Phép biến đổi fourier trên nhóm hữu hạn và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

NGUYỄN TẤN NGUYỆN

BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN NHÓM HỮU HẠN
VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 8.46.01.02

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2018


Công trình được hoàn thành tại
Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN

Người hướng dẫn khoa học: TS. PHAN ĐỨC TUẤN

Phản biện 1:
.................................................
Phản biện 2:
.................................................

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp
thạc sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày
17 tháng 06 năm 2018

Có thể tìm hiểu luận văn tại
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Việc biểu diễn một hàm tuần hoàn thành tổng các hàm lượng giác
được Fourier đưa ra lần đầu tiên dựa theo các công trình trước đó của
Euler, D’Alembert và Daniel Bernoulli. Về sau nó được gọi là chuỗi Fourier
và được xác định như sau:

a0 +∞
+
(an cos nx + bn sin nx),
2
n=1
trong đó

1
an =
π
bn =

1
π

π

f (x) cos(nx)dx,

n = 0, 1, 2, ...

f (x) sin(nx)dx,

n = 1, 2, 3, ...

−π
π

−π

Trên cơ sở đó, Fourier đã đưa ra khái niệm phép biến đổi Fourier trên

L1(−π, π) và L2(−π, π). Sau đó, phép biến đổi này được phát triển nhiều
lần bởi các nhà toán học như Riemann Cantor và Lebesgue. Vào các năm
1807, 1811 Fourier đã công bố các công trình đầu tiên của mình về áp dụng
phép biến đổi Fourier để giải phương trình nhiệt. Cho đến nay phép biến
đổi Fourier đã được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau như: Vật
lý, Số học, xử lý tín hiệu, xác suất thống kê, mật mã, âm học, Hải dương
học, Quang học, Hình học, tần số sóng của Rada, định vị GPS, ...
Trong các không gian L2 tổng quát ta luôn xây dựng được chuỗi Fourier
trên đó. Do vậy, nếu xây dựng được cấu trúc không gian L2 trên nhóm hữu
hạn G thì ta cũng xây dựng được chuỗi Fourier trên nhóm. Năm 1989,


2

Arthus đã tìm thấy một số ví dụ về chuỗi Fourier trên nhóm hữu hạn. Đây
chính là các tiền đề quan trọng để các nhà toán học sau này xây dựng thành
công không gian L2 (G) và phép biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn.
Với rất nhiều ứng dụng đã biết của phép biến đổi Fourier, nên tôi hi
vọng cũng tìm được các ứng dụng tương tự cho phép biến đổi Fourier trên
nhóm hữu hạn. Để làm được điều này cần phải hiểu rõ ràng về phép biến
đổi Fourier trên nhóm hữu hạn nên tôi đã chọn đề tài: “PHÉP BIẾN ĐỔI
FOURIER TRÊN NHÓM HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG” làm đề tài luận
văn thạc sĩ.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu, tìm hiểu và trình bày một cách có hệ thống các kết quả
của phép biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn. Ứng dụng các kết quả trên
vào giải quyết phương trình trên nhóm Abel hữu hạn và ứng dụng trong
Vật lý.
3. Đối tượng nghiên cứu
Phép biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn, một số vấn đề trong Vật lý
và Giải tích liên quan đến phép biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn.
4. Phạm vi nghiên cứu
Định nghĩa, một số tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier trên
nhóm hữu hạn, phép biến đổi ngược và tích chập của nó. Ứng dụng vào
nguyên lý bất định Heisenberg và giải phương trình trên nhóm Abel.
5. Phương pháp nghiên cứu
Dựa vào các kết quả đã biết của phép biến đổi Fourier cổ điển để nghiên


3

cứu các kết quả tương tự cho phép biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết, có thể sử dụng luận văn làm tài liệu
tham khảo dành cho sinh viên ngành Toán. Luận văn cũng là tài liệu tham
khảo tốt cho những người nghiên cứu Vật lý.
7. Cấu trúc luận văn
Nội dung luận văn được trình bày trong ba chương. Ngoài ra, luận văn
có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và Tài
liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày đầy đủ các khái niệm và tính chất liên quan đến
nhóm hữu hạn và không gian Hilbert. Giới thiệu về biến đổi Fourier trên
lớp Schwartz.
Chương 2: Xây dựng không gian L2 (G), đưa ra các định nghĩa, định
lý và tính chất trong không gian L2 (G) và L2 (G).
Chương 3: Ứng dụng của biến đổi Fourier trên nhóm hữu hạn vào chứng
minh nguyên lý bất định Heisenberg, hàm "Gaussian" và giải phương trình
trên nhóm Abel hữu hạn.


