Một số kỹ thuật biến đổi cơ bản trong số học và ứng dụng

Dương Châu Dinh Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn
WWW.VNMATH.COM
MỘT VÀI BIẾN ĐỔI
VÀ ỨNG DỤNG ĐƠN GIẢN TRONG SỐ HỌC
Số học là một trong những bài toán khó trong các kỳ thi học sinh giỏi. Học sinh ít được tiếp cận với
dạng toán này và thường lúng túng trong quá trình tìm hướng giải quyết.
Vì thế, tôi xin trình bày với bạn đọc một vài vấn đề sơ lược sau đây.
1. Định lý (Ferma - nhỏ)
Giả sử
Za ∈
, P là số nguyên tố thoả mãn (a ; P) = 1
Khi đó
1
1
≡
−p
a
(modp)
Chứng minh:
Xét các số: a, 2a, …, (P -1)a
Giả sử tồn tại
( )
{ }
( )
J,1; 2;1, ≠−∈ ipJi
để
Jaia ≡
(modp)
( )
0≡−⇒ aJi
(modp)

0
≡−⇒
Ji
(modp), vì (a; P) = 1
PJi <−≤0
0=−⇒ Ji

⇒
Ji =
(vô lý)
Vì thế, khi chia các số a, 2a, …, (P -1)a cho P có các dư số đôi một khác nhau và khác 0.
( ) ( )
!11 2. −≡−⇒ PaPaa
(modp)
( ) ( )
!1!1
1
−≡−⇒
−
PaP
P
(modp)
1
1
≡⇒
−P
a
(modp), vì:
( )
( )

1!1; =−PP
2. Bổ đề
Cho
1,0, −=∈ niZa
i

( )
2≥n
Giả sử phương trình:
0
01
1
1
=++++
−
−
axaxax
n
n
n
(1)
có nghiệm hữu tỉ
0
x
. Khi đó
Zx ∈
0
.
Lời giải:
(1) có nghiệm

q
P
x =
0
,
( )( )
1,,0,, =>∈ qpqZqp
Z
q
p
qaqpapa
q
p
a
q
p
a
q
p
a
q
p
n
nnn
n
n
n
n
n
n

n
∈⇒
=++++⇒
=++++⇒
−−−
−
−
−
−
0
0
1
0
2
1
1
1
01
1
1
1
Giả sử trái lại rằng
1>q
, thì tồn tại số nguyên tố
a
Sao cho
( )
n
paNkkaq /
*

⇒∈=

a: nguyên tố
1),/( =⇒ qpa
;
vô lý; vì a là số nguyên tố.
Vì vậy:
Zpxq
Zq
q
∈=⇒=⇒



∈
≤<
0
1
10
(đpcm).
1
⇒
⇒



qa
pa
/
/

Dương Châu Dinh Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn
WWW.VNMATH.COM
3. Chú ý:
0;, >∈ bZba








≥
=
⇒∈
=
⇒
ba
a
N
b
a
a
ba
0
0
*

4. Ứng dụng:
Ví dụ 1. Cho

Za ∈
.
CMR
1
2
+a
không có ước nguyên tố dạng
34 +k
,
( )
Nk ∈
Giải:
34 += kP
. Số nguyên tố
( )
Nk ∈
Giả sử trái lại rằng:
01
2
≡+a
(modp)
1
12
≡⇒⇒⇒
−P
aPaPa 
(modp) , (Ferma – nhỏ)
Mặt khác:
1
2

−≡a
(modp)
1
24
−≡⇒
+k
a
(modp)
1
1
−≡⇒
−P
a
(modp)
02 ≡⇒
(modp) , mâu thuẩn
3≥P

⇒
(đpcm)
Ví dụ 2. Cho
1, >∈ nZn
thoả mãn:
n
n
13 −
CMR: n là số chẵn
Giải:
2
1

≥⇒



>
∈
n
n
Zn
. Gọi P là ước nguyên tố bé nhất của n. Do
313 ≠⇒− PP
n

( )
1313,
1
≡⇒=⇒
−P
P
(modp) (Ferma - nhỏ)
Gọi h là số nguyên dương bé nhất sao cho:
13 ≡
h
(modp)
Giả sử:
rkhn
+=

