Cuoc doi su nghiep cac nha toan hoc 2

Sau đây sẽ là mục lục những nhà Toán Học có trong topic này:
Trang 3
- Nguyễn Cảnh Toàn
- John VON NEUMANN
- Blaise PASCAL
- EUCLIDE
- Alan Mathison TURING
- Pierre FERMAT
- DÉMOCRITE of d'Abdère
- Colin MACLAURIN
- David HILBERT
- Albert EINSTEIN
- Tại sao không có giải NOBEL cho ngành Toán ?
- Lịch sử về phương trình bậc ba
- Karl Theodor Wilhem WEIERSTRASS
- John NAPIER (NEPER)
- Georg Friedrich Bernhard RIEMANN
- Francois VIÈTE
- Augustin-Louis CAUCHY
- Leonhard EULER
- John Charles FIELDS và Giải FIELDS
Trang 4
- Danh mục các nhà Toán học đạt Giải FIELDS (1936 - 1998)
- Ngô Bảo Châu (Giải thưởng Toán học Clay 2004)
- Lê Tự Quốc Thắng
- Julius Wilhelm Richard DEDEKIND
- George BOOLE
- Gaspard MONGE
- Hermann MINKOWSKI
- Arthur CAYLEY
- Winifred Edgeton MERRILL

- Nhóm BOURBAKI
- Peter Gustav LEJEUNE DIRICHLET
- Jacob STEINER
- Joseph Louis LAGRANGE
- Christian Felix KLEIN
- HYPATIE
- Henri LEBESGUE
- János BOLYAI
- Jean LEROND D'ALEMBERT
- Jean - Baptiste Joseph FOURIER
- Gabriel CRAMER
- Dòng họ BERNOULLI
- Marin MERSENNE
- Giuseppe PEANO
- William Rowan HAMILTON
- Những nữ tiến sĩ Toán đầu tiên ở các Ðại học Bắc Mỹ
- Pierre Simon LAPLACE
- Brook TAYLOR
GS Nguyễn Cảnh Toàn - Tự học thành tài
Ông được Trung tâm Tiểu sử danh nhân của Mỹ (ABI) đánh giá là một trong
những trí tuệ Việt Nam lớn nhất của thế kỉ XX. Vị giáo sư toán học đáng kính
năm nay đã bước vào tuổi 78 (ông sinh năm 1926), nhưng rất minh mẫn và tích
cực hoạt động khoa học. Trò chuyện với ông, chúng tôi không khỏi kinh ngạc về
năng lực tự học của ông - điều mà ngày nay hầu như học sinh, sinh viên của ta
không có.
Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn quê ở Đô Lương (Nghệ An), một vùng quê có truyền
thống trọng học. Cha ông là nhà nho, thi hương mãi không đỗ, lại gặp lúc bãi
bỏ khoa cử Hán học. Cụ phẫn chí vì không thoả được ước nguyện đua tranh “bia
đá bảng vàng” nên dồn hết sự trông đợi vào con cái, bởi thế, nên cụ rất quan
tâm tới việc học của các con. Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn kể: cụ theo riết việc

học của chúng tôi, hay so sánh với con nhà hàng xóm, cứ mỗi lần học là cụ lại
ngồi gần đấy “theo dõi”. Hồi đó, chúng tôi xếp thứ theo từng tháng, hễ tháng
nào tôi kém là phiền với cụ, cụ dầy dà suốt. (Chính vì thế mà sau này, cả bốn anh em nhà ông thì hai
người là GS.TSKH, một người là GS.TS, một người là TS...
Tuy vậy, khi học bậc tiểu học, cậu bé Nguyễn Cảnh Toàn cũng chỉ vào loại khá chứ chưa xuất sắc, chưa
tỏ ra có năng khiếu gì, chỉ một lần duy nhất cậu được tuyên dương môn… văn. Tốt nghiệp tiểu học, cậu
lên học ở Quốc học Vinh bậc thành chung. Thời gian này, năng khiếu về môn toán của cậu bộc lộ rất
rõ, bởi tính cậu hay tò mò, muốn hiểu cặn kẽ mọi vấn đề, nên khi học, cậu là người rất hay hỏi, nhiều
khi không thoả mãn cậu tìm những sách tham khảo để đọc thêm. Dần dần, cậu đã xếp thứ nhất trong
lớp. Hồi đó, Nguyễn Cảnh Toàn trọ học cùng một anh lớp trên, thấy anh này học toán có nhiều điều mà
lớp dưới chưa học đến, cậu thích lắm, lân la mượn sách xem, ấy thế chẳng mấy chốc cậu giải được cả
những bài toán lớp trên. Một lần cậu đi tàu hoả, bỗng nảy ý tò mò muốn tính vận tốc tàu ra sao. Cậu
nhìn ra những cột cây số bên đường, tính toán thời gian đi tiếp sang cột cây số khác là mấy phút, thế
là biết được vận tốc tàu. Nhưng có những đoạn đường không có cột cây số thì làm thế nào mà tính
được? Cậu để ý thấy mỗi khi bánh sắt tàu nghiến trên thanh ray, đến khoảng nối giữa hai thanh thì
phát ra một tiếng “kịch”, cậu đo độ dài một thanh ray rồi đếm tiếng động trong một phút, vậy là biết
vận tốc tàu… đại khái cứ tự mày mò như vậy mà cậu học môn toán rất giỏi. GS, Nguyễn Cảnh Toàn kể,
tôi học giỏi được còn là do thầy giáo Đinh Thành Chương rất quý tôi (thầy Chương dạy cả 4 môn toán,
lý, hoá, sinh) hễ thầy có quyển sách mới nào cũng gọi tôi đến cho mượn (thầy thường đặt mua sách
bên Pháp). Tác động của việc này, theo tôi là lớn lắm, vì thầy cho mượn sách thì buộc mình phải đọc
kỹ, kẻo khi thầy hỏi còn biết đường trả lời. Thầy Chương nhiều lần tuyên dương Toàn trước lớp rằng:
“Toàn không phải thần đồng, nhưng biết cách học, các trò phải theo gương Toàn”.
Tốt nghiệp xuất sắc bậc thành chung, Nguyễn Cảnh Toàn vào Huế học tiếp bậc tú tài ở Quốc học Huế.
Hồi đó, bậc tú tài chia làm hai phần: học xong hai năm đầu, thi đậu gọi là tú tài bán phần, sau đó học
tiếp một năm, thi đậu sẽ là tú tài toàn phần. Năm thứ ba này, chỉ có hai phân ban là triết và toán.
Nghe nói học ở phân ban toán sẽ được học tới bẩy môn toán là Hình học; Số học; Lượng giác; Đại số;
Cơ học; Hình học hoạ hình; Thiên văn, Toàn thấy lạ lắm và háo hức muốn học ngay những môn đó
xem sao. Thế là Toàn nảy ý định “nhảy cóc”. Những ngày nghỉ, cậu tự học chương trình của năm thứ
hai, cuối năm đó, cậu đăng ký dự kỳ thi tú tài bán phần (hồi ấy quy chế dự thi rất thoáng, ai đủ khả
năng cứ việc đăng ký, không cần học tuần tự từng lớp). Nguyễn Cảnh Toàn đã đỗ xuất sắc và vào học

phân ban toán, năm sau cậu dễ dàng đỗ tú tài toàn phần, đó là năm 1944.
Lúc này, Nguyễn Cảnh Toàn phải chịu một chút phiền phức nho nhỏ, bởi cậu muốn theo học Đại học
khoa học, nhưng cha mẹ lại nhất quyết bắt cậu phải học đại học Luật, bởi các cụ nghĩ rằng học đại học
khoa học sau này chỉ làm thầy giáo thôi, còn học luật ra trường là làm quan. Chiều lòng cha mẹ,
Nguyễn Cảnh Toàn đăng ký học luật (trường này chỉ cần ghi tên là được) nhưng vẫn lén thi vào đại học
khoa học (số 5 Lê Thánh Tông bây giờ). Đại học khoa học trước kia Pháp không mở ở Đông Dương, chỉ
đến thế chiến II, khi con em người Pháp ở Đông Dương về Pháp học cũng không được nên chúng mới
mở bên ta, muốn học trường này, phải thi đỗ mới được vào. Nguyễn Cảnh Toàn thi đỗ, nhưng mới học
được 5 tháng thì Nhật đảo chính Pháp, trường đóng cửa, ông phải về quê. Cách mạng tháng Tám, ông
tham gia khởi nghĩa giành chính quyền ở địa phương, tích cực dạy truyền bá quốc ngữ. Đến tháng
9/1946, Chính phủ ta mở lại trường đại học, ông lên Hà Nội học tiếp, vừa hay ĐH khoa học mở cuộc thi
chứng chỉ toán đại cương cho những người đã học xong năm thứ nhất. Tuy ông mới học được năm
tháng, nhưng đã tự học chương trình cả năm, nên ông ghi tên thi và đã đỗ thủ khoa. Ông học tiếp hai
chứng chỉ là Cơ học thuần lý và Vi phân tích phân, nhưng vừa được một tháng thì kháng chiến toàn
quốc bùng nổ, trường lại tan tác, ông lại về quê tham gia công tác tuyên truyền kháng chiến.
Năm 1947, Liên khu Bốn mở trường Trung học chuyên ban Huỳnh Thúc Kháng (ở Hà Tĩnh), nhà trường
mời ông làm giáo viên môn toán, ông được dạy hẳn học sinh lớp thứ hai. Sang năm sau, vì thiếu người
nên ông được phân công dạy luôn lớp thứ ba (cuối cấp). Nhiều giáo viên trong trường lo ông không
đảm đương nổi, vì ông mới chỉ học đại học chưa đầy một năm, họ động viên: cậu đừng sợ, cứ giở sách
toán của Bờ-ra-xê (Brachet) ra mà dạy. (Brachet là thạc sỹ toán học, nguyên Giám đốc Nha học chính
Đông Dương. Các sách giáo khoa toán dạy cho học sinh Đông Dương hồi ấy đều do Brachet viết).
Nguyễn Cảnh Toàn chỉ cười, thực ra ông rất muốn nhận dạy lớp cuối cấp để thử xem trình độ của
mình. Ông chuẩn bị giáo án rất cẩn thận, chỉnh lý những chỗ dở trong sách của Brachet, (sách của
Brachet dạy mang tính áp đặt mà không có chứng minh giải thích, các định nghĩa đưa ra cứ như từ trên
trời rơi xuống). Chỉ sau ba tháng, ông đã nổi tiếng dạy giỏi ở Liên khu bốn. Thiếu giáo viên nên ông
còn nhận dạy cả môn… triết học. Học trò của ông hồi này có nhiều người học giỏi và thành đạt như GS.
Nguyễn Đình Tứ, nguyên uỷ viên Bộ Chính trị, Trưởng Ban Khoa Giáo Trung ương. Ông Tứ cũng học rất
giỏi, được thầy Nguyễn Cảnh Toàn cho “nhảy cóc” một năm.
Dạy ở trường Huỳnh Thúc Kháng đến năm 1949 thì Bộ Giáo dục mở cuộc thi tốt nghiệp đại học cho
những sinh viên đang học dở dang thì bị chiến tranh phải tạm ngừng. Đó có lẽ là cuộc thi “vô tiền

