Giao anDS11 07 12

Tiết: 07 � 12

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức:
- Nắm được cách giải phương trình lượng giác cơ bản sinx=a; cosx=a; tanx=a; cotx=a.
- Nắm được điều kiện của a để phương trình sinx = a; cosx=a có nghiệm.
- Nắm được điều kiện xác định của phương trình tanx=a; cotx=a.
- Nắm được cách giải các phương trình lượng giác cơ bản.
2. Kỹ năng:
- Biết viết công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trong các trường hợp số đo
được cho bằng radian và số đo được cho bằng độ.
- Biết cách sử dụng các kí hiệu arcsina; arccosa; arctana; arccota khi viết công thức nghiệm
của các phương trình lượng giác cơ bản.
- Kĩ năng vận dụng phương pháp giải các phương trình lượng giác cơ bản vào việc giải các
phương trình lượng giác khác.
3. Thái độ:
- Cẩn thận, chính xác khoa học, chú ý tập trung trong giờ.
4. Năng lực hướng tới
- Năng lực tự học; giải quyết vấn đề, tính toán.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên
- Giáo án, SGK, đồ dùng dạy học
2. Học sinh
- SGK, đồ dùng học tập.
III. PHƯƠNG TIỆN, PHƯƠNG PHÁP, KỸ THUẬT DẠY HỌC
Thuyết trình, nêu và giải quyết vấn đề. Hoạt động nhóm.
IV. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
Tiết 1: Giới thiệu, nội dung 2.1, luyện tập bài 1. Tiết 2: Nội dung 2.2, luyện tập bài 2. Tiết 3:
Nội dung 2.3, luyện tập bài 3. Tiết 4: Nội dung 2.4, luyện tập bài 4. Tiết 5: Nội dung 2.5, luyện

tập bài 5,6. Tiết 6: Nội dung 2.6, luyện tập, vận dụng và tìm tòi mở rộng.
1. Giới thiệu
Ở lớp 10, chúng ta đã được làm quen đến khái niệm giá trị lượng giác. Và trong chương đầu
tiên của lớp 11, chúng ta sẽ đi giải các phương trình mà trong đó có chứa các giá trị lượng giác,
gọi là phương trình lượng giác. Bài đầu tiên sẽ giúp các em tìm hiểu về định nghĩa và các vấn
đề liên quan đến hàm số lượng giác.
2. Nội dung bài học
2.1. Phương trình sinx=a(1).
2.1.1. Hoạt động khởi tạo:
Dựa vào đồ thị của hàm số y = sin x, tìm các giá trị của x sao cho sinx = 0 ?
Gợi ý: x  ....; 2 ;  ;0;  ;2 ;.....


y
1

x
-2π

-3π/2

-π

0

-π/2

π/2

π

3π/2

2π

-1

2.1.2. Hình thành kiến thức:
+ a > 1 : PT (1) VN.
+ a �1 : PT (1) có nghiệm x = a + k2p, x = p - a + k2p, k �Z .
p
p
�a � và sin a = a thì ta viết a = arcsina . Khi đó nghiệm PT
2
2
(1) là : x = arcsina + k2p, k �Z và x = p - arcsin x + k2p, k �Z .

* Nếu a thoả mãn điều kiện ✽ Chú ý :

�
x = a + k2p,
k �Z
.
x = p - a + k2p, k �Z
�

+ sin x = sina � �
�

�

f (x) = g(x) + k2p, k �Z

+ sin f (x) = sin g(x) � �
�
f (x) = p �

g(x) + k2p, k �Z

�
x = b + k3600
�
, k �Z
+ sin x = sinb � �
x = 1800 - b0 + k3600
�
0

0

p
+ k2p, k �Z .
2
p
+ sin x = - 1� x = - + k2p, k �Z
2
+ sin x = 0 � x = kp, k �Z

+ sin x = 1� x =

Ví dụ: Giải phương trình:

1
2

a) sin x= .

1
3

b) sin x= .

Gợi ý:
� p
�=
x
+ k2p, k �Z
� 6
1
p
1
p
�
�
a) Vì = sin nên sin x = � sin x = sin
2
6
2
6
� 5p
x=
+ k2p, k �Z

�
� 6
�
1
�=
x arcsin + k2p
1 �
3
, k �Z
b) sin x = � �
3 �
1
x = p - arcsin + k2p
�
�
3

2.2.

