Mô đun nội xạ trực tiếp đơn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VÕ THỊ HỒNG SƯƠNG

MÔĐUN NỘI XẠ TRỰC TIẾP ĐƠN

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60.46.01.04

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - Năm 2017


Công trình được hoàn thành tại:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trương Công Quỳnh

Phản biện 1:...........................................
Phản biện 2:...........................................

Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp
thạc sĩ Toán học họp tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà
Nẵng vào ngày .....tháng......năm 2017.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thộng tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng.
- Thư viện trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng.

1

MỞ ĐẦU

Nói đến đại số hiện đại không thể không nhắc đến lý thuyết vành và
môđun, nó có những ứng dụng rộng rãi trong đại số hiện đại. Một trong
những lớp môđun quan trọng trong lý thuyết vành và môđun là: môđun nội
xạ, môđun xạ ảnh, môđun tự do, môđun hữu hạn sinh. . . Ngoài ra các đặc
trưng của các lớp vành Artin, Nơte, nửa đơn,. . . thông qua lớp các môđun
trên đã được nghiên cứu trong những năm gần đây. Hơn nữa, các đặc trưng
của vành được nghiên cứu dưới điều kiện nội xạ đã thu hút nhiều tác giả
trong và ngoài nước nghiên cứu.
Trong quá trình nghiên cứu về môđun nội xạ các nhà toán học đã đi
sâu vào các lớp môđun nội xạ đồng thời nghiên cứu các lớp môđun nội xạ
mở rộng: tựa nội xạ, giả nội xạ, nội xạ đơn, nội xạ cực tiểu, nội xạ trực tiếp.
Mặt khác, một trong những lớp môđun nội xạ được nghiên cứu gần đây đó
là môđun nội xạ trực tiếp đơn.
Luận văn trình bày về môđun nội xạ trực tiếp đơn, các tính chất và
ứng dụng của nó trong quá trình đưa ra đặc trưng của các vành: vành Artin
chuỗi, V -vành, vành chính quy,. . .
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Cấu trúc môđun xuất hiện trong hầu hết các lý thuyết toán học hiện
đại, nó có khả năng thống nhất một cách bản chất các cấu trúc vành,
iđêan, nhóm Aben và không gian vectơ. Dựa vào một số kết quả của tác giả
Mohamed Yousif, Yasser Ibrahim, Victor Camillo và Yiqiang Zhou (2014)
về môđun nội xạ trực tiếp đơn, chúng tôi thấy rằng cần thiết phải nghiên
cứu các tính chất của môđun nội xạ trực tiếp đơn từ đó sử dụng chúng để

2

nghiên cứu đặc trưng của các vành. Chẳng hạn, một vành R là nửa Artin
khi và chỉ khi mọi R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn là nội xạ, vành chính
quy R là V -vành phải (nghĩa là, mọi R-môđun phải đơn là nội xạ) nếu và
chỉ nếu mọi R-môđun phải cyclic là nội xạ trực tiếp đơn. . .
Từ những lý do trên mà chúng tôi chọn đề tài “Môđun nội xạ trực tiếp
đơn”.
2. LỊCH SỬ VẤN ĐỀ
Có hai phương pháp nghiên cứu vành: nghiên cứu nội tại và nghiên
cứu vành thông qua M od-R. Nhiều nhà toán học đã lựa chọn nghiên cứu
đặc trưng của các vành thông qua một số lớp môđun. Một trong những
lớp môđun đóng vai trò quan trọng là môđun nội xạ. Các nhà toán học đã
lựa chọn hướng nghiên cứu các mở rộng của môđun nội xạ để áp dụng vào
việc đưa ra đặc trưng của các vành, tiêu biểu là: Smith, Wisbauer, Chen
Zhizhong, Nicholson, Thuyet, Quynh, Dung, Huynh,. . .
Khái quát hóa là: nghiên cứu lớp các môđun tổng quát hóa các môđun
nội xạ và trong trường hợp này cụ thể là nội xạ trực tiếp đơn và áp dụng
đưa ra đặc trưng các vành liên quan.
Khái niệm về môđun nội xạ được biết đến từ thập niên 90 của thế kỉ
XX. Năm 1940, Baer đưa ra tiêu chuẩn về môđun nội xạ : R-môđun phải

M được gọi là nội xạ nếu và chỉ nếu với bất kỳ iđêan phải I của R, với
f

g

mọi đồng cấu I →
− M đều có thể mở rộng thành đồng cấu R →

− M.
Từ đó các nhà toán học đã đưa ra các khái niệm tương tự về môđun
nội xạ: Một môđun M là môđun nội xạ nếu nó thỏa mãn một trong các
điều kiện tương đương sau:
(1). Với mọi môđun N và môđun con A bất kì của N , mọi đồng cấu
f

g

A→
− M đều có thể mở rộng thành đồng cấu N →
− M.