)0( hr <≤
; Ta có

131313 −≡−=−
+ rrkhn
(modp)
013 ≡−⇒
r
(modp) ; do cách chọn h nên r = 0
hn ⇒
; lập luận tương tự
( )
hP 1−
Nếu h > 1 thì h có ước nguyên tố q và
( )
qP 1−
qp
>⇒
q là ước nguyên tố của n, điều này mâu thuẩn với cách chọn p, vậy h = 1.
13
≡⇒
(modp)
02
≡⇒
(modp)
P số nguyên tố
2
=⇒
P
Vì p=2 là ước của n, nên n là số chẵn (đpcm)
Ví dụ 3.
Giải phương trình nghiệm nguyên
2

))((4 yabbxxa =−+−−

(*)
Trong đó:
Zba ∈,
và
ba
>
Giải:
Giả sử phương trình
(*)
có nghiệm nguyên
),( yx
, khi đó:
(*)

[ ][ ]
( )
121)(41)(4
2
+=−−−−⇔ ybxxa
( )
02)(41)(414 >−−=−−+−− babxxa
, do:
2
Dương Châu Dinh Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn
WWW.VNMATH.COM
1
,
0

≥−⇒



∈
>−
ba
Zba
ba
1)(4 −−⇒ xa
có dạng
( )
Nmm ∈+34

1)(4 −−⇒ xa
có ước nguyen tố dạng
34
+
k

( )
Nk ∈
Mà
( )
12
2
+y
không có ước dạng này (vô lý); (Theo VD 1)
Vậy, phương trình
(*)

không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 4. Tìm nghiệm nguyên của hệ





=+
=+
)2(32
)1(164
2
23
yzz
yx
Giải:
Giả sử hệ có nghiệm nguyên
),,( zyx
, Từ (1)
⇒
y chẵn
1
2yy =⇒
, khi đó:
( )
7
32
4
2
1

3
1
2
2
1
3
=++⇒





=+
=+
zyx
zyz
yx
( ) ( ) ( )
[ ]
3121
22
1
++−=++⇒ xxzy
x chẵn – không xảy ra.
⇒
x lẻ
( )
31
2
++⇒ x

có ước nguyên tố dạng
34
+
k

( )
Nk ∈
mà
( )
1
2
1
++ zy
không có ước dạng này (vô lý). (Theo ví dụ 1)
Vậy, hệ đã cho không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 5. Cho
{ }
1\, −∈Zba
sao cho
Z
a
b
b
a
∈
+
+
+
+
+

1
1
1
1
33
CMR:
( )
( )
11
2010
+− ba 
Giải:
Zn
a
b
b
a
Zm
a
b
b
a
∈=









+
+








+
+
∈=
+
+
+
+
+
1
1
1
1
1
1
1
1
33
33
1

1
3
+
+
⇒
b
a
và
1
1
3
+
+
a
b
là các nghiệm của phương trình
0
2
=+− nmxx

(*)
Theo bổ đề, nếu
(*)
có nghiệm hửu tỉ
0
x
thì
Zx ∈
0
( )

( )
11
1
1
3
3
++⇒∈
+
+
⇒ baZ
b
a

( )
⇒





+−
−−=−
11
111
36
6
335
62010
aa
aaa



( )
( )
11
2010
+− ba 
(đpcm)
Ví dụ 6. Cho
yx,
là các số nguyên,
1
−≠
x
và
1−≠y
3
Dương Châu Dinh Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn
WWW.VNMATH.COM
Sao cho:
1
1
1
1
44
+
−
+
+
−

x
y
y
x
là số nguyên. Chứng minh rằng
1
444
−yx
chia hết cho
1+x

( )
)2007−QG
Giải:
Lập luận tương tự trên, ta có:
Z
x
y
∈
+
−
1
1
4

)1(1
4
+−⇒ xy 
( )
( )

