ĐỀ THI THỬ THPT QG môn TOÁN đề 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN ĐỀ MINH HỌA THPT QG NĂM HỌC 2018-2019
TRƯỜNG THPT NGUYỄN CÔNG TRỨ
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút; (50 câu trắc nghiệm)
Câu 1: Hai phương trình được gọi là tương đương khi:
A. Có cùng dạng phương trình.
B. Có cùng tập xác định.
C. Có cùng tập hợp nghiệm.
D. Cả A; B; C đều đúng.
Câu 2: Tập xác định của hàm số là:
3
D   �;1 �( ;  �)
2
A.
B.
C.
D.
Câu 3: Cho . Giá trị của biểu thức: bằng:
3
m3  3m
B. m  3m
C.
D.
A.
Câu 4: Trong mặt phẳng cho
và . Tích vô hướng của 2 vectơ bằng:
A. 1
B. -5
C. 3
D. -4
Câu 5: Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng

r
u
A.  (2;  1)

r
u
B.  (2; 3)

Câu 6: Tìm tập xác định của hàm số:
�
�
D  �\ �  k , k ���
�6
A.
.

�
�
D  �\ �  k 2 , k ���
�3
C.
.

Câu 7: Phương trình :

r
u
C.  (1; 1)
� �

y  tan �x  �
� 3 �là

r
u
D.  (3; 1)

�
�
D  �\ �
  k , k ���
�3
B.
.
5

�
�
D  �\ �  k , k ���
�6
D.

3 sin 3 x  cos3 x  1 tương đương với phương trình nào sau đây :

� � 1
sin �
3x  �  .
6� 2
�
A.

� � 
sin �
3 x  �  .
6� 6
�
B.

� � 1
sin �
3x  �  .
6� 2
�
C.

� � 1
sin �
3x  � .
6� 2
�
D.

Câu 8: Trong kỳ thi THPT Quốc gia, mỗi phòng thi gồm 24 thí sinh được sắp xếp
vào 24 vị trí khác nhau. Bạn A là một thí sinh đăng ký 4 môn thi cả 4 lần thi đều
thi tại 1 phòng duy nhất. Giám thị xếp thí sinh vào 1 cách ngẫu nhiên. Tính xác
suất để trong 4 lần thi bạn A có đúng 2 lần ngồi cùng một vị trí.
253
1772
1
1

A. 1152
B. 2304
C. 4
D. 55296
Câu 9: Số thực a để 3 số 1  3a, a  5, 1  a theo thứ tự như trên lập thành một cấp số cộng ?
�
1  17 1  17 �
,
�
�
2
2 �  1,3
 2,3 .
�
A.
B.
.
C.
D. �
Câu 10: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng – 1?
2  3n 2
2n 2  3
2n 2  3
2n 3  3
lim
lim
lim
lim
2  n 2
2n 2  1

2n3  1
2n 2  1
A.
B.
C.
D.
2


Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số

y

x n x 2 m2
 

n x m 2 x 2 (m, n là các hằng số)

1 n 2 x 2m 2
1 n 2 x 2m 2
 2 2 3
 2 2 3
x
x
A. n x m
B. n x m
1 n 2 x 2m 2
1 n 2 x 2m 2
 2 2 3
 2 2 3

m
x
x .
C. n x
D. n x m
r
r
Câu 12: Trong mp Oxy cho v  (2; 1) và điểm M(-3;2). Ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến v là:
A. (1;-1)
B.(-1;1)
C.(5;3)
D.(1;1)
Câu 13: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng, có tâm lần
lượt là O và O’. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. OO’ // (ABCD)
B. OO’ // (ABEF)
C. OO’ // (BDF)
D. OO’ // (ADF)
Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang đáy lớn AD. Khi đó giao tuyến của hai mặt
phẳng (SAB) và (SCD) là:
A. Đường thẳng d đi qua S và d // AB
B. Đường thẳng d đi qua S và d // BC
C. Đường thẳng SO với O là giao điểm của AC và BD
D. Đường thẳng SM với M là giao điểm của AB và CD
Câu 15: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng nhau và I là trung điểm của B’C’. Khi
đó góc giữa hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’C’B’) là góc nào sau đây ?
�
�
�
�

AIB .
B. AIB ' .
C. AIA ' .
D. AIC ' .
A.
z  1  2i   z.i  15  i
Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn:
. Tìm modun của số phức z ?
z 2 3
z 5
z 4
z  5
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Câu 17: Cho đồ thị hàm số
khoảng nào dưới đây?
A.

 1; 2  .

B.

  �; 0  .

C.

 0; 2  .

D.

 2;  � .

y  f  x

có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

y   2 x  1
Câu 18: Tập xác định D của hàm số
.
1
�1 �
�
�
�1
�
D  �\ � �
D  � ;  ��
D  � ;  ��
2
�2 .
�
�.
�2

�.
A.
B.
C.

y  f  x

π

D. D  �.

4
2
1;2
Câu 19: Giá trị lớn nhất của hàm số y   x  4 x trên đoạn 
bằng
A. 1.
B. 4.
C. 5.
D. 3.

đồng biến trên


Câu 20: Gọi

z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2  2 z  5  0 . Tìm tọa độ điểm

7  4i
biểu diễn số phức z1 trên mặt phẳng phức?

P  3; 2 
N  1;  2 
A.
.
B.
.

C.

 5
Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình
3

A.

 �; � .

B.

 �; 0  .

x 1

.

D.

M  1; 2 

.

D.

 0; � .

.

 5x 3

C.

Câu 22: Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số
A. m  4 .
B. m  5 .

Q  3; 2 
là:
 5; �

4
x  1 trên khoảng  1; � . Tìm m ?
C. m  3 .
D. m  4 .

y  x 1

2
Câu 23: Hàm số y  x ln x đạt cực trị tại điểm
1
x

e.
A. x  e .
B. x  0 ;

C. x  0 .

D.

x

1
e.

Câu 24: Cho bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hỏi đây là bảng biến thiên của hàm số nào trong các
hàm số sau?

A.

y

x  2
x 1 .

B.

y

x2
x 1 .

C.

Câu 25: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2
2
x
y
3.
3.
A.
B.

y

y

x2
x 1 .

D.

y

x 3
x 1 .

x 1
3 x  2 là?

C.

x

1
3.

D.

y

1
3.

Câu 26: Điểm A trong hình vẽ bên dưới biểu diễn cho số phức z . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Phần thực là 3 , phần ảo là 2 .
B. Phần thực là 3 , phần ảo là 2i .
C. Phần thực là 3 , phần ảo là 2i .
D. Phần thực là 3 , phần ảo là 2 .

Câu 27: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

f  x  dx 
�
A.

f  x   x  cos x

.

2

x
 sin x  C
2
.

B.

f  x  dx  1  sin x  C
�
.


C.

f  x  dx  x sin x  cos x  C
�
.

D.

f  x  dx 
�

x2
 sin x  C
2
.

log 2 x  log 2  x  3  2

Câu 28: Phương trình
có bao nhiêu nghiệm?
A. 2 .
B. 0 .
C. 3 .
D. 1 .
Câu 29: Cho hàm số

y  f  x

có đạo hàm liên trên

 a; b  , có đồ thị

y  f  x

như hình vẽ sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
b

A.

f�
 x  dx
�
a

là diện tích hình thang cong ABMN .

b

B.

f�
 x  dx
�
a

là độ dài đoạn BP .

b

C.

f�
 x  dx
�
a

là dộ dài đoạn MN .

b

D.

f�
 x  dx
�
a

là dộ dài đoạn cong AB .

�
3x 2
khi 0 �x �1
y  f  x  �
4  x khi 1 �x �2
�
Câu 30: Cho hàm số
. Tính tích phân
7
5
A. 2 .
B. 1 .
C. 2 .

2

f  x  dx
�
0

.

3
D. 2 .

3
2

 C  . Biết đồ thị  C  cắt trục hoành tại 3 điểm phân
Câu 31: Cho hàm số y  x  3x  m có đồ thị
biệt A , B , C sao cho B là trung điểm của AC . Phát biểu nào sau đây đúng?
m � 0; �
m � �; 4 
m � 4;0 
m � 4; 2 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
e

2
I �
x ln xdx  a.e  b
c
1
Câu 32: Cho
với a , b , c ��. Tính T  a  b  c .
A. 5 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 6 .

Câu 33: Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối

thiểu 1m . Một ô tô A đang chạy với vận tốc 16 m/s bỗng gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ nên ô tô A
hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức

v A  t   16  4t

(đơn


vị tính bằng m/s ), thời gian tính bằng giây. Hỏi rằng để có 2 ô tô A và B đạt khoảng cách an toàn khi
dừng lại thì ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất là bao nhiêu?
A. 33 .
B. 12 .
C. 31 .
D. 32 .
Câu 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m � 2018; 2018

 �;  � .
đồng biến trên
A. 2017 .

C. 2020 .

B. 2019 .

Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn
w
số phức w  m  ni . Tính

1  i z  2   1  i z  2

Câu 36: Cho các hàm số

D. 2018 .
4 2

. Gọi

m  max z

,

n  min z

và

2018

1009
B. 5 .

1009
A. 4 .

2
để hàm số y  x  1  mx  1

f  x

,

1009
C. 6 .

g  x

,

h  x 

1009
D. 2 .

f  x

3  g  x

. Hệ số góc của các tiếp tuyến của các đồ thị

x  2018
hàm số đã cho tại điểm có hoành độ 0
bằng nhau và khác 0 . Khẳng định nào sau đây đúng?
1
1
1
1
f  2018 �
f  2018 �
f  2018  �

g  2018  �
4 . B.
4 . C.
4.
4.
A.
D.
y 1

log 3 �
 x  1  y  1 �
�
�  9   x  1  y  1 . Giá trị nhỏ
Câu 37: [Cho 2 số thực dương x, y thỏa mãn
nhất của biểu thức P  x  2 y là

A.

Pmin 

11
2 .

B.

Pmin 

27
5 .

C. Pmin  5  6 3 .

D. Pmin  3  6 2 .

4
2 2
2
 C  . Để đồ thị  C  có ba điểm cực trị A , B , C
Câu 38: Cho hàm số y  x  2m x  m có đồ thị
sao cho bốn điểm A , B , C , O là bốn đỉnh của hình thoi ( O là gốc tọa độ) thì giá trị tham số m là

A. m   2 .

m�

2
2 .

C. m  � 2 .
r
r
r
r
x
=
2
i
+
3
j

4
k
Câu 39: Trong không gian Oxyz , cho
. Tìm tọa độ của
r
r
r
x = (2;3;- 4).
B. x = (- 2;- 3;4).
C. x = (3;2;- 4).
A.
B.

D.
r
x

m

2
2 .

r
x
D. = (2;3;4).

Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm trên trục tung tất cả các điểm cách đều hai điểm
A  1; 3;7 
B 5;7; 5 
và 

.

.
A.
.
B. 
C.
Câu 41: Cho mp (P) // mp (Q), với (P): ; (Q): . Khi đó:
M  0;2;0 

M  0;2;0  N  0; 2;0 

N 0; 2;0

,

D.

M  0;2;0  , P  0;1;0  .

A. m  7 / 3; n  1

B. m  9; n  7 / 3 C. m  3 / 7; n  9
D. m  7 / 3; n  9
x2
y
z 1
x7 y2 z





6
8 và d2: 6
9
12 là:
Câu 42: Khoảng cách giữa hai đường thẳng d1: 4

35
A. 17

B.

