BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC TOÁN 12
CÔNG THỨC LŨY THỪA
Cho các số dương a, b và m, n
a0 1
. Ta có:
a.a...........a với n
an
*
n thừa số
(a ) a
m n
mn
(a n ) m
a .a a
m
n
m n
1
an
an
am
a mn
n
a
1
a b (ab)
n n
a a
bn b
n
n
n
m
an a
a a2
n
m
1
3 a a3
CÔNG THỨC LOGARIT
Cho các số a, b 0, a 1. Ta có:
log a b a b
lg b log b log10 b
ln b log e b
log a 1 0
log a a 1
log a a b
log a b n log a b
log am b n
log a (bc) log a b log a c
b
log a log a b log a c
c
log a b.logb c log a c
a loga b b
log c
log a
a b c b
1
log a b
logb a
log am b
1
log a b
m
b
n
log a c
logb c
log a b
n
log a b
m
HÀM SỐ LŨY THỪA – MŨ – LOGARIT
HÀM LŨY THỪA
Dạng:
y x
yu
với u là đa
ax
y
a
u
với
a
0
a
1
Nếu
ĐK
u
.
Nếu
ĐK
u
0.
ĐK
.
.
u
0.
ax
y
a x ln a
y
au
y
a x ln a. u
Đặc biệt:
Nếu a
y x
y x 1
1
(e x )
ex
(eu )
eu . u
Sự biến thiên: y
Đạo hàm:
y u
y u
y
trên
. u
.
.
ax
1 thì hàm đồng biến
. Nếu 0
a
1 thì
hàm nghòch biến trên
Dạng:
.
y
log a x
y
log a u
Đặc biệt: a
a
Đạo hàm:
Tập xác đònh:
Dạng:
y
HÀM SỐ LOGARIT
Tập xác đònh: D
thức đại số.
Nếu
HÀM SỐ MŨ
10
y
e
với
y
log x
a
0
a
1
.
ln x ;
lg x .
Điều kiện xác đònh: u 0 .
Đạo hàm:
1
y log a x
y
x ln a
.
u
y log a u
y
u ln a
1
(ln x)
x
Đặc biệt:
.
u
(ln u)
u
Sự biến thiên: y log a x
Nếu a
trên (0;
1 : hàm đồng biến
) . Nếu 0
a
hàm nghòch biến trên (0;
1:
)
ĐỒ THỊ HÀM MŨ VÀ HÀM LOGARIT
ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ
Ta thấy: a x
0
Ta thấy: cx
c
a
1; bx
1; dx
ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT
b
0
d
1.
1.
So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên
từ trái sang phải, trúng a x trước nên a b .
So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên
từ trái sang phải, trúng c x trước nên c d.
Vậy 0 b a 1 d c.
Ta thấy: log a x
0
a
1; logb x
Ta thấy: log c x
c
1; log d x
0
d
b
1.
1.
So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên
từ phải sang trái, trúng log b x trước: b a.
So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên
từ phải sang trái, trúng log d x trước: d c.
Vậy 0
a
b
1
c
d.
PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Phương trình mũ
Dạng cơ bản: a
f ( x)
a g ( x ) f ( x) g ( x)
Dạng logarit hóa:
Phương trình Logarit
Dạng cơ bản:
log a f ( x) log ag( x) f ( x) g ( x) 0
Dạng mũ hóa: log a f ( x) b f ( x) a
a f ( x ) b f ( x) log a b
b
(không cần điều kiện)
a f ( x ) b g ( x ) f ( x) g ( x).log a b
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Bất Phương trình mũ
Bất Phương trình Logarit
Dạng cơ bản:
a 1
Dạng cơ bản:
a f ( x ) a g ( x ) f ( x) g ( x)
a 1
log a f ( x) log a g ( x) f ( x) g ( x) 0
0 a 1
a f ( x ) a g ( x ) f ( x) g ( x)
0 a 1
log a f ( x) log a g ( x) 0 f ( x) g ( x)
CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
k 0
Với k là hằng số
e e
e e . u
x
x
u
u
( x ) x
1
(u ) u 1. u
a a ln a
a a .ln a. u
x
x
u
u
u 2uu
u
1
2
u
u
1
x
1
x
2 x
sin x cos x
sin u u cos u
1
x2
cos x sin x
cos u u sin u
1
1 cot 2 x
2
sin x
u
cot u 2 u 1 cot 2 u
sin u
tan x
1
1 tan 2 x
2
cos x
u
tan u
u 1 tan 2 u
2
cos u
cot x
CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
k. f ( x)dx k f ( x)dx
1)
kdx kx C
f ( x)dx F ( x) C F ( x) f ( x)
f ( x) g ( x)dx
x 1
x dx
C
1
f ( x)dx g ( x)dx
2dx 2 x C
kdx kx C
(3)dx 3x C
3
x4
x dx C
4
1
2
x2
2 3
2)
C
x C
xdx x dx
3/ 2
3
1 (ax b) 1
MR
1 (1 x)11
(1 x)11
10
(ax b) dx .
C
.
C
C
(1 2 x) dx
a
1
2
11
22
1
1
1
1
1
MR
3) dx ln x C
dx ln ax b C
dx
ln 1 3x C
x
ax b
a
1 3x
3
1
1
1
1 1
1
1 1
1
MR
dx .
