Đề thi + đáp án chọn đội tuyển HSG Toán 8

PHÒNG GD VÀ ĐT TP PLEIKU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8
TRƯỜNG THCS BÙI THỊ XUÂN NĂM HỌC 2008 – 2009
………………………… Thời gian làm bài : 90 phút (khơng kể thời gian phát đề)

ĐỀ BÀI:
Bài 1:(2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x
2
– 6xy + 9y
2
- 49
b) x
2
- 6x + 5
Bài 2:( 1,5điểm) Thực hiện phép tính:
2
2
1 2 2 4
2 7 10 5
x x x
A
x x x x
− − −
= + −
− − + −
Bài 3:( 1,5 điểm)Giải phương trình:

2005 2004 4 5
4 5 2005 2004
x x x x+ + + +
+ = +

Bài 4:( 2 điểm)
Cho tam giác ABC. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của cạnh AB, AC. Vẽ BE ⊥ MN,
CF ⊥ MN ( E, F thuộc đường thẳng MN)
a) Chứng minh rằng: Tứ giác BEFC là hình chữ nhật.
b) Chứng minh rằng: S
BEFC
= S
ABC


Bài 5:( 2 điểm)
Cho tam giác ABC (AB < AC), đường phân giác AD. Qua trung điểm M của BC, kẻ
đường thẳng song song với AD, cắt AC và AB theo thứ tự ở E và K. Chứng minh rằng:
a) AE = AK b) BK = CE
Bài 6:( 1 điểm) Chứng minh rằng: n
3
+ 3n
2
+ 2n
M
6 với mọi số nguyên n
HẾT
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN HỌC 8
NĂM HỌC 2008 - 2009
Gợi ý đáp án
Điểm
Bài 1a)
x
2

- 6xy + 9y
2
– 49 = (x
2
- 6xy + 9y
2
) - 49
=(x-3y)
2
- 7
2
=(x - 3y +7)(x-3y -7)
1đ
(0,25đ)
(0,75đ)
Bài 1b)
x
2
- 6x + 5 = x
2
- x - 5x + 5
=x(x - 1) - 5(x - 1) =(x - 1)(x - 5)
1đ
(0, 5đ)
(0, 5đ)
Bài 2:
x
2
-7x+10 = (x-5)(x-2).
2 2

2
2
2
1 2 2 4 1 2 2 4
2 7 10 5 2 ( 5)( 2) 5
5 2 (2 4)( 2)
( 5)( 2)
8 15 ( 5)( 3) 3
( 5)( 2) ( 5)( 2) 2
x x x x x x
A
x x x x x x x x
x x x x x
x x
x x x x x
x x x x x
− − − − − −
= + − = + − =
− − + − − − − −
− + − − − − −
=
− −
− + − − − − − +
= = =
− − − − −
1,5đ
(0,25đ)
(1,25đ)
Bài 3:
a)

2005 2004 4 5
4 5 2005 2004
2005 2004 4 5
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
4 5 2005 2004
2009 2009 2009 2009
4 5 2005 2004
2009 2009 2009 2009
0
4 5 2005 2004
1 1 1 1
( 2009) 0
4 5 2005 2004
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x
+ + + +
+ = +
+ + + +
⇔ + + + = + + +
+ + + +
⇔ + = +
+ + + +
⇔ + − − =
 
⇔ + + − − =
 

 
(vì
1 1 1 1 1 1 1 1
; 0)
4 2004 5 2005 4 5 2004 2005
> > ⇒ + − − >
 x + 2009 = 0
 x = - 2009
Vậy phương trình có nghiệm: x = - 2009
1, 5đ
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
Bài 4:
a) Ta có MN là đường trung bình của ∆ABC
=> MN // BC
Mặt khác: BE ⊥ EF; CF ⊥ EF
2đ
-vẽ hình
(0,25đ)
Gợi ý đáp án
Điểm
=> BE // CF và góc BEF = 90
0
Vậy: BEFC là hình chữ nhật.
b) Kẻ AH ⊥ MN
+ ∆AHM( góc H = 90
0
) và ∆BEM ( góc E = 90
0

) có: góc AMH = góc
BME; AM = BM => ∆AHM = ∆BEM( cạnh huyền - góc vuông)
=>S
AHM
= S
BEM
(1)
+ Chứng minh tương tự, ta có: ∆AHN = ∆CFN => S
AHN
= S
CFN
(2)
+ Từ (1); (2) ta có: S
AHM
+ S
AHN
= S
BEM
+ S
CFN
+ Mà: S
BEFC
= S
BEM
+ S
BMNC
+ S
CFN
; S
ABC

= S
BMNC

+ S
AHM
+ S
AHN
=> S
BEFC
= S
ABC
(1đ)
(0,75đ)
Bài 5:
a) góc K = góc A
1
(đồng vò);
góc AEK = góc A
2
( so le trong)
Mà: góc A
1
= góc A
2
( AD là tia phân giác)
=> góc AEK = góc K
=> tam giác AEK cân tại A => AE = AK
b)
+ Vì MK // AD nên:
AK DM AK BK

BK BM DM BM
= ⇒ =
(1)
+ Vì AD // EM nên:
CE CM CE AE
AE DM CM DM
= ⇒ =
(2)
+ Vì AK = AE ( c/m a) nên:
AK AE
DM DM
=
(3)
+ Từ (1), (2), (3) =>
BK CE
BM CM
=
+ Mà BM = CM ( M là trung điểm của BC)
=> BK = CE
2đ
-vẽ hình
(0,25đ)
(0,75đ)
(1đ)
Bài 6:
Ta có: n
3
+ 3n
2
+ 2n = n(n

2
+ 3n + 2) = n(n
2
+ n + 2n + 2)
= n[(n
2
+ n) + (2n + 2)] = n(n + 1)(n + 2)
Vì n là số nguyên nên: n; n + 1; n + 2 là 3 số nguyên liên tiếp
Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 2; 1 số chia hết cho 3
=> n(n + 1)( n + 2)
M
6 hay n
3
+ 3n
2
+ 2n
M
6 với mọi số nguyên n
1đ
(0,5đ)
(0,5đ)
Trong từng phần, từng câu, nếu thí sinh làm cách khác nhưng vẫn cho kết quả đúng, hợp logic thì vẫn
cho điểm tối đa của phần, câu tương ứng.
HẾT
E F
M H N
C
B
A

K
E
MD
C
B
A
1 2