(Luận văn thạc sĩ) Bài toán bù tuyến tính và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VƯƠNG THỊ HUỆ CHI

BÀI TOÁN BÙ TUYẾN TÍNH
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2014


1

Mục lục

Lời nói đầu

2

Chương 1. Bài toán bù tuyến tính
1.1. Bài toán bù tuyến tính (LCP) . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Mô tả bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Nguồn gốc bài toán bù tuyến tính . . . . . . . .
1.2. Quan hệ với các bài toán VI và MPEC . . . . . . . . . .
1.2.1. Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . .
1.2.2. Bài toán qui hoạch toán học với ràng buộc cân bằng
1.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán LCP . . . .

4

4
4
7
12
12
15
18

Chương 2. Phương pháp giải bài toán
2.1. Phương pháp Lemke . . . . . . . .
2.1.1. Phương pháp Lemke . . . .
2.1.2. Ví dụ minh họa . . . . . . .
2.1.3. Sự hội tụ hữu hạn . . . . .
2.2. Phương pháp điểm trong . . . . . .

.
.
.
.
.

21
21
21
24
27
31

Chương 3. Một số ứng dụng của bài toán bù tuyến tính
3.1. Trò chơi Steckelberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2. Trò chơi song ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Trò chơi song ma trận . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Nghiệm trò chơi song ma trận . . . . . . . . . . .

35
35
36
36
39

Kết luận

40

Tài liệu tham khảo

41

bù
. .
. .
. .
. .
. .

tuyến
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

. . . .

tính
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

.
.
.
.
.


2

Lời nói đầu
Bài toán bù tuyến tính (Linear Complementarity Problem, viết tắt là
LCP), do R. W. Cottle và G. B. Dantzig đề xuất năm 1968, là bài toán
tổng quát mô tả thống nhất các bài toán qui hoạch tuyến tính, qui hoạch
toàn phương và trò chơi song ma trận. Các nghiên cứu về bài toán bù
tuyến tính đã đem lại nhiều lợi ích, vượt ra ngoài khuôn khổ bài toán
bù. Chẳng hạn, thuật toán xoay bù (comple-mentarity pivot algorithm)
lúc đầu được đề xuất cho bài toán bù tuyến tính đã được mở rộng trực
tiếp để tạo ra các thuật toán hiệu quả tính điểm bất động Brouwer và
Kakutani, tính các trạng thái cân bằng kinh tế, giải các hệ phương trình
phi tuyến và tìm nghiệm tối ưu cho các bài toán qui hoạch phi tuyến.
Bài toán bù tuyến tính là bài toán tìm véctơ z ∈ Rn nghiệm đúng hệ

z ≥ 0, q + M z ≥ 0, z T (q + M z) = 0
hoặc chỉ rõ hệ trên vô nghiệm, với véctơ q ∈ Rn và ma trận M ∈ Rn×n
cho trước. Ký hiệu bài toán này là LCP (q, M) hay đơn giản là LCP nếu
không cần chỉ rõ q và M (T là ký hiệu chuyển vị vectơ hay ma trận).
Bài toán bù tuyến tính LCP (q, M) có nhiều ứng dụng trong lý thuyết
và thực tiễn, như trong qui hoạch toàn phương, trò chơi song ma trận,
cân bằng thị trường và trong nhiều bài toán kinh tế, công nghiệp và vật
lý khác.
Mục tiêu của luận văn này là tìm hiểu và trình bày khái quát về bài
toán bù tuyến tính, mối quan hệ giữa bài toán bù tuyến tính với bài toán
bất đẳng thức biến phân và bài toán qui hoạch toán học với ràng buộc
cân bằng. Tìm hiểu các phương pháp giải chính và một số ứng dụng của
bài toán bù tuyến tính vào mô hình trò chơi.
Luận văn được viết thành ba chương.
Chương 1 “Bài toán bù tuyến tính" trình bày các khái niệm cơ bản
về bài toán bù tuyến tính, nguồn gốc bài toán và sự tồn tại duy nhất
nghiệm của bài toán. Bài toán bù có nhiều ứng dụng và liên quan chặt
chẽ với một số bài toán dạng tổng quát hơn, hiện đang rất được quan
tâm nghiên cứu, đó là bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán qui


3

hoạch toán học với ràng buộc cân bằng. Vì thế trong chương cũng sẽ đề
cập tới hai bài toán này.
Chương 2 “Phương pháp giải bài toán bù tuyến tính” giới thiệu hai
phương pháp tiêu biểu giải bài toán bù tuyến tính: phương pháp Lemke
(1968) và phương pháp điểm trong (Kojima, 1988). Phương pháp Lemke
có nhiều điểm giống với phương pháp đơn hình trong qui hoạch tuyến
tính, nhưng khác ở cách chọn biến để đưa vào cơ sở, phương pháp này

cho phép giải bài toán bù tuyến tính không suy biến sau một số hữu
hạn bước. Tuy vậy, trong trường hợp xấu nhất thời gian chạy của nó là
một hàm mũ. Phương pháp điểm trong dựa trên ý tưởng các thuật toán
điểm trong giải qui hoạch tuyến tính, cho phép giải bài toán bù tuyến
tính với ma trận M nửa xác định dương trong thời gian đa thức.
Chương 3 "Một số ứng dụng của bài toán bù tuyến tính" trình bày hai
mô hình trò chơi thường gặp trong các ứng dụng của bài toán bù tuyến
tính: trò chơi Stackelberg và trò chơi song ma trận. Trò chơi Stackelberg
liên quan chặt chẽ với bài toán qui hoạch toán học với ràng buộc cân
bằng (MPEC) và là sự mở rộng ý tưởng của trò chơi Nash. Có thể tìm
nghiệm cân bằng Nash của trò chơi song ma trận nhờ lập và giải một
bài toán bù tuyến tính thích hợp.
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn này
còn có những thiếu sót nhất định, kính mong quí thầy cô và các bạn
đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau này.
Nhân dịp này tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.
TS. Trần Vũ Thiệu đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm Luận
văn. Tác giả trân trọng cảm ơn các giảng viên Trường Đại học Khoa học
– Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học – Viện Hàn lâm Khoa học và
Công nghệ Việt Nam tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả
học tập và nghiên cứu.
Thái Nguyên, tháng 3 năm 2014
Tác giả

Vương Thị Huệ Chi


4

Chương 1

Bài toán bù tuyến tính
Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về bài toán bù tuyến
tính, nguồn gốc bài toán và sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán.
Bài toán bù có nhiều ứng dụng và liên quan chặt chẽ với một số bài toán
dạng tổng quát hơn, hiện đang rất được quan tâm nghiên cứu, đó là bài
toán bất đẳng thức biến phân và bài toán qui hoạch toán học với ràng
buộc cân bằng, vì thế trong chương sẽ giới thiệu về hai bài toán này. Nội
dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [3], [4], [6] và [7].
1.1.
1.1.1.