C
dx .
C
C
4) 2 dx C
2
2
x
x
(ax b)
a ax b
(2 x 3)
2 2x 3
4x 6
3
x3
1
2 1 1
x
10
dx
ln x 10 x C
x x2
3
x
1
MR
5) e x dx e x C
eax b dx eax b C
a
ax
C
6) a dx
ln a
1 abx c
MR
bx c
a
dx
.
C
b ln a
x
7)
1 32 x 5
32 x 5
32 x 5 dx .
C
C
2 ln 3
2ln 3
cos xdx sin x C
1
sin(ax b) C
a
3sin x 2cos x dx 3cos x 2sin x C
3 dx
2 .3 dx
9x
9 dx
C
ln 9
x
1
1
6x
x
2 .3 . dx 6 dx
C
3
3
3ln 6
x
x
1
sin 4 x dx cos 4 x C
2
4
2
2
1
cos x dx sin x C sin x C
1 3
3
3
a 1; b
2x
x 1
x
a 4; b
1
dx 1 tan 2 x dx tan x C
cos 2 x
1
1
MR
dx tan ax b C
2
cos ax b
a
9)
sin xdx cos x C
MR
cos(ax b)dx
5x
5 dx
C
ln 5
1
MR
sin(ax b)dx cos(ax b) C
a
8)
x5 1
1
x5
dx x 4 dx ln x C
x
x
5
1
e x dx e x C e x C
1
x
ex1 2 ex dx e2 x1 2ex dx 12 e2 x1 2e x C
3
sin 2 xdx
1
1
1
1 cos 2 x dx x sin 2 x C
2
2
2
(hạ bậc)
1 2cos x
1
dx
2 dx tan x 2 x C
2
2
cos x
cos x
1
1
dx tan 3x C
2
cos 3x
3
2
1
MR
1 tan 2 ax b dx tan ax b C
a
1 tan 2 2 x dx 1 tan 2 x C
2
a 2; b
x sin 2 x 1
1
x2
dx
x
dx
cot x C
sin 2 x
sin 2 x
2
1
1
dx cot 8 x C
2
sin 8 x
8
1
1
MR
2
2
1 cot ax b dx a cot ax b C 1 cot 3x dx 3 cot 3x C
1
sin 2 x cos 2 x
1
1
dx
dx
2 dx tan x cot x C
2
2
2
2
2
sin x cos x
sin x cos x
cos x sin x
1
2
sin 2 x dx 1 cot x dx cot x C
1
1
MR
dx cot ax b C
2
sin ax b
a
10)
DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH
Hình phẳng giới hạn bởi các đường y f ( x) ,
Hình phẳng giới hạn bởi các đường y f ( x) ,
trục Ox , x a, x b thì có diện tích:
y g ( x) , x a, x b thì có diện tích:
b
b
S f ( x) dx
S f ( x) g ( x) dx
a
a
y f ( x)
Khi xoay hình phẳng
quanh Ox ,
x a, x b
ta được khối trụ tròn có thể tích
y f ( x)
Khi xoay hình phẳng y g ( x)
quanh Ox ,
x a, x b
ta được khối trụ tròn có thể tích
b
V f 2 ( x)dx
b
V f 2 ( x) g 2 ( x) dx
a
a
Xét hình khối được giới hạn bởi hai mặt phẳng x a, x b . Khi cắt khối này ta được thiết diện có
diện tích S ( x) (là hàm liên tục trên [a;b]). Thể tích khối này trên a; b là: V
b
a
S ( x)dx .
CÔNG THỨC CHUYỂN ĐỘNG
Xét hàm quảng đường S (t ), hàm vận tốc v(t ) và hàm gia tốc a(t ) . Ba hàm này sẽ biến thiên theo t .
