GT12CB 59 61

Tiết 59-60-61

§3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

I.

Mục tiêu:
1. Về kiến thức:
- Giúp học sinh hiểu được công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bỡi một đường cong và
trục hoành hoặc bỡi hai đường cong.
- Giúp học sinh hiểu được công thức tính thể tích vật thê và vật thể tròn xoay.
2. Về kĩ năng:
- Tính diện tích của hình phẳng bằng tích phân.
- Tính được thể tích của vật thể tròn xoay.
3. Về thái độ:
- Giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, chính xác, yêu thích môn học.
- Rèn luyện cho học sinh tính hợp tác đoàn kết trong hoạt động tập thể.
4. Năng lực hướng tới:
- Năng lực tự học, sáng tạo
II. Phương pháp và kĩ thuật dạy học:
1. Phương pháp dạy học: Phương pháp đặt vấn đề, thuyết trình, hoạt động nhóm (nhỏ).
2. Kĩ thuật dạy học: Kĩ thuật đặt câu hỏi, kỉ thuật tổng hợp kiến thức, kỉ thuật hợp tác.
III. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
1. Chuẩn bị của giáo viên: Giáo án, SGK, thước kẻ, phấn, hệ thống bài tập bổ trợ.
2. Chuẩn bị của học sinh: Vở, SGK.
IV. Tiến trình lên lớp:
1. Hoạt động khởi động:

Chúng ta có thể tính diện tích của hình trên bằng tích phân qua tiết học hôm nay.
2. Hình thành kiến thức:
2.1. Tìm hiểu công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Hoạt động của giáo viên và học sinh
GV : Hướng dẫn học sinh từ ý nghĩa hình học
của tích phân để hình thành nên hai vấn đề sau,
rồi tổng quát nên công thức thứ nhất.
y  f  x
 a; b .
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
f  x  �0, x � a; b
+ Nếu
thì diện tích hình
phẳng giới hạn bỡi
y  f  x
,
trục
 y  0  và
hoành
hai đường thẳng
x  a; x  b là :

Nội dung kiến thưc
I. Tính diện tích hình phẳng
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục
hoành.
Diện tích của hình phẳng giới hạn bới đường cong
y  f  x
 a; b , trục hoành và hai đường
liên tục trên
thẳng x  a; x  b là :
b

S�
f  x  dx
a

Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường
3
cong y  x , trục hoành và hai đường thẳng x  1 ,
x 2.
Giải


b

S�
f  x  dx

Ta có :
Vậy :

a

+ Nếu

x 3  0 � x  0 � 1; 2 

2

0

2

x4
S�
x dx  �
x dx  �
x dx 
4
1
1
0

f  x  �0, x � a; b 

3

3

0

3

x4

4

2



17
4

thì diện tích hình
1
0
đvdt
y  f  x
phẳng giới hạn bỡi
, trục hoành *Chú ý : Nếu bài toán cho thiếu cận (một hoặc hai
 y  0  và hai đường thẳng x  a; x  b là :
đường thẳng x  a; x  b ) thì phải giải phương trình
b
hoành độ để thêm cận.
S  �
f  x  dx
y

y =-2/X;1;3

1

-1

1

-1

-2

a

HS : Tiếp thu

-3

2.2. Tìm hiểu công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi hai đường cong
Hoạt động của giáo viên và học sinh
Nội dung kiến thưc
GV : Từ các công thức xây dựng công thức 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
tính diện tích trên yêu cầu học sinh nêu công Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
thức tính diện tích giới hạn bởi hai đường cong y  f  x 
y  g  x
 a; b , trục
;
cùng liên tục trên
như sau :
hoành và hai đường thẳng x  a; x  b là :
b
y
y=f(x)
S

�f  x   g  x  dx
B
A
a

a

b

A’

B’

x

y=g(x)

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai
đường thẳng x  0, x   và hai đường cong y  cos x ,
y  sin x .
Giải
cos x  sin x  0 � x 

Ta có :
HS : Thực hiện theo yêu cầu giáo viên.

GV : Vận dụng hường dẫn học sinh làm 2 ví dụ
S�
cos x  sin x dx
0
Vậy :




4


� 0;  
4
.



 cos x  sin x  dx  �
 cos x  sin x  dx
�

2 2


4

0

(đvdt)
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai
3
2
đường cong y  x  x và y  x  x .
Giải

x
Ta có :

3

 x    x  x2   0 � x3  x 2  2 x  0

� x  2 �x  0 �x  1 .
0

S

Vậy:

�x  x
3

1

2

2

 2 x dx  �
x 3  x 2  2 x dx 
0

37
12

đvdt

2.3. Tìm hiểu công thức tính thể tích của vật thể
Hoạt động của giáo viên và học sinh
GV : Trình bày công thức tính thể tích của vật

thể cho học sinh.
HS : Nhớ và vận dụng.
GV : Chú ý các giả thiết :
+ (T) nằm trọn giữa 2 mp  Ox và cắt Ox tại a
và b.

Nội dung kiến thức
II. Tính thể tích
1. Thể tích của vật thể
Giả sử vật thể (T) nằm trọn giữa hai mặt phẳng song
song



và

 .