3
f

(2). Với bất kỳ môđun N , thì mọi đơn cấu N →
− M là chẻ ra.
(3). M không có mở rộng cốt yếu thực sự.
Kết hợp với tiêu chuẩn mà Baer đã đưa ra ta có thể chứng minh một môđun
là môđun nội xạ theo một trong bốn cách trên.
Khi nghiên cứu về môđun nội xạ các nhà toán học đã xét các trường hợp
khái quát hóa của khái niệm nội xạ và đưa ra các kết quả sau:
- Từ tiêu chuẩn của Baer, nếu I là iđêan chính bất kỳ thì khi đó ta có
khái niệm P -nội xạ. Điều này tương đương với f là phép nhân trái bởi một
phần tử m nào đó trong M .
- Cho M, N là các môđun cho trước, nếu M và N thỏa mãn điều kiện
(1) thì M được gọi là N -nội xạ.
- Trong điều kiện (1), lấy môđun N bằng môđun M thì ta có khái

niệm môđun tựa nội xạ.
f

- Trong điều kiện (1), nếu A →
− M là đơn cấu bất kỳ thì M được gọi
là N -giả nội xạ và nếu M là M -giả nội xạ thì M được gọi là giả nội xạ.
- Cũng trong điều kiện (1), nếu A là môđun con đơn bất kỳ của M thì

M được gọi là N -nội xạ cực tiểu.
Tiếp tục hướng nghiên cứu trên, năm 1976 W.K.Nicholson đã đưa ra
khái niệm môđun nội xạ trực tiếp: một R-môđun M là nội xạ trực tiếp
nếu cho N là một hạng tử trực tiếp bất kỳ của M và bất kỳ đơn cấu

g : N → M thì tồn tại một tự đồng cấu f của R-môđun M sao cho
f g = ιN . Trong đó, ι : N → M là phép nhúng chính tắc (đơn cấu chính
tắc).
Năm 2014, Victor Camillo, Yasser Ibrahim và Mohamed Yousif đã đưa
ra khái niệm môđun nội xạ trực tiếp đơn: một môđun M là nội xạ trực tiếp
đơn nếu với bất kỳ các môđun con đơn A và B của M mà A ∼
= B và B


4

là hạng tử trực tiếp của M thì A cũng là hạng tử trực tiếp của M . Hơn
nữa, mọi môđun nội xạ trực tiếp là nội xạ trực tiếp đơn.
Dựa trên các lớp môđun của môđun nội xạ các nhà toán học đã khai
thác các tính chất của từng lớp môđun và từ đó mở rộng đưa ra đặc trưng
của các vành ví dụ như vành QF , vành P -nội xạ, vành CS , . . .
Như vậy có rất nhiều tác giả nghiên cứu theo hướng này vì vậy việc

tìm hiểu lớp môđun nội xạ trực tiếp đơn và áp dụng vào một số vành liên
quan là một việc làm cần thiết.
3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Với mục tiêu nghiên cứu khái niệm và các tính chất của môđun nội xạ
trực tiếp đơn từ đó tổng quan về vành nội xạ trực tiếp đơn để đưa ra đặc
trưng của các vành chuỗi Artin, V -vành,...
4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình, sách, các bài báo viết về môđun nội
xạ, môđun nội xạ trực tiếp và nhằm hệ thống lại các tính chất một cách
hợp lý và đưa ra các đặc trưng của các vành liên quan.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Trong quá trình nghiên cứu đề tài, chúng tôi đã sử dụng các phương
pháp phân tích, phương pháp tổng hợp, phương pháp lôgic (tính hệ thống),
phương pháp chuyên gia (cố vấn).
6. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI
Đề tài đóng góp thiết thực trong việc nghiên cứu về môđun nội xạ,
môđun nội xạ trực tiếp, môđun nội xạ trực tiếp đơn và các vành C2, V vành, vành Artin chuỗi,. . . . trong chương trình toán ở đại học và sau đại học.
7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN


5

Chương I: Trình bày các khái niệm, định lý cơ bản về môđun, môđun
nội xạ, môđun tựa nội xạ, vành, vành Artin, V-vành,. . .
Chương II: Nêu định nghĩa và các tính chất của môđun nội xạ trực
tiếp, vành C2.
Chương III: Nêu định nghĩa, các tính chất của môđun nội xạ trực tiếp
đơn, ứng dụng nêu ra đặc trưng của vành Artin chuỗi, V -vành.

6

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Các khái niệm, tính chất và định lý trong chương này chủ yếu trích từ
tài liệu [10]. Trong luận văn này vành R đã cho là vành có đơn vị là 1. Mọi
môđun đã cho là R-môđun phải.
1.1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1.1. Tập L các môđun con nào đó của M được gọi là
thỏa mãn điều kiện tăng (ACC) trong trường hợp mọi dãy

L1 ≤ L2 ≤ ... ≤ Ln ≤ ...
trong L tồn tại n ∈ N để cho Ln+i = Ln (i = 1, 2, ...).
Tập L các môđun con nào đó của M được gọi là thỏa mãn điều kiện
tăng (DCC) trong trường hợp mọi dãy

L1 ≥ L2 ≥ ... ≥ Ln ≥ ...
trong L tồn tại n ∈ N để cho Ln+i = Ln (i = 1, 2, ...).
Môđun MR được gọi là Nơte nếu MR thỏa điều kiện dãy tăng hoặc
mọi tập khác rỗng các môđun con nào đó của M đều có phần tử cực đại.
Môđun MR được gọi là Artin nếu thỏa điều kiện dãy giảm hoặc mọi
tập khác rỗng các môđun con nào đó của M đều có phần tử cực tiểu.
Định nghĩa 1.1.2. Vành R được gọi là Nơte phải (Artin phải) nếu
môđun RR là Nơte (Artin).
Cho dãy hữu hạn các môđun con nào đó của một môđun M . Giả sử
đó là:

0 = B0 ≤ B1 ≤ ... ≤ Bk−1 ≤ Bk = M

kí hiệu là B .