khoáng hậu” ở Việt Nam ta, bởi vì, cả nước chỉ có một mình Nguyễn Cảnh Toàn dự thi. Ba vị giám khảo
là Đặng Phúc Thông, Nguyễn Thúc Hào và Phó Đức Tố chấm cho một thí sinh. Nguyễn Cảnh Toàn đã
vượt qua tất cả các nội dung thi và đỗ. Năm sau, ông được tín nhiệm mời làm giám khảo kỳ thi toán
đại cương. Kỳ thi này cũng chỉ có hai người thi là ông Hoàng Tuỵ và ông Nguyễn Văn Bàng. Cả hai đều
đỗ, riêng ông Tuỵ đỗ loại giỏi.
Năm 1951, ông được điều đi dạy đại học (là giáo viên phổ thông đầu tiên lên dạy đại học). Hồi ấy,
trường đại học của Việt Nam gọi là Dục tài học hiệu đóng nhờ ở Nam Ninh (Trung Quốc). Dục tài học
hiệu chỉ có hai khoa là Sư phạm cao cấp và Khoa học cơ bản. Cả trường chỉ có 9 giáo viên dạy 127 sinh
viên. Đến năm 1954 giải phóng Thủ đô, Dục tài học hiệu chuyển về Hà Nội và tổ chức thành hai
trường: ĐH sư phạm khoa học tự nhiên và ĐH sư phạm khoa học xã hội. Số lượng giáo viên vẫn rất ít,
bởi thế, chủ trương của ta hồi ấy là chỉ đặt mục tiêu dạy học là chính, chứ không nghiên cứu khoa học.
Thầy giáo Nguyễn Cảnh Toàn là người đầu tiên xông vào nghiên cứu khoa học. Ông lặng lẽ làm đề tài,
khi có kết quả kha khá, ông báo cáo lên ông Lê Văn Thiêm là Hiệu phó, Chủ nhiệm khoa Toán, Tiến sỹ
ở Pháp về. Ông Thiêm cho đem công trình ra báo cáo trước khoa, nhưng sau rồi đề tài cũng bỏ đó, bởi
không ai biết đánh giá ra sao. Năm 1957, Bộ Giáo dục cho 9 thầy giáo đi thực tập sinh ở Đại học
Lômônôxôp (Liên Xô) trong đó có thầy Nguyễn Cảnh Toàn. Ông Toàn nảy ý định đem đề tài của mình
sang Liên Xô xem người ta đánh giá thế nào. Vì chưa biết tiếng Nga, ông viết bằng tiếng Pháp. Ông
đưa cho một vị giáo sư toán học của Đại học Lômônôxôp xem, hai tháng sau ông này gặp Nguyễn
Cảnh Toàn bảo: đề tài của anh rất tốt, xứng đáng làm luận án Phó Tiến sỹ. Được sự hướng dẫn của vị
giáo sư đó, ông viết lại luận án bằng tiếng Nga và đi báo cáo ở các trường đại học. Ngày 24/6/1958, tại
Đại học Lômônôxôp đã diễn ra buổi bảo vệ đề tài PTS của một người Việt Nam đầu tiên. Buổi bảo vệ đã
thành công. Về nước, ông làm chủ nhiệm Khoa toán của Đại học Sư phạm. Vừa dạy học, ông lại tiếp
tục nghiên cứu khoa học. Năm 1963, ông đã viết xong luận án tiến sỹ, nhưng cũng như lần trước, ông
không biết liệu công trình của mình có giá trị không . Được ông Tạ Quang Bửu động viên rằng, cứ gửi
sang Liên Xô để người ta thẩm định xem sao. Ông gửi, thế là được mời sang bảo vệ. Từ lúc gửi đến lúc
bảo vệ thành công chỉ có ba tháng.
Câu chuyện của chúng tôi còn dài dài. Sợ ông mệt (ông vừa đi mổ mắt về), tôi xin phép ra về. Ông
dặn: Anh là nhà báo, phải làm sao tuyên truyền quảng bá mạnh cho sự tự học. Lâu nay, chúng ta mất
sự tự học, do việc dạy thêm, học thêm tràn lan, xói mòn nội lực tự mày mò nghiên cứu. Học trò bây
giờ thụ động quá, đi học chỉ nhăm nhăm những nội dung thi cử, cái khác thì bỏ qua. Cứ thế này thì

nguy lắm, nước nhà sẽ chẳng bao giờ có đội ngũ khoa học sánh tầm với nước ngoài được.
John Louis von Neumann.
Von Neumann là một thiên tài toán học, người đã đề xướng khái niệm chương trình được lưu trữ
(stored-program), tác giả của thiết kế máy IAS mà sau này đã trở thành kiểu mẫu cho máy tính thế hệ
sau – kiến trúc von Neumann.Các máy tính thời kỳ đầu không lưu trữ chương trình bên trong bộ nhớ
máy tính mà được đưa vŕo từ bên ngoài thông qua các thẻ đục lỗ.
Von Neumann ngay từ nhỏ đă là một thiên tài. Ông sinh ra trong một dòng họ ở Budapest, Hungary.
Lúc mới 6 tuổi, ông đã có thể tính nhẩm các phép chia các con số có 8 chữ số. Từ nhỏ lúc ở Budapest,
ông đă được giáo dục dưới sự giám sát của M. Fekete lŕ người mà sau đó ông đă cùng hợp tác để công
bố bài báo đầu tiên của mình vào năm 18 tuổi. Vào trường Ðại học Budapest vào năm 1921, ông
nghiên cứu hóa học và nhận được văn bằng kỹ sư hóa học vŕo năm 1925 (sau hai lần dời cơ sở nghięn
cứu sang Berlin và Zurich). Ông trở lại với niềm đam mê toán học ban đầu của mình sau khi hoàn tất
luận văn Tiến sĩ vào năm 1928. Ông nhanh ****ng gây được danh tiếng trong lĩnh vực lý thuyết Tập
hợp, Số học và Cơ lượng tử.
Trong lúc tình hình chính trị tại trung Âu đang rối ren, ông được mời vŕo trường Ðại học Princeton vào
năm 1930. Sau đó, vŕo năm 1933, khi Viện nghięn cứu IAS (Institute for Advanced Studies) được thŕnh
lập, ông đă được bổ nhiệm lŕ một trong sáu giáo sư toán đầu tięn. Sau này, khi chiến tranh thế giới thứ
hai kết thúc, do sự bảo trợ của Oskar Morganstern, von Neumann và KurtGudel đã trở thành công dân
Hoa Kỳ vì cả hai ông đều không dính líu đến các hoạt động chiến tranh.
Trong khoảng thời gian từ 1936 đến 1938, Alan Turing lŕ một sinh viên thuộc khoa Toán trường Ðại học
Princeton và đang thực hiện luận văn tốt nghiệp của měnh dưới sự hướng dẫn của Alonzo Church. Von
Neumann mời Turing ở lại viện để lŕm phụ tá nhưng Turing lại thích trở lại Cambridge hơn. Chuyện này
xảy ra không lâu sau khi Turing công bố bài báo "On Computable Numbers with an Application to the
Entscheidungs-problem" của ông liên quan đến bảng thiết kế logic của một chiếc máy tính công dụng
chung vào năm 1934. Sự kiện nŕy đă đặt ra một câu hỏi lŕ liệu von Neumann đă từng biết đến ý tưởng
của Turing vŕ áp dụng để thiết kế chiếc máy của IAS mười năm sau đó hay không.
Mối quan tâm về máy tính của von Neumann tiến bộ hơn so với những người cùng thời khi ông nhanh
****ng nhận ra ứng dụng của máy tính là áp dụng toán để giải các vấn đề cụ thể, thay vě chỉ ứng
dụng để phát triển các bảng tính. Trong suốt thời chiến, kiến thức chuyęn gia của von Neumann về
thủy động lực học, lý thuyết đạn đạo, lý thuyết trň chơi và thống kê đã giúp ích nhiều cho ông trong

nhiều đề án khác nhau.
Công việc này đã khiến ông xem xét đến việc sử dụng các thiết bị cơ khí để tính toán. Dů những câu
chuyện về von Neumann thường nói rằng chiếc máy tính đầu tięn ông tiếp xúc là ENIAC nhưng thực sự
đó lŕ chiếc máy tính Mark I của Howard Aiken tại trường Ðại học Harvard. Các hoạt động của ông năm
1944 cũng cho thấy lŕ ông không chỉ quan tâm đến công việc của Aiken mŕ còn quan tâm đến các máy
tính rờ-le điện từ của George Stibitz vŕ công việc của Jan Schilt tại phòng thí nghiệm máy tính tại
trường Ðại học Columbia tại Watson.
Những năm sau của chiến tranh thế giới thứ hai, von Neumann đóng vai trň cố vấn luật pháp, phục vụ
trong một số hội đồng quốc gia, vŕ vận dụng tài năng thiên phú của mình khi ông nhanh ****ng tìm ra
giải pháp của mọi vấn đề phức tạp nảy sinh trong tổ chức.Nhờ vào điều này, ông đã trở thành một mối
nối quan trọng giữa các nhóm khoa học gia thời bấy giờ (hoạt động của các nhóm này được giữ tuyệt
mật). Ông là người đã phối hợp được nhu cầu của phňng thí nghiệm quốc gia Los Alamos (và đề án
Manhattan) với khả năng của những kỹ sư thế hệ đầu tięn tại khoa Ðiện tử của trường Ðại học Moore.
Chính những kỹ sư này đã xây dựng ENIAC và sau này trợ giúp chính ông xây dựng chiếc máy IAS. Các
"siêu máy tính" được phòng thí nghiệm quốc gia xây dựng sau này là những bản sao của chiếc máy của
ông.
Sau chiến tranh, von Neumann chú tâm đến việc phát triển viện nghięn cứu máy tính IAS và các chi
nhánh trên khắp thế giới. Công việc của ông cùng với nhóm Los Alamos vẫn tiếp tục và ông tiếp tục
nghiên cứu phát triển khả năng của máy tính nhằm đáp ứng các nhu cầu tính toán cho việc giải quyết
nhiều bŕi toán năng lượng hạt nhân lięn quan đến bom hydro.
Quan điểm của ông về kiến trúc máy tính đă dẫn đến kiến trúc hạ tầng máy tính rất nổi tiếng thường
được gọi lŕ "kiến trúc von Neumann". Thông qua bảng báo cáo với đầu đề "First Draft of a Report on
EDVAC" (năm 1945) được viết chủ yếu bởi von Neumann, ông đă giới thiệu với ngành công nghiệp lúc
đó những thành phần cơ bản của khái niệm chương trình máy tính. Máy EDVAC được xem là máy tính
có chương trình đầu tiên. Sau này, tại trường Ðại học Moore vào năm 1946, Maurice Wilkes cùng với
phòng Thí nghiệm Toán học của trường Ðại học Cambridge đã thai nghén một thiết kế riêng của mình
về chiếc máy EDSAC, sau này trở thành một máy tính có chương trình được lưu trữ đầu tięn thực sự
hoạt động hiệu quả.
Vào những năm 1950, von Neumann được IBM mời lŕm tư vấn để xem xét tính khả thi của những đề
án kỹ thuật cao sắp được triển khai. Cứ mỗi tuần một ngŕy, von Neumann tổ chức ra một "tòa án" tại

