Đề thi thử Toán THPT Quốc gia 2019 lần 1 trường THPT chuyên Bến Tre

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẾN TRE
Năm học: 2018 - 2019
MÃ ĐỀ: 123

ĐỀ THI THỬ LẦN 1
Mơn: Tốn - Khối 12
Thời gian làm bài: 90 phút

Câu 1. Cơng thức tính thể tích khối trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng h là:
1
B. V   R 2 h .
C. V   Rh2 .
D. V   Rh
A. V   R2 h .
3
 x  1  2t

Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y  2  3t (t   ) . Đường thẳng d
z  5  t

không đi qua điểm nào sau đây?
A. Q (1; 1; 6)
B. N (2;3; 1)

C. P (3;5; 4) .

D. . M (1; 2;5)

Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)   x 3 ln xdx là:
A.

1 4
1
x .ln x  x 4  C .
4
16

B.

1 4
1
x .ln x  x 3 .
4
16

C.

1 4
1
x .ln x  x 4  C
4
16

D.

1 4
1
x .ln x  x 4
4
16

Câu 4. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = x 2 + 3, y = 4 x . Xác định mệnh đề đúng?
3

3

B. S =   x 2 + 4 x+ 3 dx

A. S =  x 2 + 4 x+ 3 dx
1

1

3

3

C. S =  x - 4 x+ 3 dx





D. S =  x 2 + 3 - 4 x dx

2

1

1

Câu 5. Cho hình lập phương ABCD. AB C D  . Góc giữa hai mặt phẳng  DAB  và  DC ' B '  bằng
A. 45

B. 30

C. 60

D. 90 .

Câu 6. Hàm số y  x 3  3x2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  0; 4  .

B.  0;  

C.  ; 2 

D.  2; 0 

Câu 7. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình là

 x  1   y  4   z  3
2

2

2

 18

A. I ( 1; 4;3), R  18 .

B. I (1; 4; 3), R  18

C. I (1; 4;3), R  18

D. I (1; 4;3), R  18

Câu 8. Cho log14 2  a . Giá trị của log14 49 tính theo a là
A. 2(1  a)

B. 2a

C.

1
2(1  a)

D.

2
1 a


1
Câu 9. Tập nghiệm của bất phương trình  
3

A.  ;1

x2  4 x

 27 là

B.  3;  

C.  ;1   3;  

D. 1;3 .

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : 2 x  3 y  6 z  6  0 . Vectơ nào dưới đây là
vectơ pháp tuyến của  P  ?

A. n   3; 2;1

  1 1
C. n   1; ;  .
 2 3


B. n   2;3;6  .


D. n   6;3; 2 

Câu 11. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp hai trên  . Biết f   0   3 , f   2   2019 và bẳng xét dấu của

f   x  như sau:

x   

f

''

 x    

   

 

 

 

 

0 

 

2 

 

0 

 

  

 
 

 

 

 

0 

 

 

 

 

Hàm số y  f  x  2018  2019 x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 thuộc khoảng nào sau đây?
A.  0; 2  .

B.

 ;  2018 .

C.  2018;0  .

D.  2018;   .

S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
x  1  x  2m x 1  x   2 4 x 1  x   m3 có nghiệm duy nhất. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S

Câu

12.

bằng
A. 0

Gọi

B. 6

C. 10 .

D. 1 .

Câu 13. Sinh viên B được gia đình gửi tiết kiệm số tiền 300 triệu đồng vào ngân hàng theo mức kì hạn 1 tháng
với lãi suất tiết kiệm là 0, 4% / tháng. Mỗi tháng, vào ngày ngân hàng tính lãi, sinh viên B rút ra một số tiền như
nhau để trang trải chi phí cho cuộc sống. Hỏi hàng tháng sinh viên này rút số tiền xấp sỉ bao nhiêu để sau 5 năm
học đại học, số tiền tiết kiệm vừa hết?
A. 5.363.922 đồng
B. 5.633.923 đồng
C. 5.633.922 đồng.
D. 5.336.932 đồng.
2
a
Câu 14. Thể tích khối cầu bán kính

bằng
32 a 3
4 a 3
3
3
C.
D.
2

a
4

a
B.
3
3
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa
A.

đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 . Tính khoảng cách giữa hai đường SB và AC theo a.
A. a

B. a 3
7

C.

a 10
5

D.

a 21
5

Câu 16. Số các hốn vị của một tập hợp có 6 phần tử là:
A. 6
B. 120
C. 46656
D. 720 .

Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1;  1 và B  2;3; 4  . Véctơ AB có tọa độ là
A. 1; 2;5

B.  3;5;1

Câu 18. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

C.  3; 4;1

D. 1; 2;3


A. Hàm số y  a x  a  1 nghịch biến trên  .
1
B. Đồ thị các hàm số y  a và y   
a

x

x

 0  a  1

đối xứng với nhau qua trục tung.

C. Đồ thị hàm số y  a x  0  a  1 ln đi qua điểm có tọa độ  a;1 .
D. Hàm số y  a x  0  a  1 đồng biến trên  .
Câu 19. Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng 2a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 . Thể tích của
khối chóp đã cho bằng:

2 2a 3
B.
3

2 3a 3
A.
3

C. 2 3a 3

D.

8a 3
3

Câu 20. Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh có 105 em dự thi, có 10 em tham gia buổi gặp mặt trước kỳ thi. Biết
các em đó có số thứ tự trong danh sách lập thành một cấp số cộng. Các em ngồi ngẫu nhiên vào hai dãy bàn đối
diện nhau, mỗi dãy có năm ghế và mỗi ghế chỉ ngồi được một học sinh. Tính xác suất để tổng các số thứ tự của hai
em ngồi đối diện nhau là bằng nhau.

1
1
1
1
B.
C.
D.
A.
126
945
954
252
Câu 21. Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2z  7  0 . Giá trị của z1  z 2 bằng
A. 10
B. 14
Câu 22. Tìm phần ảo của số phức z  3  4i .
A. 4

C.

B. 4



7

D. 2 7

C. 3

D. 3 .

C. 

D.