Phương trình cosx=a(2).
2.2.1. Hoạt động khởi tạo:
Dựa vào đồ thị của hàm số y = cos x, tìm các giá trị của x sao cho cosx = 0 ?


Gợi ý: x  .....; 

3   3
;  ; ; ;....
2
2 2 2

y
1

x
-2π

-3π/2

-π

0

-π/2

π/2

π

3π/2

2π

-1

2.2.2. Hình thành kiến thức:
+ a > 1 : PT (2) VN.
+ a �1 : PT (2) có nghiệm: x = �a + k2p, k �Z .
✽

+

Chú ý : + cos x = cosa � x = �a + k2p,

k �Z .

cos f  x  cosg x � f  x  �g x  k2 , k �Z .

+ cos x = cosb0 � x = �b0 + k3600 k �Z
+ Nếu a thoả mãn điều kiện 0 �a �p và cos a = a thì ta viết a = arccosa . Khi đó nghiệm PT (2) là :
x = �arccosa + k2p, k �Z
+ cos x = 1 � x = k2p, k �Z .
+ cos x = - 1� x = p + k2p, k �Z
p
+ cos x = 0 � x = + kp, k �Z
2
Ví dụ: Giải các phương trình sau :
p
1
a) cos x = cos ;
b) cos x = - ;
4
2

Gợi ý:
p
p
a) cos x = cos � x = � + 2kp;k ��.
4
4

b)
1
2p
� cosx = cos( )
2
3
2p
� x = � + 2kp;k ��.
3
cos x =-

2.3.

Phương trình tanx=a.
2.3.1. Hoạt động khởi tạo:
Dựa vào đồ thị của hàm số y = tan x, tìm các giá trị của x sao cho tanx = 0 ?
Gợi ý: x  ....;  ;0; ;....


y
1

x
-3π/2

-π

-π/2

-π/4

π/4

π/2

π

3π/2

-1

2.3.2. Hình thành kiến thức:
 ĐK: x 


+ k (k∈ �)
2

 PT tanx=a có nghiệm x = arctana + k, k  �;
Chú ý:
a) tan f(x) = tan g(x)  f(x) = g(x) + k, k  �
b) tanx = tan0  x = 0 + k1800, k  �
c) Các trường hợp đặc biệt:
tanx = 1  x =


+ k, k  �
4



+ k, k  �
4
tanx = 0  x = k, k  �

tanx = –1  x = –

Ví dụ: Giải phương trình:
b) tanx = - 1

a) tanx = tan 

5

3

c) tanx = 5

Gợi ý:
a) x =


+ k, k  �
5

b) x = -


+ k, k  �
6

c) x = arctan5 + k, k  �
2.4.

Phương trình cotx=a.
2.4.1. Hoạt động khởi tạo:
Dựa vào đồ thị của hàm số y = cot x, tìm các giá trị của x sao cho cotx = 0 ?
Gợi ý: x  .....; 

3   3
;  ; ; ;....
2
2 2 2


y
1

x
-2π

-3π/2

-π

0

-π/2 -π/4

π/4

π/2

π

3π/2

2π

-1

2.4.2. Hình thành kiến thức:
 ĐK: x  k (k∈ � )
 PT cotx=a có nghiệm x = arccota + k, k  �;
Chú ý:
a) cot f(x) = cot g(x)  f(x) = g(x) + k, k  �
b) tanx = tan0  x = 0 + k1800, k  �
c) Các trường hợp đặc biệt:

+ k, k  �
4

cotx = –1  x = – + k, k  �
4

cotx = 0  x = + k, k  �
2

cotx = 1  x =

Ví dụ: Giải các phương trình:

b) cotx = - 1

a) cotx = cot 

5

3

c) cotx = 5

Gợi ý:
a) x =


+ k, k  �
5

b) x = -


+ k, k  �
3

c) x = arccot5 + k, k  �
2.5. Sử dụng MTBT để giải phương trình lượng giác cơ bản.
2.5.1. Hoạt động khởi tạo:
Tìm nghiệm gần đúng của phương trình sinx=0.3?
2.5.2. Hình thành kiến thức:
- Để có kết quả là độ, ta bấm 3 lần phím MODE rồi bấm phím 1 để hiện màn hình ra chữ D.
- Để có kết quả là radian, ta bấm 3 lần phím MODE rồi bấm phím 2 để hiện màn hình ra chữ R.