Bài toán bù tuyến tính (LCP)
Mô tả bài toán

Bài toán bù tuyến tính (Linear Complementarity Problem, viết tắt
LCP) là bài toán tìm một véctơ trong không gian véctơ thực hữu hạn
chiều thỏa mãn một hệ bất đẳng thức nào đó. Cụ thể, bài toán bù tuyến
tính được phát biểu như sau.
Định nghĩa 1.1.([3], tr.1) Cho véctơ q ∈ Rn và ma trận M ∈ Rn×n ,
hãy tìm véctơ z ∈ Rn sao cho:
z≥0

(1.1)

q + Mz ≥ 0

(1.2)

z T (q + M z) = 0

(1.3)

hoặc chỉ ra véctơ z như thế không tồn tại. Ta ký hiệu bài toán này là
LCP (q, M ).
Trong các tài liệu về toán, có thể tìm thấy các trường hợp riêng của
bài toán bù tuyến tính rất sớm từ những năm 1940, tuy nhiên bài toán
bù bắt đầu thu hút sự chú ý chỉ từ giữa những năm 1960, khi bài toán
trở thành một chủ đề nghiên cứu riêng.
Sau đây là một số thuật ngữ chính thường dùng trong bài toán bù
tuyến tính: Véctơ z thỏa mãn các bất đẳng thức trong (1.1) và (1.2)
được gọi là chấp nhận được. Nếu véctơ chấp nhận được z thỏa mãn chặt
(như bất đẳng thức) các bất đẳng thức trong (1.1 ) - (1.2) thì nó được


5

gọi là chấp nhận được chặt. Bài toán LCP (q, M ) gọi là chấp nhận được
(hay chấp nhận được chặt) nếu có tồn tại véctơ chấp nhận được (hay
chấp nhận được chặt). Tập tất cả các véctơ chấp nhận được của bài toán
LCP (q, M ) gọi là miền chấp nhận được và ký hiệu là FEA (q, M ). Đặt
w = q + Mz

(1.4)

Véctơ chấp nhận được z của LCP (q, M ) thỏa mãn (1.3) khi và chỉ
khi
zi wi = 0 với mọi i = 1, 2, ..., n.
(1.5)
Điều kiện (1.5) thường được dùng thay cho điều kiện (1.3). zi và wi
gọi là một cặp bù và chúng được gọi là bù nhau. Véctơ z thỏa mãn (1.5)

được gọi là các véctơ bù. Vì thế, LCP là bài toán tìm véctơ chấp nhận
được và bù. Một véctơ như thế gọi là một nghiệm (solution) của LCP.
Bài toán LCP (q, M ) gọi là giải được (solvable) nếu nó có nghiệm. Ký
hiệu tập nghiệm của LCP (q, M ) là SOL (q, M ). Chú ý là nếu q ≥ 0 thì
LCP (q, M ) luôn giải được với véctơ 0 là nghiệm tầm thường.
Cách xác định w như trên thường được dùng để diễn đạt theo cách
khác của bài toán LCP (q, M ), thuận tiện hơn cho xây dựng các thuật
toán giải. Cụ thể là bài toán tìm các véctơ không âm w và z trong Rn
thỏa mãn (1.4) và (1.5). Để tiện cho trích dẫn về sau, ta viết lại các điều
kiện (1.1) - (1.4) của bài toán LCP dưới dạng
w ≥ 0, z ≥ 0,
w = q + M z,
z T w = 0.
Ràng buộc z T w = 0 được gọi là ràng buộc bù (Complementarity
Constraint) và có thể viết dưới dạng z⊥w, trong đó ⊥ là ký hiệu "vuông
góc".
Trường hợp riêng của bài toán LCP (q, M ) khi q = 0 rất đáng được
chú ý. Bài toán này được gọi là bài toán bù tuyến tính thuần nhất tương
ứng với ma trận M. Một tính chất đặc thù của bài toán LCP (0, M ) là
nếu z ∈ SOL(0, M ) thì λz ∈ SOL(0, M ) với mọi số thực λ ≥ 0. Bài
toán bù tuyến tính thuần nhất có véctơ 0 là nghiệm tầm thường. Câu


6

hỏi "liệu bài toán đặc biệt này có nghiệm khác thường hay không" có ý
nghĩa rất quan trọng về lý thuyết và thuật toán.
Ví dụ 1.1(Bài toán một chiều). Cho trước hai số thực q, m ∈ R, tìm
hai biến số z, w ∈ R sao cho
z ≥ 0, w ≥ 0, w = q + mz và z(q + mz) = 0.

Đó là bài toán bù tuyến tính trong R. Hình 1.1 minh họa hình ảnh
hình học của bài toán này trong trường hợp q > 0, m < 0. Bài toán ở
Hình 1.1 có 2 nghiệm:
q
(z = 0, w = q) và (z = − , w = 0).
m

Nói chung, bài toán này có mấy nghiệm? Câu trả lời cho trong bảng
sau (tùy thuộc giá trị của q và m).

Có thể phát biểu bài toán bù (Complementarity Problem, viết tắt là
CP) ở dạng tổng quát hơn như sau.
Định nghĩa 1.2. (xem [4], tr. 4-5). Cho nón K ⊆ Rn (tức là x ∈
K ⇒ λx ∈ K với mọi số λ ≥ 0) và hàm F : K → Rn . Bài toán bù, ký
hiệu là CP (K, F ), là bài toán tìm một véctơ z ∈ Rn thỏa mãn các điều
kiện:
K z⊥F (z) ∈ K ∗


7

trong đó ⊥ là ký hiệu "vuông góc" và K ∗ là nón đối ngẫu (dual cone)
của K được xác định bởi
K ∗ = d ∈ Rn : z T d ≥ 0 với mọi z ∈ K ,
tức là K ∗ gồm tất cả các véctơ không tạo thành góc tù với bất kỳ véctơ
nào trong K.

Thay cho ký hiệu ⊥ , ta có thể viết bài toán bù CP (K, F ) dưới dạng
z ∈ K, F (z) ∈ K ∗ và z T F (z) = 0.
Bài toán bù tuyến tính LCP là trường hợp riêng của bài toán bù

CP khi K = Rn+ (do đó K ∗ = Rn+ ) và F (z) = q + M z với q ∈ Rn và
M ∈ Rn×n . Luận văn này chủ yếu tập trung xét bài toán bù tuyến tính
LCP.
1.1.2.