4

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Lý thuyết nhóm hữu hạn
Định nghĩa 1.1.1. Cho G là một tập hợp khác rỗng, . là phép toán hai
ngôi trên G. (G, .) được gọi là một nhóm nếu nó thỏa mãn các điều kiện
sau:

• ∀x, y, z ∈ G, (x.y).z = x.(y.z)
• ∃e ∈ G : x.e = e.x = x, ∀x ∈ G

• ∀x ∈ G, ∃x ∈ G : x.x = x .x = e
Định nghĩa 1.1.2. Nhóm G được gọi là nhóm hữu hạn nếu nó có hữu
hạn phần tử. Ngược lại nếu nó có vô hạn phần tử thì gọi là nhóm vô hạn.
Định nghĩa 1.1.3. Cấp của nhóm G chính là số phần tử của nhóm G.
Kí hiệu: |G|.
Định nghĩa 1.1.4. Một tập con H của nhóm (G, .) được gọi là tập con
ổn định của nhóm G nếu với mọi x, y ∈ H, xy ∈ H . Khi đó phép toán
nhân thu hẹp trên H xác định một phép toán trên H mà ta gọi là phép
toán cảm sinh trên H .
Định nghĩa 1.1.5. Nhóm con H của nhóm G là một tập con ổn định
của nhóm G sao cho cùng với phép toán cảm sinh H là một nhóm. Kí hiệu

H ≤ G.
Định lí 1.1.6. Cho H là một tập con khác rỗng của nhóm (G, .). Các
mệnh đề sau tương đương:
(i) H ≤ G;


5

(ii) Với mọi x, y ∈ H , xy ∈ H và x−1 ∈ H ;
(iii) Với mọi x, y ∈ H , x−1 y ∈ H .
Định nghĩa 1.1.7. Cho S là tập con của nhóm G. Nhóm con sinh bởi

S là nhóm con nhỏ nhất của G chứa S và được kí hiệu là S . Tập hợp
S được gọi là tập sinh của nhóm S . Nếu S hữu hạn: S = {x1, ..., xn}
thì ta nói S là nhóm hữu hạn sinh với các phần tử sinh x1 , ..., xn mà ta
thường kí hiệu nhóm này là x1 , ..., xn .
Định nghĩa 1.1.8. Cho G là một nhóm. Nhóm con a của G sinh bởi
phần tử a ∈ G được gọi là nhóm con cyclic sinh bởi a. Nếu tồn tại phần

tử a ∈ G sao cho a = G thì ta nói G là một nhóm cyclic và a là phần
tử sinh của G.
Định nghĩa 1.1.9. Cấp của một phần tử a trong nhóm G là cấp của
nhóm con cyclic a . Kí hiệu: |a|.
Hệ quả 1.1.10. Cho (G, .) là một nhóm và a ∈ G. Ta có:
(i) a có cấp vô hạn khi và chỉ khi với mọi k ∈ Z, nếu ak = e thì

k = 0.
(ii) a có cấp hữu hạn khi và chỉ khi tồn tại k ∈ Z∗ sao cho ak = e.
(iii) Nếu a có cấp hữu hạn thì cấp của a là số nguyên dương n nhỏ
nhất sao cho an = e. Hơn nữa, khi đó với mọi k ∈ Z, ak = e khi
và chỉ khi k là bội số của n.
Định lí 1.1.11. Cho (G, .) là một nhóm và H là một nhóm con của

G. Xét quan hệ ∼ trên G như sau:
x ∼ y ⇔ x−1y ∈ H.
Khi đó:


6

(i) ∼ là một quan hệ tương đương trên G.
(ii) Lớp tương đương chứa x là x = xH , trong đó

xH = {xh|h ∈ H}.
Ta gọi xH là lớp ghép trái của H . Tập hợp thương của G theo quan
hệ ∼, kí hiệu là G/H , được gọi là tập thương của G trên H và |G/H| là
chỉ số của nhóm con H trong G, kí hiệu là [G : H].
Chú ý 1.1.12. Hoàn toàn tương tự, ta định nghĩa được quan hệ ∼ trên

