HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ THIỆN TRUNG

HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG VÀO
GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số : 60 46 0113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học : PGS. TS Trần Đạo Dõng

Đà Nẵng – Năm 2014


LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được
ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Học viên

Lê Thiện Trung


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU..........................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài......................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu...............................................................................1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu...............................................................................1

4. Phương pháp nghiên cứu........................................................................2
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn................................................................2
6. Cấu trúc luận văn....................................................................................2
CHƯƠNG 1: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC............................................3
1.1. CÁC PHÉP TOÁN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC................................3
1.1.1. Các khái niệm liên quan đến lượng giác..........................................3
1.1.2. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác..................................4
1.1.3. Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt:.................5
1.1.4. Các hệ thức cơ bản của hàm số lượng giác......................................6
1.1.5. Các công thức lượng giác................................................................6
1.2. CÁC ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC8
1.2.1. Một số đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác........................8
1.2.2. Các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác..................................8
1.2.3. Một số bất đẳng thức khác thường gặp............................................9
1.3. HỆ THỨC VÀ CÁC ĐỊNH LÝ TRONG TAM GIÁC....................10
1.3.1. Các định lí trong tam giác..............................................................10
1.3.2. Các hệ thức lượng giác cơ bản trong tam giác..............................13
CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC VÀO GIẢI TOÁN
.........................................................................................................................16
2.1. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÁC ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG
THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC.........................................16


2.2. BÀI TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC PHỐI HỢP TRONG TAM GIÁC. 27
2.3. BÀI TOÁN VỀ HỆ THỨC VÀ CÁC ĐỊNH LÝ CỦA HÀM
LƯỢNG GIÁC...........................................................................................31
2.4. BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHIẾU, ĐỘ DÀI TRONG TAM GIÁC.....41
2.5. BÀI TOÁN VỀ CẠNH VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG TAM
GIÁC...........................................................................................................55
2.6. HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TỨ GIÁC VÀ ĐA GIÁC......62

2.7. HỆ THỨC LƯỢNG TAM GIÁC TRONG ĐƯỜNG TRÒN..........72
KẾT LUẬN....................................................................................................80
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................81
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (BẢN SAO)


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Trong quá trình giảng dạy và tìm hiểu qua các tài liệu tham khảo, tôi
nhận thấy việc giảng day và học tập bộ môn Toán dành cho học sinh bậc phổ
thông trung học (PTTH) gặp rất nhiều trở ngại và khó khăn liên quan đến khái
niệm về lượng giác và các ứng dụng của lượng giác liên quan đến giải tích,
hình học và đại số. Với mong muốn tìm hiểu thêm về vai trò của hệ thức lượng
giác trong chương trình toán bậc phổ thông trung học( PTTH) và được sự định
hướng của PGS. TS. Trần Đạo Dõng, tôi đã chọn đề tài “HỆ THỨC LƯỢNG
GIÁC VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP” trong chương trình
toán bậc PTTH để làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình.
Trong luận văn này, trước hết chúng tôi giới thiệu về các hệ thức lượng
giác, các đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác được nhắc đến trong chương
trình Toán bậc phổ thông trung hoc (PTTH). Tiếp đó, chúng tôi ứng dụng các
hệ thức lượng giác, các đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác để khảo sát một
số dạng toán cơ bản trong tam giác, tứ giác, đa giác và đường tròn.
2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu của đề tài là khai thác các hệ thức lượng giác để khảo sát
một số chủ đề trong hình học sơ cấp thể hiện qua các dạng bài toán về hệ thức
cơ bản của các hàm lượng giác, bài toán về đẳng thức và bất đẳng thức trong
tam giác, đa giác và đường tròn nhằm nâng cao hiệu quả và chất lượng giải
toán cho học sinh.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Khai thác công cụ hệ thức lượng giác thể hiện qua các dạng bài toán
mang đặc trưng hình học như hệ thức cơ bản của các hàm lượng giác, bài toán


