max min so phuc thay Tung penCC4_SP_01_DA
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.38 MB, 13 trang )
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)
CHUYÊN ĐỀ : SỐ PHỨC
PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI NHANH CÁC
BÀI TOÁN MIN - MAX
GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG
ĐÁP ÁN
1B
2A
3D
4C
5C
6B
7D
8B
9D
10B
11C
12A
13C
14D
15D
16D
17A
18B
19A
20D
21D
22C
23C
24C
25A
26B
LỜI GIẢI CHI TIẾT
(Để xem lời giải được dễ hiểu hãy chắc rằng bạn đã xem đầy đủ video bài giảng
của bài học này !)
Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn z 1 i z 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất z
A. z
min
1
.
4
B. z
min
10
.
10
C. z
min
min
5
.
5
của z .
D. z
min
1
.
3
Giải
Cách 1: (Dùng hình học)
Gọi z x yi (x, y ) được biểu diễn bởi điểm M (x ; y ) .
Điều kiện bài toán tương đương:
x 1 (y 1)i x 2 yi (x 1)2 (y 1)2 (x 2)2 y 2 3x y 1 0 () (*) .
Ta có z x 2 y 2 MO với O(0;0) .
Từ (*) , suy ra M : 3x y 1 0 và bài toán thuộc Mô Hình 1 (xem trong bài giảng)
z
min
MOmin d(O, )
3.0 0 1
32 12
1
10
10
đáp án B.
10
Cách 2: (Dùng đại số)
Gọi z a bi (a,b ) . Điều kiện bài toán tương đương:
a 1 (b 1)i a 2 yi (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 b 2 b 3a 1 (*) .
(*)
2
3
1
1
10
Suy ra: z a b a (3a 1) 10a 6a 1 10 a
.
10
10
10
10
2
Suy ra: z
min
2
2
2
2
10
đáp án B.
10
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!
Tổng đài tư vấn: 1900 69-33
www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui
- Trang | 1-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)
CHUYÊN ĐỀ : SỐ PHỨC
Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn z i z 2 i và w z 1 2i . Tìm giá trị nhỏ nhất w
min
của môđun số phức w .
A. w
min
2.
B. w
min
3.
C. w
min
1.
D. w
min
2
.
2
Giải
Cách 1: (Dùng hình học)
Gọi z x yi (x, y ) được biểu diễn bởi điểm M (x ; y ) .
Điều kiện bài toán tương đương:
x (y 1)i x 2 (y 1)i x 2 (y 1)2 (x 2)2 (y 1)2 x y 1 0 () (*) .
Ta có w z 1 2i x 1 (y 2)i (x 1)2 (y 2)2 MA với A(1; 2) .
Từ (*) , suy ra M : x y 1 0 và bài toán thuộc Mô Hình 1 (xem trong bài giảng)
w
min
MAmin d(A, )
1 (2) 1
12 12
2 đáp án A.
Cách 2: (Dùng đại số)
Gọi z a bi (a,b ) . Điều kiện bài toán tương đương:
a (b 1)i a 2 (b 1)i a 2 (b 1)2 (a 2)2 (b 1)2 b 1 a
(*) .
Suy ra: w z 1 2i a 1 (b 2)i
(*)
(a 1)2 (b 2)2 (a 1)2 (3 a )2 2a 2 8a 10 2 a 2 2 2 .
Suy ra: z
min
2
2 đáp án A.
Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn 2z i 2z 3 2i . Tổng phần thực và ảo của z bằng bao
nhiêu để số phức z có môđun nhỏ nhất ?
A.
5
.
6
B.
2
.
3
C.
3
.
2
D.
6
.
5
Giải
Cách 1: (Dùng hình học)
Gọi z x yi (x, y ) được biểu diễn bởi điểm M (x ; y ) .
Điều kiện bài toán tương đương: 2x (2y 1)i 2x 3 2(y 1)i
4x 2 (2y 1)2 (2x 3)2 4(y 1)2 3x y 3 0 () (*) .
Ta có z x 2 y 2 MO với O(0;0) .
Từ (*) , suy ra M : 3x y 3 0 và bài toán thuộc Mô Hình 1 (xem trong bài giảng).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên z OM OH d(O, )
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!
Tổng đài tư vấn: 1900 69-33
www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui
3
10
- Trang | 2-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)
Suy ra z
min
3
10
CHUYÊN ĐỀ : SỐ PHỨC
M H.