Câu 23. Hàm số y  log 5 4 x  x 2 có tập xác định là:
A.

 0; 6 

B.

 0; 4 

 0;  

Câu 24. Cho hình lập phương ABCD. ABC D cạnh 2a , gọi M là trung điểm của BB  và P thuộc cạnh DD sao
1
cho DP  DD . Mặt phẳng  AMP  cắt CC  tại N . Thể tích khối đa diện AMNPBCD bằng
4
A
D
C

B
M

3

D

A

B

P

C
3

9a
11a
.
B. V 
.
C. V  2 a 3
D. V  3a 3 .
4
3
Câu 25. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho sin 3 x  cos3 x  m với mọi x   .
A. V 

A. m  1 .

B. m  1 .

C. 1  m  1 .

D. m  1 .

C. (0;8)

D. ( ; 6)

Câu 26. Bất phương trình log 2 x  3 có nghiệm là:
A. (8; )

B. (;8)


Câu 27. Cho cấp số cộng  un  có u1  2 và cơng sai d  3. Tìm số hạng u10 .
B. u10  2.39
C. u10  25
A. u10  28
D. u10  29
Câu 28. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. Có bốn điểm
Câu 29. Cho hàm số

.
B. Có hai điểm
C. Có ba điểm.
D. Có một điểm
f  x  xác định trên tập số thực  và có đồ thị f   x  như hình sau

Đặt g  x   f  x   x , hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng

A.  2;    .

B.

 1; 2  .

C.

 ; 1 .

D. 1;   .

Câu 30. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f  x   x3  2 x 2  x  2 trên đoạn  0; 2
50
0;2
0;2
0;2
0;2
27
Câu 31. Cho hình nón có chiều cao bằng 2a và bán kính đáy bằng a . Diện tích xung quanh của hình nón đã cho

A. max y  2

B. max y  1

C. max y  0

3 a

5 a

D. max y  

bằng.
A. 2 5 a

2

B.

2

C.

2

2 a 3
D.
3

Câu 32. Hàm số y  f  x  liên tục trên  và có bảng biến thiên dưới đây.

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có ba điểm cực trị
C. Hàm số đạt cực đại tại x  2

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x  1
D. Hàm số đạt cực đại tại x  0

Câu 33. Cho hàm số f  x  và F  x  liên tục trên  thỏa F   x   f  x  , x   . Tính

1

 f  x  dx

biết F  0   2

0

và F 1  5 .
1

A.



f  x  dx  3

0

1

B.



1

f  x  dx  7 .

C.

0



f  x  dx  1 .

1

D.

0



 f  x  dx  3
0



Câu 34. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log2 5  2 x  2  x bằng:
A. 0

B. 1

C. 3

D. 2

C. a 3

D. 27a 3

Câu 35. Thể tích khối lập phng cú cnh 3a bng
3
A. 9a

3
B. 2a

ổ 1 3 ửữ
ỗ
; 0÷÷ và mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  8 . Đường thẳng d thay
Câu 36. Trong không gian Oxyz , cho im M ỗỗ ;
ỗỗố 2 2 ữữứ
i, i qua im M , cắt mặt cầu (S ) tại hai điểm phân biệt. Tính diện tích lớn nhất S của tam giác OAB.
B. S = 7 .
C. S = 2 2 .
D. S = 2 7 .
A. S = 4 .
Câu 37. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vng cân có cạnh góc vng bằng a. Một thiết diện
qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. Diện tích của thiết diện này bằng:
A.

a2 2
2

B. 2a 2

C.

a2 2
3

D.

a2 2
4

Câu 38. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   sin  2 x  1 .
1

A.

 f  x  dx   2 cos  2 x  1  C .

C.

 f  x  dx  2 cos  2 x  1  C .

Câu

B.

1

39.

Cho

hàm

D.
số

y  f  x

 f  x  dx  cos  2 x  1  C
 f  x  dx   cos  2 x  1  C .
có

bảng

biến

thiên

sau

Số nghiệm của phương trình f  x   3  0 là
A. 2
B. 4
C. 1 .
D. 3
Câu 40. Một cái ao hình ABCDE (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình trịn có bán kính 10 m. Người
ta muốn bắc một câu cầu từ bờ AB của ao đến vườn. Tính gần đúng độ dài tối thiếu l của cây cầu biết : Hai bờ
AE và BC nằm trên hai đường thẳng vng góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm O ;Bờ AB là
một phần của một parabol có đỉnh là điểm A và có trục đối xứng là đường thẳng OA ;Độ dài đoạn OA và OB lần

lượt là 40 m và 20 m;Tâm I của mảnh vườn lần lượt cách đường thẳng AE và BC lần lượt 40 m và 30 m.


A. l  17,7 m
1

Câu 41. Cho



B. l  15, 7 m

f  x  dx  5 và

0

1

 g  x  dx  3 khi đó
0

A. 9

C. l  25,7 m

D. l  27,7 m

1

 3 f  x   2 g  x  dx bằng

0

C. 9
z
Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  3i  5 và
là số thuần ảo.
z4
A. 0
B. 2
C. 1
B. 12

D. 2

D. Vô số

Câu 43. Cho hàm số y  f  x  xác định trên  và có đồ thị như hình bên dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên của





tham số m để phương trình: f 4  2sin 2 2 x  m có nghiệm.

A. 5
Câu 44. Cho hàm số

B. 3

y  f  x

C. 4
liên tục trên

 \ 0;  1

D. 2
thỏa mãn điều kiện

f 1  2 ln 2 và

x  x  1 . f   x   f  x   x 2  3x  2 . Giá trị f  2   a  b ln 3 , với a, b   . Tính a 2  b 2 .
A.

9
.
2

B.

5
.
2

C.

25
4

D.

13
.
4

Câu 45. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 4;5  , B  3; 4;0  , C  2; 1;0  và mặt phẳng

 P  : 3x  3 y  2 z  12  0 . Gọi
abc ?

