Câu hỏi ôn thi cao học phương pháp dạy học bộ môn toán

PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CHUYÊN NGÀNH TOÁN
LÍ THUYẾT
Chương I: Tổng quan về phương pháp dạy học
A. Mục tiêu
Câu 1: Trình bày nội dung chủ yếu, các biện pháp để rèn luyện tư duy logic và ngôn
ngữ chính xác cho học sinh trong dạy học môn toán? Cho ví dụ?
a) Nội dung chủ yếu:
- Nắm vững các thuật ngữ toán học, kí hiệu toán học, logic và sử dụng đúng mà
không được nhằm lẫn.
Ví dụ: “Giá trị cực đại” và “giá trị lớn nhất” của hàm số trên một đoạn nào đó.
- Phát triển khả năng định nghĩa các khái niệm.
- Phát triển khả năng suy luận chính xác, chặt chẽ, có đầy đủ căn cứ.....
b) Biện pháp:
- Thuộc lòng các câu chữ, hiểu rõ và đúng các nội dung, phát biểu chính xác bằng
lời và bằng kí hiệu thích hợp.
Ví dụ:
+ Diễn đạt bằng lời: Hàm số đồng biến trên đoạn [a;b] nếu với mọi giá trị
x1;x2 của hàm số trên đoạn [a;b] và ta có x2  x1 thì f(x2 )  f(x1) .

+ Diễn đạt bằng kí hiệu:
f(x) x�
c�
�
nh tr�
n [a;b]
�
��
x �[a;b] v�x2  x1 th�f(x2 )  f(x1)
f(x) đồng biến trên đoạn [a;b] �

-

Tập cho HS sử dụng đúng đắn các phép nối logic cùng với các kí hiệu và ngôn
ngữ tương ứng.
- Nắm vững các cấu trúc của định nghĩa, định lý. Biết phát biểu dưới nhiều dạng
khác nhau (nếu được) nhưng phải gọn và đúng.
- Tập cho HS biết sử dụng đúng các quy tắc chứng minh.
- Uốn nắn kịp thời những sai lầm, tuỳ tiện của học sinh khi phát biểu hay trình
bày lời giải.
Câu 2: Trình bày nội dung các biện pháp để rèn luyện và phát triển các phẩm chất
trí tuệ trong dạy học Toán.
a) Nội dung chủ yếu:
Việc rèn luyện phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa to lớn đối với việc học tập, công tác và
trong cuộc sống.
- Tính linh hoạt:
+ Kỹ năng thay đổi phương hướng giải quyết vấn đề phù hợp với sự thay đổi các
điều kiện, tìm ra phương pháp mới để giải quyết vấn đề, chuyển từ dạng hoạt động
trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác.
+ Kỹ năng nhìn một vấn đề, một hiện tượng theo nhiều quan điểm khác nhau.
+ Kỹ năng xác lập sự phụ thuộc giữa các kiến thức theo thứ tự ngược lại.


- Tính độc lập:
+ Tự mình phát hiện và tìm ra phương pháp giải quyết vấn đề, không hoàn toàn
dựa dẫm vào lập luận của người khác.
+ Nghiêm túc đánh giá lập luận của người khác và của chính mình.
+ Có tinh thần hoài nghi khoa học.
- Tính sáng tạo: thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện ra các vấn đề mới,
tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới.
b) Các biện pháp thực hiện:
- Tập cho HS biết cách “suy luận nghe có lý” qua khái quá hoá, đặc biệt hoá, tương tự.

Tập cho HS biết dự đoán, nêu giả thiết, kiểm chứng giả thuyết khi học một định lý hay
khi giải bài tập.
Ví dụ: Khi dạy hằng đẳng thức bình phương của một tổng.
+ GV yêu cầu HS tính: (a b)(a b)
2
2
+ HS tính được: (a b)(a b)  a  2ab b
2
+ GV hỏi: (a b)  ?

+ HS: (a b)  (a b)(a b)  a  2ab  b
- Chọn một số bài tập có cách giải đơn giản hơn cách áp dụng các quy tắc đã học
nhằm khắc phục sức ỳ của tư duy.
Ví dụ: Giải phương trình sinx  cosx  0 ( sau khi đã dạy loại phương trình
asinx  bcosx  c )
- Khuyến khích học sinh giải nhiều cách khác nhau của một bài toán.
2

Ví dụ: Giải phương trình:

2

2

x  2  2 x  3  1 (1)

+ cách 1: Bình phương hai vế; (1) trở thành x  2  2 x  3  1 suy ra
x  3  2 x  3 . Sau đó bình phương một lần nữa.
2
+ Cách 2: Biến đổi thành ( x  3  1)  1�| x  3  1| 1 suy ra lời giải.

- Giải các bài toán không mẫu mực

Ví dụ: Giải phương trình:

x  2  4  x  x2  6x  11

Ta có: VT  x  2  4  x �2 ; VP  (x  3)  2 �2 suy ra VT=VP=2 từ đó
tìm nghiệm.
- Tập cho hs phát hiện ra chỗ sai trong lời giải, tìm nguyên nhân và đề xuất cách giải
đúng
B. Quan điểm hoạt động
Câu 3: Trình bày quan điểm hoạt động trong dạy học toán? Phân tích các hoạt
động chủ yếu? Cho ví dụ về vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy học toán ở
phổ thông
2


a) Quan điểm hoạt động trong dạy học toán: Theo giáo sư Nguyễn Bá Kim: Mỗi
nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động nhất định, đó là những hoạt
động được tiến hành trong quá trình hình thành và vận dụng nội dung đó. Các hoạt động
gồm:
- Nhận dạng và thể hiện: Nhận dạng khái niệm, thể hiện khái niệm….
- Những hoạt động Toán học phức hợp: Chứng minh, định nghĩa, giải toán quỹ
tích…..
- Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học: Lật ngược vấn đề, xét tính
giải được, quy lạ về quen…..
- Những hoạt động trí tuệ chung: Phân tích, tổng hợp…..
- Những hoạt động ngôn ngữ: Phát biểu định nghĩa……
b) Phân tích các hoạt động chủ yếu:
- Những thành phần tâm lý cơ bản trong hoạt động bao gồm:

+ Động cơ hoạt động: là lý do để thực hiện một hoạt động nào đó.
+ Các hoạt động thành phần: được gọi là hành động, thao tác.
+ Nội dung hoạt động: là tri thức cần thiết để tiến hành một hoạt động.
+ Kết quả hoạt động: la tri thức động lại trong chủ đề sau hoạt động.
Như vậy: Dạy học một hoạt động nào đó là khai thác, lựa chọn những hoạt động
tiềm tàng trong nội dung này, từ đó tổ chức điều khiển học sinh thực hiện những
hoạt động trên cơ sở đảm bảo những thành phần tâm lý của hoạt động.
- Các bước tiến hành tổ chức hoạt động dạy học toán:
+ Xác định nội dung dạy học và các hoạt động tương thích
+ Đưa ra mục tiêu, yêu cầu.
+ Lựa chọn phương pháp dạy học phụ hợp nội dung và cách thức tổ chức hoạt
động của học sinh.
+ Cung cấp phương tiên, điều kiện để học sinh thực hiện hoạt động.
+ Vạch ra trình tự thực hiện các hoạt động, thao tác và kiểm tra việc thực hiện.
+ Hướng dẫn thực hiện theo quy trình đồng thời hướng dẫn học sinh khi gặp khó
khăn.
+ Đánh giá và hướng dẫn học sinh tự đánh giá.
Ví dụ: Tổ chức hoạt động dạy học “Khái niệm đường trung trực của đoạn thẳng”
(HH7).
HĐ 1: Quan sát hình bên và trả lời câu hỏi “Đường trung trực của đoạn thẳng AB là gì?
HĐ 2: Cho đoạn AB dài 3dm. Vẽ đường trung trực của AB bằng thước thẳng và eke
HĐ 3: Điền vào chỗ trống để có định nghĩa đúng: “Đường trung trực của đoạn thẳng là
….”