Đường thẳng OM đi qua O(0; 0) và vuông góc với : 3x y 3 0 OM : x 3y 0 .
9
x
3
x
y
3
0
10 x y 6 đáp án D.
Suy ra tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
5
x 3y 0
y 3
10
Cách 2: (Dùng đại số)
Gọi z a bi (a,b ) . Điều kiện bài toán tương đương:
2a (2b 1)i 2a 3 2(b 1)i 4a 2 (2b 1)2 (2a 3)2 4(b 1)2 b 3 3a (*)
(*)
2
9
9
3
Khi đó: z a b a (3 3a ) 10a 18a 9 10 a
10
10
10
2
Suy ra: z
min
3
10
2
2
2
2
a
9
3
6
b
a b đáp án D.
10
10
5
Câu 4. Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i z 3 i và w 2z 1 i . Tìm giá trị nhỏ nhất
w
min
của w .
A. w
min
5
.
12
B. w
min
5
.
3
C. w
min
12
.
5
D. w
min
3
.
5
Giải
Cách 1: (Dùng hình học)
Gọi z x yi (x, y ) được biểu diễn bởi điểm M (x ; y ) .
Điều kiện bài toán tương đương: x 1 (y 2)i x 3 (y 1)i
(x 1)2 (y 2)2 (x 3)2 (y 1)2 8x 6y 5 0 ()
2
(*) .
2
1 1
1
1
w (2x 1) (2y 1)i (2x 1) (2y 1) 2 x y 2MA với A ; .
2
2
2 2
2
2
Từ (*) , suy ra M : 8x 6y 5 0 và bài toán thuộc Mô Hình 1.
w
min
2MAmin 2d(A, ) 2.
1
1
8. 6. 5
2
2
82 (6)2
12
đáp án C.
5
Cách 2: (Dùng đại số)
Gọi z a bi (a,b ) . Điều kiện bài toán tương đương:
a 1 (b 2)i a 3 (b 1)i (a 1)2 (b 2)2 (a 3)2 (b 1)2
8a 6b 5 0 b
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!
8a 5
6
Tổng đài tư vấn: 1900 69-33
www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui
(1) .
- Trang | 3-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)
Ta có: w (2a 1) (2b 1)i (2a 1)2 (2b 1)2
CHUYÊN ĐỀ : SỐ PHỨC
(2)
Thay (1) vào (2) , ta được:
2
2
8a 8
100a 2 92a 73
w (2a 1)2
3
3
Suy ra: w
min
10a 23 1296
5
25
3
1296
25 12 .
3
5
12
đáp án C.
5
Chú ý: Có thể dùng Casio để tìm giá trị nhỏ nhất của f (a) 100a 2 92a 73 .
Trong phần giải phương trình bậc 2 với tổ hợp phím Mod 5 3
(sau khi nhập các hệ số ta ấn “=” 4 lần).
Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn z 1 i z 2 3i 5 và w z i . Gọi T là giá trị lớn
nhất của w . Tìm T .
A. T 5 .
B. T 2 5 .
D. T
C. T 2 2 .
2
.
5
Giải
Gọi z x yi được biểu diễn bởi điểm M (x ; y ) .
Khi đó z 1 i z 2 3i 5 (x 1)2 (y 1)2 (x 2)2 (y 3)2 5 (*) .
(*)
Gọi A(1; 1), B(2;3)
MA MB AB M thuộc đoạn AB
Ta có phương trình đoạn thẳng AB : 4x 3y 1 0 (1) với x 2;1
Ta có: w z i x (y 1)i x 2 (y 1)2 (2)
(2)
w MC .
Cách 1: Gọi C (0;1)
Ta có T MC max max CA,CB
M
A
B
5;2 2 2 2
T
đáp án C.
C
Cách 2: Thay (1) vào (2) , ta được:
2
1 4x
25x 2 16x 4
w x (y 1) x
1
3
3
2
2
2
f (x )
3
8
Xét f (x ) 25x 2 16x 4 với x 2;1 . Ta có: f '(x ) 50x 16; f '(x ) 0 x .
25
8 36
f (x )max 72
Ta có f (2) 72 ; f (1) 45 ; f
25 25
T w
max
f (x )max
3
72
2 2 đáp án C.
3
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!