S (t )
v(t )dt v(t ) S (t )
v(t )
a(t )dt a(t ) v(t )
CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
1. Hệ thức cơ bản:
sin 2 cos2 1
2
1 tan
1
cos 2
tan
sin
cos
1 cot 2
cos
sin
sin( k 2 ) sin
cos( k 2 ) cos
cot
1
sin 2
tan .cot 1
tan( k ) tan
cot( k ) cot
2. Cung liên kết:
Đối: và
Bù: và
Phụ: và
2
Khác pi: ;
Khác
Pi
: ;
2
2
sin cos
2
sin( ) sin
sin( ) sin
cos( ) cos
cos( ) cos
tan( ) tan
tan( ) tan
cot( ) cot
cot( ) cot
cot tan
2
Sin Bù
Phụ Chéo
Cos Đối
sin( ) sin
cos sin
2
tan cot
2
sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cos( ) cos
tan( ) tan
cot tan
2
cot( ) cot
Khác pi
Tang, Cotang
Khác pi chia 2
Sin bạn cos
3. Công thức cộng:
sin(a b) sin a.cos b sin b.cos a
sin(a b) sin a.cos b sin b.cos a
tan(a b)
cos(a b) cos a.cos b sin a.sin b
cos(a b) cos a.cos b sin a.sin b
tan a tan b
1 tan a.tan b
tan(a b)
tan a tan b
1 tan a.tan b
4. Công thức nhân đôi, nhân ba:
cos 2 cos 2 sin 2
sin 2 2sin .cos
tan 2
2cos 1 1 2sin
2
2
cos3 4cos3 3cos
sin 3 3sin 4sin3
tan 3
2 tan
1 tan 2
3tan tan 3
1 3tan 2
5. Công thức hạ bậc
1 cos 2
sin 2
2
cos 2
1 cos 2
2
tan 2
1 cos 2
1 cos 2
6. Công thức biến đổi tổng thành tích:
ab
a b
.cos
2
2
ab
a b
sin a sin b 2sin
.cos
2
2
sin(a b)
tan a tan b
cos a.cos b
sin cos 2.sin 2.cos
4
4
cos a cos b 2cos
ab
a b
.sin
2
2
ab
a b
sin a sin b 2cos
.sin
2
2
sin(a b)
tan a tan b
cos a.cos b
cos a cos b 2sin
sin cos 2 sin 2 cos
4
4
7. Công thức biến đổi tích thành tổng:
cos a.cos b
1
cos(a b) cos(a b)
2
Cos.Cos thì Cos cộng cộng Cos trừ
sin a.sin b
1
cos(a b) cos(a b)
2
Sin.Sin thì Cos trừ trừ Cos cộng
sin a.cos b
1
sin(a b) sin(a b)
2
Sin.Cos thì Sin cộng cộng Sin trừ
PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
u v k 2
u v k 2
sin u sin v
(k )
cos u cos v
k
u v k 2
u v k 2
sin u 1 u
Đặc biệt:
2
k 2
sin u 1 u
sin u 0 u k
2
cos u 1 u k 2
k
k 2
cos u 1 u k 2
Đặc biệt:
cos u 0 u
tan u tan v u v k
k
2
k
k
k
cot u cot v u v k
TỔ HP – XÁC SUẤT
QUY TẮC CỘNG
QUY TẮC NHÂN
Nếu phép đếm được chia ra nhiều trường hợp,
ta sẽ cộng các kết quả lại.
HOÁN VỊ
Sắp xếp (đổi chỗ) của n phần
tử khác nhau, ta có số cách
xếp là Pn n ! với n
CHỈNH HP
Chọn k phần tử từ n phần tử
(không sắp xếp thứ tự), ta có
TỔ HP
Chọn k phần tử từ n phần tử
(có sắp xếp thứ tự), ta được số
số cách chọn là Cnk .
.
Cách tính: Cnk
Cách tính:
n! 1.2..... n 1 n .
với
Quy ước sốc: 0! 1.
Công thức: P( X )
XÁC SUẤT
Nếu phép đếm được chia ra làm nhiều giai đoạn
bắt buộc, ta sẽ nhân các kết quả của mỗi giai
đoạn ấy.
n, k
0
k
n
cách chọn là Ank .
n!
n k !k !
Cách tính: Ank
với
.
n( X )
n ( )
n, k
0
k
n
n!
n k !
.
Tính chất:
0 P( X ) 1 .
Trong đó: n( X ) : số phần tử của
P() 0; P() 1 .
tập biến cố X ; n() : số phần tử
không gian mẫu . P( X ) là xác suất
P( X ) 1 P( X ) với X là biến cố đối của X .
để biến cố X xảy ra với X .
KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTƠN
Khai triển dạng liệt kê:
Trong các công thức bên,
ta luôn có n , n 2.
a b
n
Cn0 a n Cn1a n1b Cn2 a n2b2 ......... Cnn1abn1 Cnnbn .
Đặc biệt: 1 x Cn0 Cn1 x Cn2 x 2 .........Cnn1 x n1 Cnn x n (*).
n
Hệ quả 1: Cn0 Cn1 Cn2 .........Cnn1 Cnn 2n (tức là thay x 1 vào (*)).
Hệ quả 2: Với n chẵn, chỉ cần thay x 1 vào (*), ta có:
Cn0 Cn1 Cn2 ......... Cnn1 Cnn 0 Cn0 Cn2 Cn4 ...... Cnn Cn1 Cn3 ......Cnn1
Khai triển tổng quát:
Trong các công thức bên,
ta luôn có n , n 2.
Khai triển:
n
a b Cnk a nk bk . Số hạng tổng quát: Tk 1 Cnk a nk bk
n
k 0
Phân biệt hệ số và số hạng: Cnk ( 1)k a n kbk . x .
HỆ SỐ
SỐ HẠNG
Nhớ rằng số hạng không chứa x ứng với
0.
CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
CẤP SỐ CỘNG
CẤP SỐ NHÂN
1. Đònh nghóa:
1. Đònh nghóa:
Dãy số un được gọi là cấp số cộng khi và
Dãy số un được gọi là cấp số nhân khi và
chỉ khi un1 un d với n
*
.
chỉ khi un 1 un .q với n
Cấp số cộng như trên có số hạng đầu u1 ,
*
.
Cấp số nhân như trên có số hạng đầu u1 ,
công bội q .
công sai d .
2. Số hạng tổng quát:
un u1 (n 1)d với n
2. Số hạng tổng quát:
*
un u1.q n 1 với n
.