số 590 đường Madison Avenue, NewYork. Vào năm 1954, trong một phiên làm việc, ông đã biết đến ý
tưởng của ngôn ngữ FORTRAN.
John Backus (tác giả FORTRAN) đă nhớ lại rằng lúc đó von Neumann không hề bị thu hút và ông hỏi
"tại sao anh lại muốn có nhiều ngôn ngữ máy?". Frank Beckman cũng có mặt lúc đó đă kể lại là von
Neumann đã đề nghị hủy bỏ toàn bộ đề án vì "chẳng qua đó cũng chỉ là một ứng dụng của ý tưởng về
mã Turing rút gọn (Turing’s short code)".
Blaise Pascal (1623 - 1662) thần đồng Toán học
Máy tính Pascaline, 6 số
Blaise Pascal sinh tại Clermont Ferrand, miền Auvergne nước Pháp, ngày 19 tháng 6 năm 1623. Cha
của Pascal, ông Etienne, trước kia là một luật gia tại thành phố Paris và vào lúc Pascal chào đời, ông là
chánh án tòa Hộ tại Clermont. Khi Pascal lên 3 tuổi, bà mẹ Antoinnette Bégan từ trần, để lại cho chồng
3 người con là Gilberte, Blaise và Jacqueline lúc đó đều còn quá nhỏ.
Ngay từ khi mới tập nói, Pascal đã tỏ ra là một đứa trẻ có năng khiếu khác thường. Lớn lên, Pascal
thường hỏi người lớn những câu hỏi hắc búa và cậu cũng trả lời được những câu hỏi thật khó giải đáp.
Những điều này làm cho ông Etienne tin tưởng rằng con của ông là một thiên tài, vì vậy ông quyết định
lấy cách giáo dục con. Nguyên tắc của ông là luôn luôn khiến cho đứa trẻ làm các việc khó khăn hơn,
tiến bộ hơn.
Vào năm 1631, ông Etienne nhường chức vụ của mình cho người khác rồi dọn nhà lên thành phố Paris
để chăm sóc sự học vấn của con. Ông tự đảm trách việc giáo huấn và vì vậy, Pascal không có thầy giáo
nào khác ngoài người cha thân yêu tài ba. Cậu được dạy cách quan sát, suy tưởng và thường học được
những kiến thức qua các cuộc đàm luận với cha. Khởi đầu, ông Etienne quyết định dạy con tiếng La
Tinh và Hy Lạp cho đến năm 12 tuổi, tuy nhiên trong các thời giờ nhàn rỗi, ông Etienne cũng kể cho
con trai nghe các câu chuyện về Khoa Học nhưng những điều này không bao giờ làm cho Pascal thỏa
mãn, cậu luôn luôn khao khát những lý lẽ cuối cùng của sự vật.
Vì muốn con chuyên tâm về tiếng La Tinh và Hy Lạp là hai ngôn ngữ rất khó học, nên ông Etienne đã
cất dấu tất cả những sách về Khoa Học và Toán Học. Nhưng rồi một hôm, khi bước vào phòng, ông
thấy con trai đang loay hoay dùng phấn chứng minh trên nền nhà định luật thứ nhất trong 32 định luật
của Euclide. Sau khi nghe con thuật lại cách chứng minh, ông Etienne đã phải bỏ nhà, chạy sang nhà
ông hàng xóm Le Pailleur để "khóc lên vì sung sướng".
Xưa nay, ông Etienne chưa từng dạy cho con học Toán bao giờ, vả lại định luật của Euclide đó là một

bài toán rất khó đối với người lớn, không phải dành cho trẻ em 12 tuổi. Pascal đã chứng minh được
rằng tổng số các góc trong một tam giác bằng hai góc vuông, đúng như Euclide đã từng phát biểu.
Cũng vì chưa từng học Hình Học, Pascal đã gọi đường tròn là "cái tròn" (un rond), đường thẳng là "cái
thước kẻ" (une barre). Từ đây, Pascal mới được cha cho phép đọc các cuốn khái luận của Euclide. Do trí
thông minh sẵn có, Pascal đọc tới đâu, hiểu tới đó mà không cần một ai giảng giải. Cậu còn giải được
nhiều bài toán khó. Sự tự tìm hiểu do ý thích đã khiến Pascal chẳng bao lâu trở thành một nhà toán
học có hạng.
Thời bấy giờ, ông Etienne thường gặp gỡ nhiều nhân vật danh tiếng về Khoa Học nên Pascal cũng được
tham dự vào các buổi hội thảo, cậu được làm quen với Cha Mersenne là một nhà bác học thời đó, cũng
như với những nhà khoa học danh tiếng khác, chẳng hạn như Desargues, Fermat, Roberval. Tại các
buổi họp này, Pascal đã góp ý kiến về các tư tưởng, các lý luận, các lời phê phán những tác phẩm của
các nhà bác học đương thời. Cậu cũng trình bày những điều do mình khám phá.
Theo phương pháp Hình Học của Desargues, Pascal đã hoàn thành cuốn "Khảo Sát về Thiết Diện Côníc"
(Traité des sections coniques, 1640) khi chưa tới 16 tuổi. Tác phẩm này bao gồm các công trình của
Apollonius, nhưng đã được Pascal tự tìm ra và lại chứng minh bằng một phương pháp luận lý vừa đơn
giản hơn, vừa tổng quát hơn. Tác phẩm của Pascal đã khiến rất nhiều nhà toán học tài ba đương thời
phải khâm phục, kể cả Cha Mersenne và Descartes, và ai cũng đồng ý rằng cuốn sách đó xứng đáng là
công trình của một bậc thầy chứ không phải là của một thiếu niên chưa đủ 16 tuổi. Nhiều người đã
thúc dục Pascal đưa in tác phẩm nhưng do lòng khiêm tốn, cậu đã từ chối vì vậy ngày ngay người ta
chỉ còn lưu giữ được hai cuốn sách đầu tay của nhà thiên tài toán học Pascal.
Năm 1638, khi chính phủ Pháp ra lệnh giảm bớt lợi tức của Tòa Đô Chính Paris, một nhóm người đã
đứng lên phản đối trong đó có người cha của Pascal. Vì vậy ông Etienne bị Thủ Tướng Richelieu cho
người theo dõi và phải trốn về miền Auvergne. Lúc bấy giờ, Pascal 15 tuổi và cô em gái Jacqueline 13.
Giống như anh trai, Jacqueline cũng nổi tiếng là một thần đồng về thơ văn. Khi lên 11 tuổi, Jacqueline
đã sáng tác được một kịch thơ 5 hồi và tác phẩm thơ này đã được giới văn nghệ Paris ưa chuộng. Rất
nhiều người và ngay cả Thi Hào Corneille đều ưa thích đọc thơ của Jacqueline.
Nhờ tài năng về Thơ Phú, Jacqueline được phép đóng kịch trước Hồng Y Giáo Chủ Richelieu. Vị Thủ
Tướng này đã không tiếc lời khen ngợi cô bé và hỏi thăm về gia cảnh. Nhân lúc này, Jacqueline liền
ngâm một bài thơ xin ân xá cho cha và Thủ Tướng đã nhận lời. Ông Etienne nhờ vậy được phép trở lại
Paris và lại được cử giữ chức vụ Giám Đốc Thuế Vụ miền Rouen. Nhưng trách nhiệm này làm ông

Etienne mệt mỏi vì sổ sách kế toán quá nhiều. Để giúp đỡ cha, Pascal đã sáng chế ra một chiếc máy
tính mà nguyên tắc của nó còn được áp dụng cho các loại máy tính tối tân ngày nay. Phát minh này đã
làm dang tiếng của Pascal vang lừng.
Vào các năm trước, gia đình Pascal tuy ngoan đạo nhưng tôn giáo chưa được coi là quan trọng cho tới
năm 1646, dòng tu khổ hạnh (Jansenism) của Cơ Đốc Giáo đã ảnh hưởng tới vùng Pascal cư ngụ. Đây
là nhóm tôn giáo chủ trương do ông Cornelis Jansen, một giáo sư thần học gốc Hòa Lan, sống tại
Louvain. Các niềm tin của giáo phái này khác hẳn với các lời rao giảng của các giáo sĩ Dòng Tên (the
Jesuites). Ông Etienne Pascal, do không ưa thích tôn giáo, nên đã mang gia đình dọn lên thành phố
Paris. Tới khi ông Etienne qua đời vào năm 1651, cô em gái Jacqueline của Pascal liền vào nhà tu tại
Port Royal. Do ảnh hưởng này, Pascal đã để tâm tới tôn giáo cũng như tới các vấn đề thần học.
Cũng vào năm biết tới dòng tu Khổ Hạnh, Pascal đã thực hiện lại các thí nghiệm của Torricelli và phổ
biến các điều khám phá của mình trong tác phẩm "Các thí nghiệm mới liên quan tới khoảng chân
không" (Nouvelles expériences touchant le vide, 1647). Pascal đã dựa vào thí nghiệm rồi dùng lý luận,
đánh đổ các quan niệm cổ xưa của Aristotle về chân không và ông cũng đưa ra những khám phá mới
về áp suất không khí. Pascal đã tìm thấy kết luận rằng càng lên cao, áp suất của không khí càng giảm
đi. Để kiểm chứng điều này, Pascal đã nhờ người anh rể là Florin Perier lên ngọn núi Puy-de-Dome thực
hiện nhiều thí nghiệm cần thiết. Các kết quả của Perier đã xác nhận lời tiên đoán của Pascal. Do khám
phá này của Pascal, các nhà khoa học đã chế tạo được các phong vũ biểu và các cao độ kế.
Trong khi nghiên cứu các thí nghiệm của Torricelli, Pascal còn tìm cách tổng quát hóa những ý niệm về
chất lỏng. Ông đã thiết lập nhiều định luật về áp suất của chất lỏng để rồi phổ biến qua tác
phẩm :"Khảo sát sự cân bằng chất lỏng" (Traité de l 'équilibre des liqueurs). Cuốn sách này được hoàn
thành vào năm 1651 nhưng mãi tới năm 1663 mới được xuất bản và căn cứ vào đó, nhiều nhà khoa
học đã coi Pascal là một trong những người sáng lập ra môn Thủy Động Học (Hydrodynamics).
Sau khi người cha thân yêu qua đời, Pascal không chuyên tâm nhiều vào việc khảo cứu khoa học. Ông
thường giao du với nhiều người, nhất là Hầu Tước trẻ tuổi De Roannez và Hiệp Sĩ De Mere. Chính trong
thời kỳ này, ông đã chuyên đọc về Epictète và Montaigne. Do sự đi lại với De Mere, Pascal đã lưu tâm
tới lý thuyết toán học của cách đánh bài. Ông bắt đầu nghiên cứu phép tính Sác Xuất (Probability) rồi
vào năm 1654, đã phổ biến các kết quả qua các bức thư viết cho Fermat và qua cuốn "Khảo Sát về
Tam Giác Số Học" (Traité du triangle arithmétique).
Cũng vào năm 1654, Pascal tới Port Royal thăm cô em gái Jacqueline đang sống trong tu viện. Cuộc đi

