BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2 CÓ LỜI GIẢI

Đề 1:

f ( x, y ) 
Câu 1: Tìm khai triển Taylor của

2x  y
x  y tại điểm (2,1) đến cấp 3.

X=x-2, Y=y-1
f(X,Y)= = 1+ = 1 + [1-(X/3 +Y/3)+ (X/3 +Y/3)2 -(X/3 +Y/3)3 + o(ρ3)]
= + X - Y - X2 + Y2 + XY + X3 - Y3 - XY2 + o(ρ3)
= + (x-2) - (y-1) - (x-2)2 + (y-1)2 + (x-2)(y-1) + (x-2)3 - (y-1)3 - (x-2)(y-1)2 + o(ρ3)
Câu 2:tìm cực trị của hàm

z  x 2  y 2  xy  12 x  3 y

Điểm dừng: <=> x=7, y=-2
A= z’’xx=2, B=z’’xy=1, C=z’’yy=2
Δ=AC-B2=3>0, A=2>0 =>z(x,y) đạt cực tiểu tại (7,-2)
Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số với un= và vn=
= = = 2/e2 <1 => hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
ρ= = =1/4
=> -4x=2 : = hội tụ theo tc Leibnitz
Miền hội tụ: [-2;2]

I �
�
Câu 5: Tính tích phân kép

2 x �x 2  y 2 �6 x, y �x

D

1
x2  y2

dxdy
, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi


x=rcosφ, y=rsinφ

I �
�
D

1
2

x y

2

dxdy
= = = 4-2





I  �e x  xy dx   y cos y  x 2  dy
2

C
Câu 6: Tính tích phân
B(2,2), C(4,1), chiều kim đồng hồ.

với C là chu vi tam giác ABC, A(1,1),

2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Các đk công thức Green thỏa
Chiều C ngược chiều quy ước





I  �e x  xy dx   y cos y  x 2  dy
C

2

I �
ydx  ( z  x)dy  xdz

C
Câu 7: Tính
hướng dương trục 0z.

Công thức Stokes
I== =
= = =

= = =-7/2

2
2
, với C là giao của x  y  1 và z  y  1 , chiều kim đồng hồ theo






2
2
I �
�x  y dS
S

Câu 8: Tính tích phân mặt loại một

2
2
2
, trong đó S là phần mặt nón z  x  y , nằm

giữa hai mặt phẳng z  0, z  1 .

D=prxOyS là hình chiếu của phần mặt nón xuống xOy, D={x2+y2=1}





2
2
I �
�x  y dS
S

== /2

Đề 2:
Câu 1. Cho hàm

f ( x, y )  xe xy

2

. Tính

d 2 f (2,1) .

f'’x= +xy2
f’’xx= 2y2 + xy4=> f’’xx(2,1)= 4e2
f’’xy= 4xy+ 2x2y3 => f’’xy(2,1)=16e2
f’y=2x2y
f’’yy= 2x2+4x3y2=> f’’yy(2,1)=40e2
 d2f(2,1)=4e2dx2 + 32e2dxdy + 40e2dy2
2
2 1 x
Câu 2. Tìm gtln, gtnn của f ( x, y )  ( y  x )e

 x=0,y=0 v x=1,y=0 v x=-1,y=0
Xét: L(x,y,λ)=+λ(x2+y2-4)
 x=0,y=, λ=-5e5 v x=,y=0, λ=-3e-3
f(0,0)=0

f(1,0)=-1

f(0,2)= f(0,-2)=4e5

f(-1,0)=1
f(2,0)= f(-2,0)=-4e-3

2

 y2

2
2

trên miền D  {( x, y ) | x  y �4}


Maxf=4e5
x2+y24

Minf=-1
x2+y24

Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/

b/

a) == =1/e3 <1
 hội tụ theo tc Cauchy
b) = = 6>1
 phân kỳ theo tc D’alembert

(1) n ( x  3)n
�
3
n 1 2n  ln n
�

Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
ρ= = = 1
=> -1x=2: phân kỳ theo tc so sánh
x=4: hội tụ theo tc Leibnitz
Miền hội tụ (2,4]

I �
e x
�
Câu 5. Tính tích phân kép

2

D

2
2
1
�
x

y
�4, y �0, y �x 3
bởi

I �
e x
�
D

2

 y2

dxdy

= = (e-4-e-1)

 y2

dxdy
, trong đó D là miền phẳng giới hạn


Câu 6. Tính tích phân

A(0,0)

đến

I�
 x  y  dx   x  y  dy
C

, với C là phần đường cong

y  x  sin x , từ

B( ,  ) .

