007 toán vào 10 chuyên bình định 2018 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH ĐỊNH
Đề chính thức

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn thi: TOÁN (Chuyên Toán)
Ngày thi: 03/ 6/ 2018
Thời gián làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (2,0điểm)


1. Cho biếu thức : T 

a b



2

 ab � a  b
a 3  b3
:�

�a b
ab
a b
�

�
�, với a �b, a  0, b  0
�
�

a) Rút gọn biểu thức T
b) Chứng tỏ T > 1
2. Cho n là sô tự nhiên chẵn, chứng minh rằng số 20n  3n  16 n  1 chia hết cho số 323
Bài 2: (2,0 điểm)
1. Giải bất phương trình: 3x  2 � 7x  8

4 4
�
�x  y  x  y  3
�
2. Giải hệ phương trình: �
�x  y  6  5
�
xy
�
Bài 3: (1,0 điểm).
Cho phương trình: (m  1)x 2  2(2m  3)x  5m  25  0 (m là tham số). Tìm các giá trị m là số nguyên sao cho
phương trình có nghiệm là số hữu tỉ.
Bài 4: (4 điểm).
1. Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn và AB �BC; BC �CA. Xác định vị trí điểm M thuộc miền tam giác ABC
(gồm các cạnh và miền trong tam giác) sao cho tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh nhỏ nhất.
2. Cho tam giác ABC (AB < AC) có các goc đều nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng EF
cắt đường thẳng BC và AD lần lượt tại K và I. Qua F kẻ đường thẳng song song với AC cắt AK, AD lần lượt tại M
và N. Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh:

�
a) DA là phân giác của FDE
b) F là trung điểm của MN
c) OD �
DC  OD �
DK
OK  OE 2 và BD �
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho hai số dương a, b thỏa mãn a 

1
 1 . Chứng minh rằng:
b

2

2

� 1 � � 1 � 25
a  � �
b  ��
�
� a� � b� 2


Lượt giải:
Bài 1: (2,0điểm)
1.
a) Rút gọn T:
Với a �b, a  0, b  0 , ta có:

T







a b
a b
a  b  ab a 3  a b  b a  b 3  a 3  b 3 a  b  ab
a  b  ab
:

�

a b
a b
ab
a b
a b
ab a  b



Vậy : T 









a  b  ab
, với a �b, a  0, b  0 .
ab

b) Chứng tỏ T > 1
Ta có: T 

a  b  ab
, với a �b, a  0, b  0 . (kết quả câu 1.a)
ab


�T

a b



2

ab

 ab




a b



2

ab

 1  1 (vì

ab  0, a  b �0 với a �b, a  0, b  0 )

Vậy T > 1
2. Ta có: a n  bn  (a  b)(a n 1  a n  2 b  a n 3 b 2  ...  ab n  2  b n 1 ) � a n  b n  m(a  b) (a, b, n, m ��) (*)
Vì n là số tự nhiên chẵn nên n = 2k ( k ��) � A = 20n  3n  16n  1  400k  9k  256 k  1
Áp dụng (*), có: A  (400k  1k )  (256 k  9k )  399x  247y  19 �
21x  19.13y (x, y ��)

� AM
19 với mọi số tự nhiên n chẵn (1)
và có: A  (400k  9k )  (256k  1k )  391p  255q  17 �
23p  17 �
15q (p, q ��)
� AM
17 với mọi số tự nhiên n chẵn

(2)

mà 17 và 19 là hai số nguyên tố cùng nhau nên từ (1) và (2) suy ra: A M
17 �
19 với mọi số tự nhiên n chẵn
Vậy
20n  3n  16n  1M
323 với mọi số tự nhiên n chẵn
Bài 2: (2,0 điểm)
1. Giải bất phương trình: 3x  2 � 7x  8

(1)

� 2
� 2
� 2
� 2
�x �
�x �
�x �
�x �
(1) � � 3
�� 3
�� 3
�� 3
2
2
�
�
�
�

(x  1)(9x  4) �0
(9x  9)(9x  4) �0
9x  12x  4 �7x  8
9x  5x  4 �0
�
�
�
�
� 2
� 2
�x � 3
2
4
�x �
�
�
ۣ
x
� 3
�
4
3
9
�
9x  4 �0 �9x  9 �1 �x �
�
�
9

�

�

Vậy bất phương trình (1) có tập nghiệm S Σ�
�x �|

4 4
�
�x  y  x  y  3
�
2. Giải hệ phương trình: �
�x  y  6  5
�
xy
�

2
3

x

4�
�
9

(2)

� 4S
8
�
S

3
S2  5S  6  0
�
�
S  2; P 
� P
�
�
��
�
Đặt S = x + y �0; P = xy �0, ta có: (2) � �
5
4S
�
6
P
�
�
S  3; P  2
S   5
�
� S3
� S
8
8
3
2
�0 )
Khi đó: S = 2; P  khi và chỉ khi x, y là nghiệm của phương trình: t  2t   0 vô nghiệm (  ' 
5

5
5


2
S = – 3; P = 2 khi và chỉ khi x, y là nghiệm của phương trinh: t  3t  2  0 � t1  1; t 2  2

Vai trò của x, y trong hệ (2) như nhau, do vậy hệ (2) có hai nghiệm: (x = – 1; y = – 2), (x = – 2; y = – 1)
Bài 3: (1,0 điểm). Phương trình: (m  1)x 2  2(2m  3)x  5m  25  0

(3)