7

Dãy B được gọi là dãy hợp thành đối với M nếu với mọi i = 1, 2, ..., k
thì Bi−1 cực đại trong Bi . Điều này tương đương với Bi /Bi−1 là đơn.
Môđun M được gọi là có độ dài hữu hạn nếu M = 0 hay M có dãy
hợp thành.
Định nghĩa 1.1.3. Vành R được gọi là vành chính quy(chính quy
von Newmann) nếu với mọi phần tử a ∈ R thì tồn tại b ∈ R sao cho

a = aba. Điều nay tương đương với một trong các điều kiện sau:
(1). Mọi iđêan trái (phải) chính đều sinh bởi một phần tử lũy đẳng.
(2). Mọi iđêan trái (phải) hữu hạn sinh đều sinh bởi một phần tử lũy
đẳng.
(3). Mọi iđêan trái (phải) chính là hạng tử trực tiếp của R-môđun trái
(phải).
(4). Mọi môđun hạn sinh của R-môđun trái (phải) xạ ảnh đều là hạng
tử trực tiếp của chính nó.
Định nghĩa 1.1.4. Vành R được gọi là vành địa phương khi và chỉ
khi R là vành giao hoán và chỉ có một iđêan tối đại.
Định nghĩa 1.1.5. Vành R được gọi là vành nửa địa phương nếu

R/J là vành Artin nửa đơn.
Định nghĩa 1.1.6. Cho R là vành, môđun MR được gọi là P -nội
xạ phải nếu mọi R-đồng cấu α : aR → M đều mở rộng thành R-đồng
cấu β : R → M .
Vành R được gọi là P -nội xạ phải nếu RR là môđun P -nội xạ.

Ví dụ 1.1.7.
(1). Mọi môđun nội xạ là P -nội xạ.


8

(2). Mọi vành chính quy vừa là P -nội xạ trái và phải.
(3). Mọi vành tự nội xạ phải là vành P -nội xạ phải.
Bổ đề 1.1.8. Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R:
(1). R là P -nội xạ phải.
(2). lr (a) = Ra với mọi a ∈ R.
(3). Nếu r (a) ⊆ r (b) với a, b ∈ R thì Rb ⊆ Ra.
(4). l [bR ∩ r (a)] = lb + Ra với mọi a, b ∈ R.
(5). Nếu α : aR → R là đồng cấu thì α (a) ∈ Ra.
Định nghĩa 1.1.9. Một vành được gọi là tựa Frobenius (hay vành
QF) nếu nó là vành Artin (trái và phải) và là vành tự nội xạ (trái và phải).
Định nghĩa 1.1.10. Môđun con Rad(M ) =

{N ≤ M/N

M}

được gọi là căn của M .
Môđun con Soc(M ) =

{N ≤ M/N ≤e M } được gọi là đế của

M.
Đối với vành R, ta có Rad(RR ) = Rad(R R). Vì vậy, căn của vành R
được ký hiệu là J(R) = Rad(RR ).

Định nghĩa 1.1.11. Cho I là iđêan của vành R, phần tử lũy đẳng
của R nâng lên modulo I nếu với r2 −r ∈ I, r ∈ R thì tồn tại e2 = e ∈ R
sao cho e − r ∈ R.
Định nghĩa 1.1.12. Một vành R được gọi là nửa hoàn chỉnh nếu

R/J là vành nửa đơn và phần tử lũy đẳng nâng lên modulo J .
Định nghĩa 1.1.13. Một vành R được gọi là nửa nguyên sơ nếu

J (R) = 0.
Định nghĩa 1.1.14. Vành Artin nửa nguyên sơ là tổng trực tiếp
của một số hữu hạn các vành Artin đơn.


9

Định nghĩa 1.1.15. Ta ký hiệu:

rR (a) = {r ∈ R/ar = 0} là linh hóa tử phải của a trong R.
lR (a) = {r ∈ R/ra = 0} là linh hóa tử trái của a trong R.
Định nghĩa 1.1.16. Cho môđun M , N là môđun con của M . N
được gọi là môđun con bất biến đẳng cấu nếu σN ≤ N với mọi tự đẳng
cấu σ của M .
Một môđun được gọi là môđun bất biến đẳng cấu nếu nó là môđun
con bất biến đẳng cấu của bao nội xạ của nó.
Định nghĩa 1.1.17. Vành R được gọi là vành Kasch phải nếu mọi
môđun phải đơn K đều nhúng trong RR tức là RR đối sinh K .
Ví dụ 1.1.18.
- Mọi vành Artin nửa đơn là vành Kasch trái và phải.
- Vành địa phương R là vành Kasch nếu và chỉ nếu Sr = 0 vì R có
đúng một môđun phải đơn.