3. Tính chất các số hạng:
uk 1 uk 1 2uk với k và k 2.
*
.
3. Tính chất các số hạng:
uk 1.uk 1 uk2 với k
4. Tổng n số hạng đầu tiên:
và k 2.
4. Tổng n số hạng đầu tiên:
(u un )n
Sn u1 u2 ... un 1
.
2
Sn u1 u2 ... un
u1 (1 q n )
với q 1.
1 q
KHẢO SÁT HÀM SỐ & BÀI TOÁN LIÊN QUAN
HÀM BẬC BA
XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU
Bước 1: Tìm tập xác đònh D .
Bước 2: Tính y f ( x) ; cho
y 0
Tìm nghiệm
x1 , x2 ...
Bước 3: Lập bảng biến thiên.
(Nên chọn giá trò x đại diện cho
từng khoảng thay vào y để tìm
dấu của y trên khoảng đó).
Bước 4: Dựa vào bảng biến
thiên để kết luận về sự đồng
biến, nghòch biến của hàm số.
ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ
Hàm số có điểm cực trò là
y( x0 ) 0
( x0 ; y0 )
.
y ( x0 ) y0
Nếu
0
f ( x0 )
0
thì hàm số
f ( x) đạt cực đại tại x
Nếu
f ( x0 )
0
f ( x0 )
0
x0 .
thì hàm số
f ( x) đạt cực tiểu tại x
Đạo hàm y 3ax 2bx c .
x0 .
y
ax b
(ad bc 0)
cx d
2
Hàm số đồng biến trên tập
xác đònh
y 0, x
a 0
.
0
Đạo hàm y
ad bc
.
(cx d )2
Hàm số đồng biến trên
từng khoảng xác đònh
Hàm số nghòch biến trên
tập xác đònh y 0, x
a 0
.
0
ad bc 0.
Hàm số nghòch biến
trên từng khoảng xác
đònh ad bc 0.
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA
CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN
y ax bx cx d (a 0)
y ax4 bx2 c (a 0)
3
2
Đạo hàm y 3ax 2bx c .
2
Hàm số có hai cực trò
(giả thiết là hàm số liên tục
tại x0 ).
f ( x0 )
y ax3 bx2 cx d (a 0)
HÀM NHẤT BIẾN
a 0
(*) .
y 0
f ( x)
TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN
Tìm Max-Min của f ( x) trên đoạn a; b
3
Điều kiện cực trò
Ba cực trò
Một cực trò
Để tìm điều kiện cho hàm số
không có cực trò: Bước 1:
làm theo công thức (*).
Bước 2: phủ đònh kết quả.
Phương trình đường thẳng đi
qua hai điểm cực trò:
y
Đạo hàm y 4ax 2bx .
f ( x). f ( x)
18a
ab 0
ab 0
2 2
a b 0
a 2 b2 0
Có cực trò
Cho A, B, C là ba điểm cực
trò, ta có: cos BAC
SABC
b3 8a
b3 8a
b5
.
32a 3
TÌM MAX-MIN TREN KHOẢNG
Tìm Max-Min của f ( x) trên khoảng (a; b)
Bước 1: Tính y
Bước 1: Tính y
f ( x) .
Tìm các nghiệm xi
(a;b) khi cho f ( x)
Tìm các nghiệm xi
0.
x
(nếu có).
Bước 3: So sanh tất cả giá trò trong bước 2 để
kết luận về giá trò lớn nhất, nhỏ nhất.
Nếu hàm f ( x) đồng biến trên [a; b] thì
a
f (a)
min f ( x)
f (a)
min f ( x)
f (b)
x [a;b]
x [a;b]
TIỆM CẬN ĐỨNG
x
x0
TIỆM CẬN NGANG
(x hữu hạn, y vô hạn),
y
ta có tiệm cận đứng x
x0 . Lưu ý: điều kiện
x0 có thể được thay bằng x
hạn bên trái) hoặc x
ax
cx
x0 là một nghiệm
b
với (c
d
0, ad
x
y
bc
(x vô hạn, y hữu hạn),
y0
ta có tiệm cận ngang y
Bước 2: CALC
CALC
của mẫu số mà không phải là nghiệm của
tử số thì x x0 chính là một TCĐ của đồ thò.
Đồ thò hàm số y
Đònh nghóa:
y0 .
Cách tìm TCN: Đơn giản nhất là dùng CASIO
Bước 1: Nhập hàm số vào máy.
x0 (giới
x0 (giới hạn bên
phải).
Cách tìm TCĐ: Nếu x
b
Bước 3: Lập bảng biến thiên và suy ra giá trò
lớn nhất, nhỏ nhất trên khoảng.
Nếu hàm f ( x) nghòch biến trên [a; b] thì
max f ( x)
Đònh nghóa:
x
x
f (b)
x [a;b]
0.
bằng (; ) thì ta tính thêm lim y ).
max f ( x)
x [a;b]
x
(a;b) khi cho f ( x)
Bước 2: Cần tính lim y, lim y . (Nếu thay (a; b)
Bước 2: Tính các giá trò f (a), f (b) và f ( xi ),...
ĐẶC
BIỆT
f ( x) .
