Đề thi olimpic toán 11 tỉnh quảng nam 2017 2018 có đáp án

www.thuvienhoclieu.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI OLIMPIC QUẢNG NAM NĂM 2018
Môn thi :
Thời gian:

TOÁN
Lớp: 11
150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 01 trang)
Câu 1 (3,0 điểm).

 �
�
a. Tính tổng các nghiệm của phương trình: sin x  5  6cos 2 x trên đoạn � ;  �.
�2
�
3
b. Giải phương trình: 3cosx  1  4cos x    3 sin3x.
Câu 2 (4,0 điểm).

a. Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy  un  biết:
1
1
1
un 


 L 
(n �N*) .
n 1 n  2
2n
b. Cho dãy  un  biết u1  2 và un 1  3un  4n với n �N *
un
Tìm số hạng tổng quát của dãy  un  . Tính lim
.
un 1

Câu 3 (4,0 điểm).

a. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số ( không nhất thiết đôi một khác nhau )
được thành lập từ các chữ số 2,0,1,8. Chọn ngẫu nhiên một phần tử từ tập X . Tính xác suất
để phần tử được chọn là số chia hết cho 3 .
b. Trên 2 đường thẳng song song  và d , ta lần lượt gắn vào đó m điểm và n điểm
sao cho m  n  17 ( m, n �N * ). Tìm m , n để số các tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm trong 17
điểm phân biệt ở trên là lớn nhất.
�6  x  x 2
khi x �2
�
Câu 4 (2,0 điểm). Cho hàm số f  x   � | x  2 |
�5
khi x  2
�
Xét tính liên tục của hàm số f  x  tại điểm x  2 .
Câu 5 (3,0 điểm).
2
2
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn  C  : x  y  2 x  4 y  4  0 và điểm A(3, 1) .

Gọi I là tâm của đường tròn  C  . M là điểm thay đổi trên  C  sao cho ba điểm A, M , I
không thẳng hàng. Tia phân giác góc �
AIM cắt đường thẳng AM tại N . Gọi  K  là tập hợp

các điểm N khi M thay đổi trên  C  . Viết phương trình đường  K  .
Câu 6 (4,0 điểm).

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BD  a . Cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng  ABCD  và SA  a .
a. Tính cosin góc giữa 2 đường thẳng SB và AD .

www.thuvienhoclieu.com

Page 1


www.thuvienhoclieu.com

b. Gọi ( ) là mặt phẳng qua A song song với BD và cắt cạnh SC tại M sao cho
khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ) bằng 3 lần khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ) .
Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( ) và hình chóp S . ABCD .
––––––––––– Hết ––––––––––––
Họ và tên thí sinh: …..…………………………………….; Số báo danh: ……………………...
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI OLIMPIC QUẢNG NAM NĂM 2018
QUẢNG NAM
Môn thi: TOÁN Lớp : 11
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Đáp án gồm 05 trang

()

Câu
1

Nội dung
 �
�
a. Tính tổng các nghiệm của phương trình: sin x  5  6 cos 2 x trên đoạn � ;  �.
�2
�
2
2
sin x  5  6 cos x � 6s in x  sin x  1  0
1
1
� s inx   ; s inx 
2
3
1


,  ] )  x =
 s inx   ( x [
2
2
6
1

1

1
,  ] )  x = arcsin , x =   arcsin
 s inx  ( x [
3
2
3
3


1
1
5
,  ] là  + arcsin +  arcsin =
2
6
3
3
6
3
b/ Giải phương trình: 3cosx 1 = 4cos x  3 sin3x.

Tổng các nghiệm phương trình trên [

3cosx 1 = 4cos3x  3 sin3x  1 = 4cos3x 3cosx  3 sin3x
 1 = cos3x  3 sin3x  3 sin3x  cos3x =1

1


 sin ( 3x  ) =

 sin ( 3x  ) = sin
6
2
6
6
 
 5
 3x  =
+ k2 hoặc 3x  =
+ k2 ( k  � )
6 6
6
6

2

a. Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy (un) biết un 

1
1
1

L L 
.
n 1 n  2
2n

www.thuvienhoclieu.com

Điểm

1,5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
1,5
0.25
0.25
0.25
0.25
+0,5

1.5

Page 2


www.thuvienhoclieu.com

Ta có: 0 < un =

1
1
1
1
n


 ... 


 1 ,  n N*
n 1 n  2 n  3
2n n  1

0,25
+ 0,25

 (un) bị chặn.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
un 1  un 

 ... 


