Đề và đáp án thi học sinh giỏi toán 6

1

Phòng Giáo dục- Đào tạo

đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
năm học 2008 - 2009
môn: Toán 6

*****
đề chính thức

(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao
đề)

Đề thi
này gồm 1 trang

Bài 1: (6 điểm)
Câu 1: Tính:
a) 2008.57 1004.(86) : 32.74 16.(48)
b) 1 + 2 3 4 + 5 + 6 7 8 + 9 + 10 + 2006 2007 2008 +
2009

Câu 2: Cho: A =
B=
Tính

1 1 1 1
1
1
.................

2 3 4 5
308 309

308 307 306
3
2
1


.......... .........


1
2
3
306 307 308
A
?
B

Bài 2: (5 điểm)
Câu 1: Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho
các số 25 ; 28 ; 35 thì đợc các số d lần lợt là 5 ; 8 ; 15.
2

Câu 2: Tìm x biết:

1
1 2

0

x 3 16

Bài 3: (3 điểm) Cho a ; b là hai số chính phơng lẻ liên tiếp.
Chứng minh rằng: (a 1).( b 1) 192
Bài 4: (4 điểm)
Tìm số tự nhiên có 4 chữ số abcd biết nó thoả mãn cả 3 điều kiện
sau:
1) c là chữ số tận cùng của số M = 5 + 5 2 + 53 + + 5101
2) abcd M25
3) ab a b 2
Bi 5: (2 điểm)
Câu 1: Có hay không một số nguyên tố mà khi chia cho 12 thì d
9? Giải thích?


2

C©u 2: Chøng minh r»ng: Trong 3 sè nguyªn tè lín h¬n 3, lu«n tån
t¹i 2 sè nguyªn tè mµ tæng hoÆc hiÖu cña chóng chia hÕt cho 12.


3


4
Phòng Giáo dục- Đào tạo

*****

Bài 1: (6 điểm)
Câu 1:
a) Kết quả :
b) Kết quả: 1

đáp án và hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi năm
học 2008 - 2009
môn: Toán 6

251
= - 1 25,5
2

(2 điểm)
(2 điểm)

Câu 2: (2 điểm)
308 307 306
3
2
1


.......... .........


1
2
3

306 307 308
3
2
1
307 306 305

1
1
......... 1
1
1
1
B = 1
2
3
4

306 307 308

B=

(0,75đ)
309 309 309
309 309 309


..........


2

3
4
307 308 309
1
1
1 1 1 1


B = 309. .................
308 309
2 3 4 5

B=

B = 309.A


(0,5đ)

(0,5đ)
(0,25đ)

A
A
1


B 309. A 309

Bài 2: (5đ)

a) (2,75 đ) Gọi số tự nhiên phải tìm là x.
- Từ giả thiết suy ra (x 20) M25 và (x 20) M28 và (x 20) M35 x+ 20 là
bội chung của 25; 28 và 35.
(1 đ)
- Tìm đợc BCNN (25; 28; 35) = 700 suy ra (x + 20) = k.700 k N .
(1 đ)
- Vì x là số tự nhiên có ba chữ số suy ra x 999 x 20 1019 suy ra k
= 1 suy ra
x + 20 = 700 suy ra x = 680.
(0,75 đ).
b) (2,25 đ)
1


2

2

1

- Từ giả thiết ta có:
x 3
16


(1)

(0,25 đ).
2

- Vì

1 2 1
1 2
1
1 1
hoặc

nên (1) xảy ra khi và chỉ khi
x 3 4
x 3
4
16 4

(1 đ)
- Từ đó tìm ra kết quả x =
(1 đ)
Bài 3: (3đ)

12
12
hoặc x =
11
5


5

- Chỉ ra dạng của a,b là: a = 2k 1 và b = 2k 1 (Với k N * )
(0,5đ)