Dùng MTCT CASIO fx-500MS, để tìm arcsina ta làm như sau:
- Dùng độ bấm 3 lần phím MODE rồi bấm phím 1 để hiện màn hình ra chữ D. Sau đó bấm liên
tiếp SHIFT sin a = o’’’ màn hình sẽ xuất hiện kết quả dưới đơn vị độ.


- Dùng độ bấm 3 lần phím MODE rồi bấm phím 2 để hiện màn hình ra chữ R. Sau đó bấm liên
tiếp SHIFT sin a = màn hình sẽ xuất hiện kết quả dưới đơn vị radian.
Dùng MTCT CASIO fx-500MS, để tìm arccosa; arctana ta làm tương tự.
Dùng MTCT CASIO fx-500MS, để tìm arccota ta đi tìm arctan1/a.
Ví dụ: Dùng MTCT CASIO fx-500MS, giải phương trình lượng giác sau:
a) sinx=0,5
b) cos x  

1
3

Gợi ý:
a) Dùng độ bấm 3 lần phím MODE rồi bấm phím 1 để hiện màn hình ra chữ D. Sau đó bấm liên
tiếp SHIFT sin 0 . 5 = o’’’ . Kết quả 30o0o0
�
x  300  k3600

Vậy phương trình sinx=0,5 có các nghiệm là: �

x  1500  k3600
�

(-) 1 ab/c 3

, k ��

= o’’’ . Kết quả 109o28o16.3

b) Bấm liên tiếp SHIFT

cos

Vậy phương trình cos x  

1
có các nghiệm là: x ��109028'16'' k3600, k ��
3

2.6.

Kiểm tra 15 phút

Đề bài:
Câu 1: Giải các phương trình sau:
a. sin x 

1
2

b. cos  x  20�

c. tan 3 x 

2
2

3
3

Câu 2: Giải các phương trình sau:
a. sin 2 x  sin x  0
b. sin 3x cot x  sin 3 x  0
3. Luyện tập:
Bài 1: Giải các phương trình

a)sin 3x  1
c)sin(2 x  200 )  
Gợi ý:

b)sin(
3
2

2x 
 )0
3 3

d )sin 3 x  sinx.



2
 k 2 � x   k
, k �Z
2

6
3
2x 
 2
�2 x  �
b) sin �  � 0 �   k � x   k , k �Z
3 3
2
3
�3 3 �

a) sin 3x  1 � 3x 


3
� sin  2 x  200   sin  600 
2
0
�
x  40  k180 0
��
, k �Z
0
0
x

110

k
180

�

c) sin  2 x  200   

�x  k
3x  x  k 2
�
�   , k �Z
sin
3
x

sin
x
�
�
d)
�
3x    x  k 2 �x   k
�
�
2

Bài 2: Giải phương trình:

a)cos( x  1) 

2
3

b)cos(

3x 
1
 )
2 4
2

c)cos 2 2 x 

1
4

Gợi ý:
2
2
� x  1 �arccos  k 2 , k �Z
3
3
4
� 11
x
k
�
�3x  � 1
18
3
b) cos �  �  � �
5
4

�2 4 � 2
�
x
k
�
3
� 18


1
�
�
�
cos
2
x

cos
x

�
 k
cos
2
x

�
�
�
1

3
6
2
2
��
��
, k �Z
c) cos 2 x  � �
1
2

4 �
�
�
cos 2 x  
cos 2 x  cos
x  �  k
�
�
�
2
3
3
�
�

a) cos  x  1 

Bài 3: Giải phương trình:

a) 3 tan(3x 
Gợi ý:

3
)0
5

b) tan(3 x  1)   3

3
)0
5

� 3x 

3
 k
 k � x   
5
5 3

b) tan(3 x  1)   3

� 3x 

3

14
14
1

   k � 3x     k � x     k ; k ��.
5
3
15
45
3

a) 3 tan(3x 

Bài 4: Giải phương trình:


a) 2 cot(5 x  )  0
8

b)cot(3 x  1)   3

Gợi ý:
a)


 
2 cot(5 x  )  0 � 5 x    k
8
8 2


6

�

x  

1 

 k , k �Z
3 18
3

b) cot(3x  1)   3 � cot(3 x  1)  cot( ) � x  
Bài 5: Giải phương trình:

k
5


a)cos 2 x.tanx  0

b)cot(3 x  1)   3

c) tan 2 x  tan(


 x)
4

Gợi ý:


� 

cos 2 x  0
x  k
�
�
�
4
2
a) cos 2 x.tan x  0 � �
�
tan x  0
�
x  k
�

b) cot(3x  1)   3 � cot(3 x  1)  cot( )
6
1 

� x    k , k �Z
3 18
3
� �
�
�
c) tan 2 x  tan �  x �. Đk: co2 x �0,cos �  x ��0
�4
�
�4 �




� 2 x   x  k � x   k , k �Z
4
12
3

Bài 6: Giải phương trình

a)sin 3x  cos5 x  0

b) tan 3 x.tanx  1

Gợi ý:

� 
x  k
�

�
16
4
a) sin 3x  cos 5 x  0 � cos 5 x  sin 3x � cos 5 x  cos �
, k �Z
�  3x �� �

�2
� �
x    k
�
4

b) tan3x.tanx=1. Đk: cos 3 x �0, cos x �0

PT � tan 3x 

1



�
�
� tan 3 x  tan �  x �� 3 x   x  k � x   k , k �Z
tan x
2
8
4
�2
�

4. Vận dụng, tìm tòi mở rộng:
Bài 1: Giải phương trình

a)2cos 2 x  3 cos x  0

b)3sin x  sin 2 x  0

Gợi ý:

�
� cos x  0
x   k

�
2
, k ��
a) 2 cos 2 x  3 cos x  0 � �
3��
�
5
cos x  
�
x  �  k 2
�
2
�
6

b)

3sin x  sin 2 x  0 � 3sin x  2sin x.cos x  0 � sin x(3  2cos x)  0
sinx  0
�
�
�
3 � x  k ; k ��.
�
cosx  
�
2


Bài 2: Giải phương trình

tan

4

 2  sin
x 1 

2

2x  sin 3x

cos 4 x

(1)

Gợi ý:
a) Điều kiện : cos x �0
(1) � sin 4 x  cos 4 x  (2  sin 2 2 x) sin 3 x � 1 

sin 2 2 x
 (2  sin 2 2 x) sin 3 x
2

� 2  sin 2 2 x  (2  sin 2 2 x)2sin 3 x � (2  sin 2 2 x)(1  2sin 3 x)  0
� 1  2sin 3 x  0 � sin 3 x 

1

� sin 3 x  sin
6

2

� 
�  k 2
3 x   k 2
x 
�
�
6
18
3
��
��
; k ��.
5
5 k 2
�
�
3x 
 k 2
x

�
�
6
3
�
� 18

V.

HƯỚNG DẪN HS TỰ HỌC

Tiết 1:
- HS về nhà xem lại các kiến thức đã học.
-

Chuẩn bị trước nội dung sau:
1. Dựa vào đồ thị của hàm số y = cos x, tìm các giá trị của x sao cho cosx = 0 ?
2. Phương trình cosx=a.
Tiết 2:

-

HS về nhà xem lại các kiến thức, các bài tập đã làm.

-

Chuẩn bị trước nội dung sau:
1. Dựa vào đồ thị của hàm số y = tan x, tìm các giá trị của x sao cho tanx = 0 ?.
2. Phương trình tanx=a.
Tiết 3:

-

HS về nhà xem lại các kiến thức, các bài tập đã làm.

-

Chuẩn bị trước nội dung sau:

1. Dựa vào đồ thị của hàm số y = cot x, tìm các giá trị của x sao cho cotx = 0 ?


2. Phương trình cotx=a.
Tiết 4:
-

HS về nhà xem lại các kiến thức, các bài tập đã làm.

-

Chuẩn bị trước nội dung sau:
1. Máy tính bỏ túi.
2. Bài tập trong SGK.
Tiết 5:

-

HS về nhà xem lại các kiến thức, các bài tập đã làm.

-

Chuẩn bị trước nội dung sau:
1. Bài tập trong SGK.
2. Chuẩn bị tiết sau kiểm tra 15p.
Tiết 6:

-

HS về nhà xem lại các kiến thức, các bài tập đã làm.

-

Chuẩn bị trước nội dung sau:
1. Đọc trước SGK bài MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.
2. Nghiệm của phương trình bậc nhất, bậc hai?