Mệnh đề 1.1.19. Các điều kiện sau là tương đương đối với vành

R:
(1). R là vành Kasch phải.
(2). hom (M, RR ) = 0 với mọi R-môđun phải hữu hạn sinh M .
(3). l (T ) = 0 với mọi iđêan phải thực sự T (tượng tự iđêan cực
đại) của R.
(4). rl (T ) = T với mọi iđêan phải cực đại T của R.
(5). E (RR ) là vật đối sinh.
Định nghĩa 1.1.20. Môđun M được gọi là F P -nội xạ nếu với bất
kỳ môđun con hữu hạn sinh K của R-môđun phải tự do F , mọi đồng cấu


10

α : K → RR đều có thể mở rộng thành β : F → RR
Ví dụ 1.1.21.
(1). Mọi môđun nội xạ là F P -nội xạ.
(2). Mọi môđun phải trong vành chính quy là F P -nội xạ vì mọi môđun
con hữu hạn sinh của môđun tự do là một hạng tử trực tiếp.

Bổ đề 1.1.22 (3, Lemma 26.4). Cho M là một môđun với sự phân
tích M = K ⊕ L. Với N là một hạng tử trực tiếp của M sao cho

N = N1 ⊕ N2 ⊕ ... ⊕ Nn
với mỗi end (N1 ) là vành địa phương. Khi đó, tồn tại các hạng tử trực
tiếp K ≤ K và L ≤ L sao cho:

M =N ⊕K ⊕L

Định nghĩa 1.1.23. Môđun M thỏa mãn điều kiện C1 nếu mọi
môđun con của M cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M .
Môđun M thỏa mãn điều kiện C2 nếu mọi môđun con mà nó đẳng
cấu với một hạng tử trực tiếp của M thì nó cũng là một hạng tử trực tiếp
của M .
Môđun M thỏa mãn điều kiện C3 nếu bất kỳ các môđun con N và K
của M với N ⊆⊕ M, K⊆⊕ M và N ∩ K = 0 thì N ⊕ K⊆⊕ M .
Định nghĩa 1.1.24. Một môđun được gọi là liên tục nếu nó thỏa
mãn điều kiện C1 và điều kiện C2.
Vành R được gọi là vành liên tục phải nếu RR là môđun liên tục.
Định nghĩa 1.1.25. Một phần tử lũy đẳng e của vành R được gọi
là phần tử lũy đẳng địa phương nếu eRe là vành địa phương.
Định nghĩa 1.1.26. Một R-môđun phải M được gọi là nội xạ cực


11

tiểu nếu với mọi iđêan phải đơn K của R, mỗi đồng cấu γ : K → MR mở
rộng thành γ : R → M sao cho γ = m· là phép nhân bởi m ∈ M (tức là

γ (1) = m)
Định nghĩa 1.1.27. Vành R được gọi là vành minfull phải nếu nó
là vành nửa hoàn chỉnh, nội xạ cực tiểu phải và soc (eR) = 0 với mọi phần
tử lũy đẳng địa phương e ∈ R.
Định nghĩa 1.1.28. Cho R, S là các vành tùy ý và M là một nhóm
cộng aben. M được gọi là S -R song môđun nếu tồn tại các ánh xạ

f : M × R → M và g : S × R → M thỏa:
(m, r) → mr

(s, r) → sr

(1). m (r1 + r2 ) = mr1 + mr2 với mọi r1 , r2 ∈ R và mọi m ∈ M .
(2). (m + n) r = mr + nr với mọi r ∈ R và mọi m, n ∈ M .
(3). (mr1 ) r2 = m (r1 r2 ) với mọi r1 , r2 ∈ R và mọi m ∈ M .
(4). (s1 + s2 ) m = s1 m + s2 m với mọi s1 , s2 ∈ S và mọi m ∈ M .
(5). s (m + n) = sm + sn với mọi s ∈ S và mọi m, n ∈ M .
(6). s1 (s2 m) = (s1 s2 ) m với mọi s1 , s2 ∈ S và mọi m ∈ M .
(7). (sm) r = s (mr) với mọi s ∈ S, r ∈ R và mọi m ∈ M .
Định nghĩa 1.1.29. Cho M, N là các R-S song môđun. Ánh xạ

f : M → N được gọi là S -R đồng cấu song môđun nếu nó vừa là đồng
cấu của R-môđun phải vừa là đồng cấu của S -môđun trái.
Định nghĩa 1.1.30. Giả sử R, S là các vành, R VS , S WR là các song
môđun và ϕ : V ⊗ S W → R; ψ : W ⊗ R V → S là các đồng cấu song
môđun. Khi đó, T =

R V
W S

r v
w s

=

/r ∈ R, s ∈ S, v ∈ V, w ∈ W

cùng với hai phép toán cộng và nhân

r1 v1

w 1 s1

+

r2 v2
w2 s 2

=

r1 + r2 v1 + v1
w1 + w2 s1 + s2

∈

R V
W S


12

r1r2 + v1 (w2) r1v2 + v1s2
w1r2 + s1 (w2) w1v2 + s1s2

R V
W S
là một vành và được gọi là mở rộng Morita trên các song môđun R VS và
r1 v1
w 1 s1

.

r2 v2
w 2 s2

=

∈

S WR .

