Tổ 13-Đ9-Đề-kiểm-tra-KSCL-lần-2-Toán-12-năm-2018-2019-trường-Thanh-Thủy-Phú-Thọ-2-HOÀN-CHỈNH
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1020.04 KB, 30 trang )
ĐỀ KSCL THANH THỦY- PHÚ THỌ
LẦN 2 NĂM 2019
MÔN TOÁN
TIME: 90 PHÚT
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a . Thể tích
khối trụ bằng
Câu 1.
a3
a3
a3
.
.
.
B.
C.
4
2
3
Cho đồ thị hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới
A.
Câu 2.
D. a 3 .
Hàm số y f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
A. 0; 2 .
B. ; 0 .
C. 2; 2 .
D. 2; .
C. 3x 2 C .
D.
Nguyên hàm của hàm số f ( x) x 3 là
Câu 3.
A.
x4
.
4
B.
x3
C .
3
Câu 4. Với a là số thực dương tùy ý, ln a ln 3a bằng:
A.
ln a
.
ln 3a
B. ln 2a .
C. ln 3 .
Câu 5. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
D. 0 .
x4
C.
4
Câu 6. Điểm nào trong hình vẽ bên dưới là điểm biểu diễn số phức z 1 3i ?
y
3
P
M
N
1
x
-3
A. Điểm Q .
O
1
-3
Q
3
B. Điểm P .
C. Điểm M .
D. Điểm N .
Lời giải
Câu 7.
Tập nghiệm của phương trình log 1 ( x 1) log 1 ( x 2) 1 là
2
1 11 1 11
;
D.
.
2
2
1 11
C.
.
2
Hình đa diện trong hình vẽ bên dưới có bao nhiêu mặt ?
B. 1; 2 .
A. 3 .
Câu 8.
2
A. 11.
B. 6.
C. 12.
D. 10.
2
Câu 9. Kết quả của tích phân I cos xdx bằng
0
A. I 1 .
B. I 2 .
C. I 0 .
D. I 1 .
Câu 10. Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k n , mệnh đề nào dưới đây sai?
n!
n!
A. Pn n ! .
B. Ank
. C. Cnk Cnn k .
D. Cnk
.
k! n k !
k! n k !
Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho ba điểm M 2;0;0 , N 0; 1;0 và P 0;0; 2 . Mặt phẳng
MNP
A.
có phương trình là
x y z
1.
2 1 2
B.
x y z
1.
2 1 2
C.
x y z
0.
2 1 2
D.
x y z
1 .
2 1 2
Câu 12. Cho cấp số nhân un có số hạng đầu u1 1 và công bội q 3 . Giá trị của u5 là
A. 13 .
B. 162 .
C. 16 .
D. 81 .
Câu 13. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
x
-∞
-2
-
y'
+∞
3
+
0
0
-
1
+∞
y
-∞
-5
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
A. 5 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 2 .
Câu 14. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3; 1;1 . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng
Oyz là điểm
A. P 0; 1;0 .
D. Q 0;0;1 .
C. N 0; 1;1 .
B. M 3;0;0 .
Câu 15. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
x 2 y 1 z
. Đường thẳng d có một vectơ chỉ
1
2
1
phương là
B. u4 1;2;0 .
A. u3 2;1;1 .
C. u1 1;2;1 .
D. u2 2;1;0 .
2
Câu 16. Kết quả của tích phân K (2 x 1) ln xdx bằng
1
B. K
A. K 2ln 2 .
1
.
2
C. K 2 ln 2
1
.
2
D. K 2 ln 2
1
.
2
1
1
Câu 17. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y x 3 2m 3 x 2 m 2 3m 4 x đạt cực đại
3
2
tại x 1 .
A. m 3 hoặc m 2 .
B. m 2 hoặc m 3 .
C. m 2 .
D. m 3 .
Câu 18. Ký hiệu z1 ; z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 4 z 6 0 . Giá trị của z1 z2 bằng
A.
6.
B. 2 6 .
C. 12 .
D. 4 .
P : 2x y z 3 0
và vuông góc với P là
Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
A 1; 2;1 . Phương trình đường thẳng đi qua A
x 1 2t
B. : y 2 2t .
z 1 2t
x 1 2t
A. : y 2 t .
z 1 t
x 1 2t
C. : y 2 4t .
z 1 3t
x 2 t
D. y 1 2t .
z 1 t
Câu 20 . Tìm x và y thỏa mãn x y 2i i 2 i với i là đơn vị ảo.
A. x 4; y 1 .
B. x 3; y 2 .
C. x 1; y 2 .
D. x 0; y 1 .
Câu 21. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y
x 9 3
là
x2 x
C. 2 .
B. 3 .
D. 1 .
2
Câu 22. Cho hàm số f x ax bx cx d , a 0 có đồ thị như hình vẽ bên dưới
A. 0 .
3
Phương trình f f x 1 có bao nhiêu nghiệm phân biệt?
A. 6.
B. 7.
C. 9.
và điểm
D. 5.
Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy và SA a 2. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
a3 2
A. V
.
6
a3 2
C. V
.
3
a3 2
B. V
.
4
D. V a3 2 .
Câu 24. Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là R và chiều cao h R 3 . Lấy hai điểm A, B nằm
trên đường tròn đáy của hình trụ sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng
30 0 . Khi đó, khoảng cách giữa đường thẳng AB với trục của hình trụ bằng
R 3
2
x 1
Câu 25. Đạo hàm của hàm số y x là
4
1 2 x 1 ln 2
A. y
.