(


 ...  )
n2 n3
2n 2n  1 2n  2 n  1 n  2 n  3
2n

1
1
1
1
1





0
2n  1 2(n  1) n  1 2n  1 2(n  1)
 (un) là dãy tăng.

0.25
02.5
0.25
0.25

b. Cho dãy (un) biết u1 = 2 và un 1  3un  4 với nN*.
un
Tìm số hạng tổng quát của dãy (un) . Tính lim
.
un 1
.
+ Tìm số hạng tổng quát của dãy (un)
n
Ta có: un 1  3un  4 (1)
n

2,5

0.5
0.25

n 1
n
 Tìm số α : un 1   .4  3.(un   .4 ) (2)
(1), (2) �  (3.4n  4n 1 )  4 n �   1
n 1
n
 (2) viết lại: un 1  4  3.(un  4 )
Xét dãy (vn) với v1=2, vn+1= 3vn ( n  1) - ở đây vn =un4n.
Khi đó vn = 2. 3n1  un4n = 2. 3n1  un = 4n 2. 3n1
un
+ Tính lim
.
un 1

3

0.25
0.5
0.5

un
4n  2.3n 1
4n
1
lim

 lim n 1
 lim n 1 
n
un 1
4  2.3
4
4
a. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số ( không nhất thiết đôi một khác
nhau ) được thành lập từ các chữ số 2, 0,1,8. Chọn ngẫu nhiên một phần tử từ tập X .
Tính xác suất để phần tử được chọn là số chia hết cho 3 .
Gọi số được chọn là a1a2 a3 (a1 �0)

0.5
2,0

Tính số phần tử của không gian mẫu: n     3.4.4  48
Gọi A là biến cố: ‘‘ số được chọn là số chia hết cho 3 ’’

0.5

a1a2 a3 chia hết cho 3 khi:  a1  a2  a3  chia hết cho 3.

0.5

Liệt kê các số gồm: 111,222,888, và hoán vị của các bộ số (2;2;8); (8;8;2); (1;2;0) ;
(1;8;0) . (Lưu y, chữ số a1 �0 ) .
Do đó số kết quả thuận lợi để có A là n  A   17
Vậy xác suất cần tìm: P  A  

n(A) 17


n() 48

www.thuvienhoclieu.com

0.5
0.5

Page 3


www.thuvienhoclieu.com

4

b. Trên 2 đường thẳng song song  và d , ta lần lượt gắn vào đó m điểm và n
điểm sao cho m  n  17 ( m, n �N * ). Tìm m , n để số các tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm
trong 17 điểm phân biệt đã cho là lớn nhất.
Mỗi tam giác cần xác lập có 1 đỉnh nằm trên một đường thẳng và 2 đỉnh nằm trên
đường thẳng còn lại.
Trường hợp 1: Một trong hai số m hoặc n là bằng 1  chẳng hạn m =1, khi đó n =16 và
2
số các tam giác có được từ 17 điểm này là 1.C16  120
Trường hợp 2: m, n đều lớn hơn 1.
Số các tam giác có được từ 17 điểm này là
( n  1) n
( m  1)m
m.Cn2  nCm2  m.
 n.
2

2
mn
15

.( m  n  2)  mn
2
2
15
15
 .4mn  .[(m  n) 2  (m  n) 2 ]
8
8
15
 .[17 2  ( m  n) 2 ]
8
15
15
� (17 2  12 )  .288  540.
8
8
Dấu bằng xảy ra khi |mn| =1, m,n  N*
 m=9 , n=8 hoặc ngược lại.
Kết luận : Số tam giác là lớn nhất khi m=9, n=8 hoặc ngược lại.
�6  x  x 2
khi x �2
�
Cho hàm số f  x   � | x  2 |
�5
khi x  2
�

2.0

6  x  x2
6  x  x2
 lim
x �2
x �2
x �2
| x2|
x2
( x  2)( x  3)
 lim
x �2
( x  2)
 lim (  x  3)  5

0.25

6  x  x2
6  x  x2
lim f ( x)  lim
 lim
x �2 
x �2
x �2
| x2|
2 x
( x  2)( x  3)
 lim

x �2
2 x
 lim ( x  3)  5

0.25

0.5

0.5

0,25

0.25
0.25
0.25
2,0

Xét tính liên tục của hàm số f  x  tại điểm x  2 .
lim f ( x)  lim

0.25
0.25

x �2

0.25
0.25

x �2

f ( x) �lim f ( x) nên hàm số không có giới hạn tại x=2 nên không thể liên tục tại 0.5
Vì xlim
�2
x�2
x=2.




www.thuvienhoclieu.com

Page 4


www.thuvienhoclieu.com

5

2
2
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn  C  : x  y  2 x  4 y  4  0 và điểm A(3, 1) .