1111
4444444
+−+−=−⇒ xxyxyx 
(
do
( )
,11)11
44444
+−⇒−− xyyy 
và
)11
4
+− xx 
Ví dụ 7. Tìm các số
zyx ,,
nguyên dương sao cho
( )( )
1112 −−=− yxzxy
(1)
Giải:
Nzyx ∈,,
,
12 −xy
là số lẽ
( )( )
11 −−⇒ yxz
là số lẻ
yx,
⇒
là số chẵn, còn z là số lẻ

Không mất tính tổng quát, coi rằng:
yx ≥
Đặt:
1
−=
xa
;
1−= yb

(
ba,
lẻ và
)
ba ≥
PT (1) trở thành:
( )( )
*
122
1112 N
abba
zabba ∈++⇒=−++
(2)
Nếu
ba
=
thì
*
2
14
N

a
a
∈
+

*
2
2
1
4
4
N
a
a
aa
∈+=
+
⇒
1
1
*
=⇒∈⇒ aN
a

( )
1=b
Tìm được
( ) ( )
7;2;2,, =zyx
Nếu

1
≥≥
ba
* Xét:
20
19
20
1
4
2
5
2122
054 =++≤++≤⇒≥⇒≥
abba
ab
*
122
N
abba
∉++⇒
Vậy,
4<b
, b lẻ nên
{ }
3;1∈b
* Xét
*
3
1 N
a

b ∈⇒=
(do: (2))
1
>
a
do đó:
3
=
a
Tìm được
( ) ( )
5;4;2,, =zyx
* Xét
3
=
b
, từ (2)
*
3
2
3
7
N
a
∈+⇒
;
73
=⇒>
aa
Tìm được:

( ) ( )
3,8,4;; =zyx
Do vai trò
yx,
như nhau nên pt (1) có 5 nghiệm
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }
3;4;8;3;8;4;5;2;4;5;4;2;7;2;2;; ∈zyx
4
Dương Châu Dinh Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn
WWW.VNMATH.COM
Ví dụ 8. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên lớn hơn 1 có tính chất: Khi chia tích 2 số cho số thứ ba ta được
dư là 1.
Giải:
Giả sử tìm được bộ ba số
( )
cba ,,
thoả mãn điều kiện bài toán, không mất tính tổng quát, coi rằng:
cba
≤≤≤
2
(1)
,
( )
cab 1−
,
( )
abc 1−
.
( )
bca 1−

( )
*
1111
1 N
abccba
abccabcab ∈−++⇒−++⇒ 
Ta có:
)1(1
1111
1111111
2
3
*
=−++
∈−++>++≥
abccba
N
abccbacba
*
1
111
3 ≤++⇒≥
cba
a
(loại)

2
=
a
, từ đó ta suy ra:

2
1
2
111
=−+
bccb
⇒

2
3
2
2
12
−
+=
−
−
=
bb
b
c
⇒




=
==
⇒




≥>
−
)(5
5,3
2
3)2(
loaib
cb
bc
b
Tìm được
)5;3;2();;( =cba
và các hoán vị của nó
Ví dụ 9. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên
),( ba
sao cho
ab
ba
−
+
2
2
và
ba
ab
−
+
2

2
là các số nguyên.
Giải:
Do vai trò
),( ba
như nhau nên coi rằng:
ba
≤
*
)0( ≠
=
a
ba

