Tính ổn định và ổn định hóa đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng tt tiếng anh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (221.21 KB, 27 trang )
ÅÁÆÁËÌÊ
À
Ç
ÆÇÁ È
Æ
ËÌ
ÁÄÁÌ
Í
Æ
ËÌ
ÉÍ
Ç
Í
ÁÄÁ
Ê
Ç
Æ
ÌÊ
Ä ÍÆÁÎ
Ì ÌÍ
ÌÁÇÆ
ÄÍÁ
Ð ØÝ Å Ø
Ó
ËÍÅÅ
Á
Æ ÎÁ
ÌÁÇÆË ÁÆ
ËÔ
ÌÁÇÆ
ÁÆÁÆ
ÊËÁÌ
¾
Æ
ÇÊ ËÇÅ
Å
Ñ Ø
Ð
À
ÆÁ
ÎÇÄÍÌÁÇÆ
Ë
Ò ÐÝ× ×
¼½ ¼¾
Ç
ÌÇÊ
À
Ä ÌÀ
ËÁË ÁÆ Å ÌÀ
ÆÓ ¹ ¾¼½
Å ÌÁ
Ë
Ì
× Ø
× ×
×
Ò
ÓÑÔÐ Ø
Ø Ø
À
º
ÙÒ
ÆÓ
È
Ó
Ð ÍÒ ¹
Ú Ö× ØÝ ¾
Ë
ÒØ
Ê
Ö
½
Ê
Ö
¾
Ê
Ö
¿
Ì
Ø
Ú ×ÓÖ
× × ×
×× ××Ñ ÒØ
××Ó
ºÈÖÓ º È
ÐÐ
ÓÙÒ
Ð
Ò
Ø Ø
Ø À
ÆÓ È
Ì
Ò
ÍÒ Ú Ö× ØÝ Ð Ú Ð Ì
Ó
× ×
Ð ÍÒ Ú Ö× ØÝ ¾
ÓÒººººººº
Ì
Ø
× ×
Ò
ÓÙÒ
Ó À
Ò Ø
ÆÓ È
Æ Ø ÓÒ Ð Ä
Ó
Ö ÖÝ
Ò
Ð ÍÒ Ú Ö× ØÝ ¾º
Ø
Ä
Ö ÖÝ
ặèấầ
ẵ
ầèẻ èầặ
ẩ ệỉ
ỉ
é
ặ
ệ ềỉ
ể ễ íì
é
ề
èầặ
ậèầấ
é
ểéỉ ểề
ểéể
ầ
è
ế ỉ ểềì
ễễ
é ễệể
ìì ìá ì
éì
ẹễểệỉ ềỉ ẹ
ỉỉệ
ỉ
ề
ểéể í è
ề ề
ề ì
ìễệ
ỉ
ệìỉ ề
ề
ẹ
ễễệểễệ
ỉ
ể ỉ
ề ìì ể
ì ỉ
ỉ ỉ
ì ỉ
ìỉ í ể
ểệệ ìễểề ì ỉể ỉ
ìểéỉ ểề ể
é ị
ỉ
ệ
ề
ề
ễểễạ
ế ỉ ểềì
é ìì
ỉ
í ì ề
ỉ
ỉệ
ìỉẹ ềỉì ỉể
ì
ỉ ì í ỉ
ễệể é ẹá
ì
ỉ
ééểì
ệ ìéỉì
ỉ
ì ệ
ề
ề
ìỉ
é ỉí
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéạ
ể ỉ
ễệể
ììá
éé ễỉ
ễệể é ẹ ẽ
ễệể
ìì ì ì ềểỉ ìỉ
ỉ
ẹạ
ìỉ ỉ ểề ệí ìỉ ỉ
ễễệểễệ
ì
ì ỉ
ĩ ìỉ ề
ề
ỉ
íề ẹ
ìá ì ề
ẹ ỉ
éá ỉ
ểệệ ìễểề
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì ể ỉ
ỉể ìỉ
ề
ì
ểệ ể ìểéỉ ểềìá
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì ề ẹ ỉ
ề
ỉ
ễệ
ễễệể
ỉ ểềì ệ ìễểềì
ì
ỉ
ềểéể í è
éểề ạỉ ẹ
ì ỉể ề
ỉ
ề
ééạễểì
ễểệỉ ềỉ ỉể ìỉ í ỉ
ề
ề
ỉ ỉệ ềì
ẹ
ỉ
ỉỉ ềỉ ểề
ỉ ệ ìỉ í ề
ỉ
ìỉ í ể
ệ ệ ế ềỉéí ề
ì
ì ểềá ễệể
ìì ể ỉệ ềìẹ ìì ểề ề é
é ỉ ểề ẹể
ẩấầ
ề
é ỉíá ễ ểễé
ểềỉệểéìá ểệ ì ề
ỉệí
ễễệểễệ
ỉ
ệ ề ểẹ ềể ì
ề ệ
ềỉ í
ìỉ
ệìá ìỉ
ĩỉ ềì éí
ể ềểềé ề
ệ ễ ệ
é ỉí
ểệ ặ
ểé
ệ
é ìì ì ể
ìíìỉ ẹì
ìỉ éé ìẹ éé è
ì
ỉ
ìì
ỉà
ệạậỉể
ệ ỉ ệẹì
ề
ểềì
ệ
ệ
ì
ì
ề
ì
ề
ệ
ề
ệ ạ
ểé
éỉ
ềỉ ệ
ỉ ểề
ểệ á ỉ
ỉỉ ềỉ ểề
é ìì ì
ễ ệ
ẹ ỉ
é
ìíìỉ ẹ ểệ ỉ
ìễệ
ìểẹ
ề
ì
ì
ệểẹ
ìá
ạ
ệí
ểẹ ìỉ
ềỉ ìỉì
ặ
ế ỉ ểềì ề ìẹểểỉ
ề
ểệệ ìễểề
ẹ
ìíìỉ ẹ è
ìì ì
ế ỉ ểềì
ề ẹ ỉ
ỉ
ề ỉ
ỉỉệ
ỉ
ệ
é ị ỉ ểề
ế ỉ ểềì ề é
ểẹễé ĩ ỉí ể
ềỉ ệề ỉ ểề é ẹ ỉ
ệìỉá
ẻể
ỉ
ề ềểềé ề
ệệ ềỉ
ề
ể
ìỉ
ế ỉ ểềì ể ệá ỉ
ìéỉì ểệ ểỉ
ệ
ề
ệạậỉể
ểề
ìạẻể
ểẹ
ỉ ìểẹ ỉ ẹ ì ệ ỉỉ ề
ềì ỉ
ểẹể
ề ểì
ẵ
ệ
é ỉ
ểề
ệí
ểề
ỉ ểềì
ut u 2 ut + (u ã )u + p = f
ã u = 0
u(x, t) = 0
u(x, 0) = u0 (x)
ề ỉ
ặ
é ìỉ
ệạậỉể
ềẹ
í
ìạẻể
ệ ể ẹ ỉ
ỉ
ệìá ẹ ỉ
ậỉể
ìạẻể
ềỉ
ỉ
ểệ ì ể
é ềỉ ệể
ấ
ể
ề
è
ề
ề
ấ
é ỉí
ề
ẹ
ềì ỉ
ỉ
ìỉ
O.