= => tích phân ko phụ thuộc đường đi
I�
 x  y  dx   x  y  dy
C

= =

z  R2  x2  y2 nằm trong hình trụ x2  y2  Rx .

Câu 7. Tìm diện tích phần mặt cầu
Gọi S là phần mặt cầu

z  R2  x2  y2 nằm trong hình trụ x2  y2  Rx

D=prxOyS, D={x2+y2Rx}
S=dxdy = rdr =2R(

Câu 8. Tính tích phân mặt loại hai

x 2  y 2  z 2 �4, z � x 2  y 2

I �
x 3dydz  y 3dxdz  z 3 dxdy
�

, phía trong.

Các đk công thức Gauss thỏa

I �
x 3dydz  y 3dxdz  z 3dxdy
�
S

=-3 = (

Đề 3:

S

=-

, với S là biên vật thể giới hạn bởi


f ( x, y )  (2 x  y )ln
Câu 1. Cho hàm

x
2
y . Tính d f (1,1)

f’x= 2ln + (2x+y)/x
f’’xx= 2/x –y/x2 => f’’xx(1,1)=1
f’’xy= -2/y +1/x => f’’xy(1,1)=-1
f’y= ln - (2x+y)/y = ln -2x/y -1
f’’yy= -1/y +2x/y2 => f’’yy(1,1)=1
 d2f(1,1)=dx2-2dxdy+dy2

Câu 2. Tìm cực trị của hàm số z = xy + + với x > 0, y > 0
Điểm dừng:
 x=1, y=3
A=z’’xx=6/x3

B=z’’xy= 1

C=z’’yy=18/y3

Δ=AC-B2= -1
x=1, y=3 => Δ=3>0, A=6>0 => z(x,y) đạt cực tiểu tại x=1, y=3

Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

� 1 ��
4 7L (3n  2)
�
(2n  1)!!
n 1

n!( x  4) n
�
nn
n 1
�

Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
ρ= = =n =1/e
=> -ex= -e+4: = phân kỳ
x= e+4: phân kỳ theo so sánh
Miền hội tụ (-e+4,e+4)


I �
( x  2) dxdy
�

D

Câu 5. Tính tích phân kép

, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi

x2 y2

�1, y �0
9
4

x=3rcosφ, y=2rsinφ

I �
( x  2) dxdy
�
D

==6

Câu 6. Tính tích phân

I �
 2 x  y  dx   3x  2 y  dy
C

, trong đó C là biên của miền phẳng giới hạn

y  2  x , y   x , chiều kim đồng hồ.

2

bởi

S là biên của miền phẳng giới hạn bởi

y  2  x2 , y  x

Các đk CT Green thỏa, C ngược chiều quy ước

I �
 2 x  y  dx   3x  2 y  dy
C

Câu 7. Tìm diện tích phần mặt

= = -2 = -9

z  x2  y2 nằm trong hình cầu x2  y2  z2  2z .


S là phần mặt

z  x2  y2 nằm trong hình cầu x2  y2  z2  2z .

D=prxOyS, D={x2+y21}
S= dxdy = rdr =

Câu 8. Tính

I �
2 xdS
�
S

2
2
, với S là phần mặt trụ x  y  4 nằm giữa hai mặt phẳng z  1, z  4 .