thăm này khiến cho Pascal cảm thấy "ghê tởm cực độ các sự giả dối của đời người". Sự bất toại nguyện
càng tăng thêm cho tới khi "đêm lửa" xẩy đến, làm thay đổi hẳn cuộc sống cũ của Pascal. Chính vào
đêm 23 tháng 11 năm 1654 đó, trong khi đang khảo cứu Toán Học, Pascal cảm thấy như được đối
thoại cùng Thượng Đế trong hai tiếng đồng hồ. Pascal thấy mình đã nhận lãnh một chức vụ thiêng
liêng, rồi vì quá xúc động, ông nguyện hiến cả đời mình cho Thượng Đế và quyết tâm làm tỏ đức tin nơi
Đấng Chí Tôn.
Vào năm 1655, Antoine Arnauld, nhà thần học chính thức của Port Royal bị các nhà thần học Sorbone
kết án, nhất là về lối tu khổ hạnh (Jansenism) đối với Chúa Cứu Thế. Có lẽ do chính Arnauld khuyến
dụ, Pascal đã viết ra các bức thư Provinciales. Lối hành văn cũng như cách tranh luận của Pascal qua
tác phẩm này đã quyến rũ được dân chúng Paris, nhất là trong khoảng thời gian từ tháng Giêng năm
1656 tới tháng 4 năm 1657. Khi sống tại Port Royal, Pascal được mời viết cho nhà trường các bài giảng
về Hình Học, có lẽ vì lý do này, Pascal đã viết nên cuốn "Phương Pháp chứng minh Hình Học" (On
Geometrial Demonstrations).
Thời còn thơ ấu, thể chất của Pascal rất mỏng manh, nên khi lớn lên, tình trạng sức khỏe của ông cũng
không được khá. Vào năm 1658, Pascal lại bị chứng đau răng hành hạ và vì muốn tìm quên nỗi đau
nhức, Pascal quay ra làm Toán. Ông nghiên cứu hình học Cycloide, là thứ hình học đang được Roberval
và các nhà toán học đương thời khảo sát. Pascal đã tìm ra được nhiều tính chất quan trọng nhưng vì
muốn chứng tỏ các điều khám phá của mình có thể giải đáp được nhiều bài toán hắc búa, Pascal đề
nghị một cuộc thách đố vói các nhà toán học. Nhiều người đã nhận lời trong đó có Wallis và Laouère,
nhưng rồi chỉ có Pascal cho ra các kết quả hoàn toàn.
Càng về cuối đời, Pascal càng sống khổ hạnh. Sau khi đứa cháu của ông được cứu khỏi tại Port Royal
và được mọi người coi là một sự huyền diệu, Pascal chuyên tâm đọc sách và kiếm tài liệu để viết nên
cuốn sách "Biện hộ cho Thiên Chúa Giáo" (Apology for the Christian Religion) mà sau này, tác phẩm đó
được phổ biến sau khi ông qua đời dưới tên là "Tư Tưởng" (Pensées).
Tháng 6 năm 1662, Pascal đem nốt căn nhà ở tặng cho một gia đình nghèo đang mắc bệnh đậu mùa. Ông
dọn tới ở nhờ người chị gái Gilberte. Tại nơi này, Pascal bị ốm nặng và cơn bệnh còn hành hạ ông trong
hai tháng. Pascal qua đời vào ngày 19 tháng 8 năm đó, hưởng thọ 39 tuổi.
Năm 1962, cả nước Pháp đã làm lễ kỷ niệm 300 năm ngày húy kỵ của Blaise Pascal, nhà bác học kiêm
triết gia kiêm văn sĩ. Để ghi nhớ bậc Vĩ Nhân Khoa Học này, người ta đã phát hành tem thư, tổ chức
các buổi thuyết trình về Triết Học, Toán Học và Văn Chương. Nhiều phòng triển lãm đã trưng bày các

tác phẩm của Pascal cùng chiếc máy tính, phát minh lừng danh của ông. Qua các bài diễn văn, các
Viện Sĩ Louis de Broglie, Francois Mauriac. đã ca ngợi Blaise Pascal là một thiên tài của Nhân Loại, đã
mang cả cuộc đời phụng sự cho Khoa Học và Triết Học
Nha Hinh Hoc Euclide

Chúng ta biết rất ít về đời sống của Euclide. Hình như ông dạy Toán ở Alexandrie thời Ptolémée 1er.
Ông là người sáng lập ra Trường Alexandrie đã ảnh hưởng đến những công trình của Archimède
Bù lại với sự hiểu biết ít ỏi về ông, lý thuyết của ông được biết và lập thành một phương hướng cho lịch
sử Toán học.
Tác phẩm chính là quyển Những nguyên lý (Les éléments) . Công trình này tượng trưng cho sự tổng
hợp của những kết quả về Toán học. Sách gồm 13 quyển. Bốn quyển đầu giảng về Hình học phẳng với
những khái niệm về các điểm, đường thẳng, và diện tích. Ngoài ra cũng những bài diện tích các đa giác
Quyển V nói về những khái niệm về phân tích. Quyển VI bàn về sư giống nhau giữa các hình và đưa ra
cách giải phương trình bậc hai nhờ hình học. Các quyển VII, VIII và XI nói về Số học. Quyển X giảng
về số vô tỉ (nombres irrationnels) và ba quyển cuối cùng giảng về hình học không gian.
Quyển hệ luận Porismes được chia thành hai nhóm: nhóm các giả thiết (hypothèses) và nhóm các tiên
đề (axiomes). Trong số năm tiên đề có định đề (postulat) Euclide nổi tiếng: Trong mặt phẳng, qua một
điểm ngoài đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó mà thôi.
Alan Mathison Turing
Alan Mathison Turing (1912-1954) nhà Toán học cha đẻ máy computer Colossus, phát minh
software
Turing là một trong những nhà khoa học lớn bị lãng quên của thế kỷ XX, cho dù ông là cha đẻ của các
máy tính, hay ít nhất cũng là một phần lý thuyết của nó. Sự đóng góp to lớn của ông quyết định cho sự
chiến thắng của phe Đồng Minh trong Thế chiến thứ hai. Nhưng có thể nhà cầm quyền nước Anh
khuyến khích ông tự vận, vì những lý do tối mật, đã giấu tên ông?
Alan Turing sinh ngày 23 tháng 6 năm 1912 tại London. Cha làm trong ngành thu thuế tại Ấn độ và mẹ
đi theo cha năm 1913, để lại bé Alan từ người giám hộ này tới người giám hộ khác trong các nội trú.
Alan không phải là một học trò giỏi. Các giáo sư phê bình ông là học trò lơ đễnh. Năm 15 tuổi, ông gặp
Christopher Morton, và hai người bạn này đã cùng nhau trao đổi đam mê khoa học. Sự liên hệ này hơi
mập mờ giữa tình bạn và tình yêu. Nhưng Christopher mất vào tháng hai năm 1930 đã làm Turing bối

rối.
Tuy vậy, ông cũng thi đậu vô trường King's College tại Cambridge. Tại đây ông phát triển tài năng vì
nhờ nơi này không ai chế nhạo sự đồng tính luyến ái và bề ngoài khác biệt của ông. Tại trường, mỗi
người giữ cá tính của riêng mình, ai sao mặc ai. Alan tóc tai quần áo bê bối và thường không cạo râu,
thích đạp xe đạp và đeo cái đồng hồ nơi thắt lưng để coi thời gian đạp xe và với một mặt nạ phòng khí
độc đeo trên mặt để phòng dị ứng phấn hoa (hay fever). Ngoài việc chơi thể thao cấp cao (chạy bộ),
Alan còn thích những công trình về cơ học lượng tử của John Von Neumann.
Cho dù ông lập dị, nhưng khả năng toán học rực rỡ và những việc làm của ông thật đặc sắc. Năm 1924
Turing in một bài báo chứng tỏ rằng toán luôn chứa những trạng thái mà không thể chứng minh hay bị
bắt bẻ. Ngoài lý luận trên, ông dự tính một cái máy có thể tính bất cứ con số nào. Cái máy đó bao gồm
một bộ phận điều khiển (control unit) và một bộ nhớ, có thể hoàn thiện nhiều thao tác cơ bản: đọc,
viết hay xóa những ký hiệu trên băng (tape), và cho băng chạy tới hay chạy lui. "Máy Turing" đơn giản
này dùng làm mẫu cho các máy tính số sau này.
Ông cũng thích môn sinh học, đặc biệt là mạng nối giữa các dây thần kinh. Ông tự hỏi: "Tại sao các
máy quá tài tình trong việc tính toán mà lại hạn chế sự mô phỏng những hành động tự nhiên giản dị
nhất của người như đi, cầm cái ly...)?"
Trước tuổi 30, ông đã tưởng tượng những căn bản cho một máy tính số (digital computer) tân kỳ và
dẫn đầu về lý thuyết cơ bản cho thông minh nhân tạo (artificial intelligence).
Là người phát minh tư tưởng một cái máy vạn năng (universal machine) , tìm ra lý do quan trọng tại
sao một máy tính có thể làm rất nhiều chuyện. Tiếc thay Turing không còn sống để thấy sự tiến triển
khổng lồ của ngành thông tin, máy tính. Nhà toán học người Anh này sống trong hai thế giới khác
nhau.
Máy ColossusTrước công chúng, ông là một nhà toán học tài ba, đã giúp Thế giới đại chiến lần II thắng
nhờ giải được các mã số của phe Đức. Còn bên trong, Turing là một người nhát gan, hay mắc cỡ, lập dị
và bị đối xử tàn bạo do cách sống riêng biệt của ông đã đưa ông đến cái chết đau thương lúc 41 tuổi.
Năm 1935, ông hiệu chính khái niệm một máy vạn năng để hình thức hóa khái niệm toán giải bằng
algorithme. Máy của Turing có khả năng cả một quá trình algorithme. Những máy tính hiện đại là
những thực hiện cụ thể máy của Turing.
John von NeumannNăm 1936, Turing đến Princeton University, nơi này ông lấy bằng PhD Toán học và
làm việc với nhà toán học người Mỹ gốc Hongrie là John von Neumann (1903-1957), nổi tiếng nhờ Cơ