ỉ
ề
ệ
ẩè èệ ề
ìễ
ỉỉ ềỉ ểề ể
ỉ
ệạ
ĩỉ ềì éí
ầ
é
á ẻ
ệ
ự ạ ề ểá ẩ ệựềạ
ể
ìểéỉ ểềì ỉể ỉ
ề ỉ
ểệ ì ể
ắẳẵ àá
ể
ì ì ỉể ìỉ í ỉ
é ị ỉ ểề ể ìỉệểề
ặ
ểệ ề ểề
ắẳẵàá
ặ
ì ỉ
ểệ
ểề
ì ìỉ
ẹ ể ỉ
ỉể
éểề ạỉ ẹ
í ệ ỉ
ắẳẵ àá
ề
ề
ẵà
O ì R+ ,
ề ế é ỉí ì ề ìỉ
ề
ểé
O ì R+ ,
ỉỉệ
ỉểệì ỉể ỉ
é ắẳẵắà è
ẩè èệ ề
ắẳẵ à è
ìỉ
ề
ể
ẩểé ỉ ắẳẳ àá
ế ỉ ểềì ểề ỉ
ề
ểẹ
ẩể ề
ệ
ề
ểề
ỉỉệ
ỉ
ĩ ìỉ ề
ĩ ìỉ ề
ỉ ế ỉ ểềì ề
ỉ ì ỉ ì í ề
ềì è
ể ìểéỉ ểềì ề ỉ ệẹì ể
O ì R+ ,
ẹ ỉ
é ế ìỉ ểềì ệ é ỉ
ế ỉ ểềì
ẹ ỉ
ề
è
ề
ĩễểề ềỉ
é
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì ỉể ễệể ạ
é ẹ ẵà
ặ ĩỉá
ểềì
ệ ỉ
ểééể ề
ắ
gạặ
u
u + (u ã )u = p + f
t
ã (gu) = 0
u(x, t) = 0
u(x, 0) = u0 (x),
ề ỉ
ễ ìỉ
á ỉ
ìểéỉ ểềì ề ỉ ệẹì ể
ế ỉ ểềì
ĩ ìỉ ề
ề ìỉ
ềểềạ ỉểềểẹểì
ì ì ì
ắ
ề á
ể
ề
ĩ ìỉ ề
ể
ề
ẽ ề
ì R+ ,
ề
ì R+ ,
ề
ề
ế ỉ ểềì
ì R ,
.
éểề ạỉ ẹ
ắẳẵẵàá
ểệ ể
gạặ
ểỉ
ề
ắà
+
ỉỉệ
ỉểệì ểệ ắ
è
ì
ề
ểề
ĩỉ ềì éí ề
ệạậỉể
ệạậỉể
ỉểềểẹểì
ì
ề
è ẫí ỉ ắẳẵắàá
ề
ề
ẽ ề
ắẳẵàá
ề
ệ
ỉ
ề
ệ ề
ì ỉ
ỉ ề
ệ
ỉể
ẵà
ề
ấể
ắẳẳ àá
ềà ể ệá ỉ
ề ìỉ
ỉ
ệ
ệ
ĩ ìỉ ề
á ề ế ề ìì
ẽ
ệ
ệ
ề
ề
ề
è ể ắẳẵắàá
ìỉ éé ẹ ềí ểễ ề ìì ì
ỉ
ìíìỉ ẹ ắàá ì
ĩễểề ềỉ
é ìỉ
é ỉí ể
ì
ìỉệểề
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì
ắà ậỉ
é ị ỉ ểề ể ìỉệểề
à ậỉ
é ị ỉ ểề ể éểề ạỉ ẹ
ề ééíá
ểềì
ế ỉ ểềì ỉ
ệỉ
ề ỉ
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì
ểệ ể ìểéỉ ểềì
ểééể ề
ìỉể
ã (gu) = 0,
u(x, t) = 0,
u(x, t) = (x, t),
ĩ ìỉ ề
ậỉể
ì
ệ
ééể
ề
ề
é íì
gạặ
ắ
ề ìỉ
ẫí ỉ ắẳẵắàá
á ỉ
x O, t > 0,
x O, t > 0,
ệ
ệạậỉể
ề
ểá ấ
ì
ề
é
ì ềể ệ ìéỉ ểề ỉ
ìỉ
ỉ ểệì
ệệ
ề
ìỉ
ểạ
ỉ
ềị
ẻ é ệể ắẳẵẵàá
é ỉí ể
ìỉ ỉ ểề ệí
ế ỉ ểềì ỉ ểỉằ ỉ
ề ệ
ềỉ ểệ ì ì
ệạ
ề ắẳẵ á ắẳẵ àá
ề ắẳẵắàá
ĩ ìỉ ề
ééể
ặ
í ẹ ềí
è
ề
è ẫí ỉ ắẳẵ àà ể ệá ỉể ỉ
ệ
à
x O, t > 0,
ề ìỉ
é ắẳẳẵá ắẳẳàá
ể ắẳẵẵà è
ềểé
é íì
ể ắẳẳ àá ệựềạấ
ìểéỉ ểềì ỉể ỉ
ì
F (u(t (t)))]dt
é ỉí ể ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì ỉể ắ
ểệ ềìỉ ề
á
ấ
ệựềạấ
ẽ ề
ìỉ
ệìá ì
ệạậỉể
x O, t [, 0],
ế ỉ ểềì ỉ
ề ệ
ềỉ í
ề
ề
é íì
du = [u (u ã )u p + f +
+G(u(t (t)))dW (t),
è
gạặ
ìỉ
ắ
ề
ìỉ ể
ạ
è
ểệ
é ỉí ể ìểéỉ ểềì ỉể ễệể ạ
é ẹ à
ắ
ẩấẩầậ
ấ ì
ể ìểẹ
ệ
ỉ
ầ
è
ì ì ểề ỉ
ểéỉ ểề
ậậ
ễệể é ẹ è
ế ỉ ểềì
ễễ
ìỉ
é ỉí
ệ ề é
ẹ
ề
ìỉ
é ị ỉ ểề
ề
ì
ầ
è
ặ
ấ ì ệ
ể
éỉ ểề
ậ
ầẩ
ầ
ỉ è
ìỉ
ế ỉ ểềì
ễễ
ẹ ềì ểề é ặ
ỉ ẹá ìỉể
è
é ỉí
ệ
ề
ệạậỉể
gạặ
ìỉ
ắ
ậậ
ề
é
é ị ỉ ểề ể ìểẹ
ẹ
ìạẻể
ìỉ
ề
ìá ề ẹ éí
gạặ
ỉ ìíìỉ ẹá
ệạậỉể
ì
ểạ
ỉ ệ
ệạậỉể
ế ỉ ểềì ỉ
ạ
ì ìíìạ
ề ỉ
ạ
é íì
ấ ì ệ
ì
ểễ
ểềỉ ềỉ ẵ
è ệ
ạ
ẹ ềì ểề é ặ
ệạậỉể
ìạẻể
ỉ ìíìạ
ĩễểề ềỉ
é ìỉ
é ỉí
ỉ ẹ
ẵà
ĩ ìỉ ề
á ề ế ề ìì
ể ìỉệểề
ắà ậỉ
ỉ
ệ
ề
ễểệỉ é ệ
ìỉệểề
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì
ềỉ ệề é
ềể
ểệ
í ìạ
ểềỉệểé ỉ
ẹéỉ ễé
ỉ
ềể ì
ìễạ
ể ì ạ
ềỉ ềỉ ềì ỉí
ểềỉ ềỉ ắ
ẵà
ỉ
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì
é ị ỉ ểề ể
ề
ề
èểạ
ẹ ềì ểề é
ĩ ìỉ ề
á ề ế ề ìì
ể ìỉệểề
ắà ậỉ
ỉ
ỉ
ĩễểề ềỉ
ệạậỉể
ì ìíìỉ ẹ
é ìỉ
é ỉí
