Tuyển tập 45 bài đại CĐ rút gọn

NGUYN NG NH - TRNG THCS CA TNG
Rút gọn biểu thức chứa biến

A. lí thuyết.
1) Bài Toán quy đồng mẫu thức các phân thức .
Trong chơng trình lớp 8, SGK đã giới thiệu cho chúng ta phơng pháp quy đồng
mẩu thức các phân thức nh sau.
B ớc 1 . Tìm mẫu thức chung(MTC)
Trong bớc này các em cần làm các việc sau:
- Phân tích các mẩu thức thành nhân tử.
- Lập tích gồm các NTC có số mủ cao nhất và các NT riêng để có
MTC.
B ớc 2 . Tìm NTP của từng phân thức. (để tìm NTP các em cần lấy MTC vừa tìm
đợc
chia cho MT riêng của từng phân thức).
B ớc 3 . Quy đồng. (Nhân cả tử và mẩu của từng phân thức với NTP tơng ứng).
Ví dụ 1: Quy đồng mẩu thức các phân thức sau:
a)
1
2
1

x
và
1
2
2
1
+
xx
b)

4
1

x
và
44
1
+
x
x
c)
x
x
2
1
+
và
4
1
2

x
Giải:
a)Đầu tiên ta phải tìm MTC:
Ta có: x
2
1 = (x 1)(x + 1)
và: x
2
2x + 1 = (x 1)

2
khi phân tích xong ta thấy Nhân tử
chung là (x 1), còn nhân tử riêng là (x + 1)


MTC là: (x 1)
2
. (x + 1)
Tìm đợc MTC rồi, ta tiến hành tìm nhân tử phụ(NTP) của từng phân thức:
Để tìm NTP của phân thức
1
2
1

x
ta lấy MTC là (x 1)
2
. (x + 1) chia
cho Mẩu thức riêng của nó là (x
2
1) hay (x 1)(x + 1)

Vì (x 1)
2
. (x + 1)
M
(x 1)(x + 1) = x 1


NTP của phân thức

1
2
1

x
là: (x 1)
Tơng tự, để tìm NTP của phân thức
1
2
2
1
+
xx
ta lấy MTC là (x 1)
2
.
(x + 1) chia cho Mẩu thức riêng của nó là x
2
2x + 1 hay (x 1)
2

Vì (x 1)
2
. (x + 1)
M
(x 1)
2
= x + 1

NTP của phân thức
1
2
2
1
+
xx
là: (x + 1)
ễN THI LP 10 NM HC 08-09 1
NGUYN NG NH - TRNG THCS CA TNG
Công việc còn lại của chúng ta là quy đồng các phân thức đã cho.
- Để quy phụ của nó là (x 1). Tức là:
( ) ( ) ( ) ( )
11
1
11
1
22
11
++

==

xx
x
xxx

Tơng tự:
( ) ( ) ( )
11

1
1
1
2
222
11
+
+

==
+
xx
x
xxx
b) Ta có: x 4 = (
x
)
2
- 2
2
= (
x
2)(
x
+ 2)
và: x 4
x
+ 4 = (
x
2)

2



MTC là: (
x
2)
2
. (x + 2)
+) NTP của phân thức
4
1

x
là: (
x
- 2)
+) NTP của phân thức
44
1
+
x
x
là: (
x
+ 2)



4

1

x
=
( ) ( )
22
1
+
xx
=
( ) ( )
22
2
2
+

xx
x
Và
44
1
+
x
x
=
( )
2
2
1

x
=
( ) ( )
22
2
2
+
+
xx
x
c) Tơng tự.
B. Các dạng toán liên quan.
Dạng 1. Bài toán tìm x để biểu thức P = m (m là hằng số)
Bớc 1. Sử dụng tính chất
cbda
d
c
b
a
..
==
để làm mất mẩu của phơng trình.
Bớc 2. Giải phơng trình vừa thu đợc để tìm đợc x.
Bớc 3. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí.
Ví dụ: Cho A =
1

x
x
(với x

0 và x

1).
Tìm các giá trị của x để:
a) A = 2. b) A =
3
2
c) A =
2
1

Giải: Ta có:
a) A = 2


1

x
x
= 2


x
= 2(
x
- 1)


x

= 2
x
- 2


2 = 2
x
-
x



x
= 2

x = 4 (TMĐK)
Vậy với x = 4 thì A =2.
b) A =
3
2



1

x
x
=
3
2

3
x
= 2(
x
- 1)

3
x
= 2
x
- 2
ễN THI LP 10 NM HC 08-09 2
NGUYN NG NH - TRNG THCS CA TNG


3
x
- 2
x
= - 2


x
= - 2 (VN)
Vậy không có giá trị nào của x để A =
3
2
.