G như sau:
x ∼ y ⇔ xy −1 ∈ H.
Khi đó ∼ cũng là một quan hệ tương đương trên G và lớp tương đương
chứa x là x = Hx, trong đó Hx = {hx|h ∈ H}. Ta gọi Hx là lớp ghép
phải của H .
Định lí 1.1.13 (Định lý Lagrange). Cho G là một nhóm hữu hạn và H
là một nhóm con của G. Khi đó:

|G| = |H|[G : H].
Hệ quả 1.1.14. Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó:
(i) Cấp của mỗi nhóm con của G là một ước số của cấp của nhóm G.
(ii) Cấp của mỗi phần tử thuộc G là một ước số của cấp của nhóm G.
(iii) Nếu G có cấp nguyên tố thì G là nhóm cyclic và G được sinh bởi
một phần tử bất kì khác e.
Hệ quả 1.1.15 (Định lý nhỏ của Fecma). Nếu p là một số nguyên tố
thì ap − a chia hết cho p.
Định nghĩa 1.1.16. Cho hai nhóm G, . , G , . . G và G được gọi là
đẳng cấu với nhau nếu tồn tại một hàm tuyến tính φ : G → G sao cho

φ(a.b) = φ(a). φ(b). Kí hiệu G

G.


7

1.2. Không gian Hilbert
1.2.1. Tích vô hướng, không gian Hilbert
Định nghĩa 1.2.1. Cho H là một không gian vectơ trên trường K. Tích
vô hướng xác định trên H là một ánh xạ xác định như sau:

., . :H × H → K
(x, y) → x, y
thỏa mãn các tiên đề sau:

• x, y = y, x với mọi x, y ∈ H.
• x + y, z = x, z + y, z với mọi x, y, z ∈ H.
• λx, y = λ x, y với mọi x, y ∈ H và λ ∈ K.
• x, x ≥ 0 với mọi x ∈ H và x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
x, y được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y .
Cặp (H, ., . ) được gọi là không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là không
gian Unita).
Ví dụ 1.2.2.
1. Lấy X = Rn , với x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ X và biểu
thức:

n

xi yi

x, y =
i=1

xác định một tích vô hướng trên Rn
2. Lấy X = C[0;1] không gian gồm các hàm liên tục trên [0; 1] nhận giá trị
phức với x, y ∈ X , biểu thức
1

x, y =

x(t)y(t)dt,
0


8

xác định một tích vô hướng trên C[0;1] . Khi đó không gian này là không
L
gian tiền Hilbert và thường kí hiệu C[0;1]
.

Tính chất 1.1.
(i) Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz: | x, y |2 ≤ x, x . y, y
2

2

2

(ii) Đẳng thức hình bình hành: ||x + y|| +||x − y|| = 2 ||x|| + ||y||

2

(iii) Nếu lim xn = x0 , lim yn = y0 thì lim xn , yn = x0 , y0
Định lí 1.2.3. Cho H là không gian tiền Hilbert. Khi đó,
1

x = x, x 2 , x ∈ H
xác định một chuẩn trên H .
Định nghĩa 1.2.4. Cho không gian tiền Hilbert H , theo Định lý (1.2.3)

thì H là một không gian tuyến tính định chuẩn. Nếu H là không gian đầy
đủ thì ta gọi H là không gian Hilbert.
Ví dụ 1.2.5.
1) Lấy H = Cn với tích vô hướng xác định bởi hệ thức
n

x, y =

xi y i ,
i=1

trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Cn . Khi đó H là
một không gian Hilbert.
2) Cho (Ω, B, µ) là một không gian độ đo. Kí hiệu:

L2(Ω) = {f : Ω → C :

|f (x)|2dµ < ∞}.
Ω

Với tích vô hướng

f, g =

f (x)g(x)dµ,
Ω

L2(Ω) là một không gian Hilbert.

9

1.2.2. Sự trực giao
Định nghĩa 1.2.6. Cho (H, ., . ) là không gian Hilbert x, y ∈ H và

φ=M ⊂H
(i) Ta nói x trực giao với y nếu x, y = 0. Kí hiệu: (x ⊥ y).
(ii) Hai tập hợp M, N trong H được gọi là trực giao với nhau nếu x, y = 0
với mọi x ∈ M, y ∈ N . Kí hiệu: M ⊥ N .
(iii) Cho M ⊂ H , tập hợp tất cả các phần tử trong H trực giao với M kí
hiệu là M ⊥ và gọi là phần bù trực giao của M.
Tính chất 1.2.
(i) Nếu x ⊥ M thì x ⊥ M , ( M chỉ không gian sinh bởi M)
(ii) Nếu x ⊥ yn , ∀n ∈ N∗ và lim yn = y thì x ⊥ y . Suy ra nếu x ⊥ M
thì x ⊥ M
(iii) M ⊥ là một không gian con đóng
Định lí 1.2.7. Nếu x1 , ..., xn đôi một trực giao thì

x1 + ... + xn

2

= x1

2

+ ... + xn

2

(Đẳng thức Pythagore)
Định lí 1.2.8. Nếu M là một không gian đóng của không gian Hilbert

(H, ., . ) thì mỗi x ∈ X được biểu diễn duy nhất dưới dạng x = y + z
với y ∈ M, z ∈ M ⊥ . Phần tử y gọi là hình chiếu trực giao của x lên

M và có tính chất:
x − y = inf x − y
y ∈M

1.2.3. Cơ sở trực chuẩn
Định nghĩa 1.2.9. Cho không gian Hilbert (H, ., . ), S = {e1 , e2 , ..., en } ⊂

H . Nếu mọi phần tử của S có chuẩn bằng 1 thì S được gọi là hệ trực chuẩn.