NEXT
X
10 ^ 10
10 ^ 10
NEXT
NEXT
X
NEXT
Bước 3: Nếu kết quả thu được là hữu hạn (tức
là y0 ) thì ta kết luận TCN: y y0 .
0) có một TCĐ: x
d
, một TCN: y
c
a
.
c
Nên nhớ, đồ thò có thể có nhiều tiệm cận đứng, nhưng chỉ có tối đa là 2 tiệm cận ngang.
TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM HOẶC SỐ GIAO ĐIỂM HAI ĐỒ THỊ
f (x ) và (C 2 ) : y g(x ) .
Xét hai đồ thò (C1 ) : y
Bước 1 : Lập phương trình hoành độ giao điểm
của (C1 ) & (C2 ) : f ( x)
g( x) .
(*)
Bước 2 : Giải phương trình (*) để tìm các
nghiệm x1 , x2 ,... (nếu có), suy ra y1 , y2 ...
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
DẠNG 1
Viết phương trình tiếp tuyến
của đồ thò (C ) : y f ( x) tại
DẠNG 2
Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thò (C ) : y f ( x) biết tiếp
DẠNG 3
Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thò (C ) : y f ( x) biết tiếp
điểm M ( x0 ; y0 ) (C )
tuyến có hệ số góc k.
tuyến đi qua A( xA ; y A ) .
Bước 1: Tính đạo hàm y , từ
Bước 1: Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp
Bước 1: Tiếp tuyến có dạng :
y y ( x0 )( x x0 ) y0 (*) với
đó có hệ số góc k
y ( x0 ).
Bước 2 : Viết phương trình
tiếp tuyến của đồ thò dạng
y
k( x
x0 )
y0 .
điểm và tính đạo hàm y .
Bước 2: Cho y ( x0 )
k , từ đó
tìm được tiếp điểm ( x0 ; y0 ).
Bước 3: Viết phương trình
tiếp tuyến :
y0 f ( x0 ).
Bước 2: Thay tọa độ điểm A
vào (*) để tìm được x0 .
Bước 3: Thay x0 tìm được vào
y
k( x
(*) để viết phương trình tiếp
tuyến.
y0 .
x0 )
SỐ PHỨC VÀ CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN
Số phức có dạng: z
a
a, b
bi với
i2
Thành phần
1
(i: là đơn vò ảo). Ký hiệu tập số phức:
Hình học
Phần thực: a.
Nếu a 0 thì z bi được gọi là
số thuần ảo.
Phần ảo: b.
Nếu b 0 thì z a là số thực.
Khi a b 0 thì z 0 vừa là số
thuần ảo vừa là số thực.
Số phức liên hợp – Số phức
nghòch đảo
Cho z a bi . Khi đó:
Số phức liên hợp của nó
là z a bi .
Số phức nghòch đảo là
1
1
z 1
z
a bi
a
b
i.
2
2
2
a
b
a
b2
.
Minh họa
Điểm M (a;b) biểu diễn
cho z trên hệ trục Oxy.
Mô-đun:
z
OM
b2 .
a2
Căn bậc hai
Căn bậc hai của a
Căn bậc hai của a
Phương trình bậc hai
Phương trình z2
a.
0 là
0 là
w
x
x
y
2 xy b
yi với
2
0 có
hai nghiệm phức z
Phương trình z
a
a.
a
2
i a.
Căn bậc hai của số phức
z a bi là hai số phức dạng
2
a
hai nghiệm phức z
0 có
i
a.
Phương trình az
bz c 0
0 sẽ có hai nghiệm
với
2
.
phức là: z1,2
b
i
2a
.
KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
I. MỘT SỐ HÌNH PHẲNG CƠ BẢN:
1. Tam giác vuông:
A
AC
▪ AC2
CH.BC
▪
B
C
H
AC
(đối/huyền) ▪ cos B
BC
▪ sin B
1
AH 2
A
BC2
1
AB2
AB
(kề/huyền)
BC
1
AC2
▪ tan B
▪ Đường cao: AH
a
a
K
▪ AG
G
H
2
▪ AB2
BH.BC
▪ AH 2
BH.CH
AB.AC
AH
AB 2
AC 2
AC
(đối/kề)
AB
▪ cot B
AB
(kề/đối)
AC
Giả sử tam giác ABC đều có cạnh a; trọng tâm G; các đường
cao (trùng với trung tuyến) gồm AH , BK .
2. Tam giác đều:
B
Pitago
▪ AB2
C
a
3. Tam giác thường:
2
AH
3
BK
2 a 3
.
3 2
(cạnh)
2
a 3
; GH
3
(cạnh)2
ABC
4
Giả sử tam giác ABC có a
▪ Diện tích: S
3
a 3
.
2
1
AH
3
1 a 3
.
3 2
a2 3
.
4
BC, b AC, c
a 3
.
6
3
AB ; các đường
cao ha , hb , hc lần lượt ứng với cạnh a, b, c. Ký hiệu R, r lần lượt
là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ∆.
a
sin A
▪ Đònh lí Cô-sin: a2
b
c
2R .
sin B sin C
b2 c2 2bc.cos A ;
▪ Đònh lí Sin:
b2
▪ Diện tích: S
S
ABC
ABC
a2
c2
2ac.cos B; c2
a2
b2
2ab.cosC.
