PHÉP BIẾN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN TRƯỜNG VINH

PHÉP NGHỊCH ĐẢO
VÀ ỨNG DỤNG
TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN TRƯỜNG VINH

PHÉP NGHỊCH ĐẢO
VÀ ỨNG DỤNG
TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số : 60 46 0113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Đạo Dõng

Đà Nẵng - Năm 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những nội dung trình bày trong luận văn này là do
tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Trần Đạo Dõng.
Mọi tài liệu trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng và trung thực
tên tác giả, tên công trình, thời gian và địa điểm công bố.
Nếu có sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tôi xin chịu
hoàn toàn trách nhiệm.

Tác giả luận văn

Nguyễn Trường Vinh


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1. Tính cấp thiết của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

5. Bố cục đề tài. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

CHƯƠNG 1. PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

MẶT PHẲNG VÀ KHÔNG GIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Phương tích của một điểm đối với đường tròn . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Trục, tâm, mặt phẳng đẳng phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3. Phép biến đổi hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.4. Một số phép biến đổi thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG KHÔNG GIAN . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.3.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG HỆ TOẠ ĐỘ DESCARTES . . . .

24

1.4.1. Phép nghịch đảo trong hệ tọa độ Descartes Oxy . . . . . . . . . . .

24

1.4.2. Phép nghịch đảo trong hệ tọa độ Descartes Oxyz . . . . . . . . . .

25


CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO
TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.

2.2.

2.3.

26

ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG MẶT PHẲNG . . . .

26

2.1.1. Khảo sát phép nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.1.2. Các bài toán chứng minh các tính chất hình học . . . . . . . . . . .

30

2.1.3. Các bài toán xác định các đại lượng hình học . . . . . . . . . . . . . .

37

2.1.4. Các bài toán tìm quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.1.5. Các bài toán dựng hình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.1.6. Các bài toán liên quan đến hệ tọa độ Descartes Oxy . . . . . . .

53

ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG KHÔNG GIAN . . .

56

2.2.1. Khảo sát phép nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.2.2. Các bài toán chứng minh các tính chất hình học . . . . . . . . . . .

59

2.2.3. Các bài toán tìm quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

2.2.4. Các bài toán dựng hình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

2.2.5. Các bài toán liên quan đến hệ tọa độ Descartes Oxyz . . . . . .

71

CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . .
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO)

79
80


1

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Trong chương trình bậc phổ thông trung học (PTTH), phép biến
đổi hình học là một trong những nội dung quan trọng, đặc biệt là trong
bồi dưỡng học sinh giỏi, các lớp chuyên, lớp chọn. Đây luôn là một
trong những bài toán hay và khó trong các kỳ thi VMO, IMO. Phép
nghịch đảo là một trong những phép biến đổi hình học hay và tính trừu
tượng cao, có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học sơ
cấp. Cùng với sự định hướng của PGS. TS. Trần Đạo Dõng và với
mong muốn tìm hiểu về phép biến đổi hình học này, tôi đã chọn đề
tài “PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH
HỌC SƠ CẤP” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là khai thác phép nghịch đảo trong
mặt phẳng và không gian để khảo sát một số chủ đề trong hình học sơ
cấp nhằm góp phần nâng cao hiệu quả, chất lượng dạy và học bộ môn
Toán trong chương trình bậc PTTH.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Khai thác phép nghịch đảo trong mặt phẳng và không gian để giải
các dạng bài toán cơ bản trong hình học như: khảo sát phép nghịch đảo,
bài toán chứng minh tính chất hình học, bài toán xác định đại lượng
hình học, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình, các bài toán trong hệ
tọa độ Descartes...
4. Phương pháp nghiên cứu

• Tham khảo tài liệu về phép nghịch đảo trong mặt phẳng, không
gian và hệ thống các kiến thức liên quan.


2

• Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn, đồng nghiệp.

5. Ý nghĩa thực tiễn và khoa học

• Góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học một số chủ đề cơ bản trong
hình học ở bậc PTTH.

• Hệ thống lại một cách hoàn chỉnh các phương pháp sơ cấp và
phương pháp toạ độ để giải các bài toán liên quan đến phép nghịch
đảo.

• Phát huy tính tự học, tư duy và sáng tạo của học sinh.
6. Cấu trúc luận văn
Luận văn bao gồm:

• Phần mở đầu.
• Chương 1. Phép nghịch đảo trong mặt phẳng và không gian.

Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa và các tính chất
của phép nghịch đảo trong mặt phẳng, không gian và hệ tọa độ
Descartes.

• Chương 2. Ứng dụng phép nghịch đảo trong hình học sơ cấp.
Chương này tập trung vào các ứng dụng của phép nghịch đảo để
giải các bài toán hay và cơ bản. Từ đó đưa ra nhận xét, nhận dạng,
đề xuất phương pháp giải cho từng dạng.

• Phần kết luận.
• Tài liệu tham khảo.


3

CHƯƠNG 1

PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG
MẶT PHẲNG VÀ KHÔNG GIAN

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các kiến thức cơ bản về phương
tích của một điểm đối với đường tròn, mặt cầu, trục đẳng phương, mặt
phẳng đẳng phương, các phép biến đổi hình học, phép nghịch đảo trong
mặt phẳng, không gian và hệ toạ độ Descartes. Các kiến thức trình bày
trong chương có thể tham khảo tại các tài liệu [5], [8], [9].
1.1. CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN
Ở mục này, chúng tôi trình bày các kiến thức liên quan đến phương
tích, phép biến đổi hình học.
1.1.1.

Phương tích của một điểm đối với đường tròn

Định nghĩa và tính chất của phép nghịch đảo được xây dựng dựa vào
tính chất phương tích của một điểm đối với đường tròn, nên ở đây chúng
tôi nhắc lại một số kiến thức về phương tích của một điểm đối với đường
tròn.
Đầu tiên ta xét định lí sau:
Định lý 1.1.1. Cho đường tròn

(O) tâm O, bán kính R và điểm M
cố định, với OM = d. Một đường
thẳng thay đổi đi qua M và cắt
đường tròn tại hai điểm A, B . Khi
đó M A.M B = d2 − R2 .

Hình 1.1


4

Chứng minh. Gọi C là điểm đối xứng của A qua O. Ta có CB ⊥ AM hay

B là hình chiếu của C trên AM .
Ta có:

−−→ −−→
M A.M B = M A.M B
−−→ −−→
= M A.M C
−−→ −→ −−→ −→

= (M O + OA).(M O + OC)
−−→ −→ −−→ −→
= (M O + OA).(M O − OA)
−−→
−→
= OM 2 − OA2
= OM 2 − OA2
= d2 − R2 .

Định nghĩa 1.1.1. (Phương tích của một điểm đối với đường tròn)
Giá trị không đổi M A.M B = d2 − R2 trong định lí 1 .1 .1 được gọi là
phương tích của điểm M đối với đường tròn (O).
Ký hiệu PM/(O) = M A.M B = d2 − R2 .
Từ định lí 1.1.1 ta có nhận xét sau:
Nhận xét 1.1.1.
i) Nếu PM/(O) > 0 thì M nằm ngoài đường tròn (O).
ii) Nếu PM/(O) = 0 thì M nằm trên đường tròn (O).
iii) Nếu PM/(O) < 0 thì M nằm trong đường tròn (O).
Từ định lí 1.1.1 ta có các tính chất sau:
Tính chất 1.1.1. Cho (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai cát
tuyến M AB , M CD thì M A.M B = M C.M D.
Tính chất 1.1.2. Cho (O) và điểm M nằm ngoài (O). Kẻ tiếp tuyến M N
2

và cát tuyến M AB , ta có M A.M B = M N .


5

Tính chất 1.1.3. Cho hai đường thẳng AB , CD cắt nhau tại M (khác

A, B, C, D). Nếu M A.M B = M C.M D thì 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc
một đường tròn.
Tính chất 1.1.4. Cho hai đường thẳng AB, M N cắt nhau tại M. Nếu
2

M A.M B = M N thì đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM tiếp xúc với
M N tại N.
1.1.2.

Trục, tâm, mặt phẳng đẳng phương

a. Trục đẳng phương của hai đường tròn
Ta xét định lí sau:
Định lý 1.1.2. Cho hai đường tròn
không đồng tâm (O1 ) và (O2 ), có
bán kính lần lược là R1 và R2 . Tập
hợp các điểm M có phương tích đối
với hai đường tròn bằng nhau là
Hình 1.2

một đường thẳng.