học Lượng tử. Nhờ đó Turing học thêm về xác suất và logique.
Turing trở về Anh quốc năm 1938. Liền sau đó ông vào quân đội Anh cho cuộc chiến tranh sắp đến.
Đầu Thế chiến thứ hai, quân đội Đức thắng nhiều trận vinh quang trên biển. Một trong những chìa
khóa của các chiến thắng đó là máy viết mật mã Enigma, một máy mã hóa điện từ, để giúp bộ tham
mưu Đức truyền những thông điệp cho các tàu ngầm, những thông điệp mà phe các nước Đồng Minh
không thể giải được . Do đó quân đội Anh nhóm họp trong một nơi tối mật: cơ quan "bẻ mật mã"
chuyên giải mật mã của máy Enigme của Đức. Họ gồm 10.000 người thư ký, các nhà nghiên cứu và
ngay cả những người chơi đánh bài, nghĩa là làm tất cả mọi việc để hiểu cơ chế của máy Egnima. Khối
Đồng Minh có được những sơ đồ của máy này từ đầu chiến tranh và muốn hiểu tin mật mã của Đức,
nhưng họ không thành công.
Gordon Welchman Turing đến gặp của quân đội Anh tại Bletchley Park và đã giúp họ thiết kế máy tính
Bombe, một máy tính rất nhanh có thể giải mã nhanh chóng bằng cách thử hàng ngàn code khác
nhau. Turing làm việc với một nhà toán học khác, Gordon Welchman. Trước khi chiến tranh chấm dứt,
ông đã cho ra đời một máy điện tử, máy Kolossus, dùng để giải mã tất cả những thông điệp Đức.
Sau chiến tranh, ông trở về làm việc tại Automatic Digital Machine, một computer lớn tại University of
Manchester và tin rằng giữa người và máy chỉ khác tí xíu về xử lý tín hiệu. Ông sáng chế ra máy Turing
Test để đo khả năng nhận thức cảm nghĩ. Turing đề nghị rằng một cái máy có thể xem như nhận thức
đuợc nếu như nó lừa được những người hỏi nó nếu như nó ở một phòng và nói chuyện với một người
đó ở phòng khác.
Thiên tài của Turing được Churchill công nhận. Churchill đã giao cho Turing nhiệm vụ làm một hệ thống
thông tin tối mật để ông liên lạc với tổng thống Roosevelt. Nhân cơ hội đó, Turing qua Hoa kỳ và gặp
Claude Shannon, người sáng lập ra thuyết Tin học và là người phát minh ra bit, 0-1.
Cũng trong thời kỳ chiến tranh mà ông hỏi cưới duy nhất một người: cô Joan Clarke. Cô Joan dạy
Turing đan áo. Turing tặng cô quyển Tess of Uberville, tác giả Thomas Hardy và thú thật rằng ông có
biệt nhãn với người cùng phái. Họ trở thành bạn của nhau từ đó. Turing không muốn những người láng
giềng thấy mặt và sợ dị ứng với phấn hoa nên thường đi xe đạp và mang mặt nạ chống khí độc của
chiến tranh. Có khi ông từ chối không ký tên lên thẻ kiểm tra chỉ vì trong hồ sơ có ghi câu "Tất cả mọi
hình thức viết tay đều bị cấm". Ông viết: "Cái mà tôi thích không phải tạo ra bộ óc tài ba, mà chỉ cần
một bộ óc ngu ngốc cỡ bộ óc của ông chủ tịch hãng điện thoại American Telephone và hãng điện báo
Telegraph Company"

Vì thất vọng, ông đã ăn một trái táo có tẩm cyanur và mất đúng ngày lễ Pentecôte 7 tháng 6 năm
1954 tại Wilmslow, England.
Pierre de Fermat
Pierre de Ferma (1601-1665) nhà toán học Pháp đã thách đố những bộ óc nhân loại trong 358
năm bằng định lý cuối cùng của ông
1/ Tiểu sử:
Pierre Fermat sinh ngày 17 tháng 8, 1601 tại Beaumont-de-Lomagne
thuộc Tarn-et-Garonne. Xuất thân từ một gia đình thương gia khá giả, ông
theo học ở Toulouse và có cử nhân luật dân sự.
Nguyên văn tờ khai sinh của Pierre:
« Pierre, fils de Dominique Fermat, Bourgoys et segont consul de la ville
de Beamont, a esté baptisé le 20 août 1601, parrin Pierre Fermat,
marchant et frère dudit Dominique, marrine Jeanne Cazeneuve, par moy
Dumas vicaire »
Năm 1630 ông làm cố vấn cho vua tại Phòng thỉnh cầu (Chambre des requêtes) tại Pháp viện
(Parlement) Toulouse và kể từ năm 1648 ông được giữ những chức vụ quan trọng hơn tại Phòng hình
sự (Chambre criminelle) và Grand' Chambre. Từ năm 1648 ông trở thành hội viên Phòng Khiếu nại tại
Castres (Chambre de l'Edit de Castres) mà vai trò là giải quyết những tranh chấp giữa những người Hồi
giáo và Thiên chúa giáo.
Andrew Wiles, người đã giải đáp định lý cuối cùng của Fermat, một thách đố đã
làm bối rối biết bao bộ óc vĩ đại nhất của nhân loại trong suốt 358 năm
Chức vụ chánh án (magistrat) bảo đảm cho ông lương bổng dồi dào cùng với miếng đất 140 mẫu tây
để trồng trọt. Và cũng nhờ chức vụ cao ở Pháp viện mà họ ông được thêm chữ "de" quí tộc và tên ông
từ đó là Pierre de Fermat.
2/ Fermat không phải là nhà toán học chuyên nghiệp
Người ta đã biết nhiều đến Fermat qua việc làm cùng các công trình nghiên cứu của ông và sự giao
dịch giữa ông với những nhà trí thức đồng thời với ông. Vào thế kỷ thứ 17, đã có một sự phát triển
nhanh chóng về khoa học và văn hóa, đưa đến nhiều phát minh trong đó có những khám phá của
Fermat. Tuy nhiên thế giới khoa học lúc đó chưa được tổ chức, và chưa có nghề chuyên về toán học.
Fermat cũng như những nhà thông thái đồng thời với ông khi đó, không phải là một nhà toán học

chuyên nghiệp. Phần lớn những người say mê toán học là những người ở trong ngành luật : Viète là
một luật sư, Despagnet là nghị viên trong Nghị viện thành phố Bordeaux. Còn Carcavi, con một chủ
ngân hàng, đang mới vào làm nghị viên trong Nghị viện thành phố Toulouse. Tại đây, Carvani đã làm
quen với Fermat, và hai người đã trở thành bạn tâm giao suốt cuộc đời của họ. Chỉ riêng có Roberval là
ngoại lệ mà thôi.
Năm 1632, lần đầu tiên Fermat gặp Pierre de Carcavi, một cố vấn khác của Pháp viện Toulouse mà ông
đã chia sẻ niềm say mê tóan học. Fermat đã cùng với Carvani và Mersenne giải những bài toán về sự
rơi các vật mà Galilée đã đưa ra.
Không phải lúc nào Fermat cũng luôn luôn đồng ý với René Descartes: Descartes giải bằng hình học
còn Fermat đi trực tiếp bằng phương trình đại số để vẽ đường cong.
Fermat đã có những công trình về toán giải tích dựa trên căn bản toán vi phân mà Isaac Newton (1643
; 1727) và Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) đã tiếp nối sau đó.
Fermat đi sát tới khái niệm về đạo hàm để tìm điểm cực tiểu và cực đại cho những hàm số đa thức và
phát triển phương pháp tích phân gần giống như cái mà chúng ta đang dùng hiện tại.
Những hoạt động khoa học không chuyên nghiệp của ông làm ông được xem như một thiên tài lúc bấy
giờ. Ông yêu toán, thích chứng minh và đề nghị nhiều phương pháp mới mẻ. Tuy nhiên ông chỉ trao đổi
thư từ với các nhà khoa học khác như Galilée (1564 ; 1642), René Descartes (1596 ; 1650), Blaise
Pascal (1623 ; 1662) ou Marin Mersenne (1588 ; 1648).
Nhưng cái làm cho Fermat đam mê là những bài toán thời cổ đại. Ông trình bày và phát triển các công
trình số học của Pythagore thành Samos (-569 ; -475), Euclide thành Alexandrie (-320 ; -260),
Archimède thành Syracuse (-287 ; -212), Eudoxe thành Cnide (-408 ; -355) và Diophante của
Alexandrie (thế kỷ thứ 3 niên đại chúng ta). Chính trong tác phẩm của ông này mà Số học của Fermat
chất chứa mọi nghiên cứu trên lý tghuyết các số. Ông để lại nhiều đề toán chưa chưa chứng minh mà
nhà toán học Leonhard Euler (1707 ; 1783) sẽ giải sau này. Đặc biệt là giả định Fermat: Phương trình
x
n
+ y
n
= z
n

không có nghiệm số với x, y, z >0 và n>2
Tác phẩm này Fermat viết và con trai ông đã in ra ngay sau khi ông mất.
Tóm lại, Fermat là nhà đại toán học không chuyên nghiệp nhưng đã để lại cho nhân loại rất nhiều:
3/ Những công trình của Fermat
*** Tổng quát
Ông phát minh ra rất nhiều thuyết.
Chúng ta chỉ biết về các công trình và những ý tưởng của ông nhờ những lời dẫn giải trong các tác
phẩm của ông và rất nhiều thư từ ông đã viết cho các nhà bác học đồng thời với ông. May thay,
Samuel-Clément Fermat đã ráng tìm giữ lại được những tài liệu đó. Nên một phần tác phẩm của
Fermat đã được in ra vào cuối thế kỷ thứ 17, rồi tái bản vào thế kỷ thứ 19. Và đang dần dần tái bản trở
lại.
Không có tác phẩm nào được in ra trong lúc Fermat còn sống. Người ta tìm lại được bài viết về hình
học được ra mắt năm 1660, phụ bản của quyển viết về cycloïde và ký những chữ cái đứng đầu của tên
ông, do cha đạo Antoine de Laloubère in tại Toulouse.
Năm 1670, năm năm sau khi cha mất, Samuel Fermat cho ra mắt quyển Diophante của Bachet de
Méziriac chính tay Pierre Fermat chú giải cùng với một số thư từ của ông.
Năm 1675 các kết quả của nghiên cứu của học được Christiaan Huygens (1629 ; 1695) in ra trong tác
phẩm "De ratiociniis in ludo aleae".
Năm 1679, Samuel in ra dưới tựa đề Varia Opera Mathématica, những tác phẩm của cha mà ông đã
gom góp lại.
Đầu thế kỷ thứ 19, người ta chép lại những bài viết của Fermat đã giữ lại được từ thời Marin Mersenne
(1588 ; 1648) đem cất tại tu viện Minimes Paris. Phải đợi cuối thế kỷ 19, hơn 230 năm sau khi ông
mất người ta mới tìm thất tất cả những tác phẩm của Fermat. Mặc dù từ khi được tin ông mất, những
người cùng thời đã có ý quan tâm đến sự lưu trữ những công trình nghiên cứu của ông. Như thư của
Christiaan Huygens (1629 ; 1695) viết cho Pierre de Carcavi (1600-1684): "J'espère cependant qu'on
ne laissera pas perdre ce qu'il reste de ses écrits, et puis que vous avez toujours esté de ses intimes
amis, je ne doute pas que vostre intervention auprès de ses héritiers ne soit de grande efficace pour
tirer de l'obscurité de si excellentes reliques".
Năm 1843, bộ trưởng bộ văn hóa cho ra một dự án in toàn bộ tác phẩm của Fermat bằng ngân quỹ
nhà nước.