Tổng đài tư vấn: 1900 69-33
www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui
- Trang | 4-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)
CHUYÊN ĐỀ : SỐ PHỨC
Câu 6. (Đề Tham Khảo – L3 – 2017) Xét các số phức z thỏa mãn z 2 i z 4 7i 6 2 .
Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của z 1 i . Tính P m M .
A. P 13 73 .
B. P
5 2 2 73
.
2
C. P 5 2 73 .
D. P
5 2 73
.
2
Giải
Gọi z x yi được biểu diễn bởi điểm T (x ; y ) .
Khi đó z 2 i z 4 7i 6 2 (x 2)2 (y 1)2 (x 4)2 (y 7)2 6 2 (*) .
(*)
Gọi A(2;1), B(4;7)
TA TB AB T thuộc đoạn AB
Ta có phương trình đoạn thẳng AB : x y 3 0 với x 2;4 (1)
Ta có: z 1 i (x 1)2 (y 1)2 (2)
(2)
z 1 i TC .
Cách 1: Gọi C (1; 1)
Ta có m TC min d(C , AB )
M TC max max CA,CB
11 3
2
13; 73
A
5
2
T
B
m
M
và
C
73 P m M
5
2
73
5 2 2 73
2
đáp án B.
Cách 2: Thay (1) vào (2) , ta được: z 1 i (x 1)2 (x 4)2 2x 2 6x 17 f (x )
3
Xét f (x ) 2x 2 6x 17 với x 2;4 . Ta có: f '(x ) 4x 6; f '(x ) 0 x .
2
3 25
Ta có f (2) 13 ; f (4) 73 ; f
2
2
P m M f (x )min f (x )max
25
5 2 2 73
đáp án B.
73
2
2
Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn z 2 . Gọi a, b lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
z 2 3i . Tính T a 2b .
A. T 2 13 .
B. T 4 .
C. T 3 2 13 .
D. T 2 3 13 .
Giải
Gọi M (z ) , khi đó z 2 M thuộc đường tròn tâm O(0; 0) , bán kính R 2 .
Ta có z 2 3i MA trong đó A(2; 3) .
a MAmin OA R 13 2
Theo Mô hình 3, suy ra:
T a 2b 2 3 13 đáp án D.
b MAmax OA R 13 2
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!
Tổng đài tư vấn: 1900 69-33
www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui
- Trang | 5-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)
CHUYÊN ĐỀ : SỐ PHỨC
Câu 8. Trong các số phức z thỏa mãn (1 2i)z 4 3i 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z .
3 1.
A.
B.
5 1.
C.
5 1.
D.
3 1.
Giải
4 3i
1 2i . z 2 i 5. z 2 i .
Gọi M (z ) , biến đổi: (1 2i)z 4 3i (1 2i)z
1 2i
Khi đó:
5. z 2 i 5 z 2 i 1
M thuộc đường tròn tâm I (2; 1) , bán kính R 1 .
Theo Mô hình 3, suy ra: z
min
MOmin OI R 5 1 đáp án B.
Câu 9. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện (1 i)z 1 7i 2 . Tìm max z
A. max z 4 .
B. max z 3 .
D. max z 6 .
C. max z 7 .
Giải
1 7i
1 i z 3 4i 2 z 3 4i .
Gọi M (z ) , biến đổi: (1 i)z 1 7i (1 i) z
1 i
Khi đó:
2. z 3 4i 2 z 3 4i 1
M thuộc đường tròn tâm I (3; 4) , bán kính R 1 .
Theo Mô hình 3, suy ra: z
max
MOmax OI R 5 1 6 đáp án D.
Câu 10. Tìm giá trị lớn nhất của z biết rằng z thỏa mãn điều kiện
A. max z 1 .
2 3i
z 1 1.
3 2i
C. max z 2 .
B. max z 2 .
D. max z 3 .
Giải
Ta có
2 3i
z 1 1 iz 1 1 (i)z i 1 i z i 1 z i 1 (*)
3 2i
Gọi M (z ) , khi đó (*) M thuộc đường tròn tâm I (0; 1) và bán kính R 1 .
Suy ra: max z OM max OI R 1 1 2 đáp án B.
Câu 11. Cho số phức z thỏa mãn z 4 . Khi z 4 3i đạt giá trị lớn nhất, tính z
A.
3 97
.
5
B. 5 .
C.
13
.
5
D.
11
.
5
9 7
.
5
Giải
Gọi M (z ) với z x yi khi đó z 4 x 2 y 2 16 .