Chứng minh. Gọi O là trung điểm của O1 O2 , H là hình chiếu vuông góc
của M trên O1 O2 . Ta có:

PM/(O1 ) = PM/(O2 ) ⇔ M O12 − R12 = M O22 − R22
⇔ M O12 − M O22 = R12 − R22
⇔ (M H 2 + HO12 ) − (M H 2 + HO22 ) = R12 − R22
⇔ HO12 − HO22 = R12 − R22

⇔ (HO1 − HO2 )(HO1 + HO2 ) = R12 − R22
⇔ O2 O1 .2HO = R12 − R22
R12 − R22
⇔ OH =
.
2.O1 O2
Từ đây suy ra H là điểm cố định. Vậy M thuộc đường thẳng qua H và
vuông góc với O1 O2 .


6

Định nghĩa 1.1.2. (Trục đẳng phương)
Đường thẳng trong định lí 1 .1 .2 được gọi là trục đẳng phương của hai
đường tròn (O1 ), (O2 ).
Từ định lí 1.1.2 ta có hệ quả sau:
Hệ quả 1.1.1. Cho hai đường tròn không đồng tâm (O1 ) và (O2 ).
i) Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường thẳng nối
hai tâm.
ii) Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng
phương của chúng.
iii) Nếu điểm M có cùng phương tích đối với (O1 ) và (O2 ) thì đường
thẳng qua M và vuông góc với O1 O2 là trục đẳng phương của hai đường
tròn.
iv) Nếu hai điểm N, M có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì
đường thẳng N M chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.
v) Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì chúng
thẳng hàng.
vi) Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau tại điểm A thì đường thẳng qua

A và vuông góc với O1 O2 chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.
b. Tâm đẳng phương
Định lý 1.1.3. Cho 3 đường tròn (O1 ), (O2 ) và (O3 ). Khi đó 3 trục đẳng
phương của các cặp đường tròn trùng nhau hoặc song song hoặc cùng đi
qua một điểm.
Định nghĩa 1.1.3. (Tâm đẳng phương) Cho 3 đường tròn (O1 ), (O2 ) và

(O3 ), nếu I là giao điểm của 3 trục đẳng phương của các cặp đường tròn
thì điểm I được gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn.
Từ định lí 1.1.3 ta suy ra các hệ quả sau:


7

Hệ quả 1.1.2. i) Nếu 3 đường tròn đôi một cắt nhau thì các dây cung
chung cùng đi qua một điểm.
ii) Nếu 3 trục đẳng phương của 3 đường tròn song song hoặc trùng nhau
thì tâm của 3 đường tròn đó thẳng hàng.
iii) Nếu 3 đường tròn cùng đi qua một điểm và có các tâm thẳng hàng
thì các trục đẳng phương trùng nhau.
d. Mặt phẳng đẳng phương
Tương tự như trong mặt phẳng, ta có định lí sau:
Định lý 1.1.4. Cho mặt cầu (W ) tâm W , bán kính R và điểm M cố định
nằm ngoài (W ), với M W = d. Một đường thẳng qua M và cắt mặt cầu
tại hai điểm A, B . Khi đó M A.M B = d2 − R2 .
Định nghĩa 1.1.4. (Phương tích của một điểm đối với mặt cầu)
Giá trị không đổi M A.M B = d2 − R2 trong định lí 1 .1 .4 được gọi là
phương tích của điểm M đối với mặt cầu (W ).
Ký hiệu PM/(W ) = M A.M B = d2 − R2 .
Định lý 1.1.5. Cho hai mặt cầu

(W1 ) và (W2 ) không đồng tâm, có
bán kính lần lược là R1 và R2 . Tập
hợp các điểm M có phương tích đối
với hai mặt cầu bằng nhau là một
mặt phẳng.
Hình 1.3
Chứng minh. Gọi O là trung điểm của W1 W2 , H là hình chiếu của M trên

W1 W2 .