Ta chọn trục Ox sao cho nó vuông góc tại a và b

 a  b

x
2

3

4

+
+

S  x
S  x

là gì ?
phải là hàm số liên tục trên

 a; b 

.

Giả sử mp
x � a; b 
.

    Ox

cắt Ox tại điểm có hoành độ x,

 

Giả sử rằng thiết diện của mp
và (T) có diện tích
z
S  x
 a; b  .
mà ta có thể xem là một hàm số của x trên
S  x

 a; b  .
Giả thiết thêm rằng
là hàm số liên tục trên
b

S �
S ( x)dx(T
)
a
Thể tích vật thể (T) là :
a
x
2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt : SGK
y

2.4. Tìm hiểu công thức tính thể tích khối tròn xoay
Hoạt động của giáo viên và học sinh
GV :
(C)
y
x
a

b

GV : Cho học sinh tính diện tích của thiết diện
để từ đó suy ra công thức tính thể tích của vật
thể tròn xoay.
HS : Trình bày công thức.
GV : Cho học sinh lên bảng vận dụng công

thức và tính.
HS : Trình bày trên bảng.
GV : Hướng dãn học sinh tính tích phân.

Nội dung kiến thức
III. Thể tích khối tròn xoay
f  x
 a; b . Gọi (H) là hình
Cho hàm số
liên tục trên
y  f  x
phẳng được giới hạn bởi (C) :
. Các đường
thẳng x  a, x  b và trục Ox.
Thể tích vật tròn xoay được tạo thành do quay (H) một
vòng quanh Ox là :
b

V   .�
y 2 .dx
a

(1)
Ví dụ : Tính thể tích vật tròn xoay sinh ra bởi phép quay
xung quanh Ox của hình phẳng được giới hạn bởi (C) :
y  sin x (0  x  )
Giải : Áp dụng công thức ta có:
V=





0

0

 .�y 2 .dx   .�
sin 2 x.dx


V= 2 .
2

3. Luyện tập
Hoạt động của giáo viên và học sinh
Nội dung kiến thức
GV : Cho học sinh nhắc lại các công thức tính Bài 1 ( Bài 4 SGK)
thể tích vật thể tròn xoay ?
Tính thể tích của vật tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình
b
phẳng
giới hạn bởi các đường sau đây khi nó quay
 y2.dx
quanh trục Ox.
a
HS : V =
a) y = 0 , y = 1 – x2
GV : Các câu a) , b) , c) dùng công thức nào ?
b) y = cosx, y = 0 , x = 0, x = 

b
2

 y .dx
a
HS : V =
c) y = tanx , y = 0 , x = 0, x = 4
GV : Câu a) cho học sinh xđ giao điểm (C) và
Giải:
Ox
2
a) Ta có : 1  x  0 � x  �1
Cho học sinh lên bảng sửa câu a; b; c.

�


16
a) 15

2
b) 2


 (1  )
4
c)

1

Vậy :

1

V  �
 1  x 2  dx   �
 1  2 x 2  x 4  dx
1

2

1

b

x


1

� 2 x 3 x 5 � 16
 �x 
 � 
5 �1 15
� 3
đvtt.

cos x  0 � x  � 0;  
2
b) Ta có :

�2
� 2

� 2
�
2
V   ��
cos xdx  �
cos xdx �

�0
� 2
�
2
�
Vậy :
đvtt
��
tan x  0 � x  0 ��
0;
� 4�
�
c)

4

� �
V �
tan 2 xdx   �

1 �
� 4 �đvtt.
0
Vậy

GV : Cho học sinh vẽ hình vào vở.
y

y =(-x^2+4x-3)
y =4x-3
y =-2x+6

4

3

2

1
x
-1

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi
(P) : y = - x2 + 4x – 3 và các tiếp tuyến  1,  2 của nó
tại các điểm A(0, -3), B(3, 0).
Giải
Phương trình các tiếp tuyến :
1 : y = 4x – 3
2 : y = -2x + 6
S = S1 + S2

-4

GV : Để tính được diện tích hình phẳng ta cần
biết yếu tố nào ?
HS : Phương trình các tiếp tuyến
GV : Gọi học sinh lên bảng viết phương trình
các tiếp tuyến và tính diện tích.
HS : Trình bày kết quả
GV : Sửa bài cho học sinh.
4. Ứng dụng và mở rộng.
Câu 1

Câu 2

=

3
2
0

��
�y

S=

1

3
2
0

3

 yp �
dx  �
y2  y p �
3�
�
�
�
2

3

2
3  x  3  .dx
�x dx  �
2

2


Câu 3

Câu 4

5. Hướng dẫn học sinh học bài ở nhà:
a. Hướng dẫn học bài cũ:
 Xem lại các ví dụ đã giải và giải lại chúng.
 Làm bài tập 1,2,3,4,5,6,SGK và bài tập trắc nghiệm.
b. Chuẩn bị bài mới:
 Ôn lại các kiến thức của chương III.
 Tiết sau “Ôn tập chương III”.