2

chúng minh và rút gọn các đẳng thức lượng giác, bài toán về đẳng thức và bất
đẳng thức trong tam giác, đa giác, đường tròn.
4. Phương pháp nghiên cứu.
- Tham khảo tài liệu các dạng bài toán về hệ thức lượng giác và hệ thống
kiến thức.
- Trao đổi và tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn luận văn.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn.
- Nâng cao kiến thức về một số chủ đề Toán thuộc chương trình bậc phổ
thông trung học.
- Góp phần phát huy tính tư duy và tự hoc của học sinh.
6. Cấu trúc luận văn.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội
dung luận văn được chia thành 2 chương:
Chương 1: Các hệ thức lượng giác.
Chương này, chúng tôi trình bày sơ lược các kiến thức cơ bản sau: một
số định nghĩa, các tính chất, các công thức lượng giác, các hệ thức lượng giác,
các đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác và bất đẳng thức đại số để làm cơ sở
cho chương sau.
Chương 2: Ứng dụng hệ thức lượng giác vào giải toán.
Chương này trình bày một số ứng dụng của hệ thức lượng giác vào giải
các bài toán trong chương trình toán bậc phổ thông trung học. Cụ thể là các bài
toán về các đẳng thức, bất đẳng thức cơ bản, các đẳng thức phối hợp trong tam
giác. Bài toán về các định lý, độ dài và hình chiếu, bài toán về cạnh và khoảng

cách trong tam giác. Bài toán về hệ thức lượng giác trong tứ giác và đa giác, hệ
thức lượng tam giác trong đường tròn.


3

CHƯƠNG 1: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC
Trong chương này, tôi trình bày một số kiến thức cơ bản liên quan đến
lượng giác như: các hệ thức lượng giác, các đẳng thức, bất đẳng thức lượng
giác và bất đẳng thức đại số để làm cơ sở cho việc ứng dụng trong chương tiếp
theo. Các nội dung chi tiết có thể xem tại các trang (7), (9), (10), (11), (14).
1.1. CÁC PHÉP TOÁN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC
1.1.1. Các khái niệm liên quan đến lượng giác
Định nghĩa 1.1.1. (Đường tròn lượng giác): Trên mặt phẳng Oxy, dựng
đường tròn định hướng tâm O, bán kính R  1 . Lấy A (1;0) làm điểm gốc cho
các cung lượng giác, đường tròn như vậy được gọi là đường tròn lượng giác.

Hình
1.1
Định nghĩa 1.1.2. (Đường tròn định
hướng):
là đường tròn trên đó ta chọn
một chiều chuyển động làm chiều dương (chiều ngược chiều kim đồng hồ) và
chiều ngược lại là chiều âm.
Định nghĩa 1.1.3. (Cung lượng giác): Trên đường tròn định hướng tâm O ta
lấy hai điểm A và B. Điểm M chạy trên đường tròn từ A đến B theo một chiều
� , điểm A là điểm đầu và
nhất định vạch nên một cung lượng giác ký hiệu là AB
� ký hiệu là sđ AB
� chính là

điểm B là điểm cuối. Số đo của cung lượng giác AB
số đo của góc lượng giác (OA, OB) tương ứng.
1.1.2. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác.


4

Định nghĩa: Trên đường tròn
lượng giác trong mặt phẳng tọa độ
� có sđ AM
� =
Oxy cho cung AM

t

y
s'

(0o � �180o ) , giả sử rằng M(

T

B

S
M

K

A'

OH,OK ). Khi đó ta định nghĩa:

s

A

x

H

O

Tung độ y = OK của điểm
M gọi là sin của  và kí hiệu là

B'
t'

sin  , với sin   OK .

Hình 1.2
Hoành độ x  OH của điểm M gọi là cosin của  và kí hiệu là cos ,

với cos   OH .
Nếu cos  �0 , tỉ số
Ta có tan  

sin 
(cos  �0) .

cos 

Nếu sin  �0 , tỉ số
Ta có cot  

sin 
gọi là tang của  và kí hiệu là tan  .
cos 

cos 
gọi là cotang của  và kí hiệu là cot  .
sin 

cos 
(sin  �0) .
sin 

Các giá trị sin  , cos , tan  , cot  được gọi là giá trị lượng giác của
cung  .
Trục Ox gọi là trục cos , trục Oy là trục sin.
Trục At gọi là trục tang, trục Bs gọi là trục cotang.
Nhận xét:
Do 1 �OK �1 , 1 �OH �1 nên ta có: 1 �sin  �1 , 1 �cos  �1 .
-

sin  và cos xác định với mọi  ��.