3,0

Gọi I là tâm của đường tròn  C  . M là điểm thay đổi trên  C  sao cho 3 điểm A, M , I
không thẳng hàng. Tia phân giác góc �
AIM cắt đường thẳng AM tại N . Gọi  K  là tập
hợp các điểm N khi M thay đổi trên  C  . Viết phương trình đường  K  .

Hình vẽ:

(C) có tâm I(1,2) và bán kính R =3 . Tính được IA = 5.
MN IM 3
MN  AN 3  5
AM 8

 

�

Vì IN là tia phân giác của góc �
AIM nên
AN
IA 5
AN
5
AN 5
uuur 5 uuuu
r
 AN  AM (*) (do N nằm giữa A và M )
8
5
Vậy phép vị tự tâm A, tỉ số k  biến điểm M thành điểm N.
8

6

Gọi P,Q là 2 giao điểm của đường thẳng IA và (C).
Do đó khi M chạy khắp đường tròn (C) ( M  P, M  Q) thì N chạy khắp (K) với (K)
5

đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A tỉ số k  ( trừ 2 điểm
8
là ảnh của P,Q qua phép vị tự trên).
Viết phương trình đường tròn (C’).
uuur 5 uur
� 1 7�
Gọi I’ là tâm đường tròn (C’), ta có: AI '  AI  I ' � ;  �
8
� 2 8�
5
15
R’ là bán kính đường tròn (C’), ta có: R’ = R  .
8
8
2
2
2
15 �
� 1� � 7� �
Vậy phương trình đường tròn (C’) : �x  � �y  � � �
� 2 � � 8 � �8 �
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , biết BD  a ; cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  và SA  a .
a. Tính cosin góc giữa 2 đường thẳng SB và AD .
b. Gọi ( ) là mặt phẳng qua A song song với BD và cắt cạnh SC tại M sao
cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ) bằng 3 lần khoảng cách từ S đến mặt phẳng
( ) . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( ) và hình chóp S . ABCD .
www.thuvienhoclieu.com

0.5

0.5
0.25
0.25

0.5
0.5
0.25
0.25
4.0

Page 5


www.thuvienhoclieu.com

Hình vẽ: ( Phục vụ câu a :0.25 điểm và câu b 0.25 điểm)

0.5

a. Tính cosin góc giữa 2 đường thẳng SB và AD .
� .
Tính góc SBC
 SAB vuông cân tại A  SB = a 2 .
Gọi O là tâm hình thoi ABCD. AC = 2 AO = a 3
SA =a, AC = a 3  SC = 2a
Ta có: SC2 = SB2+BC22SB.BC . cos B
1
4a2 = 2a2+ a2  2.a2 2 cos B cosB =  2 2
1

Gọi  là góc giữa SB và BC , ta có: cos =
2 2
b. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( ) và hình chóp S . ABCD .

1.5
0.25

www.thuvienhoclieu.com

0.25
0.25

0.5
0.25
2.0

Page 6


www.thuvienhoclieu.com

Ta có: AC = a 3 và SA =a  SC =2a.
1
1
a
 d(C, α) = 3 d(S, α)  SM = CM  SC 
3
4
2
 Gọi I là giao điểm của SO và AM.

Trong mp (SBD) kẻ đường thẳng song song BD cắt SB, SD tại E và F.
Thiết diện tạo bởi (α) và hình chóp S.ABCD là tứ giác AEMF.
Ta có BD  (SAC)  EF  (SAC)  EF  AM ( SAEMF = ½ AM. EF.)
 Tính AM, EF
3
Xét  SAM , tính AM theo hệ thức cosin ta được AM = a
2
3
(có thể kiểm chứng AM  SC  … AM = a
)
2
Xét  SAC – Kẻ ON // AM. O là trung điểm AC  N là trung điểm CM.

1
1 3
3
1
3
5
CM = . SC  SC  SN = SI+MN = SC  SC = SC
2
2 4
8
4
8
8
1
SC
SI SM 4
2




ON // AM 
SO SN 5 SC 5
8
EF SE SI 2
2
2a


  EF = BD 
Xét  SBD, EF // BD 
BD SC SO 5
5
5
2
1
1
3 2
a 3
 SAEMF =
AM. EF= .a
.
. a
2
2 2 5
10

MN =

0.25
0.5
0.25
0.25

0.25
0.25
0.25

Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác đúng thì Ban Giám khảo thảo luận và thống nhất thang
điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm.

www.thuvienhoclieu.com

Page 7