HĐ 4: Trong các câu sau, câu nào đúng? Câu nào sai?
1. Đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng AB là đường trung
trực của AB.
2. Đường thẳng đi qua trung điểm của AB là là đường trung trực
của AB.

3. Đường thẳng đi qua trung điểm của một đoạn thẳng và vuông
góc với đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng.
4. Đường trung trực của AB thì vuông góc với AB.
5. Đường trung trực của AB thì đi qua trung điểm của AB.
Hoạt động 1: Là hoạt động nêu vấn đề để HS tiếp xúc khái niệm.
Hoạt động 2: Là hoạt động thể hiện khái niệm.
Hoạt động 3: Là hoạt động toán học phức hợp và ngôn ngữ.
Hoạt động 4: Là hoạt động củng cố dựa trên phân tích cấu trúc logic.
Câu 4: Trình bày vai trò của người thầy trong dạy Toán theo quan điểm hoạt động?
Dạy học theo quan điểm hoạt động lấy người học làm trung tâm, làm chủ thể của
hoạt động không hề làm suy giảm vai trò của người giáo viên mà ngược lại vai trò, trách
nhiệm của giáo viên càng cao. Không có giáo viên, học sinh không thể đảm bảo hoạt
động tự giác tích cực. Vai trò của người thầy không còn là nguồn phát thông tin mà là ở
chỗ khác quan trọng hơn. Đó là:
- Thiết kế: là lập kế hoạch, chuẩn bị cho quá trình dạy học về mục đích, nội
dung, phương pháp, phương tiện và hình thức tổ chức (soạn giáo án).
- Ủy thác: là giao nhiệm vụ nhận thức, biến ý đồ dạy của thầy thành nhiệm vụ
học tập tự nguyện, tự giác của học sinh là chuyển giao cho học sinh không phải
là những tri thức có sẵn mà là tình huống để hướng dẫn hoạt động và thích
nghi.
- Điều khiển:
+ Về mặt tư duy: Điều khiển hoạt động tư duy của học sinh thông qua hệ
thống câu hỏi sản phẩm, định hướng sản phẩm, giúp học sinh hoạt động
tư duy đúng đắn.
+ Về mặt tâm lý: động viên, hướng dẫn, trợ giúp và đánh giá.
- Thể chế hóa: là xét tính đúng sai của lời giải, tính tối ưu, các sáng tạo khai thác
bài toán.
Câu 5: Thế nào là tri thức phương pháp? Điểm cần lưu ý khi dạy học tri thức
phương pháp? Cho ví dụ minh họa?
-Tri thức phương pháp:

+ Phương pháp: là cách thức cần thực hiện để giải quyết một kiểu nhiệm vụ nào
đó.
+ Tri thức phương pháp: là tri thức về phương pháp tiến hành giải quyết một kiểu
nhiệm vụ nào đó.


+ Tri thức phương pháp luôn gắn liền với hai loại phương pháp khác nhau về bản
chất: phương pháp có tính thuật toán và phương pháp có tính tìm đoán.
Ví dụ:
. Tri thức phương pháp có tính thuật toán là: Giải và biện luận phương trình bậc
hai.
. Tri thức phương pháp có tính tìm đoán: Theo định nghĩa đường thẳng vuông góc
với mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng. Vậy tri thức
phương pháp được rút ra là để chứng minh hai đường thẳng vuông góc ( ab) ta chỉ cần
chứng minh đường thẳng a vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng b.
- Những điểm cần lưu ý khi dạy tri thức phương pháp:
+ Xác định tập hợp tối thiểu những tri thức phương pháp cần dạy.
+ Xác định yêu cầu về mức độ hoàn chỉnh của những tri thức phương pháp cần
dạy.
+ Xác định yêu cầu về mức độ tường minh của những tri thức cần dạy: dạy tường
minh, thông báo, thực hành ăn khớp với tri thức nào đó hay hình thức trung
gian.
+ Xác định yêu cầu về mức độ chặt chẽ của quá trình hình thành phương pháp: lập
luận logic hay dựa vào đánh giá hoặc thừa nhận không chứng minh.
Ví dụ: Dạy học giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn.
+ Những tri thức phương pháp cần dạy: Giải và biện luận phương trình
2
ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) (*)
+ Mức độ hoàn chỉnh tri thức phương pháp: hoàn chỉnh.
+ Yêu cầu mức độ tường minh: dạy học tường minh.

+ Mức độ chặt chẽ của phương pháp: lập luận logic.
Dạy học: Giả sử phương trình (*) có nghiệm thì nó là
Vậy biểu thức xác định nghiệm sẽ như thế nào khi < 0, = 0, > 0 ? (từ đó suy ra
phương pháp)
Bước 1: Tính biệt thức = b2 – 4ac
Bước 2: Biện luận theo :
< 0 phương trình (*) vô nghiệm
= 0 phương trình (*) có nghiệm kép
> 0 phương trình (*) có hai nghiệm ;
Bước 3: Kết luận theo các trường hợp
Câu 6: Phân tích các cấp độ khác nhau về dạy học tri thức phương pháp. Cho ví dụ?
Tùy theo loại tri thức phương pháp và nội dung của phương pháp mà có những yêu
cầu khác nhau về mức độ tường minh khi dạy học tri thức phương pháp. Do đó các cấp độ
khác nhau về dạy học tri thức phương pháp là:
- Dạy học tường minh tri thức phương pháp được phát biểu một cách tổng
quát.


+ Người thầy phải rèn luyện cho trò những hoạt động dựa trên tri thức phương
pháp được phát biểu một cách tổng quát và tường minh dưới dạng một quy tắc,
thuật toán, danh sách các lời khuyên hay chỉ dẫn.
+ Ta thường áp dụng cấp độ này với các tri thức phương pháp có tính thuật
toán, được quy định rõ ràng trong chương trình SGK, như: quy tắc tính đạo
hàm tại một điểm bằng định nghĩa, giải và biện luận phương trình ax + b = 0,
phương pháp xét dấu tam thức bậc hai…
- Thông báo tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động:
+ Tri thức phương pháp chưa được quy định trong chương trình, ta vẫn có thể
thông báo chúng trong quá trình học sinh hoạt động nếu những tri thức phương
pháp này giúp học sinh dễ dàng thực hiện một số hoạt động quan trọng nào đó
được qui định trong chương trình, việc thông báo những tri thức dễ hiểu và ít

tốn thời gian.
+ Cấp độ này thường áp dụng với tri thức phương pháp không được quy định rõ
ràng trong chương trình SGK (chủ yếu là tri thức phương pháp tìm đoán).
Ví dụ như tri thức phương pháp về giải phương trình lượng giác phức tạp “Nếu phương
trình chứa các biểu thức lượng giác bậc cao thì có thể tính tới việc hạ bậc các biểu thức
này” có thể được thông báo khi giải các phương trình dạng này.
- Tập luyện những hoạt động ăn khớp với tri thức phương pháp:
+ Trong trường hợp này, tri thức phương pháp không được trình bày một cách
tổng quát và tường minh dưới dạng một quy tắc, một thuật toán, nó cũng không
được thông báo rõ ràng trong quá trình hoạt động. Học sinh lĩnh hội tri thức
phương pháp một cách ngầm ẩn nhờ vào thực hiện nhiều hoạt động tương thích
với một chiến lược, định hướng giải quyết chung.
+ Giáo viên cần thường tổ chức cho học sinh thực hiện các hoạt động theo một
mục đích xác định chứ không tùy tiện.
+ Cấp độ này áp dụng cho cả tri thức phương pháp được qui định rõ ràng hay
chỉ ngầm ẩn trong chương trình SGK.
Ví dụ: Hướng dẫn học sinh có thể lĩnh hội tri thức phương pháp “Giải phương trình lượng
giác có biểu thức bậc cao bằng cách hạ bậc” thông qua việc thực hiện giải nhiều bài toán
dạng này với cùng định hướng “hạ bậc” nhưng giáo viên không thông báo một cách tường
minh.
C. Phương pháp dạy học tích cực
Câu 7: Trình bày khái quát về dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề. Cho biết
những đặc điểm quan trọng của việc dạy học theo phương pháp này?
- Khái niệm dạy học giải quyết vấn đề: Thầy tổ chức cho trò học tập trong hoạt
động và bằng hoạt động do thầy tạo ra một tình huống hấp dẫn, gợi sự tìm hiểu của HS,
gợi ra vướng mắc mà họ chưa giải đáp được ngay, nhưng có sự liên hệ với tri thức đã biết,
khiến họ thấy có triển vọng nếu tích cực suy nghĩ.
-Tình huống gợi vấn đề: đó là tình huống gợi ra cho HS những khó khăn về mặt lý
luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không phải ngay