Có  '   (2m  3)   (m  1)( 5)(m  5)  9m 2  42m  34  (3m  7) 2  15
2

(3) có nghiệm hữu tỉ với m ��khi và chỉ khi  ' chính phương, suy ra: (3m  7) 2  15  n 2 (n ��)

� (3m – 7 – n)(3m – 7 + n) = 15 (m, n ��)

(4)
Phương trình (4) tương đương với 8 hệ phương trình:

3m  7  n  15
�
(4.1),
�
3m  7  n  1
�

3m  7  n  1

�
(4.2),
�
3m  7  n  15
�

3m  7  n  5
�
(4.3),
�
3m  7  n  3
�

3m  7  n  3
�
(4.4)
�
3m  7  n  5
�

3m  7  n  15
�
�
3m  7  n  1
�

3m  7  n  1
�
�
3m  7  n  15

�

3m  7  n  3
�
�
3m  7  n  5
�

3m  7  n  5
�
�
3m  7  n  3
�

(4.5),

(4.6)

(4.7),

(4.8)

Giải 8 hệ trên, suy ra hệ phương trình (3) có nghiệm hữu tỉ khi: m = 1 hoặc m = 5
Bài 4: (4 điểm).
1. Gọi khoảng cách từ M đến BC, CA, AB lần lượt là: x, y, z

BC
��
y CA z AB
Ta có: 2SABC x‫ף‬

(x y z)AB (vì AB �BC �CA )

2S
� xyz �
AB
+ Nếu AB > BC thì dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi: M �C
+ Nếu AB = BC > CA thì dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi: M thuộc cạnh AC
+ Nếu AB = BC = CA thì M là điểm trong bất kỳ của tam giác ABC
Vậy tổng khoảng các cách từ M đến ba cạnh của tam giác nhỏ nhất bằng chiều cao của cạnh lớn nhất khi:
M trùng C (nếu AB > BC = CA), hoặc M nằm trên cạnh AC (nếu AB = BC > CA) hoặc M là điểm trong bất kỳ của tam
giác ABC nếu AB = BC = CA.
2

�
a) DA là phân giác của FDE

Dễ chứng minh tứ giác BDHF nội tiếp đường tròn đường kính HB (1) và tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn đường kính
AB (2)

�  HBF
� (nội tiếp cùng chắn cung HF) (1’),
(1) � HDF
�  HDE
� (2’) (nội tiếp cùng chắn cung AF)
(2) � HBF

�  HDE
�
(1’) và (2’) suy ra: HDF

�
Vậy DA là phân giác của FDE

b) F là trung điểm của MN
Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AK, AD tại P, Q � PQ // MN // AC

� (tương tự chứng minh câu a)
Ta có: FC là phân giác của DFE
mà FB  FC nên PB là phân giác trong và FC là phân giác ngoài  KFD

�

BK FK CK
KB DB
=

�
=
BD FD CD
KC DC

(3)


Theo hệ quả của định lí Ta-let, ta lại có:

BP KB
=
(4) (vì BP // AC)
CA KC

BQ DB
=
và:
(5) (BQ // AC)
CA DC
BP BQ
� BP = BQ
=
Từ (3), (4), (5) suy ra:
CA AC
Khi đó, áp dụng hệ quả của định lí Ta-let trong hai tam giác ABP và ABQ với MF // PQ, NF // BQ, có:

MF AF FN
MF FN
=
=
�
=
� MF = NF � F là trung điểm của MN
BP AB BQ
BQ BQ
DC = OD �
DK
c) Chứng minh OD �
OK = OE 2 và BD �

� = 2CFE
� (6)
Từ kết quả câu a) � DFE
Dễ chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn

(O) đường kính BC,

� = 2CFE
�
nên EOC

(7)

� = EOC
� � Tứ giác DFEO nội tiếp
Từ (6) và (7) suy ra: DFE
1 �
1
1
� = OEK
�
sđ OE = sđ OF
(vì OE = OF = BC)
2
2
2
OE OD

� OD �
OK = OE 2
Từ đó suy ra:  ODE  OEK (g.g)
OK OE
� 
� ODE

S

Khi đó:

BD �
DC =  OB  OD   OC + OD   OB2  OD 2  OD �
OK  OD 2  OD  OK  OD   OD �
DK

Bài 5:

1
1
 1 �  1  a � ab  1  b v(a > 0, b > 0)
b
b
(x  y) 2
lại có HĐT: 2(x 2  y 2 )  (x  y) 2  (x  y) 2 � x 2  y 2 �
(1) , dấu”=” xãy ra khi và chỉ khi x= y
2
và có HĐT: (x  y) 2  (x  y) 2  4xy � (x  y) 2 �4xy (2), dấu”=” xãy ra khi và chỉ khi x= y
Ta có: a 

2

2

2

2

1� �
1 � � ab  1 � � b �
� 1
a   b � �
1 b  � �
1
1 �
2
2
�
� �
- Áp dụng (1), ta có: � 1 � � 1 � � a
b� �
a � � a � � a � (1’),
a  � �
b  ��



�
2
2
2
2
� a� � b�
1
1
1
dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi: a   b  và a   1

a
b
b
2

1�
b�

�
�

- Áp dụng (2), ta có: �
a �۳۳
� 4

a
b

1

4

a
b

b
a

4 (2’), dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi: a 

Từ (1’) và (2’) suy ra:
2

2

2
1
1
� 1 � � 1 � (1  4)
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a  hay b 
a  � �
b  ��
�
b
a
2
� a� � b�
2

2

1
1 � � 1 � 25
Vậy �
a  � �
b  �� , dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi: a = và b = 2.
�
� a� � b�

2

2

1
1
và a   1
b
b