Nguồn gốc bài toán bù tuyến tính

Về lịch sử, bài toán LCP được xem như sự diễn đạt thống nhất của
các bài toán qui hoạch tuyến tính, qui hoạch toàn phương và bài toán
trò chơi song ma trận. Thực ra, bài toán qui hoạch toàn phương luôn đã
và sẽ tiếp tục là nguồn ứng dụng cực kỳ quan trọng của bài toán LCP.
Một số thuật toán có hiệu quả cao để giải qui hoạch toàn phương là dựa
trên cách diễn đạt của bài toán LCP. Còn về bài toán trò chơi song ma
trận, bài toán LCP đã là phương tiện để khám phá ra một công cụ hiệu
quả, có tính chất kiến thiết, để tính toán nghiệm cân bằng. Bài toán bù
tuyến tính có nhiều ứng dụng phong phú và đa dạng. Trong mục này ta
sẽ mô tả một số ứng dụng cổ điển này và trong mỗi ứng dụng sẽ chỉ ra
một số tính chất đặc biệt của ma trận M trong bài toán LCP tương ứng.


8

• Qui hoạch toàn phương
Xét bài toán qui hoạch toàn phương (Quadratic Program, viết tắt là
QP)
1
f (x) = cT x + xT Qx → min
2
với các điều kiện
Ax ≥ b, x ≥ 0,

trong đó Q ∈ Rn×n đối xứng, c ∈ Rn , A ∈ Rm×n và b ∈ Rm . Trường
hợp Q = 0 ta nhận được bài toán qui hoạch tuyến tính (Linear Program,
viết tắt là LP). Nếu x là một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán
QP thì tồn tại véctơ y ∈ Rm sao cho cặp (x, y) thỏa mãn điều kiện
Karush-Kuhn-Tucker, gọi tắt là điều kiện KKT :
u = c + Qx − AT y ≥ 0, x ≥ 0, xT u = 0,

(1.6)

v = −b + Ax ≥ 0, y ≥ 0, y T v = 0.

(1.7)

Thêm vào đó, nếu Q là ma trận nửa xác định dương, nghĩa là hàm
mục tiêu f (x) là lồi thì (1.6) - (1.7) là điều kiện đủ để cho véctơ x là
một nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán qui hoạch toàn phương lồi.
Các điều kiện (1.6) - (1.7) xác định bài toán bù tuyến tính LCP (q, M )
với
c
Q −AT
q=
và M =
−b
A 0
Để ý là ma trận M không đối xứng (trừ khi A không có hoặc bằng
0) mặc dù Q đối xứng. Tuy thế, M có tính chất gọi là song đối xứng
(bisymmetry). Theo định nghĩa, một ma trận vuông N là song đối xứng
nếu sau khi hoán vị một tập như nhau các hàng và cột, có thể đưa ma
trận về dạng
G −AT

N=
A H
với G và H đối xứng. Nếu Q nửa xác định dương như trong qui hoạch
toàn phương lồi thì M là một ma trận song đối xứng. (Nhớ rằng ma trận
vuông Q là nửa xác định dương nếu z T Qz ≥ 0 với mọi véctơ z).
Một trường hợp riêng quan trọng của bài toán toàn phương QP là
khi nó chỉ có các ràng buộc về dấu đối với các biến x. Khi đó, bài toán


9

QP có dạng đơn giản
f (x) = cT x + xT Qx → min
với điều kiện
x ≥ 0.
Nếu Q nửa xác định dương thì bài toán dạng đơn giản này hoàn toàn
tương đương với bài toán LCP (c, Q). Có nhiều ứng dụng trong công
nghiệp và vật lý dẫn tới mô hình qui hoạch toàn phương lồi dạng đặc
biệt trên mà ta vừa chỉ ra là tương đương với bài toán bù tuyến tính
LCP (c, Q). Các ứng dụng đó bao gồm bài toán tiếp xúc, bài toán chất
lỏng nhớt, bài toán vật cản, bài toán xoắn chất dẻo đàn hồi cũng như
nhiều bài toán biên tự do khác. LCP có vai trò quan trọng trong việc
giải số các bài toán ứng dụng này.
• Trò chơi song ma trận
Trò chơi song ma trận (Bimatrix Game), ký hiệu G(A, B), gồm hai
người chơi, gọi là người chơi I và người chơi II. Mỗi người chơi (Player)
có một số hữu hạn hành động (actions), gọi là các chiến lược đơn (pure
strategies), được quyền lựa chọn. Trong loại trò chơi này không nhất
thiết một người thắng, một người thua. Vì thế, thuật ngữ trò chơi song
ma trận thường có nghĩa là một trò chơi hữu hạn (finite), hai người

(two-person), tổng khác không (nonzero-sum). Trò chơi đối kháng hai
người với tổng bằng không thường được xét trong qui hoạch tuyến tính.
Ta hình dung người chơi I có m chiến lược đơn, người chơi II có n
chiến lược đơn. Các chữ cái A và B trong ký hiệu trò chơi G(A, B) là
các ma trận cấp m × n với các phần tử biểu thị chi phí hai người chơi
phải trả. Như vậy, khi người chơi I chọn chiến lược đơn i (i = 1, ..., m)
và người chơi II chọn chiến lược đơn j (j = 1, ..., n) thì mỗi người chơi
phải trả một chi phí tương ứng là aij và bij . Do không đòi hỏi tổng hai
chi phí này bằng 0 nên có thể có aij + bij = 0.
Chiến thuật hỗn hợp (mixed strategy) hay chiến thuật ngẫu nhiên
(randomized strategy) của người chơi I là véctơ x ∈ Rm với thành phần
xi biểu thị xác suất chọn chiến lược đơn i, tức là x ≥ 0 và m
i=1 xi = 1.
Chiến lược hỗn hợp của người chơi II được định nghĩa tương tự. Do đó,
nếu x và y là cặp chiến lược hỗn hợp tương ứng của người chơi I và II


10

thì chi phí kỳ vọng (trung bình) của họ lần lượt được tính bởi xT Ay
và xT By. Cặp chiến lược (x∗ , y ∗ ) với x∗ ∈ Rm , y ∗ ∈ Rn được gọi là một
nghiệm cân bằng Nash (Nash equilibrium) nếu
m
∗ T

∗

∗

T

(x ) Ay ≤ x Ay với mọi x ≥ 0 và

xi = 1,
i=1
n

∗ T

∗

∗ T

(x ) By ≤ (x ) By với mọi y ≥ 0 và

yj = 1.
j=1

Nói cách khác, cặp chiến lược (x∗ , y ∗ ) là nghiệm cân bằng Nash nếu
không người chơi nào được lợi hơn (theo nghĩa chi phí trung bình thấp
hơn) khi đơn phương thay đổi chiến lược của mình. Kết quả cơ bản trong
lý thuyết trò chơi khẳng định rằng một nghiệm cân bằng Nash như thế
luôn tồn tại.
Để đưa mô hình trò chơi G(A, B) về bài toán bù tuyến tính ta giả
thiết A và B là hai ma trận dương (theo mọi phần tử). Giả thiết này
hoàn toàn hợp lý, bởi vì bằng cách thêm vào mỗi phần tử aij và bij cùng
một số dương đủ lớn sẽ làm chúng trở thành số dương và biến đổi này
không hề ảnh hưởng gì đến nghiệm cân bằng. Sau đó, ta xét bài toán bù
LCP
u = −em + Ay ≥ 0, x ≥ 0, xT u = 0,