⇒

Z
a
a
∈
−
+
1
1
⇒

{ }
3;2
1
2

∈⇒





∈
∈
−
a
Na
Z
a
Tìm được:
{ }
)3;3(),2;2(),( ∈ba
*Xét
ba <≤0
⇒

)1(
1 ba ≤+
,
2
ba <
⇒
ab
ba
−
+

2
2
*
N∈

⇒
abba −≥+
22
⇒

bababa ≥+⇒≥+−+ 10)1)((
Từ
(1)
suy ra:
Z
aa
aa
ab ∈
−−
++
⇒+=
1
)1(
1
2
2
)2(
5
Dương Châu Dinh Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn
WWW.VNMATH.COM

⇒

Z
aa
a
∈
−−
+
1
24
2
Z
aa
a
∈
−−
+
⇒
1
12
2
;
( )
12;1
2
=−− aa
Xét: a = 0
⇒
b = 1 (thoả mãn)
a = 1

⇒
b = 2 ( thoả mãn)
Xét:
*
2
1
12
2 N
aa
a
a ∈
−−
+
⇒≥

112
2
−−≥+⇒ aaa

023
2
≤−−⇒ aa
42 <≤⇒ a

⇒
{ }
3;2∈a
,
):( Nado ∈
* a = 3 (loại)

* a = 2
⇒
b = 3 (thoả mãn)
Thử lại, đi đến kết quả:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }
3;2,2;1,1;0,3;3,2;2; ∈ba
và các hoán vị của nó.
Ví dụ 10. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên
( )
cba ,,
sao cho:
cba
<<<
1
và số
( )( )( )
111 −−− cba
là ước của
1
−
abc
.
Giải:
Đặt :
pcnbma =−=−=− 1,1,1

)0( pnm <<<
*
111111
N

npmpmnpnm
A ∈+++++=
(1)
Xét:
15;43 <⇒≥≥⇒≥ Apnm
, nên
*
NA ∉
{ }
2;1∈⇒ m
Xét:
( )
*
)1(
122
3;21 N
nppn
Bpnm ∈++=⇒≥≥=
(2)
*
)2(
2
5
2 N
p
n ∈⇒=
(không xảy ra)
74
3
7

3
2
3
*
≤≤⇒∈+⇒= pN
p
n
Thử trực tiếp, chỉ có: p = 7 (thoả mãn)
Tìm được
( ) ( )
8;4;2;; =cba
*
4≥n

5≥⇒ p
1
122
<++⇒
nppn
*
NB ∉⇒
Xét
2
=
m
,
)4,3( ≥≥ pn

)1(
⇒

*
1
2
3
2
3
2
1
N
nppn
C ∈+++=
3=n

)3(
⇒
*
6
11
N
p
∈
(không xảy ra)
145
4
7
8
7
54
*

)3(
≤≤⇒∈+⇒≥⇒= pN
p
pn
Thử trực tiếp, chỉ có
14=p
thoả mãn
Tìm được
)15;5;3();;( =cba
6
*
,, Npnm
pxyz
nzxyzxy
mzyx
∈⇒





=
=++
=++
Dương Châu Dinh Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn
WWW.VNMATH.COM
*
*
)3(
10

178
5 N
p
n ∈
+
⇒=
(không xảy ra)
*
1
84
81
76 <≤⇒≥⇒≥ Cpn

*
NC ∉⇒
Thử lại, đi đến kết luận:
( ) ( ) ( ){ }
15;5;3,8;4;2;; ∈cba
Ví dụ 11 Xác định các bộ số hữu tỉ dương
( )
zyx ;;
sao cho
,zyx ++

zyx
111
++
và
xyz
là các số tự nhiên.