tức khắc nhờ một thuật giải mà phải trãi qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để
biến đổi đối tượng hoặc điều chỉnh kiến thức sẳn có.
- Tình huống gợi vấn đề phải thỏa mãn các điều kiện:
+ Tồn tại một vấn đề
+ Gợi nhu cầu nhận thức
+ Gợi niềm tin ở khả năng bản thân
Ví dụ 1:
Khi dạy bài “Tổng các góc trong của tứ giác” giáo viên thực hiện như sau:
Trong một tam giác bất kỳ tổng ba góc trong tam giác bằng 2v, cho một tứ giác bất
kỳ như tứ giác ABCD, liệu ta có thể nói gì về tổng các góc trong của một tứ giác? Liệu
tổng các góc trong của một tứ giác có phải là một hằng số như trường hợp tam giác
không? Cách đặt vấn đề như vậy là cách dạy học gợi vấn đề
Ví dụ 2: Cách dạy “ định lý hàm số cosin” a2 = b2 + c2 - 2bc cosA
- Hoạt động 1: yêu cầu HS nhắc lại địnhlý Pitago? Hãy nghiên cứu định lý Pitago
để tìm cách mở rộng định lý sao cho Pitago là một trường hợp đặc biệt của định lý đó.
- Hoạt động 2 :Hoạt động chứng minh định lý Pitago bằng phương pháp véctơ
Gợi ý cho HS chứng minh : a = , b = , c =
= +
=2
= =+
- Hoạt động 3: Điều kiện góc A vuông được sử dụng khi nào?
- Hoạt động 4: Nếu tam giác ABC không vuông thì sao?
a2 = b2 + c2 – 2bc. cosA
Hoạt động 5: tìm cách ứng dụng trong thực tế
Câu 8: Trình bày nội dung các bước dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề. Cho ví
dụ minh họa.
- Trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, giáo viên đưa cho HS vào tình
huống có vấn đề rồi giúp HS giải quyết vấn đề đặt ra. Bằng cách đó, HS nắm được tri
thức mới, vừa nắm được phương pháp đi tới tri thức đó, lại vừa phát triển tư duy tích cực,

độc lập, sáng tạo và có tiềm năng vận dụng tri thức đó vào những tình huống mới, chuẩn
bị năng lực thích ứng với đời sống xã hội, phát hiện kịp thời và giải quyết các vấn đề nảy
sinh.
Các bước dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề:
+ Bước 1: phát hiện và thâm nhập vấn đề
 Phát hiện vấn đề từ tình huống gợi vấn đề
 Giải thích, chính xác hóa để hiểu vấn đề
 Phát biểu vấn đề và đặc mục tiêu giải quyết vấn đề
+ Bước 2: Tìm giải pháp
Tìm một cách để giải quyết vấn đề, có thể tìm cách khác (quy lạ về quen, tương
tự hóa, đặc biệt hóa, phân chia, phân tích đi lên,...)
+ Bước 3: Trình bày giải pháp
 Trình bày có căn cứ cho các kết luận (từng giai đoạn, kết thúc ...)
 Sử dụng hợp lý ngôn ngữ, ký hiệu
+ Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp


 Tìm cách ứng dụng
 Đề xuất vấn đề mới
VD: dạy học bài “ Định lý Cosin “
-Đặt vấn đề: Đôi khi trong thực tế ta cần đo khoảng cách giữa hai điểm B,C mà
không thể đo trực tiếp được vì giữa hai điểm đó có một chướng ngại vật như: một đầm
lầy, một cánh rừng, ...
-

Để có thể đo được khoảng cách BC trong trường hợp đó người ta thường chọn
một điểm A sao cho từ A có thể nhìn thấy được B,C có thể đo được khoảng
cách AC = b, AB = c và góc BAC. Làm như vậy tam giác ABC hoàn toàn có
thể xác định được bởi hai cạnh và góc xen giữa. Khoảng cách BC sẽ được tính
như thế nào?

- Chúng ta có bài toán sao đây: Bài toán tam giác biết AC = b, AB = c, góc A. Tính
cạnh BC = a.
- Đàm thoại giải quyết vấn đề
GV: Góc A là góc giữa hai véc tơ nào?
HS: Góc A là góc giữa hai véc tơ
GV: Trong các phép tính véc tơ, phép tính nào liên quan đến cos ()
HS: Phép tính tích vô hướng
GV: Có thể biểu diễn theo hai và như thế nào?
HS :
GV : Từ (1) hãy bình phương hai vế để tính được công thức a = BC
HS: a2 = b2 + c2 – 2bc .cosA
Giáo viên đưa ra kết luận: Chúng ta đã có công thức để tính cạnh chưa biết của một
tam giác theo hai cạnh đã biết và cosin của góc xen giữa chúng. Ta gọi công thức này là
định lý cosin của tam giác.
Định lý: Với mọi tam giác ABC ta có:
a2 = b2 + c2 – 2bc. cosA
b2 = a2 + c2 – 2ac . cosB
c2 = a2 + b2 – 2ab. cosC
Khả năng áp dụng : Nếu AB = 4 , BC = 6 và thì
AC2 = AB2 + BC2 – 2 AB.BC.cosB = 4 . 6 . =12
Câu 9: Trình bày ưu điểm, nhược điểm khi dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề?
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là một trong những phương pháp dạy học
hiện đại, lấy HS làm trung tâm, tuy nhiên cũng như các phương pháp dạy học khác nó
cũng có những ưu điểm và hạn chế:
* Ưu điểm:
- Phù hợp với quy luật nhận thức, giúp HS tích cực, chủ động đem lại kết quả học
tập vững chắc
- Thông qua dạy học phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề giáo viên không chỉ
giúp HS nắm vững kiến thức, kỹ năng mà còn học được cách để có được kiến thức kỹ
năng .