35
17

C.

854
29

D.

854
29


x 1 y 1 z 1



2
2
1 và điểm I  1; 2;3 . Gọi K là
Câu 43: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
điểm đối xứng với I qua d. Lập phương trình mặt cầu (S) tâm K cắt d tại hai điểm A và B, biết đoạn
AB=4 là.
2
2
2
� 1 � � 8 � � 41 � 185
(S):�x  �  �y  �  �z  � 
.
9
9
9
9
�
�
�
�
�
�
A.
2
2
2
� 1 � � 8 � � 41 � 185
(S): �x  �  �y  �  �z  � 
.
9

� 9� � 9� � 9 �
B.
2
2
2
� 1 � � 8 � � 41 � 185
( S ) : �x  �  �y  �  �z  � 
.
9
� 9� � 9� � 9 �
C.
2
2
2
� 1 � � 8 � � 41 � 185
(S): �x  �  �y  �  �z  � 
.
9
9
9
9
�
�
�
�
�
�
D.
Câu 44: Nếu ba kích thước của một khối hộp chữ nhật tăng lên 3 lần thì thể tích của nó
tăng lên:

A. 3 lần
B. 6 lần
C. 9 lần
D. 27 lần
d:

o
�
Câu 45: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại a với BC = 2a , BAC  120 , biết
SA  ( ABC ) và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45o . Tính thể tích khối chóp SABC

a3
a3
a3
3
A. 9
B. 3
C. a 2
D. 2
Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo với
o
mặt phẳng (SAB) một góc 30 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

6a 3
6a 3
3a 3
.
V

.

V

.
3
18
3
3
A.
B. V  3 a .
C.
D.
Câu 47: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng cách từ chân đường
cao của chóp đến mặt bên bằng a.Tính thể tích hình chóp
a3 3
a3 5
8a 3 3
3
3
A. 3
B. 2
C.
D. 8a 3
Câu 48: Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là loại:
A. {3;3},{4;3},{3; 4},{5;3},{3;5}
B. {3;3},{4;5},{5; 4},{5;3},{3;5}
V

C. {3;3},{4;3},{3; 4},{5; 4},{3;5}

D. {3;3},{4;3},{3; 4},{6;3},{3;5}

81  cm3 
Câu 49: Một hình trụ (T) có thể tích bằng
và đường sinh gấp 3 lần bán kính đáy. Độ dài
đường sinh của (T) là:
A. 12cm
B. 3cm
C. 6cm
D. 9cm

 P  thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là
Câu 50: Cho mặt cầu tâm O, bán kính R. Xét mặt phẳng
 C  . Hình nón  N  có đỉnh S nằm trên mặt cầu, đáy là đường tròn  C  và có chiều cao
đường tròn
h  h  R .
 N  có giá trị lớn nhất.
Tính h để thể tích khối nón được tạo nên bởi
4
3
h  R.
h  R.
h

3R.
3
2
A.
B. h  2R.
C.
D.
--- HẾT ---

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP ÁN
Câu 1: Hai phương trình được gọi là tương đương khi:
A.
Có cùng dạng phương trình.
B. Có cùng tập xác định.
C.
Có cùng tập hợp nghiệm.
D. Cả A; B; C đều đúng.
Hướng dẫn:
Nhớ lại k/n về phương trình tương đương. Đáp án: C
Phương án nhiễu A: Không đọc kĩ, nhận định nhầm.
Phương án nhiễu B: Không đọc kĩ, nhận định bài toán đặt điều kiện.
Phương án nhiễu C: Học sinh thường thấy cả 3 đáp án đúng liền chọn.
Câu 2: Tập xác định của hàm số là:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn:
Đ/k: . Đáp án: B
Phương án nhiễu A: Đ/k: . Nhớ nhầm nên chọn A.
Phương án nhiễu C: Không đọc kĩ.
Phương án nhiễu D: Học sinh giải pt: . Thấy có nghiệm 1 và 3/2 nên chọn D.
Câu 3: Cho . Giá trị của biểu thức: bằng:
A.
B.
C.
D.

Hướng dẫn:
Ta có:
. Đáp án B.
Phương án nhiễu A: Chuyển vế quên đổi dấu . Do đó chọn A
Phương án nhiễu C: . Chọn C


Phương án nhiễu D: Học sinh nghĩ :
nên chọn D
Câu 4: Trong mặt phẳng cho
và . Tích vô hướng của 2 vectơ bằng:
A.
1
B. -5
C. 3
D. -4
Hướng dẫn:
Ta có: . Đáp án: A
Phương án nhiễu B: Nhớ nhầm: 1.(-2) - 3.1 = -5.
Phương án nhiễu C: Học sinh lấy các số: 1 + 3 + (-2) + 1 = 3
Phương án nhiễu D: Học sinh lấy (1 + 3).(-2 + 1) = -4.
Câu 5: Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn:
Ta có ptts của đường thẳng có dạng: , VTCP
Do đó VTP . Đáp án D
Phương án nhiễu A: Học sinh xác định sai vị trí của VTCP nên chọn A.

Phương án nhiễu B: Học sinh không nắm vững kiến thức nên chọn B
Phương án nhiễu C: Học sinh không nắm vững kiến thức nên chọn C
� �
y  tan �x  �
� 3 �là
Câu 6: Tìm tập xác định của hàm số:

�
�
D  �\ �  k , k ���
�6
A.
.
�
�
D  �\ �  k 2 , k ���
�3
C.
.

�
�
D  �\ �
  k , k ���
�3
B.
.
�5
�
D  �\ �  k , k ���

�6
D.