c) đồng mẩu của phân thức ta lấy tử và mẩucùng nhân với nhân
tử A =
2
1




1

x
x
=
2
1



2
x
= - (
x
- 1)

2
x
= -
x
+ 1

2
x
+
x
= 1

3
x
= 1


x
=
3
1


x =
9
1

(TMĐK)
Vậy với x =
9
1
thì A =
2
1

.
Dạng 2. Bài toán tìm x để biểu thức P < m hoặc P > m, hoặc P

m,
hoặc P

m (m là hằng số)
Bớc 1. Chuyển m sang vế trái, quy đồng mẩu thức các phân thức rồi làm
gọn vế trái.
Bớc 2. Xác định dấu của tử hoặc mẩu của vế trái, từ đó có đợc một bất ph-
ơng
trình đơn giản (không chứa mẩu).
Bớc 3. Giải bất phơng trình trên để tìm đợc x.
Bớc 4. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí.
Ví dụ: Cho A =
1
1
+

x
x
(với x

0).
Tìm các giá trị của x để:
a) A >
3
1
. b) A <
5

2
c) A


2
1
Giải: Ta có:
a) A >
3
1



1
1
+

x
x
>
3
1



1
1
+

x

x
-
3
1
> 0


)1(3
)1(3
+

x
x
-
)1(3
)1(
+
+
x
x

> 0



)1(3
)1()1(3
+
+
x

xx
> 0


)1(3
133
+

x
xx
> 0


)1(3
42
+

x
x
> 0 (*)
Vì với điều kiện x

0 thì 3(
x
+ 1) > 0

(*)

2
x

- 4 > 0

2
x

> 4



x
> 2

x > 4
Vậy với x > 0 thì A >
3
1
.
b) A <
5
2



1
1
+

x
x
<

5
2



1
1
+

x
x
-
5
2
< 0


)1(5
)1(5
+

x
x
-
)1(5
)1(2
+
+
x
x

< 0



)1(5
)1(2)1(5
+
+
x
xx
< 0


)1(5
2255
+

x
xx
< 0


)1(5
73
+

x
x
< 0 (**)

ễN THI LP 10 NM HC 08-09 3
NGUYN NG NH - TRNG THCS CA TNG
Vì với điều kiện x

0 thì 5(
x
+ 1) > 0

(**)

3
x
- 7 < 0

3
x
< 7



x
<
3
7


x <
9
49
Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc 0

x <
9
49
.
Vậy với 0

x <
9
49
thì A <
5
2
.
c) A


2
1



1
1
+

x
x

2
1



1
1
+

x
x
-
2
1


0


)1(2
)1(2
+

x
x
-
)1(2
)1(
+

+
x
x


0

)1(2
)1()1(2
+
+
x
xx


0


)1(2
122
+

x
xx


0


)1(2

3
+

x
x


0 (***)
Vì với điều kiện x

0 thì 2(
x
+ 1) > 0

(***)


x
- 3

0


x


3
Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc 0

x

9.
Vậy với 0

x

9 thì A


2
1
.
Dạng 3. Bài toán so sánh biểu thức P với m (m là hằng số)
Bớc 1. Tính P m = ?
Bớc 2. Nhận xét dấu của hiệu P m để có kết quả so sánh.
+) Nếu P m > 0 thì P > m.
+) Nếu P m < 0 thì P < m.
+) Nếu P m = 0 thì P = m.
Ví dụ: Cho P =
x
x 1

(với x > 0).
Hãy so sánh P với 1.
Giải: Ta có: P 1 =
x
x 1

- 1 =
x

x 1

-
x
x
=
x
xx

)1(
=
x
1

Vì
x
1

< 0

P 1 < 0

P < 1.
Dạng 4. Bài toán Chứng minh biểu thức P < m (m là hằng số) với
mọi giá trị của x thuộc ĐKXĐ.
Bớc 1. Tính P m = ?
Bớc 2. Nhận xét dấu của hiệu P m để có điều phải chứng minh.
+) Nếu P m > 0 thì P > m.
+) Nếu P m < 0 thì P < m.
+) Nếu P m = 0 thì P = m.

Ví dụ: Cho P =
x
x 1
+
(với x > 0).
Chứng minh rằng: P > 1 với mọi giá trị của x > 0.
Giải: Ta có: P 1 =
x
x 1
+
- 1 =
x
x 1
+
-
x
x
=
x
xx
+
)1(
=
x
1
ễN THI LP 10 NM HC 08-09 4
NGUYN NG NH - TRNG THCS CA TNG
Vì với x > 0 thì
x
> 0

x
1
> 0

P 1 > 0

P > 1.
(đpcm)
Dạng 5. Bài toán tìm x để biểu thức P nhận giá trị nguyên (nguyên
dơng)
Bớc 1. Biến đổi biểu thức P về dạng:
P = m +
)(xA
n
(m, n

Z, A(x) là biểu thức chứa x)
Bớc 2. Biện luận:
Vì m

Z nên để P nguyên thì
)(xA
n
phải nguyên, mà
)(xA
n

nguyên thì A(x)

phải là ớc của n.
Bớc 3. Giải các phơng trình: A(x) = Ư
(n)
để tìm đợc x.
Bớc 4. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí.
Ví dụ 1: Cho P =
1
2

+
x
x
(với x

0 và x

1).
Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.
Giải: Ta có: P =
1
2

+
x
x
=
1
3)1(

+

x
x
=
1
1


x
x
+
1
3

x
= 1 +
1
3

x

Để P nhận giá trị nguyên thì
1
3

x
phải nhận giá trị guyên, mà
1
3

x

nguyên
thì
x
- 1 phải là ớc của 3.










=
=
=
=
11
11
31
31
x
x
x
x

=
=
=
=
0
2
)(2
4
x
x
VNx
x








=
=
=
0

4
16
x
x
x

)(
)(
)(
TMDK
TMDK
TMDK
Vậy với x = 0, x = 4 và x = 16 thì P nhận giá trị nguyên.
Ví dụ 2: Cho M =
2

x
x
(với x

0 và x

4).
Tìm các giá trị của x để M nhận giá trị nguyên dơng.
Giải: Ta có: M =
2

x
x
=

2
2)2(

+
x
x
=
2
2


x
x
+
2
2

x
= 1 +
2
2

x

Để P nhận giá trị nguyên thì
2
2

x
phải nhận giá trị guyên, mà

2
2

x
nguyên
thì
x
- 2 phải là ớc của 2.










=
=
=
=
12
12
22
22
x
x
x
x

=
=
=
=
1
3
0
4
x
x
x
x

=
=
=
=
1
9
0
16
x
x
x
x

)(
)(
)(
)(
TMDK
TMDK
TMDK
TMDK
ễN THI LP 10 NM HC 08-09 5
NGUYN NG NH - TRNG THCS CA TNG
Với x = 16 thì M =
216
16

=
24

4

= 2 > 0 (TM)
Với x = 0 thì M =
20
0

=
2
0

= 0 (loại)
Với x = 9 thì M =
29
9

=
23
3

= 3 > 0 (TM)
Với x = 1 thì M =
21
1

=
1
1

= - 1 < 0 (loại)

Vậy với x = 16 và x = 9 thì M nhận giá trị nguyên dơng.
Dạng 6. Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P.
a) Khái niệm:
+) Nếu P(x)

m (m là hằng số) thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của P(x).
+) Nếu P(x)

k (k là hằng số) thì k gọi là giá trị lớn nhất của P(x).
b) Cách giải:
Bớc 1. Biến đổi biểu thức P về dạng:
P = m +
)(xA
n
(m, n

Z, A(x) là biểu thức chứa x)
Bớc 2. Biện luận:
Trờng hợp 1. n > 0 .
+) P đạt giá trị lớn nhất khi A(x) đạt giá trị nhỏ nhất.
+) P đạt giá trị nhỏ nhất khi A(x) đạt giá trị lớn nhất.
(Vì: Để P đạt giá trị lớn nhất thì
)(xA
n
phải đạt giá trị lớn nhất tức
là A(x) phải đạt giá trị nhỏ nhất.
Còn để P đạt giá trị nhỏ nhất thì
)(xA
n

phải đạt giá trị nhỏ nhất
tức là A(x) phải đạt giá trị lớn nhất).
Trờng hợp 2. n < 0 .
+) P đạt giá trị lớn nhất khi A(x) đạt giá trị lớn nhất.
+) P đạt giá trị nhỏ nhất khi A(x) đạt giá trị nhỏ nhất.
Bớc 3. Tiến hành tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của A(x) để có đợc giá
trị lớn
nhất hoặc nhỏ nhất của P
Bớc 4. Tìm điều kiện để xảy ra dấu bằng.
Bớc 5. Kết luận.
Ví dụ 1: Cho P =
1
3
+
+
x
x
(với x

0).
Tìm giá trị lớn nhất của P.
Giải: Ta có: P =
1
3
+
+
x
x
=
1

2)1(
+
++
x
x
=
1
1
+
+
x
x
+
1
2
+
x
= 1 +
1
2
+
x
Ta thấy: Vì ở đây n = 2 > 0 nên: Để P đạt giá trị nhỏ nhất thì
x
+ 1
phải đạt giá
trị lớn nhất.
Vì:
x

0


x
+ 1

1

Giá trị nhỏ nhất của
x
+ 1 là 1


Giá trị lớn nhất của P là: 1 +
1
2
= 3
ễN THI LP 10 NM HC 08-09 6