M  a; b; c  thuộc  P  sao cho MA2  MB 2  3MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng


A. 2

B. -2

C. -3

D. 3
x  2 y 1 z
Câu 46. Trong không gian hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng  :
và mặt phẳng


1
2
1
( P) : x  y  z  3  0 . Gọi I là giao điểm của  và (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI Vng góc với 
và MI = 4 14 .

A. M  4; 7; 11 , M  3; 7;13  .

B. M  5;9; 11 , M  3; 7;13  .

C. M  5;9; 11 , M  3; 7; 13  .

D. M  5;9; 11

Câu 47. Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần thực âm và phần ảo dương của phương trình z 2  2 z  10  0 . Trên
mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w  i 2019 z0 ?
A. M  3;  1

B. M  3; 1 .

C. M  3; 1 .

D. M  3;  1 .

Câu 48. Phương trình log  x 2  6 x  7   log  x  3 có tập nghiệm là
A. 5 .

B.

2; 5

Câu 49. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 

C. 

D. 4; 8

2x  3
là
x 1

A. x  1
B. x  2
C. y  1
D. x  1
Câu 50. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1;1;3), B ( 1;3; 2), C ( 1; 2;3) . Khoảng cách từ gốc tọa độ đến
mặt phẳng (ABC) bằng:
A.

3

B.

3
2

C.

3
2

----- HẾT -----

D. 3

ĐÁP ÁN:
MÃ ĐỀ:
123
1. A
2. B
3. A
4. C
5. C
6. D
7. D
8. A
9. C
10. B
11. B
12. D
13. B
14. A
15. C
16. D
17. A
18. B
19. A
20. B
21. D
22. A
23. B
24. D
25. A
26. C
27. C

28. B
29. B
30. C
31. C
32. B
33. D
34. D
35. D
36. B
37. C
38. A
39. D
40. A
41. C
42. C

MÃ ĐỀ:
209
1. B
2. B
3. A
4. D
5. A
6. D
7. C
8. A
9. C
10. A
11. D
12. D

13. B
14. C
15. A
16. B
17. C
18. B
19. C
20. C
21. C
22. B
23. A
24. D
25. A
26. C
27. D
28. C
29. D
30. A
31. D
32. A
33. B
34. B
35. B
36. B
37. D
38. D
39. B
40. B
41. B
42. A

MÃ ĐỀ:
305
1. C
2. A
3. C
4. D
5. A
6. B
7. D
8. B
9. C
10. B
11. B
12. A
13. A
14. B
15. B
16. D
17. C
18. B
19. C
20. D
21. D
22. A
23. A
24. C
25. A
26. A
27. D

28. C
29. D
30. C
31. B
32. D
33. B
34. D
35. B
36. D
37. C
38. A
39. A
40. D
41. C
42. D

MÃ ĐỀ:
487
1. A
2. C
3. D
4. A
5. A
6. A
7. D
8. B
9. D
10. B
11. A
12. A

13. A
14. C
15. D
16. B
17. A
18. D
19. B
20. C
21. C
22. B
23. C
24. C
25. D
26. A
27. C
28. D
29. B
30. B
31. C
32. C
33. D
34. B
35. D
36. D
37. D
38. B
39. B
40. A
41. A
42. B

43. A
44. A
45. D
46. B
47. C
48. A
49. A
50. D

43. C
44. D
45. A
46. A
47. D
48. C
49. C
50. D

43. A
44. A
45. D
46. B
47. C
48. A
49. C
50. B

43. C

44. A
45. C
46. C
47. A
48. D
49. B
50. B


TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẾN TRE

ĐỀ THI THỬ LẦN 1 NĂM HỌC 2018 - 2019
Bài thi mơn: TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút (khơng kể thời gian phát đề).

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1. Thể tích khối lập phương có cạnh 3a bằng
A. 27a 3 .

B. 2a 3 .

C. a 3 .
Lời giải

D. 9a 3 .

Chọn A
Câu 2. Hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và có bảng biến thiên dưới đây

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có ba điểm cực trị.
B. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 .
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 .
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 .

Lời giải
Chọn C

Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1;1; − 1) và B ( 2;3; 4 ) . Véctơ AB có tọa độ là
A. (1; 2;5 ) .

C. ( 3;5;1) .

B. (1; 2;3) .

D. ( 3; 4;1) .

Lời giải

Chọn A

Ta có AB = (1; 2;5 ) .

Câu 4. Cho log14 2 = a . Giá trị của log14 49 tính theo a là
A.

1
.
2(1 − a )

B. 2a .

C.
Lời giải

Chọn D.

2
.
1+ a

D. 2(1 − a ) .

14
log14 49
= 2 log14=
7 2 log14 = 2(1 − a ) .
2

y x 3 + 3 x 2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Câu 5. Hàm số =
A.

( −∞; −2 ) .

Tập xác định: D = .

B. ( 0; +∞ ) .

C. ( −2; 0 ) .

Lời giải

 x =−2
y ' =3 x 2 + 6 x , y ' =0 ⇔ 3 x 2 + 6 x =0 ⇔ 
.
x = 0
Bảng biến thiên:
x
−2
−∞

0

+∞

D. ( 0; 4 ) .


y′
y

0
4

+

0

−

+

+∞
0

−∞

Câu 6. Bất phương trình log x < 3 có nghiệm là:
2
A. (−∞;6) .

Câu 7. Cho

1

∫

B. (−∞;8) .

Điều kiện: x > 0
log x < 3 ⇔ x < 8
2
Kết hợp điều kiện chọn C
1

∫ g ( x ) dx = 3 khi đó

f ( x ) dx = 5 và

0

0

A. −9 .
1

1

Lời giải

D. (8; +∞) .

1

∫ 3 f ( x ) − 2 g ( x ) dx bằng
0

C. 9 .
Lời giải

B. 12 .

Chọn C

C. (0;8) .

D. 2 .

1

5 ⇔ 3∫ f ( x ) dx =
15 ⇔ ∫ 3 f ( x ) dx =
15
∫ f ( x ) dx =
0

0

Ta có

1

1

0

0

0

6 ⇔ ∫ 2 g ( x ) dx =
6
∫ g ( x ) dx = 3 ⇔ 2 ∫ g ( x ) dx =

1

Xét

0

1

∫ 3 f ( x ) − 2 g ( x ) dx

= 15 − 6 = 9 .