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!
Tổng đài tư vấn: 1900 69-33
www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui
- Trang | 6-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)
CHUYÊN ĐỀ : SỐ PHỨC
Suy ra M thuộc đường tròn tâm O(0; 0) , bán kính R 4 .
Ta có z 4 3i MA trong đó A(4; 3) . Suy ra phương trình OA : 3x 4y 0 .
16 12
16
12
M ;
3x 4y 0
x ;y
M A 1
1 5
5
1
5
5
Xét hệ
2
2
16
12
x
y
16
16
12
M 2A 9
M ;
x ; y
2
5 5
5
5
Theo Mô hình 3, suy ra: z 4 3i
Suy ra: z
max
16 12
MAmax OA R 5 4 9 khi M M 2 ; .
5 5
16 12
11
12
13
đáp án C.
iz
1 i
5
5
5
5
5
Câu 12. (Đề Tham Khảo – 2018) Xét các số phức z a bi ( a,b ) thỏa mãn z 4 3i 5
. Tính P a b khi z 1 3i z 1 i đạt giá trị lớn nhất.
A. P 10 .
B. P 4 .
C. P 6 .
D. P 8 .
Giải
Gọi M (z ) , khi đó z 4 3i 5 M thuộc đường tròn (C ) tâm I (4; 3) , bán kính R 5 .
Ta có T z 1 3i z 1 i MA MB
A
A(1;3)
với
và H (0;1) là trung điểm của AB .
B
(1;
1)
Khi đó bài toán thuộc Mô hình 4, nên ta có:
Tmax 2MA với
M
H
I
M HI (C ) (như hình vẽ).
1
x M 4 2
x M 6 a .
Ta có IH 2 5 2R 2IM IM HI 2;1
2
yM 3 1
yM 4 b
Suy ra: P a b 6 4 10 đáp án A.
Câu 13. (Chuyên Vinh – Lần 3 – 2018) Cho các số phức w, z thỏa mãn w i
B
3 5
và
5
5w (2 i)(z 4) . Giá trị lớn nhất của biểu thức P z 1 2i z 5 2i bằng
A. 4 13 .
B. 4 2 13 .
C. 2 53 .
D. 6 7 .
Giải
3 5
5w 5i 3 5
5
5i
3 5 z 3 2i 3 (*)
(2 i)(z 4) 5i 3 5 (2 i) z 4
2 i
Từ điều kiện 5w (2 i)(z 4) , ta có: w i
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!
Tổng đài tư vấn: 1900 69-33
www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui
- Trang | 7-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)
CHUYÊN ĐỀ : SỐ PHỨC
Gọi M (z ) , khi đó (*) M thuộc đường tròn tâm I (3; 2) , bán kính R 3 .
Ta có P z 1 2i z 5 2i MA MB
A
A(1;2)
với
và H (3;2) là trung điểm của AB .
B(5;2)
Khi đó bài toán thuộc Mô hình 4, nên ta có:
M
H
I
Pmax 2MA 2 MH 2 AH 2 .
B
Trong đó MH MI IH R IH 3 4 7 và AH 2 .
Suy ra: Pmax 2 72 22 2 53 đáp án C.
Câu 14. (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định – Lần 2 – năm 2018) Cho số phức z và w thỏa
mãn z w 3 4i và z w 9 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức T z w .
A. maxT 176 .
B. maxT 14 .
C. maxT 4 .
D. maxT 106 .
Giải
OM ON OA (*)
M (z ) z w 34i
Gọi
trong đó A(3; 4) .
z w 9
N
(
z
)
MN
9
(2*)
Từ (*) , suy ra: OMAN là hình bình hành.
3
Khi đó I ;2 vừa là trung điểm của OA vừa là trung điểm của MN (3*)
2
Từ (2*) và (3*) , suy ra:
M , N thuộc đường tròn tâm
3
MN
9
I ;2 đường kính MN và bán kính R
.
2
2
2
Ta có: T z w OM ON 2(OM 2 ON 2 )
2(OM 2 ON 2 )MN 2
OI 2
4
4OI 2 MN 2 106 .
Dấu “=” xảy ra khi OM ON hay OI MN . Vậy max T 106 đáp án D.
