Đề&Đáp án môn TOÁN khối B (ĐH 2009)

Bộ giáo dục và đào tạo
Đề chính thức
Đề thi tuyển sinh đại học năm 2009
Môn thi: toán; Khối B
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề)
PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im)
Cõu I (2 im)Cho hm s y = 2x
4
4x
2
(1)
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1).
2. Vi cỏc giỏ tr no ca m, phng trỡnh
2 2
x x 2 m =
cú ỳng 6 nghim thc phõn bit?
Cõu II (2 im)
1. Gii phng trỡnh
3
sin x cos x sin 2x 3 cos3x 2(cos4x sin x)+ + = +
2. Gii h phng trỡnh
2 2 2
xy x 1 7y
(x,y )
x y xy 1 13y
+ + =



+ + =

Ă
Cõu III (1 im)Tớnh tớch phõn
3
2
1
3 ln x
I dx
(x 1)
+
=
+

Cõu IV (1 im)
Cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC.ABC cú BB = a, gúc gia ng thng BB v mt phng
(ABC) bng 60
0
; tam giỏc ABC vuụng ti C v
ã
BAC
= 60
0
. Hỡnh chiu vuụng gúc ca im B lờn
mt phng (ABC) trựng vi trng tõm ca tam giỏc ABC. Tớnh th tớch khi t din AABC theo a.
Cõu V (1 im)
Cho cỏc s thc x, y thay i v tho món (x + y)
3
+ 4xy 2. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc :A
= 3(x
4
+ y

4
+ x
2
y
2
) 2(x
2
+ y
2
) + 1
PHN RIấNG (3 im)
A. Theo chng trỡnh chun
Cõu VI.a. (2 im)
1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C) :
2 2
4
(x 2) y
5
+ =
v hai ng thng

1
: x y = 0,
2
: x 7y = 0. Xỏc nh to tõm K v tớnh bỏn kớnh ca ng trũn (C
1
); bit
ng trũn (C
1
) tip xỳc vi cỏc ng thng

1
,
2
v tõm K thuc ng trũn (C)
2. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho t din ABCD cú cỏc nh A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-
1;1) v D(0;3;1). Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua A, B sao cho khong cỏch t C n (P)
bng khong cỏch t D n (P)
Cõu VII.a (1 im)
Tỡm s phc z tho món :
z (2 i) 10 v z.z 25 + = =
B. Theo chng trỡnh Nõng cao
Cõu VI.b (2 im)
1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cõn ti A cú nh A(-1;4) v cỏc nh
B, C thuc ng thng : x y 4 = 0. Xỏc nh to cỏc im B v C , bit din tớch tam
giỏc ABC bng 18.
2. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): x 2y + 2z 5 = 0 v hai im A(-
3;0;1), B(1;-1;3). Trong cỏc ng thng i qua A v song song vi (P), hóy vit phng trỡnh
ng thng m khong cỏch t B n ng thng ú l nh nht.
Cõu VII.b (1 im)
Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m ng thng y = - x + m ct th hm s
2
x 1
y
x

=
ti 2 im
phõn bit A, B sao cho AB = 4.
-------- Ht --------
BI GII GI í

Câu I.
1. y = 2x
4
– 4x
2
. TXĐ : D = R
y’ = 8x
3
– 8x; y’ = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±1;
x
lim
→±∞
= +∞
x
−∞ −1 0 1 +∞
y'
− 0 + 0 − 0 +
y
+∞ 0 +∞
−2 CĐ −2
CT CT
y đồng biến trên (-1; 0); (1; +∞)
y nghịch biến trên (-∞; -1); (0; 1)
y đạt cực đại bằng 0 tại x = 0
y đạt cực tiểu bằng -2 tại x = ±1
Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0)
Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (0; 0); (±
2
;0)
2. x

2
x
2
– 2 = m ⇔ 2x
2
x
2
– 2 = 2m (*)
(*) là phương trình hoành độ giao điểm của (C’) :
y = 2x
2
x
2
– 2 và (d): y = 2m
2
x
y
−1
1
0
−
2
(C’)
−2
x
y
−1
1
0
−

2
(C)
Ta có (C’) ≡ (C); nếu x ≤ -
2
hay x ≥
2
(C’) đđối xứng với (C) qua trục hoành nếu -
2
< x <
2
Theo đồ thị ta thấy ycbt ⇔ 0 < 2m < 2 ⇔ 0 < m < 1
Câu II.
1. PT:sinx+cosxsin2x+
3
3 cos3x 2(cos4x si n x)= +
3 1 3sin x sin 3x
sin x sin 3x 3cos3x 2cos4x
2 2 2
sin3x 3cos3x 2cos4x
1 3
sin3x cos3x cos4x
2 2
sin sin3x cos cos3x cos4x
6 6
cos4x cos 3x
6
4x 3x k2 x k2
6 6
2
4x 3x k2 x k