- Rèn cho HS những kỹ năng cần thiết để HS đối mặt với những vấn đề gặp phải
trong cuộc sống
* Nhược điểm:


- Mất nhiều thời gian .
- Đòi hỏi sự chuẩn bị chu đáo của giáo viên cũng như ý thức học tập của HS
- Đôi khi cần phải có điều kiện dạy học cầu kỳ, phức tạp
- Không phải bài nào, kiến thức nào cũng có thể dạy học bằng kiểu phát hiện và
giải quyết vấn đề.
Câu 10: Anh chị hiểu như thế nào là dạy học hợp tác theo nhóm, nêu các thành tố
chủ yếu của dạy học hợp tác theo nhóm, cho ví dụ và phân tích?
* Dạy học hợp tác theo nhóm là cách tổ chức dạy học trong đó học sinh trong lớp được tổ
chức thành các nhóm học tập một cách thích hợp, được giao nhiệm vụ và được khuyến
khích thảo luận, hướng dẫn, hợp tác với nhau để cùng đạt kết quả chung là hoàn thành
nhiệm vụ cá nhân.
Học tập hợp tác là một nội dung quan trọng của dạy học hợp tác theo nhóm.
* Các thành tố chủ yếu của dạy học hợp tác theo nhóm là:
- Sự phụ thuộc tích cực.
- Sự tương tác.
- Vai trò cá nhân.
- Kỹ năng tổ chức nhóm và thảo luận nhóm.
* Ví dụ: Luyện tập “Cộng các phân số không cùng mẫu số” lớp 7
a) 7/21 + 1/36
b) 7/21 + 1/25 c) 7/15 + 1/36 d) 7/24 +1/36
- Giáo viên chia lớp thành các nhóm: 2 bàn liền nhau, quay mặt vào nhau, cử một nhóm
trưởng để điều hành nhóm và một thư ký. Mỗi nhóm thảo luận để thống nhất cách giải
quyết vần đề. Sau đó mỗi thành viên của nhóm tiến hành giải quyết vấn đề. Sau khi giải
quyết xong thì so sánh kết quả, sau khi đã thống nhất thì thư ký ghi lại cách giải.
- Khi các nhóm đang hoạt động thì giáo viên bao quát lớp theo dõi từng nhóm làm việc,

góp ý 1 số nhóm. Sau khi các nhóm thực hiện xong thì giáo viên cho một vài nhóm trình
bày kết quả của nhóm, các nhóm còn lại nhận xét. Cuối cùng giáo viên nhận xét về kết
quả các nhóm, kết luận về kiến thức, ý thức, thái độ.
* Phân tích
Cách dạy trên đã thể hiện được các đặc điểm của dạy học hợp tác theo nhóm.
- Sự phụ thuộc tích cực: 2 bàn liền nhau tạo thành 1 nhóm và được giao nhiệm vụ.
- Sự tương tác: học sinh trong nhóm thảo luận, hợp tác thực hiện nhiệm vụ.
- Vai trò cá nhân: Từng em giải quyết vấn đề mới, so sánh kết quả.
- Kỹ năng tổ chức nhóm và thảo luận nhóm: các nhóm có nhóm trưởng, thư ký và đại diện
nhóm trình bày kết quả.
- Học sinh được hướng dẫn thảo luận, khuyến khích làm việc, có sự đôn đốc nhắc nhở của
giáo viên.
Câu 11: Trình bày các bước dạy học hợp tác theo nhóm?
Bước 1: Làm việc chung cho cả lớp
- Học sinh tiếp nhận nhiệm vụ nhận thức, thực hiện yêu cầu tổ chức nhóm.
Bước 2: Hoạt động nhóm.
- Từng nhóm làm việc riêng, các thành viên trong nhóm thảo luận, phân công nhiệm vụ cụ
thể cho từng cá nhân và cá nhân thực hiện theo phân công đó.
- Nhóm làm việc trong không khí thi đua, có sự bàn bạc, hỗ trợ nhau.
- Giáo viên giám sát hoạt động của nhóm và cá nhân.
Bước 3: Tổng kết


- Thảo luận, tổng kết lớp. Các nhóm lần lượt báo cáo kết quả, giáo viên tổ chức cho các
nhóm khác nhận xét.
- Giáo viên nhận xét, chốt lại những kiến thức cần thiết.
- Giáo viên động viên, khen ngợi, nhắc nhở tinh thần thái độ các nhóm, cá nhân.
Câu 12: Các hình thức chia nhóm, ưu điểm và hạn chế của dạy học hợp tác theo
nhóm
a) Các hình thức chia nhóm:

- Chia nhóm theo vi mô
+ Nhóm nhỏ nhất là nhóm có hai thành viên thích hợp với việc thống nhất nhanh
để trả lời
+ Nhóm nhỏ thông thường từ 4 đến 6 thành viên thích hợp với nhiệm vụ một vấn
đề cụ thể và nhanh chóng
+ Nhóm lớn từ 8 thành viên trở lên thích hợp với nhiệm vụ thực hành, làm chuyên
đề.
- Chia nhóm theo đặc điểm học sinh: chia nhóm theo giới tính, theo trình độ học lực.
- Chia nhóm theo nội dung ôn tập: nhóm theo thực hiện nhiệm vụ bộ phận của nhiệm vụ
chung, theo tiến trình học tập
- Chia nhóm theo điều kiện, phương tiện học tập: chia nhóm theo khu vực chỗ ngồi, chia
nhóm theo trang bị học tập
* Chú ý: trong thực tế cần phải phối hợp các hình thức.
b) Ưu điểm – hạn chế
*Ưu điểm:
- Mọi Hs đều được làm việc, không khí lớp thân thiện.
- Hiệu quả làm việc của Hs cao
- Nhiều Hs có việc thể hiện khả năng cá nhân và tinh thần gúp đỡ lẫn nhau
- Hs biết cách làm việc hợp tác cùng nhau
* Hạn chế:
- Hiệu quả học tập phụ thuộc vào hoạt động của các thành viên
- Khả năng bao quát lớp cảu các thành viên gặp khó khăn
- Xác định nội dung, nhiệm vụ của mỗi nhóm và mỗi cá nhân phụ thuộc nhiều yếu
tố
- Không phải bất kì nội dung nào trong chương trình toán cũng học hợp tac theo
nhóm,
Chương II: Kiểm tra đánh giá:
Câu 13: Thế nào là đánh giá, mục tiêu đánh giá?
- Định nghĩa: Đánh giá là quá trình hình thành những nhận định, phán đoán về kết quả
công việc, dựa vào sự phân tích những thông tin thu được, đối chiếu với những mục tiêu,

tiêu chuẩn đề ra nhằm đề xuất những quyết định thích hợp để cải thiện thực trạng, điều
chỉnh nâng cao chất lượng và hiệu quả công việc.
- Mục tiêu:


+ Đối với học sinh:
* việc đánh giá kích thích hoạt động học tập, cung cấp cho họ những thông
tin phản hồi về quá trình học tập của bản thân mình để họ tự điều chỉnh quá trình
học tập, khuyến khích họ phát triển năng lực tự đánh giá.
* Phát triển năng lực trí tuệ, tư duy sáng tạo
* Nâng cao tinh thần trách nhiệm, có ý thức vươn lên, khắc phục tính chủ
quan tự mãn.
+ Đối với giáo viên:
* Xác định xuất phát điểm của HS, trình độ nhận thức, sai sót điển hình của
hs
* Đánh giá được ưu khuyết điểm của phương pháp, hạn chế của bản thân để
điều chỉnh quá trình dạy học
+ Đối với cán bộ quản lí giáo dục: Nắm được thực trạng dạy học trong một cơ sở,
đơn vị giáo dục để có thể chỉ đạo kịp thời.
Câu 14: Trình bày các kỹ thuật đánh giá
1. Quan sát:
- Dựa vào hồ sơ sự việc: là 1 bản, sổ, tệp ghi lại những hành vi của học sinh trong lớp và
ngoài lớp.
- Phiếu kiểm kê: Ghi lại những quan sát của giáo viên về hoạt động của học sinh, ghi theo
danh sách lớp, ghi tiêu chuẩn đánh giá, có sự bình luận về cá nhân học sinh và bình luận
chung về toàn lớp.
- Thang xếp hạng: Ngoài những nội dung của phiếu kiểm kê thì còn có phần xếp hạng học
sinh.
2. Sử dụng hệ thống câu hỏi bài tập:
- Câu hỏi bài tập có thể được sử dụng để đánh giá học tập, chẳng hạn để xác định trình độ

xuất phát của học sinh khi khởi đầu một bài học, để thu được phản hồi kịp thời trong quá
trình dạy học.
- Hệ thống câu hỏi bài tập phải đảm bảo yêu cầu: phù hợp yêu cầu chương trình, phải phát
biểu chính xác, rõ ràng, chỉ có một cách hiểu, bên cạnh câu hỏi yêu cầu kiến thức chuẩn
thì cần có câu hỏi tổng quát, bên cạnh việc đánh giá cho điểm thì cần phải có phần nhận
xét của giáo viên.
3. Sưu tập sản phẩm của học sinh:
Ví dụ: khi cho học sinh bài tập về nhà thì cần thu lại để kiểm tra.
4. Đánh giá qua trình diễn của học sinh:
Ví dụ: tổ chức cho học sinh trình bày nội dung bài báo cáo.
5. Tự đánh giá của học sinh: có tác dụng bồi dưỡng cho học sinh ý thức trách nhiệm, tinh
thần tự phê bình, khả năng tự đánh giá, tính độc lập, lòng tự tin và sáng tạo.
Câu 15: Những lưu ý khi soạn câu hỏi trắc nghiệm khách quan hiều lựa chọn, cho ví
dụ?