Câu 15. (Chuyên Vinh – Lần 1 – 2018) Giả sử z1, z 2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn
iz 2 i 1 và z1 z 2 2 . Giá trị lớn nhất của z1 z 2 bằng
A. 3 .
B. 2 3 .
D. 4 .
C. 3 2 .
Giải
2 i
Biến đổi: iz 2 i i z
i . z 1 2i z 1 2i z 1 2i 1 (*) .
i
M (z )
1
Gọi
, khi đó (*) M , N thuộc đường tròn tâm I 1; 2 và bán kính R 1 (2*) .
N (z 2 )
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!
Tổng đài tư vấn: 1900 69-33
www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui
- Trang | 8-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)
CHUYÊN ĐỀ : SỐ PHỨC
Ta có: z1 z 2 2 MN 2 2R (3*) .
Từ (2*) và (3*) , suy ra: M , N thuộc đường tròn tâm I 1; 2 đường kính MN 2 .
Ta có: z1 z 2 OM ON 2(OM 2 ON 2 )
2(OM 2 ON 2 )MN 2
OI 2
4
4OI 2 MN 2 4 .
Dấu “=” xảy ra khi OM ON hay OI MN . Vậy max z1 z 2 4 đáp án D.
Câu 16. Cho số phức z thỏa mãn z 4 z 4 10 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z
lần lượt là
B. 5 và 4 .
A. 10 và 4 .
C. 4 và 3 .
D. 5 và 3 .
Giải
Gọi M (z ) , khi đó z 4 z 4 10 MF1 MF2 10 trong đó F1(4; 0), F2 (4; 0) .
y
2a 10
a
5
3B
Suy ra M thuộc Elip có :
.
2
2
c4
b a c 3
O
max z OM max OA a 5
đáp án D.
Theo mô hình 6, suy ra:
min z OM min OB b 3
A
5
Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn z 2 z 2 6 . Tổng trị lớn nhất và nhỏ nhất của z là
A. 3 5 .
C. 2 5 .
B. 5 .
D. 8 .
Giải
Gọi M (z ) , khi đó z 2 z 2 6 MF1 MF2 6 trong đó F1(2; 0), F2 (2; 0) .
2a 6
a 3
Suy ra M thuộc Elip có :
.
2
2
c
2
b
a
c
5
z max OM max a 3
z
z
3 5 đáp án A.
Theo mô hình 6, suy ra:
max
min
z
OM
b
5
min
min
Câu 18. Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z 3 4i 5 và biểu thức
2
2
M z 2 z i đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z i .
A. z i 41 .
B. z i 61 .
C. z i 2 41 .
D. z i 4 5 .
Giải
Gọi M (z ) với z x yi ( x, y ).
Khi đó: z 3 4i 5 M thuộc đường tròn (C ) có tâm I (3; 4) và bán kính R 5 .
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!
Tổng đài tư vấn: 1900 69-33
www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui
- Trang | 9-
y
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)
2
CHUYÊN ĐỀ : SỐ PHỨC
2
Ta có T x 2 yi x (y 1)i (x 2)2 y 2 x 2 (y 1)2 4x 2y 3
: 4x 2y 3 T 0 .
Để tồn tại điểm M hay tồn tại z thì đường tròn (C ) và đường thẳng phải có điểm chung
d(I ; ) R
12 8 3 T
42 22
5 23 T 10 13 T 33 .
(x 3)2 (y 4)2 5
x 5
Suy ra Tmax 33 khi
z 5 5i z i 5 6i 61
4x 2y 30 0
y 5
đáp án B.
Câu 19. Cho số phức z1, z 2 lần lượt thỏa mãn z1 1 2i 1 và z 2 2 6i 10 . Gọi a, b lần
lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của T z1 z 2 . Tính giá trị của a 2b .
A. 16 10 .
B. 10 .
C. 14 10 .
D. 2 2 10 .
Giải
Gọi M (z1 ) , khi đó z1 1 2i 1 M (C1 )
với (C 1 ) là đường tròn tâm I 1(1; 2) và R1 1 .
Gọi N (z 2 ) , khi đó z 2 2 6i 10 N (C 2 )
M
I1
M
N
với (C 2 ) là đường tròn tâm I 2 (2; 6) và R2 10 .
N
I2
Do I 1I 2 5 1 10 R1 R2 nên (C 1 ) và (C 2 ) ngoài nhau (hình vẽ).
Ta có: T z1 z 2 MN .