0

Câu 8. Thể tích khối cầu bán kính 2a bằng
A.

32π a 3
.
3

B. 4π a 3 .

C.

4π a 3
.
3

D. 2π a 3 .

Lời giải

Chọn A

4π (2a )3 32π a 3
V =
=
3
3

Câu 9. Phương trình log ( x 2 − 6 x + 7=
) log ( x − 3) có tập nghiệm là
A. ∅ .

C. {5} .

B. {4; 8} .
Lời giải

Chọn C.
ĐK: x > 3 + 2
log ( x 2 − 6 x + 7=
) log ( x − 3)

x − 3 > 0
⇔ 2
x − 6x + 7 = x − 3
x > 3

⇔  x = 5 ⇔ x =
5
 x = 2


D. {2; 5} .


Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : 2 x + 3 y + 6 z − 6 =
0 . Vectơ nào dưới
đây là vectơ pháp tuyến của ( P ) ?

A. n = ( 6;3; 2 ) .


B. n = ( 2;3;6 ) .

  1 1
C. n = 1; ;  .
 2 3


D. n = ( 3; 2;1)

Lời giải

Chọn B

f ( x ) sin ( 2 x + 1) .
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số =
1

A.

) dx

∫ f ( x=

cos ( 2 x + 1) + C .

B.

C.

x ) dx
∫ f (=

1
cos ( 2 x + 1) + C .
2

∫ f ( x ) dx =− 2 cos ( 2 x + 1) + C .

D.

∫ f ( x ) dx =− cos ( 2 x + 1) + C .

Chọn

Lời giải:

B

1
1
Ta có: ∫ sin ( 2 x + 1) dx = ∫ sin ( 2 x + 1) d ( 2 x + 1) =

− cos ( 2 x + 1) + C
2
2
 x = 1 + 2t

2 + 3t (t ∈ ) . Đường
Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y =
 z= 5 − t


thẳng d không đi qua điểm nào sau đây?
A. M (1; 2;5) .

B. N (2;3; −1) .

C. P(3;5; 4) .

D. Q(−1; −1;6)

Lời giải:
Thay tọa độ điểm N(2;3;-1) vào phương trình đờng thẳng d ta được:
 1
t = 2
2 = 1 + 2t


 1
3 =2 + 3t ⇔ t =
−1 = 5 − t
 3


t = 6 (vơ lí)


Vậy điểm N(2;3;-1) khơng thuộc đường thẳng d
Câu 13. Số các hốn vị của một tập hợp có 6 phần tử là:
A. 46656 .
B. 6 .
C. 120 .
Lời giải
Chọn D

D. 720 .

Câu 14. Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −2 và cơng sai d = 3.
Tìm số hạng u10 .
A. u10 = −2.39 .

B. u10 = 25 .

Chọn B
u10 =u1 + 9d =−2 + 9.3 =25 .

Lời giải

C. u10 = 28 .

D. u10 = −29 .

Câu 15. Công thức tính thể tích khối trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng h là:

1
V = π R2h
3
A.

2
B. V = π Rh .

2
D. V = π R h .

C. V = π Rh

Lời giải
Chọn D

Câu 16. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Hàm số y = a x ( a > 1) nghịch biến trên  .
1
B. Đồ thị các hàm số y = a và y =  
a
x

x

( 0 < a ≠ 1)

đối xứng với nhau qua trục tung.

C. Đồ thị hàm số y = a x ( 0 < a ≠ 1) ln đi qua điểm có tọa độ ( a;1) .
D. Hàm số y = a x ( 0 < a < 1) đồng biến trên  .
Câu 17. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x 3 − 2 x 2 + x − 2 trên đoạn [ 0; 2]
A. max y = −2 .

B. max y = −

[0;2]

[0;2]

Chọn D

50
.
C. max y = 1 .
[0;2]
27
Lời giải:

D. max y = 0 .
[0;2]

1
Ta có: f ′ ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 1 , f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = .
3
50
1
Ta có: f ( 0 ) = −2 , f (1) = −2 , f ( 2 ) = 0 , f   = −

nên max y = 0 .
[0;2]
27
3
Câu 18. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. Có một điểm.

B. Có hai điểm.

C. Có ba điểm.
Lời giải:

.
D. Có bốn điểm.

Chọn B
Tại x = −1 , x = 1 hàm số y = f ( x ) xác định và f ′ ( x ) có sự đổi dấu nên là hai điểm cực trị
Tại x = 0 hàm số y = f ( x ) không xác định nên khơng đạt cực trị tại đó.
Câu 19. Tìm phần ảo của số phức z= 3 − 4i
A. 3 .

B. z = −4 .

C. 4 .

D. −3 .

Lời giải:

Chọn B

Câu 20. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình

18
là ( x − 1) + ( y + 4 ) + ( z − 3) =
2

2

A. I (1; 4;3), R = 18 .
C. I (1; −4; −3), R =18 .
Chọn D

2

B. I (−1; −4;3), R =18 .
D. I (1; −4;3), R =
18 .
Lời giải:


Câu 21. Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 2z + 7 =
0 . Giá trị của z1 + z2 bằng
B.

A. 2 7 .

C. 14.

7.

D. 10 .

Lời giải
Chọn A
 z = 1 + 6i
Ta có : z 2 − 3 z + 5 = 0 ⇔  1
. Suy ra z1 = z2 =
 z2 = 1 − 6i

7 ⇒ z1 + z2 = 2 7 .

Câu 22. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1;1;3), B (−1;3; 2), C (−1; 2;3) . Khoảng cách từ gốc
tọa độ đến mặt phẳng (ABC) bằng:

A.

B. 3

3

3
2

C.

D.