2
2x
1 2 x 1 ln 2
C. y
.
2
2x
Câu 26. Cho tứ diện ABCD với đáy BCD là tam giác
A. R 3
B.
C.
R 3
3
B. y
D.
R 6
2
1 2 x 1 ln 2
.
22 x
1 2 x 1 ln 2
.
22 x
vuông cân tại C . Các điểm M , N , P , Q lần
D. y
lượt là trung điểm của AB , AC , BC , CD . Góc giữa MN và PQ bằng
C. 30 .
B. 60 .
0 .
A.
D. 45 .
Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng P : x 2 y 2 z 6 0 và Q : x 2 y 2 z 3 0 .
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng P và Q bằng
A. 1.
B. 6.
C. 3.
Câu 28. Tập nghiệm của bất phương trình 22 x 2x
2
3
D. 9.
là
B. ; 1 3; . C. 1;3 .
A. 1;3 .
D. ;1 3; .
Câu 29. Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) x
1;3 . Giá trị của
4
trên đoạn
x
M .m bằng
52
65
.
B. 20 .
C.
.
3
3
Câu 30. Đặt a log 2 3, b log5 3. Biểu diễn log 6 10 theo a và b.
D. 6 .
A.
A. log 6 10
ab
.
ab
B. log 6 10
ab
.
ab b
C. log 6 10
a 2ab
.
ab
D. log 6 10
a ab
.
ab b
Câu 31: Phương trình 3x 2 6 x ln x 1 1 0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt?
3
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 1 .
Câu 32: Xét các số phức z thỏa mãn z 2i 1 z 3i là số thuần ảo, biết rằng tập hợp các điểm biểu
diễn số phức z là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó là
1 1
C. ; .
2 2
1 1
B. ; .
2 2
1 1
A. ; .
2 2
1 1
D. ; .
2 2
Câu 33: Biết rằng bất phương trình m x 1 x 2 1 2 x 2 x 4 x 2 1 x 2 2 có nghiệm khi
và chỉ khi m ; a 2 b , với a, b . Giá trị của biểu thức T a b bằng
B. T 0
A. T 0
Câu 34: Có
bao
nhiêu
giá
trị
C. T 3
nguyên
của
tham
D. T 1
số
m 10;10
để
hàm
số
y mx3 3mx 2 3m 2 x 2 m có 5 điểm cực trị?
A. 9 .
B. 10 .
D. 7 .
C. 11 .
Câu 35: Trong một giải cờ vua gồm nam và nữ vận động viên. Mỗi vận động viên phải chơi hai ván với
mỗi vận động viên còn lại. Biết có ba vận động viên nữ và số ván các vận động viên nam chơi
với nhau hơn số ván họ chơi với ba vận động viên nữ là 78. Tổng số ván cờ vua của giải đấu là
A. 156 .
B. 237 .
C. 234 .
D. 240 .
Câu 36: Cho hàm số f x liên tục trên
1
và thỏa mãn
f x dx 9. Tính
5
A. 27 .
B. 15 .
2
f 1 3x 9dx.
0
C. 75 .
D. 21 .
Câu 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , AB 2a, AD DC a. Hai
mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng
đáy bằng 600. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng
A. 2a .
B.
a 6
.
2
C.
2a 15
.
5
D. a 2 .
Câu 38: Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O . Dựng hai đường sinh SA và SB , biết tam
giác SAB vuông và có diện tích bằng 4a2 . Góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng SAB
bằng 30 . Đường cao của hình nón bằng
A. a 3 .
B.
a 3
.
2
C.
a 6
.
4
D. a 2 .
x 1 5t
x 1 y 1 z
và d2 : y 1 4t và mặt
Câu 39: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :
2
1 1
z
3t
phẳng P : x y z 1 0 . Đường thẳng vuông góc với ( P ) cắt d1 và d2 có phương trình là
1
3
2
y
z
5
5
5.
A.
1
1
1
x 3 y 1 z 2
C.
.
1
1
1
x
5
Câu 40: Biết I
1
A. 7.
x 3 y 1 z 2
.
1
1
1
x y z
D. .
1 1 1
B.
dx
được kết quả I a ln3 b ln5. Giá trị của 2a 2 ab b 2 là
x 3x 1
B. 9.
C. 8.
D. 3.
Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1; 2; 4) . Mặt phẳng ( P ) đi qua M và cắt
các tia Ox, Oy , Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất đi qua
điểm nào sau đây?
A. 2; 2;0 .
B. 1;1; 2 .
C. 1;1; 4 .
D. 0;1;3 .
Câu 42: Cho điểm A 4; 4;2 và mặt phẳng P : 2 x 2 y z 0 Gọi M nằm trên P , N là trung điểm
của OM , H là hình chiếu vuông góc của O lên AM Biết rằng khi M thay đổi thì đường
thẳng HN luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Tính thể tích của mặt cầu đó?
A. V 36 .
B. V 32 3 .
C. V 32 2 .
D. V 72 2 .
Câu 43: Cho tứ diện SABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc với nhau, độ dài các cạnh BC
SC c . Tính thể tích lớn nhất Vmax khối tứ diện đã cho
A. Vmax
abc 2
.
4
B. Vmax
abc 2
.
8
C. Vmax
abc 2
.
24
D. Vmax
a, SB
b,
abc 2
.
12
Câu 44: Cho số phức z m 3 (m2 1)i, với m là tham số thực thay đổi. Tập hợp các điểm biểu diễn
số phức z thuộc đường cong (C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
4
2
8
1
A. .
B. .
C. .
D. .
3
3
3
3
Câu 45: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình ln m 2sin x ln m 3sin x sin x có nghiệm
thực?