10

Định lí 1.2.10. Cho {en } là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert

(H, ., . ) và {λn} là một dãy số. Ta xét chuỗi
∞

λnen

(1.1)

n=1

Ta có:

∞
n=1

(i) Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi

2

|λn| < ∞

(ii) Giả sử chuỗi (1.1) hội tụ và có tổng x thì
∞

x

2

2

x, en = λn, ∀n ∈ N∗

|λn| ,

=
n=1

Định lí 1.2.11. Giả sử {e1 , e2 , ..., en } là hệ gồm n phần tử trực chuẩn
trong H . Khi đó, mỗi phần tử x ∈ H có hình chiếu trực giao lên không
gian con M sinh bởi hệ {e1 , e2 , ..., en } là
n

x, ei ei.

y=
i=1

Định lí 1.2.12 (Định lý trực giao hóa Schmidt). Giả sử {xn }n∈N là một
hệ độc lập tuyến tính trong không gian tiền Hilbert H . Khi đó tồn tại
hệ trực chuẩn {en } sao cho lin{e1 , e2 , ..., en } = lin{x1 , x2 , ..., xn } với
mọi n ∈ N.
Định lí 1.2.13. Giả sử {xn } là hệ trực giao trong không gian Hilbert

H . Khi đó, chuỗi

∞
n=1

xn hội tụ khi và chỉ khi chuỗi

∞
n=1

xn

2

hội

tụ và
2

∞

xn

∞

=

n=1

xn

2

(1.2)

n=1

Đặc biệt, nếu {en } là hệ trực chuẩn, ta có
2

∞

αn e n
n=1

∞

|an|2.

=

(1.3)

n=1

Định lí 1.2.14. Giả sử {en }n∈N là hệ trực chuẩn trong không gian


11

Hilbert H . Khi đó, với mọi x ∈ H chuỗi
∞
2

| x, en | ≤ x

∞
n=1

x, en en hội tụ và

2

(1.4)

n=1

Chuỗi

∞
n=1

x, en en được gọi là chuỗi Fourier của x đối với hệ {en}

và bất đẳng thức (1.4) được gọi là bất đẳng thức Bessel.
Định lí 1.2.15. Cho {en }n∈N là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert

H . Các mệnh đề sau tương đương:
(i) Hệ {en }n∈N là cơ sở trực chuẩn
∞

x, en en, ∀x ∈ H

(ii) x =
n=1

(iii) ∀x, y ∈ H ta có x, y =
(iv) x

2

∞

∞
n=1

x, en y, en .

2

| x, en | , ∀x ∈ H (Đẳng thức Parseval)

=
n=1

Ví dụ 1.2.16. Cho hệ các hàm lượng giác

1
1
1
√ , √ cos nx, √ sin nx, n = 1, 2, ...
π
2π π
là một cơ sở trực chuẩn trong L2 [0, 2π].
Thật vậy, với mỗi n ∈ N ta có

1
1
√ ,√
=
2π 2π
1
1
√ cos nx, √ cos nx =
π
π
1
1
√ sin nx, √ sin nx =

π
π

1
dx = 1,
[0,2π] 2π
1
cos2 nxdx = 1,
[0,2π] π
1 2
sin nxdx = 1,
π
[0,2π]

nên hệ này là hệ trực chuẩn.
Với mỗi f ∈ L2 [0, 2π] và với mỗi ε > 0 tồn tại một hàm g ∈ C[0,2π] sao
cho

ε
f −g < .
2


12

Mặt khác theo Định lý Weierstrass tồn tại hàm
n

h(x) =

(Ak cos kx + Bk sin kx)
k=1

sao cho

ε
sup |g(x) − h(x)| < √ .
2 2π
x∈[0,2π]
Suy ra

|g(x) − h(x)|2dx

g−h =
[0,2π]