6 42 7
−
⇔ + + = +
⇔ + =
⇔ + =
π π
⇔ + =
π
 
⇔ = −
 ÷
 
π π
 
= − + + π = − + π
 
⇔ ⇔
 
π π π
 
= − + π = +
 
 
2.
{
2 2 2
xy x 1 7y
x y xy 1 13y
+ + =
+ + =

y = 0 hệ vô nghiệm
y ≠ 0 hệ ⇔
2
2
x 1
x 7
y y
x 1
x 13
y y

+ + =



+ + =



Đặt a =
1
x
y
+
; b =
x
y
⇒
2 2
2

1 x
a x 2
y y
= + +
⇒
2 2
2
1
x a 2b
y
+ = −
Ta có hệ là
{
2
a b 7
a b 13
+ =
− =
⇔
{
2
a b 7
a a 20 0
+ =
+ − =
⇔
{
a 4
b 3
=

=
hay
{
a 5
b 12
= −
=
. Vậy
1
x 4
y
x
3
y

+ =



=



hay
1
x 5
y
x
12
y


+ = −



=



⇔
{
2
x 4x 3 0
x 3y
− + =
=
hay
{
2
x 5x 12 0
x 12y
+ + =
=
(VN) ⇔
x 1
1
y
3
=




=


hay
{
x 3
y 1
=
=
Câu III :
3 3 3
2 2 2
1 1 1
3
3
1
2
1
1
3
2
2
1
3 ln x dx ln x
I dx 3 dx
(x 1) (x 1) (x 1)
dx 3 3
I 3

(x 1) (x 1) 4
ln x
I dx
(x 1)
+
= = +
+ + +
−
= = =
+ +
=
+
∫ ∫ ∫
∫
∫
Đặt u = lnx
dx
du
x
⇒ =
2
dx
dv .
(x 1)
=
+
Chọn
1
v
x 1

−
=
+
3
3 3 3
2
1
1 1 1
ln x dx ln3 dx dx ln3 3
I ln
x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2
= − + = − + − = − +
+ + +
∫ ∫ ∫
Vậy :
3
I (1 ln3) ln 2
4
= + −
Câu IV.
BH=
2
a
,
2 1 3
3
3 2 2 4
BH a a
BN
BN

= ⇒ = =
;
3
'
2
a
B H =
goïi CA= x, BA=2x, 3BC x=
2
2 2 2
2
2
CA
BA BC BN+ = +
2
2
2 2
3
3 4 2
4 2
a x
x x
 
⇔ + = +
 ÷
 
2
2
9
52

a
x⇔ =
C A
B
M
N
H
Ta có:
3 3
' '
2 2
a
B H BB= =
V=
2 3
2
1 1 3 1 9 3 9
3
3 2 2 12 52 2 208
a a a a
x
 
= =
 ÷
 
Câu V :
3
3 2
2
(x y) 4xy 2

(x y) (x y) 2 0 x y 1
(x y) 4xy 0

+ + ≥

⇒ + + + − ≥ ⇒ + ≥

+ − ≥


2
2 2
(x y) 1
x y
2 2
+
⇒ + ≥ ≥
dấu “=” xảy ra khi :
1
x y
2
= =
Ta có :
2 2 2
2 2
(x y )
x y
4
+
≤

( )
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A 3 x y x y 2(x y ) 1 3 (x y ) x y 2(x y ) 1
 
= + + − + + = + − − + +
 
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
(x y )
3 (x y ) 2(x y ) 1
4
9
(x y ) 2(x y ) 1
4
 
+
≥ + − − + +
 
 
= + − + +
Đặt t = x
2
+ y
2
, đk t ≥
1
2
2
9 1

f (t) t 2t 1, t
4 2
9 1
f '(t) t 2 0 t
2 2
1 9
f (t) f ( )
2 16
= − + ≥
= − > ∀ ≥
⇒ ≥ =
Vậy :
min
9 1
A khi x y
16 2
= = =
Câu VIa.
1. Phương trình 2 phân giác (∆
1
, ∆
2
) :
x y x 7y
2 5 2
− −
= ±
1
2
5(x y) (x 7y)

y 2x :d
5(x y) x 7y
1
5(x y) x 7y
y x : d
2
⇔ − = ± −
= −

− = −


⇔ ⇔


− = − +
=


Phương trình hoành độ giao điểm của d
1
và (C) : (x – 2)
2
+ (– 2x)
2
=
4
5
25x
2

– 20x + 16 = 0 (vô nghiệm)