Bất đẳng thức Bunhiacopxki và ứng dụng trong hình học

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page1



I.Bất đẳng thức Bunhiacơpxki ( BCS ) :

Cho 2 bộ số thực
()
12
; ; ;
n
aa a và
()
12
; ; ;
n
bb b , mỗi bộ gồm n số. Khi đó ta có:

()
()
(
)
2
22 222 2
11 2 2 1 2 1 2

nn n n
ab a b a b a a a b b b+++ ≤+++ +++
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

12
12

n
n
a
aa
bb b
===
với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0.

II. Các hệ quả :
Hệ quả 1:

Nếu
11

nn
ax ax C++ =(khơng đổi) thì
()
22
1
22
1
min

n
n
C

xx
aa
++ =
+
+

đạt được khi
1
1

n
n
x
x
aa
==


Hệ quả 2:

Nếu
222
1

n
x
xC++ = (khơng đổi) thì
()
22
11 1

max
nn n
ax ax C a a
+
+= ++
đạt được khi
1
1
0
n
n
x
x
aa
== ≥


()
22
11 1
min
nn n
ax ax C a a++ =− ++
Dấu “=” xảy ra
1
1
0
n
n
x

x
aa
⇔==≤


III.Bất đẳng thức Bunhiacơpxki mở rộng:



• Mở rộng bất đẳng thức Bunhiacơpxki cho 3 dãy số thực khơng âm
()
12
; ; ;
n
aa a ;
()
12
; ; ;
n
bb b ;
()
12
; ; ;
n
cc c ta ln có :
()
()
(
)
(

)
2
33 333 333 3
111 222 1 2 1 2 1 2

nnn n n n
abc abc a bc a a a b b b c c c+++ ≤+++ +++ +++

Chứng minh:

Đặt
33 3 33 3 33 3
333
12 12 12
, ,
nn n
Aaa aBbb bCcc c= + ++ = + ++ = + ++
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page2

Nếu 0A = hoặc 0B = hoặc 0C = thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì khi đó cả hai vế của bất đẳng thức
đều bằng 0.
Vậy ta chỉ xét trường hợp
0; 0; 0ABC>>>
Đặt
;;
iii

iii
abc
xyz
ABC
===
với 1;2;3i =
Khi đó ta có:
333
123
333
123
333
123
1
1
1
xxx
yyy
zzz
⎧
++=
⎪
++=
⎨
⎪
++=
⎩
và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
111 2 22 3 33
1xyz xyz xyz++≤

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số khơng âm:
(
)
333
;; 1;2;3
iii
xyzi=
ta có:
333
111
111
333
222
222
333
333
333
3
3
3
x
xx
xyz
x
xx
xyz
x
xx
xyz
⎧

++
≤
⎪
⎪
⎪
+
+
≤
⎨
⎪
⎪
++
≤
⎪
⎩


Cộng các bất đẳng thức trên lại ta được:
111 2 22 3 33
1xyz xyz xyz
+
+≤(đpcm)
Đẳng thức xảy ra
111
111
222
222
333
333
abc

ABC
xyz
abc
xyz
ABC
xyz
abc
ABC
⎧
==
⎪
==
⎧
⎪
⎪⎪
⇔==⇔ ==
⎨⎨
⎪⎪
==
⎩
⎪
==
⎪
⎩

Hay
()
:: :: 1;2;3
iii
abc ABCi==tức là:

111 2 2 2 3 33
:: :: ::abc abc abc
=
=
• Tổng qt : bất đẳng thức Bunhiacơpxki mở rộng cho rộng cho m dãy số thực khơng âm:

Cho
m dãy số thực khơng âm:
()
12
; ; ;
n
aa a ,
()
12
; ; ;
n
bb b , … ,
()
12
; ; ;
n
KK K
Ta có:
()
(
)
(
)( )
11 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

m
mm mmm m m m m
nn n n n n
ab K a b K a b K a a a b b b K K K+++ ≤++++++ +++

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
11 1 2 2 2
: : : : : : : : :
nn n
ab K ab K a b K==( chứng minh tương tự như trên)



I- MỘT SỐ VÍ DỤ :

Bài 1:
Cho ,,
x
yz là ba số dương thỏa 4 9 16 49xy z++ =. Chứng minh rằng:
12564
49T
xy z
=
++≥
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page3

Đẳng thức xảy ra khi nào?
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho sáu số 2;3;4
x
yzvà
158
;;
x
yz
ta được:
()
()()()
2
2
2
222
12584 1 5 8
49. 4 9 16 2 3 4Txyz x y z
xy z
xyz
⎡
⎤
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
⎡⎤
⎢
⎥

=++ ++ = + + + +
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎜⎟
⎣⎦
⎢
⎥
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
⎣
⎦

2
2
158
2. 3. 4. 49xyz
xyz
⎛⎞
≥++ =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

12564
49T

xy z
⇒=+ + ≥
Đẳng thức xảy ra khi
1
2
158
5
234
3
4 9 16 49
2
x
xyz
y
xy z
z
⎧
=
⎪
⎧
⎪
==
⎪⎪
⇔=
⎨⎨
⎪⎪
++ =
⎩
=
⎪

⎪
⎩


Bài 2 : Cho 0; 0xy>> và
22
x
yxy+≤+.Chứng minh:
325xy+≤+
Hướng dẫn giải
Giả thiết:
22
22
111
222
xyxy x y
⎛⎞⎛⎞
+≤+⇔− +− ≤
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số:
()
11
1; 3 ; ;
22
xy
⎛⎞
−−
⎜⎟

⎝⎠
ta có:
2
22
11 11
1. 1 3. 10 5
22 22
yxy
⎡⎤
⎡⎤
⎛⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
−+−≤ −+−≤
⎢⎥
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦

()
2
32 5xy⇒+− ≤
32 5xy⇒+ −≤
325xy⇒+ ≤+
Đẳng thức xảy ra khi
15
210
135
210

x
y
⎧
=+
⎪
⎪
⎨
⎪
=+
⎪
⎩


Bài 3 :
Cho , , 0abc≥ ; 1abc++=.Chứng minh:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page4

222
1111
30
ab bc ac
abc
+
++≥
++

Hướng dẫn giải
Gọi
222
1111
A
ab bc ac
abc
=+++
++

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số:
(
)
222
222
1111
;;;
;3 ;3 ;3
ab bc ca
abc
abc ab bc ca
⎛⎞
⎜⎟
++
⎝⎠
++

Ta có:
()
()