(1.8)
v = −en + B T x ≥ 0, y ≥ 0, y T v = 0,

(1.9)

trong đó em ∈ Rm và en ∈ Rn là các véctơ có mọi thành phần bằng 1.
Có thể thấy rằng nếu (x∗ , y ∗ ) là một nghiệm cân bằng Nash thì (x , y )
là một nghiệm của (1.8) - (1.9) với
x =

x∗
(x∗ )T By ∗

và y =

y∗
(x∗ )T Ay ∗

(1.10)

Ngược lại, rõ ràng là nếu (x , y ) là một nghiệm của (1.8) - (1.9) thì
x và y phải khác không. Vậy (x∗ , y ∗ ) là một nghiệm cân bằng Nash với
x∗ =

x
y
∗
và
y
=

.
eTm x
eTn y

Giả thiết A và B là các ma trận dương đảm bảo cho các véctơ x và y
xác định theo (1.10) là không âm. Giả thiết này cũng rất cần thiết cho


11

quá trình giải bài toán LCP với các điều kiện (1.8) - (1.9). Véctơ q và
ma trận M xác định bài toán LCP với các điều kiện (1.8) - (1.9) được
cho bởi
−em
0 A
q=
và M =
−en
BT 0
Trong bài toán LCP (q, M ) này ma trận M không âm, có cấu trúc và
véctơ q khá đặc biệt.
• Cân bằng thị trường
Cân bằng thị trường (Market Equilibrium) là trạng thái của nền kinh
tế trong đó nhu cầu của người tiêu dùng và khả năng cung cấp của người
sản xuất cân bằng nhau theo mức giá hiện hành. Ta hãy xét một bài
toán cân bằng thị trường cụ thể mà ở đó véctơ cung được mô tả bởi
một mô hình qui hoạch tuyến tính để thu hút các đặc điểm kỹ thuật hay
công nghệ trong hoạt động sản xuất. Hàm nhu cầu thị trường được sinh
ra bởi mô hình kinh tế lượng với giá cả hàng hóa xem như các biến độc
lập chính. Về mặt toán học, mô hình cân bằng thị trường là tìm véctơ

giá p∗ và véctơ nhu cầu tiêu dùng r∗ sao cho các điều kiện nêu sau đây
được thỏa mãn:
(i) về phía cung:
cT x → min
với các điều kiện
Ax ≥ b,

(1.11)

Bx ≥ r∗ ,

(1.12)

x ≥ 0,
trong đó c là véctơ chi phí cho hoạt động cung cấp, x là véctơ mức hoạt
động sản xuất, điều kiện (1.11) biểu thị các ràng buộc về công nghệ sản
xuất và (1.12) là các ràng buộc đòi hỏi về nhu cầu tiêu dùng.
(ii) về phía cầu:
r∗ = Q(p∗ ) = Dp∗ + d,
(1.13)
trong đó Q(•) là hàm nhu cầu thị trường với p∗ và r∗ lần lượt là véctơ
giá và véctơ cầu. Giả thiết Q(•) là hàm afin.
(iii) điều kiện cân bằng:
p∗ = π ∗ ,
(1.14)


12

với π ∗ là véctơ đối ngẫu (hay véctơ giá bóng - shadow prices, tức là giá

cung trên thị trường) tương ứng với ràng buộc (1.12).
Để đưa mô hình trên về bài toán bù tuyến tính, ta chú ý rằng véctơ
x∗ là một nghiệm tối ưu của bài toán qui hoạch tuyến tính về cung khi
và chỉ khi tồn tại véctơ v ∗ sao cho
y ∗ = c − AT v ∗ − B T π ∗ ≥ 0, x∗ ≥ 0, (y ∗ )T x∗ = 0,
u∗ = −b + Ax∗ ≥ 0, v ∗ ≥ 0, (u∗ )T v ∗ = 0,
δ ∗ = −r∗ + Bx∗ ≥ 0, π ∗ ≥ 0, (δ ∗ )T π ∗ = 0,

(1.15)

Thay thế hàm nhu cầu (1.13) của r∗ và dùng điều kiện cân bằng
(1.14), ta kết luận rằng các điều kiện (1.15) tạo nên bài toán bù tuyến
tính LCP (q, M ) với




c
0 −AT −B T
q =  −b  và M =  A
(1.16)
0
0 
−d
B
0
−D
Nhận xét là ma trận M trong (1.16) là song đối xứng nếu ma trận
D là đối xứng. Trong trường hợp này, bài toán LCP trên đây trở thành
điều kiện Karush-Kuhn-Tucker cho bài toán toàn phương

1
dT p + pT Dp + bT v → max
2
với các điều kiện
AT v + B T p ≤ c,
(1.17)
p ≥ 0, v ≥ 0.
Mặt khác, nếu D là á đối xứng thì M không là song đối xứng và
không tồn tại mối liên hệ giữa mô hình cân bằng thị trường và bài toán
toàn phương (1.17). Câu hỏi liệu D có đối xứng hay không có liên quan
đến tính khả tích của hàm nhu cầu Q(•). Bất kể D có đối xứng hay
không, ma trận M là nửa xác định dương nếu −D cũng là nửa xác định
dương.
1.2.
1.2.1.

Quan hệ với các bài toán VI và MPEC
Bài toán bất đẳng thức biến phân

Bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality, viết tắt là VI) bao
gồm lớp bài toán rộng hơn bài toán bù tuyến tính LCP. Cách phát biểu


13

toán học của bài toán bất đẳng thức biến phân như sau.
Định nghĩa 1.3 ([4], tr. 2). Tìm véctơ z ∈ K ⊂ Rn sao cho
(y − z)T F (z) ≥ 0 với mọi y ∈ K,

(1.18)

trong đó K là một tập lồi đóng và F là một hàm liên tục từ K vào Rn
cho trước.
Ta dùng ký hiệu VI (K, F ) để chỉ bài toán bất đẳng thức biến phân
nêu trên. Có thể giải thích ý nghĩa hình học của bài toán bất đẳng thức
biến phân, hay chính xác hơn của các bất đẳng thức (1.18) như sau.
Điểm z ∈ K là một nghiệm của bài toán VI (K, F ) khi và chỉ khi F (z)
không tạo nên một góc tù với mọi véc tơ có dạng y − z với y ∈ K. Ta
hình thức hóa nhận xét này nhờ dùng khái niệm nón pháp tuyến (normal
cone). Cụ thể, với mỗi tập lồi đóng K và bất kỳ véctơ z 0 ∈ K, ta định
nghĩa nón pháp tuyến (ngoài) của K tại z 0 là tập
NK (z 0 ) = d ∈ Rn : dT (y − z 0 ) ≤ 0 với mọi y ∈ K .
Các véctơ trong tập này được gọi là véctơ pháp tuyến (ngoài) của tập
K tại z 0 . Khi đó, bất đẳng thức (1.18) nói rằng véctơ z ∈ K là một
nghiệm của VI (K, F ) khi và chỉ khi −F (z) là véctơ pháp tuyến của K
tại z (tức −F (z) ∈ NK (z)) hay
0 ∈ F (z) + NK (z).