Giải:
Từ điều kiện của bài, ta có:
yx,⇒
và
z
là các nghiệm hữu tỉ của phương trình
0
23
=−+− pntmtt
*
,, Nzyx ∈⇒
(Theo bổ đề)
Không giảm tổng quát, coi rằng:
zyx ≤≤≤1
*
111
3 N
zyx
∈++≥⇒
{ }
3;2;1
111
∈++⇒
zyx
Xét:
13
111
===⇒=++ zyx
zyx
Xét:

⇒≤=++
xzyx
3
2
111

⇒





∈
≤≤
*
2
3
1
Nx
x

1
11
1 =+⇒=
zy
x
2
1
1
1 ==⇒

−
+=⇒ zy
y
z
Xét:
31
3
1
111
≤≤⇒≤=++ x
xzyx
2
111
2
33
=+⇒=
==⇒=
zy
x
zyx
2
4
2
−
+=⇒
y
z
( )
{ }
6;4;3

2
4/2
∈⇒



≤≤
−
y
zy
y
36 =⇒= zy
(loại)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }
6;3;2,4;4;2,2;2;1,3;3;3,1;1;1;; =zyx
và các hoán vị của nó.
7
Dương Châu Dinh Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn
WWW.VNMATH.COM
Ví dụ 12. Một tứ giác lồi có 4 cạnh là 4 số tự nhiên, sao cho tổng 3 số bất kỳ trong chúng chia hết cho
số còn lại. CMR tứ giác đó có 2 cạnh bằng nhau.
Giải: Gọi độ dài các cạnh của tứ giác là
*
,,, Ndcba ∈
Giả sử trái lại rằng:
dcba
<<<≤
1
theo điều kiện của bài.
Suy ra:

)1(
qdpcnbmadcba ====+++
(Với:
),,,,
*
mnpqNqpnm <<<∈
dcba >++

dqd 2>⇒

6,5,4,3 ≥≥≥≥⇒ mnpq
1
20
191111
<≤+++⇒
qpnm
⇒
Từ (1), suy ra:
1
1111
=+++⇒
qpnm
Vậy, điều khẳng định bài toán được chứng minh.
WWW.VNMATH.COM
5. Một số bài tập
Bài 1. Xác định các cặp số tự nhiên
);( yx
sao cho:
y
x 1+

và
x
y 1+
là các số tự nhiên.
Bài 2. Giải các phương trình nghiệm nguyên dương
a.
7
32
=− yx
b.
2
4 zyxxy =−−
Bài 3. Cho
Za
∈
. CMR
1
2
++ aa
không có ước nguyên tố dạng
23
+
k

Bài 4. Tìm các số nguyên tố p sao hệ sau có nghiệm nguyên dương






+=
+=
12
12
22
2
py
px
Bài 5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
xyzzyx =++
Bài 6. Xác định các bộ ba số nguyên dương
( )
zyx ;;
sao cho
zyx
111
++
là số tự nhiên
Bài 7. Xác định các cặp số nguyên dương
( )
yx;
thoả mãn
1
3
−
+
xy
xx
là số tự nhiên.
Bài 8. Ví dụ 3: Cho p=4k+3

)( Nk ∈
là số nguyên tố. CMR
Zyx ∈∀ ,
thoả mãn:
pyx 
22
+
thì
px
và
py
Vậy, điều khẳng định bài toán được chứng minh.
Bài 9. Tìm tất cả các bộ số nguyên dương
( )
cbazyx ;;;;;
thoả mãn hệ Phương trình:



=++
=++
abczyx
xyzcba
8
mâu thuẫn
Dương Châu Dinh Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn
WWW.VNMATH.COM
Bài 10. Giả sử
*
, Nba ∈

sao cho
( )
*
3
13
N
a
a
b
∈
++
CMR
( )
a
a
b
3
13 ++
là một số lẻ.
Bài 11. Cho dãy số
( )
( )
*
, Nna
n
∈
được xác định bởi:
90,38;0
321
−=== aaa

và
3,3019
211
≥∀−=
−−+
naaa
nnn
CMR
2011
a
chia hết cho 2011.
Bài 12. Chứng minh rằng nếu p là ước nguyên tố của
12
2
+
n
( )
2≥n
Thì
1−p
chia hết cho
2
2
+n
.
* TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Tạp chí toán học & Tuổi trẻ
- Tài liệu tập huấn (Phát triển chuyên môn GV trường THPT Chuyên).
9