LTDH PT va BPT Can thuc

Chuyên đề 4:
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Các điều kiện và tính chất cơ bản :
*
A
có nghóa khi A
≥
0
*
0
≥
A
với A
≥
0
*
AA
=
2
&



<
≥
=
0A nếu A-
0A nếu A
A

*
( )
AA
=
2
với A
≥
0
*
BABA ..
=
khi A , B
≥
0
*
BABA
−−=
..
khi A , B
≤
0
II. Các đònh lý cơ bản :
a) Đònh lý 1 : Với A
≥
0 và B
≥
0 thì : A = B
⇔
A
2

= B
2
b) Đònh lý 2 : Với A
≥
0 và B
≥
0 thì : A > B
⇔
A
2
> B
2
c) Đònh lý 3 : Với A, B bất kỳ thì : A = B
⇔
A
3
= B
3
A > B
⇔
A
3
> B
3
A = B
⇒
A
2
= B
2

III. Các phương trình và bất phương trình căn thức cơ bản & cách giải :

* Dạng 1 :
A 0 (hoặc B 0 )
A B
A B
≥ ≥

= ⇔

=

* Dạng 2 :
2
B 0
A B
A B
≥


= ⇔

=


* Dạng 3 :
2
A 0
A B B 0
A B


≥

< ⇔ >


<

* Dạng 4:
2
A 0
B 0
A B
B 0
A B

≥



<


> ⇔

≥






>



IV. Các cách giải phương trình căn thức thường sử dụng :
15
* Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản
Ví dụ : Giải phương trình sau :
1)
42
−=−
xx
(x=6)
2)
02193
2
=−++−
xxx

1
(x )
2
= −

Bài tập rèn luyện:
1)
5234
2
−=−+−

xxx
(
5
14
=
x
)
2)
7122
=−−
xx
(
5
=
x
)
3)
1232
2
+=+−
xxx
(
)
3
153
±−
=
x
4)
24

4
4
22
xx
=−
(
22
±=
x
)

* Phương pháp 2 : Đặt điều kiện (nếu có) và nâng luỹ thừa để khử căn thức
Ví dụ : Giải phương trình sau :
1)
13492
++−=+
xxx
(
11
x 0 x )
3
= ∨ =
2)
012315
=−−−−−
xxx
(x=2)
Bài tập rèn luyện:
1)
1723

=+−−
xx
(
9
=
x
)
2)
38
+=−+
xxx
(
1
=
x
)
3)
21
+=++
xxx
(
3
323
+−
=
x
)
4)
431
+−=+

xx
(
0
=
x
)
* Phương pháp 3 : Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình hoặc hệ pt đại số
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
xxxx 33)2)(5(
2
+=−+

(x 1 x 4)= ∨ = −
2)
5)4)(1(41
=−++−++
xxxx

(x 0 x 3)= ∨ =
3)
01312
2
=+−+−
xxx

(x 1 x 2 2)= ∨ = −
4)
112
3

−−=−
xx

(x 1 x 2 x 10)= ∨ = ∨ =
Bài tập rèn luyện:
1)
4)5)(2(52
=−++−++
xxxx
(
2
533
±
=
x
)
2)
16212244
2
−+−=−++
xxxx
(x=5)
4)
36333
22
=+−++−
xxxx
5)
253294123
2

+−+−=−+−
xxxxx

* Phương pháp 4 : Biến đổi phương trình về dạng tích số : A.B = 0 hoặc A.B.C = 0
Ví dụ : Giải phương trình sau :
16

xx
x
x
−=−−
−
123
23
2


* Phương pháp 5 : Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
• Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C
có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b).
( do đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao cho f(x
0
) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương
trình f(x) = C)
• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là một hàm giảm trong khỏang

(a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) .
( do đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
) thì đó là nghiệm duy nhất của phương
trình f(x) = g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
4259
+−=+
xx
2)
11414
2
=−+−
xx
Bài tập rèn luyệnï:
1)
141
=−−+
xx
(x=3)
2)
7825
=+++

xx
(x=4)
* Phương pháp 6 : Sử dụng bất đẳng thức đònh giá trò hai vế của phương trình
Ví dụ: Giải phương trình
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + = − −
V. Các cách giải bất phương trình căn thức thường sử dụng :
* Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
134
2
+<+−
xxx
2)
3254
2
≥++−
xxx
3)
14
2
<++
xxx
4)
2)4)(1(
−>−+
xxx
Bài tập rèn luyện:
1)

26
2
+≥−+
xxx
(
3
−≤
x
)
2)
1)1(2
2
+≤−
xx
(
311
≤≤∨−=
xx
)
3)
xxx
<−−
12
2
(
4
≥
x
)
4)

xxx
−>−+
2652
2
(
110
≥∨−≤
xx
)
5)
3
7
3
3
)16(2
2
−
−
>−+
−
−
x
x
x
x
x
* Phương pháp 2 : Đặt điều kiện (nếu có) và nâng luỹ thừa để khử căn thức
Ví dụ : Giải bất phương trình sau :

xxx

−+−≥+
7823

17

Bài tập rèn luyệnï:
1)
12411
−+−≥+
xxx
(
54
≤≤
x
)
2)
1553
>+−
xx
(
4
>
x
)
3)
xxx
≤+−+
12
(
3

323
+−
≥
x
)
* Phương pháp 3 : Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số
Ví dụ : Giải phương trình sau :
1)
342452
22
++≤++
xxxx
2)
123342
22
>−−++
xxxx

Bài tập rèn luyệnï:
1)
xxxx 271105
22
−−≥++
(
13
≥∨−≤
xx
)
2)
2855)4)(1(

2
++<++
xxxx
(-9<x<4)
* Phương pháp 4 : Biến đổi phương trình về dạng tích số hoặc thương số
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
0232)3(
22
≥−−−
xxxx
2)
0
12194
7
2
<
+−
−
xx
x

3)
1
4
35
<
−
−+
x

x

Bài tập rèn luyệnï:
1)
1
2
811
2
<
−−
x
x
(
3
1
00
22
1
<<∨<≤−
xx
)
2)
3
411
2
<
−−
x
x
(

2
1
00
2
1
≤<∨<≤−
xx
)

18