2
222
1333 9 9 9a b c ab bc ca A+++ ≤ + + + + +

()( )
2
100 7abc abbcca A
⎡⎤
⇒≤+++ ++
⎣⎦
(*)
Mà
()
2
11
(do 1)
33
ab bc ca a b c a b c++≤ ++ = ++=
Do đó: (*)
30.A⇒≥
Đẳng thức xảy ra khi
1
3
abc===
Bài 4 : Cho ; ; 0xyz> và thoả 1
x
yz++≤.Chứng minh :
222
222
111

82xyz
xyz
++ ++ +≥

Hướng dẫn giải
Gọi
222
222
111
Sx y z
x
yz
=+++++

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số:
()
1
1; 9 ; ;x
x
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Ta có:
22
22
911
181. 82.xxx
x
x

x
+≤ + + = +
(1)
Tương tự:
2
2
91
82.yy
y
y
+≤ +
` (2)

2
2
91
82.zz
z
z
+≤ +
(3)
Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được:
111
.82 9Sxyz
x
yz
⎛⎞
≥+++ + +
⎜⎟
⎝⎠

Hay
() ()
111
.82 81 9 80Sxyz xyz
xyz
⎛⎞
≥+++++−++
⎜⎟
⎝⎠

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page5


()
111
2.9.3. 80 162 80 82xyz
xyz
⎛⎞
≥++++−≥−=
⎜⎟
⎝⎠

Vậy
222
222

111
82xyz
xyz
++ ++ +≥


Bài 5 : Cho ba số thực dương ,,abcthoả ab bc ca abc
+
+= .Chứng minh rằng:
22 22 22
222
3
ba cb ac
ab bc ca
+++
++≥

Hướng dẫn giải
Ta có:
22 22
22 2 2
2211
2
ba ba
ab
ab a b
++
==+
(do ,abdương)
Đặt

111
;;xyz
abc
===
thì
giả thiết
,, 0 ;; 0
1
abc xyz
ab bc ca abc x y z
>>
⎧⎧
⇔
⎨⎨
++= ++=
⎩⎩

và (đpcm)
22 22 22
2223xy yz zx⇔+++++≥
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
()
(
)
()
2
22 222
323
x
yxyyxyy+=++≥++

()
22
1
22
3
x
yxy⇒+≥ +
Tương tự
()
22
1
22
3
y
zyz+≥ +

()
22
1
22
3
zx zx+≥ +
Vậy
()
22 22 22
1
2223333
3
xy yz zx xyz+++++≥ ++=

Đẳng thức xảy ra khi
1
3
xyz===
Với
1
3
xyz=== thì
3abc===


Bài 6 : Chứng minh:
()
111 1abccab−+ −+ −≤ + với mọi số thực dương
;; 1abc≥

Hướng dẫn giải
Đặt
222
1;1;1axbycz−= −= −=
Với ; ; 0.xyz> Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
()()()
222
1111xyz z x y
⎡
⎤
++≤ + + ++
⎣
⎦

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page6

()() ()
(
)
22 22
11 11
x
yx y xyzx y z+≤++⇒++≤+++ (1)
()() ()()
22 22 2
11 111.1xy zxy z+++≤++++ (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có
()()()
222
1111xyz z x y
⎡
⎤
++≤ + + ++
⎣
⎦

Vậy
()
111 1abccab−+ −+ −≤ + (đpcm)

Bài 7 : Cho ; ; 0abc> và thoả
1abc =
.Chứng minh:

()()()
333
1113
2
abc bca cab
++≥
+++

Hướng dẫn giải
Đặt
111
;;xyz
abc
===
1; 0; 0; 0xyz x y z⇒=>>>
Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau : A=
222
3
2
xyz
yz zx xy
+
+≥
+++

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số :
()
;; ; ; ;
xyz
yz zx xy
y
zzxxy
⎛⎞
+++
⎜⎟
⎜⎟
+++
⎝⎠

Ta có:
()( )
2
x
yz yzzxxyA++ ≤ +++++
3
33
.
22 2
xyz
Axyz
++
⇒≥ ≥ =(do 1xyz = )
3
2
A⇒≥

Đẳng thức xảy ra khi 1
x
yz===
Với 1
x
yz===thì 1.abc===


Bài 8 : Cho ; ; 0abc> .Chứng minh:
()() ()() ()()
1
abc
a abac b bcba c cacb
++≤
++ + ++ + ++ +

Hướng dẫn giải

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số:
(
)
(
)
;;;ab ca
Ta có:
()
()() ()()
2
ac ab a b c a ac ab a b c a+≤++⇒+≤++
()()

aacaba abca⇒+ + ≤+ + +
()()
aaa
aacab abc
aabac
⇒≤=
++ ++
++ +
(1)
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page7

Tương tự:
()()
bb
abc
bbcba
≤
++
++ +
(2)

()()
cc
abc
ccacb
≤

++
++ +
(3)
Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được:
()() ()() ()()
1
abc
a abac b bcba c cacb
++≤
++ + ++ + ++ +

Đẳng thức xảy ra khi
abc==.

Bài 9 : Cho ; 0ab> và thoả
22
9ab+=.Chứng minh :
32 3
32
ab
ab
−
≤
++

Hướng dẫn giải
Ta có:
22
9ab+=

()
()()
2
29
233
ab a b
ab a b a b
⇔=+−
⇔=++ +−

2
3
3
3
322
ab
ab
ab
ab a b
ab
⇔=+−
++
+
⇔=−
++

Mà theo BĐT Bunhiacơpxki thì
22
2. 3 2ab a b+≤ + =
Nên

32 3
32
ab
ab
−
≤
++

Đẳng thức xảy ra khi
22
;0
3
9
2
ab
ab ab
ab
>
⎧
⎪
⎪
+=⇔==
⎨
⎪
⎪
=
⎩

Bài 10: Cho ; ; ;abcddương tuỳ ý.Chứng minh :
111

p
qpqpq
a b c pa qb pb qc pc qa
+
++
++≥ + +
+++

Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có
() ()
2
2

pq pq
p
qpaqb paqb
ab ab
⎛⎞
⎛⎞
+= + ≤+ +
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠

Tương tự ta chứng minh được
() ()() ()
22

;
pq pq
p
qpbqcpqpcqa
bc ca
⎛⎞ ⎛⎞
+≤+ + +≤+ +
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

Cộng các vế tương ứng của ba bất đẳng thức ta có :
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page8

() ()
2
111 111
pq pq
p
aqb pbqc pcqa abc
⎡⎤
⎛⎞
+++≤+++
⎜⎟
⎢⎥
+++
⎝⎠

⎣⎦

Hay
()
111111
pq
p
aqb pbqc pcqa abc
⎡⎤
+++≤++
⎢⎥
+++
⎣⎦

Vậy
111
p
qpqpq
a b c pa qb pb qc pc qa
+
++
++≥ + +
+++


Bài 11 : Cho 4 số dương ;;;abcd.Chứng minh:
33332222
3
a b c d abcd
bcd cda bd a abc