8

Ta có:

PM/(W1 ) = PM/(W2 ) ⇔ M W12 − R12 = M W22 − R22
⇔ M W12 − M W22 = R12 − R22
⇔ (M H 2 + HW12 ) − (M H 2 + HW22 ) = R12 − R22
⇔ HW12 − HW22 = R12 − R22
⇔ (HW1 − HW2 )(HW1 + HW2 ) = R12 − R22
⇔ W2 W1 .2HO = R12 − R22
R12 − R22
⇔ OH =
.
2.W1 W2
Từ đây suy ra H là điểm cố định, suy ra M thuộc mặt phẳng qua H và
vuông góc với W1 W2 .
Định nghĩa 1.1.5. (Mặt phẳng đẳng phương) Mặt phẳng trong định lí

1 .1 .5 được gọi là mặt phẳng đẳng phương của hai mặt cầu.
Từ định lí 1.1.5 suy ra hệ quả sau:
Hệ quả 1.1.3. Cho hai mặt cầu không đồng tâm (W1 ) và (W2 ).
i) Nếu hai mặt cầu cắt nhau tại hai điểm A, B thì mặt phẳng (P ) chứa

AB và vuông góc với W1 W2 chính là mặt đẳng phương của chúng.
ii) Nếu điểm M có cùng phương tích đối với (W1 ) và (W2 ) thì mặt
phẳng qua M và vuông góc với W1 W2 là mặt đẳng phương của hai mặt
cầu.
iii) Nếu hai điểm N, M có cùng phương tích đối với hai mặt cầu thì
mặt phẳng chứa N M và vuông góc với W1 W2 chính là mặt đẳng phương
của hai mặt cầu.
iv) Nếu 4 điểm có cùng phương tích đối với hai mặt cầu thì chúng đồng
phẳng.
v) Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau tại điểm A thì mặt phẳng qua A
và vuông góc với W1 W2 chính là mặt đẳng phương của hai mặt cầu.


9

1.1.3.

Phép biến đổi hình học

Ở phần này, chúng tôi trình bày một số định nghĩa về phép biến đổi
hình học (gọi tắt là phép biến đổi) trong mặt phẳng và không gian.
Định nghĩa 1.1.6. (Phép biến đổi)
Phép biến đổi là một quy tắc sao cho mỗi điểm trong mặt phẳng (không
gian) xác định được duy nhất một điểm M của mặt phẳng (không gian)
đó. Kí hiệu:

f : P −→ P
M −→ M = f (M ),
với P là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng (không gian).
Khi đó:
- M được gọi là ảnh của M qua phép biến đổi f .
- M được gọi là tạo ảnh của M qua phép biến đổi f .
Định nghĩa 1.1.7. (Ảnh của một hình)
Cho một hình (H). Giả sử

(H ) = {M : M = f (M ), M ∈ (H)}.
Khi đó H được gọi là ảnh của (H) qua phép biến đổi f .
Kí hiệu (H ) = f (H).
Định nghĩa 1.1.8. (Phép biến đổi 1 - 1)
Cho phép biến đổi f của P . Nếu ứng với mỗi ảnh M chỉ có duy nhất
một tạo ảnh M thì f được gọi là phép biến đổi 1-1 hay còn gọi là phép
biến hình.
Định nghĩa 1.1.9. (Đại lượng bất biến) Cho phép biến đổi f của P . Giả
sử (P) là một đại lượng hình học (điểm, đường thẳng, mặt phẳng ...) sao
cho f (P) = (P), thì (P) được gọi là đại lượng bất biến của f . Trường
hợp (P) là một điểm thì điểm đó gọi là điểm bất động của f .


10

Định nghĩa 1.1.10. (Phép biến đổi đồng nhất)
Cho phép biến đổi f của P . Nếu mọi điểm M trong mặt phẳng (không
gian) điều là điểm bất động thì f được gọi là phép biến đổi đồng nhất. Kí
hiệu e.
Định nghĩa 1.1.11. (Tích các phép biến đổi) Cho phép hai biến đổi: f

biến điểm M thành điểm M , g biến điểm M thành điểm M . Khi đó,
phép biến đổi biến điểm M thành điểm M được gọi là tích của hai phép
biến đổi f, g . Kí hiệu g ◦ f .
Định nghĩa 1.1.12. Cho n phép biến đổi f1 , f2 , .., fn . Tích n phép biến
đổi đã cho là một phép biến đổi được thực hiện theo một thứ tự xác định.
Kí hiệu F = f1 ◦ f2 ◦ ... ◦ fn .
Định nghĩa 1.1.13. (Phép biến đổi ngược)
Cho phép hai biến đổi f, g của P . Nếu g ◦ f là phép biến đổi đồng nhất
thì g được gọi là phép biến đổi ngược của f . Kí hiệu f −1 .
Từ định nghĩa 1.1.13 ta có nhận xét sau:
Nhận xét 1.1.2.
- Mỗi phép biến đổi f có duy nhất một phép biến đổi ngược.
- f ◦ f −1 = f −1 ◦ f = e.
Định nghĩa 1.1.14. (Phép dời hình)
Phép dời hình là phép biến đổi f của P bảo toàn khoảng cách giữa hai
điểm bất kì trong P , tức là với hai điểm tùy ý M, N và M = f (M ), N =

f (N ), ta có M N = M N.
Từ định nghĩa phép dời hình ta có nhận xét sau:
Nhận xét 1.1.3.
- Phép đồng nhất là một phép dời hình.
- Phép biến đổi ngược của một phép dời hình là một phép dời hình.