1
2

ε
< .
2

Vậy f − h < ε. Do đó hệ trên là cơ sở trực chuẩn của L2 [0, 2π]. Và từ
đó ta có với mọi f ∈ L2 [0, 2π] khai triển được thành chuỗi Fourier như
sau:

a0
f (x) = √ +
π

∞

k=1

cos kx
sin kx
ak √ + bk √
.
π
π

trong đó

1
a0 = √
2π
1
ak = √
2π
1
bk = √
2π

f (x)dx,
[0,2π]

f (x) cos kxdx, k = 1, 2, ...
[0,2π]

f (x) sin kxdx, k = 1, 2, ...
[0,2π]

Định lí 1.2.17 (Định lý Riesz). Giả sử {en } là một cơ sở trực chuẩn
trong không gian Hilbert H . Nếu dãy số ξn thỏa mãn điều kiện

∞
n=1

|ξn|2 <

∞ thì sẽ tồn tại duy nhất x ∈ H nhận ξn làm hệ số Fourier ξn = x, en
và

∞

x=

∞

ξnen, x
n=1

2

|ξn|2.

=
n=1

13

1.3. Phép biến đổi Fourier trên R
1.3.1. Lớp Schwartz
Định nghĩa 1.3.1 (Lớp Schwartz). S(R) là tập hợp vô hạn các hàm

f : R → C giảm nhanh và đạo hàm của nó cũng là các hàm giảm nhanh.
Nghĩa là, cho tất cả các số nguyên không âm k và l khi đó

lim |xk ||f (l)(x)| = 0.

|x|→∞

Bổ đề 1.3.2. Lớp Schwartz là không gian vectơ.
Bổ đề 1.3.3. Tích vô hướng trong lớp Schwartz. Với mọi f, g ∈ S(R),

f, g :=

f (x)g(x)dx

(1.5)

R

Định nghĩa 1.3.4. Chuẩn trong không gian S(R) được định nghĩa:

f

2

|f (x)|2dx.

:=

(1.6)

R

Bổ đề 1.3.5 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz). Cho f, g ∈ L2 (R),

| f, g | ≤ f

2

g

2

.

1.3.2. Biến đổi Fourier trên S(R)
Bây giờ chúng ta sẽ đi qua một vài định nghĩa cơ bản và Định lý từ giải
tích Fourier cổ điển, ta sẽ tìm các tính chất tương tự trong nhóm S(R).
Định nghĩa 1.3.6. Biến đổi Fourier f : R → C (hay F[f ]) của một
hàm Schwartz với ξ ∈ R được định nghĩa

f (x)e−2πiξxdx.

f (ξ) :=

R

Bổ đề 1.3.7. Nếu f ∈ S(R) thì f (ξ) = 2πiξ f (ξ).
Định nghĩa 1.3.8 (Tích chập). Tích chập của hai hàm f và g được định
nghĩa là

(f ∗ g)(x) =

f (x − y)g(y)dy.
R


14

Bổ đề 1.3.9. Cho f, g ∈ S(R), khi đó f ∗ g(ξ) = f (ξ)g(ξ).
Định nghĩa 1.3.10. Biến đổi ngược của hàm f bởi độ đo h được định
nghĩa:

τhf (x) := f (x − h).
Định lí 1.3.11 (Biến đổi Fourier ngược). Nếu f ∈ S(R), khi đó với mọi

x ∈ R thì
f (ξ)e2πiξxdξ.

f (x) =
R

Định lí 1.3.12 (Định lý Plancherel). Nếu f ∈ (R) thì

f

2

= f

2

.


15

CHƯƠNG 2

PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN NHÓM HỮU HẠN

2.1. Không gian Hilbert trên nhóm G
Định nghĩa 2.1.1. Đặt |G| = n, với mỗi a ∈ G ta định nghĩa hàm

δa : G → C như sau:
0
δa(x) = √

,x = a
n ,x = a

Thông thường ta định nghĩa δa (a) := 1, nhưng chúng ta tạo ra

δa(a) =

√

n bởi rằng sau đó ta lại xây dựng một tích bên trong L2(G),

δas có thể tạo thành một cơ sở trực chuẩn của L2(G).
Hai bổ đề sau đây sẽ giúp chúng ta chứng minh được rằng δa s thực sự
tạo thành cơ sở trực chuẩn của L2 (G).
Bổ đề 2.1.2. Nếu f ∈ L2 (G) thì ∀x ∈ G

1
f (a)δa(x)
f (x) = √
n a∈G

(2.1)

Bổ đề 2.1.3. Các hàm {δa }a∈G là độc lập tuyến tính.
Định nghĩa 2.1.4. Cho U ⊂ G và f ∈ L2 (G), ta định nghĩa tích phân
của hàm f trên tập U như sau:

f=
U

f (a)

(2.2)

a∈U

Bổ đề 2.1.5. Các tích phân được xác định bởi phương trình (2.2) có

tính tuyến tính.
Bổ đề 2.1.6. Nếu U1 và U2 là các tập con của G thì

U1 ∪U2

f=

U1

f+

U2

Định nghĩa 2.1.7. Định nghĩa ánh xạ ., . : L2 (G) × L2 (G) → C cho

f.


