Giao anDS11 58 59

Ngày soạn: 25/2/2018

Tiết: 58  59
HÀM SỐ LIÊN TỤC
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức:
 Định nghĩa hàm số liên tục tại, gián đoạn tại một điểm x0.
 Định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn.
 Phương pháp chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình.
2. Kĩ năng:
 Xét tính liên tục hoặc gián đoạn của hàm số tại một điểm.
 Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng.
 Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình.
3. Thái độ: Rèn luyện tính nghiêm túc khoa học, tính cần cù, chịu khó
4. Năng lực hướng tới
 Năng lực tự học; giải quyết vấn đề, tính toán.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên
- Giáo án, SGK, đồ dùng dạy học
2. Học sinh
- SGK, đồ dùng học tập.
III. PHƯƠNG TIỆN, PHƯƠNG PHÁP, KỸ THUẬT DẠY HỌC
Thuyết trình, nêu và giải quyết vấn đề. Hoạt động nhóm.
IV. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
Tiết 1: Giới thiệu, Nội dung. Tiết 2: luyện tập, vận dụng và tìm tòi mở rộng.
1. Giới thiệu:

�
 x 2  2; x �1
�
2

Gv cho học sinh quan sát đồ thị của hàm số f  x   x và g  x   �2; 1  x  1
�
 x 2  2; x �1
�
y
y

2

1

1

-1
O

1

O

1

x

x

Ta thấy:
lim f  x   f (1) còn lim g  x  không tồn tại. Khi đó ta nói hàm số f(x) liên tục tại x=1,
x �1
x �1

còn g(x) không liên tục tại x=1. Vậy hàm số như thế nào được gọi là liên tục, chúng ta
cùng tìm hiểu qua bài học hôm nay.
2. Nội dung
2.1. Hàm số liên tục tại một điểm


Định nghĩa 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0 �K .

f  x   f  x0 
Hàm số f(x) liên tục tại x0 � xlim
�x
Nếu hàm số f(x) không liên tục tại điểm x0 thì được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
Ví dụ: Hàm số xác định tại điểm x0 = 3.
0

f  x   lim
Ta có: lim
x �3
x �3

x
 3  f (3)
x2

Vậy, hàm số liên tục tại điểm x0 = 3.
2.2. Hàm số liên tục trên một khoảng
2.2.1. Định nghĩa:

Hàm số f(x) gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó


Hàm số f(x) gọi là liên tục trên  a; b  nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và liên tục phải tại
điểm a, liên tục trái tại điểm b.
2.2.2. Nhận xét: (sgk)
2.3. Một số định lí cơ bản
2.3.1. Định lí 1: (Sgk)
2.3.2. Định lí 2: (Sgk)
Ví dụ:
2 x2  2 x
. Suy ra, f(x) liên tục trên  �;1 U  1; � .
x 1



Với x �1 , ta có f  x  



Với x = 1, ta có: f(1) = 5 và

2x2  2x
 lim 2 x  2
x �1
x �1
x �1
x 1
f  x  �f  1 nên f(x) không liên tục tại x=1. Vậy, hàm số liên tục trên  �;1 U  1; � và
Vì lim
x �1
lim f  x   lim

gián đoạn tại điểm x = 1.
2.3.3. Định lí 3

y

f ( x)lientuc /  a; b �
�� c � a; b  : f (c)  0
f (a). f (b)  0 �

f(a)

Suy ra:
Nếu y = f(x) là hàm số liên tục
trên  a; b  và f(a).f(b) < 0 thì phương trình
f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
Ví dụ: Đặt f ( x )  x 3  2 x  5
Ta có: f  0   5  0; f  2   7  0
Suy ra: f  0  . f  2   0

a

b

c
O

x

f(b)

Mặt khác: f(x) liên tục trên R nên liên tục trên  0; 2 . Vậy, phương trình x 3  2 x  5  0 luôn có ít
nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 2).
3. Luyện tập:
Bài 1: xét tính liên tục của các hàm số.