S1={x= }, S2={ x= }
D1=pryOzS1=D2=pryOzS2

I �
2 xdS
�
S

= + = 2dydz + 2dydz =0

Đề 4:
Câu 1. Cho hàm

f ( x, y )  4 y 2  sin 2 ( x  y ) . Tính d 2 f (0,0)

f’x= 2sin(x-y)cos(x-y)=sin2(x-y)
f’’xx= 2cos2(x-y)=> f’’xx(0,0)=2
f’’xy= -2cos(x-y)=> f’’xy(0,0)=-2
f’y= 8y-2sin(x-y)cos(x-y)=8y-sin2(x-y)
f’’yy= 8+2cos2(x-y) => f’’yy(0,0)=10
 d2f(0,0)=2dx2-4dxdy+10dy2

Câu 2. Tìm cực trị của hàm

z  x 3 y  12 x 2  8 y.

Điểm dừng:
 x=2, y=-4
A=z’’xx=6xy+24B=z’’xy=

C=z’’yy=0


Δ=AC-B2= -9 =-144<0
 z(x,y) ko có cực trị

Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

� 2 ��
5 8L (3n  1)
�
5 9L (4n  3)
n 11 ��

= =3/4 <1



� 2 ��
5 8L (3n  1)
�
5 9L (4n  3)

n 11 ��

hội tụ theo tc D’alembert

( 1) n ( x  1) n
� 3n
n 1 2 ( n  1)ln( n  1)
�

Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
= =1/8
=> -8x=-9: phân kỳ theo tc tích phân
x=7: hội tụ theo tc Leibnitz
 Miền hội tụ (-9,7]

Câu 5. Tính tích phân dxdy với D là miền 1 x2+y2e2

x=rcosφ, y=rsinφ
dxdy = )rdr = (2/9e3+1/9)

Câu 6. Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-ye y. Tìm hàm h(y) thảo mãn điều kiện: h(1)=1 và biểu thức h(y)P(x,y)dx+
h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(y) vừa tìm, tính tích phân trong đó L là
đường cong có phương trình: 4x2+9y2=36, chiều ngược kim đồng hồ từ điểm A(3,0) đến B(0,2).

h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó


 = => h(y) =y+c
h(1)=1 => c=0

 h(y)= y
=
= = -2e2+2
2
2
2
2
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt z  x  y  2 nằm trong hình paraboloid z  x  y .

2
2
2
2
S là phần mặt z  x  y  2 nằm trong hình paraboloid z  x  y .

D=prxOyS, D={x2+y21}
S= dxdy= dxdy= rdr= -1)

Câu 8. Tính

I �
x 2 dydz  y 2 dxdz  z 2 dxdy
�
S

I �
x 2 dydz  y 2 dxdz  z 2 dxdy
�
S

dydz= +
= - + =0
Tương tự dydz=0
dydz =2 rdr =
I= =

Đề 5

2
2
2
, với S là nửa dưới mặt cầu x  y  z  2 z , phía trên.

= dydz+ dydz+ dydz


3
�
�f  f (u )  u  sin u;
�2 f
�
u  2 xy  e x
��
x
y
Câu 1. Tính
, với �

2
2

2
2
Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y )  2 x  12 xy  y ; x  4 y  25

L(x,y,λ)= 2x2+12xy+y2 +λ(x2+4y2-25)

 x=3,y=, λ=2 v x=-3,y=, λ=2 v x=4,y=, λ=-17/4 v x=-4,y=, λ=-17/4
d2L= (4+2λ)dx2 + (2+8λ)dy2 + 24dxdy
x2 = -4y2+25 => 2xdx=-8ydy
x=3,y=, λ=2 v x=-3,y=, λ=2 =>d2L>0
 f(x,y) đạt cực tiểu tại (3,-2), (-3,2)
x=4,y=, λ=-17/4 v x=-4,y=, λ=-17/4 => d2L<0
 f(x,y) đạt cực đại tại (4,3/2), (-4,-3/2)

Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

3n

�2n �
� n  2�
�
n 1
�n  1 �
�

3

= = 8 >1



3n

�2n �
� n 2�
�
n 1
�n  1 �
�

3

phân kỳ theo tc Cauchy

Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi:
= =2
=> -1/2x=9/2: phân kỳ theo tc tích phân


x=11/2: hội tụ theo tc Leibnitz
Miền hội tụ (9/2,11/2]

Câu 5. Tính tích phân với D là hình tròn: x2+y2 3
I= = = 2 = 2

Câu 6. Chứng tỏ tích phân

I�
e x  y  (1  x  y )dx  (1  x  y )dy 

C

tích phân I với C là phần ellipse

không phụ thuộc đường đi. Tính

x2 y2

1
9
4
từ A(3,0) đến B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ.