A. 5 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 6 .
Câu 46: Anh Tuấn đi làm với mức lương khởi điểm là x (triệu đồng)/tháng, và số tiền lương này được
nhận vào ngày đầu tháng. Vì làm việc chăm chỉ và có trách nhiệm nên sau 3 năm kể từ ngày đi
làm, anh Tuấn được tăng lương thêm 10% . Mỗi tháng, anh ta giữ lại 20% số tiền lương để gửi
tiết kiệm vào ngân hàng với kì hạn 1 tháng và lãi suất là 0, 5% /tháng, theo hình thức lãi kép
(tức là tiền lãi của tháng này được nhập vào vốn để tính lãi cho tháng tiếp theo). Sau 4 năm kể
từ ngày đi làm, anh Tuấn nhận được số tiền cả gốc và lãi là 100 triệu đồng. Hỏi mức lương
khởi điểm của người đó là bao nhiêu?
A. 9.891.504 đồng.
B. 8.991.504 đồng.
C. 8.981.504 đồng.
D. 9.881.505 đồng.
Câu 47: Cho hàm số đa thức bậc ba y f x có đồ thị đi qua các điểm A 2;3 , B 3;8 , C 4;15 . Các
đường thẳng AB, AC, BC lại cắt đồ thị lần lượt tại các điểm D, E, F (D khác A và B, E khác A
và C, F khác B và C). Biết rằng tổng các hoành độ của D, E và F bằng 6. Phương trình tiếp
tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 1 là:
A. y 13 x 19
B. y 13 x 7
C. y 9 x 3
D. y 9 x 15
Câu 48: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4 z 2 2iz . Tính giá trị nhỏ nhất của P z i .
A. min P 4.
B. min P 3.
C. min P 2.
D. min P 1.
Câu 49: Cho hàm số bậc ba y f ' x có đồ thị C như hình vẽ sau. Đường thẳng d có phương trình
y x 1 . Biết hàm số y f x có ba cực trị. Hàm số f x đồng biến trên khoảng nào sau
đây
A. 1; 2 3 .
B. 1 3;1 .
C. 2 3;1 3 .
D. 1;1 .
x
Câu 50: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y , y 0, x 1, x 4 khi
4
quay quanh trục Ox bằng
1
1
21
.
.
.
A. 2 .
B.
C.
D.
12
16
16
BẢNG ĐÁP ÁN
1.A
2.A
3.D
4.C
5.D
6.C
7.C
8.A
9.A
10.B
11.A
12.D
13.C
14.C
15.C
16.C
17.C
18.B
19.A
20.A
21.D
22.B
23.C
24.B
25.B
26.D
27.C
28.B
29.B
30.B
31.B
32.D
33.D
34.B
35.D
36.D
37.B
38.A
39.A
40.D
41.A
42.A
43.C
44.B
45.C
46.B
47.A
48.D
49.B
50.C
GIẢI CHI TIẾT ĐỀ KSCL THANH
THỦY- PHÚ THỌ
LẦN 2 NĂM 2019
MÔN TOÁN
TIME: 90 PHÚT
Câu 1.
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a . Thể tích
khối trụ bằng
A.
a3
.
4
B.
a3
.
2
C.
a3
.
3
D. a 3 .
Lời giải
Tác giả: Cao Hữu Trường ; Fb: Cao Huu Truong
Chọn A
Ta có h OO a và bán kính R OA
Vậy V R 2 h
Câu 2.
a3
4
1
a
AB .
2
2
.
Cho đồ thị hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới
Hàm số y f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
A. 0; 2 .
C. 2; 2 .
B. ; 0 .
D. 2; .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Trần Đức ; Fb: Nguyen Tran Duc
Chọn A
Dựa vào đồ thị hàm số y f x ta có hàm số đồng biến (đồ thị đi lên) trên khoảng (0; 2) .
Nguyên hàm của hàm số f ( x) x 3 là
Câu 3.
A.
x4
.
4
B.
x3
C .
3
C. 3x 2 C .
D.
x4
C.
4
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Trần Đức ; Fb: Nguyen Tran Duc
Chọn D
Theo công thức nguyên hàm sách giáo khoa
3
x dx
x
dx
1 1
x C , áp dụng ta có
1
x4
C .
4
Câu 4. Với a là số thực dương tùy ý, ln a ln 3a bằng:
A.
ln a
.
ln 3a
B. ln 2a .
C. ln 3 .
D. 0 .
Lời giải
Tác giả: Trần Tố Nga ; Fb: Trần Tố Nga
Chọn C
Ta có: ln a ln 3a ln
a
1
ln ln 3 .
3a
3
Câu 5. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A. y x 4 2 x 2 1 .
B. y x3 x 2 1 .
C. y x3 x 2 1 .
D. y x 4 2 x 2 1 .
Lời giải
Tác giả: Trần Tố Nga ; Fb: Trần Tố Nga
Chọn D
Vì đồ thị có 3 điểm cực trị nên loại các phương án B và C.
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy nhánh ngoài cùng đi lên (hay khi x thì y ) nên hệ
số a 0 .
Vậy chọn D.
Câu 6. Điểm nào trong hình vẽ bên dưới là điểm biểu diễn số phức z 1 3i ?
y
3
P
M
N
1
x
-3
A. Điểm Q .
O
1
-3
Q
3
B. Điểm P .
C. Điểm M .
D. Điểm N .
Lời giải
Họ và tên tác giả : Nguyễn Hành
Tên FB: Hanh Nguyen
Chọn C
Theo Sách Giáo Khoa Giải Tích 12: Điểm M a; b là điểm biểu diễn của số phức Z a bi .