Hướng dẫn:
 

� �
cos �x ��
k
x
k
�0�۹x
3 2
6
� 3�
đáp án A .
ĐK:


� �
sin �x ��
x
k
x
k
�0�۹
3
3
� 3�
Phương án nhiễu B:


� �
cos �x ��
�0�۹x
3
� 3�
Phương án nhiễu C:

� �
cos �x ��
�0�۹x
3
� 3�
Phương án nhiễu D:
Câu 7: Phương trình :


k 2
2

x


6


k 2
2

x

5
6

k 2

3 sin 3 x  cos3 x  1 tương đương với phương trình nào sau đây :

� � 1
� � 
sin �
3x  �  . sin �
3 x  �  .
6
2
6� 6
�
�
�
A.
B.
� � 1
� � 1
sin �
3x  �  . sin �
3x  � .
6
2
6� 2

�
�
�
C.
D.
Hướng dẫn:

k 2


3 sin 3 x  cos3 x 

2

3  12 sin(3 x 

� � 1


3x  �  .
)  2sin(3 x  ) � sin �
6� 2
�
6
6

Ta có:
đáp án C .





3 sin 3 x  cos3 x  2(cos sin 3 x  sin cos3 x)  2sin(3 x  )
6
6
6
Phương án nhiễu A:
� � 

sin �
3x  �  .
6 � 6 Nhầm đổi qua 6
�
Phương án nhiễu B:
� � 1
sin �
3x  � .
6 � 2 Quên dấu trừ vế phải.
�
Phương án nhiễu D:

Câu 8: Trong kỳ thi THPT Quốc gia, mỗi phòng thi gồm 24 thí sinh được sắp xếp
vào 24 vị trí khác nhau. Bạn A là một thí sinh đăng ký 4 môn thi cả 4 lần thi đều
thi tại 1 phòng duy nhất. Giám thị xếp thí sinh vào 1 cách ngẫu nhiên. Tính xác
suất để trong 4 lần thi bạn A có đúng 2 lần ngồi cùng một vị trí.
253
1772
1
1
1152

A.
B. 2304
C. 4
D. 55296
Giải:

n     244
Gọi A là biến cố “4 lần thi bạn A có đúng 2 lần ngồi cùng một vị trí”
+ Bạn A ngồi lần 1 có 24 chỗ ngồi: có 24 cách.
+ Bạn A ngồi lần 2 giả sử trùng lần 1: có 1 cách
+ Bạn A ngồi lần 3 không trùng lại: có 23 cách.
+ Bạn A ngồi lần 4 không trùng lại: có 22 cách.
2
+ Số lần trùng của bạn A là: C4

P( A) 

n( A) 24.1.23.22.C42 253


n  
244
1152

Vậy xác suất cần tích
n( A) 24.23.22.21 1771
P ( A) 


n  

244
2304
Nhiễu B:
P ( A) 

n( A) C42 1


n    24 4

P( A) 

n( A) C42
1
 4 
n    24
55296

Nhiễu C:
Nhiễu D:

. Chọn A

Câu 9: Số thực a để 3 số 1  3a, a  5, 1  a theo thứ tự như trên lập thành một cấp số cộng ?
1  17 1  17 �
�
,
�
�
2

2 �
 1,3 .
 2,3 .
�
A.
B.
C.
D. �
Hướng dẫn
2

2
2
x, y, z lập thành cấp số cộng khi x  z  2 y � 1  3a  1  a  2(a  5) � 2a  2a  12  0 �
chọn C
2
Nhiễu A: chuyển vế sai: x  z  2 y � 2a  2a  8  0


2
2
Nhiễu B: x  z  2 y � 1  3a  1  a  a  5 � a  2a  3  0

2 � (1  3a ).(1  a )  a 2  5

 � a4  7a2  2a  24  0
Nhiễu D: Nhớ nhầm công thức x.z  y
2

Câu 10: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng – 1?

2  3n 2
2n 2  3
2n 2  3
lim
lim
lim
2  n 2
2n2  1
2n3  1
A.
B.
C.
Hướng dẫn
3
2 2
2
2n  3
n  1
lim
 lim
2
1
2n  1
2  2
n
Ta có:
đáp án B
Nhiễu A: nhớ sai cách tính
Nhiễu C,D: không chú ý bậc đa thức

2n 3  3
lim
2n2  1
D.

x n x 2 m2
 

n x m 2 x 2 (m, n là các hằng số)
Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số
1 n 2 x 2m 2
1 n 2 x 2m 2
 2 2 3
 2 2 3
x
m
x
A. n x m
B. n x
y

1 n 2 x 2m 2
 2 2 3
m
x
C. n x
Hướng dẫn

1 n 2 x 2m 2
 2 2 3

x .
D. n x m
/

v/
�1 �


��
2
Sử dụng công thức: �v � v đáp án A
/

/
�1 � v

�� 2
Nhiễu B,C,D: nhớ sai �v � v
r
r
v

(2;

1)
v
Câu 12: Trong mp Oxy cho
và điểm M(-3;2). Ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến
là:
A. (1;-1)

B.(-1;1)
C.(5;3)
D.(1;1)
Hướng dẫn

�x /  x  a
�/
y  yb
Sử dụng công thức: �
đáp án B
Nhiễu A,C,D: cộng trừ sai
Câu 13: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng, có tâm lần
lượt là O và O’. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. OO’ // (ABCD)
B. OO’ // (ABEF)
C. OO’ // (BDF)
D. OO’ // (ADF)
Hướng dẫn: OO’//DF


Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang đáy lớn AD. Khi đó giao tuyến của hai mặt
phẳng (SAB) và (SCD) là:
A. Đường thẳng d đi qua S và d // AB
B. Đường thẳng d đi qua S và d // BC
C. Đường thẳng SO với O là giao điểm của AC và BD
D. Đường thẳng SM với M là giao điểm của AB và CD
Hướng dẫn: Đáp án D
Nhiễu A, B: Nhầm ABCD là hình bình hành
Nhiễu C: Nhầm giao tuyến của (SAC) và (SBD)

Câu 15: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng nhau và I là trung điểm của B’C’. Khi
đó góc giữa hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’C’B’) là góc nào sau đây ?
�
�
�
AIB ' .
B. �
C. AIA ' .
D. AIC ' .
A. AIB .
Hướng dẫn: Đáp án C
Nhiễu A, B, D: Không nhớ cách xác định góc giữa hai mặt phẳng.

z  1  2i   z.i  15  i
Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn:
. Tìm modun của số phức z ?
z 2 3
z 5
z 4
z  5
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A.

Gọi z  x  yi , x, y ��.
 x  yi   1  2i    x  yi  .i  15  i
Theo đề ra ta có:
� x  2 y  yi  2 xi  xi  y  15  i
� x  3 y   y  x  i  15  i
�x  3 y  15
�x  3
��
��
x  y  1
�
�y  4 � z  3  4i � z  5 .
�x  3 y  15
�
Nhiễu C vì HS viết nhầm thành hệ �x  y  1
Câu 17: Cho đồ thị hàm số
khoảng nào dưới đây?

A.

 1; 2  .

y  f  x

B.

có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

  �; 0  .

C.

y  f  x

 0; 2  .

D.

đồng biến trên

 2;  � .

Lời giải
Chọn C.
y  f  x
 0; 2  .
Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số
đồng biến trên khoảng
Nhiễu A, B, D vì HS nhầm hướng đồ thị .
y   2 x  1
Câu 18: Tập xác định D của hàm số
.
1
�1 �
�
�
D  �\ � �
D  � ;  ��

2
�
�.
�2 .
A.
B.
π

�1
�
D  � ;  ��
�2
�.
C.

D. D  �.

Lời giải
Chọn C.
�x

1
2.

Điều kiện xác định: 2 x  1  0
Nhiễu A, B, D nếu HS nhớ nhầm kiến thức về tìm điều kiện của hàm lũy thừa.
4
2
 1;2 bằng
Câu 19: Giá trị lớn nhất của hàm số y   x  4 x trên đoạn

A. 1.
B. 4.
C. 5.
Lời giải
Chọn B.
Cách 1:

 4 x 3  8 x
Ta có y�

D. 3.


 TM 
 TM 
 L .

�
x0
�
��
x 2
�
x 2
�
y�
0
Bảng biến thiên

max f  x   f

Từ bảng biến thiên suy ra  1; 2
Cách 2:
Sử dụng mode 7
f  x    x4  4x2
.
Start 1 ; end 2 ; step 0,3 .

 2  4.

Nhiễu A, C, D nếu HS tính nhầm.
Câu 20: Gọi

z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2  2 z  5  0 . Tìm tọa độ điểm

7  4i
biểu diễn số phức z1 trên mặt phẳng phức?
P  3; 2 
N  1;  2 
A.
.
B.
.
Lời giải
Chọn A.
Ta có:

C.

Q  3; 2 

.

D.

M  1; 2 

.

 TM 
 L

�
z  1  2i
��
z  1  2i
�
z2  2z  5  0
7  4i 7  4i

 3  2i
1  2i
Suy ra z1
.

P  3; 2 
Điểm biểu diễn là
.
Nhiễu B, D, C nếu HS bấm nghiệm từ phương trình trên mà quên thế vào trong biểu thức cuối để tính.

 5

Tập nghiệm của bất phương trình
3

Câu 21:
 �; � .
A.

B.

x 1

 5 x 3

 �;0  .

là:

C.

 5; � .

Lời giải
Chọn C.

 5
Ta có:
3

x 1

 5 x 3

�5

x 1
3

5

x 3

�

x 1
 x 3
� x  1  3 x  9 � x  5 .
3

D.

 0; � .


x 1
 x3
� x  1  x  3 đúng với mọi x.
Nhiễu A nếu HS giải 3

Câu 22: Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số
A. m  4 .

B. m  5 .

y  x 1

4
x  1 trên khoảng  1; � . Tìm m ?
C. m  3 .
D. m  4 .

Lời giải
Chọn D.
y�
 1

Ta có:
Mà

x3
�
��
 x  1 . Cho y� 0 �x  1 .
4

2

y  �
lim y  �
y  3  4 nlim
; �1
và n��

nên hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi x  3 .

Nhiễu A nếu HS tính

y  1  4

là giá trị nhỏ nhất.

2
Câu 23: Hàm số y  x ln x đạt cực trị tại điểm

A. x  e .

B. x  0 ;

1
e.
Lời giải

x

C. x  0 .

D.

x

1
e.

Chọn D.
D   0; �
Tập xác định:
.
�
y

2
x
.ln
x

x
Ta có:
.

�
x  0 � 0; �
�
�� 1
x
�
y�
 0 � 2 x.ln x  x  0
e
�
.
Bảng biến thiên:

Vậy hàm số y  x ln x đạt cực trị tại

2

x

1
e.

Nhiễu B nếu HS không loại x  0 .
Câu 24: Cho bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hỏi đây là bảng biến thiên của hàm số nào trong các
hàm số sau?


A.

y

x  2
x 1 .

B.

y

x2
x 1 .

C.

y

x2
x 1 .

D.

y

x 3
x 1 .

Lời giải
Chọn B.
Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x  1 và đường tiệm cận ngang là
y  1 nên ta loại các đáp án A và C.
Mặt khác từ bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến nên lọai đáp án D.
Nhiễu A nếu HS chỉ tính đạo hàm.
Nhiễu D nếu HS tính sai đạo hàm.
Câu 25: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2
2
x
y
3.
3.
A.
B.

y

x 1

3 x  2 là?

C.

x

1
3.

D.

y

1
3.

Lời giải
Chọn D.
x 1
1
1

y
x ��� 3 x  2
3 nên đường thẳng
3 là đường tiệm cận ngang.
Do x���
Nhiễu A, C nếu HS nhầm với tiệm cận đứng.
lim y  lim

Câu 26: Điểm A trong hình vẽ bên dưới biểu diễn cho số phức z . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Phần thực là 3 , phần ảo là 2 . B. Phần thực là 3 , phần ảo là 2i .
C. Phần thực là 3 , phần ảo là 2i . D. Phần thực là 3 , phần ảo là 2 .
Lời giải
Chọn A.
Nhiễu B, C, D nếu HS không nhớ lí thuyết.
Câu 27: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

f  x  dx 
�
A.

f  x   x  cos x

.

2

x
 sin x  C
2
.

B.

f  x  dx  1  sin x  C
�
.

x2
f  x  dx   sin x  C
f  x  dx  x sin x  cos x  C
�
2
C. �
. D.
.
Lời giải


Chọn A.

f  x  dx  �
 x  cos x  dx 
�

x2
 sin x  C
2
.

Nhiễu B, D nếu lấy nguyên hàm cosx là –sinx.

Câu 28: Phương trình
A. 2 .

log 2 x  log 2  x  3  2
B. 0 .

có bao nhiêu nghiệm?
C. 3 .

D. 1 .

Lời giải
Chọn D.
�x  0
�
Điều kiện �x  3  0 � x  3 .
x  1  loai 
�
��
x  4  t / m
log 2 x  log 2  x  3  2 � log 2  x  3x   2 � x 2  3x  4  0
�
Ta có
.
x

4
Vậy phương trình có nghiệm
.
2

Nhiễu A nếu HS không đặt điều kiện.
Nhiếu B nếu Hs giải sai phương trình dẫn đến vô nghiệm.
Câu 29: Cho hàm số

y  f  x

có đạo hàm liên trên

 a; b  , có đồ thị

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
b

A.

f�
 x  dx
�
a

là diện tích hình thang cong ABMN .

b

B.

f�
 x  dx
�
a

là độ dài đoạn BP .

b

C.

f�
 x  dx
�
a

là dộ dài đoạn MN .

b

D.

f�
 x  dx
�
a

là dộ dài đoạn cong AB .
Lời giải

Chọn B.
b

f�
 x  dx  f x
�
 

 f  b   f  a   BM  PM  BP

.
Nhiễu A, C, D nếu HS không nắm ró lí thuyết.
a

b

a

y  f  x

như hình vẽ sau:


�
3x 2
khi 0 �x �1
y  f  x  �
4  x khi 1 �x �2
�
Câu 30: Cho hàm số
. Tính tích phân
7
5
A. 2 .
B. 1 .
C. 2 .
Lời giải
Chọn A.
Ta có

2

f  x  dx
�
0

2

.
3
D. 2 .

2

�
3 x3
x2 �
f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx  �
 4  x  dx  3  �4 x  2 �   7
 3x  dx  �
�
�
�
1
0
0
1
0

1
2.
1
2

1

2

1

2

2

3
2
 C  . Biết đồ thị  C  cắt trục hoành tại 3 điểm phân
Câu 31: Cho hàm số y  x  3x  m có đồ thị
biệt A , B , C sao cho B là trung điểm của AC . Phát biểu nào sau đây đúng?
m � 0; �
m � �; 4 
m � 4;0 
m � 4; 2 
A.
.
B.
.
C.
.

D.
.
Lời giải
Chọn C.
Do tính chất đặc trưng của hàm số bậc ba nên trung điểm B của AC là tâm đối xứng của đồ thị, do đó
�
 0 � 6 x  6  0 � x  1 � y  m  2 .
hoành độ điểm B là nghiệm của y�

 C  cắt trục
Do B thuộc trục hoành nên m  2  0 � m  2 . Thử lại thấy m  2 thỏa ycbt do
hoành tại ba điểm có hoành độ lần lượt là 1  3 , 1 , 1  3 .
e

2
I �
x ln xdx  a.e  b
c
1
Câu 32: Cho
với a , b , c ��. Tính T  a  b  c .
A. 5 .
B. 3 .
C. 4 .
Lời giải
Chọn D.
1
�
d
u


dx
�
�
x
�
u  ln x
�
x2
�
�
v
dv  xdx nên � 2
Ta có: �
.
e

e

D. 6 .

e

2
x2
1
ln x  �
xdx  e  1
I �
x ln xdx 

2
21
4 .
1
1

�a  1
�
��
b 1
�
c4
�

.
Vậy T  a  b  c  6 .
Câu 33: Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối
thiểu 1m . Một ô tô A đang chạy với vận tốc 16 m/s bỗng gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ nên ô tô A
v  t   16  4t
hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức A
(đơn
vị tính bằng m/s ), thời gian tính bằng giây. Hỏi rằng để có 2 ô tô A và B đạt khoảng cách an toàn khi
dừng lại thì ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất là bao nhiêu?


A. 33 .

C. 31 .

B. 12 .

D. 32 .

Lời giải
Chọn A.
v  0   16 m/s
Ta có: A
.
v  t   0 � t  4s
Khi xe A dừng hẳn: A
.
4

s�
 16  4t  dt

 32 m .
0
Quãng đường từ lúc xe A hãm phanh đến lúc dừng hẳn là
Do các xe phải cách nhau tối thiểu 1m để đảm bảo an toàn nên khi dừng lại ô tô A phải hãm phanh khi
cách ô tô B một khoảng ít nhất là 33m .
Câu 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
đồng biến trên
A. 2017 .

m � 2018; 2018

2
để hàm số y  x  1  mx  1

 �;  � .
B. 2019 .

C. 2020 .

D. 2018 .

Lời giải
Chọn D.
TXĐ : D  �.
x
y�

m
2
x 1
.
ۣ m

x

x 2  1 , x ��  1 .
Hàm số đồng biến trên � ۳ y � 0 , x ��
x
f  x 
2
x  1 trên �.
Xét
lim f  x   1 lim f  x   1
x � �

; x ��
.
1
f�
 x  2
 x  1 x2  1  0 , x �� nên hàm số đồng biến trên �.

m�
Ta có:

x
x 2  1 , x �� ۣ
 m

1 .

m � 2018; 2018 � m � 2018;  1
Mặt khác
.
m
2018
Vậy có
số nguyên
thoả điều kiện.
Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn
w
số phức w  m  ni . Tính
1009
A. 4 .

 1  i z  2   1  i z  2

4 2

. Gọi

m  max z

,

n  min z

2018

1009
B. 5 .

1009
C. 6 .

Lời giải

1009
D. 2 .

và


Chọn C.
Ta có

1  i z  2   1  i z  2

 4 2 � z 1 i  z 1 i  4

.

F  1;1
z  1  i và
Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z , 1
là điểm biểu diễn của số phức 1
F2  1;  1

z2  1  i . Khi đó ta có MF1  MF2  4 . Vậy tập hợp điểm M
F
F
biểu diễn số phức z là Elip nhận 1 và 2 làm hai tiêu điểm.
là điểm biểu diễn của số phức

Ta có F1F2  2c � 2c  2 2 � c  2 .
2
2
Mặt khác 2a  4 � a  2 suy ra b  a  c  4  2  2 .

A1 A2  2a  4 , độ dài trục bé là B1B2  2b  2 2 .
m  max z  max OM  OA1  a  2
n  min z
Mặt khác O là trung điểm của AB nên
và
Do đó Elip có độ dài trục lớn là

 min OM  OB1  b  2 .
w 6�w
Do đó w  2  2i suy ra

Câu 36: Cho các hàm số

f  x

,

g  x

,

2018

 61009

h  x 

.

f  x
3  g  x

. Hệ số góc của các tiếp tuyến của các đồ thị

x  2018 bằng nhau và khác 0 . Khẳng định nào sau đây đúng?
hàm số đã cho tại điểm có hoành độ 0

1
1
1
1
f  2018 �
f  2018 �
f  2018  �
g  2018  �
4.
4.
4.
4.
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A.

Ta có

h�
 x 

f�
 x0   g �
 x0   h�
 x0  �0
h�
 x0  

Ta có

f�
3  g  x �
 x �
 x f  x
�
� g �
3  g  x �
�
�
�
2

mà
f�
3  g  x0  �
 x0  �
 x0  f  x0 
�
� g �

��
3  g  x0  �
�
�  3  g  x0   f  x0 

3  g  x0  �
�

�
�

2

2

.

2

1
� 5� 1
f  x0   a 2  5a  6  �
a  � �
a  g  x0 
4.
� 2� 4
Đặt
nên
1
5
f  2018 �
g  2018  
4 , dấu "  " xảy ra khi
2.
Vậy
y 1

log 3 �

 x  1  y  1 �
�
�  9   x  1  y  1 . Giá trị nhỏ
Câu 37: [Cho 2 số thực dương x, y thỏa mãn
nhất của biểu thức P  x  2 y là

A.

Pmin 

11
2 .

B.

Pmin 

27
5 .

C. Pmin  5  6 3 .

Lời giải
Chọn D.
y 1

Ta có

log3 �
 x  1  y  1 �

�
�  9   x  1  y  1

�  y  1 �
log 3  x  1  log3  y  1 �
�
�  x  1  y  1  9

.

D. Pmin  3  6 2 .


�  y  1 �
log 3  x  1  log 3  y  1  x  1�
�
� 9

� log 3  x  1  x  1 

9
 log 3  y  1
y 1

� log 3  x  1  x  1  2 

9
9
 2  log 3
y 1

y  1 (*).

f  t   log3 t  t  2

Xét hàm số

với t  0 có

f�
 t 

1
1  0
f  t
t ln 3
với mọi t  0 nên hàm số
luôn

 0; � .
đồng biến và liên tục trên
9
9
8 y
x 1 
� x
1 
y 1
y 1
y  1 , do x  0 nên y � 0;8  .
Từ (*) suy ra

8 y
9
9
P  x  2y 
 2 y  2 y 1
 2  y  1 
 3 �3  6 2
y

1
y

1
y

1
Vậy
.
Vậy Pmin  3  6 2 khi

2  y  1 

9
3
� y
1
y 1
2 .

4

2 2
2
 C  . Để đồ thị  C  có ba điểm cực trị A , B , C
Câu 38: Cho hàm số y  x  2m x  m có đồ thị
sao cho bốn điểm A , B , C , O là bốn đỉnh của hình thoi ( O là gốc tọa độ) thì giá trị tham số m là

A. m   2 .

B.

m�

2
2 .
Lời giải

C. m  � 2 .

D.

m

2
2 .

Chọn B.
x0
�
y�
0��

x  m2
 4 x  4m x ;
�
Ta có y�
.
 0 có ba nghiệm phân biệt ۹ m
Điều kiện để hàm số có ba cực trị là y�
x0
�
y�
0� �
x  �m .
�
Khi đó:
3

2

0.

A  0; m 2  B  m; m 4  m 2  C  m; m 4  m 2 
Tọa độ các điểm cực trị là
,
,
.
Ta có OA  BC , nên bốn điểm A , B , C , O là bốn đỉnh của hình thoi điều kiện cần và đủ là OA và
BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn

00
�

�
�x A  xO  xB  xC
��2
��
m  0    m4  m 2     m 4  m2 
�
�y A  yO  y B  yC

� 2m  m  0
4

Vậy

2

m�

2
2 .

� m2 

2
1
�m�
2 .
2

r
r

r
r
r
x
=
2
i
+
3
j
4
k
x
Câu 39: Trong không gian Oxyz , cho
. Tìm tọa độ của
r
r
r
r
x
=
(2;3
;
4).
x
=
(
2
;
3;4).

x
=
(3
;2;
4).
x
B.
C.
D. = (2;3;4).
A.


Đáp án B: Học trò nhầm đổi dấu

D:Học trò quên thứ tự

C: Học trò quên dấu trừ
Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm trên trục tung tất cả các điểm cách đều hai điểm
A  1; 3;7 
B 5;7; 5 
và 
.
M  0;2;0 

M  0; 2;0  N 0; 2;0

 . C.
 D. 
 
.

. B. 
, 
Câu 41: Cho mp (P) // mp (Q), với (P): ; (Q): . Khi đó:
A. m  7 / 3; n  1 B. m  9; n  7 / 3
C. m  3 / 7; n  9 D. m  7 / 3; n  9
x2
y
z 1
x7 y2 z




6
8 và d2: 6
9
12 là:
Câu 42: Khoảng cách giữa hai đường thẳng d1: 4
35
854
35
854
A. 17
B. 17
C. 29
D. 29
x 1 y 1 z 1
d:



2
2
1 và điểm I  1; 2;3 . Gọi K là
Câu 43: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
điểm đối xứng với I qua d. Lập phương trình mặt cầu (S) tâm K cắt d tại hai điểm A và B, biết đoạn
AB=4 là.
2
2
2
� 1 � � 8 � � 41 � 185
(S):�x  �  �y  �  �z  � 
.
9
� 9� � 9� � 9 �
A.
A.

N 0; 2;0

M 0;2;0 , P 0;1;0

2
2
2
� 1 � � 8 � � 41 � 185
(S): �x  �  �y  �  �z  � 
.
9
� 9� � 9� � 9 �
B.

2
2
2
2
2
2
� 1 � � 8 � � 41 � 185
� 1 � � 8 � � 41 � 185
( S ) : �x  �  �y  �  �z  � 
.
(S): �x  �  �y  �  �z  � 
.
9
9
� 9� � 9� � 9 �
� 9� � 9� � 9 �
C.
D.
Hướng dẫn :
Gọi H (1 + 2t;1 + 2t;- 1- t) �d là hình chiếu vuông góc của I trên d.

uur
r
=> IH = (2t;- 1 + 2t;- 4 - t) ^ ud(2;2;- 1)
- 2
=> t =
9
5 5 - 7
1 - 8 - 41
H( ; ; )

K( ;
;
)
9 9 9
Vậy : 9 9 9 . Vì K đối xứng với I qua d nên
Khoảng cách từ I đến d là

HK =

149
185
3 , bán kính mặt cầu R= 3

185
(x - 1 )2 + (y + 8 )2 + (z + 41 )2 =
9
9
9
9
Vậy : Mặt cầu (S) có phương trình là :
Đáp án A
Câu 44: Nếu ba kích thước của một khối hộp chữ nhật tăng lên 3 lần thì thể tích của nó
tăng lên:
A. 3 lần
B. 6 lần
C. 9 lần
D. 27 lần
o
�
Câu 45: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại a với BC = 2a , BAC  120 , biết

SA  ( ABC ) và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45o . Tính thể tích khối chóp SABC

a3
A. 9

a3
B. 3

3
C. a 2

a3
D. 2


Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo với
o
mặt phẳng (SAB) một góc 30 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A.

V

6a 3
.
18

3
B. V  3 a .

C.

V

6a 3
.
3

D.

V

3a 3
.
3

Đáp án B: Học sinh quên chia 3
Câu 47: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng cách từ chân đường
cao của chóp đến mặt bên bằng a.Tính thể tích hình chóp
a3 3
a3 5
8a 3 3
3
3
A. 3
B. 2
C.
D. 8a 3
Đáp án D: Học sinh quên chia 3
Câu 48: Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là loại:

A. {3;3},{4;3},{3; 4},{5;3},{3;5}
B. {3;3},{4;5},{5; 4},{5;3},{3;5}
C. {3;3},{4;3},{3; 4},{5; 4},{3;5}

D. {3;3},{4;3},{3; 4},{6;3},{3;5}
81  cm3 
Câu 49: Một hình trụ (T) có thể tích bằng
và đường sinh gấp 3 lần bán kính đáy. Độ dài
đường sinh của (T) là:
A. 12cm
B. 3cm
C. 6cm
D. 9cm
Đáp án B: Học sinh kết luận nhầm bán kính
 P  thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là
Câu 50: Cho mặt cầu tâm O, bán kính R. Xét mặt phẳng
 C  . Hình nón  N  có đỉnh S nằm trên mặt cầu, đáy là đường tròn  C  và có chiều cao
đường tròn
h  h  R .
 N  có giá trị lớn nhất.
Tính h để thể tích khối nón được tạo nên bởi
4
3
h  R.
h  R.
h

3R.
3
2

A.
B. h  2R.
C.
D.
Hướng dẫn:
Phương pháp: S là đỉnh của hình nón thì S, O và tâm đường tròn là giao tuyến của (P) và mặt cầu phải
thẳng hàng.
Cách giải: Gọi bán kính (C ) với tâm là I là r thì dễ có S phải thuộc OI và:
1
1
OI  R 2  r 2 � h  R 2  r 2  R; � V  r 2 h  r 2
3
3

Tới đây ta sẽ khảo sát hàm số:

f '  r   2r R 2  r 2  2rR 

f  r   r2

r3
R 2  r2



R 2  r2  R



R 2  r2  R





; f '  r   0 � 2 R 2  r 2  2R 



� 2  R 2  r 2   r 2  2R R 2  r 2  0 �  2R 2  3r 2   2R R 2  r 2
2

r2
R 2  r2



2

0

8
4R
� r2  R 2 � h 
.
9
3