=

I�
e x  y  (1  x  y )dx  (1  x  y )dy 
C

= + = -3e3 + 2e-2

2
Câu 7. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi y  2  x , y  1, z  0, z  3x , lấy phần z�0.

V= = 2 = 2 =2 = 3/2

Câu 8. Tính

I �
xdydz   2 y  3 z  dxdz  z 2 dxdy

�
S

2
2
trụ x  y  2 y , phía trên.

I �
xdydz   2 y  3 z  dxdz  z 2 dxdy
�
S

=
=
x=rcosφ, y-1=rsinφ
I=

=

, với S là phần mặt phẳng x  y  z  4 nằm trong hình


=
=
==

Đề 6
Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y) = . Tính dz(1,1) và
dz = 6xy3dx + 9x2y2dy => dz(1,1) = 6edx+9edy
6xy3

= 18xy2+ 6xy33x2y2 = 18xy2+ 18x3y5 => = 36e

Câu 2. Khảo sát cực trị hàm số z= x3+ y3+ 3x2- 3xy +3x-3y +1
Điểm dừng:  x=0, y=1 v x=-1,y=0
A= z’’xx=6x+6 B=z’’xy=-3

C=z’’yy=6y

Δ=AC-B2=36(x+1)y-9
x=0, y=1 => Δ=27>0, A=6>0 => z(x,y) đạt cực tiểu tại (0,1)
x=-1,y=0 => Δ=-9<0 => ko có cực trị

n2
�
n 1 (4n  3)!!
� 1 ��
4 9L

Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
ρ= = =3/4
=> -4/3x= -1/3: phân kỳ
x= 7/3: hội tụ theo tc Leibnitz
Miền hội tụ (-1/3,7/3]


2
2

I �
� 4  x  y dxdy
D

Câu 5. Tính tích phân kép

, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi

x 2  y 2  1, y �x
2
2
I �
� 4  x  y dxdy
D

= =

Câu 6. Tính tích phân

I�
( x 2 y  x  y )dx  ( y  x  xy 2 )dy
C

, với C là nửa bên phải của đường tròn

x 2  y 2  4 y, chiều kim đồng hồ.

I�
( x 2 y  x  y )dx  ( y  x  xy 2 )dy
C

= -

= - 8= 12
Câu 7. Tính tích phân đường loại một I=, với C là nửa trên đường tròn

x2  y 2  2 y .

x=rcost, y=rsint => r= 2sint
I== = 4

Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính

I �
( x  y) dx  (2 x  z )dy  ydz
C

và x  y  z  0 , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.
S là mặt giao của C là

2
2
2
giao của x  y  z  4 và x  y  z  0

I �
( x  y) dx  (2 x  z )dy  ydz
C

= (S có n=()

= = = -S = - = -4

Đề 7
Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y)= y ln(x2- y2). Tính dz(và (
dz= => dz(=

2
2
2
, với C là giao của x  y  z  4


=> (= -6
2
2
Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y )  1  4 x  8 y; x  8 y  8 .

L(x,y,λ)= 1-4x-8y+λ(
 x=-4,y=1, λ=-1/2 v x=4,y=-1, λ=1/2
d2L= dx2 -dy2
x2 = 8y2+8 => 2xdx=16ydy
x=-4,y=1, λ=-1/2 => d2L>0 => f(x,y) đạt cực tiểu tại (-4,1)
x=4,y=-1, λ=1/2 => d2L<0 => f(x,y) đạt cực đại tại (4,-1)

2 n n!
� n
n 1 n
�

Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
ρ=
=> -5x=-6:
x=4:
Miền hội tụ [-6,4]
Câu 5. Tính tích phân với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường x 2+y2= 1(x, y 0), x2+y2=33 (x, y
), y=x, y = x.