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì
é ị ỉ ểề ể
ề
ề
gạặ
ệ
ề
ễểệỉ é ệ
ìỉệểề
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì
ềỉ ệề é
ềể
ểệ
ề ỉ ạ
í ìạ
ểềỉệểé ỉ
ìễạ
ẹ ềì ểề é
ểềỉệểé
à ậỉ
é ị ỉ ểề ể éểề ạỉ ẹ
ệ
ỉ ểề ể
ểềỉ ềỉ
ỉ
ẵà
ề ỉ
ìỉ ểì
éé ỉ ề ạ ềạỉ ẹ
ậỉể
gạặ
ìỉ
ắ
ĩỉ ệề é ểệ
ì
ệạậỉể
ì
ế ỉ ểềì
é íì
ĩ ìỉ ề
ề
ỉ ểềì ỉể ỉ
ắà è
ểệ ể ìểéỉ ểềì ềạ
ề ế ề ìì ể
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéạ
ỉ ệẹ ề ìỉ
ìíìỉ ẹ
ĩễểề ềỉ
é ìỉ
ẹểìỉ ìệ
ĩễểề ềỉ
ỉ ểềì ỉể ỉ
ìỉể
é ỉí
é ìỉ
ìỉ
ề ẹ
ề ìế ệ
é ỉí ể
ế ỉ ểềì
ỉ
ề
éạ
ìểéạ
ấ
ậ
èể ìỉ í ỉ
ỉ
ấ
èầ
ĩ ìỉ ề
ểẹễ
ỉề ìì
èể ìỉ í ỉ
èể ìỉ í ỉ
ấ
è
ỉ
ì ì
ẩệể ề
ểệí
ề
ậỉể
ễểệỉ
ểééể ề
ề ế ề ìì
ậỉể
ểẹ
ìạẻể
ỉ
ề
ề
ẩệể ề
ỉ
ỉ ệề é
ĩễểề ềỉ
ỉ
ểề
é ìỉ
ìỉệểề
ỉ ểềì ểệ ìỉ
í
í ệ ề ểẹ ềể ì
ểề
ìỉệểề
é ị ỉ ểề
ểềỉệểé ỉ
ểệ
ìễạ
ặ
ì
ệ
ệạ
ểẹ
ềì è
ề
ĩễểề ềỉ
é ìỉ
ỉ
ỉ ểềì ểệ
ểềỉệểéì ỉ
ỉ
ìễễểệỉ ề
ểềỉệểéì
ễệể ề
éểề ạỉ ẹ
í ì ề
ểẹ
ỉ
ĩỉ ệề é ểệ
ì ểệ ắ
ỉ ểềì ề
ểẹ
ềì è
ì
ệ
ề
ỉ
gạặ
ỉ
éạ
ề
ề
ểề
ểệ ề
ểì
éé ỉ ề ạ ềạỉ ẹ
ểề
ểề
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì
é ị ỉ ểề ể
é ỉí ể
ễỉ ệ ắ
ẹ ềì ểề é
ìỉ
ề éíì ì
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì ễệể ề
é ị ỉ ểề ể
ạ
ề ệ ìéỉì
ĩ ìỉ ề
á ề ế ề ìì
ỉí ể ìỉệểề
ìỉ
ề
ế ỉ ểềì ề
ì
ểềỉ ềỉì ể
ìểéỉ ểềì
ẹ ỉ ể ì ể ỉ
ìỉ
ẹ
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì
ề ỉ
ệ
é ỉ ề
ậậ
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì ễệể ề
ể ìỉệểề
ễễệểĩ ẹ ỉ ểềá
ệểề ééì ề ế é ỉí
ì ỉ
ỉ
ề
é ị ỉ ểề ễệể é ẹ è
è
ề
ề ệ í ẹ ỉ ể ì
ề
ìỉ
ậèậ ầ
é ệ
é ỉí ể ìỉ ỉ ểề ệí
ẹ ỉ
é
ểềỉệểé ỉ
ể ìểéỉ ểềì
ề
ìỉ
ề ệ í ệ ỉ ề ì
ậ
ềạ
ề ỉ
ỉ ểềì
ệ
ỉ ểề ể
ệạậỉể
ểệ
ìỉ
ì
ế ạ
ì
ểềỉ ềỉì ể
ễỉ ệ
ẩệể ề
ỉ
ĩ ìỉ ề
éỉ ểềì ỉể ỉ
ìế ệ
ìỉ
ề ế ề ìì ể
ỉ ệẹ ề ìỉ
ìíìỉ ẹ
é ỉí
ề
ìểéỉ ểề ỉể ỉ
ỉ ểềì ỉ
ề
ề ỉ
ì
ểềỉ ềỉì ể
éẹểìỉ ìệ
ìỉể
é íì ề
ễỉ ệ
ĩễểề ềỉ
ĩễểề ềỉ
ìỉ
ắ
ểề
ỉ
ìỉ ỉ ểề ệí ìểạ
é ìỉ
gạặ
ểẹ
ềì è
é ẹ
ề
é ỉí ể ỉ
ệạậỉể
ì
ì
ế ạ
ệ
ỉ
ậèấ
ì
ỉ
ì ì
èấ
ậ ầ
è
ềỉệể
ỉ ểềá
ề
ấ
ệ ề
ìá ỉ
ậậ
ểề
éì ểềá
ỉ
ễỉ ệ ẵ ẩệ é ẹ ề ệ
ễỉ ệ ắ ậỉ
ỉ ểệì ểệ ì ệ é ỉ
ì ì ề
é
ì
ỉể ỉ
ễỉ ệì
ì
é ị ỉ ểề ể
ặ
ệạậỉể
ìạẻể
ệạậỉể
ì
ỉ
ế ạ
ỉ ểềì
ễỉ ệ ậỉ
ễỉ ệ
ặ
è
ệạậỉể
ì
é ị ỉ ểề ể ắ
ìỉ
é ỉí ể
ế ỉ ểềì ỉ
gạặ
ìểéỉ ểềì ỉể ìỉể
ề ỉ
é íì
ế ỉ ểềì
ìỉ
ắ
gạ
ễỉ ệ ẵ
ẩấ
ề ỉ
ì
ểỉ ỉ
ỉ
ề ế é ỉ
ỉ
ẵẵ
ấ
ệ
éé ìểẹ
ậ
ề ệ é
ểề
ễỉì
ề
ỉ ểề ìễ
ìá ểễ ệ ỉểệìá ìỉể
ì ểệ ỉ
ể ỉ
ễỉ ệá
ặ
ềểềé ề
ìá ỉ
ệ ỉ ệẹ
ểééể ề
ặ
ề ỉ
ìểẹ
èầặ ậẩ
ì ì
ỉ ểềá
ệ ìéỉì
ề éíì ìá ề ế éạ
ỉ ểề é ệ ìéỉì ỉ
ểẹễ
ỉề ìì ẹ ỉ ể ìà ỉể ễệể
ì ì ề ỉ
è
ề
ìỉ
ề
ỉ
ẹ
ì é
ề ệ ìéỉì
ễỉ ệì
ậ
ệ ễ
ỉ ìểẹ
ể
ỉ
ệ ìéỉì
ểỉ ỉ
ề
ỉ ểề ìễ
ì ỉ
ỉ éé
ì
ề ỉ
ỉ ì ì ậể ểé ìễ
p
m
m
p
ìễ
L (O)á ìễ
H (O)á ìễ
H0 (O)àá ìễ
L (0, T ; Y )
C([0, T ]; Y ) ề
ỉ ểềá
éìể
V ệ é ỉ ỉể ặ ệạậỉể ìạẻể ỉ
ề Vg ệ é ỉ
ỉể g ạặ ệạậỉể ì
ề
ề
Hg
ẵắ
è
ẵắẵ
ẽ
ầẩ
ấ
ỉ
éìể
ậỉể
ì ểễ ệ ỉểệ
ề
ỉ
ểễ ệ ỉểệ
3
ệ
ui
b(u, v, w) =
i,j=1
ẹẹ ẵẵ
ẽ
ề
ỉ ểề ìễ
ì
ế ỉ ểềì
A:V V
ểệ
O
éé
í
u, v V.