Ta luôn có I 1I 2 R1 R2 MN I 1I 2 R1 R2 4 10 MN 6 10 .
a 4 10
Suy ra
a 2b 16 10 đáp án A.
b 6 10
Câu 20. (Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 3 – 2018) Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 5 .
Phép tịnh tiến theo vectơ v (1;2) biến tập hợp biểu diễn số phức z thành tập hợp biểu diễn số
phức z ' . Tìm P max z z ' .
A. P 15 .
B. P 12 .
C. P 20 5 .
D. P 10 5 .
Giải
Gọi M (z ) , khi đó z 1 2i 5 M (C ) , với (C ) là đường tròn tâm I (1; 2) và R 5 .
Ta có Tv (M ) N (z ') (C ') trong đó (C ') có tâm I ' , bán kính R ' R 5 là ảnh của (C ) qua
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!
Tổng đài tư vấn: 1900 69-33
www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui
- Trang | 10-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)
CHUYÊN ĐỀ : SỐ PHỨC
x I ' x I x 1 1 2
v
phép tịnh tiến Tv (I ) I '
I '(2; 0) .
2 2 0
y
y
y
I
'
I
v
Ta có: T z1 z 2 MN II ' R R ' 5 10 .
Suy ra: P max z z ' MN max 10 5 đáp án D.
Câu 21. (Chuyên Thái Bình – Lần 6 – 2018) Cho các số phức z, w thỏa mãn z 5 3i 3 ;
iw 4 2i 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T 3iz 2w .
A.
554 5 .
B.
578 13 .
C.
578 5 .
D. 554 13 .
Giải
Ta có z 5 3i 3 3i . z 5 3i 3i .3 3iz 9 15i 9 (*) .
(*)
Gọi M (3iz )
M thuộc đường tròn tâm I 1(9;15) , bán kính R1 9 .
Ta có iw 4 2i 2 2i . iw 4 2i 2i .2 2w 4 8i 4 (2*) .
(2*)
Gọi N (2w) N thuộc đường tròn tâm I 2 (4; 8) , bán kính R2 4 .
Khi đó T 3iz 2w T 3iz (2w) MN I 1I 2 R1 R2 554 13 .
Suy ra Tmax 554 13 đáp án D.
Câu 22. (NTT) Giả sử z1, z 2 là hai số phức thỏa mãn z1 2 3i 1 và z 2 2 5i 2 và số
phức z thỏa mãn z 3 i z 1 i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T z z1 z z 2 .
A. 4 5 .
C. 4 5 3 .
B. 2 5 .
D. 2 5 1 .
Giải
Gọi M (z1 ) , khi đó z1 2 3i 1 M (C1 )
với (C 1 ) là đường tròn tâm I 1(2; 3) và R1 1 .
I1
Gọi N (z 2 ) , khi đó z 2 2 5i 1 N (C 2 )
với (C 2 ) là đường tròn tâm I 2 (2; 5) và R2 2 .
I2
M
Gọi A(z ) và z x yi , khi đó:
N
A
2
z 3 i z 1 i (x 3) (y 1) (x 1) (y 1) x y 2 0 .
2
2
2
Suy ra A : x y 2 0 .
Ta có: T AM AN (AM MI 1 ) (AN NI 2 ) 3 AI 1 AI 2 3 I 1I 2 3 4 5 3 .
Dấu " " xảy ra khi A I 1I 2 . Vậy Tmin 4 5 3 đáp án C.
Chú ý: Ở bài toán này do I 1, I 2 khác phía so với nên dấu " " xảy ra, nếu trường hợp cùng phía ta
phải lấy thêm điểm đối xứng để chuyển về khác phía.
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!
Tổng đài tư vấn: 1900 69-33
www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui
- Trang | 11-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)
CHUYÊN ĐỀ : SỐ PHỨC
Câu 23. (Chuyên Lào Cai) Xét số phức z và z có điểm biểu diễn lần lượt là M và M ' . Số phức
w (4 3i)z và w có điểm biểu diễn lần lượt là N và N ' . Biết rằng MNN ' M ' là hình chữ
nhật và M , N cùng phía so với trục Ox . Tìm giá trị nhỏ nhất của z 4i 5 .
A.
1
.
2
B.
2
5
.
C.
1
2
.
D.
Giải
4
13
.
y
Gọi M (x ; y ) biểu diễn số phức z x yi với x, y và x 2 y 2 0 .
N
M
w (4 3i)(x yi) 4x 3y (3x 4y)i N (4x 3y;3x 4y) .