=
Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= 2ye xy + ecosy, Q(x,y)= 2xexy- esiny trong đó là hằng số. Tìm để biểu thức Pdx +
Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với vừa tìm được, tính tích phân đường trong đó (là
đường tròn x2+y2 = 2x lấy theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ).

Câu 7. Tính tích phân mặt loại một

I �
x 2 dS
�
S

2
2
2
, với S là nửa trên mặt x  y  z  4


I �

x 2 dS
�
S

=

Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính

I �
(3 x  y 2 ) dx  (3 y  z 2 ) dy  (3 z  x 2 )dz
C

, với C là giao của

z  x  y và z  2  2 y , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.
2

2

2
2
S là mặt giao của của z  x  y và z  2  2 y , n= (0,

I �
(3 x  y 2 ) dx  (3 y  z 2 )dy  (3z  x 2 )dz
C

=

= =

Đề 8
Câu 1. Tìm

zx' , zy'

của hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ phương trình

x3  y 2  yz  ln z

F(x,y)= x3+y3+yz-lnz
z'x =
z’y=
2
2
2
Câu 2. Tìm gtln, gtnn của f ( x, y )  x  y  x y  4 trên miền D  {( x, y ) | | x |�1,| y |�1}

 x=0,y=0
f(y) =y2+y+5
f’(y)=2y+1=0 =>y=-1/2
y=-1: f(x)= 5 với mọi x
y=1: f(x)=2x2+5>0
f(0,0)= 4
f(-1,-1)=f(1,-1)=5
f(
f(1,1)=f(-1,1)=7
x=:

Maxf= 7
Minf= 4

Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số a/
a)
b)

=> phân kỳ theo tc D’alembert

Câu 4. Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa

b/


ρ=
=>-3x=-1 hội tụ
x=5 hội tụ theo tc Leibnitz
Miền hội tụ [-1,5]

Câu 5. Tính tích phân kép dxdy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi nữa đường tròn x 2 + y2 = 9, yvà
các đường thẳng y = x, y = -x
=

Q( x, y )  (1  x  y )e y

Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= (1+x+y)e-y,
. Tìm hàm h(x) để biểu thức h(x)P(x, y)dx
+ h(x)Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(x) vừa tìm, tính tích phân trong đó L là
nữa đường tròn x2 + y2 = 9 nằm bên phải trục tung, chiều đi từ điểm A(0, -3) đến điểm B(0, 3).
 h(x)= ex
= 3e-3 + 3e3

Câu 7. Tính

I �
2 zdxdydz
�
�
V

2
2
2
z  x2  y 2  1 .
, với V giới hạn bởi x  y  z �2 z và

D= prxOyV , D={x2 + y2 =1/2}

I �
2 zdxdydz
�
�
V

=

Câu 8. Tính tích phân mặt

I �
( x  2 y )dydz   y  2 z  dxdz   z  2 x  dxdy
�
S

paraboloid z  x  y , bị cắt bởi z  2  2 x , phía dưới.
2

2

D =prxOyS={ (x+1)2+y2 =3}, x+1=rcosφ,y=rsinφ

, với S là phần mặt


I �
( x  2 y )dydz   y  2 z  dxdz   z  2 x  dxdy
�
S

=
=
=
=

Đề 9

� 21 2
�
e x  y , if ( x, y ) �(0, 0)
f ( x, y )  �
�
if ( x, y )  (0, 0)
� 3,

Câu 1. Tìm miền xác định và miền giá trị của
Miền xác định: {R\ xy=0}
f(x,y)= , (x,y) khác (0,0)
 lnf(x,y) = , (x,y) khác (0,0)
 , (x,y) khác (0,0)

 0Miền giá trị:

{(0,1) với (x,y) khác (0,0)}
{-3 với (x,y)=(0,0)}

Câu 2. Tìm cực trị của hàm f(x, y)= x2- 2xy+ 2y2- 2x+ 2y +4
Điểm dừng:  x=1, y=0
A= f’’xx=2