 Phần dẫn: có thể là một câu hỏi hoặc một câu bỏ lửng và phần lựa chọn là đoạn
bổ sung để phần dẫn trở nên đủ nghĩa.
 Phần lựa chọn: nên từ 3 đến 5 phương án lựa chọn, trong đó chỉ có một phương
án đúng duy nhất, các phương án còn lại gây nhiễu hay bẫy.
Những điểm cần lưu ý khi soạn câu hỏi trắc nghiệm nhiều lựa chọn:
1. Phần dẫn phải có nội dung rõ ràng, ngắn gọn, thể hiện chính xác vấn đề muốn hỏi.
2. Nên hạn chế dùng những câu dạng phủ định, nếu dùng thì phải gạch dưới hoặc in
đậm chữ không, để học sinh thận trọng khi trả lời.
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, phương trình nào sau đây không phải là phương trình
đường tròn?
a. x2 + y2  2xy + 3y  10 = 0
b. 7x2 + 7y2 + x + y = 0
c. x2  y2  2x + 3y = 0
d. 5x2  5y2  2xy + 3y + 10 = 0

3. Phương án nhiễu được thiết kế sao cho không những không đúng mà còn có vẽ hợp
lý, có sức thu hút đối với học sinh không hiểu kĩ bài.
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm M(0;1), N(1;0), P(3;4), Q(1;1),
điểm nào thuộc trục hoành?
a. M
b. N
c. P
d. Q
phương án c và d không đạt yêu cầu vì học sinh loại ngay.
4. Câu trả lời được bổ sung trong phần lựa chọn phải được viết cùng một lối hành văn,
cùng một cấu trúc ngữ pháp.
Ví dụ: Cho tập X = {0}
a. X là tập hợp số
b. X là tập hợp rỗng
c. X là tập có một phần tử là 0
d. X là tập không có phần tử nào
Câu hỏi này vi phạm vào 3 trong các lưu ý trên:
 Thư nhất: Câu dẫn là câu khẳng định;
 Thứ hai: Câu dẫn không tạo điều kiện cho sự lựa chọn ở phần sau, tức là học sinh
không hiểu câu hỏi này muốn hỏi gì;
 Thứ ba: Các phương án lựa chọn không tương đương nhau về mặt hình thức,
phương án a khẳng định về tính chất của phần tử thuộc tập X, các phương án còn
lại khẳng định về số phần tử của tập X.
5. Nên sắp xếp các câu trả lời theo một thứ tự ngẫu nhiên, tránh một vị trí ưu tiên nào
đó đối với phương án đúng.
6. Hạn chế sử dụng các phương án “tất cả đều đúng”, “tất cả đều sai”, “một kết quả
khác”,… Trong trường hợp không chọn đủ phương án nhiễu cần thiết thì tốt nhất là
chuyển sang một câu hỏi thuộc dạng trắc nghiệm khác như: câu hỏi đúng sai, câu
ghép đôi.
7. Tránh những sai lầm khi cho nhiều hơn một phương án đúng hoặc không có phương

án nào đúng.
Ví dụ: Hai đường thẳng y = x + 1 và y = x + 1 là hai đường thẳng:
a. trùng nhau
b. cắt nhau
c. song song
d. không song song
trong cầu hỏi này cả hai phương án b và d đều đúng.


8. Đối với các câu hỏi hình vẽ, nên tránh dùng các kí tự đã dùng trong phần lựa chọn
(ví dụ: A, B, C, D) vào phần trả lời hoặc trong hình vẽ vì có thể làm học sinh nhầm
lẫn khi trả lời.
Chương III: Tình huống điểm hình
A. DẠY HỌC KHÁI NIỆM
Câu 16: Những con đường tiếp cận khái niệm, cho ví dụ minh họa?
Con đường tiếp cận một khái niệm được hiểu là quá trình hoạt động và tư duy dẫn
tới một sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ: định nghĩa tường minh, nhờ mô tả, giải thích
hay chỉ thông qua trực giác ở mức độ nhận biết một đối tượng hoặc một tình huống có
thuộc về khái niệm đó hay không. Tiếp cận khái niệm là khâu đầu tiên trong quá trình
hình thành khái niệm.
Trong dạy học, người ta phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm:
 Con đường qui nạp
 Con đường diễn dịch
 Con đường kiến thiết
a) Con đường qui nạp
Xuất phát từ một sô đối tượng riêng lẻ (mô hình, kí hiệu, hình vẽ,…) giáo viên dẫn
dắt học sinh phân tích, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, phân tích để tìm ra dấu
hiệu đặc trưng của khái niệm này.
Quy trình tiếp cận khái niệm theo con đường qui nạp:
i. Giáo viên đưa ra một số ví dụ cụ thể để học sinh thấy được sự tồn tại hoặc tác

dụng của một loại đối tượng nào đó;
ii. Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm
chung của các đối tượng đang được xem xét. Có thể đưa ra đối chiếu một vài
đối tượng không có đủ các đặc điểm trên;
iii. Giáo viên gởi mở để học sinh phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên và
những đặc điểm đặc trưng của khái niệm.
Ví dụ: Lấy dạy học “khái niệm véctơ”
i. Giáo viên cho học sinh quan sát tranh vẽ có mũi tên biểu
diễn lực, vận tốc.
ii.Giáo viên dẫn dắt: các mũi tên trong hình cho biết thông tin
gì?
Học sinh: các mũi tên chỉ hướng và độ lớn của lực/vận tốc.
Giáo viên: cho đoạn thẳng AB, gọi A là điểm đầu, B là điểm
cuối và đánh dấu mũi tên “>” ở B thì ta nói AB là đoạn
B
A
thẳng đã định hướng.
iii.Giáo viên dẫn dắt học sinh đi đến định nghĩa: “véctơ là một đoạn thẳng có
hướng”.


F


v


P

Ưu điểm của con đường qui nạp: Thuận lợi cho việc huy động hoạt động tích cực
của học sinh, phát triển tư duy trí tuệ chung và tạo điều kiện cho học sinh nâng cao tính
độc lập trong việc đưa ra định nghĩa.
Hạn chế của con đường qui nạp: Tốn kém thời gian, con đường qui nạp thường
được sử dụng trong điều kiện chưa phát hiện được khái niệm nào, làm điểm xuất phát cho
con đường suy diễn.
a) Con đường suy diễn
Định nghĩa khái niệm mới xuất phát từ định nghĩa khái niệm cũ mà học sinh đã biết.
Con đường này được sử dụng khi phát hiện ra một khái niệm “loại” làm điểm xuất phát
cho con đường suy diễn.
Quy trình tiếp cận khái niệm theo con đường suy diễn:
i. Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó một số
đặc điểm mà ta cần quan tâm;
ii. Phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa nó
nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm để hạn chế một bộ
phận trong khái niệm tổng quát đó.
iii. Đưa ra ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa được đinh nghĩa.
Ví dụ: Lấy dạy học “Định nghĩa hình chữ nhật”
i. Giáo viên cho học sinh vẽ hình và nhắc lại định nghĩa
hình bình hành. Nếu hình bình hành có một góc vuông
thì 3 góc còn lại có vuông không?
A
B
ii. Giáo viên gọi tên tứ giác ABCD là hình chữ nhật. Dẫn
dắt học sinh phát biểu định nghĩa “hình chữ nhật là hình
bình hành có một góc vuông”
C
D
iii.Giáo viên vẽ hình một số ví dụ về hình chữ nhật.
Ưu điểm của con đường suy diễn: Tiết kiệm thời gian và thuận lợi cho việc tập dượt