- Suy ra a 1 = (2k 1)(2k 1) 1 = ....... = 4k 2 4k + 1 1 =
4k.(k 1)
(0,5đ)
b 1 = (2k + 1)(2k + 1) 1 = ....... = 4k2+ 4k + 1 1 =
4k(k + 1)
(0,5đ)
(a 1)(b 1) = 16k(k 1)k(k + 1)
(0,5đ)
Từ đó lập luận k(k 1)k(k + 1) 4 và k(k 1)(k + 1) 3
(0,75đ)
mà (4; 3 ) = 1 k (k 1)k(k + 1) M4.3 suy ra (a 1)(b 1) 16.4.3
(a 1)(b 1) 192 (đpcm)
(0,25đ)
Bài 4: (4đ)
- Từ giả thiết dẫn đến điều kiện: a,b,c,d N; 1 a 9; 0 b;c;d 9
(0,5 đ)
- Lý luận dẫn đến M có chữ số tận cùng là 5 c = 5
(0,75 đ)
- Từ điều kiện: abcd M25, lý luận dẫn đến (10c + d) M25, từ đó tìm
đợc d = 0 ( 0,75 đ)
- Từ điều kiện: ab = a + b2
10a + b = a + b2
9a
= b2 b
9a = b(b 1)
(0,5 đ)
Lý luận dấn đến b(b 1) 0 và b(b 1) M9
(0,5 đ)
Mà b và b -1 là hai số nguyên tố cùng nhau; 0 < b 1< 9 b(b 1) M9
chỉ khi b M9

a=8
(0,75 đ)
Kết luận: Số cần tìm 8950
(0,25 đ)
Bài 5: (2 điểm):.
Câu 1:
- Không thể có một số nguyên tố mà khi chia cho 12 thì d 9. Vì: nếu
có số tự nhiên a mà khi chia cho 12 d 9 thì a = 12.k + 9 ; k N a M3
và a 3 a là hợp số, không thể là số nguyên tố.
(0,75 đ).
Câu 2: (1,25 đ).
- Một số tự nhiên bất kỳ khi chia cho 12 thì có số d là một trong 12 số
sau: 0; 1; 2; ...; 11
- Chứng minh tơng tự câu 1 ta có: một số nguyên tố lớn hơn 3 (bất
kỳ) khi chia cho 12 không thể có số d là 2; 3; 4; 6; 8; 10.
(0,25
đ)
- Suy ra một số nguyên tố lớn hơn 3 khi đem chia cho 12 thì đợc số d
là một trong 4 giá trị : 1; 5; 7; 11.
(0,25 đ)
- Chia các số nguyên tố lớn hơn 3 thành hai nhóm :
2

2


6

+ Nhóm 1: Gồm các số nguyên tố khi chia cho 12 thì d 1 hoặc 11 .
+ Nhóm 2: Gồm các số nguyên tố khi chia cho 12 thì d 5 hoặc 7.

(0,25 đ)
- Giả sử p1; p2; p3 là ba số nguyên tố bất kỳ lớn hơn 3. Có ba số nguyên
tố, chỉ nằm ở hai nhóm, theo nguyên lý Dirichle thì trong ba số
nguyên tố trên, tồn tại ít nhất hai số nguyên tố cùng thuộc một nhóm ,
chẳng hạn p1 và p2 cùng thuộc một nhóm:
+ Nếu p1 và p2 khi chia cho 12 có số d khác nhau (tức là d 1 và 11;
hoặc 5 và 7) thì
p1 + p2 = 12 k1 + 1 + 12 k2 + 11 = 12(k1+ k2) + 12 ; k1 ; k2 N
suy ra p1 + p2 M
12 .
hoặc p1 + p2 = 12 n1 + 5 + 12 n2 + 7 = 12(n1+ n2) + 12 ; n1 ; n2 N
suy ra p1 + p2 M
12 .
+ Nếu p1 và p2 khi chia cho 12 có số d bằng nhau thì hiệu p1 p 2 M
12 .
(0,5 đ)


7