B :V ìV V
(B(u, v), w) = b(u, v, w),
ế ỉ ểềì
H
èầấậ
(Au, v) = ((u, v)),
ẽ
ề
ỉ ểề ìễ
ì
Aá B
ầễ ệ ỉểệì
ề
ễệ ì ềỉ
ểệ
éé
í
u, v, w V,
vj
wj dx.
xi
1/4
u 3/4 v |w|1/4 w 3/4 , u, v, w V,
c|u|
|b(u, v, w)| c1/4 u v w , u, v, w V,
c u v 1/2 |Av|1/2 |w|, u V, v D(A), w H,
Û
Ö
c Ö
½º¾º¾º
ÔÔÖÓÔÖ
Ag ¸ Bg
ÇÔ Ö ØÓÖ×
Ï
Ò
Ø
Ø
ÓÒ×Ø ÒØ׺
ÓÔ Ö ØÓÖ
Ag u, v
Ï
ÒÓØ
Ï
Ý
Ð×Ó
η1
Ø
Ò
g
Ø
Cg
Ag : Vg → Vg′
ÒÚ ÐÙ
ÓÔ Ö ØÓÖ
g
Ó Ø
Ag º
ÓÔ Ö ØÓÖ
Bg : Vg × Vg → Vg′
Ý
= bg (u, v, w), ∀u, v, w ∈ Vg ,
Ö
2
bg (u, v, w) =
ui
i,j=1
Ï
ÓÒ×
Ö Ø
ÓÔ Ö ØÓÖ
(Cg u, v)g = ((
Ä ÑÑ ½º¾º
Û
Ý
= ((u, v))g , ∀u, v ∈ Vg .
Ö×Ø
Bg (u, v), w
Û
Ò
Ö
Ï
O
∂vj
wj gdx.
∂xi
Cg : V g → H g
Ò
Ý
∇g
∇g
· ∇)u, v)g = bg (
, u, v), ∀v ∈ Vg .
g
g
Ú
1/2
1/2
1/2
1/2
c1 |u|g u g v g |w|g w g ,
c |u|1/2 u 1/2 v 1/2 |A v|1/2 |w| ,
g
g
g
2
g g
g
|bg (u, v, w)| ≤
1/2
1/2
c3 |u|g |Ag u|g v g |w|g ,
1/2
1/2
c4 |u|g v g |w|g |Ag w|g ,
ci , i = 1, . . . , 4, Ö
Ä ÑÑ ½º¿º
Ä Ø
ÔÔÖÓÔÖ
Ø
ÓÒ×Ø ÒØ׺
u ∈ L2 (0, T ; Vg )¸ Ø Ò Ø
ÙÒ
Ø ÓÒ
Cg u
Ý
(Cg u(t), v)g = ((
∇g
∇g
· ∇)u, v)g = bg (
, u, v), ∀v ∈ Vg ,
g
g
Ò
L2 (0, T ; Hg )á
éểề ì ỉể
ề
ề
éìể
éểề ì ỉể
L2 (0, T ; Vg )
ểệ ể ệá
|Cg u(t)|g
|g|
ã u(t) g , ểệ t (0, T ),
m0
ề
Cg u(t)
ẵ
ấ
é ỉí ỉ
ìỉể
ìỉ
ềỉ
ấ
ề ế é ỉ
ễệể
ỉ
ễể ềỉ ỉ
ậè
ệ ễ
ệểề
ặ
ỉ ìểẹ
ặầấ
ì
ệ
ẹễểệỉ ềỉ ễệểễểì ỉ ểềì
ể
ỉ
ểệ ẹ
ỉ
ệ ìéỉì
ì ì
ệể ệ
ỉ
ểỉ ỉ
ề ệ ễệể
ìì ì
ề
ì ì
ậ
ệ ế ềỉéí ì
ỉ
ể
ậậ
ề ỉ
ì ì
ỉ ểềá ệ
éé ìểẹ
ỉ
ề ẹểỉ ểềì ểệ ẽ
ỉ éé
ệ ìéỉì ể ỉ
ểềì ế ề
ĩ
ậèầ
ệ éì ỉ
ì ỉ
ệ ể
ã u(t) g , ểệ t (0, T ).
1/2
m0 1
ểệíá
ậèậ ầ
ề ỉ
|g|
ì ì
ỉ ểềá
ễệể
ềẹ
ậèậ ầ
ề ỉ
ẵ
ĩ
ể ỉ
ễệ ẹ ệí
ề ỉ
ỉ
ề
ỉ
ì ì ẽ
ỉ ẹễểệỉ ềỉ
éìể ễệ ì ềỉ
ểệ ẹì ể ỉ ề ì
ỉể
ềạ ểềì
ểẹễ
ỉ é ẹẹ á ỉ
ễể ềỉ ỉ
ểệ ẹá ỉ
èí
ểềể
ễỉ ệ ắ
ậè
èầặ ầ
ặ
ẫ
ề ỉ
ì
ễỉ ệá
ề ìẹểểỉ
ệí
ểề
ểề
ỉ
ìỉ
ểẹ
ỉ ểềì
é ỉí ể ìỉệểề
ỉ
ểềì
ệìỉá
é
ềể
ệ
ặ
ệạậỉể
ểẹể
ìỉ í ỉ
ìạẻể
ề ểì
ệ
è
ĩ ìỉ ề
ề
ỉể ềể ì
ế ỉ ểềì
ểề ạ
ĩễểề ềỉ
é ìỉ ạ
ễệể é ẹ è
ề ềỉ ệề é
ẹéỉ ễé
ỉ
ỉ
ệ
é ỉ
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề
ề
ỉ
ểệ
ậạẻầ
èầặậ
ềì ỉ
ìỉệểề
í ì ề
ễểệỉ é ệ
ấạậèầ
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì ỉể ỉ
ềí ềìỉ
é ị
ẻ
ề
ì ể
ĩễểề ềỉ
ểềỉệểé ỉ
ể ì
ééí
ìễạ
ềỉ ềỉ ềạ
ì ỉí
è
ì
ắẵ
ậ
ỉ
ẽ
ễỉ ệ ì ệ ỉỉ ề
èèặ
ầ
O
ểềì
è
ểề
ệ ỉ
ì
ểề ỉ
ẩấầ
ểẹ
ề ề
ặ
ểééể ề
ễ ễ ệ
R3
ỉ
ệạậỉể
ut u 2 ut + (u ã )u + p = f
ã u = 0
u(x, t) = 0
u(x, 0) = u0 (x)
ìẹểểỉ
ìạẻể
ề
O ì R+ ,
ểề
ề
é éể
ỉí
ắắ
ặẫ
èầặ
ặ
ấ
ề ỉ ểề ắẵ
D(A)
ì ì
ỉể
ậậ
ặ
ẩầặ
O
ắẵà
O ì R+ ,
O,
éể
ỉí
ỉểệá
ề ẹ ỉ
ìạ
ệ
ỉ ệ ị ề
é
ậè
ề
è
u0
ầ
ỉ
ì ỉ
ậè
ậầèầặậ
ỉ
f (L2 (O))3
ìỉệểề
ề
ề
ỉ ểề
u
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề ỉể ễệể é ẹ ắẵà
Au + B(u , u ) = f
ẵẳ
ặè
ệí
ế ỉ ểềì
O ì R+ ,
ệ
ề ỉ
ỉ
ề
u = u(x, t) = (u1 , u2 , u3 ) ì ỉ ề ềểề
p = p(x, t) ì ỉ ề ềểề ễệ ììệ á > 0 ì ỉ
é ề ỉ ì
é ễ ệ ẹ ỉ ệ
ểì ỉí
ể
ềỉá ì
é ìỉ
ỉí ể ỉ
é á f = f (x) ì
ề ểệ
ểề
ề
(L2 ())3 .