16

bởi công thức

1
|G|

f, g =

fg =
G

1
f (a)g(a)
|G| a∈G

(2.3)

Bổ đề 2.1.8. Ánh xạ được định nghĩa bởi phương trình 2.3 là tích vô
hướng trong L2 (G).
Định nghĩa 2.1.9. Cho f ∈ L2 (G), chuẩn được định nghĩa

f

L2 (G)

=

1
f (a)f (a).
|G| a∈G
√
f, f khi đó f = n f .

f, f =

Hệ quả 2.1.10. Cho f =

(2.4)

Bổ đề 2.1.11. Hệ {δa }a∈G là một cơ sở trực chuẩn của L2 (G).
2.2. Phép biến đổi Fourier trên L2 (G)

Định nghĩa 2.2.1. Một đặc trưng của nhóm G là một đồng cấu nhóm

χ : G → S 1 trong đó S 1 là đường tròn đơn vị, xác định như sau:
S 1 = {z ∈ C : |z| = 1}
Định nghĩa 2.2.2. χ là một đồng cấu nhóm nếu ∀a, b ∈ G

χ(a + b) = χ(a)χ(b).
Bổ đề 2.2.3. Nhóm đối ngẫu của nhóm G được kí hiệu là G là một
nhóm xác định với phép toán hai ngôi

(χ1χ2)(a) = χ1(a)χ2(a), ∀χ1, χ2 ∈ G, a ∈ G.
Ví dụ 2.2.4. Xét hai nhóm Zn khi đó nhóm đối ngẫu có thể xác định với

Un là căn bậc n của phần tử. Cho n = 3, ta có thể tạo bảng cộng cho Z3
và bảng nhân cho U3 .
Ta có bảng cộng cho Z3 :
+
0
1
2

0
0
1
2

1
1
2
0

2
2
0
1


17

Bảng nhân cho U3 :

×

1
1

1
2πi/3

e
e2πi/3
e4πi/3 e4πi/3

e2πi/3 e4πi/3
e2πi/3 e4πi/3
e4πi/3
1
2πi/3
1
e

Ta nhận thấy cả hai bảng cấu trúc giống nhau. Thực sự vậy, Z3

U3. Ta

cùng xem đa thức đặc trưng trên từng phần tử của nhóm, ta có bảng đa
thức đặc trưng:

×
χ0
χ1
χ2

0
1
2
1
1
1
2πi/3
4πi/3
1 e
e
1 e4πi/3 e2πi/3

Bảng nhân đa thức đặc trưng của Z3 :

×
χ0
χ1

χ2

χ0
χ0
χ1
χ2

Trong ví dụ trên, ta thấy rằng G

χ1
χ1
χ2
χ0

χ2
χ2
χ0
χ1

G đây không phải là sự trùng hợp

ngẫu nhiên. Cho nhóm abel hữu hạn thì đúng là G

G. Bởi vì ta có thể

liên kết các phần tử từ G vào các phần tử trong G. Cho mọi a ∈ G, ta
có thể liên hệ a đến aχa trong G. Trong trường hợp tổng quát, không có
đẳng cấu chính tắc giữa G và G.
Bây giờ ta xét một nhóm khác, ta xẽ cần định nghĩa không gian tương tự
đến L2 (G), ta gọi là không gian L2 (G) bao gồm các hàm từ G → C.

Không gian L2 (G) là không gian đối ngẫu của L2 (G). Tương tự những gì
ta đã có với không gian L2 (G), ta có thể chỉ ra rằng L2 (G) có tích trong
không gian vectơ.
Định nghĩa 2.2.5. Tích trong L2 (G) với f , g ∈ G được định nghĩa như


18

sau:

f , g :=

f (χ)g(χ).
χ∈G

Định nghĩa 2.2.6. Chuẩn trong L2 (G) được định nghĩa:

f

L2 (G)

:=

f (χ)f (χ).
χ∈G

0 χ = χ0
n χ = χ0

thì

χ(a) =

0 a=0
n a=0

thì

χ∈G χ(a)χ(b) =

0 a=b
n a=b

thì

Bổ đề 2.2.7. Nếu χ ∈ G, khi đó

a∈G χ(a) =

n = |G|.
Bổ đề 2.2.8. Nếu a ∈ G, khi đó

χ∈G

n = |G|.
Bổ đề 2.2.9. Nếu a, b ∈ G và

n = |G|.
2.3. Biến đổi Fourier trên L2 (G)
Định nghĩa 2.3.1. Biến đổi Fourier của f ∈ L2 (G) là một hàm

f ∈ L2(G), được định nghĩa như tích vô hướng với đặc trưng của G:
1
f (χ) = f, χ =
f (a)χ(a).
(2.5)
|G| a∈G
Bổ đề 2.3.2. Biến đổi Fourier được định nghĩa bởi phương trình (2.5)
có tính tuyến tính.
Định nghĩa 2.3.3 (Phép tịnh tiến). Ta định nghĩa phép tịnh tiến với

a ∈ G của hàm f ∈ L2(G) như sau:
τaf (x) = f (x − a).

