bài tập quan hệ vuông góc trong không gian

Bài tập Quan hệ vuông góc trong không gian
BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1. Cho hai tam giác cân
,ABC ABD
có chung cạnh đáy
AB
và không cùng nằm trong một mặt
phẳng. Gọi
I
là trung điểm của
AB
. Chứng minh rằng:
a)
( )AB CID⊥
b)
AB CD⊥
Bài 2. Cho hình chóp
.S ABC
có
( )SA ABC⊥
. Gọi
,H K
lần lượt là trực tâm của các tam giác
,ABC SBC
. Chứng minh rằng:
a) Ba đường thẳng
, ,AH SK BC
đồng quy.
b)
( )SC BHK⊥
c)

( )HK SBC⊥
Bài 3. Cho tứ diện đều
ABCD
cạnh
a
, gọi
M
là trung điểm của
BC
. Tính cosin của góc giữa:
a) Hai đường thẳng
AB
và
MD
.
b) Các cạnh bên và mặt đáy.
c) Độ dài đoạn nối
D
với hình chiếu của nó trên
( )ABC
.
Bài 4. Cho tứ diện
ABCD
có
, ,AB CD a AC BD b AD BC c= = = = = =
.
a) Chứng minh rằng đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối diện của tứ diện thì vuông góc với
hai cạnh đó.
b) Tính cosin của góc hợp bởi các đường thẳng
AC

và
BD
.
Bài 5. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác đều cạnh
a
, các cạnh bên bằng nhau và bằng
2 3
3
a
. Gọi
O
là tâm đa giác đáy.
a) Tính độ dài đoạn nối
S
với hình chiếu của nó trên
( )ABC
.
b) Chứng minh
( )BC SAO⊥
và
SA BC
⊥
.
c) Tính góc giữa
SA
và
( )ABC
.

Bài 6. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
, tâm
O
;
( )SA ABCD⊥
và
SA a
=
.
Gọi
I
là trung điểm của
SC
và
M
là trung điểm của
AB
.
a) Chưng minh
( )IO ABCD⊥
.
b) Tính khoảng cách từ
I
đến đường thẳng
CM
và khoảng cách từ
O

đến đường thẳng
SC
.
Bài 7. Cho tứ diện
ABCD
có
BCD
là tam giác vuông ở
D
, cạnh
AB
vuông góc với mặt phẳng
( )BCD
,
BD a=
,
CD b=
,
AB h=
. Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của
BD
và
AC
.
a) Tính độ dài đoạn
MN
.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa

, ,a b h
để
MN
là đoạn vuông góc chung của
BD
và
AC
.
Bài 8. Cho hai tia
,Ox Oy
vuông góc nhau tại
O
;
,M N
là hai điểm di động lần lượt thuộc
,Ox Oy

sao cho
MN a=
(
a
là hằng số). Gọi
I
là trung điểm của
MN
; trên đường thẳng qua
O
vuông góc
với
( )Oxy

lấy điểm
S
cố định.
a) Khi
,M N
di động trên
,Ox Oy
thì
I
chạy trên đường nào ?
b) Xác định vị trí của
,M N
để tam giác
SMN
có diện tích lớn nhất.
Bài 9. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
a
và
µ
0
60A =
,
3
2
a
SA SB SD= = =

.
a) Tính khoảng cách từ
S
đến
( )ABCD
và độ dài cạnh
SC
.
b) Chứng minh
( ) ( )SAC ABCD⊥
và
SB BC⊥
.
c) Gọi
ϕ
là góc giữa
( )SBD
và
( )ABCD
, tính
tan ϕ
.
Bài 10. Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD
có các cạnh bên và cạnh đáy bằng
a
. Gọi
O
là tâm
của tứ giác