Vì M , M ' và N , N ' đều là các cặp điểm đối xứng nhau qua trục hoành Ox .
Do đó để MNN ' M ' là hình chữ nhật thì MN //Ox
M'
MN (3x 3y; 3x 3y) cùng phương với i (1;0) 3x 3y 0 y x
O
x
N'
Khi đó z x xi z 4i 5 (x 5) (x 4)i (x 5)2 (x 4)2 2x 2 18x 41
2
9
1
1
1
1
đáp án C.
2 x
z 4i 5
min
2
2
2
2
2
Câu 24. (Toán Học & Tuổi Trẻ - Lần 8) Xét số phức z thỏa mãn 2 z 1 3 z i 2 2 . Mệnh
đề nào dưới đây đúng ?
A.
3
z 2.
2
B. z 2 .
C.
1
3
z .
2
2
D. z
1
.
2
Giải
A(1; 0)
Gọi M (z ) , khi đó: 2 z 1 3 z i 2MA 3MB với
.
B(0;1)
Khi đó, điều kiện bài toán trở thành: 2MA 3MB 2 2 2AB (1) .
Mặt khác, ta luôn có: 2MA 3MB 2(MA MB) MB 2AB MB (2) .
Từ (1) và (2) , suy ra:
2AB MB 2MA 3MB 2AB 2AB MB 2AB MB 0 MB 0
1 3
M B(0;1) z 1 ; đáp án C.
2 2
Chú ý: Các bạn có thể tham khảo thêm cách dùng thuần bất đằng thức ở Bài giảng số 2.
Câu 25. (Chuyên Ngoại Ngữ – Hà Nội) Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức T z 1 2 z 1 .
A. maxT 2 5 .
B. maxT 2 10 .
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!
C. maxT 3 5 .
Tổng đài tư vấn: 1900 69-33
www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui
D. maxT 3 2 .
- Trang | 12-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)
CHUYÊN ĐỀ : SỐ PHỨC
y
Giải
M
Gọi M (z ) , khi đó z 1 x 2 y 2 1 (C ) M (C ) .
Ta có: T z 1 2 z 1 MA 2MB với A(1;0), B(1;0)
A, B (C ) và AB 2 là đường kính của (C ) .
A
B
O
x
Áp dụng bất đẳng thức Bunha ta có:
T MA 2MB (12 22 )(MA2 MB2 ) 5AB2 5.4 2 5 maxT 2 5
đáp án A.
Chú ý: Các bạn có thể tham khảo thêm cách dùng thuần bất đằng thức ở Bài giảng số 2.
Câu 26. Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i z 1 6i 10 . Tổng trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của z 4i là
A. 10 5 .
B. 5 2 5 .
C. 5 5 .
D. 10 2 5 .
Giải
Gọi M (z ) , khi đó z 1 2i z 1 6i 10 MF1 MF2 10 trong đó F1(1;2), F2 (1;6) .
2a 10
a 5
Suy ra M thuộc Elip có :
.
F
F
2
2
1 2
b
a
c
2
5
c
5
2
Ta có z 4i MI với I (0;4) là trung điểm của F1, F2 .
Lúc này ta có thể quan niệm I là gốc tọa độ (trong mô hình 6) nên
z 4i max IM max a 5
z 4i
z 4i
52 5
Theo Mô hình 6, suy ra:
max
min
z 4i
IM min b 2 5
min
đáp án B.
Chú ý:
+) Nếu đề bài thay 10 bởi 2 5 nghĩa là z 1 2i z 1 6i 2 5 thì điều kiện trở thành
MF1 MF2 F1F2 , hay điểm M thuộc đoạn thẳng F1F2 và quay về Mô hình 2.
+) Trên thực tế, phương trình Elip trong câu hỏi này không phải là phương trình dạng chính tắc (nằm
ngoài chương trình THPT). Do đó, xác suất xuất hiện trong đề thi gần như bằng 0. Song chúng ta thấy
rằng bài toán thực ra vẫn thuộc Mô hình 6 ( bản chất chỉ là phép tính tiến đồ thị), nên cũng không khó
khăn trong việc giải quyết bài toán.
Giáo viên
Nguồn
: Nguyễn Thanh Tùng
: Hocmai.vn
Fb: facebook.com/ThayTungToan
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!
Tổng đài tư vấn: 1900 69-33
www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui
- Trang | 13-
