064z 4 + 1024z 2 + 331776
là đa thức của một biến z . Khi giải phương trình đa thức g1 = 0 ta không
tìm giá trị của z ∈ C. Do đó ta không giải được phương trình ở ví dụ này
bằng việc ứng dụng cơ sở Groebner.

.


20

Ví dụ 2.4.16. Giải hệ
trình:
 phương
x2 − 2xy + y = 0

x2y − 3x − 4 = 0
 2
xy − y + 2 = 0

(2.6)

Xét iđêan I = x2 − 2xy + y, x2 y − 3x − 4, xy 2 − y + 2 ⊂ C[x, y].
Ta có cơ sở Groebner của I theo thứ tự từ điển là G = {1}.
Nhận xét 2.4.17. Cơ sở Groebner G trong ví dụ trên chỉ gồm một
phần tử là 1. Buchberger [3] đã chứng minh rằng một hệ phương trình không
giải được khi và chỉ khi 1 ∈ G, với G là cơ sở Groebner sinh bởi tập các

đa thức trong hệ phương trình.


21

KẾT LUẬN

Sau một thời gian nghiên cứu, luận văn đã đạt được những mục đích đề
ra. Trước hết, luận văn đã giải quyết được vấn đề thuật toán chia đa thức
nhiều biến, đó là việc dùng tiêu chuẩn Buchberger để hình thành thuật toán
chia. Nắm được tiêu chuẩn Buchberger và thuật toán Buchberger, ta có thể
tiếp tục tìm thấy cơ sở Groebner của một iđêan I . Từ đó luận văn trình bày
vai trò của cơ sở Groebner trong việc giải hệ phương trình đa thức nhiều
biến.
Tuy nhiên việc giải hệ phương trình đa thức nhiều biến bằng ứng dụng
cơ sở Groebner gặp khó khăn ở khâu tính toán dài dòng. Luận văn đưa ra
một công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc tìm cơ sở Groebner. Đó là phần mềm
Maple. Nhờ phần mềm mà việc tìm cơ sở nhanh chóng và thuận tiện hơn.
Để minh họa cho phần ứng dụng của cơ sở Groebner, luận văn đã trình
bày 10 ví dụ giải hệ phương trình đa thức nhiều biến. Ngoài ra, luận văn
cũng chỉ ra thêm 3 ví dụ cho 3 trường hợp hệ phương trình không giải được
khi áp dụng cơ sở Groebner.
Luận văn vẫn còn một khía cạnh chưa nhắc đến đó là những hệ phương
trình nào chỉ giải được khi sử dụng cơ sở Groebner. Đây là hướng nghiên
cứu tiếp theo của luận văn.


22

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt
[1] Ngô Việt Trung (2012), Nhập môn Đại số giao hoán và Hình học đại
số, NXB Khoa học tự nhiên và công nghệ.
Tiếng Anh
[2] William Wirt Adams, Philippe Loustaunau (1994), An Introduction to
Groebner Bases, American Mathematics Society.
[3] Bruno Buchberger (1986), Groebner Bases: An Algorithmic Method
in Polynomial Ideal Theory, D.Reidel Publishing Company.
[4] David Archibald Cox, John Little, Donal O’Shea (2004), Using Algebraic Geometry, Springer-Verlag.
[5] David Archibald Cox, John Little, Donal O’Shea (1997), Ideal, varieties and Algorithms, second edition, Springer-Verlag.
[6] Ernst Kunz (1987), Introduction to commutative Algebra and Algebraic Geometry, Birhkhauser.
[7] Hideyuki Matsumura (1986), Commutative Ring Thoery, Cambridge
University Press.
[8] Miles Reid(2013), Undergraduate Algebraic Geometry, Mathematics
Institute, University of Warwick.