ABCD
.
a) Tính độ dài đoạn thẳng
SO
.
b) Gọi
M
là trung điểm của
SC
. Chứng minh rằng
( ) ( )MBD SAC⊥
.
c) Tính độ dài đoạn
OM
và tính góc giữa hai mặt phẳng
( ),( )MBD ABCD
.
Gv. Lê Minh Chơn trang 1
Bài tập Quan hệ vuông góc trong không gian
Bài 11. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi tâm
I
, cạnh
a
và có
µ
0

60A =
; cạnh
bên
SC
vuông góc với
( )ABCD
và
6
2
a
SC =
.
a) Chứng minh
( ) ( )SBD SAC⊥
.
b) Trong tam giác
SCA
kẻ
IK SA
⊥
tại
K
. Tính độ dài đoạn
IK
.
c) Chứng minh
·
0
90BKD =
, từ đó suy ra

( ) ( )SAB SAD⊥
.
Bài 12. Tứ diện
SABC
có
ABC
và
SBC
là hai tam giác nằm trong hai mặt phẳng vuông góc nhau.
SBC
là tam giác đều cạnh
a
,
ABC
là tam giác vuông tại
A
và
·
ABC = ϕ
.
a) Xác định hình chiếu
H
của
S
trên
( )ABC
.
b) Tính độ dài đoạn
SA
.

c) Gọi
I
là trung điểm của
AB
. Chứng minh
( ) ( )SHI SAB⊥
. Tính khoảng cách từ
H
đến
( )SAB
.
Bài 13 (KD – 2007) . Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang,
·
·
0
90ABC BAD= =
,
BA BC a
= =
,
2AD a
=
. Cạnh bên
SA
vuông góc với mặt đáy và
2SA a=

.
a) Chưng minh tam giác
SCD
vuông tại
C
.
b) Tính
( ,( ))d A SBC
.
Bài 14. Cho hình vuông
ABCD
và tam giác đều
SAB
cạnh
a
nằm trong hai mặt phẳng vuông góc
với nhau. Gọi
I
là trung điểm của
AB
.
a) Chứng minh
( ) ( )SAD SAB⊥
.
b) Tính góc
ϕ
giữa
SD
và
( )ABCD

.
c) Gọi
F
là trung điểm của
AD
. Chứng minh
( ) ( )SCF SID⊥
.
d) Tính khoảng cách từ
I
đến
( )SCF
.
Bài 15. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
,
( )SA ABCD⊥
và
2SA a=
. Gọi
( )α
là mặt phẳng qua
A
và vuông góc với
SC
,
( )α
cắt

, ,SB SC SD
lần lượt tại
, ,H M K
. Chứng
minh rằng:
a)
AH SB⊥
,
AK SD⊥
.
b)
( )/ /BD α
, từ đó chứng minh
/ /BD HK
.
c)
HK
đi qua trọng tâm tam giác
SAC
.
Bài 16. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
a
và có các cạnh bên
SA SB SC a
= = =
. Chứng minh:

a)
( ) ( )SBD ABCD⊥
.
b) Tam giác
SBD
vuông tại
S
.
Bài 17. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
2a
, cạnh bên
SA
vuông góc
với đáy và
3SA a
=
. Gọi
,M N
lần lượt là hình chiếu của
A
trên
,SB SD
.
a) Chứng minh rằng
( )SC AMN⊥
.

b) Tính góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
( )ABCD
.
c) Tính chu vi tam giác
AMN
.
Bài 18. Cho hình vuông
ABCD
cạnh
a
, tâm
O
. Trên đường thẳng qua
O
và vuông góc với
( )ABCD
lấy điểm
S
sao cho
6
2
a
SO =
. Mặt phẳng
( )
α
qua
A

và vuông góc với
SC
lần lượt cắt
, ,SB SC SD
tại
', ', 'B C D
.
a) Tính độ dài đoạn
'AC
. Chứng minh
'C
là trung điểm của
SC
.
b) Chứng minh
, ', ' 'SO AC B D
đồng quy và
' '/ /B D BD
, từ đó suy ra cách xác định
', 'B D
.
c) Tính diện tích tứ giác
' ' 'AB C D
.
Gv. Lê Minh Chơn trang 2