5

sin(  k2)  sin  , k �� .
cos(  k2)  cos  , k ��.
-


tan  xác định với mọi  �  k , k ��.
2
tan(  k)  tan  , k ��.

-

cot  xác định với mọi  �k , k ��

cot(  k)  cot  , k ��.
1.1.3. Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt:
Trong lượng giác ta thường gặp một số trường hợp góc có liên quan như sau:
a. Hai góc đối nhau: Hai góc đối nhau có cos bằng nhau, sin, tg, cotg đối
nhau.
sin( )   sin() ,

tan( )   tan( ),

cos()  cos  ,

cot(  )   cot  .

b. Hai

góc hơn kém nhau  : Hai góc hơn kém nhau  có sin, cos đối nhau, tg và
cotg bằng nhau.

sin(  )   sin  ,

tan(  )  tan  ,

cos(   )   cos  ,

cot(   )  cot  .

c. Hai góc bù nhau: Hai góc bù nhau có sin bằng nhau, cos, tg, cotg đối nhau
sin(   )  sin() ,

cos(  )   cos(),

tan(  )   tan() ,

cot(   )   cot( ).

d. Hai góc phụ nhau: Hai góc phụ nhau có sin góc này bằng cosin góc kia, tan
góc này bằng cotg góc kia.

sin(  )  cos  ,
2


tan(  )  cot  ,
2


6


cos(  )  sin  ,
2


cot(  )  tan  .
2

1.1.4. Các hệ thức cơ bản của hàm số lượng giác.
sin 2   cos 2   1 ,
tan  

sin 
cos 

cot  

cos 
sin 


(  �  k,k ��) ,
2
( �k,k ��) ,

tan  cot   1 ,
1

 1  tan 2  ( �  k,k ��) ,
2

cos 
2
1
 1  cot 2  (  �k,k ��) .
2
sin 
1.1.5. Các công thức lượng giác.
a. Công thức cộng.
sin(  )  sin .cos   sin .cos  ,
sin(  )  sin .cos   sin .cos  ,
cos(  )  cos .cos   sin .sin  ,
cos(  )  cos .cos   sin .sin  ,
tan(  ) 

tan   tan 
,
1  tan .tan 

tan(  ) =

tan   tan 
.
1  tan .tan 

b. Công thức nhân đôi.
cos 2  2.cos 2   1 ,
sin 2  2.sin .cos  ,


7

tan 2 =

2 tan 

( �  k,k ��) .
2
1  tan 
2

c. Công thức nhân ba.
cos3  4cos3   3cos  ,
sin3  3sin   4sin 3  ,
tan 3 


3.tan   tan 3 
(

�
 k,k ��) .
2
1  3.tan 2 

d. Công thức hạ bậc.
sin 2  

1  cos 2
,
2

cos 2  

1  cos 2
,
2

tan 2  

1  cos 2 ,
1  cos 2

cot 2  

1  cos 2
.
1  cos 2

e. Công thức biến đổi tổng thành tích.
cos   cos   2cos


 
cos
,
2
2

cos   cos   2sin


 
sin
,
2
2

sin   sin   2sin

 
 
cos
,
2
2

sin   sin   2cos


 
sin
,
2
2

tan   tan  

sin(  )
,
cos .cos 

tan   tan  

sin(  )
,
cos .cos 

cot   cot  

sin(  ) ,
sin .sin 

cot   cot  

 sin(  )
.
sin .sin 

f. Công thức biến đổi tích thành tổng.
cos  cos  

1
 cos(  )  cos(  ) ,
2


8

sin  sin  

1
 cos(  )  cos(  ) ,
2

sin .cos  

1
 sin(  )  sin(  ) .
2

1.2. CÁC ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.
1.2.1. Một số đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác.
sinA  sin B  sin C  4cos

A
B
C
cos cos ,
2
2
2

sin2A  sin 2B  sin 2C  4sin Asin Bsin C ,
sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  2(1  cos A cos BcosC) ,
cosA  cos B  cosC  1  4sin

A
B
C
sin sin ,

2
2
2

cos 2A  cos 2 B  cos 2 C  1  2cos A cos BcosC ,
tan A  tan B  tan C  tan A tan B tan C ,
cot

A
B
C
A
B
C
 cot  cot  Cot cot cot ,
2
2
2
2
2
2

A
B
B
C
C
A
tan  tan tan  tan tan  1 ,
2

2
2
2
2
2
cot A cot B  cot BcotC cotCcotA  1 .
tan

1.2.2. Các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác.
Trong tam giác ABC, ta có : A  B  C   nên suy ra 0  A  B  C   .
Nếu a  b  c � A  B  C suy ra 0  sin A  sin B  sin C  1 .
a. Các bất đẳng thức về độ dài.
+ a b ca b.
+ b c  a  b c.
+ ca bca.