+++
+++≥
++ ++ + + ++

Hướng dẫn giải
Đặt
3333
abcd
P
bcd cd a bda abc
=+++
++ ++ ++ ++

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số:
()()()()
()
3333
;;;; ;;;
abcd
ab c d bc d a cd b a d a b c
bcd cd a bd a abc
⎛⎞
++ ++ ++ ++
⎜⎟
⎜⎟
++ ++ ++ ++
⎝⎠

Ta có:
()

()()()()
2
222 2
a b c d Pabcd bcda cd ab dabc+++ ≤ +++ +++ +++ ++⎡⎤
⎣⎦


()
()
(
)
2
2
222 2 222 2
abcd Pabcd abcd
⎡⎤
⇔ +++ ≤ +++ − +++
⎣⎦
(1)
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số:
()
(
)
; ; ; ; 1; 1;1;1abcd ta được:
()
()
2
222 2
4abcd abcd+++ ≤ + + + (2)
Từ (1) và (2) ta được

()
(
)
2
222 2 222 2
222 2
3
3
abcd Pabcd
abcd P
+++ ≤ +++
⇔+++≤

Vậy
33332222
3
a b c d abcd
bcd cda bda abc
+++
+++≥
++ ++ ++ ++


Bài 12 :
Cho các số dương ;;abc thỏa a + b + c = 1 . Chứng minh : 1
111
abc
ba cb ac
+
+≥

+− +− +−

Hướng dẫn giải
Đặt
111 222
abc abc
A
ba cb ac bc ca ab
=++ =++
+− +− +− + + +

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
() () () ()
()()()
2
2
222
222
222
222
abc
abc a bc b ca c ab
bc ca ab
abc
abc bca cab
bc ca ab
⎡⎤
++ = + + + + +
⎢⎥
++ +

⎣⎦
⎡⎤
≤++ +++++
⎡⎤
⎣⎦
⎢⎥
+++
⎣⎦

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page9

()
()
2
3
abc
A
ab bc ca
++
⇔≥
++

Ta lại có:
()( )
2
3abc abbcca++ ≥ + +

. Suy ra
(
)
()
3
1
3
ab bc ca
A
ab bc ca
++
≥=
++

Vậy
1
111
abc
ba cb ac
++≥
+− +− +−

Dấu đẳng thức xảy ra khi
222
1
3
1
bc ca ab
abc abc
abc

+= += +
⎧
⎪
== ⇔===
⎨
⎪
++=
⎩

Bài 13 : Giả sử các số thực ;;;
x
yztthoả mãn điều kiện:
(
)
(
)
22 22
1ax y bz t
+
++= với ;ablà hai số dương cho
trước. Chứng minh:
()()
ab
xzyt
ab
+
++≤
Hướng dẫn giải
Do ; 0ab> nên từ giả thiết ta có:
()()

2222
22 22
22 22
1
1
1

xy zt
ax y bz t
baab
xzyt
babaab
++
++ +=⇔ + =
⇔+++=

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
() ()
2
22
2

x
zxz
xz b a ba
ba
ba
⎛⎞
⎛⎞
+= + ≤+ +

⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
(1)
Tương tự :
()()
22
2
y
t
yt ba
ba
⎛⎞
+≤+ +
⎜⎟
⎝⎠
(2)
Cộng từng vế (1) và (2) ta được:

()()()
22 22
22
x
zyt ab
xz yt ba
baba ab
⎛⎞
+
+++≤+ +++ =

⎜⎟
⎝⎠
(3)
Mặt khác
()()()()
22
2
x
zyt xzyt+++≥ + + (4)
Do đó từ (3) và (4) suy ra:
()()
ab
xzyt
ab
+
++≤

Dấu đẳng thức xảy ra
xz
ba
xy
yt
ax
ba
zt
b
xz yt
⎧
=
⎪

=
⎪
⎧
⎪⎪
⇔= ⇔
⎨⎨
==
⎪⎪
⎩
+=+
⎪
⎪
⎩


www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page10

Bài 14 : Cho các số thực dương ;;;
x
yztthoả mãn 1.xyzt
=
Chứng minh:
()()()()
3333
11114
3

x yz zt ty y xz zt tx z xt ty yx t xy yz zx
+++ ≥
++ ++ ++ + +

Hướng dẫn giải
Với
;;;
x
yzt
dặt
1111
; ; ; ( ; ; ; 0)abcd abcd
xyzt
==== >và
1abcd
=

1111
;;;xyzt
abcd
⇒= = = =

Bất đẳng thức cần chứng minh tương với:
333 3
11114
11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1
3
bc cd bd ac cd ad ad bd ab ab bc ac
abc d
+++≥

⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
++ ++ ++ ++
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠

3333
4
3
abcd
bcd cda dab abc
bcd adc abd abc
⇔+++≥
++ + + ++ ++

()()()()
333 3
4
3
abcd
abcd bcda cd ab dabc
⇔+++≥
++ + + ++ ++
(vì
1abcd =
)
2222
4
3
abcd
bcd cd a d ab abc

⇔+++≥
++ + + ++ ++

Đặt
2222
abcd
S
bcd cd a d ab abc
=+++
++ + + ++ ++

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:

()()()()( )
2
.S bcd cda dab abc abcd++ + + + + ++ + ++ ≥ +++
⎡⎤
⎣⎦

()
()
()
2
1
33
abcd
Sabcd
abcd
+++
⇒≥ = +++

+++
(1)
Áp dụng BĐT Cauchy với 2 số dương:
2 ; 2ab ab cd cd+≥ +≥
Suy ra
()
2abcd ab cd+++ ≥ +
Lại áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương
;ab cd ta có:
4
222ab cd abcd abcd+≥ = =
(vì
1abcd
=
) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
4
3
S ≥
Vậy
333 3
11114
11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1
3
bc cd bd ac cd ad ad bd ab ab bc ac
abc d
+++≥
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞
++ ++ ++ ++
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠

Dấu đẳng thức xảy ra khi
11abcd x yzt====⇔==== .