Nón pháp tuyến đóng một vai trò quan trọng trong giải tích lồi và
trong lý thuyết qui hoạch phi tuyến.
Bài toán bù tuyến tính LCP là một trường hợp riêng của bất đẳng
thức biến phân. Có thể nhận thấy điều này bằng cách đặt y = 0 và đòi


14

hỏi z và F (z) không âm, tức là z, F (z) ∈ Rn+ . Các ràng buộc nhận được
z ≥ 0, F (z) ≥ 0 và z T F (z) ≤ 0 có thể diễn đạt nhờ toán tử bù như sau:
0 ≤ z⊥F (z) ≥ 0.
Đó là ràng buộc bù của bài toán LCP. Định lý sau cho thấy rằng bài

toán LCP (q, M ) và bài toán VI (R+ , q + M z) có nghiệm như nhau.
Định lý 1.1 ([7], tr. 7). Cho F = q + M z với q ∈ Rn , M ∈ Rn×n và
z ∈ Rn+ . Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân VI (Rn+ , q + M z) và
bài toán bù tuyến tính LCP (q, M ) có tập nghiệm trùng nhau hoặc cùng
vô nghiệm.
Chứng minh. Giả sử z là một nghiệm của bài toán VI (Rn+ , F ), tức
là z ∈ Rn+ và (y − z)T F (z) ≥ 0 với mọi y ∈ Rn+ . Nói riêng, với y = 0 ta
nhận được
z T F (z) ≤ 0.
Do z ∈ Rn+ nên 2z ∈ Rn+ nên với y = 2z ta lại được
z T F (z) ≥ 0.
Hai bất đẳng thức vừa nhận được cho thấy z T F (z) = 0. Từ đó suy
ra y T F (z) ≥ 0 với mọi y ∈ Rn+ . Bất đẳng thức này kéo theo F (z) ≥ 0
(vì nếu có F (Z)i < 0 thì cho yk = 0 với mọi k = i và yi → +∞ sẽ dẫn
tới mâu thuẫn), nghĩa là z là một nghiệm của bài toán LCP (q, M).
Ngược lại, giả sử z là một nghiệm của bài toán LCP (q, M ), tức là
z ≥ 0, F (z) = M z + q ≥ 0 và z T F (z) = 0. Từ đó suy ra (y − z)T F (z) =
y T F (z) ≥ 0 với mọi y ∈ Rn+ (do y ≥ 0 và F (z) ≥ 0), tức z cũng là một
nghiệm của bài toán VI (Rn+ , F ).
Có thể mở rộng định lý trên cho bài toán bù CP ở dạng tổng quát
(xem Định nghĩa 1.2). Mối liên hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân
VI (K, F) và bài toán bù CP (K, F) với K là một nón được nêu trong
kết quả cơ bản sau.
Định lý 1.2 ([4], tr. 4). Cho K là một nón trong Rn . Véctơ z là một
nghiệm của bài toán VI (K, F ) khi và chỉ khi z là một nghiệm của bài
toán CP (K, F ).
Chứng minh. Giả sử z là một nghiệm của bài toán VI (K, F ), tức
là z ∈ K và (y − z)T F (z) ≥ 0 với mọi y ∈ K. Do K chứa gốc nên với

15

y = 0 ta nhận được
z T F (z) ≤ 0.
Hơn nữa, do z ∈ K, K là một nón nên 2z ∈ K và với y = 2z ta được
z T F (z) ≥ 0.
Kết hợp hai bất đẳng thức trên cho thấy z T F (z) = 0. Từ đó suy ra
y T F (z) ≥ 0 với mọi y ∈ K. Vậy F (z) ∈ K ∗ (theo định nghĩa của K ∗ ).
Tóm lại, z ∈ K, F (z) ∈ K ∗ và z T F (z) = 0, tức là z là một nghiệm của
bài toán bù CP (K, F ).
Ngược lại, giả sử z là một nghiệm của bài toán bù CP (K, F ), tức
là z ∈ K, F (z) ∈ K ∗ và z T F (z) = 0. Từ đó suy ra (y − z)T F (z) =
y T F (z) ≥ 0 với mọi y ∈ K (do y ∈ K và F (z) ∈ K ∗ ), tức z cũng là một
nghiệm của bài toán VI (K, F ).
1.2.2.

Bài toán qui hoạch toán học với ràng buộc cân bằng

Qui hoạch toán học với ràng buộc cân bằng (Mathematical Programs
with Equilibrium Constrains, viết tắt là MPEC) là một hướng nghiên
cứu hoàn toàn mới và là hướng mở rộng của tối ưu hai cấp (Bilevel
Programming, viết tắt là BP). Các ràng buộc cân bằng thường được
biểu thị dưới dạng một hệ bù hay một bất đẳng thức biến phân, trong
đó dạng đầu là trường hợp riêng của dạng sau. MPEC có phạm vi ứng
dụng rộng rãi, chẳng hạn trong kinh tế và trong nghiên cứu thị trường
điện năng. Các khái niệm của MPEC bắt nguồn từ các khái niệm kinh
tế trong trò chơi Stackelberg. Trò chơi Stackelberg và trò chơi song ma
trận sẽ được đề cập chi tiết hơn ở Chương cuối của luận văn.
MPEC là bài toán tối ưu được phân thành hai cấp. Bài toán này
đôi khi còn gọi là bài toán qui hoạch toán học với các ràng buộc bù

(Mathematical Programs with Complementarity Constraints, viết tắt là
MPCC), do các ràng buộc cân bằng được mô tả bởi một hệ bù. Các ràng
buộc bù lại có thể phân chia thành các bài toán bù hỗn hợp (viết tắt là
MCP) và bài toán bù tuyến tính tổng quát (viết tắt là GLCP). Bài toán
GLCP (còn được biết với tên gọi bài toán bù tuyến tính trên các nón)
là sự hợp nhất các lớp bài toán bù tuyến tính đơn điệu, qui hoạch tuyến
tính, qui hoạch lồi toàn phương và bài toán bù tuyến tính đơn điệu hỗn
hợp.


16

Theo [6], MPEC là một bài toán tối ưu với hai nhóm biến: x ∈ Rn và
y ∈ Rm , trong đó một số hay tất cả các ràng buộc của bài toán được xác
định bởi một bất đẳng thức biến phân hay một hệ bù phụ thuộc tham
số với y là các biến chính và x là véctơ tham số của bài toán.
Chính xác hơn, có thể phát biểu mô hình toán học của bài toán MPEC
như sau. Giả sử f : Rm+n → R và F : Rm+n → Rm là các hàm cho trước,
Z ⊆ Rm+n là một tập đóng khác rỗng và C : Rn → Rm là một ánh xạ đa
trị với ảnh là các tập lồi đóng (có thể rỗng), tức là với mỗi x ∈ Rn , C(x)
là một tập con lồi đóng (có thể rỗng) trong Rm .Tập các véctơ x ∈ Rn
với C(x) = Ø gọi là miền hữu dụng (domain) của C và được ký hiệu là
dom (C). Giả sử X là hình chiếu của Z trên Rn , tức là
X = {x ∈ Rn : ∃y ∈ Rm sao cho (x, y) ∈ Z} .
Hàm f là hàm mục tiêu toàn thể cần tìm cực tiểu, F là hàm cân bằng
của bài toán bên trong (ở mức dưới), Z là miền chấp nhận được đối với
các cặp (x, y) của bài toán ở mức trên. Tập C(x) xác định các giá trị y
chấp nhận được đối với mỗi x ∈ X cho trước. Ta giả thiết X ⊆ dom(C).
Với các định nghĩa trên, dạng tổng quát của bài toán qui hoạch toán học
với ràng buộc cân bằng MPEC như sau:

min f (x, y)
x,y

với các điều kiện
(x, y) ∈ Z,
y ∈ S(x),
trong đó với mỗi x ∈ X, S(x) là tập nghiệm của bất đẳng thức biến
phân (VI) được xác định bởi cặp (F (x, •), C(x)), tức là y ∈ S(x) khi và
chỉ khi y ∈ C(x) và y thỏa mãn hệ bất đẳng thức
(z − y)T F (x, y) ≥ 0 với mọi z ∈ C(x).
Như đã thấy ở Mục 1.2.1, bài toán bù tuyến tính là một trường hợp
riêng của bài toán bất đẳng thức biến phân. Hàm f là hàm mục tiêu
của bài toán ở mức trên, F là hàm cân bằng của bài toán ở mức dưới.
Về mặt tính toán, dạng tổng quát này của bài toán MPEC là rất khó


17

giải. Bài toán qui hoạch toán học với ràng buộc cân bằng nói chung là
một bài toán NP-khó. Có một số cách diễn đạt khác của bài toán cân
bằng. Cách phát biểu có thiên hướng về điều kiện bù như sau (xem [7],
tr. 4-5):
min f (x)
x

với điều kiện
c(x) ≥ 0,
0 ≤ x1 ⊥ x2 ≥ 0,
trong đó ⊥ là toán tử bù, nghĩa là đối với mỗi cặp bù i của hai véctơ x1 và
x2 . Nếu x1i = 0 thì x2i = 0 và ngược lại. Các bài toán MPEC này lại có thể

biến đổi thành bài toán qui hoạch phi tuyến (Nonlinear Programming,
viết tắt là NLP) bằng cách thay ràng buộc bù 0 ≤ x1 ⊥ x2 ≥ 0 bởi ràng
buộc X 1 x2 ≤ 0, trong đó X 1 = diag(x1 ). Cách làm này cho phép diễn
đạt bài toán MPEC như một bài toán qui hoạch phi tuyến
min f (x)
x

với điều kiện
c(x) ≥ 0,

(1.19)

x1 , x2 ≥ 0,
X 1 x2 ≤ 0.
Có nhiều khó khăn nghiêm trọng khi giải bài toán (1.19), chủ yếu do
không thỏa mãn các giả thiết ổn định chuẩn. Tuy nhiên vẫn có ít nhiều
thành công trong việc tìm nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (1.19)
nhờ áp dụng phương pháp dãy qui hoạch toàn phương [5].
Sự mô tả bài toán bất đẳng thức biến phân cho thấy mối liên hệ giữa
bài toán MPEC và bài toán LCP. Như đã thấy, các ràng buộc cân bằng
của bài toán MPEC được diễn đạt dưới dạng các bất đẳng thức biến
phân. Như vậy, do bài toán LCP là một trường hợp riêng của bất đẳng
thức biến phân nên một lớp bài toán con của MPEC là những bài toán
có các ràng buộc cân bằng được xác định bởi một bài toán LCP. Theo
nghĩa đó, LCP là một trường hợp riêng của bài toán MPEC.


18

1.3.

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán LCP

Tính đơn điệu là khái niệm trung tâm trong nghiên cứu sự tồn tại và
duy nhất nghiệm của bài toán bù tuyến tính và bài toán bất đẳng thức
biến phân. Như sẽ đề cập tới ở chương sau, phương pháp điểm trong có
thể giải bài toán LCP đơn điệu trong thời gian đa thức. Vì thế LCP đơn
điệu xem như một "bài toán dễ". Sau đây sẽ trình bày một số định lý
cơ bản về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán LCP. Trước tiên
ta nêu một số định nghĩa cần thiết.
Định nghĩa 1.4 (Tử thức chính). Cho A là một ma trận cấp n × n.
Ma trận con cấp k × k của A tạo nên bằng cách bỏ đi (n − k) hàng
và (n − k) cột như nhau của A gọi là ma trận con chính (principal
submatrix) của A. Định thức của ma trận con chính của A gọi là tử thức
chính (principal minor) của A.
Một lớp ma trận đảm bảo cho bài toán LCP (q, M ) có nghiệm là lớp
P-ma trận.
Định nghĩa 1.5 (P-ma trận). Ma trận vuông thực M gọi là một
P-ma trận nếu
zi (M z)i > 0, i = 1, ..., n
với mọi 0 = z ∈ Rn .
Có thể chứng minh được rằng LCP (q, M ) có ít nhất một nghiệm với
mọi véctơ thực q nếu M là một P-ma trận và mọi tử thức con chính của
M là số dương.
Định lý 1.3 ([7], tr. 8). Cho M ∈ Rm×m là một P-ma trận với mọi
tử thức con chính là số dương. Khi đó, bài toán LCP (q, M ) có nghiệm
với mọi véctơ q ∈ Rm
Như đã nói ở trên, một số kết quả chính về sự tồn tại và duy nhất
nghiệm liên quan chặt chẽ với tính đơn điệu của bài toán. Có nhiều kiểu
đơn điệu khác nhau và chúng có vai trò quan trọng đối với sự tồn tại

nghiệm của bài toán LCP và bài toán VI. Trong luận văn này tính đơn
điệu được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.6 (Tính đơn điệu). Một ánh xạ F : K ⊆ Rm → Rm
gọi là


19

1. đơn điệu trên K nếu với mọi cặp (u, v) ∈ K × K
(u − v)T (F (u) − F (v)) ≥ 0
2. đơn điệu chặt trên K nếu với mọi cặp (u, v) ∈ K × K, u = v
(u − v)T (F (u) − F (v)) > 0.
3. đơn điệu mạnh trên K nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho với mọi
cặp (u, v) ∈ K × K
(u − v)T (F (u) − F (v)) ≥ c u − v

2

.