Vậy điểm M 1;3 là điểm biểu diễn của số phức z 1 3i .
Email:
Câu 7.
Tập nghiệm của phương trình log 1 ( x 1) log 1 ( x 2) 1 là
2
A. 3 .
2
1 11
C.
.
2
Lời giải
B. 1; 2 .
Họ và tên tác giả : Nguyễn Hành
1 11 1 11
;
D.
.
2
2
Tên FB: Hanh Nguyen
Chọn C
x 1 0
x 1
Ta có điều kiện
x 2.
x 2 0 x 2
Khi đó phương trình log 1 ( x 1) log 1 ( x 2) 1 log 1 x 1 x 2 1
2
2
1 11
x
1
5
2
x2 x 2 x2 x 0
2
2
1 11 .
x
2
2
1 11
Đối chiều điều kiện ta có tập nghiệm của phương trình đã cho là S
.
2
Câu 8. Hình đa diện trong hình vẽ bên dưới có bao nhiêu mặt ?
A. 11.
B. 6.
C. 12.
Lời giải
D. 10.
Tác giả: Hà Hải ;Fb: Hải Hà Minh
Chọn A
Số mặt của hình đa diện là 11.
2
Câu 9. Kết quả của tích phân I cos xdx bằng
0
C. I 0 .
Lời giải
B. I 2 .
A. I 1 .
D. I 1 .
Tác giả: Hà Hải ;Fb: Hải Hà Minh
Chọn A
2
Ta có I cos xdx sin x 2 sin sin 0 1
2
0
0
Do đó I 1 .
----------------------------------------------Câu 10. Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k n , mệnh đề nào dưới đây sai?
n!
n!
A. Pn n ! .
B. Ank
. C. Cnk Cnn k .
D. Cnk
.
k! n k !
k! n k !
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Rin; Fb: Nguyễn Văn Rin
Chọn B
Ta có Ank
n!
nên B sai.
n k !
Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho ba điểm M 2;0;0 , N 0; 1;0 và P 0;0; 2 . Mặt phẳng
MNP
A.
có phương trình là
x y z
1.
2 1 2
B.
x y z
1.
2 1 2
C.
x y z
0.
2 1 2
D.
x y z
1 .
2 1 2
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Rin; Fb: Nguyễn Văn Rin
Chọn A
Mặt phẳng MNP có phương trình đoạn chắn là
x y z
1.
2 1 2
Câu 12. Cho cấp số nhân un có số hạng đầu u1 1 và công bội q 3 . Giá trị của u5 là
A. 13 .
B. 162 .
C. 16 .
D. 81 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Mai; Fb:Mung Thai
Chọn D
Ta có u5 u1.q4 1.34 81 .
Câu 13. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
x
-∞
-2
-
y'
+∞
3
+
0
0
-
1
+∞
y
-∞
-5
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
A. 5 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 2 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Mai; Fb:Mung Thai
Chọn C
Hàm số đạt giá trị cực đại tại xCD 3 và yCD 1 .
Câu 14. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3; 1;1 . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng
Oyz là điểm
A. P 0; 1;0 .
C. N 0; 1;1 .
B. M 3;0;0 .
D. Q 0;0;1 .
Lời giải
Tác giả: Võ Quang Anh; Fb:Anh Võ Quang.
Chọn C
Hình chiếu vuông góc của điểm M x; y; z trên mặt phẳng Oyz là M 0; y; z nên hình chiếu
của A 3; 1;1 là N 0; 1;1 .
Câu 15. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
x 2 y 1 z
. Đường thẳng d có một vectơ chỉ
1
2
1
phương là
A. u3 2;1;1 .
B. u4 1;2;0 .
C. u1 1;2;1 .
D. u2 2;1;0 .
Lời giải
Tác giả: Võ Quang Anh; Fb:Anh Võ Quang.
Chọn C
Phương trình chính tắc của đường thẳng qua M x0 ; y0 ; z0 và có vec tơ chỉ phương u a; b; c có
dạng
x x0 y y0 z z0
a
b
c
với abc 0 nên vec tơ chỉ phương của đường thẳng d là
u1 1; 2;1 .
2
Câu 16. Kết quả của tích phân K (2 x 1) ln xdx bằng
1
A. K 2ln 2 .
B. K
1
.
2
C. K 2 ln 2
1
.
2
D. K 2 ln 2
1
.
2
Lời giải
Tác giả: Trần Vũ Thái ; Fb: Trần Vũ Thái
Chọn C
1
Cách 1: Bấm máy tính Casio 570VN ta được K 2 ln 2 .
2
1
u ln x
du dx
Cách 2: Đặt
x .
dv 2 x 1 dx v x 2 x
2
2
2
Ta có K 2 x 1 ln xdx x x ln x
2
1
Thế cận ta được K 2 ln 2
1
1
2
2 x2
1
2
x x dx x x ln x x
1
x
2
1
2
1
.
2
1
1
Câu 17. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y x 3 2m 3 x 2 m 2 3m 4 x đạt cực đại
3
2
tại x 1 .
A. m 3 hoặc m 2 .
B. m 2 hoặc m 3 .
C. m 2 .
D. m 3 .
Lời giải
Tác giả: Trần Vũ Thái ; Fb: Trần Vũ Thái
Chọn C
Ta có y x 2 2m 3 x m2 3m 4 và y 2 x 2m 3 .
m 2
.
x 1 là điểm cực trị của hàm số y 1 0 m2 m 6 0
m 3
+) Với m 2 ta có y 2 x 7 , y 1 5 0 nên với m 2 thì x 1 là điểm cực đại của
hàm số.
+) Với m 3 ta có y 2 x 3 , y 1 5 0 nên với m 3 thì x 1 là điểm cực tiểu của
hàm số.
Vậy m 2 là giá trị cần tìm.
Câu 18. Ký hiệu z1 ; z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 4 z 6 0 . Giá trị của z1 z2 bằng
A.
6.
B. 2 6 .
C. 12 .
D. 4 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Hoan; Fb: Hoan Nguyễn
Chọn B
z z1 2 2i
Ta có: z 2 4 z 6 0
.
z z2 2 2i
Khi đó z1 z2 2 2i 2 2i 22
2
2
22 2
2
2 6.
P : 2x y z 3 0
và vuông góc với P là
Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
A 1; 2;1 . Phương trình đường thẳng đi qua A
x 1 2t
A. : y 2 t .
z 1 t
x 1 2t
B. : y 2 2t .
z 1 2t
x 1 2t
C. : y 2 4t .
z 1 3t
Lời giải
và điểm
x 2 t
D. y 1 2t .
z 1 t
Tác giả: Nguyễn Thị Hoan ; Fb: Hoan Nguyễn
Chọn A
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng P nên nhận n 2; 1;1 là một vecto chỉ phương.
x 1 2t
Phương trình đường thẳng đi qua điểm A 1; 2;1 là: y 2 t .
z 1 t
Câu 20 . Tìm x và y thỏa mãn x y 2i i 2 i với i là đơn vị ảo.
A. x 4; y 1 .
B. x 3; y 2 .
C. x 1; y 2 .
D. x 0; y 1 .
Lời giải
Tác giả:Vũ Thị Thuần ; Fb:Xu Xu
Chọn A
x 2 2 x 4
Ta có x y 2i i 2 i x 2 yi 2 i
.
y 1
y 1
Vậy x 4; y 1 .
Câu 21. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y
B. 3 .
A. 0 .
x 9 3
là
x2 x
C. 2 .
Lời giải
D. 1 .
Tác giả:Vũ Thị Thuần ; Fb:Xu Xu
Chọn D
Hàm số y
x 9 3
có tập xác định D 9; \ 1;0 .
x2 x
Vì
lim
x 0
x 9 3
x
1
1
lim 2
lim
;
2
x 0
x x
x x x 9 3 x0 x 1 x 9 3 6
x 9 3
x 9 3
; lim
2
x 1
x 1
x x
x2 x
nên đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng là x 1 .
lim
Câu 22. Cho hàm số f x ax3 bx 2 cx d , a 0 có đồ thị như hình vẽ bên dưới
Phương trình f f x 1 có bao nhiêu nghiệm phân biệt?
A. 6.
Chọn B
Từ đồ thị hàm số ta có:
B. 7.
C. 9.
D. 5.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Duy Tân ; Fb: Nguyễn Duy Tân
f x m 1 m 0
f f x 1 f x n 0 n 1
f x p 2 p 3
Với f x m 1 m 0 Phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Với f x n 0 n 1 Phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Với f x p
2 p 3 Phương trình có 1 nghiệm.
Do m, n, p đôi một khác nhau nên các nghiệm trên không trùng nhau.
Vậy phương trình f f x 1 có 7 nghiệm phân biệt.
Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy và SA a 2. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V
a3 2
.
6
B. V
a3 2
.
4
C. V
a3 2
.
3
D. V a3 2 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Duy Tân ; Fb: Nguyễn Duy Tân
Chọn C
Ta có: VSABCD
1
1 2
a3 2
.
S ABCD .SA .a .a 2
3
3
3
Câu 24. Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là R và chiều cao h R 3 . Lấy hai điểm A, B nằm trên
đường tròn đáy của hình trụ sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 30 0 .
Khi đó, khoảng cách giữa đường thẳng AB với trục của hình trụ bằng
A. R 3
B.
R 3
2
C.
Lời giải:
Chọn B
R 3
3
D.
R 6
2
1
R 3 R .Lấy H là trung
3
điểm của A’B ta suy ra O ' H A ' B mà O ' H A ' A O ' H ( AA ' B) O ' H AB
A ' AB 300 .Trong tam giác AA’B: A ' B tan 300. AA '
Ta có:
d ( AB, OO ') O'H Do A’B = R nên tam giác A’O’B là tam giác đều O ' H
Câu 25. Đạo hàm của hàm số y
A. y
C. y
1 2 x 1 ln 2
.
B. y
1 2 x 1 ln 2
.
22 x
.
D. y
1 2 x 1 ln 2
.
22 x
x2
2
1 2 x 1 ln 2
2
x2
x 1
là
4x
R 3
2
Lời giải
Tác giả: Viết Ánh; Fb: Viết Ánh
Chọn B
TXĐ .
Ta có y
4 x x 1 4 x ln 4
4
x 2
1 x 1 ln 4 1 2 x 1 ln 2
với mọi x .
4x
22 x
Câu 26. Cho tứ diện ABCD với đáy BCD là tam giác vuông cân tại C . Các điểm M , N , P , Q lần
lượt là trung điểm của AB , AC , BC , CD . Góc giữa MN và PQ bằng
B.
C. 30 .
B. 60 .
Lời giải
0 .
D. 45 .
Tác giả: Viết Ánh ; Fb: Viết Ánh
Chọn D
A
M
N
B
D
P
Q
C
Vì MN // BC nên ta có:
MN , PQ BC , PQ CPQ 45
(vì tam giác CPQ vuông cân tại C ).
Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và PQ bằng 45 .
Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng P : x 2 y 2 z 6 0 và Q : x 2 y 2 z 3 0 .
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng P và Q bằng
A. 1.
B. 6.
C. 3.
D. 9.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Phương Thảo ; Fb: Thao Nguyen
Chọn C
Cách 1: Dễ thấy P và Q là hai mặt phẳng song song. Lấy điểm M 6;0;0 P .
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng P và Q bằng d M ; Q
6 2.0 2.0 3
12 22 2
2
3.
Cách 2: Công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song P : Ax By Cz D 0
và Q : Ax By Cz D ' 0 là:
D D'
A2 B2 C 2
.
Áp dụng công thức trên có khoảng cách giữa hai mặt phẳng đã cho bằng:
Câu 28. Tập nghiệm của bất phương trình 22 x 2x
2
3
12 22 2
2
3.
là
B. ; 1 3; . C. 1;3 .
A. 1;3 .
6 3
D. ;1 3; .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Phương Thảo ; Fb: Thao Nguyen
Chọn B
x 1
.
2 x x2 3 x2 2 x 3 0
x 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: ; 1 3; .
Vì 2 1 nên bất phương trình 22 x 2 x
2
3
Câu 29. Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) x
1;3 . Giá trị của
A.
4
trên đoạn
x
M .m bằng
65
.
3
B. 20 .
C.
52
.
3
D. 6 .
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Ngọc Ánh; Fb: Ngoc Anh Nguyen
Chọn B
Hàm số liên tục trên đoạn 1;3 và có đạo hàm f '( x) 1
4
x2
x 2( N )
f '( x) 0
x 2( L)
f (1) 5; f (2) 4; f (3)
Vậy M .m 20.
13
.Suy ra M 5, m 4.
3
Câu 30. Đặt a log 2 3, b log5 3. Biểu diễn log 6 10 theo a và b.
A. log 6 10
ab
.
ab
B. log 6 10
ab
.
ab b
C. log 6 10
a 2ab
.
ab
D. log 6 10
a ab
.
ab b
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Ngọc Ánh; Fb: Ngoc Anh Nguyen
Chọn B
1 1
log 3 10 log 3 2 log 3 5 a b a b
.
Ta có: log 6 10
1 ab b
log 3 6
1 log 3 2
1
a
Câu 31: Phương trình 3x 2 6 x ln x 1 1 0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt?
3
B. 3 .
A. 2 .
C. 4 .
D. 1 .
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Xuân Quân; Fb: Nguyễn Xuân Quân
Chọn B
Điều kiện x 1 0 x 1.
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương: 3x 2 6 x 3ln x 1 1 0 .
Xét hàm số f x 3x 2 6 x 3ln x 1 1 trên 1; .
3
6 x2 3
2
Ta có: f ' x 6 x 6
. f ' x 0 x
.
x 1
x 1
2
Bảng biến thiên
Đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 32: Xét các số phức z thỏa mãn z 2i 1 z 3i là số thuần ảo, biết rằng tập hợp các điểm biểu
diễn số phức z là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó là
1 1
1 1
1 1
1 1
A. ; .
B. ; .
C. ; .
D. ; .
2 2
2 2
2 2
2 2
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Xuân Quân; Fb: Nguyễn Xuân Quân
Chọn D
Đặt z x yi x, y .
Ta có z 2i 1 z 3i x yi 2i 1 x yi 3i x 2 y 2 x y 6 5x y 3 i
Vì z 2i 1 z 3i là số thuần ảo nên x 2 y 2 x y 6 0 . Vậy, tập hợp các điểm biểu
26
1 1
diễn số phức z là một đường tròn tâm I ; , bán kính R
.
2
2 2
Câu 33: Biết rằng bất phương trình m x 1 x 2 1 2 x 2 x 4 x 2 1 x 2 2 có nghiệm khi
và chỉ khi m ; a 2 b , với a, b . Giá trị của biểu thức T a b bằng
B. T 0
A. T 0
C. T 3
D. T 1
Lời giải
Thầy Ngô Minh Sơn;Fb: Ngô Minh Sơn
Chọn D
ĐKXĐ: x [-1;1]
Đặt: t x 2 1 x 2 t 2 x 2 1 x 2 2 x 2 (1 x 2 ) 1 2 x 2 (1 x)2
Dễ thấy t 2 1 t 1 đạt được khi x 2 0 hoặc x 2 1
t 2 1 2 x2 (1 x 2 ) 1 x 2 (1 x 2 ) 2 (BĐT Co-si) Max(t 2 ) 2 Max(t ) 2
t 1; 2
Khi đó, bất phương trình mới có dạng: m.(t 1) t 2 1 t 2 m
Xét hàm số f (t ) có: f (t )
Vậy Max( f (t )) f ( 2)
1; 2
t2 t 1
f (t )
t 1
t 2 2t
0t 1; 2
(t 1)2
3 2
1 2 2
2 1
Để bất phương trình có nghiệm thì m Max( f (t )) 1 2 2 m ; 1 2 2
1; 2
a 2; b 1 a b 1
Câu 34: Có
bao
nhiêu
giá
trị
nguyên
của
tham
số
m 10;10
để
hàm
số
y mx3 3mx 2 3m 2 x 2 m có 5 điểm cực trị?
A. 9 .
B. 10 .
C. 11 .
D. 7 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Mai Hương; Fb: Mai Hương Nguyễn
Chọn B
Từ yêu cầu của bài toán, nhận xét hàm số y f x mx3 3mx 2 3m 2 x 2 m là hàm
số bậc ba, đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
y f x
y f x
+) Điều kiện để hàm số y f x là hàm số bậc ba là m 0 .
+) Điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt tương đương với phương
trình
mx3 3mx 2 3m 2 x 2 m 0 có 3 nghiệm phân biệt.
x 1 mx 2 2mx m 2 0 có 3 nghiệm phân biệt.
mx 2 2mx m 2 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
2
' m m m 2 0
m 0.
m 2m m 2 0
Vì m , m 10;10 nên m 1; 2;3;...;10 . Vậy có 10 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề
bài.
Câu 35: Trong một giải cờ vua gồm nam và nữ vận động viên. Mỗi vận động viên phải chơi hai ván với
mỗi vận động viên còn lại. Biết có ba vận động viên nữ và số ván các vận động viên nam chơi
với nhau hơn số ván họ chơi với ba vận động viên nữ là 78. Tổng số ván cờ vua của giải đấu là
A. 156 .
B. 237 .
C. 234 .
D. 240 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Mai Hương; Fb: Mai Hương Nguyễn
Chọn D
Giả sử có n VĐV nam, n .
Số ván cờ các VĐV nam chơi với nhau là Cn2 .2 .
Số ván cờ các VĐV nam chơi với 3 VĐV nữ là 3.n.2 6n .
Vì số ván các VĐV nam chơi với nhau hơn số ván họ chơi với 3 VĐV nữ là 78 nên
n!
2.Cn2 6n 78 2.
6n 78 n. n 1 6n 78 n 2 7 n 78 0 n 13 .
n 2 !2!
Số ván cờ của giải đấu là C162 .2 240 .
Câu 36: Cho hàm số f x liên tục trên
1
và thỏa mãn
5
A. 27 .
B. 15 .
f x dx 9. Tính
2
f 1 3x 9dx.
0
C. 75 .
D. 21 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Như Hưng; Fb: Nguyen Hung
Chọn D
Đặt t 1 3x thì dt 3dx .
x
0
2
t
5
1
Suy ra
1
1
f t 9
1
9
0 f 1 3x 9dx 1 3 dt 3 5 f (t )dt+5 3dt= 3 +18=21
2
5
Câu 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , AB 2a, AD DC a. Hai
mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng
đáy bằng 600. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng
A. 2a .
B.
a 6
.
2
C.
2a 15
.
5
D. a 2 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Như Hưng; Fb: Nguyen Hung
Chọn B
Theo giả thiết ta suy ra: SA ABCD và SCA 600 . Do đó SA 3 AC 6 .
S
B
A
C
D
Ta dùng phương pháp tọa độ.
Khi đó C 1;1;0 và AC 1;1;0 , SB 0;2; 6 , AS 0;0; 6 , AC, SB
Chọn A 0;0;0 , D 1;0;0 , B 0;2;0 , S 0;0; 6 .
6; 6;2
Suy ra:
AC , SB . AS
2 6
6
d AC ; SB
4
2
AC , SB
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng
a 6
.
2
Câu 38: Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O . Dựng hai đường sinh SA và SB , biết tam
giác SAB vuông và có diện tích bằng 4a2 . Góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng SAB
bằng 30 . Đường cao của hình nón bằng
A. a 3 .
B.
a 3
.
2
C.
a 6
.
4
D. a 2 .
Lời giải
Chọn A
Gọi M là trung điểm của AB , ta có SM là hình chiếu vuông góc của SO trên mp( SAB ) nên
SAB , SO OSM 30 .
Đặt SO h . Vì tam giác SAB vuông cân tại S nên ta có:
SO
2h
AM BM SM
.
cos30
3
SSAB
1
1 2h 4h
SM. AB 4 a 2 .
.
ha 3
2
2 3 3
Tác giả:Hoàng Ngọc Quang; Fb: Hoàng Ngọc Quang
x 1 5t
x 1 y 1 z
và d2 : y 1 4t và mặt
Câu 39: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :
2
1 1
z
3t
phẳng P : x y z 1 0 . Đường thẳng vuông góc với ( P ) cắt d1 và d2 có phương trình là
1
3
2
y
z
5
5
5.
A.
1
1
1
x 3 y 1 z 2
C.
.
1
1
1
x
x 3 y 1 z 2
.
1
1
1
x y z
D. .
1 1 1
Lời giải
B.
Chọn A
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng cần lập với đường thẳng d1 và d2 .
Ta có M 1 2t; 1 t; t và N 1 5t '; 1 4t ';3t ' MN 2 2t 5t '; t 4t '; t 3t ' .
Vì P nên MN và nP 0 cùng phương với nhau (với n p 1;1;1 là một véc tơ pháp
tuyến của mặt phẳng P ).
2
t
3
t
t
'
2
2 2t 5t ' t 4t ' t 3t '
5
Suy ra
1
1
1
2 t t ' 0
t ' 4
5
1 3 2
14 14 14 14
M ; ; và MN ; ; 1;1;1
5 5 5 5
5 5 5
Vậy đường thẳng đi qua M nhận véc tơ u 1;1;1 làm một véc tơ chỉ phương có phương
1
3
2
y
z
5
5
5.