Năm 1844, Guillaume Libri loan tin có đọc thấy một bài báo trong tờ Journal des Savants ra năm 1839
viết rằng đã tìm thấy được một số thư từ của Fermat chưa từng xuất bản được bán tại Metz. Guillaume
Libri giao cho Théodore Despeyrous, một nhà toán học trẻ tuổi đầy hứa hẹn, gốc tại Beaumont de
Lomagne lo dự án in ấn các tác phẩm của Fermat. Guillaume Libri đã kéo dài dự án cho tới năm 1848
người ta mới khám phá ra là ông ta đã biển thủ, bán các tác phẩm và bản thảo viết tay của Fermat
1879, Charles Henry in ra một tác phẩm tựa đề "Nghiên cứu các bản thảo của Pierre de Fermat"
(Recherches sur les manuscrits de Pierre de Fermat). Liền sau đó ông nhận thư của ông Hoàng
Baldassare Boncompagni báo tin là ông ta có giữ hai bản thảo chứa những bài viết chưa hề được in của
Fermat mà ông sẵn sàng in ra.
16 tháng 2, 1882, một đề nghị cho ra luật mới: các tác phẩm chuẩn bị in sẽ được giao phó cho Paul
Tannery và Charles Henry, in ấn sẽ do nhà xuất bản Gauthier Villars.
Năm 1896, cuối cùng các tác phẩm của Fermat đã được in ra thành 4 cuốn, nhờ đó mà các thế hệ sau
tìm hiểu phần nào các công trình của ông.
/>Như đã nói trên, Fermat đã viết rất nhiều. Sau đây là một vài lý thuyết tượng trưng của ông:
a) Lý thuyết số - Ông có sự đóng góp thiết yếu cho Lý thuyết số.
Fermat để lại nhiều định lý không chứng minh; Euler đã chứng minh một số lớn.
Ông nghiên cứu số học thâm cứu (arithmétiques approfondies)
b) Xác suất - Ông là người tiên phong, trao đổi nhau qua thư từ với Blaise Pascal về Phép tính xác suất
"Trong trò chơi súc sắc, phải thảy bao nhiêu lần với 2 con súc sắc mới hy vọng có hai mặt sáu?"
c) Hình học giải tích - Ông xây dựng cùng lúc với Descartes ngành Hình học giải tích
* Sáng chế phương pháp toạ độ để định vị trí một điểm trong một mặt phẳng.
* Quan niệm các đường cong như những quỹ tích các điểm (nghĩa là tổng hợp các điểm để xác định
một đẳng thức.)
* Người đầu tiên khởi xướng phương pháp tổng quát để xác định các tiếp tuyến tới một đường cong
phẳng.
* Hợp nhất hai lãnh vực đại số và hình học.
La nguoi mo dau cho phep tinh vi phan , ong co su dong
gop thiet yeu cho Ly thuyet so . Sau cung , voi
Pascal , ong la nguoi xuat su cua Phep tinh xac suat .
d) Toán vi phân - Là người mở đầu cho phép tính vi phân

e) Định lý nhỏ của Fermat
f) Định lý cuối cùng của Fermat:
Năm 1840, tất cả các giả định đều được chứng minh hay không đúng
Trừ một : giả định gọi là định lý lớn của Fermat đã được Andrew Wiles giải tháng 9 năm 1994
Một hệ thức chỉ diễn tả một cách giản dị là
X
n
+ Y
n
= Z
n
Không có một lời giải nào khi n là số nguyên và n > 2
Công thức chính xác:
Nếu n là một số nguyên lớn hơn 2; đẳng thức X
n
+ Y
n
= Z
n
vô nghiệm, với X, Y, X khác không
g) Trở thành định lý Fermat- Wiles
x
n
+ y
n
= z
n
vô nghiệm khi n>2
h) Số Fermat
F = 2

2n
+ 1
= Dn + 1
F là Fermat
D là lũy thừa hai (Deux)
2
k
+ 1 với k = 2
n
i) Đẳng thức Pell-Fermat:
y
2
- ax
2
= ± 1
Bất cứ số nguyên tố nào có dạng 4n+1 là tổng của hai số bình phương (Được chứng minh bởi Euler)
Bất cứ số nào cũng tự phân tích ra thành 3 theo hình tam giác, 4 theo hình vuông, 5 theo hình ngũ
giác...
/>Thay vi tong so cac luy thua 4 , nen viet : tong cua
nhung luy thua bac 4 .
j) Tổng của những lũy thừa bậc 4
Đẳng thức s
4
+ t
4
= 1 không có nghiệm số nguyên
/>Couple amiable: 17 296 et 18 416 (4e paire)
/>k) Cách phản chứng
Fermat cũng cho ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử ngược với sự thật để đưa tới chủ đích là sự
trái ngược không thể chấp nhận.

Thí dụ: Giả sử có hai giả thiết:
1. Socrate là người
2. Tất cả mọi người đều phải chết
Dùng lối phản chứng để chứng minh là "Socrate phải chết."
Muốn vậy, chúng ta giả sử ngược lại: "Socrate bất tử"
Mà bởi vì "Tất cả mọi người đều phải chết", như vậy "Socrate không phải là người". Nhưng điều này trái
ngược với giả thiết đầu là "Socrate là người"
Vậy thì giả sử khởi đầu "Socrate bất tử" là sai, ngược lại sẽ đúng: "Socrate phải chết"
/>5/ Sách dịch tiếng Việt về Định lý cuối cùng của Fermat được Andrew Wiles giải
Định lý cuối cùng của Fermat là câu chuyện về một thách đố đã từng làm bối rối những bộ óc vĩ đại
nhất của nhân loại trong suốt 358 năm. Một đề tài thu hút sự chú ý của người học Toán và mê Toán
nay đã có câu trả lời. Bạn sẽ càng thấy thú vị hơn vì được cùng tác giả quay ngược về lịch sử và đắm
mình theo những dẫn dắt của sự tìm tòi, khám phá bí ẩn của lời giải, cũng như cuộc đời và sự nghiệp
của các nhà toán học vĩ đại trên thế giới từ xưa đến nay.
Đêmôcrit - nhà bác học toàn năng
Đêmôcrit sinh trưởng ở Apđerơ, một thành phố thực dân địa của Hi Lạp ở xứ Tơraxia, ven bờ
phía Bắc của biển Êgiê.
Đêmôcrit là người đầu tiên giải thích cơ cấu của tự nhiên là nguyên tử. Theo ông đó là những hạt nhỏ
mà mắt người không thấy được, không thể phân chia được nữa và sự vận động của các hạt là sự vận
động của tự nhiên. Ông nói rằng mọi hiện tượng trong vũ trụ đều là kết quả do sức hấp dẫn của các
nguyên tử ảnh hưởng lẫn nhau mà sinh ra. Ông cho rằng mọi biến động trong thế giới vật chất đều là
những hiện tượng tự nhiên và hợp với quy luật.
Đêmôcrit đã áp dụng học thuyết nguyên tử của mình vào toán học. Ông cho rằng mọi đại lượng hình
học đều gồm những đại lượng - ban đầu là những "nguyên tử hình học". Cống hiến của Đêmôcrit trong
lịch sử toán học: ông là một trong những người đầu tiên nghiên cứu vấn đề thể tích và chủ trương sử
dụng một phương pháp nghiên cứu toán học, mà sự phát triển tiếp theo của nó đã đưa đến việc sáng
lập lý thuyết các đại lượng vô cùng bé.
Đêmôcrit đã có nhiều công trình về khoa học tự nhiên. Luận văn "Về bản chất con người của ông" có
những kiến thức giải phẫu sinh lý con người rất có giá trị. Ông đã thu nhập được những tài liệu phong
phú về động vật học và thực vật học. Các Mác đánh giá Đêmôcrit là "trí thuệ vạn năng đầu tiên trong

những người Hi Lạp".
Đêmôcrit là người không tin có thần thánh. Ông bác bỏ nguồn gốc thần thánh của vũ trụ. Ông cho bản
chất của vạn vật là các nguyên tử và các khoảng chân không. Ông cho nguồn gốc của những quan
niệm tôn giáo là sự sợ hãi và dốt nát của con người. Đêmôcrit đã giải quyết được những thiếu sót của
các nhà duy vật trước ông và đã căn bản phê phán được học thuyết duy tâm cổ đại
Colin MACLAURIN
(Kilmodan 1698 - Edimbourg 1746)
Nhà Toán học người Scotland này từ thủơ nhỏ đã nổi tiếng thông minh: 11 tuổi đã là sinh viên Đại học
Glasgow. Tốt nghiệp Đại học khi mới 15 tuổi và đã bảo vệ Tiểu luận về Lý thuyết Trọng trường.Năm 19
tuổi MACLAURIN được bổ nhiệm làm giảng viên Marischall College ở Aberdeen, năm 21 tuổi ông cho
xuất bản công trình nghiên cứu khoa học đầu tiên và được bầu vào Royal Society (Viện Hàn lâm Khoa
học Anh) và chính trong thời kỳ này, MACLAURIN gặp được NEWTON. Nam 27 tuổi MACLAURIN là cán
bộ giảng dạy Đại học Edimbourg và nhờ NEWTON giới thiệu, ông đươc hưởng lương chính thức rồi hai
năm sau ông chính thức là Giáo sư bộ môn. Thời bấy giờ tình hình chính trị ở Scotland rối ren, quân
chống đối muốn chiếm thành phố, MACLAURIN tham gia chống lại, đào hào đắp luỹ, và khi thành phố
lọt vào quân chống đối, ong bỏ trốn sang Anh và khi tình hình ổn định ông lại quay về quê cũ nhưng
lúc bấy giờ sức khoẻ cạn kiệt dần nên ông qua đời năm ông 48 tuổi
Ông để lại tác phẩm nổi tiếng "Phép tính vi phân", trả lời đanh thép cho những ai chống đối phép tính
vi phân thời bấy giờ, nhất là Giám mục đồng thời là nhà Triết học người Ái Nhĩ Lan tên George
BERKELEY. Nhung cũng giống như NEWTON, ông gắn bó chặt chẽ lý thuyết giải tích với cách biểu diễn
bằng hình học, và nhờ đó mà hình thành khái niệm giới hạn. Cũng chính trong tác phẩm này
,MACLAURIN lần đầu tiên phát biểu công thức nổi tiếng, về sau mang tên ông và khẳng định rằng đây
là một trường hợp đặc biệt của công thức TAYLOR (STIRLING đã phát biểu công thức này từ 1717).Ông
cũng để lại nhiều kết quả về Hình học, nghiên cứu về các giao điểm của các đường cong đài số, vì vậy
cho nên người đời sau tôn vinh ông cùng BEZOUT là những người lát đường cho môn Hình học Đại số
sau này. Năm 1740, MACLAURIN cùng đứng tên với EULER và Daniel BERNOULLI trong một công trình
nghiên cứu chung về hiện tượng thuỷ triều được giải thưởng của Viện Hàn lâm Khoa học
CÔNG TRÌNH
-Geometrica organica, sive descriptio linearum curvarum universalis(1720)
-Treatise of Fluxions (1742)

* Công thức MACLAURIN: là công thức TAYLOR tại điểm 0
[Sơ lược về công thức TAYLOR]:
f(a+h)=k+hk'+(h²/2)k''+ ... trong đó k,k',k''.. chỉ f'(a),f''(a)..
TAYLOR tìm ra công thức này năm 1715 và dùng nó từ 1717 để tìm giá trị gần đúng của phương trình
f(x) = 0 bằng cách chỉ dùng các số hạng có bậc bé hơn hay bằng 2, nhưng ông không quan tâm đến
phần dư cũng như sự hội tụ của nó. Tầm quan trọng của công thức TAYLOR được nhà Toán học nổi
tiếng người Pháp LAGRANGE đánh giá cao năm 1772 và LAGRANGE cho rằng công thức TAYLOR là:
nguyên lý cơ bản của phép tính vi phân
* Định lý MACLAURIN-BEZOUT:
Hai đường cong đại số bậc n cắt nhau, nói chung tại n
2
điểm
PYTHAGORE
1/ Số hoàn hảo (hay còn gọi là số hoàn chỉnh) là số bằng tổng các ước số của nó trừ chính nó.
Có 2 công thức tìm số hoàn hảo :
- Khi tổng: 1 + 2 + 2
2
+ ... + 2
n
= p là một số nguyên tố thì 2
n
.p là một số hoàn hảo (đây là quy tắc
do trường phái PYTHAGORE tìm ra)
- Một số nguyên tố có dạng 2
n-1
.(2
n
- 1) là một số hoàn hảo nếu như 2
n
- 1 là số nguyên tố (EUCLIDE