9

b. Một số bất đẳng thức lượng giác cơ bản.
+ Bất đẳng thức lượng giác đối với sin và cos:
3
sinA  sin B  sin C � 3 ,
2

sin

A
B
C 3

 sin  sin � ,
2
2
2 2

3
cosA  cos B  cos C � ,
2

cos

A
B
C 3
 cos  cos � 3 ,
2
2
2 2

3
sinAsin BsinC � 3 ,
8

sin

A
B
C 1
sin sin � ,
2

2
2 8

1
cosA cos BcosC � ,
8

cos

A
B
C 3
cos cos � 3 .
2
2
2 8

+ Bất đẳng thức lượng giác đối với tan và cot:
tan A  tan B  tan C �3 3 ,

tan

A
B
C
 tan  tan � 3 ,
2
2
2

cotA  cot B  cot C � 3 ,

cot

A
B
C
 cot  cot �3 3 ,
2
2
2

tan A tan B tanC �3 3
tan

( trường hợp  ABC có ba góc nhọn ) ,

A
B
C
1
tan tan �
( trường hợp  ABC có ba góc nhọn ) ,
2
2
2 3 3

1
cot A cot BcotC �
,

3 3
cot

A
B
C
cot cot �3 3 .
2
2
2

1.2.3. Một số bất đẳng thức khác thường gặp.
a. Bất đẳng thức Côsi.
Cho dãy n số thực không âm a1 ,a 2 ,...,a n . Khi đó ta có:
a1  a 2  ....  a n n
� a1a 2 ...a n .
n

(1.1)


10

Dấu bằng trong (1.1) xảy ra khi và chỉ khi: a1  a 2 ....  a n .
b. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki.
Cho hai dãy số thực a1 ,a 2 ,...,a n và b1, b2,…,bn. Khi đó ta có :
(a1b1  a 2 b 2  ....  a n b n ) 2 �(a 21  a 2 2  ....  a 2 n )(b 21  b 2 2  ....  b 2 n ) .
Dấu bằng trong (1.2) xảy ra khi và chỉ khi:

(1.2)

a1 a 2
a

 ....  n .
b1 b 2
bn

c. Bất đẳng thức Chebyshev.
Cho hai dãy số thực a1 ,a 2 ,...,a n và b1 ,b 2 ,...,b n .
Dạng 1: Nếu a1 �a 2 �.... �a n và b1 �b 2 �.... �b n , ta có:
(a1  a 2  ....  a n )(b1  b 2  ....  b n ) �n(a1b1  a 2b 2  ....  a n b n ) .

(1.3)

a1  a 2  ....  a n
�
Dấu bằng trong (1.3) xảy ra khi và chỉ khi: �
.
b1  b 2  ....  bn
�
Dạng 2: Nếu a1 �a 2 �.... �a n và b1 �b 2 �.... �b n , ta có:
(a1  a 2  ....  a n )(b1  b 2  ....  b n ) �n(a1b1  a 2b 2  ....  a n b n ) .

(1.4)

a1  a 2  ....  a n
�
Dấu bằng trong (1.4) xảy ra khi và chỉ khi: �
.

b1  b 2  ....  bn
�
1.3. HỆ THỨC VÀ CÁC ĐỊNH LÝ TRONG TAM GIÁC.
1.3.1. Các định lý trong tam giác.
Định lý 1.3.1. (Định lý hàm số sin trong tam giác).
Trong tam giác ABC với BC=a, CA=b, AB=c và R là bán kính đường tròn
ngoại tiếp tam giác. Ta có:
a
b
c


 2R .
sin A sin B sin C
Định lý 1.3.2. (Định lý hàm số Cosin).
Trong tam giác ABC với BC=a, CA=b, AB=c, ta có:
a 2  b 2  c2  2bc.cos A .

(1.5)


11

b 2  c2  a 2  2ca.cosB .
c2  a 2  b 2  2ab.cosC .

Từ định lý hàm số cosin ta suy ra:
b2  c2  a 2
cosA 
,

2bc
c2  a 2  b2
cosB 
,
2ca
a 2  b2  c2
cosC 
.
2ab
Ngoài ra, ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.3.1.
A nhọn

�

a 2  b2  c2 .

A vuông

�

a 2  b 2  c2 . (Định lý Pitago)

A tù

�

a 2  b 2  c2 .

A nhọn

�

2m a  a .

A vuông

�

2m a  a .

A tù

�

2m a  a .

Hệ quả 1.3.2.

Hệ quả 1.3.3.
a 2  b 2  c2  4S.cotA .
b 2  c2  a 2  4S.cotB .


12

c2  a 2  b2  4S.cotC .
Hệ quả 1.3.4.
a 2  (b  c)2  4S.tan

A
.
2

b 2  (c a)2  4S.tan

B
.
2

c2  (a  b)2  4S.tan

C
.
2

Nhận xét:
Ta nhận thấy rằng định lý hàm số sin và định lý hàm số cosin chủ yếu
được dùng trong các bài toán giải tam giác để tính các góc và các cạnh.
Khi biết ba cạnh ta sử dụng định lý hàm cosin để tính các góc.
Khi biết một cạnh và hai góc ,ta có thể dùng định ký hàm sin để tính hai
cạnh còn lại.
Khi biết hai cạnh và một góc không xen giữa ta dùng định lý hàm sin để
tính một trong hai góc kia, hoặc để tính cạnh còn lại.
Định lý 1.3.3. (Định lý hàm số tang).
Trong tam giác ABC với BC=a, CA=b, AB=c, ta có:
AB
ab
2  tan A  B .tan C .


a  b tan A  B
2
2
2
tan

(1.6)


13

BC
b  c tan 2
BC
A

 tan
.tan .
b  c tan B  C
2
2
2

(1.7)

CA
ca
2  tan C  A .tan B .

c  a tan C  A

2
2
2
tan

(1.8)

Nhận xét: Định lý hàm tang chính là hệ quả của định lý hàm sin, định lý hàm
tang được dùng để giải tam giác trong trường hợp biết được hai góc và một
cạnh mà không cần sử dụng định lý hàm sin và cosin.
Định lý 1.3.4. (Định lý hàm số cotang).
Trong tam giác ABC với BC=a, CA=b, AB=c. ta có:
cot A  cot B  cot C 

a 2  b 2  c2
.
4S

(1.9)

1.3.2. Các hệ thức lượng giác cơ bản trong tam giác.
Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta ký hiệu:
R,r : bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp trong tam giác.
p: nửa chu vi tam giác với p=

abc
.
2

S: diện tích tam giác.

h a , h b , h c : độ dài đường cao tương ứng.
m a , m b , m c : độ dài trung tuyến tương ứng.
la ,l b ,lc : độ dài các đường phân giác trong tương ứng.
l'a , l'b , l'c : độ dài phân các đường phân giác ngoài.
a. Công thức tính diện tích tam giác.


14

1
1
1
S  bcsinA  ca sin B  absin C .
2
2
2
1
1
1
S  a.h a  b.h b  c.h c .
2
2
2
abc
.
4R
S  pr .

S

S  (p a).ra  (p  b).rb  (p  c).rc .
S  p(p  a)(p  b)(p  c) .

b. Công thức về độ dài đường cao.
ha 

2S 2 p(p a)(p  b)(p  c)

.
a
c

hb 

2S 2 p(p  a)(p  b)(p  c)

.
b
c

hc 

2S 2 p(p a)(p  b)(p  c)

.
c
c

c. Công thức về độ dài trung tuyến.
b 2  c2 a 2 b 2  c2  2bccos A

m 
 
2
4
4
2
2
2
2
2
a c b
c  a  2ca cosB
m 2b 
 
2
4
4
2
a

m c2 

a 2  b 2 c 2 a 2  b 2  2abcosC
 
2
4
4

d. Công thức về phân giác trong tam giác.
la 

2bc
A
2
cos 
b.c.p(p  a)
bc
2 bc


15

lb 

2bc
B
2
cos 
c.a.p(p  c)
ac
2 ca

e. Công thức về phân giác ngoài tam giác.

l'a 

l' b 

l'c 

2bcsin
bc
2ca sin
ca
2absin
ab

A
2 
B
2 
C
2 

2
bc

bc(p  b)(p  c)

(b �c).

2
ca

ca(p  c)(p  a)

(c �a).

2
ab(p  a)(p  b)

ab

(a �b).

f. Công thức về bán kính.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp.
R

a
b
c
abc



.
2sin A 2sin B 2sin C 4S

Bán kính đường tròn nội tiếp.
r  (p  a) tan

A
B
C
 (p  b) tan  (p  c) tan .
2
2
2

Bán kính đường tròn bàng tiếp.

ra  p tan

A
S
p(p  b)(p  c)


.
2 pa
(p  a)

rb  p tan

B
S
p(p  c)(p  a)


.
2 pb
pb

rc  p tan

C
S
p(p  a)(p  b)


.

2 pc
pc


16

g. Công thức về hình chiếu.
a  bcosC  ccos B ,

a  r(cot

B
C
 cot ) ,
2
2

b  ccosA  a cosC ,

b  r(cot

C
A
 cot ) ,
2
2

c  a cosB bcosA ,

c  r(cot

A
B
 cot ) .
2
2


17

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC VÀO
GIẢI TOÁN SƠ CẤP
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số ứng dụng quan trọng của
hệ thức lượng giác vào việc giải các bài toán liên quan, cụ thể như: các bài
toán về các đẳng thức, bất đẳng thức cơ bản, các đẳng thức phối hợp trong
tam giác, bài toán về các định lý, độ dài và hình chiếu, bài toán về cạnh và
khoảng cách trong tam giác, bài toán về hệ thức lượng giác trong tứ giác và đa
giác, hệ thức lượng tam giác trong đường tròn.
2.1. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÁC ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG
THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC.
Phương pháp giải: Ta sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và mối liên hệ
giữa các góc trong tam giác, biến đổi rồi đưa về các đẳng thức hoặc bất đẳng
thức cần chứng minh. Sau đây là một số bài toán minh họa được hệ thống dựa
trên các tài liệu tham khảo [1], [4], [5], [7], [8], [9], [10], [12].

Bài toán 2.1.1. Cho tam giác ABC nhọn với (A, B, C � ) . Chứng minh rằng:
4
tan 2A  tan 2B  tan 2C  tan 2A.tan 2B.tan 2C .

(2.1)

Giải:
Trong tam giác ABC ta có: A  B  C   � A    (B C).
�

2A  2  (2B  2C) .

�

tan 2A  tan(2  (2B  2C)) � tan 2A   tan(2B  2C) .

�

tan 2A 

�

tan 2A.(tan 2B.tan 2C 1)  tan 2B  tan 2C .

tan 2B  tan 2C
.
tan 2B.tan 2C 1

� tan 2A.tan 2B.tan 2C  tan 2A  tan 2B  tan 2C .


18

Suy ra tan 2A  tan 2B  tan 2C  tan 2A.tan 2B.tan 2C
Nhận xét: Bài toán 2.1.1 được chứng minh dựa trên mối quan hệ tổng ba góc

trong tam giác, ta biến đổi đưa về đẳng thức cần chứng minh.
Bài toán 2.1.2. Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng:
sin A  sin B  sin C
A
B
C
 tan .tan .tan .
cos A  cos B  cosC  1
2
2
2
Giải:
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích.
Ta có sin A  sin B  2sin

AB
AB
.cos
,
2
2

cos A  cos B  2cos

AB
AB
.cos
.
2
2

Trong tam giác ABC, ta có:
ABC  � AB C �
Vậy

sin

(A  B)
C
 cos ,
2
2

cos

(A  B)
C
 sin .
2
2

(A  B) � C �
 �  �.
2
�2 2 �

Sử dụng công thức nhân đôi và công thức hạ bậc
C
C
sin C  2sin .cos ,

2
2
sin 2

C 1  cosC

.
2
2

Đẳng thức (2.2) được chứng minh như sau:
Ta có

sin A  sin B  sin C
cos A  cos B  cosC  1

(2.2)