11

1.1.4.

Một số phép biến đổi thường gặp

Định nghĩa 1.1.15. (Phép đối xứng tâm)
Cho một điểm O cố định. Phép đối xứng tâm O là phép biến đổi biến mỗi
điểm M thành một điểm M sao cho O là trung điểm của đoạn M M .
Điểm O gọi là tâm đối xứng. Kí hiệu ĐO .
Định nghĩa 1.1.16. (Phép đối xứng trục)
Cho đường thẳng d cố định. Phép đối xứng trục d là phép biến đổi biến
mỗi điểm M thành điểm M sao cho đoạn thẳng M M nhận d làm đường
trung trực. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng. Kí hiệu Đd .
Định nghĩa 1.1.17. (Phép tịnh tiến)
−
−
Cho một vector →
u . Phép tịnh tiến theo vecto →
u là một phép biến đổi biến
−−−→ →
−
M thành M sao cho M M = −
u . Kí hiệu T→
u.
Định nghĩa 1.1.18. (Phép quay)
Cho một điểm O cố định và một góc lượng giác α. Phép quay tâm O với
góc quay α là một phép biến hình biến O thành chính nó và biến mỗi điểm
−−→ −−→
M thành M sao cho OM = OM và (ON , OM ) = α. Kí hiệu Q(O,α) .
Định nghĩa 1.1.19. (Phép vị tự)
Cho một điểm O và số thực k = 0. Phép vị tự tâm O hệ số k là phép biến
−−→
−−→
đổi biến mọi điểm M thành điểm M sao cho OM = k.OM .
Kí hiệu V(O,k) .

Định nghĩa 1.1.20. (Phép đồng dạng)
Cho số thực k = 0. Phép đồng dạng là phép biến đổi biến hai điểm M, N
−−−→
−−→
thành hai điểm M , N sao cho M N = k M N . Kí hiệu Dk .
Định nghĩa 1.1.21. (Phép đối xứng mặt)
Cho một mặt phẳng (P ). Phép đối xứng mặt là phép biến đổi biến điểm

M thành điểm M sao cho (P ) là mặt phẳng trung trực của M M .
Kí hiệu D(P ) .


12

1.2. PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG MẶT PHẲNG
Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản
của phép nghịch đảo trong mặt phẳng.
1.2.1.

Định nghĩa

Định nghĩa 1.2.1. (Phép nghịch đảo)
Cho một điểm O và một số k = 0.
Với mỗi điểm M của mặt phẳng
khác điểm O, ta dựng điểm M trên
đường thẳng OM sao cho

Hình 1.4

OM .OM = k. Phép biến đổi f biến M thành M được gọi là phép nghịch

đảo tâm O, phương tích k . Kí hiệu I(O,k) .
Từ định nghĩa 1.2.1 ta có nhận xét sau:
Nhận xét 1.2.1.
i) Điểm M càng tiến gần O thì điểm M càng đi xa điểm O.
ii) Khi M là điểm vô cực, thì M trùng với O.
iii) Khi M trùng với O, thì M là điểm vô cực và kí hiệu là ∞.
Định nghĩa 1.2.2. (Góc tạo bởi đường tròn và đường thẳng)
Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cắt (O) tại điểm A. Góc tạo bởi
đường tròn (O) và đường thẳng d là góc tạo bởi d và tiếp tuyến tại A với
đường tròn (O).
Định nghĩa 1.2.3. (Góc tạo bởi hai đường tròn)
Cho hai đường tròn (O) và (O ) cắt nhau tại A. Góc tạo bởi hai đường
tròn đã cho tại điểm A là góc giữa hai tiếp tuyến với hai đường tròn tại A.