(2.6)

Bổ đề 2.3.4. Cho a ∈ G và f ∈ L2 (G), τa f (χ) = χ(a)f (χ).
Định lí 2.3.5 (Biến đổi ngược). Nếu f ∈ L2 (G) thì f =

χ∈G

f (χ)χ.


19

Ví dụ 2.3.6. Xét hàm δ ∈ G xác định bởi

1, a = 0,
0, a = 0.

δ(a) =

(2.7)

Ta có biến đổi Fourier của hàm δ như sau:

δ(χ) =

δ(a)χ(a) = χ(0) = 1
a∈G

và

δ=

1
n

χ.
χ∈G

Định lí 2.3.7 (Định lý Plancherel). Nếu f ∈ L2 (G) và |G| = n, khi đó

f

L2 (G)

= f

L2 (G)

Định nghĩa 2.3.8 (Tích chập). Cho hai hàm f, g ∈ L2 (G), ta định
nghĩa tích chập như sau:

(f g)(x) =

τ−xf (−a)g(a)

(2.8)

a∈G

Bổ đề 2.3.9. Tích chập được định nghĩa bởi phương trình 2.8 có tính
giao hoán.
Bổ đề 2.3.10. Với hai hàm bất kì f, g ∈ L2 (G) thì ta luôn có f g = f g .
Định nghĩa 2.3.11 (Sự biến thiên). Sự biến thiên của một hàm f ∈

L2(G) với a ∈ G được định nghĩa:
Mα f (x) = α(x)f (x).
Bổ đề 2.3.12. Cho f ∈ L2 (G) và α ∈ G, Mα f (ξ) = f (α−1 ξ).


20

CHƯƠNG 3

ỨNG DỤNG

3.1. Nguyên lý bất định Heisenberg

Nguyên lý bất định được biết đến rộng rãi trong cơ học lượng tử, nó
cho thấy vị trí và động lượng của một hạt không thể xác định đồng thời
điểm, trong xử lý tín hiệu nó thiết lập các giới hạn về mức độ "tần số tức
thời" của tín hiệu có thể đo được. Tuy nhiên nó cũng có các ứng dụng trong
lý thuyết về phương trình vi phân từng phần. Donoho và Stark đã chỉ ra
rằng nguyên lý bất định có thể sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác như xử
lý tín hiệu và phân tích hình ảnh.
3.1.1. Nguyên lý bất định trong R
Định lí 3.1.1 (Nguyên lý bất định Heisenberg). Giả sử rằng

ψ ∈ S(R) và ψ là chuẩn hóa trong L2(R), tức là ψ
x2|ψ(x)|2dx
R

ξ 2|ψ(ξ)|2dξ
R

= 1. Khi đó
1
.
≥
16π 2
2

3.1.2. Nguyên lý bất định trong G
Định nghĩa 3.1.2. Cho f : G → C và f được định nghĩa là

suppf = {x ∈ G|f (x) = 0}
Ta có biến đổi Fourier:

f (χ) =

f (x)χ(x)
x∈G

Định lí 3.1.3 (Nguyên lý bất định − Dạng một). Giả sử G là một nhóm
hữu hạn với nhóm đối ngẫu G. Cho f : G → C và khác 0, khi đó

|suppf ||suppf | ≥ |G|.


21

Ta dễ dàng đưa ra một ví dụ cho đẳng thức xuất hiện trong định lý
(3.1.3). Lấy f = δe , với e là phần tử đơn vị của G. Khi đó f = 1. Vì thế

suppf = {e} và suppf = G. Từ đó ta có đẳng thức trong định lý (3.1.3).
Ta xét một ví dụ cụ thể hơn, xét nhóm con H của G

f (x) = δH (x) =

1, x ∈ H,
0, x ∈
/ H.

Vì |suppf | = |H| nên ta có

f (y)χ(y) =

f (χ) =

y∈H

y∈G

|H|, χ ∈ H #,
χ(y) =
0,
χ∈
/ H #.