ắắà
ạ
è
è
ểééể ề
ểệ ẹ ắẵ
à è
ệ
ỉ
ểệ ẹ ì ỉ
ỉ
ĩ ìỉì
ẹ
ề ệ ìéỉ ề ỉ
ì ì
ỉ ểề
f (L2 (O))3 è ề
ỉ é
ìỉ ểề
ìỉệểề
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề
u ể
ễệể é ẹ ắẵà ì ỉ ì í ề
u
à ểệ ể ệá
ỉ
ểééể ề
1/2
1
ểề
2 >
|f |.
ỉ ểề
c0 |f |
3/4
1
ắà
ểé ì
,
ắ à
ẵẵá ỉ
ề ỉ
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề ỉể ễệể é ẹ ắẵà ì ề ế
ề
c0 ì ỉ
1
ệ
ĩễểề ềỉ
ắ
ậè
ẽ
ééí ìỉ
ặ
ệ ỉ
ìỉệểề
éể
ééí
é
èầặ ầ
ặ ặè
ểềì
ìỉ
ểềìỉ ềỉ ề ẹẹ
ấặ
ậè
èầặ
ểééể ề
ấ
ậầèầặậ
ầặèấầ
ểềỉệểéé
ặ
ệạậỉể
ậạ
ìạẻể
ỉ
ế ỉ ểềì
ut u 2 ut + (u ã )u + p
= 1 h + f
ãu=0
u(x, t) = 0
u(x, 0) = u (x)
0
ỉ
ệ
1
ì ỉ
ìẹểểỉ
h = h(x, t)
ỉ ì
ệ
ỉ ệ ìỉ
ểề
ì ỉ
ệí
ề
ỉ ểề ể ỉ
2
3
á f (L (O))
ề
O ì R+ ,
ề
O ì R+ ,
ểề
ề
O ì R+ ,
O,
ểẹ
ề
O
u0 V
ệ
ềá
ì
ề
ắ à
ểềỉệểé
ề
O = O\,
V = u (C0 (O ))3 : ã u = 0 .
ẵẵ
ềểỉ
í
í 1 () ỉ
ểềì
A
ỉ
ậỉể
ệìỉ
ì ểễ ệ ỉểệ
ề é
ệ ỉ
ể ỉ
ề
ểề
O
ẽ
ềểỉ
A
ểễ ệ ỉểệ
ểềỉệểéé ệ
h = k(u u ), k R+ ,
ề
ỉ
ểệệ ìễểề
ề
éểì
éểểễ ìíìỉ ẹ
ut u 2 ut + (u ã )u
+p + 1 k(u u ) = f
ãu=0
u(x, t) = 0
u(x, 0) = u (x)
O ì R+ ,
ề
O ì R+ ,
ểề
ề
0
ẽ
ề
ắ à
O ì R+ ,
O.
ì ỉ
ẽ
ệ
è
(u ) := sup {|b(u, u , u)| : |u| = 1} u
H
ềể ề ễểì ỉ ểề ỉể ìỉ ỉ
ì ì
ỉ ểề
ểệ ẹ ắắ
ỉ
ỉ
ẹ
ề ệ ìéỉ ể ỉ
u V (H (O))3 , > 5/2,
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề ỉể ắẵà ì
ỉ
.
ềí ìỉệểề
ỉ
1 () > (u ).
è
ề ểệ
ềỉ ể
ỉ
ề
u0 V
u0 á ỉ ệ
ì
k k0 ì
ềỉéí é ệ
ỉ ề ễ ềạ
ìểéỉ ểề u C([0, ); V ) ỉể ắ à ì
ỉ
u(t) u
ểệ ìểẹ
> 0 ệ
ấ ẹ ệ ắẵ
u
í ỉ
et u0 u
2
,
t 0,
:= |u|2 + 2 u 2 .
ẩể ề
ệ
ề ế é ỉíá
2
1 ()
ề
ểẹ
è
ẵắ
ì ì
ỉ ỉ
ềỉéí
ệ
ì ỉ
ìỉ
ỉ
sup
ìỉ(x, O)
.
xO
1 ()
ề
ẹ
ề O = O \
ểệ ẹ ắắ ỉ
O
C
ề
ề
ỉệ ệ éí é ệ
ềể
í ìỉ ỉ
u
è
ì
í ẹ
ệ
ểệ á
ĩễểề ềỉ
ề
ỉ
ỉ
ểééểì
ééí ìỉ
ềềé ệ
é ị
ệểẹ
é
ắ
ậè
èầặ ầ
èẩ
ẽ
ểềì
èẻ
ệ ỉ
ậè
èầặ
ấ
ậầèầặậ
èầ ặầậ
ểééể ề
ìỉể
ìỉ
ặ
ệạậỉể
ìạẻể
ỉ
ế ỉ ểềì
d(u 2 u) + [u + (u ã )u+
2
= f dt + (I )(u u )dWt
ãu=0
u(x, t) = 0
u(x, 0) = u (x)
0
ệ
p]dt
ề
O ì R+ ,
ề
O ì R+ ,
ểề
ề
> 0á Wt : R, t Rá
ì
ểề ạ
ắ à
O ì R+ ,
O,
ẹ ềì ểề é ẽ
ề ệ
ễệể
ìì
è
ểệ ẹ ắ
3/4
c0 |f |1
>
c0 ì ỉ
ệ
2 2
2 2
,
+
4
4
ìỉ
ểềìỉ ềỉ ề ẹẹ ẵẵá ỉ
ễệể é ẹ ắ à ì éể
ééí ĩễểề ềỉ
ééí ìỉ
ềỉ
ắ à
ìểéỉ ểề
u ể
é ểệ ễệ
ì éíá ỉ
ệ
N ỉ P(N ) = 0á ì
ỉ ỉ ểệ
/ N ỉ ệ ì T ()
ì
ỉ ỉ ểệ ềí ìểéỉ ểề u(t) ể ễệể é ẹ ắ àá ỉ
ểééể ề
ìỉ ẹ ỉ
ểé ì ểệ ìểẹ > 0 :
ĩ ìỉì
u(t) u
ấ ẹ ệ
ìỉệểề
ắắ
2
u(0) u
è ìá ỉ
ẹéỉ ễé
ỉ
ểệ ề ỉ
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề u
3/4
c0 |f |1
è
2 t
,
e
é ệ
ệỉ
u
ểệ ể ệá ểệ
ể
ì
ỉ
ềí
ỉ ắ à
ỉể ềể ì
á ỉ
ề
éểề
> 0á
ệỉ
ìỉ
é ị ì ỉ
ềỉ ệ é
2 2
2 2
+
,
4
4
ễ ệ ẹ ỉ ệ
t T ().
3/4
c0 |f |1
ìỉ
ề
.