13

Định nghĩa 1.2.4. (Đường tròn nghịch đảo)
Cho phép nghịch đảo I(O,k) .
- Nếu k > 0 thì hai điểm M và M = I(O,k) (M ) cùng nằm về một phía
đối với điểm O.
Khi đó tập hợp những điểm kép
của phép nghịch đảo I(O,k) là đường
√
tròn tâm O và có bán kính k . Ta
gọi đường tròn đó là đường tròn
nghịch đảo của phép nghịch đảo

I(O,k) .

Hình 1.5

Nhận xét 1.2.2. Nếu k < 0 thì
hai điểm M và M = I(O,k) (M )
nằm về hai phía đối với điểm O.
Khi đó ta không có điểm kép, do
đó không tồn tại đường tròn nghịch
đảo.

Hình 1.6

Định nghĩa 1.2.5. (Cực và đối cực)
Trên mặt phẳng cho đường tròn

(O) và một điểm S khác O. Cho
phép nghịch đảo tâm O, phương
tích k = R2 biến S thành S và

d là đường thẳng qua S , vuông góc
với OS .
Hình 1.7
Khi đó:
- Đường thẳng d gọi là đường đối cực của S đối với đường tròn (O).
- Điểm S gọi là cực của d đối với đường tròn (O).


14

1.2.2.

Tính chất

Cho phép nghịch đảo I(O,k) với k = 0.
Tính chất 1.2.1. I(O,k) là phép biến đổi 1 - 1.
Chứng minh. Thật vậy giả sử M1 , M2 có cùng một ảnh M trong phép
biến đổi đó, theođịnh nghĩa M1 , M2 cùng nằm trên trục OM và thỏa
 OM1 .OM = k
mãn các hệ thức
 OM .OM = k.
2

⇔ OM1 = OM2
−−→ −−→
⇔ OM1 = OM2 ⇒ M1 ≡ M2 .

Tính chất 1.2.2. Phép biến đổi I = I(O,k) ◦ I(O,k) là phép đồng nhất.
Chứng minh. Thật vậy, nếu M là ảnh của M trong phép biến đổi I(O,k)
thì từ hệ thức OM .OM = OM .OM = k , ta suy ra M lại là ảnh của M
trong phép biến đổi đó, nghĩa là I(O,k) ◦ I(O,k) : M → M .

Tính chất 1.2.3. Nếu A , B là ảnh của hai điểm A, B trong phép biến
|k|
đổi I(O,k) , thì A B = λAB , trong đó λ =
.
OA.OB
Chứng minh. Ta xét hai trường hợp:

• Trường hợp O, A, B thẳng hàng.
Theo định nghĩa các điểm A , B
nằm trên trục OAB và ta có

Hình 1.8

OA.OA = OB.OB = k.


15

k
OA − OB
−AB
k
= k.
.
−
= k.
OA.OB
OA.OB
OB OA
|k|
Ta suy ra A B = λAB , trong đó λ =
.
OA.OB
• Trường hợp O, A, B lập thành

Từ A B = OB − OA =

3 đỉnh của một tam giác. Từ

OA.OA = OB.OB = k , ta suy
ra OA.OA = OB.OB = |k|.

Do đó hai tam giác OAB và OB A
đồng dạng, nên

Hình 1.9
AB
OA
OA .OA
|k|
=
=
=
.
AB
OB
OA.OB
OA.OB
Từ đó suy ra A B = λAB.
Tính chất 1.2.4. Ảnh của một đường thẳng d đi qua tâm nghịch đảo là
chính đường thẳng d.
Chứng minh. Nếu A là điểm bất kì khác O và thuộc d, A là ảnh của A
qua phép nghịch đảo I(O,k) , thì O, A, A thẳng hàng. Điều đó chứng tỏ A
thuộc d.
Tính chất 1.2.5. Ảnh của một đường thẳng d không đi qua tâm nghịch
đảo là đường tròn đi qua tâm nghịch đảo.
Chứng minh. Thật vậy, từ O hạ

OH vuông góc với d và trên OH
ta xác định điểm H là ảnh của H .
Nếu M là điểm bất kì thuộc d khác

H và M là ảnh của M qua phép
nghịch đảo đó, thì ta có

OH.OH = OM .OM .

Hình 1.10


16

Điều đó chứng tỏ rằng M, M , H, H nằm trên một đường tròn và

M H ⊥ HH , nên OM ⊥ M H hay OM H = 900 . Suy ra M nằm
trên đường tròn đường kính OH .
Khi M thay đổi trên d thì M thay đổi trên đường tròn đường kính

OH .
Nếu M trùng với ∞ thì M trùng với tâm nghịch đảo O. Ngược lại,
nếu M là điểm bất kì trên đường tròn đường kính OH , thì ta xác định
điểm M là ảnh của M trong cùng phép nghịch đảo đó.
Tính chất 1.2.6. Ảnh của mọi đường tròn (γ) đi qua tâm nghịch đảo O
là một đường thẳng d không đi qua O và đường thẳng đó song song với tiếp
tuyến của (γ) tại O.
Chứng minh. Từ OM.OM = OH.OH ,
suy ra 4 điểm M, M , H, H cùng
thuộc một đường tròn.Vì OM ⊥

M H , nên HM ⊥ OH . Điều đó
chứng tỏ M thuộc d. Vậy ảnh của
mọi đường tròn (γ) đi qua tâm

nghịch đảo O là một đường thẳng d
không đi qua O. Mặt khác d ⊥ OH
nên d song song với tiếp tuyến của

Hình 1.11

(γ) tại điểm O.
Tính chất 1.2.7. Ảnh của mọi đường tròn (γ) không đi qua tâm nghịch
đảo O là một đường tròn (γ ). Đường tròn (γ ) cũng là ảnh của đường tròn
k
(γ) qua phép vị tự V(O,λ) , với λ = , trong đó p là phương tích của O đối
p
với (γ).
Chứng minh. Trên (γ) lấy điểm M bất kì. Gọi N là điểm chung thứ hai
của trục OM với (γ).


17

Ta kí hiệu M là ảnh của M , điểm

M nằm trên trục của OM và
OM .OM = k. (1.1)
Mặt khác OM .ON = p.

(1.2)

Từ (1.1) và (1.2) ta suy ra
k
OM = .ON . Điều đó chứng tỏ

p
M là ảnh của N trong phép vị tự
k
tâm O, hệ số vị tự . Tóm lại ảnh
p
của (γ) là đường tròn (γ ).

Hình 1.12

Tính chất 1.2.8. Góc tạo bởi đường thẳng d và đường tròn (γ) cùng đi
qua tâm nghịch đảo O có số đo bằng góc tạo bởi ảnh của chúng trong phép
nghịch đảo đó.
Chứng minh. Thật vậy, ảnh của d
trong phép nghịch đảo chính là d.
Ảnh của (γ) là đường thẳng d song
song với tiếp tuyến của (γ) tạo O.
Do đó góc tạo bởi d và d bằng góc
tạo bởi d và (γ).

Hình 1.13

Tính chất 1.2.9. Góc tạo bởi hai đường tròn (γ) và (γ ) cùng đi qua tâm
nghịch đảo O có số đo bằng góc tạo bởi ảnh của chúng trong phép nghịch
đảo đó.
Chứng minh. Ta biết rằng ảnh của hai đường tròn (γ) và (γ ) là hai đường
thẳng d và d không đi qua tâm nghịch đảo O.


18

Vì d song song với tiếp tuyến
của (γ) tại O, d song song với tiếp
tuyến

của (γ ) tại O, do đó góc

tạo bởi d và d bằng góc tạo bởi hai
tiếp tuyến

và

của (γ) và (γ )

tại O. Đó là điều cần chứng minh.

Hình 1.14

Tính chất 1.2.10. Nếu đường thẳng d và đường tròn (γ) không đi qua
tâm nghịch đảo O, thì góc tạo bởi d và (γ) có số đo bằng bằng số đo của
góc tạo bởi ảnh của chúng.
Chứng minh. Ta chứng minh rằng
ảnh của d trong phép nghịch đảo
là đường tròn (γ ) đi qua tâm O và
tiếp tuyến của (γ ) tại đó song song
với d. Ta kí hiệu (ε) là ảnh của (γ).
Vì (γ) không đi qua O, nên (ε) là
một đường tròn và cũng là ảnh (γ)
trong phép vị tự tâm O.

Hình 1.15

Do d và (γ) có điểm chung mà ta kí hiệu là M , nên (ε) và (γ ) có điểm
chung là M ảnh của M trong phép nghịch đảo đó. Ta kí hiệu d1 là tiếp
tuyến của (γ) tại M , (ε ) là ảnh của d1 trong phép nghịch đảo. Do d1 tiếp
xúc với (γ) tại M nên (ε ) tiếp xúc với (ε) tại M . Gọi x là tiếp tuyến của

(ε ) tại O. Rõ ràng x//d1 ( Theo tính chất 1.2.6).
Do đó góc tạo bởi (ε ) và (γ ) cũng chính là góc tạo bởi (ε) và (γ ), đó
là góc tạo bởi hai tiếp tuyến của hai đường tròn (ε) và (γ ) tại M . Vậy
góc tạo bởi d và (γ) bằng góc tạo bởi ảnh của chúng.
Tính chất 1.2.11. Góc tạo bởi hai đường tròn (γ) và (γ ) không cùng đi
qua tâm nghịch đảo có số đo bằng góc tạo bởi ảnh của chúng.


19

Chứng minh. Xét phép nghịch đảo tâm O, tỉ số k và hai đường tròn (γ1 )
và (γ2 ) .
Cả hai đường tròn (γ1 ) và (γ2 ) đều không đi qua tâm nghịch đảo O.
Khi đó, ảnh của hai đường tròn này qua phép nghịch đảo là hai đường
tròn (γ1 ) và (γ2 ). Hai đường tròn (γ1 ) và (γ2 ) cũng là ảnh của hai đường
tròn (γ1 ) và (γ2 ) trong phép vị tự tâm O. Do góc giữa hai đường tròn (γ1 )
và (γ2 ) bảo toàn qua phép vị tự, nên góc tạo bởi hai đường tròn (γ) và

(γ ) đều không đi qua tâm nghịch đảo có số đo bằng góc tạo bởi ảnh của
chúng.
Tính chất 1.2.12. Tích của hai phép nghịch đảo có cùng tâm O là I(O,k)
k
và I(O,k ) là một phép vị tự tâm O tỉ số .
k

Chứng minh. Nếu phép nghịch đảo I(O,k) biến M thành M và phép nghịch
đảo I(O,k ) biến M thành M thì:

OM .OM = k, OM .OM = k .
OM
k
= .
k
OM
k
Vậy tích của hai phép nghịch đảo đó là phép vị tự tâm O tỉ số .
k
Do đó suy ra

Tính chất 1.2.13. Nếu phép nghịch đảo I(O,k) (k = 0) thì mọi đường tròn
đi qua hai điểm tương ứng M và M = I(O,k) (M ) đều trực giao với đường
tròn nghịch đảo đó.
Chứng minh. Theo giả thiết ta có

OM .OM = k.
Giả sử (C) là một đường tròn bất
kì đi qua M và M .
Khi đó:

√
PO/(C) = OM .OM = ( k)2 .

Hình 1.16

20

Nếu dường tròn nghịch đảo tâm O có bán kính R =

√

k thì đường tròn

(C) trực giao với đường tròn (O). Vậy mọi đường tròn đi qua M, M (tạo
nên chùm đường tròn) đều trực giao với đường tròn nghịch đảo tâm O,
√
bán kính R = k .

1.3. PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG KHÔNG GIAN
1.3.1.

Định nghĩa

Định nghĩa 1.3.1. Cho một điểm O và một số k = 0. Với mỗi điểm M
bất kì trong không gian khác điểm O, ta dựng điểm M trên đường thẳng

OM sao cho OM .OM = k . Phép biến đổi f biến M thành M được gọi
là phép nghịch đảo tâm O, phương tích k .
Kí hiệu N(O,k) .
1.3.2.

Tính chất

Tính chất 1.3.1. Phép biến đổi N(O,k) là phép biến đổi 1-1 và có phép
biến đổi ngược là chính nó.

Chứng minh. Ta kí hiệu M1 , M2 là các điểm có cùng một ảnh M khác O,
theo định nghĩa ta có các điểm đó cùng nằm trên đường thẳng OM và
−−→ −−→
−−→ −−→
thỏa mãn các điều kiện sau OM1 .OM = k và OM2 .OM = k . Từ đó suy
ra:

−−→ −−→ −−→ −−→
OM1 .OM − OM2 .OM = 0
−−−→ −−→
⇔ M2 M1 .OM = 0
−−−→
−−−→ −−→
⇔ M2 M1 = 0 (Vì M2 M1 //OM )
⇔ M1 ≡ M2 .
−−→ −−→
Nếu M là ảnh của M , thì ta có OM .OM = k . Đẳng thức đó chứng tỏ
rằng phép nghịch đảo N(O,k) lại biến M thành M .