1
1
1
1
1
1
ha .a
hb .b
hc .c ; S ABC
ab.sin C
ac.sin B
bc.sin A ;
2
2
2
2
2
2
abc
a b c
(nửa chu vi).
pr ; S ABC
p( p a)( p b)( p b) với p
4R
2
Công thức Hê Rông
Cho hình vuông ABCD có cạnh a; hai điểm M, N lần lượt là
4. Hình vuông:
trung điểm của CD, AD; I là tâm hình vuông.
▪ Đường chéo:
IA
IB
AC
BD
AC
BD
IC
(cạnh)
ABN
a2 ; chu vi: p
4a.
ADM , ta chứng minh được: AM
Cho hình chữ nhật ABCD tâm I có AB
5. Hình chữ nhật:
.
a 2
nên I là tâm đường tròn đi qua
2
ID
bốn đỉnh hình vuông.
▪ Diện tích: SABCD (cạnh)2
▪ Vì
a 2
2
BN.
a, AD
b.
▪ Đường chéo: AC
BD
a2 b2 .
1 2
IA IB IC ID
a
b2 nên I là tâm đường tròn đi
2
qua bốn điểm A, B, C, D.
▪ Diện tích: SABCD
a.b ; chu vi: p
2(a
b).
Cho hình thoi ABCD có tâm I , cạnh bằng a.
6. Hình thoi:
▪ Đường chéo: AC
▪ Diện tích: SABCD
BD; AC 2 AI
1
AC.BD ; SABCD
2
2 AB.sin ABI
2S
ABC
2S
2a.sin ABI.
ACD
2S
ABD
.
Đặc biệt: Nếu hình thoi có góc B D 600 ( A C 1200 ) thì
ACD.
ta chia hình thoi ra làm hai tam giác đều: ABC
AC
a và S
ABC
S
ACD
a2 3
; SABCD
4
2S
a2 3
.
2
ABC
II. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:
7. Hình chóp:
7.1. Hình chóp tam giác đều
S
h
▪ Tất cả cạnh bên bằng nhau.
▪ Đáy là tam giác đều cạnh a.
▪ SH ( ABC) với H là trọng tâm
∆ ABC.
D
▪
A
H
Sđ
SH
Sđ
a2 3
4
h
Thể tích
V
1 a2 3
h.
3
4
C
B
V
1
h.Sđ
3
Góc giữa cạnh bên và mặt
Góc giữa mặt bên và mặt đáy:
7.2. Tứ diện đều:
▪ Đây cũng là hình chóp tam
giác đều, đặc biệt là cạnh
bên bằng cạnh đáy. Thể
tích: V
a3 2
.
12
đáy: SA,( ABC)
SAH
(SAB),( ABC)
SCH .
SC,( ABC)
(SBC),( ABC)
▪
Góc giữa cạnh bên và mặt
7.4. Hình chóp có cạnh bên
SA vuông góc với mặt
phẳng đáy.
a2
SO
h
h
SA
Sđ
S
Thể tích
SBO .
1
SA.S
3
V
ABC
SBA
SC,( ABC)
SCA
ABC
.
.
▪ Đường cao h SH cũng là
đường cao của ∆SAB.
▪ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:
SAH
SC,( ABC)
SCH
.
SMO
SNO .
Đáy là tứ giác đặc biệt
Đáy là tam giác
SA,( ABC)
1
h.a2 .
3
V
(SBC),( ABCD)
▪ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:
SB,( ABC)
Thể tích
(SAB),( ABCD)
Đáy là tam giác
▪
7.5. Hình chóp có mặt bên
(SAB) vuông góc với mặt
phẳng đáy.
Sđ
Góc giữa mặt bên và mặt đáy:
SAO
SB,( ABCD)
SNH .
▪ Tất cả cạnh bên bằng nhau.
▪ Đáy là hình vuông cạnh a.
▪ SO ( ABCD) với O là tâm hình
vuông ABCD.
7.3. Hình chóp tứ giác đều:
đáy: SA,( ABCD)
SMH
▪
h
Sđ
SA
SABCD
Thể tích
1
SA.SABCD .
3
V
▪ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:
SB,( ABCD)
SBA
SC,( ABCD)
SCA
.
Đáy là tứ giác đặc biệt
▪ Đường cao h SH cũng là
đường cao của ∆SAB.
▪ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:
SA,( ABCD)
SAH
SC,( ABCD)
SCH
.
III. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
1. Hình lăng trụ thường:
Hai đáy là hai hình giống
nhau và nằm trong hai mặt
phẳng song song.
Các cạnh bên song song và
bằng nhau. Các mặt bên là
các hình bình hành.
Thể tích: V
Đáy là tam giác
Đáy là tứ giác
h.Sđ .
V
2. Hình lăng trụ đứng:
Các cạnh bên cùng vuông góc
với hai mặt đáy nên mỗi
cạnh bên cũng là đường cao
của lăng trụ.
Lăng trụ tam giác đều:
Là lăng trụ đứng và có hai
đáy là hai tam giác đều
bằng nhau.
AH.S
ABC
h
Thể tích: V
AA
h.Sđ với
BB
CC .