Các kết quả nêu dưới đây lấy nguyên gốc từ ([6], tr. 55) ở đó chúng
được trình bày cho bài toán bất đẳng thức biến phân. Theo Định lý 1.1,
các kết quả của Định lý 1.4 cũng đúng cho bài toán LCP.
Định lý 1.4. Cho K ⊆ Rm là một tập lồi đóng và F : K → Rm là
một ánh xạ liên tục. Ký hiệu SOL (F, K) là tập nghiệm (có thể rỗng)
của VI (F, K). Khi đó:
1. Nếu F đơn điệu trên K thì SOL (F, K) là một tập lồi đóng.
2. Nếu F đơn điệu chặt trên K thì SOL (F, K) gồm nhiều nhất một
phần tử.
3. Nếu F đơn điệu mạnh trên K thì SOL (F, K) gồm đúng một phần

tử.
Sự tồn tại nghiệm được đảm bảo khi q không âm. Sự kiện này sẽ được
sử dụng trong phương pháp Lemke trình bày ở chương sau.
Định lý 1.5. ([7], tr. 9). Nếu q không âm thì bài toán LCP (q, M )
luôn giải được với z = 0 là nghiệm tầm thường.
Chứng minh. Chỉ cần đặt z = 0 và kiểm tra lại rằng các ràng buộc
trong Định nghĩa 1.1 về bài toán bù tuyến tính LCP được thoả mãn với
mọi q ≥ 0.
Tóm lại, chương này đã đề cập tới ba bài toán tối ưu trong không gian
hữu hạn chiều, liên quan chặt chẽ với nhau: bài toán bù tuyến tính LCP
(q, M) (bù phi tuyến CP (K, F)), bài toán bất đẳng thức biến phân VI
(K, F) và bài toán qui hoạch toán học với ràng buộc cân bằng MPEC.
Bài toán bù tuyến tính (bù phi tuyến) là trường hợp riêng của bài toán
bất đẳng thức biến phân khi nón K = Rn+ và F (z) = q + M z(K ⊆ Rn+ )).


20

Các ràng buộc cân bằng trong bài toán MPEC thường được biểu thị
dưới dạng một hệ bù hay một bất đẳng thức biến phân. Bài toán MPEC
có thể xem như mở rộng của bài toán tối ưu hai cấp BP. Bài toán bù
tuyến tính LCP (q, M) có nhiều ứng dụng trong lý thuyết và thực tiễn,
như trong qui hoạch toàn phương, trò chơi song ma trận, cân bằng thị
trường và trong nhiều bài toán kinh tế, công nghiệp và vật lý khác.


21

Chương 2
Phương pháp giải bài toán bù tuyến

tính
Chương này đề cập tới hai phương pháp chính giải bài toán bù tuyến
tính LCP: phương pháp Lemke (Lemke’s method) và phương pháp điểm
trong thời gian đa thức (Polynomial-time interior point method). Phương
pháp Lemke cho phép giải LCP không suy biến sau một số hữu hạn bước,
phương pháp điểm trong cho phép giải LCP trong thời gian đa thức. Nội
dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [2], [3] và [7].
2.1. Phương pháp Lemke
2.1.1. Phương pháp Lemke
Có khá nhiều thuật toán đã được đề xuất để giải bài toán bù tuyến
tính LCP. Quen thuộc hơn cả là phương pháp Lemke (1968). Yếu điểm
chính của phương pháp này là trong trường hợp xấu nhất, thời gian chạy
của nó là hàm mũ. Vì thế phương pháp kém hiệu qủa đối với các bài
toán cỡ lớn. Tuy vậy phương pháp dừng sau một số hữu hạn bước với
bài toán LCP không suy biến. Ý tưởng phương pháp Lemke như sau.
Xét bài toán bù tuyến tính LCP (q, M) có dạng: Cho trước véctơ
q ∈ Rn và ma trận M ∈ Rn×n , hãy tìm hai véctơ z, w ∈ Rn thỏa mãn:
w − M z = q, z ≥ 0, w ≥ 0,
(2.1)
z T w = 0.

(2.2)

(Tìm nghiệm bù không âm (z, w) của hệ phương trình tuyến tính w −
M z = q).
Nếu q ≥ 0 thì ta có ngay nghiệm của bài toán là z = 0 và w = q. Trái
lại (tức là có qi < 0 với i nào đó), ta thêm vào một biến giả z0 và xét bài
toán bù suy rộng:
w − M z − ez = q,
(2.3)

0

z0 ≥ 0, zj ≥ 0, wj ≥ 0, j = 1, ..., n,

(2.4)

zj wj = 0 với mọi j = 1, ..., n.

(2.5)

trong đó e ∈ Rn là véctơ với mọi thành phần bằng 1. Ta gọi (2.4) là điều
kiện không âm và (2.5) là điều kiện bù.


22

Ý tưởng phương pháp Lemke: Bằng cách đặt z0
=
max {−qi : 1 ≤ i ≤ n} > 0, z = 0 và w = q + ez0 ta nhận được
nghiệm (bù không âm) ban đầu của hệ mở rộng (2.3) - (2.4). Thực hiện
một dãy "phép xoay" (sẽ mô tả cụ thể sau) tương tự như các phép biến
đổi đơn hình, ta tìm cách đưa nghiệm bù không âm ban đầu về nghiệm
bù không âm với biến giả z0 = 0. Khi đó ta sẽ nhận được nghiệm của
bài toán bù tuyến tính LCP (q, M). Ta có bổ đề sau (chứng minh suy
trực tiếp từ định nghĩa bài toán).
Bổ đề 2.1. Nếu (z0 , z, w) là một nghiệm của bài toán bù suy rộng
(2.3) - (2.5) với z0 = 0 thì (z, w) sẽ là một nghiệm của bài toán bù ban
đầu LCP (q, M).
Ta làm quen với một số thuật ngữ dùng trong phương pháp Lemke.
Khái niệm biến cơ sở và biến phi cơ sở là khái niệm trung tâm trong