3

2

Lời giải
Chọn B


 
Mp(ABC) đi qua A(1;1;3), nhận=
vectơ n =
AB, AC  (1;2;2) làm vectơ pháp tuyến có phương trình:
(ABC): x + 2 y + 2 z − 9 =
0
=
d ( O, ( ABC ) )

0 + 2.0 + 2.0 − 9
= 3.
12 + 22 + 22

1
Câu 23. Tập nghiệm của bất phương trình  
3
A. ( −∞;1) .

x2 − 4 x

< 27 là

B. ( 3; +∞ ) .

D. ( −∞;1) ∪ ( 3; +∞ ) .

C. (1;3) .
Lời giải

Chọn D
1
Bất phương trình tương đương với  
3

x2 − 4 x

−3

1
<   ⇔ x 2 − 4 x > −3
3

⇔ x2 − 4 x + 3 > 0 ⇔ x < 1∨ x > 3 .
Câu 24. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y =x 2 + 3, y =4 x . Xác định
mệnh đề đúng?
A. S =

3

∫

B. S=

x 2 + 4 x + 3 dx .

1

C. =
S

3

∫(
1

∫(x

)

2

+ 4 x + 3 dx .

2

− 4 x + 3 dx .

1

)

D. S =

x 2 + 3 − 4 x dx .

3

∫x
1

Lời giải
Chọn D

3


x = 1
Phương trình hồnh độ giao điểm: x 2 + 3 = 4 x ⇔ 
x = 3
3

Diện tích hình phẳng là S =

∫x

2

− 4 x + 3 dx

1

Câu 25. Cho hình nón có chiều cao bằng 2a và bán kính đáy bằng a . Diện tích xung quanh của hình
nón đã cho bằng
A.

5π a 2 .

B. 2 5π a 2 .

C.

D.

3π a 2 .

2π a 3
.
3

Lời giải
Chọn A
 h = 2a
. Suy ra l = a 5 .
h 2 + r 2 với 
r = a

Ta có độ dài đường sinh của khối nón bằng
=
l

Vậy diện tích xung quanh của khối nón là=
S π=
rl π .a.a =
5 π a2 5 .

2x − 3
là
x −1
C. y = 1
Lời giải

Câu 26. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. x = −1

B. x = 1

D. x = 2

Chọn B
Vì lim+ f ( x) = +∞; lim− f ( x) = −∞ ⇒ đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x →1

x →1

Câu 27. Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng 2a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 . Thể
tích của khối chóp đã cho bằng
2 3a 3
A.
.
3

8a 3
B.
.
3

2 2a 3
D.
.
3

C. 2 3a .
3

Lời giải
Chọn A
S

A
B

D
O

C

 SO ⊥ ( ABCD )
Gọi khối chóp tứ giác đều là S . ABCD , tâm O , khi đó 
.
 600
a, SAO
=
 SA 2=
Ta có:

sin 600 =

SO
⇒ SO = SA.sin 600 = a 3
SA

OA
cos 600 = ⇒ OA =SA.cos 600 =a ⇒ AB =a 2
SA


Vậy
=
VSABCD

1
1
2 3 3
=
SO.S ABCD =
a 3.2a 2
a .
3
3
3

(

Câu 28. Hàm
số y log 5 4 x − x 2

=

)

có tập xác định là:

B. (2; 6)

A. 

C. (0; 4)

D. (0; +∞)

Lời giải
Chọn C

(

Hàm
số y log 5 4 x − x 2
=

)

xác định khi: 4 x − x 2 > 0 ⇔ 0 < x < 4 .

Câu 29. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau

Số nghiệm của phương trình f ( x ) + 3 =

0 là
A. 4 .

B. 3 .

Chọn B
Ta có f ( x ) + 3 =
0 ⇔ f ( x ) = −3 .

C. 2 .
Lời giải

D. 1.

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng

y = −3 .
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yCT = −4 < −3 < 0 = y CĐ .

Vậy phương trình f ( x ) + 3 =
0 có 3 nghiệm phân biệt.

Câu 30. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Góc giữa hai mặt phẳng ( DA′B′) và ( DC ' B ' ) bằng
A. 30° .

B. 60° .

C. 45° .
Lời giải

Chọn B
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A ≡ O , AB ∈ Ox, AD ∈ Oy , AA ' ∈ Oz .
Khi đó: D ( 0;1;0 ) , A ' ( 0;0;1) , B ' (1;0;1) , C ' (1;1;1) .

 

′B′) là n1 =
Vectơ pháp tuyến của ( DA
=
 DA ', DB '  ( 0;1;1)

 
Vectơ pháp tuyến của ( DC ' B ' ) là=
n1  DC ', DB
=
'  (1;0; −1) .

Gọi góc giữa hai mặt phẳng ( DA′B′) và ( DC ' B ' ) là α . Ta có
 
n1.n2
1
=
cosα   = ⇒ α = 600
n1 n2 2
Do đó: góc giữa hai mặt phẳng ( DA′B′) và ( DC ' B ' ) bằng 60° .

D. 90° .


2 − x bằng

Câu 31. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log 2 ( 5 − 2 x ) =
A. 3.

B. 1 .

C. 2.

D. 0.

Lời giải
Chọn C
Điều kiện xác định của phương trình là 5 − 2 x > 0 .
log 2 ( 5 − 2 x ) = 2 − x ⇔ 5 − 2 x = 22− x ⇔ 5 − 2 x =

4
⇔ 22 x − 5.2 x + 4 = 0.
2x

 2 x 1=
=
x 0
⇔ x
⇒
(thỏa điều kiện).
x
=
2
2
=
4



Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho bằng 2.
Câu 32. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vng cân có cạnh góc vng bằng a.
Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. Diện tích của thiết diện này bằng

A.

a2 2
.
2

B.

a2 2
.
3

C. 2a 2 .

D.

Lời giải
Chọn B
Diện tích thiết diện là S∆SCD =
Ta có AB= a 2 ⇒ R=
SH
=

1

SH .CD .
2

a 2
= SO .
2

SO
a 2
=
0
sin 60
3

CD = 2CH = 2 R 2 − OH 2 = 2
Vậy diện tích thiết=
diện là S∆SCD

a2
2 3
− ( SO. tan 300 ) 2 =
a
2
3
2a 2
.
3

1 a 2 2 3
a

=
.
.
2
3
3

Câu 33. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = ∫ x 3 ln xdx là
A.