đã chứng minh quy tắc này và ghi lại nó trong tác phẩm nổi tiếng của mình Elements (Những
nguyên lý cơ bản) trong mệnh đề số 36 của tập IX)
VD: Các số hoàn hảo đầu tiên là 6, 28, 496, 8128 ...
2/ Số bè bạn là hai số mà các ước số của số này có tổng bằng số kia và ngược lại
Một nhà thông thái thời cổ đại là Abu al Hassan THABIT IBN QURRA(826 - 901) đã khẳng định nếu a,
b, c là những số nguyên tố có dạng a = 3.2
n
- 1 ; b = 3.2
n-1
- 1 ; c = 9.2
2n-1
- 1 thì 2
n
ab va 2
n
c là hai số
bè bạn
Ông cho ngay ví dụ là hai số 284 và 220: 220 có các ước là 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110 nhưng 1 +
2 + 4 + 5 + 1 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 220 và tương tự ngược lại.
FERMAT theo công thức trên cũng cho hai số là 18416 = 2
4
.1151 va 17296 = 2
4
.23.47
DESCARTES cũng tìm ra 9437056 = 2
7
.73727 va 9363584 = 2
7
.191.383
DAVID HILBERT Nhà Toán học lớn của Đức

Konigsberg 1862 - Gottingen 1943
Nhà Toán học Đức David HILBERT đã từng sống qua thời niên thiếu ở
Konigsberg,kết bạn với MINKOWSKI từ lúc còn ngồi ghế nhà trường,và
cũng chính ở thành phố quê hương này ông được bổ nhiệm dạy Đại học
từ năm 22 tuổi rồi nhanh chóng nổi tiếng.Từ năm 1895 ông dạy ở Đại
học Gottingen cho đến 1930 nhưng vẫn giữ đều liên lạc với thế giới toán
học.Nhưng thời bấy giờ chủ nghĩa phát xít Hitler đã là một đám mây đen
phủ lên bầu trời nước Đức.Các nhà Khoa học bạn bè của ông có nguồn
gốc Do Thái,một số bị giết hại,một số bị chết dần ở trại tập trung,một số
lánh nạn sang Hoa Kỳ hoặc một nơi nào đó.
HILBERT quan tâm đến hầu như tất cả các lĩnh vực của Toán học,lý
thuyết cũng như ứng dụng.Nhưng ông chú ý nhieu đến Lý thuyết
Số,Cơ sở Toán học,Lý thuyết Phương trình vi phân,Hình học,ngoài ra
ông còn quan tâm đến Vật lý-Toán,đến bài toán ba vật thể.Nhưng
đặc biệt là ông đã trình bày tại Hội nghị Toán học ở Paris(1900) 23
bài toán nổi tiếng,mà theo ông là những hướng nghiên cứu Toán học
lý thú cho các nhà Toán học thế giới ở thế kỷ XX.Hơn 100 năm trôi
qua đã minh chứng cho ý kiến của HILBERT là đúng và một số
những bài toán còn lại chưa có người giải được vẫn còn là nguồn "cảm hứng" cho các nhà Toán học thế
kỷ XXI! Nhưng HILBERT mở đầu cho sự nghiệp Toán học của đời mình bằng "Lý thuyết các bất biến" và
đó cũng là nội dung Luận án của ông.Trước HILBERT,các nhà Toán học CAYLEY và GORDAN cũng đã
nhận xét rằng:trong mọi trường hợp,các bất biến là những đa thức của một số hữu hạn của
chúng.HILBERT tìm cách hình thức hoá kết quả này và đưa đến một bài toán về sự hữu hạn(problème
de finitude) trong các vành đa thức.HILBERT chứng tỏ rằng người ta có thể tìm được một số p các bất
biến sao cho mọi bất biến là một đa thức của các bất biến nói trên.Tập các đa thức thích hợp tạo thành
một idéal của vành cac đa thức có p bất định.Vấn đề còn lại là chứng tỏ rằng mọi idéal của một vành
đa thức trên một trường là có dạng hữu hạn.Lý thuyết các bất biến không còn nữa và trở nên một
trường hợp riêng của việc khảo sát các vành đa thức.Có lần,HILBERT chứng minh lại những kết quả mà
GORDAN đã làm nhưng đơn giản và hay hơn đến nỗi GORDAN phải thốt lên:"Đây không còn là Toán
học nữa mà là 'Thần học'",có lần GORDAN khoái chí:"Tôi hoàn toàn bị chinh phục rằng 'Thần học' đôi

lúc cũng có lợi đấy chứ",và vì vốn khâm phục HILBERT từ trước nên GORDAN tiếp tục những công việc
của HILBERT.HILBERT quay về Lý thuyết số.Năm 1893,ông đã đưa ra một chứng minh đơn giản rằng
cơ số e của logarithe Neper và π(pi) là 2 số siêu việt(số siêu việt là số mà nó không thể là nghiệm của
bất kỳ phương trình đại số nào)dù rằng trước đó nhà Toán học người Pháp Charles HERMITE(1822-
1901) đã chứng minh e là số siêu việt và Ferdinand LINDEMANN(1852-1939)người Đức đã chứng minh
được đối với π(và từ kết quả này LINDEMANN chứng minh việc cầu phương một hình tròn là không làm
được bằng thước và compas).Sau đó,HILBERT cũng chứng minh được conjecture(phỏng đoán) của
WARING.Người ta còn biết ơn HILBERT về các conjectures(bài toán 7 và 9 trong 23 bài toán của
HILBERT đề xướng)đã mở đường cho TAKAGI,ARTIN,CHEVALLEY.
HILBERT còn tổng quát hoá bài toán của DIRICHLET(bài toán 20).Phương pháp mà ông dùng năm
1900 đã mở đường cho một cách tiếp cận mới loại bài toán mới này,và chính COURANT là một trong
những ngươi biết tận dụng.Năm 1901 HILBERT quay về Lý thuyết Phương trình tích phân và quan tâm
nghiên cứu đến bài toán mà POINCARÉ đã đặt ra(bài toán 20). Ngay ở đó người ta cũng thấy manh
nha nhiều phương pháp mới.HILBERT còn chứng minh lại những kết quả của FREDHOLM nhờ sự trực
giao hoá các hệ phương trình.Ông đã tìm cách hình thức hoá cách tiến hành và nhờ Hình học Phi
EUCLIDE gợi ý,ông đã đưa ra "những dạng toàn phương" có vô số số hạng.Điều này cần cho sự hội tụ
của các bình phương của các thành phần.Ông còn có sáng kiến đưa ra khái niệm về sự "đầy đủ
hoá"(complétude) và để ý đến phổ các toán tử.Chính vì thế mà SCHMIDT và VON NEUMANN lấy lại ý
kiến của ông để lâp nên Lý thuyết về các không gian HILBERT.
Trong khi thiết lập các cơ sở Toán học,HILBERT được xem như người đứng đầu phái những nhà Toán
học có tư tưởng hình thức nghĩa là những nhà Toán học xây dựng Lý thuyết trên cơ sở Tiên đề,áp dụng
vào các đối tượng và ý nghĩa được xem la thứ yếu(PEANO được xem là đồng minh tích cực của ông
trong lĩnh vực này).Chính vì vậy mà HILBERT đã lập ra Hình học bằng một hệ Tiên đề.Ông đã bổ sung
cho Hình học EUCLIDE những Tiên đề ẩn tàng(implicite).Để chứng minh cho sự cách biệt giữa thực tế
vật lý của thế giới và sự Tiên đề hóa này,ông đưa ra ý nghĩ độc đáo rằng theo cách suy nghĩ và cách
làm của ông thì ta có thể nghĩ:điểm có thể là một ly bia hay đường thẳng là một cái bàn; và như vậy
thì khi Tiên đề được nghiệm đúng thí kết luận cũng sẽ đúng.Những định lý của GODEL đã cho một cú
quyết định vào hy vọng của ông sáng tạo một lý thuyết mới bằng cách chứng tỏ sự phi mâu thuẫn của
nó.Cả cuộc đời,HILBERT luôn quan tâm đến sự tổng quát hoá và không ngừng tìm ra phương pháp mới
để đưa thế giới Toán học tiến lên,vì vậy ông được giới Toán học tôn vinh là nhà Toán học của thế kỷ,có

vai trò cơ bản trong sự nghiệp phát triển Toán học thế giới.
Hai mươi ba bài toán của David HILBERT(Bài toán đã có lời giải được đánh dấu * )
- *Bài toán 1:
Giả thuyết continuum có được nghiệm đúng? Có thể có một thứ tự tốt trên?
- *Bài toán 2:
Có thể chứng minh bằng các phương pháp hữu hạn(procédés finistes)sự bền vững của Số học?
- *Bài toán 3:
Có thể ứng dụng phương pháp phân tích thành đa diện để tính thể tích được không?
- Bài toán 4:
Hãy tìm các Hinh học trong đó đường ngắn nhất đi từ điểm này đến điểm kia là đoạn thẳng?
- *Bài toán 5:
Có những nhóm LIE liên tục không? Nói cách khác,giả thiết tính khả vi có cần trong định nghĩa nhóm
LIE?
- Bài toán 6:
Có thể toán học hoá các Tiên đề trong Vật lý? (Câu hỏi này chưa thật thích hợp với quan niệm hiện đại
về 2 môn Toán và Lý).
- *Bài toán 7:
Ta nói gì về tính siêu việt của a
b
với a là đại số,b là vô tỷ khác 0?
- Bài toán 8:giả thiết RIEMANN
Tất cả các zéros ảo của hàm dzeta có một phần ảo là ½ .
- *Bài toán 9:
Cho A là vành các số nguyên của một trường đại số và J là một idéal nguyên tố của A.Với a thuộc A,ta
ký hiệu L(J/a) là số nghiệm của phương trình x²≡a(mod j) trừ đi 1.Đây là bài toán về tính nghịch đảo
toàn phương,nghĩa là dáng điệu của L(J/a) phụ thuộc vào J.
- *Bài toán 10:
Có thể nào tìm được một thuật toán giúp ta xác định,sau một số hữu hạn bước,rằng một phương trình
DIOPHANTE có nghiệm nguyên? (Bài toán này được nghiên cứu trong khuôn khổ các hàm đệ quy).
- *Bài toán 11:

Hãy thiết lập bảng phân loại các dạng toàn phương có hệ số trong một vành các số nguyên đại số.
- Bài toán 12:
Hãy tổng quát hoá bài toán số 9 và nghiên cứu cách xây dựng các trường của lớp.
- *Bài toán 13:
Người ta chứng tỏ rằng ở bậc n=6 các nghiệm của phương trình bậc n được biểu diễn như là sự chồng
chất(superposition)các hàm liên tục có 2 biến của các hệ số của phương trình .Ví dụ các nghiệm của
phương trình xX²+2Yx+z=0 được viết dưới dạng f(y,h(x,z) với h(x,z)=xz và f(y,u)=-y±√(y²-u).Kết
quả này sẽ sai trong trường hợp n=7
- *Bài toán 14:
Cho K là một trường,L là một sự nới rộng của K va M=K(X
1
...X
n
).Ta giả sử rằng L con M.Giao
L∩K[X
1
...X
n
] có phải là một Đại số hữu hạn không?
- *Bài toán 15:
Hãy cho một cơ sở chặt chẽ vào kết quả dùng tính liên tục trong những bài toán Hình có dạng: Tìm số
đường thẳng của không gian gặp 4 đường thẳng cho trước? (Bài toán này ngày nay được nghiên cứu
trong khuôn khổ của Hình học-Đại số).
- Bài toán 16:
Hãy nghiên cứu sự sắp đặt các nhánh của một đường cong không kỳ dị,đặc biệt là các đường cong tích
phân của những phương trình vi phân xác định bởi đa thức homogènes(đẳng cấp)bậc n.
- *Bài toán 17:
Mọi phân số hữu tỷ có hệ số thực,dương hoặc bằng 0 tại miền xác định của nó,có thể biểu diễn dưới
dạng tổng các bình phương của các phân số hữu tỷ?
- *Bài toán 18:

Tìm các pavages của không gian Rⁿbằng những đa diện congruents(toàn đẳng).
- Bài toán 19:
Hãy nghiên cứu tính chất giải tích của các nghiệm của phương trình vi phân thường hoặc phương trình
đạo hàm riêng.
- *Bài toán 20:
HILBERT đề nghị tổng quát hóa bài toán của DIRICHLET cho những lớp hàm rộng hơn.
- *Bài toán 21:
Hãy mở rộng công trình của FUCHS vào nghiên cứu các phương trình vi phân thoả mãn những điều
kiện cho truớc.
- *Bài toán 22:
Hãy chính xác hóa chứng minh của POINCARÉ về tính đều hóa các hàm giải tích phức.
- Bài toán 23:
Hãy nghiên cứu tính trơn(régularité)của các nghiệm của phương trình đạo hàm riêng xuất phát từ phép
tính biến thiên.
Albert Einstein - Tôi học Toán để học Vật lí cho tốt
Ngày 29/5/1919, nhà vật lí học lỗi lạc của thế kỉ XX Albert Enstein dậy sớm hơn thường lệ.
Ông để đầu trần bước ra khu vườn yên tĩnh phía trước nhà. Ông đi bách bộ khá lâu, chốc chốc
lại đưa mắt nhìn lên trời và lẩm nhẩm điều gì.
Nhà bác học còn trẻ, mới bốn mươi tuổi nhưng tiếng tăm của ông đã vang dội
khắp thế giới. Ông là người đầu tiên xây dựng những cơ sở cho thuyết tương đối -
một lí thuyết mở ra chân trời tươi sáng cho vật lí học hiện đại. Tuy nhiên, những
điều Enstein đã công bố không phải ai cũng tin. Nhiều nhà vật lí nổi tiếng vẫn
thường đặt những dấu hỏi lớn trên các trang báo của Enstein.
Trước đó 6 năm. Enstein viết về một công trình nhan đề "Về ảnh hưởng của trọng
trường đối với ánh sáng". Từ một vài giả thuyết ban đầu, bằng phương pháp tư
duy toán học chặt chẽ, ông đã đi đến kết luận rằng khi ánh sáng đi ngang qua
một thiên thể nào đó thì do sức hút của thiên thể đó, tia sáng sẽ bị cong đi. Đối
với Mặt Trới, Enstein cũng đã tính trước được góc lệch của tia sáng là 1,75 giây. Nhưng tất cả những
cái đó mới chỉ là lí thuyết, còn phải qua khâu kiểm tra bằng thực nghiệm nữa. Việc kiểm tra giả thuyết
này sẽ xác minh tính đúng đắn của những luận điểm cơ bản nhất của Enstein trong thuyết tương đối -

một lí thuyết đang là trung tâm của các cuộc tranh luận trong giới khoa học thời đó. Muốn kiểm tra
được điều trên, người ta phải chờ đến lúc có nhật thực toàn phần, tức là lúc mà Mặt Trăng hoàn toàn
che lấp Mặt Trời. Và hôm nay 25/9/1919 sẽ có nhật thực toàn phần. Hội khoa học Hoàng gia Anh đã cử
hai đoàn khảo sát đi xác minh vấn đề này. Một đoàn nhổ neo hướng về thành phố Xô-bran ở Brazil,
đoàn thứ hai sẽ tiến hành đo góc lệch của ánh sáng trên đảo Pơ-ri-chip thuộc Tây Phi.
Chờ đợi ... và chờ đợi ...
Và cuối cùng, kết quả thu được đã làm giới khoa học toàn thế giới phải sửng sốt. Những bức ảnh chụp
được trong thời gian nhật thực toàn phần đã cho thấy rằng khi đi qua trọng trường, ánh sáng đã bị lệch
đi một góc 1.64 giây, chỉ sai chút ít so với kết quả tính toán theo lí thuyết của Enstein.
Chưa hết, năm 1952, các nhà bác học Xô-viết đã tiến hành đo đạc lại với các dụng cụ tinh vi hơn, kết
quả thu được lại càng gần với tính toán lí thuyết: 1,7 giây.
*************
Câu chuyện trên cho chúng ta thấy rằng toán học và vật lí học là hai người bạn đường. Vật lí học nêu
ra những bài toán cho các nhà toán học giải quyết. Và sau đó, những đáp số của các bài toán này lại
được các nhà vật lí kiểm nghiệm qua thực tế, qua các thí nghiệm tinh vi. Nhiều khi toán học cống hiến
cho vật lí những kết quả rất bất ngờ, nó mở ra cả một hướng nghiên cứu mới cho vật lí. Năm 1928 nhà
vật lí học người Anh Đi-rắc đã giải một phương trình toán lí và tìm ra những "điện tử mang năng lượng
âm" mà xưa nay các nhà vật lí cho rằng không thể có được. Đi-rắc cũng cảm thấy băn khoăn. Ông giải
phương trình sai chăng? Không, ông đã kiểm tra lại nhiều lần rồi. Lời giải của ông hoàn toàn đúng. Chỉ
còn một cách là thừa nhận rằng có tồn tại những "điện tử mang năng lượng âm" mà thôi. Sau 7 năm
lao động gian khổ, các nhà vật lí đã tìm ra được điện tử mang năng lượng âm này qua thực nghiệm -
đó chính là những hạt pô-di-tơ-rông. Kết quả này đã giúp các nhà vật lí đi đến quan niệm phản vật
chất - một quan niệm mới mẻ trong vật lí học hiện đại.
Như vậy, muốn giỏi vật lí phải giỏi toán, thật giỏi là đằng khác. Những nhà vật lí học lừng danh đều để
lại những trang vẻ vang trong lịch sử toán học. Nếu chúng ta nói rằng Ác-si-mét, Pascal, Newton,
Enstein ... là những nhà vật lí học vĩ đại thì mới đúng có một nửa, họ còn là những nhà toán học xuất
sắc nữa. Pascal đã có những đóng góp quan trọng trong việc phát triển lí thuyết tính toán. Ông là ông
tổ của các máy tính số học. Newton được coi là một trong hai người đầu tiên xây dựng các phép tính vi
tích phân - một công cụ toán học có giá trị hết sức đặc biệt đối với các ngành khoa học khác.
Nếu các bạn yêu mến môn vật lí thì ngay từ bây giờ các bạn hãy gắn bó với toán học, nó sẽ chẳng phụ

công bạn đâu. Còn nếu như toán học là sở thích, là niềm say mê của bạn thì bạn hãy cùng tham gia với
các nhà vật lí học trẻ tuổi giải quyết các bài toán học búa của ngành đó.
Tại sao không có giải NOBEL cho ngành Toán ?
Ở Thụy Điển nhiều người biết rằng, Alfred NOBEL và MITTAG-LEFFLER Magnus Gosta, có một
thời hai nhà khoa học này cùng yêu say đắm một cô gái. Nhưng không rõ vì lý do gì (vì hai
chàng trai tài ba này đều là những nhà khoa học có tiếng tăm và NOBEL lại giàu nữa) mà
"người đẹp" lại dâng trọn quả tim mình cho nhà Toán học. Khi viết di chúc để lại cho đời sau,
lập Giải NOBEL để tuyên dương những nhà khoa học giỏi có ích cho đời, NOBEL nghĩ rằng nếu
có giải NOBEL về Toán thì chắc chắn MITTAG-LEFFLER sẽ đoạt giải. Vì vậy NOBEL "lờ" đi không
ghi Toán học vào danh mục các ngành Khoa học sẽ được nhận giải (mặc dù Toán học được tôn
vinh là "Nữ hoàng của Khoa học"). Tôn trọng tuyệt đối di chúc, nên ngày nay, không có giải
NOBEL cho Toán học. Để đền bù phần nào cho sự thiệt thòi này, người ta đã lập giải FIELDS
(lấy tên nhà Toán học người Canada là John Charles FIELDS) tương đương với giải NOBEL. Giải
FIELDS được trao bắt đầu từ năm 1936.
Câu chuyện về việc giải phương trình bậc ba
Thời bấy giờ (khoảng thế kỷ XV-XVI), ở châu Âu và có lẽ trên thế giới, phương trình bậc ba đều được
làm một cách mò mẫm, chưa có công thức giải tổng quát. Nhưng có nguồn tin cho rằng một Giáo sư
Toán trường Đại học Bologne (Ý) tên là Scipione del FERRO (1465-1526) đã biết cách giải phương trình
x
3
+ px = q, nhưng ông không hề công bố, người ta nghĩ rằng cách giải của ông chưa hoàn chỉnh. Mãi
đến khi ông sắp qua đời, ông mới truyền lại cách giải (chưa hoàn chỉnh) cho học trò ông là một nhà
Toán học ít tài năng tên là Antonio Maria FIOR.
Dù rằng có nguồn tin như vậy, Niccolo Fontana TARTAGLIA (1499-1557) vẫn tìm ra cách giải một cách
độc lập. Nhưng FIOR không tin, tìm cách giảm uy tín của TARTAGLIA bèn thách thức TARTAGLIA giải
30 phương trình bậc ba có dạng x
3
+ px = q. Ngược lại, FIOR cũng nhận thách thức của TARTAGLIA là
sẽ giải những phương trình bậc ba do TARTAGLIA đề ra.
Trong đêm 12 sáng ngày 13 tháng 2 năm 1535 là hạn cuối cùng của cuộc thi giữa TARTAGLIA và FIOR

thì TARTAGLIA đã giải trọn vẹn 30 phương trình, trong khi đó FIOR chỉ giải được một phương trình thôi,
vì vậy chỉ sau vài giờ là TARTAGLIA đã thắng và lãnh giải thưởng là 30 bữa tiệc liên tiếp. Ông giữ kín
phương pháp giải, hy vọng còn dự thi lần nữa để lấy thưởng.