phương pháp Lemke, chúng giống như các biến cơ sở và biến phi cơ sở
dùng trong phương pháp đơn hình giải qui hoạch tuyến tính: Biến cơ sở
là các biến mà các véctơ cột hệ số tương ứng với chúng là độc lập tuyến
tính, các biến còn lại là biến phi cơ sở. Các véctơ cột này tạo nên một
cơ sở của hệ bù. Cơ sở có thể thay đổi bằng cách tráo đổi giữa hai biến
cơ sở và biến phi cơ sở cho nhau (như trong phương pháp đơn hình).
Phép xoay (pivoting) là một thuật ngữ nữa được dùng thường xuyên
trong phương pháp Lemke. Phép xoay là sự thay đổi cơ sở bằng cách đổi
chỗ một biến phi cơ sở với một biến cơ sở, nghĩa là một biến phi cơ sở
sẽ được đưa vào cơ sở và trở thành biến cơ sở mới để thay thế cho một
biến cơ sở bị đưa ra khỏi cơ sở và sẽ trở thành biến phi cơ sở mới. Khi
một biến cơ sở và một biến phi cơ sở đổi chỗ cho nhau thì hệ phương
trình sẽ được biến đổi theo sao cho tập biến cơ sở mới được biểu diễn
qua tập biến phi cơ sở mới.
Định nghĩa 2.1. Ta nói (z0 , z, w) ∈ R1+2n là một nghiệm chấp nhận
được cơ sở gần bù (almost complementary basic feasible solution) của
hệ (2.3) - (2.5) nếu
(a) (z0 , z, w) là một nghiệm chấp nhận được cơ sở của hệ (2.3) - (2.4),
(b) có chỉ số s ∈ {1, ..., n} sao cho cả hai biến zs và ws đều là biến
phi cơ sở,
(c) z0 là biến cơ sở và có đúng một biên trong mỗi cặp bù nhau (zj , wj )


23

là biến cơ sở với mọi j = 1, ..., n và j = s.
Định nghĩa 2.2. Cho một nghiệm chấp nhận được cơ sở gần bù
(z0 , z, w), trong đó cả hai zs và ws là biến phi cơ sở. Nếu nghiệm chấp
nhận được cơ sở gần bù (ˆ
z0 , zˆ, w)

ˆ nhận được từ (z0 , z, w)bằng cách đưa
zs hoặc ws vào cơ sở sao cho phép biến đổi hệ (2.3) theo cơ sở mới (gọi
là phép xoay) đẩy một biến khác z0 ra khởi cơ sở thì nghiệm đó sẽ được
gọi là nghiệm chấp nhận được cơ sở gần bù kề (z0 , z, w).
Từ định nghĩa 2.2 cho thấy mỗi nghiệm chấp nhận được cơ sở gần bù
có nhiều nhất hai nghiệm chấp nhận được cơ sở gần bù kề nó.
Thuật toán Lemke (gọi là thuật toán xoay bù ), xuất phát từ nghiệm
bù ban đầu (z0 , z, w) của bài toán (2.3) - (2.5), đi dọc theo các nghiệm
chấp nhận được cơ sở gần bù kề nhau cho đến khi đạt tới nghiệm chấp
nhận được cơ sở bù hoặc đến khi gặp một tia (vô hạn) của miền xác
định bởi (2.3) - (2.5). Với những giả thiết nhất định về ma trận M, thuật
toán Lemke sẽ hội tụ sau hữu hạn bước tới một nghiệm chấp nhận được
cơ sở bù của bài toán LCP (q, M).
Thuật toán Lemke giải bài toán LCP (q, M) gồm các thủ tục sau.
Khởi sự. Nếu q ≥ 0 thì dừng thuật toán: (z, w) = (0, q) là nghiệm
chấp nhận được cơ sở bù của LCP (q, M). Trái lại, ghi các hệ số của
hệ phương trình xác định theo (2.3) vào một bảng chữ nhật (như bảng
đơn hình). Giả sử −qs = max {−qi : i = 1, .., n} > 0. Áp dụng "qui tắc
hình chữ nhật" và biến đổi bảng theo dòng s và cột z0 . Phần tử nằm ở
dòng s và cột z0 gọi là phần tử trụ và phép biến đổi bảng như vậy gọi
là phép xoay theo trụ (ws , z0 ). Như vậy, các biến cơ sở z0 và wj với mọi
j = 1, ..., n, j = s đều không âm. Đặt ys = zs rồi chuyển sang thực hiện
vòng lặp chính.
Vòng lặp chính gồm các bước sau.
Bước 1. Giả sử ds là cột trong bảng nhận được tương ứng với cột
biến ys . Nếu ds ≤ 0 thì chuyển sang Bước 4. Trái lại, xác định chỉ số
hàng r nhờ kiểm tra tỉ số nhỏ nhất dưới đây, trong đó q˜ là cột hệ số ở
vế phải của hệ (2.3) (˜
q biểu thị giá trị của các biến cơ sở hiện thời).
q˜r

= min
drs 1≤i≤n

q˜i
: dis > 0
dis

Nếu biến cơ sở ở hàng r là z0 thì chuyển sang Bước 3. Trái lại, chuyển


24

sang Bước 2.
Bước 2. Giả sử biến cơ sở ở hàng r là zh hoặc wh với chỉ số h nào đó
khác s. Đưa biến ys vào cơ sở và biến đổi bảng theo phần tử trụ ở hàng
r và cột ys . Nếu biến wh bị loại khỏi cơ sở thì đặt ys = zh , còn nếu biến
zh bị loại khỏi cơ sở thì đặt ys = wh . Quay lại thực hiện Bước 1.
Bước 3. Lúc này đưa biến ys vào cơ sở và loại khỏi cơ sở biến z0 . Sau
khi biến đổi bảng theo phần tử trụ ở hàng z0 và cột ys ta sẽ nhận được
nghiệm chấp nhận được cơ sở bù của bài toán LCP (q, M). Dừng thuật
toán.
Bước 4. Dừng ở tia R = {(z0 , z, w) + λd : λ ≥ 0} có tính chất: mỗi
điểm trên tia R đều thỏa mãn (2.3), (2.4) và (2.5). Ở đây (z0 , z, w) là
nghiệm chấp nhận được cơ sở gần bù tương ứng với bảng cuối cùng và
d là phương cực biên của tập xác định bởi (2.3) - (2.5), cụ thể là véctơ
d ∈ R1+2n có phần tử ở hàng tương ứng với ys bằng 1, phần tử ở các
hàng tương ứng với các biến cơ sở bằng −ds , mọi phần tử khác bằng 0.
2.1.2.

Ví dụ minh họa

Để minh họa thuật toán Lemke ta dẫn ra hai ví dụ (xem [2], tr. 660
- 663).
Ví dụ 2.1 (Dừng ở nghiệm chấp nhận được cơ sở bù). Tìm nghiệm
của bài toán bù tuyến tính LCP (q, M) với




2
0 0 −1 −1
 2


 , M =  0 0 1 −2 
q=
 −2 
 1 −1 2 −2 
−6
1 2 −2 4
Khởi sự. Đưa vào biến giả z0 và lập bảng sau (ghi các hệ số của hệ
phương trình (2.3): w − M z − ez0 = q):