1 4
1
x .ln x − x 4 .
4
16

C.

1 4
1
x .ln x − x 3 .
4
16

B.
D.

1 4
1
x .ln x + x 4 + C .

4
16

Lời giải
Chọn B

1 4
1
x .ln x − x 4 + C .
4
16

a2 2
.
4


1

du = x dx
u = ln x
Đặt 
⇒
3
4
 dv = x d x  v = x

4
Suy ra

∫x

3

x
ln xd=

1 4
1
1 4
1
x .ln x − ∫ x 3d=
x
x .ln x − x 4 + C
4
4
4
16

Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD),
góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 . Tính khoảng cách giữa hai đường
SB và AC theo a.
A. a 10
5

B. a 3
7

C.
Lời giải

a 21
5

D. a

Chọn A
Kẻ đường thẳng d qua B và song song với AC. Gọi M là hình chiếu vng góc của A trên d ; H là hình
chiếu vng góc của A trên SM. Ta có SA ⊥ BM , MA ⊥ BM ⇒ AH ⊥ BM ⇒ AH ⊥ ( SBM ).
Suy ra=
d ( AC , SB ) d=
( A, ( SBM ) ) AH .
Tam giác SAM vuông tại A , AH là đường cao, suy sa:

1
1
1
5
a 10
=
+
= 2 ⇒ AH =
2
2
2
AH
AM
AS
2a
5

Vậy d ( AC , SB ) =

a 10
.
5

x − 2 y +1 z
và mặt phẳng
Câu 35. Trong không gian hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : = =
1
−2
−1
( P) : x + y + z − 3 =
0 . Gọi I là giao điểm của ∆ và (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI

Vng góc với ∆ và MI = 4 14 .
A. M ( 5;9; −11) .

B. M ( 5;9; −11) , M ( 3;7; −13) .

C. M ( 5;9; −11) , M ( −3; −7;13) .

D. M ( 4;7; −11) , M ( −3; −7;13) .
Lời giải

Chọn C

 x − 2 y +1 z
 = =
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:  1

−2
−1 ⇒ I (1;1;1) .
 x + y + z − 3 =
0
Gọi M ( a; b; c ) , ta có:
0
a + b + c − 3 =

M ∈ ( P), MI ⊥ ∆=
, MI 4 14 ⇔ a − 2 b − c=
+2 0
(a − 1)2 + (b − 1)2 + (c − 1)2 =
224

Giải hệ ta được M ( 5;9; −11) , M ( −3; −7;13) .


Câu 36. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho sin 3 x + cos3 x ≤ m với mọi x ∈  .
A. m ≥ 1 .
B. m = 1 .
C. m ≤ 1 .
D. −1 ≤ m ≤ 1 .
Lời giải
Chọn A.
Đặt f=
( x ) sin 3 x + cos3 x

sin 3 x + cos3 x ≤ m với mọi x ∈  ⇔ max f ( x ) ≤ m


sin x ≤ sin x
Ta có:  3
, ∀x
2
cos x ≤ cos x
 f ( x ) ≤ 1, ∀x
Suy ra 
⇒ max f ( x ) =
1

 f ( 0 ) = 1
Vậy m ≥ 1 .
3

2

Câu 37. Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần thực âm và phần ảo dương của phương trình
z 2 + 2 z + 10 =
0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w = i 2019 z0 ?
B. M ( 3; 1) .

A. M ( 3; − 1) .

C. M ( −3; 1) .

D. M ( −3; − 1) .

Lời giải

Chọn B.

 z =−1 + 3i
Ta có: z 2 + 2 z + 10 =0 ⇔ 
. Suy ra z0 =−1 + 3i .
 z =−1 − 3i
w =i 2019 z0 =−i. ( −1 + 3i ) =3 + i .

Suy ra : Điểm M ( 3;1) biểu diễn số phức w .
Câu 38. Cho hàm số f ( x ) và F ( x ) liên tục trên  thỏa F ′ ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈  . Tính

1

∫ f ( x ) dx biết
0

F ( 0 ) = 2 và F (1) = 5 .
A.

1

∫ f ( x ) dx =
0

−3 .

B.

1

∫ f ( x ) dx = 7 .

C.

0

Chọn D.

1

∫ f ( x ) dx = 1 .
0

D.

1

∫ f ( x ) dx = 3 .
0

Lời giải

1

Ta có: ∫ f ( x=
) dx F (1) − F ( 0 ) = 3 .
0

Câu 39. Cho hàm số f ( x ) xác định trên tập số thực  và có đồ thị f ′ ( x ) như hình sau

Đặt g=
( x ) f ( x ) − x , hàm số g ( x ) nghịch biến trên khoảng
A. (1; +∞ ) .

B. ( −1; 2 ) .

C. ( 2; + ∞ ) .

D. ( −∞; −1) .

Lời giải

Chọn B.
′ ( x) f ′ ( x) −1 .
Ta có g=

Dựa vào đồ thị đã cho ta thấy ∀x ∈ ( −1; 2 ) thì f ′ ( x ) < 1 ⇔ g ′ ( x ) < 0 và g ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1 nên hàm
số y = g ( x ) nghịch biến trên ( −1; 2 ) .
Câu 40. Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh có 105 em dự thi, có 10 em tham gia buổi gặp mặt trước
kỳ thi. Biết các em đó có số thứ tự trong danh sách lập thành một cấp số cộng. Các em ngồi ngẫu nhiên
vào hai dãy bàn đối diện nhau, mỗi dãy có năm ghế và mỗi ghế chỉ ngồi được một học sinh. Tính xác
suất để tổng các số thứ tự của hai em ngồi đối diện nhau là bằng nhau.
1
1
1
1
A.
B.
C.
D.