é ỉí ểệ ỉ
é íì
ểểì
ìểéỉ ểề
é
ểé ì
ẵ
ễỉ ệ
ậè
èầặ ầ
ẫ
ẽ
ểềì
ìẹểểỉ
ểề
ĩễểề ềỉ
ệỉ
é ìỉ
ề
ểề
gạặ
ểẹ
ề
ệỉ
ìễễểệỉ
ìẹ éé
ề
ểệ
ìỉ
ậỉể
é ị
ì
ểệ
ì
ễ ệ ể
ỉ
ề ỉ
ì
ỉ
O
ầ
è
ểề
ệ ỉ
ì ỉ
ể
ềỉá
ẽ
é
ề
ệ ìểẹ
ìỉệểề
O\
ỉ
ì ì
ìỉ ạ
ìểéỉ ểềì ỉể ắ
ỉ
ệ
ểềỉệểéì
ĩ ìỉì
ề ééíá
ệạ
ĩỉ ệề é
ề ế
ì ễ ệ ể
ềỉéí
gạặ
ìỉ ểì
éé ỉ ề ạ ềạỉ ẹ
ì
ì
ểééể ề
ì
ẩấầ
ểề ỉ
ễ ễ ệì ẵ
ỉ ẹ ạ
ìểéỉ ểề
ề ề
R2
ỉ
ắ
gạặ
ệạậỉể
ì ỉ
ề ềểề ễệ ììệ á
u0
ììẹ
ì ỉ
ỉ
ề ỉ
ỉ ỉ
ề
ểẹ
u = u(x, t) = (u1 , u2 )
p(x, t)
ẵ
ỉ
u
u + (u ã )u + p = f
t
ã (gu) = 0
u(x, t) = 0
u(x, 0) = u0 (x),
ẹ ềì ểề é
ĩ ìỉ ề
ềí ềìỉ
ệí ìểéỉ ểề ỉ ề ì ỉể ỉ
ễỉ ệ ì ệ ỉỉ ề
èèặ
ểềì
ỉ ểề
ì
ểệ ể
í ì ể ề
ề
ỉ
ẹ ềì ểề é
ỉ ểề ể
ỉ
ìỉ í ỉ
ỉ
O
éểề ạỉ ẹ
ỉểạ
í ễệểễểệỉ ểề é
ểềỉệểéé ệ ỉ
ệ
ậ
ệ
ỉ
ế ỉ ểềì ề
ễệể
é ị
ề ỉ ạ
ậ
ể ì ỉể ề ề ỉí
è
í ì ề
ấạậèầ
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề ề
ế ỉ ểềì ề
ì ỉ ẹ
ẽ
ìỉ
ì
ệìỉá
ìỉệểề
ề ểễ ề ì ì ỉ
ìểéỉ ểề
ẵ
O
ỉ ểềì ậ
ểề á
ẻ
èầặậ
ệạậỉể
é ỉí ể
ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề
ề
gạặ
ắ
ìẹểểỉ
ì
ểề
O ì R+ ,
ề
O ì R+ ,
+
ẵà
O ì R ,
ểề
O.
ề ềểề éể
ỉí
ỉểệá
>0
O
ế ỉ ểềì
ề
ề
ệí
ì ỉ
p=
ề ẹ ỉ
ì
ểì ỉí
é éể
ỉí
ề
ỉ ểề
g
ì ỉ ì
ì ỉ
ểééể ề
ììẹễạ
(G1) g W 1, (O)
ì
ỉ
ỉ
0 < m0 g(x)M0 x = (x1 , x2 ) O,
ệ
ề
O
ắ
1 > 0
ỉ
ậè
ặ
è
ầ
ề ỉ ểề ẵ
ì ỉ
ệìỉ
Ag
ểễ ệ ỉểệ
á ặẫ
ậè
ỉ
ề é
ể ỉ
ì
ề
ề
ậậ
ặ
ặ
èầặ
ấ
ề
ểệ ẹ ẵ
ì ểễ ệ ỉểệ
ễỉ ệ ẵà
ặè
ậè
ạ
ậầèầặậ
é ẹ ềỉ
ề
ìỉệểề
u D(Ag )
Ag u + Cg u + Bg (u , u ) = f
è
gạậỉể
ẩầặ
f L2 (, g)
ìểéỉ ểề ỉể ễệể é ẹ ẵà ì
1/2
|g| < m0 1 ,
ề
ìỉ ỉ ểề ệí
ì
ỉ
ỉ
L2 (O, g).
f L2 (O, g)á ỉ ề ễệể é ẹ ẵà
ểề ìỉệểề ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề u ì ỉ ì í ề
1
u g
|f |g .
1/2
|g|
1 1
1/2
ẹ ỉì ỉ é
ìỉ
ắà
m0 1
ểệ ể ệá
ỉ
ểééể ề
ểề
2 1
ệ
c1 ì ỉ
ỉ ểề
|g|
ểé ì
2
1/2
m0 1
ểềìỉ ềỉ ề ẹẹ
ẵắá ỉ
ìểéỉ ểề ỉể ẵà ì ề ế
ề
éể
ậè
èầặ
ậè
ặ
ẽ
ểềì
èầặ ầ
ặ ặè
ệ ỉ
ấặ
à
ề ỉ
ìỉệểề ìỉ ỉ ểề ệí
ééí ĩễểề ềỉ
ểééể ề
c1 |f |g
,
1
>
ểềỉệểéé
ééí ìỉ
é
ấ
ậầèầặậ
ầặèấầ
ắ
gạặ
ệạậỉể
ậạ
ì
ế ạ
ỉ ểềì
u
u + (u ã )u + p
t
= 1 hg + f
ã (gu) = 0
u(x, t) = 0
u(x, 0) = u
0
ề
O ì R+ ,
ề
O ì R+ ,
ểề
ề
à
O ì R+ ,
O,
ẵ
1
ệ
ìẹểểỉ
ì ỉ
ệ
ỉ ệ ìỉ
ề
ỉ ểề ể ỉ
2
ệí á f L (O, g) ề u0
ểề
hg (x, t)
ì ỉ
ỉ ì
ì ì ỉ
Hg
O
ệ
ềá
ỉ
hg =
ểềỉệểé
ề
O = O\,
Vg = u (C0 (O ))2 : ã (gu) = 0 .
ỉ Ag
1 () ỉ
ểềì
gạậỉể
ỉ
ệìỉ
ì ểễ ệ ỉểệ
ề é
ệ ỉ
ể ỉ
ề
ểễ ệ ỉểệ
O
ểề
ẽ
ềểỉ
í
Ag
ểềỉệểéé ệ
hg = k(u u ), k R+ ,
ề
ẽ
ỉ
ểệệ ìễểề
ề
éểì
éểểễ ìíìỉ ẹ
u
u + (u ã )u
t
+1 k(u u ) + p = f
ã (gu) = 0
u(x, t) = 0
u(x, 0) = u (x)
0
ề
O ì R+ ,
ề
O ì R+ ,
ểề
ề
O ì R+ ,
O.
ì ỉ
g (u ) = sup {|bg (u, u, u )| : |u|g = 1} g u
è
ểệ ẹ ắ
ỉể à ì
ỉ
ỉ
ề ểệ
u D(Ag )
1
|g|
1/2
m0 1
u0 Hg
ềí ìỉệểề ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề
ềỉ ể
1 () > g (u ).
ề
ỉ
|u(t) u |g et |u0 u |g , t 0,
ểệ ìểẹ
ẵ
> 0
à
k k0 ì
ềỉéí é ệ
ỉ ề ạ
ìểéỉ ểề u C([0, +); Hg )
u0 á ỉ ệ ì
L2loc (0, +; Vg ) ỉể à ì
ỉ
ễ ề
D(Ag ) .
ỉ
è
à
ấ ẹ ệ ẵ
í ỉ
ẩể ề
ệ
ề ế é ỉíá
2
1 ()
ề
ểẹ
è
ì ì
ậè
ỉ
ặ
ì ỉ
ỉ
.