cho học sinh tự học những khái niệm toán học thông qua sách và tài liệu, hoặc nghe
những báo cáo khoa học trên lĩnh vực toán..
Hạn chế của con đường qui nạp: không khuyến khích học sinh phát triển năng lực
trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa..
Câu 17: Thế nào là phân loại và hệ thống hóa khái niệm?
 Phân chia khái niệm cũng là một thao tác logic nhằm vạch ra ngoại diên của khái
niệm bằng cách chỉ ra những khái niệm cụ thể nằm trong khái niệm trừu tượng đã có
bằng những tiêu chuẩn xác định.
 Việc phân loại khái niệm giúp học sinh hiểu rõ bản chất của khái niệm hơn.
 Muốn phân loại triệt để phải tuân theo các điều kiện sau:
 Tuân theo một dấu hiệu nhất định;
 Việc phân loại phải triệt để.


Nghĩa là: Nếu khái niệm a có ngoại diên A, khái niệm a được phân chia thành các
khái niệm a1, a2, a3, … ai với các ngoại diên A1, A2, A3, … Ai phải thỏa mãn:
k

Ai �� i  1, k và

A  U Ai
i 1

A �
Aƹj
(i
 Các khái niệm được phân chia phải độc lập. Tức là: i
 Cách phân chia tốt nhất đảm bảo các điều kiện trên là phép nhị phân.
Ví dụ: Phân chia các khái niệm của tứ giác:
Tứ giác

1 cặp cạnh //
Hình thang
Cặp cạnh còn lại //
Hình bình hành
Có một góc
vuông
Hình chữ nhật
Hai cạnh kề bằng
nhau
Hình vuông

j)

Không
có
cặp cạnh //
Cặp cạnh còn
lại không //

Không có góc
vuông

Hai cạnh kề không
băng nhau

Hệ thống hóa khái niệm là hệ hống hóa quan hệ chủng loại giữa các khái niệm theo cấu
trúc đa giai đoạn, trong đó mỗi bước phân chia theo phép nhị phân ta chỉ trình bài một
khái niệm chung, khái niệm thứ hai ngầm ẩn.
Tứ giác

2 cạnh song song
Hình thang
Hai cạnh bên
2 góc ở đáy bằng nhau Có 1 góc
vuông
song song
Hình thang cân
Hình thang vuông
Hình bình hành
Có
1
2 cạnh
góc
Có 1 góc vuông
kề
=
vuông
nhau
Hình chữ nhật
Hình thoi
2 cạnh
Có 1 góc
kề
=
vuông
nhau
Hình vuông
B. DẠY HỌC ĐỊNH LÝ – DẠY HỌC BÀI TẬP

Câu 18: Vị trí, yêu cầu dạy học định lý.
- Vị trí của định lý: Định lý cùng với các khái niệm toán học hình thành nội dung cơ bản
của môn toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kỹ năng bộ môn, phát triển năng lực trí tuệ
chung, rèn luyện tư tưởng, phẩm chất, đạo đức.
- Yêu cầu khi dạy học định lý:
+ Học sinh nắm được hệ thống định lý và mối quan hệ giữa chúng, vận dụng vào giải bài
toán và giải quyết vấn đề thực tiễn.
+ Học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lý và chứng minh định lý là yếu
tố quan trọng trong phương pháp làm việc trên lĩnh vực toán học.
+ Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh toán học.
+ Thông qua học tập định lý, học sinh biết nhìn nhận nội dung toán học dưới góc độ phát
hiện và giải quyết vấn đề ở mức độ, yêu cầu của chương trình phổ thong.
Câu 19: Các con đường dạy học định lý, so sánh, cho ví dụ?
- Có 2 con đường dạy học định lý: Con đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn.
+ Con đường có khâu suy đoán: Gợi động cơ và phát biểu vấn đề -> Dự đoán và phát biểu
định lý -> Chứng minh định lý -> Vận dụng định lí để giải quyết vấn đề -> Củng cố.
+ Con đường suy diễn: Gợi động cơ và phát biểu vấn đề -> Suy diễn dẫn tới định lý ->
Phát biểu định lý -> Vận dụng định lí để giải quyết vấn đề -> Củng cố.
- So sánh 2 con đường dạy học định lý:
Con đường có khâu suy đoán (CĐCKSĐ)
Con đường suy diễn (CĐSD)
- Việc dự đoán và phát hiện diễn ra trước - Việc dự đoán, phát hiện và chứng minh
việc chứng minh định lý.
định lý, nhập lại thành 1 bước.
- Hạn chế: Tốn nhiều thời gian.
- Hạn chế: đối lập ưu điểm của CĐCKSĐ.
- Ưu điểm:
- Ưu điểm:
+ Khuyến khích tìm tòi dự đoán, phát hiện + Ngắn gọn, ít tốn thời gian.
vấn đề học tập tri thức toán trong quá trình + Tạo cơ hội cho Hs tập dợt tự học theo

nó đang nảy sinh và phát triển.
sách báo toán học.
+ Hs có ý thức rõ ràng về sự phân biệt và
mối liên hệ giữa suy đoán và chứng minh.
+ Khuyến khích phát triển năng lực trí tuệ.
- Con đường này được sử dụng khi tồn tại 1 - Còn đường này được sử dụng khi chưa
cách tìm tòi, phát hiện định lý mà Hs có thể thiết kế được một cách dễ hiểu cho Hs có
hiểu được và có thể tự mình thực hiện tới thể tìm tòi, phát hiện định lý, hoặc khi quá
mức độ nhất định
trình suy diễn dẫn tới định lý là đơn giản và
ngắn gọn.
VD: Dạy học định lý BĐT Cauchy.
VD: Dạy học định lý Pytago
- Bước 1:
Bước 1:
Gv cung cấp cho Hs 2 pp để chứng minh Có thể vận dụng pp Vecto để chứng minh:
uuur2 uuur 2 uuur2
BĐT.
- Biểu diễn: AB  AC  BC
Pp1: Biến đổi tương đương BĐT cần chứng
(Trong đó tam giác ABC vuông tại A, với
minh về BĐT đúng đã biết.
AB  c, AC  b, BC  a )
Pp2: Từ BĐT đúng đã biết đi đến BĐT cần


chứng minh.
Từ đó Gv yêu cầu Hs chứng minh BĐT:
a  b �2 ab a, b �0 .

Lời giải mong đợi: Với a,b không âm, ta có
a  b �2 ab � a  b  2 ab �0

�



a b



2

�0

(đúng).

Vậy a  b �2 ab a, b �0 (đúng).
Bước 2: Gv phát biểu Đly BĐT Cauchy.
Bước 3: Củng cố và vận dụng định lý.
- Nhấn mạnh giả thiết và kết luận Đlí, nêu
cách ghi nhớ.
- Dùng chứng minh BĐT, vận dụng giải bài
tập.

- Gv hướng dẫn Hs chứng minh:

uuur2
uuur uuu
r 2

BC  AC  AB
uuur 2 uuu
r2
uuur uuu
r uuur 2 uuu
r2
 AC  AB  2 AC. AB  AC  AB





- Gv: Tính vuông
góc của A được sử dụng
uuur uuur
như thế nào? : 2 AC. AB  0 .
- Đặt vấn đề: Nếu góc A không vuông thì
uuur uuu
r uuur uuur
AC. AB  AC . AB .cos A

sao?:
2
2
2
Hãy biểu diễn: a  b  c  2bc.cos A .
Từ đó ta phát biểu định lý.
Ta đã c/m Đlí trước khi phát biểu định lý.
Bước 2: Gv phát biểu định lý.
Bước 3: Củng cố và vận dụng định lý.