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page11

4444
1234
3333
1234
1
4
xxxx
xxxx
+++
≥
+++
Bài 15 : Cho
1234
;;;
x
xxxdương thoả điều kiện
1234
1xx xx
+

++=.Chứng minh :




Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
()
(
)
2
2222
1234 1 2 3 4
14
x
xxx xxxx= +++ ≤ +++
2222
1234
1
4
xxxx⇒+++≥
(1)
•
()
(
)
2
2222 3 3 3 3
1234 11 22 33 44

x
xxx xxxxxxxx+++ = + + +

()
()
3333
12341 234
x
xxxxxxx≤+++ +++

3333
1234
x
xxx=+++
(vì
1234
1xxxx+++=)

3333
2222
1234
1234
2222
1234
xxxx
x
xxx
xxxx
+++
⇔ ≥+++

+++
(2)
•
()
2
3333
1234
x
xxx+++

()
2222
11 2 2 33 4 4

x
xxxxxxx=+++

()()
22224444
12341234
x
xxxxxxx≤ +++ +++

4444 3333
1234 1234
3333 2222
1234 1234
x
xxx xxxx
x

xxx xxxx
+++ +++
⇒≥
+++ +++
(3)
Từ (1);(2) và (3) suy ra:




Bài 16 : Cho bốn số dương ; ; ;abcd.Chứng minh:
()
()
()
()
()
()
()
()
444 4
22 22 2 2 22
4
abc dabcd
aba b bcb c cdc d dad a
+++
++ + ≥
++ ++ ++ ++

Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:

()
()()
()
(
)
(
)
22
22 22 22 22
224ab ab abab ab ab+≤ +⇔+ +≤ +≤ + (1)

()
()
()
44
22
1
4
ab
ab
aba b
+
⇔≥+
++

Mặt khác:
()
()
44
22

ab
ab
aba b
−
=−
++

Đặt
()
()
()
()
()
()
()
()
444 4
22 22 2 2 22
abc d
N
abab bcbc cdcd dad a
=+++
++ ++ ++ ++

4444
1234
3333
1234
1
4

xxxx
xxxx
+++
≥
+++
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page12

Ta có:
()()
()
()
()()
()
()
(
)
(
)
()
()
(
)( )
()
()
44 44 44 44 4 4 4 4 44 44
22 22 2 2 22

2
ab ab bc bc cd cd d a da
N
aba b bcb c cdc d dad a
−++ −++ −++ −++
=+++
++ ++ ++ ++
(1)
() () () ()
1111
2
4444
Nababbcbccdcddada⇔≥ ++−+ ++−+++−+ ++−

()()
11
2
44
N abbccdda N abcd⇔ ≥ +++++++ ⇔ ≥ +++ ( đpcm )


Bài 17 : Cho ; ;abclà các số thực dương.Chứng minh:
222
1
888
abc
abcbaccab
+
+≥
+++

(Trích đề thi Olympic Tốn Quốc Tế lần thứ 42, năm 2001)
Hướng dẫn giải
Đặt
222
888
abc
A
abcbaccab
=++
+++

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki hai lần ta được:
()
2
2
222
444
222
444
222
222
333
8 8 8
888
. 8 8 8
888
. . 8 . 8 . 8
abc
abc aa bc bb ac cc ab

abc bac cab
abc
a a bc b b ac c c ab
abcbaccab
A a a abc b b abc c c abc
⎡⎤
++ = + + + + +
⎢⎥
+++
⎣⎦
⎡⎤
⎡
⎤
≤++ +++++
⎢⎥
⎣
⎦
+++
⎣⎦
⎡⎤
=+++++
⎣⎦


()
()
333
.24A abca b c abc≤+++++ (1)
Mặt khác
() ()()()

3
333
3abc a b c abbcac++ = + + + + + +
Áp dụng BĐT Cauchy với hai số dương ta có:
2 ; 2 ; 2a b ab b c bc a c ac+≥ +≥ +≥
Suy ra:
()()()
8a b b c a c abc+++≥

() ()()()
3
333 333
324abc a b c abbcac a b c abc⇒++ =+++ + + +≥+++ (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
()()()()
232
abc A abcabc Aabc++ ≤ ++ ++ = ++
Do đó
1
A
≥
, nghĩa là
222
1
888
abc
abcbaccab
++≥
+++

Dấu đẳng thức xảy ra khi
abc==.

Bài 18 : Cho ; ;xyz
+
∈  thoả 1xy yz zt tx+ ++=.Chứng minh:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page13

3333
1
3
xyz t
yztxztxytxyz
+++ ≥
++ ++ ++ ++

Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
()
()
(
)
2
22222222
x
yyzzttx x y z t y z t x+++ ≤ +++ +++

2222
1
x
yzt⇔≤ + + + (1)
Đặt: ; ; ;
X
y z tY x z tZ x y tT x y z=++ =++ =++ =++
Khơng mất tính tổng qt giả sử:
x
yzt≥≥≥
2222
x
yzt⇒≥≥≥và
3333
x
yzt≥≥≥
và
y
zt xzt x yt x yz X Y Z T++≤++≤++≤++⇔ ≤ ≤ ≤
1111
X
YZT
⇒≥≥≥
Áp dụng BĐT Trê-bư-sếp cho hai dãy số sau:
3333
1111
x
yzt
X
YZT

⎧
≥≥≥
⎪
⎨
≥≥≥
⎪
⎩


()
3333
3333
11111
4
xyzt
x
yzt
XY ZT XYZT
⎛⎞
+++≥ +++ +++
⎜⎟
⎝⎠
(2)
Áp dụng BĐT Trê-bư-sếp cho hai dãy
2222
xyzt
x
yzt
≥≥≥
⎧

⎨
≥≥≥
⎩


()
()
()
3333 2222
1
4
x
yzt xyztxyzt+++ ≥ +++ +++
Mặt khác:
()()
11
33
x
yzt xyzxytxztyzt XYZT+++= +++++++++++ = +++

()()
()
3333 2222
11
.
43
x
yzt xyzt XYZT⇒+++≥ +++ +++ (3)
Từ (2) và (3) rút ra:
()

()
3333
2222
1 1111
48
xyzt
xyztXYZT
X
YZT XYZT
⎛⎞
+++≥ +++ +++ +++
⎜⎟
⎝⎠

Theo (1) ta lại có:
2222
1
x
yzt≤+++
Áp dụng BĐT Cauchy cho
;;; 0XYZT> ta có:
()
4
4
4
1111 1
4

1111
.16

XYZT XYZT
XYZT XYZT
XYZT
XYZT
+++≥
+++≥
⎛⎞
⇒+++ +++≥
⎜⎟
⎝⎠

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page14

Vậy
3333
11
.1.16
48 3
xyzt
XY ZT
+++≥ =
Thay
;;;
X
YZTta được kết quả:
3333

1
3
xyz t
yztxztxytxyz
+++ ≥
++ ++ ++ ++

Dấu đẳng thức xảy ra khi
1
2
xyzt====

Bài 19 : Cho n là số tự nhiên.Chứng minh rằng:
(
)
12
2 1
nn
nn n
CC C n+++≤ −
Hướng dẫn giải
Chọn hai dãy
(
)
()
12
12 12
; ; ; ; 1
n
nnnn n

aCaCaCbb b== = ====
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
(
)
()
()
2
12 12
1 1 1
nn
nn n nn n
CC C CC C+++ ≤+++ +++ (1)
Theo nhị thức Newton ta có:
()
1
n
n
kknk
n
k
ab Cab
−
=
+=
∑

Cho
1ab==.Ta có:
01 1
2 2 1

nnnn
nn n n n
CC C C C=+++⇒−=++
Vậy từ (1) ta có:
(
)
12
2 1
nn
nn n
CC C n+++≤ −
Dấu đẳng thức xảy ra khi
12
1
n
nn n
CC Cn===⇔=
.