Cho R là một vành và R VR là song môđun. Khi đó, mở rộng tầm
thường T (R, V ) của R trên V là tổng trực tiếp R ⊕ V với phép nhân

(a, v) . (b, w) = (ab, aw + vb) trong đó a, b ∈ R và v, w ∈ V . Ta có
r v
T (R, V ) =
0 r /r ∈ R, v ∈ V
.
1.2. Một số kết quả liên quan
Định lý 1.2.1. Các điều kiện sau là tương đương đối với môđun
phải QR :
(1). QR là F P -nội xạ.
(2). Nếu KR ⊆ Rn là hữu hạn sinh, thì mọi đồng cấu từ K → QR
mở rộng đến Rn .
(3). Nếu q ∈ Qn và A ∈ Mn (R) thỏa mãn rRn (A) ⊆ rRn (q), thì

q = xA với x ∈ Qn.
(4). Nếu q ∈ Qn và A ∈ Mm×n (R) thỏa mãn rRn (A) ⊆ rRn (q),
thì q = xA với x ∈ Qm .
Định lý 1.2.2. Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R:

(1). R là F P -nội xạ phải.
(2). Nếu a1 , a2 , ..., am và b trong Rn thỏa mãn ∩i rRn (ai ) ⊆ rRn (b)
thì b ∈

i

Rai.

(3). Nếu n ≥ 1 và R K ⊆ Rn là hữu hạn sinh, thì K = lRn (X) với
tập X ⊆ Mn (R).


13

(4). Mn (R) là vành P -nội xạ phải với mọi n ≥ 1.
Định lý 1.2.3. Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R:
(1). R là vành QF.
(2). R là vành Artin trái (hoặc phải) và R là vành tự nội xạ trái
(hoặc phải).
(3). R là vành Nơte trái (hoặc phải) và R là vành tự nội xạ trái
(hoặc phải).
(4). R có dãy ACC của các linh hóa tử trái (hoặc phải) và R là
vành tự nội xạ trái (hoặc phải).
Bổ đề 1.2.4. (Bổ đề Vámos). Một môđun được gọi là Artin nếu
và chỉ nếu mọi môđun thương của nó là hữu hạn đối sinh.
Mệnh đề 1.2.5. (Tính chất bất biến Morita). Cho p là tính chất
của các môđun được bảo toàn qua phép đẳng cấu. Khi đó, p được gọi
là bất biến Morita nếu với mọi tương đương cộng tính F : modR →

modS thì F X có tính chất p với X có tính chất p.

Ví dụ 1.2.6. Tính chất nội xạ và xạ ảnh là những tính chất bất biến
Morita.
Định lý 1.2.7. (Định lý Osofsky’s): Vành R được gọi là giả-Frobenius
(PF) nếu và chỉ nếu nó là vành tự nội xạ phải tức là vật đối sinh phải.
Định lý 1.2.8. (Định lý Camps-Dicks). Các điều kiện sau là tương
đương đối với vành R:
(1). R là vành nửa địa phương.
(2). Tồn tại đồng cấu vành ϕ : R → S , với S là Artin nửa đơn và

a là phần tử khả nghịch của R khi đó ϕ(a) là phần tử khả nghịch của
S.


14

CHƯƠNG 2

MÔĐUN NỘI XẠ TRỰC TIẾP

Năm 1976 W.K.Nicholson đưa ra khái niệm về môđun nội xạ trực tiếp
[11]. Chúng ta biết rằng mọi môđun nội xạ là nội xạ trực tiếp nhưng ngược
lại trong trường hợp tổng quát là không đúng. Trong chương này, chúng tôi
đưa ra một số tính chất của môđun nội xạ trực tiếp và đưa ra một số đặc
trương của vành C2. Nội dung của chương này chủ yếu được trích ra từ các
tài liệu: [5], [7], [8] và [10].
2.1. Môđun nội xạ trực tiếp
Định nghĩa 2.1.1. Môđun M được gọi là N -nội xạ trực tiếp nếu

K∼
= P với P là hạng tử trực tiếp của M và K là môđun con của N thì

K là hạng tử trực tiếp của N.
Bổ đề 2.1.2. Các điều kiện sau là tương đương đối với MR và NR :
1). M là N -nội xạ trực tiếp.
α

2). Nếu P ⊆⊕ M và Q ⊆⊕ N thì mọi đơn cấu P →
− Q là chẻ ra.
α

3). Nếu P ⊆⊕ M thì mọi đơn cấu P →
− N chẻ ra.
µ

α

4). Nếu P →
− N là đơn cấu, P ⊆⊕ M và P →
− M thì tồn tại đồng
β

cấu N →
− M sao cho βα = µ.Tức là, ta có biểu đồ sau giao hoán:

0

/

P

α

µ /
M
=
β



N
α

ι

5). Nếu P →
− N là đơn cấu, P ⊆⊕ M và P →
− N là phép nhúng
β

chính tắc thì tồn tại đồng cấu N →
− M sao cho βα = ι.