(giống VD khâu suy đoán).

Câu 20: Cấu trúc (đặc trưng và thành phần) của chứng minh. Yêu cầu, sai lầm khi
chứng minh. Phân tích chứng minh.
Cấu trúc (đặc trưng và thành phần) của chứng minh:
- Đặc trưng:
+ Chứng minh là 1 dãy hữu dạn các mệnh đề được kết nối với nhau theo vai trò các mệnh
đề, mà không phải theo nội dung hay nghĩa của mệnh đề.
+Các mệnh đề được tạo ra bằng phép thay thế của 1 mệnh đề cũ trước đó bằng mệnh đề
mới. Và việc thay thế nhờ vào 1 mệnh đề chuẩn.
- Thành phần:
+ Các điều kiện vào (Tiền đề): Là mệnh đề đã cho, các mệnh đề kết luận của bước trước
hoặc là các kết luận của các mệnh đề đúng đã biết.
+ Các quy tắc thay thế (Luận cứ): Là định lý, định nghĩa, quy tắc, công thức … đã biết.
+ Các kết luận (Luận đề): Kết luận cuối cùng được gọi là luận đề.
+ Các quy tắc suy diễn (Luận chứng): là các quy tắc suy luận.
- Yêu cầu chứng minh:
+ Tiên đề và luận cứ phải chân thật.
+ Luận chứng phải hợp logic.
+ Không đánh tráo luận đề, không được đổi kết luận thành 1 nội dung khác không tương
đương.
- Một số sai lầm của chứng minh:
+ Về mặt tiền đề: Do chỉ dựa vào trực giá hay sử dụng mệnh đề chưa được chứng minh.
+ Về mặt luận cứ: Áp dụng sai định lý, tính chất, định nghĩa, tiên đề..
+ Về mặt luận đề: thay mệnh đề cần chứng minh bằn mệnh đề không tương đương.
+ Về mặt luận chứng: Sử dụng quy tắc suy luận không hợp logic.


VD: a  b �2 ab

(1).

a  b �2 ab � a  2 ab  b �0

�



a b



2

�0

(2) (đúng).
(2) đúng nên (1) đúng .
p � q, q
p
Chứng minh trên sử dụng sai quy tắc suy luận
.

Sai về luận chứng.
- Phân tích chứng minh:
VD: 1. Cho hình chóp tứ giác đều, M là trung điểm SC, đáy = cạnh bên = a.

 
Chứng minh: 
Phân tích theo bảng:

Tiên đề
BC = BS
VBCS cân. MS = MC (gt)

MBD  SAC 

.

DC = SC
VDSC cân. MS = MC (gt)

Kết luận
Tam giác BCS cân tại B (1)
MB  SC (2)

Luận cứ
Đ/n tam giác cân.
Tính chất tam giác cân

VDSC cân t ạ i D (3)
DM  SC (4)

Đ/n tam giác cân.

(2) (4)

SC   MBD 

(5)

 SCD    MBD 

(5)

Tính chất tam giác cân
Đk đường thẳng vg mp
Tính chất 2 mp vg

VD: Dạy học chứng minh định lý “Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau”.
- Chứng minh:
� �
Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC và D  C �VADC VBCD � AC  BD .
Phân tích theo bảng:
Tiên đề
Kết luận
Luận cứ
ABCD là hình thang cân
AD = BC (1)
Đ/n hình thang cân.
� C
�
ABCD là hình thang cân
Đlí hình thang cân.
D
(2)

(1) (2) và DC cạnh chung
(3)

VADC VBDC (3)

AC = BD

Đlí c-g-c.
Đ/n 2 tam giác bằng nhau.

Câu 21: Những yêu cầu chủ yếu của lời giải bài tập? Cho ví dụ?
- Lời giải không sai lầm
VD: a  b �2 ab

(1).

a  b �2 ab � a  2 ab  b �0
�



a b



2

�0

(2) (đúng).
(2) đúng nên (1) đúng .


p � q, q

p
Chứng minh trên sử dụng sai quy tắc suy luận
.

- Lời giải phải có lí luận
4
2
VD: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình x  2mx  4  0 (1) có nghiệm
2
2
HS giải: đặt x  t và đưa về phương trình t  2mt  4  0 (2) rồi tìm điều kiện để (2) có
nghiệm (  �0 ). Từ đó suy ra (1) có nghiệm thì m �2 hoặc m �2 . Điều kiện này chỉ

đủ để (2) có nghiệm mà không cho (1), ví dụ m = -3 < -2 thì (2) có hai nghiệm âm nhưng
(1) vô nghiệm
- Lời giải phải đầy đủ
uuu
r uuu
r
uuu
r
CD

AB
VD: Cho AB và một điểm C, hãy dựng điểm D sao cho
, học sinh chỉ xét
trường hợp C nằm ngoài đường thẳng AB, thiếu trường hợp C thuộc đường thẳng AB.
- Lời giải phải đơn giản nhất
2
VD: Giải phương trình (2  3) x  2( 3  1) x  3  0 (1)

Nhiều hs giải bằng cách tính  ' . Lời giải gọn dựa trên nhận xét a – b + c = 0 suy ra

x  1; x  3  2 3
Câu 22: Những sai lầm chủ yếu của lời giải bài tập và biện pháp khắc phục. Cho ví
dụ?.
a. Sai lầm chủ yếu:
- Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm, giả thuyết hay
kết luận của định lý…
VD: Hs nhầm lẫn: “Tứ giác có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi”.
- Sai sót về phương pháp luận.
VD: a  b �2 ab (1).
a  b �2 ab � a  2 ab  b �0
�



a b



2

�0

(2) (đúng).
(2) đúng nên (1) đúng .
p � q, q
p
Chứng minh trên sử dụng sai quy tắc suy luận
.

- Sai sót do tính toán sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay sai hình vẽ.
2
VD: Hs nhầm lẫn: “Với a không âm. x  a � x  a ”.
b. Biện pháp:
- Tập cho Hs có thói quen kiểm tra lại lời giải:

sin x
0
VD: Khi giải phương trình: tan x
. Hs chỉ đặt điều kiện cos x �0 . Nên nhanh chóng
tìm nghiệm mà quên còn phải đặt điều kiện sin x �0 .


- Đưa cho Hs một số lời giải sai và yêu cầu Hs phát hiện nguyên nhân sai và giải lại cho
đúng.
2
VD: ( x  1)  1 � x  1  1 � x  2

Lời giải sai vì:
Lời giải đúng:

A2  A
( x  1) 2  1

x 1  1
x2
�
�
��

��
x  1  1 �
x0
�

- Lời giải phải có lý luận: một số học sinh thường hay kết luận vội vàng, thiếu cơ sở lý
luận nhất là những gì mà học sinh cảm nhận bằng trực giác.
�a  x
� a.b  x. y
�
b

y
�
” mà quên điều kiện x, y �0
VD: Hs mắc sai lầm: “

BÀI TẬP
A. Phương trình - bất phương trình

Bài 1: cho phương trình x  2  4  x  x  6 x  11 (*)
1. Giải pt bằng 2 cách.
2. Hướng dẫn HS phân tích và tìm ra các cách giải.
Giải:
Cách 1: “ Bình phương 2 vế”
ĐK: 2 �x �4
2

( x  2)(4  x )   x 2  6 x  11
(*) � 2+2

2

Đặt t= x  6 x  11 ( t > 0) ta được:
2
2
2+2 t  3 = t � 2 t  3 = t -2
2

�2
t 2 0
�
�
��
t 3
�
3 ‫�ڣ‬
t
2 t
2
�
3  ‫�ڣ‬
t
2 t
2
�
�
�
�
�

2
�
�
4  t  3    t 2  2 
 t  2   t 3  2t 2  4   0
t 4  4t 2  4t  8  0
�
�
�
�
2
so với đk t > 0 � t  2 � x  6 x  11 = 2
� x3
Cách 2: ĐK: 2 �x �4