Bài 20 : Cho ; ; ; 0abcd> .Chứng minh :
2
23 2 3 23 23 3
abcd
bcdcdad ababc
+
++≥
++ + + ++ ++

(Trích đề dự bị Quốc Tế Tốn Mỹ năm 1993)
Hướng dẫn giải

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
2
11 1
nn n
i
ii i
ii i
i
x
x
yx
y
== =
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
≥
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
∑∑ ∑

với
()()( )
(
)
1234 1234
4; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2 3 ; 2 3 ; 2 3 ; 2 3n x x x x abcd y y y y b c dc d ad a ba b c== =++++++++

⇒VT

()
()
2
4
abcd
ab ac ad bc bd cd
+++
≥
++ +++
(1)
Mặt khác
()()
2
3
8
ab ac ad bc bd cd a b c d++ +++ ≤ +++ (2)
Từ (1) và (2) ⇒VT
2
3
≥ ( đpcm )

Bài 21 : Cho 0; 0; 0abc>>>.Chứng minh :
444333
2
a b c abc
bc ca ab
+
+
++≥
++ +

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page15

Hướng dẫn giải
Đặt
444
222
123
;;
abc
xxx
bc ca ab
===
++ +
và
() () ()
2
22 22 2
123
;;abc ybca ycab y
+
=+=+=
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có cho các số
123
;;
x

xxvà
123
;;
y
yyta được:
()()()
()
444
2
2
2
22 333
abc
abc bca cab a b c
bc ca ab
⎛⎞
⎡⎤
++ +++++≥++
⎜⎟
⎣⎦
++ +
⎝⎠

Nên
()
()()()
2
333
444
2

22
abc
abc
bc ca ab
abc bca cab
++
++≥
++ +
++ ++ +

Để chứng minh được bài tốn ta cần chứng minh:
()
()()()
2
333 2 2
2 abc abcbcacab++ ≥ ++ ++ + (**)
(**)
332 2 332 2332 2
0ababbabcbcbccacaca⇔+−−++−−++−−≥

()()()()()()
222
0ab ab bc bc ca ca⇔− ++− ++− +≥
(***)
Bất đẳng thức (***) là đúng ⇔ (**) là đúng – Bài tốn đúng.
Vậy
444333
2
abcabc
bc ca ab

++
++≥
++ +


Bài 22 : Cho 0; 1;2; ;
i
x
in>= có
12
1
n
xx x+++=.Cho
12
; ; ;
n
ii i
x
xxlà hốn vị của
12
; ; ;
n
x
xx.Chứng minh:
(
)
2
2
2
1

1
1
k
n
k
k
i
n
x
xn
=
⎛⎞
+
+≥
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑

Hướng dẫn giải
Theo Bunhiacơpxki:
2
22
11 11
11 1
.
kk k
nn nn
kkk
kk kk

ii i
nx x x
xx x
== ==
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
+≥ + = +
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
⎣⎦
∑∑ ∑∑

Mà
1
1
n
k
k
x
=
=
∑

2
22
11 1
1

11
k
kk
k
nn n
i
n
kk k
ii
i
k
n
x
nn
xx
x
== =
=
⎛⎞
⎛⎞
≥⇒ ≥ =
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
∑∑ ∑
∑

Vậy

(
)
2
2
2
1
1
1
k
n
k
k
i
n
x
xn
=
⎛⎞
+
+≥
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑




BÀI TẬP :

Bài 1:
Cho
;;; 0abcd>
và thỏa
()
3
22 22
cd ab+= + .Chứng minh:
33
1
ab
cd
+
≥
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page16

Bài 2: Cho ;;; 0abcd> .Chứng minh:
11416 64
abc d abcd
+++ ≥
+
++

Bài 3: Cho ;;abclà 3 số dương và
222

1abc++≥.Chứng minh:
333
1
2
abc
bc ca ab
+
+≥
++ +

Bài 4: Cho
222
1abc++=
.Chứng minh: 13abcabacbc+++ + + ≤+
Bài 5: Cho ;;abclà các số dương.Chứng minh:
444222
222222
3
abcabc
abab bbcc caca
++
++≥
+
+++++

Bài 6: Cho 3 số ;;
x
yzthoả
()()()
4

111
3
xx yy zz−+ −+ −≤.Chứng minh: 4xyz
+
+≤
Bài 6: Cho ; ;abclà 3 số khơng âm.Chứng minh:
222
333
ab bc ca
abc
+++
++≥++

Bài 7: Cho 3 số dương ; ;abccó
1abc =
.Chứng minh:
22 22 22
3
2
bc ca ab
ab ac bc ba ca cb
+
+≥
+
++

Bài 8: Cho 3 số dương ;;
x
yzcó 1
x

yz++=.Chứng minh:
1
11933
2
y
xz
yz zx xy
+
+++
++≥
+++

Bài 9: Chứng minh:
()
2
abc
abc
xyz xyz
++
++≥
++

Bài 10: Cho 0xyz≥≥>.Chứng minh:
()
222
2
222
xy yz zx
x
yz

zxy
++≥++

Bài 11: Cho 1; 1ab≥≥.Chứng minh:
22 2
log log 2 log
2
ab
ab
+
⎛⎞
+≤
⎜⎟
⎝⎠

Bài 12: Cho ; ; 0abc> .Chứng minh:
()
()
2
333
111
abc abc
abc
⎛⎞
++ ++ ≥++
⎜⎟
⎝⎠

Bài 13: Cho ; ;abc∈  .Chứng minh:
() () ()

222
222
32
111
2
abbcca+− + +− + +− ≥
Bài 14: Cho ;; 0xyz> và
3
2
xyz++≤.Chứng minh:
222
222
1113
17
2
xyz
xyz
++ ++ +≥
Bài 15: Cho trước 2 số dương ;abvà 2 số dương ;cdthay đổi sao cho abcd
+
<+.Chứng minh:

()
2
22
ac
ca
cd abcd ab
−
+≥

++−−+
. Dấu “=” xảy ra khi nào?
Bài 16: Cho
12
; ; ;
n
aa alà các số thực thoả mãn
22 2
12
3
n
aa a
+
++ =.Chứng minh:
12
2
23 1
n
a
aa
n
+++ <
+

Bài 17: Cho ; ; ; ; 0abc pq> .Chứng minh:
3abc
p
bqc pcqa paqb pq
++≥
+

+++

Bài 18: Chứng minh rằng với mọi
()
1;2; ;
i
ai n∈= ta có:
() () ()
22 2
22 2
1223 1
1 1 1
2
n
n
aaaa aa+− ++−+++−≥
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page17








Bài 1: Cho

A
BCΔ
thoả mãn hệ thức:
333 2
2( )
9
a b c abc
br cR cr aR ar bR R
++
++=
++ +
(1).CM
A
BCΔ
đều
Hướng dẫn giải
Để đơn giản ta đặt:
0
0
0
xbrcR
ycraR
zarbR
=+ >
=+ >
=+ >
(2)
vậy (1)
333 2
2( )

9
abc abc
xyz R
++
⇔++=

Từ (2) ta có:
()()ax by cz ab bc ca r R++= ++ +(3)
333
444 2 2 2 2 2 2
()( ) ()()()
abc y x z y x z
ax by cz a b c ab a b bc b c ca c a
x
yz x y y z z x
++ ++ =+++ + + + + +

Theo BĐTCauchy,ta có:
333
444 2222
( )( ) 2 . .2 .2 ( )
abc
ax by cz a b c ab ab bc bc ca ca a b c
xyz
++ ++ ≥+++ + + ≥ ++

Suy ra :
()
333 222
()

()
()
abc abc
x
y z ab bc ca r R
++
++ ≥
++ +
(theo 3) (4)
mặt khác ta ln có (Cauchy):
222
a b c ab bc ca++≥ ++

nên (4):
333 2222 222
222
()
()()
a b c abc abc
x y z a b c rR rR
++ ++
++≥ =
++ + +


2
()
3( )
abc
rR

++
≥
+
(theo BĐT BCS)
Mà
9
23( )3( )
22
R
R
Rr rR R≥⇒ +≤ +=
từ đó:
333 2
2( )
9
abc abc
xyz R
++
++≥

333 2
2( )
9
a b c abc
br cR cr aR ar bR R
++
⇒++≥
++ +

www.MATHVN.com

www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page18

dấu “=” xảy ra khi
222222
,,
abc
Rr
y
yz yx z
abbcca
x
zy zy x
⎧
⎪
==
⎪
⎪
=
⎨
⎪
⎪
===
⎪
⎩

⇔
A

BC
Δ
đều

Bài 2 : CM: 1 cos cos cos 3sin sin sinABC ABC+≥ với A, B,C nhọn
Hướng dẫn giải
Do tgA>0,tagB>0,tgC>0 và 1
22 22 22
AB BC C A
tg tg tg tg tg tg++=
Áp dụng BCS ta có:
22 22 22
1
22 22 223
AB BC C A
tg tg tg tg tg tg++≥
(1)
Mặt khác theo BĐT Cauchy ta có:
222
3
3
22 22 22 2 2 2
AB BC C A A B C
tg tg tg tg tg tg tg tg tg++≥
(2)
1
3
2223
ABC
tg tg tg⇔≤

từ (1)và(2):
22 22 22
4
143
22 22 223 222
AB BC C A ABC
tg tg tg tg tg tg tg tg tg+++≥≥
222 222
111 111 83
222 222 222
ABC ABC ABC
tg tg tg tg tg tg tg tg tg
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⇔+ + + +− − − ≥
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠

222
222 222
111 222
222 222
1 3
111 111
222 222
ABC ABC
tg tg tg tg tg tg
ABC ABC
tg tg tg tg tg tg
−−−

⇔+ ≥
+++ +++

1 cos cos cos 3sin sin sinABC ABC⇔+ ≥
Dấu “=” xảy ra khi
A
BCΔ
đều

Bài 3 : Cho a, b, c, là số đo 3 cạnh Δ.chứng minh rằng
acb
a
T
−+
=
22
+
1
2222
≥
−+
+
−+ cba
c
bac
b

Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho 6 số:
()()()

cbacbacbacba
cba
c
bac
b
acb
a
−+−+−+
−+−+−+
22;22;22;
22
;
22
;
22

Ta có:
()()()
[]
(
)
2
222222. cbacbacbacbacbaT ++≥−++−++−+
Sau đó dùng biến đổi tương đương chứng minh:
(a + b+ c)
2
≥ 4ab +4bc +4ca –a
2
–b
2

- c
2

Từ đó suy ra đpcm.

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page19

Bài 4 : Cho ABCΔ và đường tròn nội tiếp Δ , các tiếp tuyến của đường tròn song song với 3 cạnh của
Δ
nhỏ
và
có diện tích S
1
; S
2
; S
3
. Gọi S là diện tích
ABC
Δ
. Chứng minh:
3
321
S
SSS ≥++

Hướng dẫn giải
Giả sử S
1
= S
AMN
Ta có: AMNΔ đồng dạng ABCΔ với tỉ số đồng dạng là:
ha
rha 2
−
với r là bán kính đường tròn nội tiếp và h
a
là
đường cao kẻ từ đỉnh A.
Ta có:
2
2
1
1
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎠

⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
p
a
ha
rha
S
S

(Vì S =
p
a
ha
r
praha =⇒=
2
2
1
với p là nửa chu vi)
Vậy:
p
a
S
S
−=1
1

Tương tự:
p
b
S
S
−=1
2
;
p
c
S
S
−=1
3

Do đó:
13
321
=
++
−=
++
p
cba
S
SSS

Áp dụng BĐT Bun ta có:
S =

()
()
()
321
222
2
321
111.1.1.1 SSSSSS ++++≤++
⇒
123
3
S
SSS++≥ (đpcm). Dấu “=” xảy ra khi
ABC
Δ
đều

Bài 5 : Cho ABCΔ và 1 điểm Q nào đó ở trong
Δ
. Qua Q kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở M và cắt
BC ở N. Qua điểm Q kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở F; cắt BC ở E. Qua E kẻ đường thẳng song
song với BC cắt AC ở P, cắt AB ở R. Kí hiệu S
1
= dt(QMP); S
2
= dt(QEN); S
3
= dt(QFR) và S =
dt(ABC).Chứng minh:
a)

()
2
123
SSSS=++ b)
123
1
3
SSS S++≥

Hướng dẫn giải
a) Ta có: QMPΔ đồng dạng
B
ACΔ (tỉ số
M
P
AC
).
Suy ra
2
1
1
S
S
M
PMP
SAC AC
S
⎛⎞
=⇒=
⎜⎟

⎝⎠
.
Tương tự
3
2
;
S
S
PC AM
AC AC
SS
==
Do đó:
123
1
SSS
MP PC AM AC
AC AC
S
++
++
===
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page20

Suy ra:
()

2
123 123
SSSSSSSS=++⇒= ++
b) Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
()
()
()
2
222
123 123
123
1. 1. 1. 1 1 1
1
Suy ra
3
SSSS SSS
SSS S
=++ ≤++++
++≥

Dấu “=” xảy ra khi
123
SSS== ⇔ Q là trọng tâm ABC
Δ


Bài 6 : Cho a , b , c là 3 cạnh của tam giác.Chứng minh:
abc
abc
bca cab abc

++≥++
+− +− +−

Hướng dẫn giải
Đặt
0
0
0
bca x
cab y
abc z
+−= >
⎧
⎪
+−= >
⎨
⎪
+−=>
⎩

Khi đó ta cần chứng minh:
() () ()
()
222
222
2 (1)
yz zx xy yz zx xy
xyz
yz y z zx z x xy x y xyz x y y z x z
+++ + + +

++≥ + +
⇔+++++≥ +++++

Dễ thấy
()
(1) 2VT xy yz zx≥++ (2)
Theo BĐT Bunhiacơpxki ta có:
()
()
()
()
2
6
6
(2) 2 3 (3)
xy yz zx xyz
xy yz zx xyz
VT xyz x y z
++ ++ + ≤ ++
⇒+++++≤ ++
≤++

Rõ ràng ta có
()
()()
()
22 22 22
2
3
3 (4)

xy xy xy xyz x y z
xy yz zx xyz x y z
xy yz zx xyz x y z
++≥ ++
⇒++ ≥ ++
⇒++≥ ++

Từ (1) (2) (3) (4)⇒đpcm. Dấu “=” xảy ra khi
abc
=
=


Bài 7 : Cho ∆ABC. Chứng minh : a
2
b(a – b) +b
2
c(b – a) + c
2
a(c – a) ≥ 0
( Trích đề thi vơ địch tốn quốc tế 1983 )
Hướng dẫn giải
Gọi A’; B’; C’ là các tiếp điểm:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page21

Đặt:

''
''
''
AB AC x a y z
B
ABCY bzx
CA CB Z c x y
== =+
⎧⎧
⎪⎪
===>=+
⎨⎨
⎪⎪
== =+
⎩⎩

vậy: a
2
b(a – b) + b
2
c(b – c) + c
2
a(c – a) ≥0
<=> (y + z )
2
(z + x) (y – x) + (z + x)
2
(x + y) (x – y) + (x + y)
2
(y + z) (x - z) ≥ 0

< => y
3
z + z
3
x + x
3
y – xyz(x+y+z) ≥0
<=> y
3
z + z
3
x + x
3
y ≥ xyz (x+y+z)
222
(*)
yzx
x
yz
xyz
⇔++≥++
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki(biến dạng) ta có:
()
2
222
xyz
xyz
x
yz
zxy xyz

++
++≥ =++
++

vậy (*) đúng ( đpcm ) .
Bài 8 : Với a; b; c là độ dài 3 cạnh của ∆. CMR :
4916
26
ab
bca acb abc
+
+≥
+− +− +−

Hướng dẫn giải
Đặt:
4916ab c
P
bca acb abc
=++
+− +− +−

Ta có:
22 2
24. 9 16
ab c
P
bca acb abc
=++
+− +− +−

4. 1 9 1 16 1
abc abc abc
bca acb abc
++ ++ ++
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
=−+−+−
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
++ +− +−
⎝⎠⎝⎠⎝⎠

()
4916
29abc
bca acb abc
⎛⎞
=++ + + −
⎜⎟
+− +− +−
⎝⎠

()()()
4916
29bca acb abc
bca acb abc
⎡⎤
=+−++−++− + + −⎡⎤
⎣⎦
⎢⎥
+− +− +−

⎣⎦

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki, ta có:
()
2
2
234
81 2 3 4 . .bca acb abc
bca acb abc
⎡⎤
=++ = +−+ +−+ +−
⎢⎥
+− +− +−
⎣⎦

()()()
4916
bca acb abc
bca acb abc
⎡⎤
≤+−++−++− + +⎡⎤
⎣⎦
⎢⎥
+− +− +−
⎣⎦

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page22

=> 2P ≥ 81 - 29
=> 2P ≥ 52 => P ≥ 26
Chọn a = 7; b = 6; c = 5 thì dấu đẳng thức xảy ra.
Bài 9 : Cho elip (E):
22
1
16 9
xy
+= các điểm M; N chuyển động lần lượt trên, các tia Ox; Oy sao cho MN ln
tiếp xúc với (E). Xác định toạ độ của M; N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Hướng dẫn giải
C
1
: Gọi M(m;O) và N(O,r) với m; n>0 là 2 điểm C
2
đường trên 2 tia Ox; Oy.
Đường thẳng MN có pt:
10
xy
mn
+−=
Đường thẳng này tx với (E) khi và chỉ khi:
22
11
16 9 1
mn
⎛⎞ ⎛⎞
+

=
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

Theo ĐBT Bunhiacơpxki. Ta có
2
222 22
22
16 9 4 3
MN ( ) . . 49mn mn m n
mn m n
⎛⎞⎛ ⎞
=+= + + ≥ + =
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠

=> MN ≥ 7
Dấu “=” xảy ra <=>
22
43
::
16 9
127;21
0; 0
mn
mn
mn
mn
mn
⎧

=
⎪
⎪
⎪
+=⇔= =
⎨
⎪
>>
⎪
⎪
⎩

Vậy với
(2 7;0; (0; 21)MNthì MN đạt GTNN và GTNN của Mn là 7
C
2
: Pt tiếp tuyến tại điểm (x
0
; y
0
) thuộc (E) là
00

1
16 9
xx yy
+
=
Suy ra toạ độ của M và N là
0

16
;0
M
x
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
và
0
9
0;
N
y
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

()
22
22 2
2
2
00
22 22
00 00
16 9 16 9
43 49
16 9
xy
MN

xy xy
⎛⎞
⎛⎞
⇒=+=+ +≥+=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠

Khi đó
()()
27;0; 0;21MN= và GTNN của MN là 7
Bài 10 : Cho ∆ABC. Cho p; q; r >0. CMR:
222
2. 3
Pq r
abcs
qr r p pq
++≥
++ +