15

Định nghĩa 2.1.3. Một R-môđun M được gọi là nội xạ trực tiếp
(hay môđun C2) nếu M là M -nội xạ trực tiếp. Khi đó, với N ⊆⊕ M và
phép nhúng ιN : N → M , với bất kỳ đơn cấu g : N → M tồn tại một
tự đồng cấu f của R-môđun M sao cho f g = ιN .
Tức là, biểu đồ sau giao hoán:

N



ι /
M
O

g
!

∃f

M

Trong Bổ đề 2.1.2 nếu chọn N = M thì ta có hệ quả sau:
Hệ quả 2.1.4. Các điều kiện sau là tương đương đối với môđun

MR với E = end(MR ):
(1). M là môđun C2.
(2). Nếu σ : N → P là một R-đẳng cấu, với N ⊆ M và P ⊆⊕ M
thì σ mở rộng thành β ∈ E .
(3). Nếu α : P → M là R-đơn cấu với P ⊆⊕ M thì tồn tại β ∈ E
sao cho β ◦ α = ι với ι : P → M là phép nhúng chính tắc.
(4). Nếu α : P → M là R-đơn cấu với P ⊆⊕ M và π 2 = π ∈ E
thỏa mãn π(M ) = P thì tồn tại β ∈ E sao cho π ◦ β ◦ α = 1P .
Định lý 2.1.5. Đối với R-môđun M , các mệnh đề sau là tương
đương:

(1). M là môđun nội xạ trực tiếp.

(2). Cho A ≤ M và N ⊆⊕ M , với bất kì đơn cấu g : M/N → A
thì tồn tại R-đồng cấu f : A → M sao cho f g = h với h : M/N → M


16

là phép nhúng chính tắc, tức là biểu đồ sau giao hoán:

0

/

M/N
g

h

∃f

/
;

M



A
3). Mọi dãy khớp ngắn 0 −→ N −→ A là chẻ ra với A ≤ M và
N ⊆⊕ M .
Mệnh đề 2.1.6. Hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ trực tiếp là

môđun nội xạ trực tiếp.
Hệ quả 2.1.7. Nếu N ⊕ M là nội xạ trực tiếp thì dãy khớp ngắn

0 −→ N −→ M −→ T −→ 0 của các R-môđun là chẻ ra.
Định lý 2.1.8. Cho dãy khớp ngắn 0 −→ N −→ M −→ T −→ 0
của các R-môđun, với M là môđun nội xạ. Khi đó, các mệnh đề sau là
tương đương:

(1). N ⊕ M là nội xạ trực tiếp.
(2). N là nội xạ.
(3). N ⊕ M là nội xạ.
Định nghĩa 2.1.9. Một R-môđun M được gọi là môđun mở rộng
(hay môđun CS) nếu với mọi môđun con N của M đều mở rộng cốt yếu
thành hạng tử trực tiếp N ∗ của M .
Mệnh đề 2.1.10. Mọi môđun M tựa nội xạ là nội xạ trực tiếp và
mở rộng.


17

2.2. Vành C2
Trong phần này chúng tôi trình bày định nghĩa, tính chất và đưa ra
một số đặc trưng của vành C2.
Định nghĩa 2.2.1. Vành R được gọi là vành C2 phải nếu RR thỏa
mãn điều kiện C2 tức là nếu aR ∼
= B với B là hạng tử trực tiếp của RR ,

a ∈ R thì aR cũng là hạng tử trực tiếp của RR .
Ví dụ 2.2.2.
(1). Mọi vành chính quy là vành C2 phải và trái.

(2). Mọi vành liên tục phải là vành C2 phải.
Mệnh đề 2.2.3. Cho R là vành I -hữu hạn. Nếu R là vành C2 thì
mọi đơn cấu RR → RR là toàn cấu. Ngược lại là đúng nếu phần tử lũy
đẳng trong R chỉ có 0 và 1.
Ví dụ 2.2.4. Nếu F là một trường, khi đó vành R =

F F
0 F

là

vành Artin phải và trái, do đó mọi đơn cấu là toàn cấu (về cả 2 phía).
Tuy nhiên, R không là vành C2 phải vì J(R) =

0 F
0 0

∼
=

0 0
0 F

=

0 1
0 0 R. Nhưng J(R) không phải là hạng tử trực tiếp của R. Tương tự,
R cũng không là vành C2 trái.

Mệnh đề 2.2.5. Mọi vành Kasch trái là vành C2 phải.

Ví dụ 2.2.6. Ngược lại của mệnh đề trên là không đúng.
Nếu F là một trường thì ta có F × F × F × F × ... là vành C2 (vì
nó là vành chính quy) nhưng không phải vành Kasch.

Bổ đề 2.2.7. Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R:
(1). R là vành C2 phải.