19



AB
AB
C
C
.cos
 2sin .cos
2

2
2
2
AB
AB
C
2cos
.cos
 2sin 2
2
2
2

2sin

C
AB
AB
(cos
 cos
)
2
2
2

C
AB
AB
2sin (cos
 cos

)
2
2
2
2cos

A
B�
�
C �2sin 2 .sin 2 �
A
B
C
 cot .�
 tan .tan .tan .
�
2 �2cos A .cos B �
2
2
2
�
2
2�
Nhận xét: Đối với bài toán 2.1.2 ta sử dụng các công thức lượng giác như
công thức biến đổi tổng thành tích, tổng ba góc trong tam giác, công thức nhân
đôi và hạ bậc, ta xây dựng mối liên quan giữa chúng, từ đó suy ra đẳng thức
cần chứng minh.
Bài toán 2.1.3. Cho tam giác ABC, các góc của nó thỏa mãn các điều kiện sau
đây: sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  3(cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C) .

(2.3)

Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
Giải:
Ta có sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C 

1  cos 2A 1  cos 2B

 1  cos 2 C
2
2

1
= 2  (cos 2A  cos 2B)  cos 2 C
2
= 2  cos(A  B)cos(A  B)  cos 2 C
= 2  cosC  cos(A  B)  cos(A  B) 
= 2  2cos A.cosB.cosC .
cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  3  (sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C)
= 3  (2  2cos A.cosB.cosC)

(2.4)


20

= 1  2cos A.cos B.cosC .

(2.5)

Thay (2.4) và (2.5) vào (2.3), ta có :
2  2cos A.cos B.cosC  3(1  2cosA.cosB.cosC) .
� 8cos A.cos B.cos C  1 .
� 4  cos(A  B)  cos(A  B)  .cosC  1 .
� 4cos 2 C  4cos(A  B)cos C  1  0 .
�  2cos C  cos(A  B)  2  sin 2 (A  B)  0 .

(2.6)

Phương trình (2.6) xảy ra khi:
sin(A  B)  0
�
�
� �
1
cosC

cos(A  B)
�
�
2

AB
�
� �
0 .
C

60
�

Vậy tam giác ABC là tam giác đều.
Nhận xét: Biến đổi điều kiện ban đầu bài toán 2.1.3 ta đưa bài toán về nhận
dạng tam giác đều (trong trường hợp này là tam giác cân có một góc 60o ).
Bài toán 2.1.4. Chứng minh rằng tam giác ABC có 3 góc đều nhọn khi và chỉ
khi: sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  2 .

(2.7)

Giải:
Ta có: sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C 

1  cos 2A 1  cos 2B

 1  cos 2 C
2
2

= 2

cos 2A  cos 2B
 cos 2 C
2

= 2  cos(A  B).cos(A  B)  cos 2 (A  B)
= 2  cos(A  B)  cos(A  B)  cos(A  B)  .
= 2  2cosA.cosB.cosC .
Do tam giác ABC có 3 góc nhọn � cos A.cos B.cos C  0 .

21

Nên ta suy ra sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  2
Nhận xét: Ta sử dụng công thức hạ bậc biến đổi vế trái của bất đẳng thức (2.7)
về bất đẳng thức ta cần chứng minh là đúng.
Bài toán 2.1.5. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:
A
B
C
 cos  cos
2
2
2  2.
A
B
C
sin  sin  sin
2
2
2

cos

(2.8)

Giải:
Trong tam giác ABC, ta có: sin

A
B

C
 sin  sin  0 .
2
2
2

Bất đẳng thức (2.8) phải chứng minh tương đương với:
cos

A
B
C
B
C�
� A
 cos  cos  2 �
sin  sin  sin �
.
2
2
2
2
2�
� 2

(2.9)

B
C� � B
C

A� � C
A
B�
� A
sin  sin  cos � �
sin  sin  cos � �
sin  sin  cos � 0 .
�
2
2�� 2
2
2�� 2
2
2�
� 2

(2.10)
Trong tam giác ABC, ta có A  B  C   suy ra

C � A  B �
� 
�.
2 �2
2 �

Ta có: cos

C
AB
C

A
B
B
A
A
B
 sin
� cos  sin cos  sin cos  sin  sin .
2
2
2
2
2
2
2
2
2

Do đó

sin

A
B
C
 sin  cos  0 .
2
2
2

Tương tự : sin

B
C
A
 sin  cos  0 .
2
2
2

sin

C
A
B
 sin  cos  0 .
2
2
2

Vậy (2.10) đúng nên (2.8) luôn đúng với mọi tam giác ABC.