B=f’’xy=-2

C=f’’yy=4

Δ=AC-B2=4>0, A=2>0
 f(x,y) đạt cực tiểu tại (1,0)
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của với ,
=> hội tụ theo tc Cauchy
=> phân kỳ theo tc D’alembert


 phân kỳ
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
ρ=

=> -4x=-7: hội tụ theo tc Leibnitz
x=1: phân kỳ
 Miền hội tụ [-7,1)

Câu 5. Tính J= với D là miền phẳng giới hạn bởi 2 đường tròn x 2+y2 = 2x, x2+y2 = 6x và các đường thẳng y
= x, y = 0.
J= =
Câu 6. Tìm hàm h(x2- y2), h(1) = 1 để tích phân đường sau đây không phụ thuộc đường đi
I= với AB là cung không cắt đường x2 = y2.
 h(x2-y2)= c
h(1)=1 => c=1
 h(x2-y2)= 1

Câu 7. Tính

I �
( x  yz )dxdydz
�
�
V

I �
( x  yz )dxdydz
�
�
V

2
2

2
2
, với V giới hạn bởi z  x  y và z  x  y  2 .

=

=

Câu 8. Tính tích phân mặt

I �
2 xdydz   3 y  z  dxdz   2 z  4 y  dxdy
�
S

x  y  z  2 x , phần z�0 , phía dưới.
2

2

2

Thêm mặt z=0
Công thức Gauss

, với S là phần mặt


I �
2 xdydz   3 y  z  dxdz   2 z  4 y  dxdy

�
S

=

=

Đề 10

Câu 1. Tính

� xy
, if ( x, y ) �(0, 0)
�
f ( x, y )  �x 2  y 2
� 0,
f // xy (0, 0)
if ( x, y)  (0, 0)
�

(x,y) khác (0,0): f’x(x,y) =
f ‘x(0,0) = =0
f ‘’xy(0,0) =

Câu 2. Tìm cực trị của hàm

z  x 4  y 4  x 2  y 2  2 xy, x �0.

Điểm dừng:  x=1, y=1 v x=-1,y=-1
A= f’’xx=12x2 -2B=f’’xy=-2

C=f’’yy=12y2 -2

Δ=AC-B2= (12x2 -2)( 12y2 -2)-4
 => Δ= 96>0, A= 10>0
 f(x,y) đạt cực tiểu tại (1,1), (-1,-1)

� �n  1

Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
� �n  1

=>

2n

�
��
�
2n  1 �
n 1�

2n

�
��
�
2n  1 �
n 1�

hội tụ theo tc Cauchy

( x  4)n
�
n 1 n n  2
�

Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa


ρ=
=> -1x=3: hội tụ theo tc Leibnitz
x=5: hội tụ
 Miền hội tụ [3,5]

I �
( x  | y |)dxdy
�
D

Câu 5. Tính tích phân kép
hạn bởi

, trong đó D là miền phẳng giới

x 2  y 2 �4, x �0

I �
( x  | y |)dxdy

�
D

=
=

� x
y� � y
1�

dx


dy
�
�
�
�
�
2
2
2
2
2
�
�
�
�
x
x

x

y
x

y
(1,1) �
� �
�

(2,3)

I

Câu 6. Tính tích phân
qua gốc O và không cắt trục tung.

, theo đường cong C không

=> tp ko phụ thuộc đường đi

� x
y� � y
1�

dx


dy
� 2

� � 2
�
2
�
2
2
�
�
�
�
x
x
(1,1) � x  y
� �x y
�

(2,3)

I
=

1
I �
dxdydz
�
�2
2
2
2
2

2
z � x2  y 2
V x  y z
Câu 7.
, với V được giới hạn bởi x  y  z �4 và
1
I �
dxdydz
�
�2
2
2
V x  y z
=


Câu 8. Tính tích phân mặt

I �
 x  z  dydz   y  x  dxdz   z  y  dxdy
�
S

z  x  y nằm dưới mặt x  z  2 , phía trên.
2

2

D=prxOyS={(x+1/2)2+y2=9/4}
Thêm mặt x  z  2

Công thức Gauss

I �
 x  z  dydz   y  x  dxdz   z  y  dxdy
�
S

==
=

, với S là phần mặt paraboloid