VT = x  2  4  x � 2( x  2  4  x)  2 (do x  2 �0 , 4  x �0 )
x 2  6 x  11   x  3  2 �2
2

VP =

�x  2  4  x
� VT  VP  2 � �
�x  3
VT = VP


Vậy x = 3 (thay vào PT � thỏa mãn)
Bài 2: Giải bpt:
2

2
1. x  2 x  3  x  6 x  11  3  x  x  1

x

x

35
�
x 2  1 12

2.
Giải:
Cách 1:
1. ĐK: 1 �x �3 ta có:
x 2  2 x  3  x 2  6 x  11  3  x  x  1
�

x 2  2 x  3  x  1  3  x  x 2  6 x  11

� ( x  1)2  2  x  1  (3  x) 2  2  3  x
u  x 1
�
�
Đặt �v  3  x ta được f (u)  f (v)
2
Xét hàm đặc trưng: f (t )  t  2  t , 0 �t �2 , f( t) liên tục trên [0;2]

f ' (t ) 

t



1

0

Ta có :
với 0  t �2
suy ra f '(t ) đồng biến trên [0;2]
t2  2

2 t

f (u )  f (v)
� x 1  3  x

� x2

Vậy bpt có tập nghiệm là 2  x �3
Cách 2:
x 2  2 x  3  x 2  6 x  11  3  x  x  1
�
�

4x  8



4  2x

3  x  x 1
2x  4

0
3  x  x 1
x 2  2 x  3  x 2  6 x  11
x 2  2 x  3  x 2  6 x  11
2(2 x  4)

�
�
2
1
� (2 x  4) �

� 0
2
2
3  x  x 1 �
� x  2 x  3  x  6 x  11
� 2x  4  0
� x2

Vậy bpt có tập nghiệm là 2  x �3
x

35
�

x  1 12

2.
Cách 1:

x

2

(1)


x  1
�
�
ĐK �x  1

TH1: x<-1 Bpt(1) vô nghiệm.
TH2: x >1 ta có:
x2
2 x2
1225

�
2
2
x 1
x  1 144
x4
2x2

1225
� 2


�0
x 1
x 2  1 144

(1) � x 2 

Đặt

t

x2
x2  1

 t �0  ta được:

� 25
t�
�
1225
12
2
t ۳
2t
�
0 �
�

49
144
�
t �
� 12

t

25
12

x2
x2 1

25
12

x4
625
2
x  1 144

� 5
x�
�
3
�2 25
�
x �
�

5
9
�
�
144
��
x 4 1225 x 2 1225 0
x
�
�
25
3
�
x2 �
�
�
5
5
� 16
�
 �x �
4
�4
5
� 5� �
�
x ��
1; ��� ; ��
3
� 4� �

�
Kết hợp với đk x  1 ta đc

B. Hình học không gian
o
�
Bài tập 1: Cho tứ diện OABC với OA = a, BO = b, OC = c, AOB  90 , các góc
� �
BOC
AOC  60o .
a) Tính VOABC bằng hai cách

b) Hướng dẫn phân tích tìm đường lối giải.
Giải:
a) Tính VOABC bằng hai cách


Cách 1: Gọi H là hình chiếu của C xuống mp(OAB)
Từ H kẽ đường thẳng vuông góc OA và đường thẳng vuông góc OB lần luột tại K và E
Khi đó CH là đường cao của tứ diện OABC, tứ giác OKHE là hình chữ nhật.
1
1
SOAB  OA.OB  ab
2
2
(đvdt)
c
o
�
OE = OC. cos COE = c. cos 60 = 2

c
o
�
OK = OC. cos COK = c. cos 60 = 2
� OE  OK
Suy ra: OKHE là hình vuông
c 2
OH 
2
nên
Xét OCH vuông tại H
CH 2  OC 2  OH 2
2

�c 2 �
 c � �
�2 �
c2

2
c 2
� CH 
2
1
1 1
c 2 abc 2
VOABC  SOAB .CH  . ab.

3
3 2

2
12 (đvtt)
Cách 2: Lập hệ trục tọa độ Oxyz, chiều dương Ox đi qua A, chiều dương Oy đi qua B thì
A(a;0;0); B(0;b;0)
Giả sử C ( x0 ; y0 ; z0 ) , z0  0
2

c
2
c
y0  OE 
2
c 2
z0  CH 
2
uur
OA  ( a;0;0)
uuu
r
OB  (0; b;0)
uuu
r �c c c 2 �
OC  � ; ;
�
�2 2 2 �
x0  OK 


uur uuu
r

�
OA; OB � (0;0; ab)
�
�
uur uuu
r uuu
r abc 2
�
OA; OB �
.OC 
�
�
2
u
u
r
u
u
u
r
uuu
r abc 2
1
VOABC  �
OA; OB �
.OC 
�
6�
12 (đvtt)
b) Hướng dẫn phân tích tìm đường lối giải.

- Thể tích tứ diện được tính theo công thức nào?
(công thức tính thể tích khối chóp)
- Tứ diện này có thể coi hình chóp đỉnh C được hay không
(có thể coi tứ diện OABC là hình chóp đỉnh C thì đáy là tam giác vuông OAB có diện
tích tính được ngay, vấn đề còn lại là tính khoảng cách từ C đếm mp(OAB)).
- Hãy khai thác triệt để giả thiết của bài toán để tính được khoảng cách từ C đến
mp(OAB)
o
(OC = c và OC tạo với OA, OB các góc bằng 60 nên có thể tính được khoảng cách từ C
đến mp(OAB) nhờ khoảng cách từ C đến OA và OB).
Bài tập 2: Hình chóp tứ giác điều cạnh đáy bằng a, đường cao bằng h
o
a) Xác định h theo a để góc giữa hai mặt bên kề nhau bằng 60

a 2
b) Khi h = 2 thì mp qua AC vuông góc với mp(SAD) chia thể tích khối chóp theo tỉ
số nào.
Giải:

a) Gọi O = AC � BD
Tứ giác SABCD đều � ABCD là hình vuông � AC = BD = a 2
Kẽ AH  SD tại M � CM  SD ( SAD  SCD )
�
khi đó ((ASD),(CSD))=(AM,CM) = AMC
o
�
Giả sử: AMC  60
mà AM = CM �  AMC đều
� AM = AC = MC = a 2
� MC > CD (mẫu thuẩn)

o
�
vậy: AMC  120
Xét OMC vuông tại O
a 2
OC
a 6
OM 
 2 o
�
tan 60
6
tan OMC
Xét SOD vuông tại O
1
1
1


2
2
SO
OM
OC 2
1
1
1
6 2

4
� 2 

 2 2  2
2
2
h
a
�a 6 � �a 2 � a a
�
� �
�
�6 � �2 �

a2 a
�h

4 2
b) Do AM  SD, CM  SD � SD  ( AMC )
mà SD �( SAD) nên (AMC)  ( SAD)
vậy mp qua AC vuông góc với mp(SAD) là mp(AMC)
a 2
h
2 � SO = OD � SOD cân tại O � M à trung điểm của SD
khi
1
� d(M,(ACD)) = 2 d(S,(ACD))
1
1
VMACD  VSACD

VSACD  VSABCD
�
2
2
mà
1
VMACD  VSABCD
�
4
3
VSBCMA  VSABCD
�
4
V
1
� MACD 
VSBCMA 3
Bài tập 3: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’. Xác định đường vuông góc chung của
hai đường thẳng AD’ và BD.
a) Giải bài toán bằng hai phương pháp.
b) Những khó khăn và sai lầm HS thường mắc phải khi giải toán, Hướng khắc phục.
Giải
a)
Cách 1: