Bài tập trắc nghiệm quan hệ vuông góc trong không gian có lời giải và đáp án
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.85 MB, 131 trang )
www.thuvienhoclieu.com
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
Cho các véc tơ tùy ý
r rr
a , b, c
k,l ∈ ¡
và
.
1. Cộng véc tơ:
Lấy điểm
O
uuu
r r uuur r
OA = a, AB = b,
tùy ý trong không gian, vẽ
Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm
2. Trừ véc tơ:
M , N,K
thì
bất kỳ thì
uuu
r r r
OB = a + b
uuuu
r uuuu
r uuur
MN = MK + KN
r r r
r
a − b = a + ( −b )
uuuu
r uuur uuuur
MN = KN − KM
Quy tắc ba điểm:
.
Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành
ABCD
ABCD. A′B′C ′D′
Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp
ta có:
ta có
uuur uuu
r uuur
AC = AB + AD
.
uuuu
r uuu
r uuur uuuu
r
AC ′ = AB + AD + AA′
.
3. Tích véc tơ:
Tích của véc tơ
r
a
với một số thực
+) Cùng hướng với
r
a
+) Ngược hướng với
nếu
r
a
k >0
nếu
k
là một véc tơ. Kí hiệu là
r
k .a
.
k <0
.
r
r
k .a = k . a
+)
Hệ quả: Nếu
.
I
là trung điểm của
A, B , O
tùy ý thì
uuu
r uuu
r
uur
OA + OB = 2OI
.
4. Tích vô hướng của hai véc tơ.
www.thuvienhoclieu.com
Trang 1
www.thuvienhoclieu.com
rr r r
r r
a.b = a . b .cos a, b
( )
+) Định nghĩa:
+) Hệ quả:
r r
rr
a ⊥ b ⇔ a.b = 0
.
.
r2 r r r 2
a = a.a = a
+)
.
+) Với ba điểm
A, B, C
AB. AC =
ta có
+) Quy tắc hình chiếu: Cho hai véc tơ
thẳng chứa
r
b
thì:
r r ur r
a.b = a′.b
5. Định nghĩa: Ba véc tơ
mặt phẳng.
AB 2 + AC 2 − BC 2
2
r r
a, b
. Gọi
ur
a′
.
là hình chiếu vuông góc của
r
a
trên đường
.
r rr
a , b, c
gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm trên một
6. Các định lý:
a) Cho
duy nhất).
r r
a, b
không cùng phương:
b) Nếu ba véc tơ
r
r
r
r
x = ma + nb + kc
với
r rr
a, b, c
m, n, k
r rr
a, b, c
đồng phẳng
r
r
r
⇔ ∃m, n ∈ ¡ : c = ma + nb
không đồng phẳng thì mọi véc tơ
r
x
( với
m, n
xác định
đều được biểu diễn dưới dạng:
xác định duy nhất.
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN.
5
Cho tứ diện đều
Đặt
ABCD M
G
BCD
AB
,
là trung điểm của cạnh
và
là trộng tâm cảu tam giác
.
uuur r uuur r uuur ur
AB = b, AC = c, AD = d
. Phân tích véc tơ
uuuu
r
MG
theo
ur r r
d , b, c
www.thuvienhoclieu.com
.
Trang 2
A.
C.
uuuu
r
1 r 1 r 1 ur
MG = − b + c + d
6
3
3
uuuu
r
1 r 1 r 1 ur
MG = − b − c + d
6
3
3
www.thuvienhoclieu.com
.
B.
.
D.
uuuu
r 1 r 1 r 1 ur
MG = b + c + d
6
3
3
.
uuuu
r
1 r 1 r 1 ur
MG = − b − c − d
6
3
3
.
Lời giải
Đáp án A
uuuu
r 1 uuur uuuu
r uuuu
r 1 1 uuu
r 1 uuur uuur 1 uuur uuur
MG = MB + MC + MD = . AB + MA + AC + MA + AD
3
3 2
3
3
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
1
2
1
1
1
2 1
1 uuur 1 uuur
= AB + MA + AC + AD = AB + . − AB ÷+ AC + AD
6
3
3
3
6
3 2
3
3
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
r
r
u
r
1
1
1
1
1
1
= − AB + AC + AD = − b + c + d
6
3
3
6
3
3
(
6
Cho tứ diện đều
sau đây sai?.
)
(
)
ABCD M
N
CD
AB
,
và theo thứ tự là trung điểm của cạnh
và
. Mệnh đề nào
uuuu
r 1 uuur uuur
MN = AD + BC
2
B. uuuur uuuur uuuur . r
MC + MD − 4MN = 0
(
uuur uuur uuur uuur
AC + BD = AD + BC
A. uuur uuur uuur uuur .
C.
) (
uuuur
AC + BD + AD + BC = −4 NM
.
D.
)
.
Lời giải:
Đáp án D
www.thuvienhoclieu.com
Trang 3
www.thuvienhoclieu.com
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
AC + BD = AD + DC + BC + CD = AD + BC
A.Đúng vì:
(
) (
)
.
uuur uuur uuuu
r uuuu
r uuur
uuuu
r uuuu
r uuur
AC + BD = AM + MN + ND + BM + MN + NC
(
B. Đúng vì:
) (
)
uuuu
r uuuu
r uuuu
r
uuur uuur
uuuu
r
= 2MN + AM + BM + ND + NC = 2 MN
(
) (
)
uuur uuur uuur uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuu
r uuur
uuuur
AC + BD + AD + BC = 2 AN + 2 BN = 2 AN + BN = −2 NA + NB = −4 NM
(
C.Đúng vì:
Vậy D sai
7
Cho tứ diện đều
1
2
A.
ABCD
có tam giác
.
0
B.
BCD
đều,
)
AD = AC
−
.
C.
1
2
(
)
.
uuur uuur
cos AB, CD
. Giá tri của
.
(
D.
3
2
)
là:
.
Lời giải:
Đáp án B
Gọi
N
là trung điểm của
AN ⊥ CD
CD
. Tam giác đều
BCD
nên
BN ⊥ CD
. Tam giác
ACD
cân tại
A
nên
ta có:
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
AB.CD
AB.CD = AN + NB .CD = AN .CD + NB.CD = 0 ⇒ cos AB , CD = uuur uuur = 0
AB . CD
(
)
(
)
.
8
Cho tứ diện đều
A.
a2 − c2
b2
.
ABCD
có
B.
AB = CD = a; BC = AD = b; CA = BD = c
b2 − c 2
a2
.
C.
c2 − a2
b2
.
uuur uuur
cos BC , DA
(
. Giá trị của
D.
a 2 − b2
c2
.
Lời giải
Chọn A
www.thuvienhoclieu.com
Trang 4
)
là:
www.thuvienhoclieu.com
uuur uuur uuur uuur uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuu
r
BC.DA = BC DC + CA = CB.CD − CB.CA
(
)
1
1
CB 2 + CD2 − BD2 ) − ( CB 2 + CA2 − AB 2 )
(
2
2
1
1
= ( AB 2 + CD 2 − BD2 − CA2 ) = ( 2a2 − 2c2 ) = a2 − c 2
2
2
=
uuur uuur
a2 − c2
a 2 − c2
cos BC , DA = uuur uuur =
.
b2
BC . DA
(
)
Vậy
9
( a)
ABCD
S
Trong mặt phẳng
cho tứ giác
và một điểm
tùy ý. Mệnh đề nào
sau đây đúng?
uuur uuur uuur uuur
AC + BD = AB + CD
A.
uur uuu
r uur uuur .
SA + SC = SB + CD
S
B.
(Với
là điểm tùy ý).
uur uuu
r uur uuu
r
S
ABCD
SA + SC = SB + SD
C. Nếu tồn tại điểm
mà
thì
là hình bình hành.
uuu
r uuur uuur uuur r
OA + OB + OC + OD = 0
O
AC
BD
D.
khi và chỉ khi
là giao điểm của
và
.
Lời giải
Đáp án C
A. Sai vì
uuur uuur uuu
r uuur
uuur uuur uuur uuur r
AC + BD = AB + CD ⇔ AC − AB + DC − DB = 0 ⇔ B ≡ C
B. Sai vì: Gọi
O
uur uuu
r
uuu
r
SA + SC = 2 SO
và
và
O'
theo thứ tự là trung điểm của
uu
uu
rr uuur
uur uuu
r
uuur
u
u
SB + SD = 2 SO ' ⇔ SO = SO ' ⇔ O ≡ O '
AC
và
(Vô lí)
BD
. Ta có
điều này không đúng nếu
ABCD
không phải là hình bình hành.
C. Đúng – Chứng minh tương tự như ý B.
10
Cho hình hộp
ABCD. A ' B ' C ' D '
. Gọi
M
là trung điểm của
AA '
,
O
là tâm của
ABCD
hình
bình
hành
. Cặp ba vecto nào sau
đây
đồng phẳng?
uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r
uuuur
uuuuur
MO, AB
MO, AB
B 'C
A' D '
A. uuuu
và
.
B.
và
.
r uuuur
uuuu
r uuuur
uuuur
uuuuu
r
MO, DC '
MO, A ' D
B 'C
B 'C '
C.
và
.
D.
và
.
Lời giải
Đáp án A
www.thuvienhoclieu.com
Trang 5
www.thuvienhoclieu.com
Cách 1: Ta có
phẳng
MO // ( CDA ' B ' ) ; AB / / A ' B ' ⇒ AB // ( CDA ' B ' ) , B ' C '
( CDA ' B ')
uuuu
r uuu
r uuur
MO, AB, BC
nên các vecto
nằm trên mặt phẳng
( CDA ' B ')
nằm trong mặt
dồng phẳng vì có giá song song hay
.
uuuu
r
r uuuur
r uuuuu
r
r 1 uuuur
1
1 uuuuu
1 uuuuu
1 uuu
MO =
= A ' B ' + B ' C = A ' B ' + B ' C ' = AB + B ' C
A 'C 2
2
2
2
Cách 2: Ta có
.
uuuu
r uuu
r uuur
MO, AB, BC
(
Vậy các vecto
11
)
(
)
đồng phẳng.
ABCD. M
N
CD
AB
Cho tứ diện
và
theo thứ tự là trung điểm của
và
. Bộ ba
vecto nào dưới đây đồng phẳng?
uuur uuur uuur
uuur uuur uuuu
r
BC , BD, AD.
AC ; AD; MN .
A.
B.
uuur uuur uuuu
r
uuur uuur uuur
BC ; AD; MN .
AC ; DC ; MA.
C.
D.
Lời giải
Đáp án C
www.thuvienhoclieu.com
Trang 6
www.thuvienhoclieu.com
uuur uuuu
r uuuu
r uuur
AD = AM + MN + ND
uuur uuuu
r uuuu
r uuur
BC = BM + MN + NC
uuur uuur
uuuu
r uuuu
r 1 uuur 1 uuur
⇒ AD + BC = 2 MN ⇒ MN = AD + BC
2
2
uuur uuur uuuu
r
BC ; AD; MN .
Vậy ba vecto
12
đồng phẳng.
AB
MB = 2 MA N
là điểm trên đoạn
và
.
là điểm trên
uuuu
r uuur uuur
uuur
uuur
MN , AD, BC
CD
CN = kCD
đường thẳng
mà
. Nếu
đồng phẳng thì giá trị của
k
là:
2
3
4
1
k=
k=
k=
k=
3
2
3
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Cho tứ diện
ABCD. M
Đáp án A
Qua
M
vẽ mặt phẳng
song với
(α )
N
tại
cắt
AD
AC
. Ta có
và
tại
BC
song hay nằm trong mặt phẳng
Ta có
13
uuur 2 uuur
CN = CD
3
Cho hình hộp
k=
. Vậy
2
3
Q
P BD
,
tại
Tính
.
CD
có giá song
nên đồng phẳng.
uuuu
r 1 uuur
AM = AD.
N
2
ABCD. A1 B1C1 D1 M
AD
.
là điểm trên cạnh
sao cho
BD1
và
MP //PN //AD
.
uuuu
r uuur uuur
MN , AD, BC
.
là điểm trên đường thẳng
M , N, P
thẳng hàng.
uuuu
r
MN
uuur
NP
song
.
Các vecto
(α)
(α)
P
là điểm trên đường thẳng
CC1
sao cho
.
www.thuvienhoclieu.com
Trang 7
www.thuvienhoclieu.com
A.
1
3
.
B.
2
3
.
C.
Lời giải
1
2
.
D.
3
4
.
Đáp án B
uuur r uuur r uuur r
AB = a, AD = b, AA1 = c
Đặt
và
uuur
uuuu
r uuu
r
uuuu
r
r
BN = xBD1 ; CP = yCC1 = yc
.
STUDYTIP
uuuu
r uuur
MN , NP
Ta biểu thi hai vecto
theo các
r r r
a, b, c
vecto
M , N, P
Ba điểm
Ta có:
thẳng hàng nên
uuuu
r
uuur
MN = α .NP ( 1)
uuuu
r uuur uuur uuur
MN = MA + AB + BN
.
uuuu
r
uuu
r uuur uuur
1r r
1r r
= − b + a + xBD1 = − b + a + x BA + BC + BB1
3
3
r r r
r
1r r
1r r
= − b + a + x −a + b + c = ( 1 − x ) a + x − ÷b + xc ( 2 )
3
3
(
(
)
)
Ta lại có:
uuur uuur uuur uuu
r
uuuu
r r
r
r r r r
r
NP = NB + BC + CP = − xBD1 + b + yc = − x b − a + c + b + yc
uuur
r
r
r
⇒ NP = xa + ( 1 − x ) b + ( y − x ) c ( 3)
(
)
Thay (2), (3) vào (1) ta được:
1 − x = α x
1
x − = α ( 1− x)
3
x = α ( y − x )
uuuu
r
MN 2
uuur =
NP 3
Vậy
. Giải hệ ta được
2
3
3
α = ,x = ,y =
3
5
2
.
.
www.thuvienhoclieu.com
Trang 8
www.thuvienhoclieu.com
14
111Equation Chapter 1 Section 1Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, CB, AD và G là trọng tâm tam giác BCD,
uuur
NP
A.
. Khi đó
cos α
α
là góc giữa 2 vectơ
có giá trị là:
2
2
B.
2
3
C.
2
6
D.
1
2
Đáp án: C
Lời giải:
uuu
r
uuur
uuur
AB = a; AC = b; AD = c;
Đặt
uuur 1 r r r
uuuu
r uuur uuuu
r 1 r
r
r
⇒ AG = ( a + b + c) ⇒ MG = AG − AM = (−a + 2b + 2c )
3
6
uuur uuur uuu
r 1 r r r
PN = AN − AP = (a + b − c)
2
Không mất tính tổng quát, giả sử độ dài các cạnh của tứ diện đều bằng 1
rr rr rr
r r r
1
0
⇒ a = b = c = 1 a.b = b.c = c.a = 1.1.c os60 =
2
và
uuuu
r uuur
uuuu
r uuur
MG.PN
⇒ cosα = cos( MG , PN ) = uuuu
(*)
r uuur
MG . PN
uuuu
r uuur 1 r
r
r r r r
⇒ MG.PN = ( − a + 2b + 2c)( a + b − c)
12
Ta có:
r2
rr
rr
rr r 2
1 r 2 r r rr uurr
1
= (− a − ab + ac + 2ab + 2b − 2bc + 2ac + 2bc − 2c ) =
12
12
uuuu
r 1
r
r
r
1 uuur 1 r r r 2
2
MG =
(−a + 2b + 2c) 2 = ; PN =
( a + b − c) =
6
2
2
2
Thay vào (*) ta được
1
1
2
⇒ cosα == 12 =
=
. (*)
6
1 2 3 2
.
2 2
C.Bài tập rèn luyện kỹ năng
www.thuvienhoclieu.com
Trang 9
uuuu
r
MG
và
www.thuvienhoclieu.com
Câu 1:
ABCD. A1 B1C1 D1
Cho
là hình hộp, với K là trung điểm CC 1. Tìm khẳng định đúng trong các
khẳng định sau:
uuur uuu
r uuur 1 uuur
uuur uuu
r uuur uuur
AK = AB + AD + AA1
AK = AB + BC + AA1
2
A.
B.
uuur uuur 1 uuur 1 uuur
uuur uuu
r uuur uuur
AK = AB + AD + AA1
AK = AB + AD + AA1
2
2
C.
D.
Hướng dẫn giải
uuur uuur uuur uuu
r uuur 1 uuur uuu
r uuur 1 uuur
AK = AC + CK = ( AB + AD) + AA1 = AB + AD + AA1
2
2
Có
B
A
C
D
K
A1
B1
C1
D1
Chọn A
Câu 2:
ABCD. A1B1C1 D1
M = CD1 ∩ C1 D
Cho hình hộp
với
. Khi đó:
uuuu
r 1 uuu
r 1 uuur 1 uuur
uuuu
r 1 uuu
r uuur 1 uuur
AM = AB + AD + AA1
AM = AB + AD + AA1
2
2
2
2
2
A.
B.
uuuu
r uuu
r uuur 1 uuur
uuuu
r 1 uuu
r 1 uuur uuur
AM = AB + AD + AA1
AM = AB + AD + AA1
2
2
2
C.
D.
Hướng dẫn giải
( hính vẽ câu 1)
uuuu
r uuur uuuur uuur uuuur
r 1 uuur
1 uuur uuuur uuur 1 uuu
AM = AD + DM = AD + DC1 = AD + ( DC + DD1 ) = AD + AB + AA1
2
2
2
Ta có:
Chọn B
Câu 3:
Cho hình hộp
A. 1800
uuuur uuuur
uuuu
r uuuur
uuuur uuuur
( D1 A1 , C C1 ) + (C1 B, DD1 ) + ( DC1 , A1 B)
ABCD. A1B1C1 D1
. Khi đó: tổng 3 góc
B. 2900
C.3600
0
D. 315
Hướng dẫn giải
www.thuvienhoclieu.com
Trang 10
là:
www.thuvienhoclieu.com
B
A
C
D
K
A1
B1
C1
D1
Ta có:
uuuur uuuur
( D1 A1 , C C1 ) = 900
uuuu
r uuuur
uuuu
r uuuu
r
(C1 B, DD1 ) = (C1 B, CC1 ) = 1350
uuuur uuuur
uuuur uuuu
r
( DC1 , A1 B) = ( DC1 , D1C ) = 900
uuuur uuuur
uuuu
r uuuur
uuuur uuuur
⇒ ( D1 A1 , C C1 ) + (C1 B, DD1 ) + ( DC1 , A1 B) = 90 0 + 1350 + 90 0 = 3150
Chọn D
Câu 4:
ABCD. A1 B1C1 D1
Cho hình lập phương
α+β+γ
Khi đó: là
:
A. 3600
B. 3750
, đặt
uuur uuuur
uuuu
r uuuu
r
uuur uuuu
r
α = ( AC , DC1 ); β = ( DA1 , BB1 ); γ = ( AA1 , C1C )
C. 3150
Hướng dẫn giải
D. 2750
( hình câu 3)
uuur uuuur
uuur uuuu
r
α = ( AC , DC1 ) = ( AC , AB1 ) = 600
uuuu
r uuuu
r
uuuu
r uuuur
β = ( DA1 , BB1 ) = ( DA1 , A1 A) = 1350
uuur uuuu
r
uuur uuur
γ = ( AA1 , C1C ) = ( AA1 , A1 A) = 1800
⇒ α + β + γ = 600 + 1350 + 1800 = 3750
Chọn B
Câu 5:
Cho
S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB=6; AD=4;
uuu
r hình
uur chóp
2
( SC. − SA) .
A. 76
B. 28
C. 52
Hướng dẫn giải
www.thuvienhoclieu.com
uuur uuur
AB. AD = 12
D. 40
Trang 11
. Tính
www.thuvienhoclieu.com
S
A
6
B
4
D
4
7.42 cm
C
uuu
r uur
uuur2
uuu
r uuur
uuu
r 2 uuur 2
uuu
r uuur
( SC. − SA) 2 . = AC = ( AB + AD) = AB + AD + 2 AB. AD
= 62 + 42 + 2(−12) = 28
Chọn B
Câu 6:
Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Ba vectơ đồng phẳng là 3 vec tơ cùng nằm trong một mặt phẳng
r r r
r
r
r
a, b, c
c = ma + n b,
B. Ba vectơ
đồng phẳng thì có
với m, n là các số duy nhất
ur
r
r
r
ur
d = ma + n b + pc
d
C. Ba vectơ đồng phẳng khi có
với là vec tơ bất kỳ
D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai
Hướng dẫn giải
-Phương án A: sai vi chỉ cần giá của chúng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng nào đó
r r
a, b
Phương án B: Sai
phải không cùng phương.
Phương án C sai
Vậy chọn D
Chọn D
Câu 7:
Cho hình tứ diện ABCD, trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây sai?
uuur 1 uuu
r uuu
r uuur
uuu
r uuu
r uuur r
OG = (OA + OB + OC )
GA + GB + GC = 0
4
A.
B.
uuur 2 uuu
r uuur uuur
uuur 1 uuu
r uuur uuur
AG = ( AB + AC + AD )
AG = ( AB + AC + AD )
3
4
C.
D.
Hướng dẫn giải
www.thuvienhoclieu.com
Trang 12
www.thuvienhoclieu.com
A
M
G
D
B
N
C
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD
uuuu
r uuur r
⇒
⇒ GM + GN = 0
G là trung điểm của MN
uuu
r uuu
r uuur r
⇔ GA + GB + GC = 0 ⇒
B đúng
uuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur
OA + OB + OC + OD = OG + GA + OG + GB + OG + GC + OG + GD
Ta có:
uuur uuu
r uuur uuur uuur
uuur
= 4OG + (GA + GB + GC + GD ) = 4OG ⇒
A đúng
Khi O trùng A thì D đúng vậy đáp án là C.
Chọn C
Câu 8:
Câu 9
:
r r r
a , b, c
Cho ba vectơ
không đồng phẳng xét các vectơ
Chọn mênh đề
trong các mệnh đề sau:
u
r đúng
s
y, z
A.Hai vec tơ r su cùng phương
x, y
B. Hai vec tơr s cùng phương
x, z
C.Hai vec tơ r u
phương
r cùng
s
x, y , z
D.Hai vec tơ
đồng phẳng
Hướng dẫn giải
u
r
r
r ur
y = −2 x
x, y
Ta thấy
nên
cùng phương.
Chọn B
Cho hình lập phương
uuu
r uuuur uuuur
uuuu
r
AB + B1C1 + DD1 = k AC1 )
A.k=4
ABCD. A1 B1C1 D1
B. k=1
,
Tìm
C. k=0
Hướng dẫn giải
www.thuvienhoclieu.com
r
r r u
r
r
r r
r
r
x = 2a − b; y = −4a + 2b; z = −3a − 2c
giá
trị
của
k
thích
hợp
D. k=2
Trang 13
để
www.thuvienhoclieu.com
A1
D1
B1
C1
B
A
C
D
uuuur uuuur uuu
r uuur uuuu
r uuuu
r
AB
u
uu
r + B1C1 + DD1 = AB + BC + CC1 = AC1 ⇒ k = 1
Có
Chọn B
ABC. A1 B1C1
Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác
đẳng thức sau đẳng thức nào đúng.
r r r ur r
a+b+c+d = 0
A.
r r ur r
b−c+d =0
C.
. Đặt
uuuur
uuur
uuur
uuuu
r
AA1 = a; AB = b; AC = c; BC1 = d
trong các
r r r ur
a+b+c = d
B.
r r r
a =b+c
D.
Hướng dẫn giải
C
A
B1
B
1
B
C1
A1
B1
Ta có:
Chọn C
r r u
r uuu
r uuur uuur uuu
r uuur r
b − c + d = AB − AC + BC = CB + BC = 0
www.thuvienhoclieu.com
Trang 14
www.thuvienhoclieu.com
Câu 11: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
A.Nếu giá của bar vectơ
r r cắt nhau từngr đôi một thì 3 vectơ đồng phẳng
a , b, c
0
B.Nếu ba vectơ
córmột
vec
tơ
thì ba vectơ đồng phẳng
r r
a , b, c
C.Nếu giá của ba vectơr r r
cùng song song với một mật phẳng thì ba vec tơ đó đồng phẳng
a , b, c
D.Nếu trong ba vectơ
có ha vec tơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng
Hướng dẫn giải
Chọn A
ABCD. A1 B1C1 D1
Câu 12: Cho
là hình hộp, trong các khẳng định
sau khẳng định
sai:
uuuu
r uuuu
r
uuur
uuuu
r uuur
uuuu
r r
AC1 + A1C = 2 AC
AC1 + CA1 + 2CC1 = 0
A. uuuu
B. uuur uuur uuuu
r uuuu
r uuur
r
AC1 + A1C = AA1
CA1 + AC = CC1
C.
D.
Hướng dẫn giải
A
D
B
C
A1
D1
B1
C1
uuuu
r uuuu
r uuuur uuuu
r uuuur uuuu
r
uuuu
r uuuur
AC1 + A1C = AA1 AC1 = AA1 − AC1 ⇔ A1C = C1 A1
Ta có:
Chọn C
Câu 13: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
uuur uuur uuur uuur r
AB + BC + CD + DA = 0
A.Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu
uuur uuur
AB = CD
B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu
uur uuu
r uur uuu
r
SB + SD = SA + SC
C. Cho hình chóp S.ABCD, nếu có
uuur uuur uuur thì tứ giác ABCD là hình bình hành
AB + AC = AD
D.Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu
Hướng dẫn giải
Chọn C
www.thuvienhoclieu.com
Trang 15
www.thuvienhoclieu.com
'
'
ABCD. A B C ' D '
Câu 14: Cho hình hộp
Gọi I, K lần lượt là tâm của các hình bình hành
' '
BCC B
. Khẳng định nào sau đây là sai?
A.Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng
uur 1 uuur 1 uu'uur'
IK = AC = A C
2
2
B.
uuur uur uuuuu
r
BD, IK , B ' C '
C.Bà vec tơ
không đồng phẳng
A
D.
uuur uur
uuur
BD + 2 IK = 2 BC
ABB ' A'
và
B
Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu 15: Cho tứ diện
C ABCD. Trên các cạnh AC, BD lần lượt lấy M, Nsao cho AM=3MD; BN=3NC. Gọi
P,Q lần lượt làuutrung
ur uuurđiểm
uuuu
rcủa AD, BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
BD, AC , MN
A.Các vec tơ uuuu
A1
r uuurB1
uuur không đồng phẳng
MN , DC , PQ
B. Các vec tơ uuu
r uuur uuur đồng phẳng
AB, DC , PQ
C. Các vec tơ uuur uuur uuuu
r đồng phẳng
C1 AC , DC , MN
D. Các vec tơ
đồng phẳng
Hướng dẫn giải
A
P
M
E
B
F
Q
N
D
C
Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AE=3EC, lấy F trên BD sao cho BF=3FD
www.thuvienhoclieu.com
Trang 16
www.thuvienhoclieu.com
1
NE / / AB, NE = 3 AB
⇒ NE / / MF , NE / / MF
1
MF / / AB, MF = AB
3
uuu
r uuur uuuu
r
BA, DC , MN
⇒
NEMF là hình bình hành và 3 vec tơ
có giá song song hoặc nằm trên mặt
uuu
r uuur uuuu
r
⇒ BA, DC , MN
phẳng (MFNE)
đồng phẳng
uuur uuur uuuu
r
⇒ BD, AC , MN
không đồng phẳng.
Chon A
Câu 16. Cho tứ diện ABCD có các cạnh đầu bằng A. Hãy chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
uuu
r uuur a 2 3
uuur uuur uuur uuur r
AB. AC =
AD + CD + BC + DA = 0
2
A.
B.
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
AC. AD = AC.CD
AD.CD = 0
C.
D.
Hướng dẫn giải
( sử dụng hình câu 7)
Phương án A:
uuur uuur uuur uuu
r
uuur uuu
r
uuur uuur
r uuur r
AD + CD + BC + DA = ( AD + DA) + ( BC + CD) = 0 + BD ≠ 0 ⇒ A
sai
uuu
r uuur
a
AB. AC = a.a.c os60 0 =
⇒B
2
2
Phương án B:
Phương án B
Chọn D
sai
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur 2
AC. AD = AC.CD ⇔ AC ( AD + DC ) = 0 ⇔ AC = 0 ⇒ C
sai
ABCD. A1 B1C1 D1
Câu 17: Cho hình lập phương
. Gọi M là trung điểm của AD.Chọn khẳng định đúng:
uuuur uuuu
r uuuuur 1 uuuur
uuuur uuur uuuuu
r uuuur
C1 M = C1C + C1 D 1 + C1 B1
B1 M = B1 B + B1 A 1 + B1C1
2
A.
B.
uuuur uuuu
r 1 uuuuur 1 uuuur
uuur uuuur uuuuu
r
uuuu
r
C1 M = C1C + C1 D 1 + C1 B1
BB1 + B1 A1 + B1C 1 = 2 B1 D
2
2
C.
D.
Hướng dẫn giải
www.thuvienhoclieu.com
Trang 17
A
B
www.thuvienhoclieu.com
D
A
C
A1
a
B1
B
a
M
C1
D1
D
C
A1
B1
A
C1
D1
Ta có
Chọn B
uuuur uuuuu
r uuuur uuuur uuuuu
r uuuu
r 1 uuuur
C1 M = C1 D1 + D1 D + DM = C1 D1 + C1C + C1 B1
2
P
M
uuu
r uuu
r uuur r
GA + GB + GC = 0
E
Câu 18: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa
(G
O là
A là trọng tâmBcủa tứ diện). Gọi F
giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD) . Trong các khẳng định sau, khẳng địnhQnào sai?
uuur
uuur
GA = −2OG
A.
uuur uuur
GA = 3OG
uuur
uuur
GA = 4OG
B.
uuur
uuur
GA = 2OG
C.
N
D.
P
M
A
E
B
D
F
Q
C
C
N
N
G
B
M
Hướng dẫn giải
O
H
D
C
A
Gọi M, N là trung điểm của BC, AD
⇒
⇒
G là trung điểm MN. Gọi H là hình chiếu của N lên MD
NH là đường trung bình của
∆AOD
∆MNH
và OG là đường trung bình của
N
1
1 1
1
1
⇒ OG = NH = . AO ⇒ OG = NH
G = . AO
2
2 2B
2
4
uuu
r
uuur
hay GA = 3OG
D
Chọn C
M
O
H
C
www.thuvienhoclieu.com
Trang 18
D
A
www.thuvienhoclieu.com
Câu 19: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, Nlaafn
lượt là trung điểm của AD, BC. Trong ccs khẳng định sau,
N
khẳng định nào
uuu
rsai?
uuur uuuu
rG
BAB, DC , MN
D
H
A.Các vec tơ uuuu
rM uuu
r uuurOđồng phẳng
C
MN , AB, AC
B. Các vec tơ uuur uuuu
r uuuu
r không đồng phẳng
AN , CM , MN
C. Các vec tơ uuur uuur uuuu
r đồng phẳng
AC , BD, MN
D. Các vec tơ
đồng phẳng
Hướng dẫn giải
A
M
P
B
D
Q
N
C
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm AC, BD
uuu
r uuur uuuu
r
AB
u
uu
r, DC , MN
⇒
Ba vec tơ
có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (MNPQ) nên 3 véc tơ
⇒
này đồng phẳng
A đúng
uuu
r uuur uuuu
r
AB
u
uu
r, AC , MN
⇒
Ba vec tơ
không đồng phẳng
B đúng
uuur uuuu
r uuuu
r
AN
u
uur, CM , MN
⇒
Ba vec tơ
có giá không thể song song với mặt phẳng nào
C sai
Chọn C
Câu 20: Cho hình lập phương
A.
C.
ABCD. A' B 'C ' D '
uuuur uuuu
r
AD '.CC ' = − a 2
uuuur uuuu
r
AD '. AB ' = a 2
B.
uuur
AC = a 3
uuuur uuuur
AB '.CD ' = 0
A
, có cạnh A.Hãy tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
D.
Hướng dẫn giải
a
B
a
D
C
A'
B'
www.thuvienhoclieu.com
D'
C'
Trang 19
N
G
www.thuvienhoclieu.com
uuuur uuuu
r uuuur uuuur uuuur uuuur
AD '.CC ' = AD '.AA ' = AD ' . AA ' cos450 = a 2
D
Xết phương án A có:
H
O
Chọn A
M
Câu 21: Trong không gian
C cho hai tia Ax, By chéo nhau sao cho AB vuông góc với cả hai tia đó. Các
điểm M, N lần lượt thay đổi trên Ax, By sao cho độ dài đoạn MN luôn bằng giá trị c không đổi
ϕ
≥
(c AB). Gọi
là góc giữa Ax, By. Giá trị lơn nhất của AM, BN
2
2
c − AB
c 2 − AB 2
2(1 − cosϕ )
2(1 + cosϕ )
A.
B.
c 2 + AB 2
c 2 + AB 2
2(1 − cosϕ )
2(1 + cosϕ )
C.
D.
Hướng dẫn giải
B
x
M
A
B
N
y
uuuu
r2
uuur uuu
r uuur
c 2 = MN 2 = MN = ( MA + AB + BN ) 2
Ta có:
uuuu
r uuur
= AM 2 + AB 2 + BN 2 − 2 AM .BN == AM 2 + AB 2 + BN 2 − 2 AM .BN .c osϕ
≥ AB 2 + 2 AM .BN .(1 − cosϕ )
⇒ AM .BN . ≤
c 2 − AB 2
2(1 − cosϕ )
Vậy biểu thức AM.BN đạt giá trị lớn nhất bằng
c 2 − AB 2
2(1 − cosϕ )
Chọn A
www.thuvienhoclieu.com
Trang 20
www.thuvienhoclieu.com
Góc giữa hai đường thẳng.
Hai đường thẳng vuông góc
1. Định nghĩa:
a
b
Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau và là góc nhỏ nhất
a
b
trong bốn góc mà và cắt nhau tạo nên.
b
a
Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau và trong không
a′
b′
gian là góc giữa hai đường thẳng
và cùng đi qua một
a b
điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với và .
Chú ý: góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn ( hoặc vuông ).
2. Phương pháp
Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác.
r
r
u
v
Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hướng: nếu và lần lượt là hai vecto chỉ phương ( hoặc
ϕ
a b
vecto pháp tuyến ) của hai đường thẳng và thì góc của hai đường thẳng này được xác
định bởi công thức
rr
u.v
r r
cos ϕ = cos u , v = r r .
u.v
( )
M , N, P
ABCD. A′B ′C ′D′
AB BC
Ví dụ 1: Cho hình lập phương
. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
,
,
C ′D′
MN
AP
. Xác định góc giữa hai đường thẳng
và
.
450
A.
.
Đáp án A.
B.
300
.
C.
600
.
D.
900
Lời giải
Phương pháp 1: Giả sử hình lập phương có cạnh bằng
MN //AC
Vì
nên:
∆A′D′P
· , AP = AC,
( MN
) ( · AP )
vuông tại
D′
. Ta tính góc
·
PAC
nên
2
a 5
a
A′P = A′D′ + D′P = a + ÷ =
2
2
2
2
www.thuvienhoclieu.com
a
2
.
Trang 21
.
và
www.thuvienhoclieu.com
2
a 5
3a
AP = A′A + A′P = a +
=
÷
÷
2
2
2
∆AA′P
vuông tại
∆CC ′P
Ta có
vuông tại
AC
A′
C′
nên
2
2
CP = CC ′2 + C ′P 2 = a 2 +
nên
là đường chéo của hình vuông
Áp dụng định lý cosin trong tam giác
ABCD
ACP
.
a2 a 5
=
.
4
2
AC = a 2
nên
ta có:
·
CP 2 = AC 2 + AP 2 − 2 AC. AP.cos CAP
1
·
⇒ cos CAP
=
2
·
⇒ cos CAP
= 45° < 90°
Nên
·
= 45°
( ·AC; AP ) = CAP
hay
·
AP ) = 45°
( MN;
. Chọn A.
uuuu
r uuur
uuuu
r uuur
MN . AP
uuuu
r uuur uuuu
r uuur
uuuu
r uuur ⇒ cos MN , AP = uuuu
r uuu
r ( *)
MN . AP = MN . AP .cos MN , AP
MN . AP
(
Phương pháp 2: Ta có
)
(
)
uuuu
r uuur uuur uuur uuur uuuur uuuu
r
MN . AP = MB + BN AA′ + A′D′ + D′P
(
)(
)
Ta có:
uuur uuur uuur uuuur uuur uuuu
r uuur uuur uuur uuuur uuur uuuu
r
= MB. AA′ + MB. A′D′ + MB.D′P + BN . AA′ + BN . A′D′ + BN .D′P
a a
a
3a 2
= 0 + 0 + . + 0 + .a + 0 =
( 1)
2 2
2
4
uuuu
r uuu
r a 2 3a 3 2a 2
MN . AP =
. =
( 2)
2 2
4
Thay
( 1) , ( 2 )
Ví dụ 2. Cho tứ diện
MN = a 3.
vào
( ∗)
ABCD
3a 2
uuuu
r uuur
1
cos MN , AP = 4 2 =
⇒ (·MN , AP ) = 450.
3 2a
2
4
(
ta được:
có
)
AB = CD = 2a.
Tính góc của
AB
và
CD
Gọi
M,N
lần lượt là trung điểm
BC , AD
. Biết rằng
.
www.thuvienhoclieu.com
Trang 22
www.thuvienhoclieu.com
0
A.
45 .
B.
300
.
C.
600
.
D.
900
.
Đáp án C.
Lời giải
Gọi
I
là trung điểm của
AC
Áp dụng định lý cosin cho
·
cos MIN
=
Vì
. Ta có
∆IMN
IM = IN = a
.
ta có:
IM 2 + IN 2 − MN 2 a 2 + a 2 − 3a 2
1
·
=
= − ⇒ MIN
= 1200
2.IM .IN
2.a.a
2
IM / / AB, IN / / CD ⇒ (·AB, CD ) = (·IM , IN ) = 1800 − 1200 = 60 0
Ví dụ 3: Cho lăng trụ
vuông tại
mặt phẳng
A
,
ABCA′B′C ′
AB = a
,
có độ dài cạnh bên bằng
AC = a 3
.
.
2a
, đáy
ABC
là tam giác
và hình chiếu vuông góc của đỉnh
( ABC )
là trung điểm của cạnh
AA′ B′C ′
đường thẳng
,
.
BC
Chọn D
Phương pháp 1:
Gọi
Ta có
BC ϕ
B′C ′
AA′
là trung điểm của
,
là góc giữa
và
.
AA′ / / BB′
Ta tính góc
và
B′C ′ / / BC
nên góc giữa
· ′, BC
( ·AA′, B′C′) = ( BB
)
.
·B′BH
www.thuvienhoclieu.com
trên
. Tính cosin của góc giữa hai
Lời giải
H
A′
Trang 23
www.thuvienhoclieu.com
∆ABC
AH =
Vì
A
vuông tại
nên ta có:
BC = AB 2 + AC 2 = a 2 + 3a 2 = 2a
1
BC = a ⇒ A′H = AA′2 − AH 2 = 4a 2 − a 2 = a 3
2
AH ⊥ ( A′B′C ′ )
nên
∆A′B′H
vuông tại
B′H = A′H 2 + A′B′2 = a 2 + 3a 2 = 2a
.
A′
.
B′B 2 + BH 2 − B′H 2 4a 2 + a 2 − 4a 2 1
=
=
2 B′B.BH
2.2a.a
4
· ′BH =
cos B
.
Chọn A
Phương pháp 2:
Ta có
uuur uuur uuur
uuur uuuur
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
AH + HA′ .BC
AA′.B′C ′
AH .BC + HA′.BC
AH .BC
uuur uuuur
cos ϕ = cos AA′; B′C ′ = uuur uuuur =
=
=
2a.2a
4a 2
4a 2
AA′ . B′C ′
(
(
)
)
r
1 uuur uuur uuur uuu
1
1
AB + AC AC − AB
AC 2 − AB 2 )
3a 2 − a 2 )
(
(
1
2
2
2
=
=
=
=
2
2
2
4a
4a
4a
4
(
)(
)
.
ABCD
a
O
∆BCD
Ví dụ 5. Cho tứ diện đều
cạnh . Gọi
là tâm đường tròn ngoại tiếp
.
CD
AC
M
BM
Gọi
là trung điểm
. Tính cosin góc của
và
.
3
3
3
2
4
6
2
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
· ; BM
⇒ ·AC ; BM = MN
N
MN //AC
AD
Cách 1. Gọi
là trung điểm
ta có:
. Ta
(
BM = BN =
·
BMN
tính góc
. Ta có:
AC a
MN =
=
2
2
.
a 3
2
) (
(trung tuyến tam giác đều).
∆BMN
Áp dụng định lý cosin cho
, ta được:
2
2
2
BM + MN − BN
MN
3
·
cos BMN
=
=
=
>0
2 BM .MN
2 BM
6
.
3
cos ·AC; BM =
.
6
Vậy
(
)
www.thuvienhoclieu.com
Trang 24
)
www.thuvienhoclieu.com
uuur uuuu
r uuu
r
uuur uuuu
r
AC. CM − CB
AC.BM
uuur uuuu
r
cos ϕ = cos AC , BM = uuur uuuu
r =
a 3
AC . BM
a.
2
(
Cách 2.
=
uuur uuuu
r uuur uuu
r
AC.CM − AC.CB
a2 3
2
(
)
)
a2 a2
a
a2
− +
a. cos120 0 − a.a.cos120 0
4
2
3
2
=
=
= 24 =
2
2
6
a 3
a 3
a 3
2
2
2
.
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1. Định nghĩa.
Nếu đường thẳng
Nếu đường thẳng
( P)
là góc giữa
a
a ⊥ ( P)
a
thì góc giữa đường thẳng
không vuông góc với
và hình chiếu
a′
a
của
( P)
a
và
( P)
bằng
900
.
thì góc giữa đường thẳng
trên
( P)
a
và
.
a
a'
P
2. Phương pháp tính.
a SA ⊥ ( ABCD )
Ví dụ 1: Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh ,
( SAB ) β
( SBC )
SA = a 6
α
SC
AC
và
. Gọi
là góc giữa
và
,
là góc giữa
và
. Giá
tan α + sin β
trị
bằng?
S . ABCD
A.
1+ 7
7
.
B.
ABCD
1 + 19
7
.
C.
7 + 21
7
.
D.
1 + 20
7
.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
www.thuvienhoclieu.com
Trang 25