ềể
íạìỉ ỉ
í ẹ
ề
ỉ
ỉ
ểééểì
è ệ ểệ á
u ì ĩễểề ềỉ
ềềé ệ
ééí ìỉ
ệểẹ
é ị
é
ề
ạ
ệ ỉ
ỉệ ệ éí é ệ
ề
èầặ ầ
ặè
ẽ
ểềì
ệ
ềí ìỉ
ềỉéí
ìỉ(x, O)
sup
xO
1 ()
ề
ẹ
ề O = O \
ểệ ẹ ắá ỉ
O
C
ậè
èầặ
ặậầặ
ểééể ề
ấ
ậầèầặậ
ểềỉệểéé
ắ
ềỉ ệễểé ềỉ ểễ ệ ỉểệ Ih
u
u + (u ã )u + p
t
= àIh (u u ) + f
ã (gu) = 0
u(x, t) = 0
u(x, 0) = u
0
gạặ
ậạ
ầặèấầậ
ệạậỉể
ì
ế ạ
ỉ ểềì ỉ
ệ
f = f (x) Hg
ẽ
ììẹ
ỉ
ì
ểệ
ệ
há
á ỉ ì ỉ ì
ỉ
ểệ ẹ
ỉ
ìểéỉ ểề ỉể ẵà ể ỉ
ì ỉ
àá
O ì R+ ,
ề
O,
Ih : Vg H g
ềỉ ỉí ỉ
M0 2 2
c0 h 2g , Vg .
m0
ềè
ề
é ỉ
ề
ì
ề
ệệểệ ể
ìỉ ẹ ỉ
u
ềí ìỉệểề
ểệ ẹ ẵ ậễễểì ỉ
à ề h ệ ễểì ỉ ễ ệ ẹ ỉ ệì ì
ỉ
M0 2 2
àc h <
m0 0
à
O ì R+ ,
ểề
ểềỉệểéé ệ
ểééể ề
f Hg
ề
ề
ễễệểĩ ẹ ỉ ì ỉ
| Ih ()|2g
è
O ì R+ ,
ề
ỉ ỉ
ềỉ ệễểé ềỉ ểễ ệ ỉểệ ỉ
ề
2|g|2
+
à>
m20
à
ìỉ ỉ ểề ệí
ỉ Ih ì ỉ ì
ì
ỉ
2c21 |f |2g
1 3 1
2 . à
|g|
1/2
m0 1
ẵ
è
ề ểệ
u ỉể ìíìỉ ẹ
u0 Hg
ì
à
ềá ỉ
ệ
ĩ ìỉì
ỉ ểệ
ềí
T > 0á
ỉ
u C([0, T ]; Hg ) L2 (0, T ; Vg ),
ề ế
ìểéỉ ểề
du
L2 (0, T ; Vg ),
dt
ề
|u(t) u |2g et |u0 u |2g , t 0,
|g|2
2
ệ = à 2
m20
c21 |f |2g
2
1 3 1
ẵẳà
> 0 ỉể
ểềạ
|g|
1/2
m0 1
ỉ ểề à
ậè
è
ề ỉ
èầặ
è
ấặ
ì ì
ỉ ểềá
ậặ
ầấ
ểềì
ậè ầậ
(F1)
ỉ
ểééể ề
ểệ
ềí ễểì ỉ
ệ ỉ
ểééể ề
ỉ ệẹ
F (x, 0 t) ì
ề
ỉ
ề
ỉ ểề
ẽ
ẵ
ììẹễỉ ểề ểề ỉ
ểềìỉ ềỉ
ỉẹ
ểééể ề
ề
O ì R+ ,
ề
O ì R+ ,
ỉ
O ì R+ .
ììẹ
ỉ
ễ ệ ể
ề
ỉ ểề ỉ
ìỉệ
ỉệ
è
ẵẵà
ĩỉ ệề é ểệ
ệ
ĩ ìỉì
h(x, 0 t) ỉ ễ ệ ể Tper ì
ỉ
ììẹ ỉ
ạặạ
ìíìỉ ẹ
ểề
0 > 0á
1
ht (x, 0 t) = F (x, 0 t)
ã (gh) = 0
h=0
éìể
èặ
ậ
u
t u + (u ã )u + p = F (x, 0 t)
ã (gu) = 0
u(x, t) = 0
ẽ
ểệ
ễ ệể
Tper
ỉẹ
ễ ệể
ỉ
ề
O ì R+ ,
ề
O ì R+ ,
ểề
ỉ ỉ
O.
ẵắà
F L (0, Tper ; D(Ag )) ề F L (0,Tper ;D(Ag )) ỉ ễễ ệ
ểề ì ề ễ ề ềỉ ể 0
ểệ ể ệá
ììẹ ỉ ỉ h L (0, Tper ; D(Ag )) ề ỉ ệ
ĩ ìỉì
ễểì ỉ
ểềìỉ ềỉ Lh ề ễ ề ềỉ ể 0 ì
ỉ ỉ
h
è
2
L (0,Tper ;D(Ag ))
ểệ ẹ
ễ ề
ềí
ề ểề
Lh F
ìì
ẵà
, c1 , c3 , 1 , Lh ề
F
ỉ íễểỉ
0 0 á ỉ
ìíìỉ ẹ ẵẵà
2
L (0,Tper ;D(Ag )) .
ểé è
ềỉ
ệ
ĩ ìỉì
L (0,Tper ;D(Ag )) ì
ì
ẵà
0 > 0
ỉ
ỉ ểệ
Tper ạễ ệ ể
ìểéỉ ểề uper
ì ỉìíề
1/2
uper (t)
ệ
è
è
g
c1 , c3 ệ ỉ
ểệ ẹ
ề
ì ỉì
1
2c1
|g|
1/2
m0 1
ểềìỉ ềỉì ề ẹẹ
ỉ íễểỉ
ềí ìểéỉ ểề
1
ìì
ẵà
u(ã) ỉể ìíìỉ ẹ
, t [0, Tper ],
ẵ à
ẵắ
ểé
ẵẵà
ề é ỉ
ỉ
u0 Vg
ềỉ
é
ề
ỉẹ
u0
ì
|u(t) uper (t)|2g et |u0 uper (0)|2g , t 0,
ệ
= 1 1
éỉ ểề ể ỉ
uper ẹìỉ
ề
|g|
1/2
m0 1
ềè
> 0 ề uper ì ỉ
ỉ ẹ ễ ệ ể
ìểạ
ểệ ẹ ề ễ ệỉ
é ệá ỉ
ễ ệ ể
ìểéỉ ểề
ề ế
ẵ
ễỉ ệ
è
ậè
gạặ
ắ
è
ẻ
ầ
ậầèầặậ èầ ậèầ
ấạậèầ
ậ
ẫ
ề ỉ
ì
ễỉ ệá
ế ỉ ểềì ỉ
ề ỉ
ểềì
ìỉể
ìỉ
ìíìỉ ẹ
ỉ
ì
ểì ỉí ì é ệ
ề ìế ệ
ề
éỉ ểềì ỉể ỉ
í ì ề
ỉ
ềể
gạặ
ìỉ
ắ
ìỉ í ỉ
ĩ ìỉ ề
ìỉ
ắ
ểẹễ
ỉề ìì ẹ ỉ ể á
á
ì ể ỉ
ìỉ í ỉ
éẹểìỉ ìệ
ìỉể
ặè
ệạậỉể
ĩễểề ềỉ
gạặ
ỉ ỉ
ì
ệạậỉể
é ìỉ
é ỉí ể ỉ
ì
ề
ề
ỉể
ề
ìỉ ỉ ểề ệí
ĩễểề ềỉ
é ìỉ
ì
ể
ỉ ệẹ ề ìỉ
ìíìỉ ẹ
ểệệ ìễểề
ìểéỉ ểề ì ề ế ậ
ểề á
ẹ
ìỉể
ệìỉá
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềì ỉể ỉ
ỉ
èầặậ ẽè
ậè
ậ
ệ ỉ
é íì
é ỉí ề
ìểạ
ế ỉ ểềì ỉ
ề ỉ
é íì
è
ẵ
ì
ậ
ỉ
èèặ
O
ẽ
ểềì
ỉ
ễỉ ệ ì ệ ỉỉ ề
ề ỉ
ầ
è
ểề
ệỉ
ểééể ề
ì
ẩấầ
ểẹ
ìỉể
ểề ỉ
ề ề
ễ ễ ệ ắ
R2
ìỉ
ắ
ỉ
ìẹểểỉ
gạặ
ểề
ệạậỉể
ì
ệí
O
ế ỉ ểềì
é íì