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page23

(Trích tạp chí tốn học và tuổi trẻ)
Hướng dẫn giải
Trước hết ta chứng minh bài tốn sau:

Trong ∆ABC ta có:
222 2 2 2
43( ) ( ) ( )abc s ab bc ca++≥ +− +− +−

Thật vậy:
(2)
22222 2
() () ()43abc bca cab s
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⇔−− +−− +−− ≥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦


4( )( ) 4( )( ) 4( )( ) 4 3
p
apb pbpc pcpa s⇔− −+− −+− −≥

3
x
yyzzxs⇔++≥ với
0
0
0
xpa
ypb
zpc
=−>
⎧
⎪
=−>

⎨
⎪
=−>
⎩


3( )
x
yyzxz xyzxyz⇔++≥ ++
(Vì theo cơng thức Hêrơng:
()()() ( )sppapbpc xyzxyz=−−−= ++
222
()()()0xy yz yz zx zx xy⇔− +− +− ≥
BĐT này đúng. vậy (2) đước chứng minh:
Mặt khác theo BĐT Bunhiacơpxki. Ta có:
2
2
()
ab c
abc qr r p pq
qr r p pq
⎛⎞
++ = ++ + + +
⎜⎟
⎜⎟
++ +
⎝⎠

222
2()

abc
p
qr
pr r p pq
⎛⎞
≤++ ++
⎜⎟
++ +
⎝⎠

222222
22()
pq r
a b c abc
qr r p pq
⎛⎞
≤+++++
⎜⎟
++ +
⎝⎠

222 22222
2()2()
pq r
a b c abc a b c
qr r p pq
⎛⎞
⇒++≥++−++
⎜⎟
++ +

⎝⎠

222 2 2 2
()()()abc ab bc ca
⎡⎤
≥++− − +− +−
⎣⎦
43s≥
Vậy:
222
23
pq r
abcs
qr r p pq
++≥
++ +

Dấu “=” xảy ra khi
abc
p
qr
==
⎧
⎨
==
⎩

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page24

Chú ý:

+ Qua phép chứng minh trên, ta có kết quả “đẹp” trong ∆ABC
222 2 2 2
43( ) ( ) ( ) 43abc s ab bc ca s++≥ +− +− +− ≥

+ Lấy p = q = r > 0 ta có BĐT quen thuộc
222
43abc s++≥ (Đề thi Olympic tốn quốc tế lần 3)
+ Lấy a = b = c. ta có BĐT Nesbit:
3
2
pq r
qr r p pq
++≥
++ +
(3)
Dấu “=” xảy ra khi p = q = r > 0
+ Nếu nhân 2 vế của (3) cho p + q + r > 0 ta được
22 2
2
p
q r pqr
qr r p pq
++
++≥
++ +

Bài 11 : Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G, bán kính mặt cầu ngoại tiếp R. CMR
()
2
4
6
GA GB GC GD R AB AC AD BC CD DB++++≥ +++++
( Trích tạp chí Tốn học và Tuổi trẻ)
Hướng dẫn giải
Ta có 2 bổ đề:
•
Bổ đề 1: Nếu G là trọng tâm của tứ diện
A
BCD thì
()
(
)
222 222
2
3
16
AB AC AD CD DB BC
GA
++ − ++
=
Chứng minh:
Gọi
a
G là trọng tâm của
B

CDΔ . Ta có:
()
2
22
991
.
16 16 9
a
GA AG AB AC AD== ++
uuur uuur uuur


(
)
()
(
)
(
)
()()
222
222
222 222
3
16
3
16
AB AC AD AC AD AD AB AB AC
AB AC AD CD DB BC
++ −− −− −−

=
++ − ++
=
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

•
Bổ đề 2: Nếu O; G theo thứ tự là tâm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm của tứ diện
A
BCD
thì
2222 222222
22
44
GA GB GC GD AB AC AD CD DB BC
ROG
+++ +++++
−= =
Chứng minh:
Theo hệ thức Leibnitz, với mọi điểm M, ta có
22 2 22222 2
4
M
AMBMCMDGAGBGCGD MG+++ =++++

Từ đó, cho M trùng O, ta được
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page25

22 2 22222 2
4OA OB OC OD GA GB GC GD OG+++ =++++
Suy ra:
22 2 2
22
4
GA GB GC GD
ROG
+++
−= (1)
Từ bổ đề 1 suy ra
22 2 2 2 2 2222
44
GA GB GC GD AB AC AD CD DB BC+++ +++++
= (2)
Từ (1)(2) suy ra điều phải chứng minh
Trở lại việc giải bài tốn trên
Ta có
22 2 22 2

22
OA GA OG GA R OG
RGA OAGA OAGA
+− +−
=≥= =
uuuruuur

Từ đó theo các bổ đề 1 và 2, ta có

222
.
8
AB AC AD
RGA
++
≥
Theo BĐT Cauchy và Bunhiacơpxki, ta có
()
()
()
2
222
626.38.3
R
GA R GA R GA AB AC AD AB AC AD+≥ = ≥ ++ ≥ ++
Suy ra
()
6
R
GA AB AC AD+≥++
Tương tự
()
()
()
6
6
6
R
GB BC BD BA

R
GC CD CA CB
R
GD DA DB DC
⎧
+≥++
⎪
⎪
+≥++
⎨
⎪
+ ≥++
⎪
⎩

Suy ra
()
2
4
6
GA GB GC GD R AB AC AD BC CD DB++++≥ +++++
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tứ diện
ABCD là đều

B
B
À
À
I
I


T
T
Ậ
Ậ
P
P


:
:





Bài 1 : Cho nửa đường tròn
()
;OR đường kính AB, M là điểm chuyển động trên nửa đường tròn.Xác định vị trí
của M để
3
M

AMB+ đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2 : Cho ABCΔ nội tiếp đường tròn bán kính R; ; ;
B
CaCAbABc
=
==.Gọi x;y;z lần lượt là khoảng cách từ
M thuộc miền trong của
ABCΔ đến các cạnh BC;CA;AB.Chứng minh:
222
2
abc
xyz
R
++
++≤
Bài 3 : Cho a , b , c là 3 cạnh của tam giác.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
222
222
abc
bca
P
abc
bca
++
=
++

Bài 4 : Cho a , b , c là 3 cạnh của tam giác và
2
abc

p
+
+
= .Chứng minh:
222 2
36
35
abc
abc p
p
⎛⎞
++≥ +
⎜⎟
⎝⎠

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com