126
252
945
954
Lời giải
Chọn C.
Mỗi cách xếp 10 học sinh vào 10 chiếc ghế là một hoán vị của 10 phần tử, vì vậy số phần tử của khơng
gian mẫu là:   10!  3628800 .
Gọi A là biến cố: “Tổng số thứ tự của các học sinh ngồi đối diện nhau là bằng nhau”.
Giả sử số vị trí của 10 học sinh trên là u1, u2 ,...., u10 . Theo tính chất của cấp số cộng, ta có các cặp số
có tổng sau đây: u1  u10  u2  u9  u 3  u 8  u 4  u7  u5  u6
10 cách
1 cách

8 cách
1 cách

6 cách
1 cách

4 cách
1 cách

2 cách
1 cách

Theo cách này có A  10.8.6.4.2  3840
Do đó xác suất của biến cố A là: P A 

3840

1
.

3628800 945

Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1; 4;5 ) , B ( 3; 4;0 ) , C ( 2; −1;0 ) và mặt
phẳng ( P ) : 3 x − 3 y − 2 z − 12 =
0 . Gọi M ( a; b; c ) thuộc ( P ) sao cho MA2 + MB 2 + 3MC 2 đạt giá trị
nhỏ nhất. Tính tổng a + b + c .
A. 3 .
B. 2 .

C. 2 .
Lời giải

Chọn A.

 
 
Gọi I x ; y ; z là điểm thỏa mãn IA  IB  3IC  0 .


Ta có: IA  1  x ; 4  y ;5  z , IB  3  x ; 4  y ;  z

và 3IC  6  3x ;  3  3y ;  3z .












D. 3 .





1  x  3  x  6  3x  0
x  2



Từ ta có hệ phương trình: 4  y  4  y  3  3y  0  y  1  I 2;1;1 .


5  z  z  3z  0
z  1







 2
  2
 
Khi đó: MA2  MA  MI  IA  MI 2  2MI . IA  IA2 .





 2
 
MB  MB  MI  IB



2



2

 
 MI  2MI . IB  IB 2 .
2

 2
 
3MC 2  3MC  3 MI  IC





2

 
 3 MI 2  2MI . IC  IC 2 .





Do đó: S  MA2  MB 2  3MC 2  5MI 2  IA2  IB 2  3IC 2 .
Do IA2  IB 2  3IC 2 không đổi nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI đạt giá trị nhỏ nhất.
Tức là M là hình chiếu của I lên mặt phẳng P  : 3x  3y  2z  12  0 .

Vectơ chỉ phương của IM là n  3;  3;  2 .







x  2  3t



Phương trình tham số của IM là: y  1  3t , t    .



z  1  2t








Gọi M 2  3t ;1  3t ;1  2t  P  là hình chiếu của I lên mặt phẳng P  .
Khi đó: 3 2  3t   3 1  3t   2 1  2t   12  0  22t  11  0  t 

1
.
2

7
7 1
1 
Suy ra: M  ;  ; 0 . Vậy a  b  c    3 .
2 2
2 
2

Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z − 3i =
5 và
A. 0 .

B. Vô số.

Chọn C.
+ Điều kiện z  4 . Đặt z  x  yi,(x , y  ) .

Lời giải

z
là số thuần ảo.
z−4
C. 1.

D. 2 .

Cách 1:

+ Ta có z  3i  5  x 2  (y  3)2  5  x 2  y 2  6y  16 1 .

x  yi . x  4  yi  x 2  4x  y 2
4yi
z
x  yi




2
2
2
z  4 x  4  yi

x  4  y 2 x  4  y 2
x  4  y 2
x 2  4x  y 2  0 2

z
x 2  4x  y 2
là số thuần ảo 
.
+
 0  
2
x  42  y 2  0
2
z 4


x
4
y
 


x
y


x 2  y 2  6y  16


Từ 1 , 2 ta có hệ:  2

 
x
x  y 2  4x  0



y


4
0
16
13
24

13


16 24
 i . Vậy chỉ có 1 số phức z thỏa mãn.
13 13
Nhận xét: Học sinh thường mắc sai lầm là thiếu điều kiện z  4 dẫn đến không loại được nghiệm.
z 


Cách 2: Vì

z
z
4bi

là số thuần ảo 
.
 bi,b  R   z 
z 4
1  bi
z 4

z  3i  5 

3b  3  4b  i
4bi  3i. 1  bi 
4bi
5
5
 3i  5 
1  bi
1  bi
1  bi





 9b 2  3  4b   25  1  b 2  b 
2

2
.Vậy chỉ có 1 số phức z thỏa mãn.
3

Câu 43. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên  và có đồ thị như hình bên dưới. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để phương trình: f ( 4 − 2sin 2 2 x ) =
m có nghiệm.

A. 2 .

B. 4 .

C. 3 .
Lời giải

Chọn D
Đặt t  4  2 sin2 2x  t  2; 4 .



D. 5 .



Do đó phương trình f 4  2 sin2 2x  m có nghiệm  phương trình f t   m có nghiệm trên đoạn
2; 4 .
 

Dựa vào đồ thị đã cho ta thấy: phương trình f t   m có nghiệm t với t  2; 4  1  m  5 . Vậy





m  1;2; 3; 4;5 .
Câu 44. Sinh viên B được gia đình gửi tiết kiệm số tiền 300 triệu đồng vào ngân hàng theo mức kì
hạn 1 tháng với lãi suất tiết kiệm là 0, 4% / tháng. Mỗi tháng, vào ngày ngân hàng tính lãi, sinh viên
B rút ra một số tiền như nhau để trang trải chi phí cho cuộc sống. Hỏi hàng tháng sinh viên này rút số
tiền xấp sỉ bao nhiêu để sau 5 năm học đại học, số tiền tiết kiệm vừa hết?
A. 5.633.922 đồng.
B. 5.363.922 đồng.
C. 5.633.923 đồng.
D. 5.336.932 đồng.

Lời giải
Chúng ta cùng làm rõ bài toán gốc sau đây:
Bài tốn: Ơng A vay ngân hàng số tiền S (triệu đồng) với lãi suất r % / tháng. Ơng ta muốn hồn nợ
cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ
liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là như nhau và ông A trả hết nợ sau
đúng n năm kể từ ngày vay. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng
đó. Hỏi số tiền mỗi tháng ơng ta cần trả cho ngân hàng là bao nhiêu?
Lời giải
Gọi x là số tiền ơng A hồn nợ mỗi tháng, sau đúng một tháng kể từ ngày vay.
Số tiền ông A nợ ngân hàng sau một tháng là: S  S .r  S 1  r  (triệu đồng).