du = [u (u ã )u p + f + F (u(t (t)))]dt
+ G(u(t (t)))dW (t),
x O, t > 0,
ã (gu) = 0,
u(x, t) = 0,
u(x, t) = (x, t),
x O, t > 0,
ẵà
x O, t > 0,
x O, t [, 0],
u = u(x, t) = (u1 , u2 ) ì ỉ
ề ềểề éể
ỉí
ỉểệá
p = p(x, t) ì ỉ
ề ềểề ễệ ììệ á > 0 ì ỉ
ề ẹ ỉ
ỉ ẹ ạ ề ễ ề ềỉ ĩỉ ệề é
ì
ểì ỉí
ể
ềỉá f = f (x) ì
ĩỉ ệề é ểệ
é
ỉ
ểệ
é
ỉ ểỉ
é íá F (ã) ì ỉ
é íá G(u(t (t)))dW (t) ì ỉ
ệ ề ểẹ ểệ
é
ỉ
ạ
é íá W (t) ì ề ề ề ỉ ạ ẹ ềì ểề é ẽ ề ệ ễệể
ììá ỉ
ề
ỉ ểề
ắẳ
ệ
: [0, +) [0, ]
éể
ỉí
ềẹ
é
ềỉ
ì
ểề
ỉ ẹ
ề
ềỉ ệ é
ẹ
ìệ
[, 0]á
ệ
é á
ì ỉ
ì
ề ỉ
ĩ
ễểì ỉ
ệ
è
ìỉể
ề
gạặ
ìỉ
ắ
ệ ệ ỉỉ ề ề ỉ
ệạậỉể
ì
ế ỉ ểềì ỉ
é íì ẵà
ểệẹ
du = [Ag u(t) Cg u(t) Bg (u(t)) + f
+F (u(t (t)))]dt + G(u(t (t)))dW (t), t > 0,
u () = L2 (, C([, 0]; H )),
[, 0],
0
g
L2 (, C([, 0]; Hg ))
ệ
ểề
á ẹ
ìì ì
ế ễễ
ìệ
é
ỉ
ỉ
ểệệ ìễểề
ề
ềểỉ ì ỉ
ẹ éí ể
C([, 0]; Hg )ạ
ề
è
é
ề ỉ ểề ẵ
ìểéỉ ểề ể
à
u(t)
ì
Ft ạ
2
0
ìỉể
ìỉ
ễệểạ
[,0]
ỉ ệẹ ề ìỉ
ìíìỉ ẹ ể
ắà ì ỉ
ìỉể
ìỉ
ễệể
ìì
ểééể ề
à
t > 0,
[, 0].
u(t), t á
ì ì
ỉể
ắà
ễỉ
ểééể ề
ìệ éíá ểệ
éẹểìỉ ìệ éí
= E sup |()|2g .
u L (, T ; Hg ) L2 (, T ; Vg )
0;
à ỉ
éé
ắà
ìễệ ẹẹ ềểệẹ
d
dt u(t) = Ag u(t) Cg u(t) Bg (u(t))
+f + F (u(t (t))),
u0 () = C([, 0]; Hg ),
à
é
ế ỉ ểề
ểé ì
ì
éẹểìỉ ìệ éí ểệ
ề
ềỉ ỉí
ề
Vg
éé
T >
éẹểìỉ
t [0, +)á
t
u(t) = u(0) +
Ag u(s) Cg u(s) Bg (u(s))
0
+ f + F (u(s (s))) ds
t
G(u(s (s)))dW (s).
+
0
ắẵ
ắ
ậè
è
ẽ
ắà
ầ
ậè
ấặậè
ẹ
è
ặ
ỉ
èầặ
ậ
ậè
ểééể ề
ấ
ììẹễỉ ểề
F : Hg Hg
ểềìỉ ềỉ LF á á
ề
ỉ ểề
ễì
ỉị
ậầèầặậ èầ è
ì ễì
ỉị
ểềỉ ềểì ỉ
|F (u) F (v)|g LF |u v|g , u, v Hg .
ề ỉ ểề ắ
ỉ
ỉể ễệể é ẹ à ì
f Vg
ề
ề
é ẹ ềỉ
u Vg
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề
ì
ỉ
ỉ
Ag u + Cg u + Bg (u , u ) = f + F (u )
è
ểệ ẹ ẵ ỉ f
ẵà ắà ểé è
ề ề
Vg
ììẹ ỉ
Vg .
ề
ỉ ỉ
à
íễểỉ
ì ì
ề
à
ỉ
ề ỉ
ì
ệ
ĩ ìỉì
|g|
1
LF
,
1
>
1/2
m0 1
à
u Vg ỉể
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề
à
ì ỉạ
ì
à ệỉ
ệ
c1 ì ỉ
1/2
m0 1
ệẹểệ á
|g|
1
ỉ
1
LF
1
u
ểééể ề
ểề
|g|
ểềìỉ ềỉ ề ẹẹ
f
ỉ ểề
2
LF
1
1/2
m0 1
g
>
ẵắá ỉ
c1
1/2
1
ề ỉ
.
à
ểé ì
f
,
à
ìỉ ỉ ểề ệí
ìểéỉ ểề ỉể à ì ề ế
ẩầặ
è
ẽ
ắắ
ặè
ậè
è
ầ
ềể
ììẹ
ệỉ
ệẹểệ
ỉ
ỉ
è
ậèầ
ậè
ậ
ậạ
ắà
è
G : Hg L(K, Hg )
ề
ỉ ểề
ì ễì
ỉị
ểềỉ ềểìá
á
G(u) G(v)
ề
ì
ỉ
ìểéỉ ểề
ẽ
u
è
ệìỉ
ỉ
ẹ
LG |u v|g , u, v Hg ,
G(u ) = 0á
ề ề è
ỉ
L02
ểệ ẹ
ề ìế ệ
u
ệ
ì ỉ
ìỉ ỉ ểề ệí
ẵ
ìỉ
é ỉí
ểề
ỉ ểề
ểệ ỉ
ìểéỉ ểề
ểệ ẹ ắ
ỉể à ì
2
ììẹ
ỉ
ỉ
ỉ
f Vg ề u
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề
ỉ
1
ỉ ỉ
|g|
1/2
m0 1
íễểỉ
>2
c1
1/2
1
ì ì
ẵàá
2LF + L2G
u g+
.
1
ắà
ắà
ểé è
à
ề
ềí
u(t) ỉể ắà
ểề ệ ì ĩễểề ềỉ ééí ỉể ỉ
ẹ ề ìế ệ è ỉ ìá ỉ ệ ĩ ìỉ ỉể
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề u ề ỉ
ệ é ềẹ ệì 0 , C0 > 0 ì
ỉ ỉ
ìểéỉ ểề
E|u(t) u |2g C0 e0 t ,
è
è
ểệ ẹ
ề
ềí
ììẹ ỉ
ỉ ỉ
íễểỉ
t 0.
ì ì ể è
ểệ ẹ
ắ
ểé
ìểéỉ ểề
u(t) ỉể ễệể é ẹ ắà
ểề ệ ì ỉể ỉ
ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểề u éẹểìỉ ìệ éí ĩễểề ềỉ ééí è ỉ ìá
ỉ ệ
ĩ ìỉì
ệ é ềẹ ệ > 0 ì
ỉ ỉ
1
log |u(t) u |2g ,
t+ t
lim
ì.
ắ