18

(2). Mọi R-đẳng cấu: aR → eR, a ∈ R, e2 = e ∈ R mở rộng đến

R.
(3). Nếu r(a) = r(e), a ∈ R, e2 = e ∈ R thì e ∈ Ra.
(4). Nếu r(a) = r(e), a ∈ R, e2 = e ∈ R thì Re = Ra.
(5). Nếu Ra ⊆ Re ⊆ lr(a), a ∈ R, e2 = e ∈ R thì Re = Ra.
(6). Nếu aR là xạ ảnh, a ∈ R thì aR là hạng tử trực tiếp của RR .
Điều kiện (3) trong Bổ đề 2.2.7 cho ta hệ quả sau.
Hệ quả 2.2.8. Cho {Ri }i∈I là họ các vành. Khi đó,

Ri là một
i∈I

vành C2 nếu mỗi Ri là vành C2.
Hệ quả 2.2.9. Các điều kiện sau là tương đương đối với vành địa
phương R:
(1). R là vành C2 phải.
(2). Mọi đơn cấu RR → RR là chẻ ra.
(3). J(R) = {a ∈ R|r(a) = 0}.

Theo Bổ đề 1.1.8 và điều kiện (3) của Bổ đề 2.2.7 ta có hệ quả sau:
Hệ quả 2.2.10. Mọi vành P -nội xạ phải là vành C2 phải.
Chứng minh.
Giả sử R là vành P -nội xạ phải. Cho I là iđêan phải của R và I ∼
= eR
với e2 = e ∈ R thì I = aR với a ∈ R nào đó. Ta có I là xạ ảnh nên

r (a) ⊆⊕RR và r (a) = f R với f 2 = f ∈ R. Vì vậy, Ra = lr (a) =
R (1 − f ) ⊆⊕R R nên I = aR⊆⊕RR . Vậy R là vành C2 phải.
Ví dụ 2.2.11. Ngược lại của hệ quả trên là không đúng.


19

Xét V là không gian véctơ hai chiều trên trường F với mở rộng tầm
thường R = T (F, V ) = F ⊕ V . Ta có R là vành giao hoán, địa phương và
là vành Artin với J 2 (R) = 0, theo Hệ quả 2.2.9 thì R là vành C2. Nhưng

R không phải P -nội xạ. Xét ϕ :

0 V
0 0

→R

0 wf1
.
0 0
Khi đó, ϕ là một R-đồng cấu. Hơn nữa, ta có (0, x) → [0, ϕ (x)] là một
0 vf1 + wf2

0
0

→

R-đồng cấu từ R → R nhưng không thể mở rộng thành R → R vì
w = vF .
Ví dụ 2.2.12. Tồn tại vành C2 trái nhưng không C2 phải.
Mệnh đề 2.2.13. Nếu R là vành C2 phải thì eRe cũng là vành
C2 phải với e2 = e ∈ R sao cho ReR = R.
Định lý 2.2.14. Cho môđun M và E = end(MR ). Các mệnh đề
sau đây là đúng:
(1). Nếu E là vành C2 phải thì MR là môđun C2.
(2). Ngược lại của (1) là đúng nếu Kerα sinh ra bởi M với α ∈ E
sao cho rE (α) ⊆⊕ EE .
Định lý 2.2.15. Nếu MR là tự do thì M là môđun C2 khi và chỉ
khi end (MR ) là vành C2 phải. Đặc biệt, Rn là môđun C2 khi và chỉ
khi Mn (R) là vành C2 phải.
Định lý 2.2.16. Các điều kiện sau đây là tương đương:
(1). Tính chất vành C2 phải là bất biến Morita.
(2). Nếu R là vành C2 phải thì (R ⊕ R)R là môđun C2.


20

CHƯƠNG 3

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA MÔĐUN NỘI XẠ TRỰC TIẾP ĐƠN

Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm và các tính chất của

môđun nội xạ trực tiếp đơn từ đó sử dụng chúng để đưa ra đặc trưng của
các vành: V -vành, vành Artin nửa đơn. . .
Nội dung của chương này chủ yếu được trích từ tài liệu: [2], [3], [4] và [10].
3.1. Môđun nội xạ trực tiếp đơn
Mệnh đề 3.1.1. Các điều kiện sau là tương đương đối với Rmôđun M :
(1). Nếu A, B là các môđun con bất kỳ của M với A ∼
= B⊆⊕M
thì A⊆⊕ M .
(2). Nếu A, B là các hạng tử trực tiếp đơn bất kỳ của M với

A ∩ B = 0 thì A ⊕ B⊆⊕M .
(3). Nếu M = M1 ⊕ M2 với M1 là đơn và f : M1 → M2 là R-đồng
cấu thì Imf ⊆⊕ M2 .
Định nghĩa 3.1.2. Môđun M được gọi là nội xạ trực tiếp đơn nếu

M thỏa mãn một trong các điều kiện của Mệnh đề 3.1.1 trên.
Vành R được gọi là nội xạ trực tiếp đơn phải nếu môđun RR là nội xạ
trực tiếp đơn.
Ví dụ 3.1.3.
(1). Mọi môđun không phân tích được là nội xạ trực tiếp đơn. Đặc biệt,
ZZ là nội xạ trực tiếp đơn nhưng không nội xạ trực tiếp.
(2). Nếu R là vành giao hoán thì mọi R-môđun xyclic là C3 môđun do
đó nó là môđun nội xạ trực tiếp đơn.