Sau khi hồn nợ lần thứ 1 thì số tiền ông A còn nợ là: S 1  r   x (triệu đồng).
Sau khi hoàn nợ lần thứ 2 thì số tiền ơng A cịn nợ là:
2
S 1  r   x  S 1  r   x  r  x  S 1  r   x 1  r   1 (triệu đồng).





Sau khi hồn nợ lần thứ 3 thì số tiền ơng A cịn nợ là:
2
2
S 1  r   x 1  r   1  S 1  r   x 1  r   1 r  x









3
2


 S 1  r   x 1  r   1  r   1 (triệu đồng).


…
Lý luận tương tự, sau khi hồn nợ lần thứ n thì số tiền ơng A còn nợ ngân hàng là:
n
n 1
n 2


S 1  r   x 1  r   1  r   ...  1



1  r   1
 S 1  r   x
 S 1  r 
1  r   1
n

n

n



n
x

1  r   1

r 

Vì sau n tháng ơng A trả hết nợ, cho nên:
S .r 1  r 
n
x

.
 1  r   1  0  x 
n

r 

1

r

1
 
n

S 1  r 

n

S .r 1  r 

n

Vậy số tiền mỗi tháng ông ta cần trả cho ngân hàng là x 

1  r 

n

1

.

Chọn C
Áp dụng công thức đã thiết lập, với S  3.108 ; r  0, 004 ; n  60 .
Khi đó, số tiền hàng tháng mà sinh viên B rút ra là:
S .r 1  r 

n

x

1  r   1
n

 5.633.923 đồng.

 1 3 

Câu 45. Trong không gian Oxyz , cho điểm M  ;
8 . Đường
; 0 và mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 =
 2 2 
thẳng d thay đổi, đi qua điểm M , cắt mặt cầu S  tại hai điểm phân biệt. Tính diện tích lớn nhất S
của tam giác OAB.
A. S  7 .
Chọn A.

B. S  4 .

C. S  2 7 .
Lời giải

D. S  2 2 .


Mặt cầu S  có tâm O 0; 0; 0 và bán kính R  2 2 .

Vì OM  1  R nên M thuộc miền trong của mặt cầu S  . Gọi A , B là giao điểm của đường thẳng
với mặt cầu. Gọi H là chân đường cao hạ từ O của tam giác OAB .
Đặt x  OH , ta có 0  x  OM  1 , đồng thời HA  R 2  OH 2  8  x 2 . Vậy diện tích tam
giác OAB là
1
SOAB  OH .AB  OH .HA  x 8  x 2 .
2
Khảo sát hàm số f (x )  x 8  x 2 trên 0;1 , ta được max
f x   f 1  7 .
0;1
Vậy giá trị lớn nhất của S OAB  7 , đạt được khi x  1 hay H  M , nói cách khác là d  OM .
Câu 46: Một cái ao hình ABCDE (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình trịn có bán kính
10 m. Người ta muốn bắc một câu cầu từ bờ AB của ao đến vườn. Tính gần đúng độ dài tối
thiếu l của cây cầu biết :
- Hai bờ AE và BC nằm trên hai đường thẳng vng góc với nhau, hai đường thẳng này cắt
nhau tại điểm O ;
- Bờ AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm A và có trục đối xứng là đường
thẳng OA ;
- Độ dài đoạn OA và OB lần lượt là 40 m và 20 m;
- Tâm I của mảnh vườn lần lượt cách đường thẳng AE và BC lần lượt 40 m và 30 m.

A. l ≈ 17, 7 m.
Chọn A

B. l ≈ 25, 7 m.

C. l ≈ 27, 7 m.
Lời giải :

D. l ≈ 15, 7 m.

 A ∈ Oy
Gán trục tọa độ Oxy sao cho 
cho đơn vị là 10 m.
 B ∈ Ox
Khi đó mảnh vườn hình trịn có phương trình ( C ) : ( x − 4 ) + ( y − 3) =
1 có tâm I ( 4;3)
2

2

Bờ AB là một phần của Parabol ( P ) : y= 4 − x 2 ứng với x ∈ [ 0; 2]
 M ∈ ( P )
Vậy bài tốn trở thành tìm MN nhỏ nhất với 
.
 N ∈ ( C )
Đặt trường hợp khi đã xác định được điểm N thì MN + MI ≥ IM , vậy MN nhỏ nhất khi
MN + MI =
IM ⇔ N ; M ; I thẳng hàng.
Bây giờ, ta sẽ xác định điểm N để IN nhỏ nhất

N ∈ ( P ) ⇔ N ( x; 4 − x 2 ) IN=

(4 − x)

2

+ (1 − x 2 )

2

⇔ IN 2 = ( 4 − x ) + (1 − x 2 )
2

2

⇔ IN 2 = x 4 − x 2 − 8 x + 17

Xét f ( x ) = x 4 − x 2 − 8 x + 17 trên [ 0; 2] ⇔ f ′ ( x ) = 4 x3 − 2 x − 8

f ′ ( x ) = 0 ⇔ x ≈ 1,3917 là nghiệm duy nhất và 1,3917 ∈ [ 0; 2]
Ta có f (1,3917 ) = 7, 68 ; f ( 0 ) = 17 ; f ( 2 ) = 13 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của f ( x ) trên [ 0; 2] gần bằng 7, 68 khi x ≈ 1,3917
Vậy min IN ≈ 7, 68 ≈ 2, 77 ⇔ IN =
27, 7 m ⇔ MN = IN − IM = 27, 7 − 10 = 17, 7 m.
Câu 47: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ cạnh 2a , gọi M là trung điểm của BB′ và P thuộc
1
cạnh DD′ sao cho DP = DD′ . Mặt phẳng ( AMP ) cắt CC ′ tại N . Thể tích khối đa diện
4
AMNPBCD bằng
A
D
C

B
M
B′

A. V = 2a .

3

A′

P

D′
C′
B. V = 3a 3 .