1
1
1
x
trình là
Tác giả: Hoàng Ngọc Quang; Fb: Hoàng Ngọc Quang
5
Câu 40: Biết I
1
A. 7.
dx
được kết quả I a ln3 b ln5. Giá trị của 2a 2 ab b 2 là
x 3x 1
B. 9.
C. 8.
D. 3.
Tác giả: Nguyễn Trọng Nghĩa; Fb: Nghĩa Nguyễn
Chọn D
Đặt t 3x 1 x
2
t 2 1
d x t dt
3
3
Đổi cận:
Với x 1 ta có t 2 .
Với x 5 ta có t 4.
dx
2dt 1
1
Ta có:
2
dt
x 3x 1 t 1 t 1 t 1
1
t 1
1
Vậy I
dt ln
t 1 t 1
t 1
2
4
4
2
1
3
ln ln 2ln 3 ln 5
3
5
Do đó 2a 2 ab b 2 3
Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1; 2; 4) . Mặt phẳng ( P ) đi qua M và cắt
các tia Ox, Oy , Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất đi qua
điểm nào sau đây?
A. 2; 2;0 .
C. 1;1; 4 .
B. 1;1; 2 .
D. 0;1;3 .
Tác giả: Nguyễn Trọng Nghĩa; Fb: Nghĩa Nguyễn
Chọn A
Giả sử A a;0;0 , a 0 ; B 0; b;0 , b 0 ; C 0;0; c , c 0 .
x y z
Phương trình của P : 1 .
a b c
1 2 4
M P 1 .
a b c
1
Thể tích khối chóp OABC là V abc .
6
Ta có 1
1 2 4
8
33
abc 216 .
a b c
abc
1 2 4
a 3
a b c 1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
b 6
1
2
4
c 12
a b c
a 3
Do đó thể tích khối chóp OABC nhỏ nhất khi và chỉ khi b 6 .
c 12
Khi đó phương trình P : 4 x 2 y z 12 0 .
Vây điểm A thuộc ( P ) .
Câu 42: Cho điểm A 4; 4;2 và mặt phẳng P : 2 x 2 y z 0 Gọi M nằm trên P , N là trung điểm
của OM , H là hình chiếu vuông góc của O lên AM Biết rằng khi M thay đổi thì đường
thẳng HN luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Tính thể tích của mặt cầu đó?
A. V 36 .
B. V 32 3 .
C. V 32 2 .
D. V 72 2 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Duy Mạnh; Fb: Nguyễn Mạnh Toán
Chọn A
A
I
H
O
M
N
P
Ta có điểm A không thuộc mặt phẳng P , điểm O thuộc mặt phẳng P .
Ta có mặt phẳng P : 2 x 2 y z 0 có nP 2; 2;1 và OA 4; 4; 2 cùng phương nên
điểm O là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng P . Khoảng cách từ điểm A đến
mặt phẳng P là d A, P AO 6 .
Gọi điểm I là trung điểm của OA nên IA IH IO 3 .
Xét AHO có IA IH IO . Xét MHO có NO NH NM nên ION IHN
Ta có ION IHN 90 nên NH IH
Vậy đường thẳng HN luôn tiếp xúc với một mặt cầu tâm I bán kính R IO 3 .
4
Thể tích mặt cầu tâm I bán kính R IO 3 là: V R 3 36 .
3
Câu 43: Cho tứ diện SABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc với nhau, độ dài các cạnh BC
SC c . Tính thể tích lớn nhất Vmax khối tứ diện đã cho
A. Vmax
abc 2
.
4
B. Vmax
abc 2
.
8
C. Vmax
abc 2
.
24
D. Vmax
a, SB
abc 2
.
12
b,
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Khánh Duy; Fb: Nguyễn Duy
Chọn C
Ta có SA2 AB 2 b 2 b 2 2.SA. AB
SA2 AC 2 c 2 c 2 2.SA. AC
AB 2 AC 2 a 2 a 2 2. AB. AC
1
1 abc 2 abc 2
Từ đó suy ra VS . ABC .SA. AB. AC .
. Vậy Vmax
6
6
4
24
abc 2
.
24
Câu 44: Cho số phức z m 3 (m2 1)i, với m là tham số thực thay đổi. Tập hợp các điểm biểu diễn
số phức z thuộc đường cong (C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
4
2
8
1
A. .
B. .
C. .
D. .
3
3
3
3
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Duy Mạnh; Fb: Nguyễn Mạnh Toán
Chọn B
Điểm M m 3; m2 1 biểu diễn số phức z m 3 m2 1 i nên ta có
x m 3; y m2 1 từ đó y x 3 1 x 2 6 x 8 .
2
Vậy điểm M thuộc đường cong (C) y x 2 6 x 8
Hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là nghiệm phương trình
x 2
x2 6x 8 0
x 4
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành là
4
4
S x 2 6 x 8dx .
3
2
Câu 45: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình ln m 2sin x ln m 3sin x sin x có nghiệm
thực?
A. 5 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 6 .
Lời giải
Tác giả: Trần Trung Chiến; Fb: Trần Trung Chiến
Chọn C
Đặt sin x u với u 1;1 .
Khi đó phương trình ban đầu có dạng ln m 2u ln m 3u u 1 .
m 3u 0
Điều kiện:
m 2u ln m 3u 0
*
Đặt ln m 3u y e y m 3u e y u m 2u .
y
u
y
u
y
Thay vào phương trình 1 ta được ln e u y u e e u y e u e y .
Do hàm số f t et t đồng biến trên
nên suy ra y u ln m 3u u eu 3u m .
Xét hàm số g u eu 3u trên đoạn 1;1 .
Ta có g ' u eu 3 ; g ' u 0 u ln 3 1;1 .