�x2  9
n�
u x �3
�
a. f  x  �x  3
� 2
n�
ux 3
�

t�
i x 3


Hướng dẫn:
Tập xác định : D  �, 3��
Ta có:

x2  9
 lim x  3  6
x�3 x  3
x�3

* lim f  x  lim

x�3

* f  3  2

f  x �f  3 nên hàm số trên gián đoạn tại x  3
Vì lim
x�3
�x2  3x  2
n�
u x �2
�
b. f  x  � x  2
� 2x  3
n�
ux 2
�

t�
i x 2

Hướng dẫn:
Tập xác định : D  �, 2��
Ta có:

 x  2  x  1  lim x  1  1
x2  3x  2
*lim f  x  lim
 lim



x�2
x�2
x�2
x�2
x 2
x 2
* f  2  2.2  3  1

f  x  f  2 nên hàm số trên liên tục tại x  2.
Vì lim
x�2
3x  5 n�
u x �1
�
c. f  x  �
ux1
�9  x n�

t�
i x1

Hướng dẫn:
Tập xác định : D  �, 1��
Ta có:

* f  1  3.1 5  8

* lim f  x  lim  3x  5  8
x�1

x�1

lim f  x  lim  9  x  8

x�1

x�1

� lim f  x  8
x�1

f  x  f  1 nên hàm số trên liên tục tại x  1.
Vì lim
x�1
� x  1 1
�
n�
u x �2
d. f  x  � x  2
� 2x
n�
ux 2
�
Hướng dẫn:
Tập xác định : D   1;� , 2�D

t�
i x 2

Ta có:

*lim f  x  lim
x�2

x�2

x  1 1
x 2
1
1
 lim
=lim

x�2
x 2
 x  2 x  1  1 x�2 x  1  1 2

* f  2  2.2  4





f  x �f  2 nên hàm số trên gián đoạn tại x  2.
Vì lim
x�2
Bài 2: Tìm m để hàm số:
� x2  3x
n�

u x �0
�
f  x  � x
liên tục tại x  0
2
�x  m  1 n�
ux 0
�
Hướng dẫn:
Tập xác định : D  �, 0��
Ta có:

x2  3x
* lim f  x  lim
 lim x  3  3
x�0
x�0
x�0
x
* f  0  m2  1

f  x  f  0 � m2  1 3 � m �2
Hàm số trên liên tục tại x  0 khi lim
x�0
Câu 3: Chứng minh rằng phương trình:
x5  4x2  2  0 luôn có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng  0;1 ?
Hướng dẫn:
5
2
Đặt f  x  x  4x  2

Vì f  x là một hàm đa thức nên liên tục trên � suy ra liên tục trên đoạn  0;1 .
Mặt khác: f  0 .f  1  2.3  6  0

Do đó phương trình x5  4x2  2  0 luôn có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng  0;1
4. Vận dụng, tìm tòi mở rộng:
Câu 4: Chứng minh rằng phương trình:

 x  1  x  5
5

V.

4

m3  x  3  0 luôn có ít nhất một nghiệm m?

HƯỚNG DẪN HS TỰ HỌC

Tiết 1:
- HS về nhà xem lại lý thuyết và các ví dụ.
- Xem trước bài tập trong SGK để chuẩn bị cho tiết sau làm bài tập.
Tiết 2:
- HS về nhà xem lại lý thuyết và các ví dụ.
- Ôn lại kiến thức trong chương tiết sau ÔN TẬP CHƯƠNG.
- Làm bài tập trắc nghiệm:


3ax  2
�

* Cho hàm số f  x  �
� 5
A. 1.
B. 2.
�x2  4
�
* Cho hàm số f  x  �x  2
�
2bx  8
�
A. 1.
B. 2.

n�
u x �1
. Tìm a để hàm số trên liên tục tại x  1.
n�
ux1
C. 3.
D. 5.
n�
u x �2

. Tìm a để hàm số trên liên tục tại x  1.

n�
u x  2
C. 3.

D. 4.