21

(3). Với R = Z8 , NR = K ⊕ L với K ∼
= R và L ∼
= 2R. Ta có

2K không là hạng tử trực tiếp của KR nên không là hạng tử trực tiếp của
N . Nhưng 2K ∼
= N và L⊆⊕N nên N không là môđun C3. Theo [[10],
Corollaries 2.4 and 2.6] M = N ⊕ N không là môđun C3.
Bổ đề 3.1.4. Cho M là môđun nội xạ trực tiếp đơn. Khi đó:
(1). Với bất kỳ tập hữu hạn {X1 , X2 , ..., Xk } các hạng tử trực tiếp
k

đơn của M thì

Xi⊆⊕M.

i=1

(2). Tổng tất cả các hạng tử trực tiếp đơn của M là bất biến hoàn
toàn trong M .
Mệnh đề 3.1.5. Cho M là môđun hữu hạn sinh. Nếu M là nội xạ
trực tiếp đơn thì bất kỳ các môđun con nửa đơn A, B với A ∼
= B⊆⊕M ,
ta có A⊆⊕ M .
Mệnh đề 3.1.6. Cho M là một môđun sao cho tổng tất cả các
hạng tử trực tiếp đơn của nó là cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của M .
Khi đó, M là môđun nội xạ trực tiếp đơn nếu và chỉ nếu M = M1 ⊕M2
với soc (M1 ) ∩ rad (M1 ) = 0, soc (M1 ) là bất biến hoàn toàn trong M
và soc (M2 ) ⊆ rad (M2 ).
Một hạng tử trực tiếp đơn địa phương của một môđun M là tổng trực
tiếp L :=

t∈Λ

Xt của các môđun con đơn của M sao cho

t∈F

Xt là

hạng tử trực tiếp của M với bất kỳ tập con hữu hạn F của Λ.
Mệnh đề 3.1.7. Giả sử rằng mọi hạng tử trực tiếp đơn địa phương
của M là hạng tử trực tiếp của M . Khi đó, M là môđun nội xạ trực
tiếp đơn khi và chỉ khi M = M1 ⊕ M2 với M1 là môđun con nửa đơn
bất biến hoàn toàn của M và soc (M2 ) ⊆ rad (M2 ).


22

3.2. Đặc trưng của vành nội xạ trực tiếp đơn
Hệ quả 3.2.1. Cho R là vành I -hữu hạn. Khi đó, R là vành nội
xạ trực tiếp đơn khi và chỉ khi R ∼
= R1 × R2 với R1 là vành Artin nửa
2

đơn và soc(R2 ) = 0.
Định lý 3.2.2. Nếu R là vành nội xạ trực tiếp đơn phải thì R(I)
là R-môđun nội xạ trực tiếp đơn phải với bất kỳ tập chỉ số I .
Hệ quả 3.2.3. Vành R là nội xạ trực tiếp đơn phải khi và chỉ khi
mọi R-môđun phải xạ ảnh là nội xạ trực tiếp đơn.
Định lý 3.2.4. Tính chất vành nội xạ trực tiếp đơn phải là tính
chất bất biến Morita.
3.3. Khi nào môđun nội xạ trực tiếp đơn là môđun C3?

Bổ đề 3.3.1. Tổng trực tiếp của các môđun nội xạ là nội xạ trực
tiếp đơn.
Bổ đề 3.3.2. Các mệnh đề sau đây là đúng:
(1). Nếu M = M1 ⊕ M2 là môđun C3 và f : M1 → M2 là đơn cấu
thì Imf ⊆⊕ M2 .
(2). Nếu M ⊕ M là môđun C3 thì M là môđun C2.
Bổ đề 3.3.3. Nếu M là môđun không phân tích được mà nó không
đơn thì M ⊕ E (M ) là nội xạ trực tiếp đơn.
Định lý 3.3.4. Các mệnh đề sau là tương đương đối với vành R:
(1). Mọi R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn là môđun C3.
(2). Mọi R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn là tựa nội xạ.
(3). Mọi R-môđun phải là tổng trực tiếp của một môđun nửa đơn
và một họ các môđun chuỗi tổng quát nội xạ có độ dài là 2.
(4). Mọi R-môđun phải là tổng trực tiếp của một môđun nửa đơn
và một môđun nội xạ.


23
2

(5). R là vành Artin chuỗi với J(R) = 0.
3.4. Môđun nội xạ trực tiếp đơn và V -vành
Mệnh đề 3.4.1. Các điều kiện sau là tương đương đối với vành

R:
(1). R là V -vành phải.
(2). Mọi R-môđun phải là nội xạ trực tiếp đơn.
(3). Mọi R-môđun phải hữu hạn đối sinh là nội xạ trực tiếp đơn.
(4). Tổng trực tiếp của các môđun nội xạ trực tiếp đơn là nội xạ
trực tiếp đơn.

(5). Mọi R-môđun phải 2-sinh là nội xạ trực tiếp đơn.
Bổ đề 3.4.2. R-môđun phải M được gọi là nội xạ đế mạnh nếu
và chỉ nếu M = E ⊕ T với E là nội xạ và soc(T ) = 0.
Mệnh đề 3.4.3. Các điều kiện sau là tương đương đối với vành

R:
(1). R là V -vành phải, Nơte phải.
(2). Mọi R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn là nội xạ đế mạnh.
Định lý 3.4.4. Một vành chính quy R là V -vành phải nếu và chỉ
nếu mọi R-môđun phải xyclic là nội xạ trực tiếp đơn.