H # là đối ngẫu của H , được định nghĩa là
H # = {χ ∈ G|χ(h) = 1, ∀h ∈ H}
Định nghĩa 3.1.4. Giả sử f ∈ L2 (G) và T là tập con bất kì của G, B
là tập con bất kì của G. Toán tử giới hạn thời gian PT được định nghĩa bởi

PT f = f.δT .

(3.1)

Và toán tử giới hạn tần số RB f được định nghĩa bởi

RB f (x) =

1
f (χ)χ(x),
|G| χ∈B

(3.2)

với

f (χ) =

f (y)χ(y).
y∈G

Để nghiên cứu các toán tử tuyến tính Q : L2 (G) → L2 (G), chúng
ta cần biết về không gian của các toán tử, chuẩn trong không gian của ma
trận phức n × n, n = |G|
Định nghĩa 3.1.5. Cho ma trận phức A dạng n × n, chuẩn ma trận A.
Kí hiệu A có những tính chất cho ma trận n × n tùy ý A và B sau:
1) A ≥ 0;
2) A = 0 ⇔ A = 0;
3) cA = |c| A với c ∈ C;


22

4) A + B ≤ A + B ;
5) AB ≤ A

B .

Định nghĩa 3.1.6. Giả sử Q : L2 (G) → L2 (G) là toán tử tuyến tính.
Toán tử chuẩn (Kí hiệu: Q ) của Q được định nghĩa:

Qf 2
|f ∈ L2(G), f = 0 .
f 2

Định nghĩa 3.1.7. The Frobenius hay L2 chuẩn tắc, Q
Q = max

2

của Q được

định nghĩa

Q

2
2

= T r(Q ∗ Q).

Q là ma trận phức n × n, chuẩn Frobenius là căn bậc hai của tổng các giá
trị tuyệt đối từng phần. Chuẩn Frobenius còn được gọi là Hilbert-Schmidt,
Schur, hay chuẩn Euclide.
Bổ đề 3.1.8.
(i) Cho RB là kí hiệu cho toán tử "giới hạn tần số" được định nghĩa
trong (3.2). Khi đó chuẩn thỏa mãn

RB = 1.
(ii) Nếu PT là kí hiệu cho toán tử "giới hạn thời gian", khi đó

PT ≤ 1.
(iii) Với RB và PT đã được định nghĩa, ta có

PT RB = RB PT ≤ 1.

Bổ đề 3.1.9. Cho Q = RW PT là tích của toán tử giới hạn tần số và
giới hạn thời gian. Khi đó

1
Q
|G|

2

≤ Q ≤ Q

2

=

|W ||T |
.
|G|

Định lí 3.1.10 (Nguyên tắc bất định − Dạng hai). Với các định nghĩa
(3.1) và (3.2) của các toán tử giới hạn thời gian và giới hạn tần số,


23

ta có:

RW PT

2

≤

|W ||T |
.
|G|

Donoho và Stark [1989] đưa ra lưu ý rằng nguyên lý bất định có ý nghĩa
cho việc phục hồi các tần số đã mất trong tín hiệu. Cho RB là toán tử "tần
số mất", nếu đó là tín hiệu gửi đi, thì sẽ nhận lại được tín hiệu là r = RB s.
Cho W = B c = G − B là các tần số không được quan sát. Giả sử rẳng

s = PT s. Khi đó
r = RB PT s = (I − RW PT )s.

(3.3)

Định lí 3.1.11. Cho hằng số bất kì c > 1, nếu

1
|T ||W | ≤ |G|,
c
khi đó có một biến đổi ngược cho toán tử (I − RW PT ) và nó được cho
bởi chuỗi hình học

(I − RW PT )−1 =

(RW PT )k .
k≥0

Ví dụ 3.1.12. G = Z/15Z. Ta lấy T = W = {0, 5, 10(mod 15)}. Chọn

T và W như vậy thỏa mãn giả thiết của Định lý (3.1.10). Ma trận I − Q là
khả nghịch và Q = RW PT . Ta tính toán ma trận qT,W bằng cách sử dụng

1
δT (y) χ∈W χ(xy −1), x, y ∈ G
|Q|
1
2πiω(s − t)
qT,W (s, t) = δT (t)
exp
15
15
ω∈T
4πi(s − t)
1
2πi(s − t)
= δT (t) 1 + exp
+ exp
15
3
3
1
= δT (t)δS (s − t),
5
với S = {0, 3, 6, 9, 12(mod 15)}. Điều này nghĩa là ma trận Q có 15 hàng
phương trình qT,W (x, y) =

số khác không và bằng 1/5 (tất cả các hàng tương ứng với 0, 5, 10). Và ta