AH.SABCD
AH.SA B C D
Đáy là tứ giác
Thể tích: V
h
AA
h.Sđ với
BB
CC
DD .
3.1 Hình hộp chữ nhật:
Là lăng trụ đứng có đáy là
hình chữ nhật.
3.2. Hình lập phương:
Là hình hộp chữ nhật có tất cả
các cạnh bằng nhau.
V
V
abc với a,b, c là ba kích
thước khác nhau của hình hộp
chữ nhật.
h.Sđ .
V
ABC
Đáy là tam giác
Thể tích: V
3. Hình hộp:
Là lăng trụ có tất cả các mặt
là hình bình hành.
AH.S
a3 với a là cạnh của hình
lập phương.
MẶT TRỤ – MẶT NÓN – MẶT CẦU
MẶT NÓN
Các yếu tố mặt nón:
Đường cao: h
S
l
h
l
SO . ( SO
cũng được gọi là trục của hình
nón).
Bán kính đáy:
l
r
OA
OB
OM .
Một số công thức:
Chu vi đáy: p
Diện tích đáy: Sđ
Thể tích: V
Đường sinh:
A
r
O
B
M
Hình thành: Quay
vuông
l
SA
SB
2 r.
1
h.S
3 đ
r2 .
1
h. r 2 .
3
(liên tưởng khối chóp).
SM .
Góc ở đỉnh: ASB .
Diện tích xung quanh:
Sxq
rl .
SOM quanh trục SO , ta được
mặt nón như hình bên với:
h
SO
r
OM
.
Thiết diện qua trục: SAB
cân tại S.
Góc giữa đường sinh và mặt
đáy: SAO
MẶT TRỤ
SBO
Diện tích toàn phần:
Stp
Đường cao: h
OO .
Đường sinh: l
AD
OA
BC .
h.
OB
OC
O D.
Thiết diện qua trục: Là hình
chữ nhật ABCD.
Một số công thức:
IA
IB
Sxq
Stp
Là đường tròn tâm I , bán
4 R3
3
Sxq
2Sđ
2 r.h
2 r2 .
Mặt cầu nội
tiếp đa diện là
mặt cầu tiếp
xúc với tất cả
các mặt của đa
diện đó.
kính R .
Thể tích khối cầu: V
2 r.h .
Mặt cầu
ngoại tiếp đa
diện là mặt
cầu đi qua tất
cả đỉnh của đa
diện đó.
Thiết diện qua tâm mặt cầu:
4 R2
h. r2 .
Mặt cầu ngoại tiếp đa diện
Mặt cầu nội tiếp đa diện
2R .
Diện tích mặt cầu: S
h.Sđ
Diện tích toàn phần:
IM .
Đường kính AB
Hình thành: Quay đường
tròn tâm I , bán kính
AB
quanh trục AB , ta có
R
2
mặt cầu như hình vẽ.
r2 .
Diện tích xung quanh:
Tâm I , bán kính
R
2 r.
Diện tích đáy: S đ
V
hai điểm O, O .
MẶT CẦU
r2 .
Thể tích khối trụ:
Trục (∆) là đường thẳng đi qua
Hình thành: Quay hình chữ
nhật ABCD quanh đường
trung bình OO , ta có mặt trụ
như hình bên.
rl
Một số công thức:
Chu vi đáy: p
Bán kính đáy:
r
Sđ
SMO .
Các yếu tố mặt trụ:
Ta có: l
Sxq
CÁCH TÌM BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP THƯỜNG GẶP
1. Hình chóp có các đỉnh nhìn một cạnh
dưới một góc vuông.
Xét hình chóp có
SA ( ABC) và
Xét hình chóp có
SA ( ABCD) và
ABCD là hình chữ
2. Hình chóp đều.
Xét hình chóp tam
giác đều có cạnh bên
bằng b và đường cao
Xét hình chóp tứ giác
đều có cạnh bên bằng
b và chiều cao SO h
ABC
Ta có
nhật hoặc hình vuông.
900 .
Ta có: SAC
SAC SBC 90
nên mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp có tâm
I là trung điểm SC ,
0
bán kính R
SC
.
2
SBC
SDC 900
Suy ra mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp có tâm
I là trung điểm SC ,
Bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp
SH h .
Bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp
b2
.
2h
trên là R
b2
.
2h
trên là R
SC
.
2
bán kính R
3. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với
mặt phẳng đáy.
Khi đó mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp có bán
h
2
kính R
4. Hình chóp có mặt bên vuông góc với
mặt đáy.
2
rđ 2 .
Nếu đáy là tam giác
đều cạnh a thì
Xét hình chóp có
(đáy) và
SA
SA h ; bán kính
đường tròn ngoại tiếp
của đáy là rđ .
a 3
.
3
Nếu đáy là hình vuông
rđ
a 2
.
2
Nếu đáy là hình chữ
nhật cạnh a, b thì
cạnh a thì rđ
a2
rđ
b2
2
Xét hình chóp có mặt bên (SAB)
(đáy), bán
kính ngoại tiếp đáy là rđ , bán kính ngoại tiếp
SAB là rb , d
AB
(SAB)
(đáy).
Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là
R
.
rđ 2
rb2
d2
.
4
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ trục tọa độ Oxyz:
Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc nhau.
Trục Ox : trục hoành, có vectơ đơn vò i
Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vò j
Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vò k
(1;0;0) .
(0;1;0) .
(0;0;1).
Điểm O(0;0;0) là gốc tọa độ.
2. Tọa độ vectơ: Vectơ u
Cho a
a
ka
a
a.b
b (a1
b1 ; a2
b2 ; a3
(a1 ; a2 ; a3 ), b
b3 )
b
b1
a2
b2
a3
b3
a1 .b1
a2 .b2
a3 .b3
yj
zk
a
a12
a22
a22
( x; y; z) .
u
(b1 ;b2 ;b3 ) . Ta có:
a cùng phương b
(ka1 ; ka2 ; ka3 )
a1
xi
a1
kb1
a2
kb2
a3
kb3
a1
b1
a2
a
kb (k
a2
a3
b2
b3
a
2
R)
, (b1 , b2 , b3
a12
a22
0).
a32
a
b
a.b
a1b1
0
a2b2
3. Tọa độ điểm: M ( x; y; z)
AB
( xB
xA ; yB
a3b3
zA )
AB
xA
2
xB yA
;
2
yB zA
;
2
zB
a
a1b1
a2b2
a
a . b
2
2
2
3
a3b3
b22
2
1
b32
( xB
x A )2
( yB
yA )2
( zB
zA ) 2
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
x
xB xC yA yB yC zA zB zC
G A
;
;
.
3
3
3
Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
M
a.b
2
1
( x; y; z) . Cho A( xA ; yA ; zA ) , B( xB ; yB ; zB ) , C( xC ; yC ; zC ) , ta có:
OM
yA ; zB
a.b
cos(a, b)
0
.
4. Tích có hướng của hai vectơ:
Đònh nghóa: Cho a
(a1 , a2 , a3 ) , b
(b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng của a và b là:
a2
b2
a, b
[a, b]
Tính chất:
a3 a3
;
b3 b3
[a, b]
a
Điều kiện cùng phương của hai vectơ a & b là
a, b
0 với 0
a1 a1
;
b1 b1
a2
b2
a2b1 .
a . b .sin a, b
0.
Diện tích tam giác ABC:
Diện tích hình bình hành ABCD:
Thể tích khối hộp: VABCD. A'B'C'D'
a1b3 ; a1b2
[a, b]
b
là [a, b].c
ABCD
a3b2 ; a3b1
Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ a, b và c
(0;0;0).
S
a2b3
S
AB, AD .
[ AB, AD]. AA'.
ABC
Thể tích tứ diện: VABCD
1
AB, AC .
2
1
AB, AC . AD .
6
5. Phương trình mặt cầu:
Dạng 1: (S) : ( x
Mặt cầu ( S) có
a)
2
(y
b)
2
(z
c)2
R2
Dạng 2: (S) : x2
I (a; b; c)
R
Mặt cầu ( S) có
R2
Phương trình x2
z2
2ax
2by
2cz
d
Bài toán 5.1. Viết phương trình mặt cầu tâm
I và đi qua điểm M.
Bước 1: Tính bán kính R IM .
2ax
b2
c2
2by
2cz
d
0
a2
d
0 là phương trình mặt cầu a 2 b2 c 2 d 0 .
Bài toán 5.2. Viết phương trình mặt cầu có
đường kính AB.
Bước 1: Tìm tâm I là trung điểm AB. Bán kính
R
Bước 2: Viết phương trình mặt cầu dạng 1.
z2
I (a; b; c)
R
y2
y2
AB
IA IB .
2
Bước 2: Viết phương trình mặt cầu dạng 1.
6. Phương trình mặt phẳng:
Mặt phẳng ( P)
trình ( P) : a( x
Lưu ý: Vectơ pháp tuyến (VTPT) của mặt
phẳng là vectơ khác 0 nằm trên đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng đó.
Bài toán 6.1. Viết phương trình mặt phẳng
trung trực của đoạn thẳng AB.
qua M ( x0 ; y0 ; z0 )
VTPT n
x0 )
b( y
(a; b; c)
y0 )
thì phương
c( z
z0 )
0 .
Ngược lại, một mặt phẳng bất kỳ đều có phương
trình dạng ax by cz d 0 , mặt phẳng
này có VTPT n
(a;b; c) .
Bài toán 6.2. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua ba điểm A, B, C.
Bước 1: Tìm trung điểm I của đoạn AB và tính
AB, AC .
tọa độ AB .
Bước 2: Phương trình mp( P)
Bước 1: Tính tọa độ AB, AC và suy ra
qua I
VTPT n AB
.
Bài toán 6.3. Viết phương trình mặt phẳng
qua M và chứa đường thẳng d với M d .
Bước 2: Phương trình mp( P)
Bước 2: Phương trình mp( P)
ax0 by0 cz0 d
a 2 b2 c 2
.
Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình:
( P) : a1 x b1 y c1 z d1 0
(Q) : a2 x b2 y c2 z d 2 0
Góc giữa ( P) & (Q) được tính:
nP . nQ
1.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Cho hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng
z
c
( P) : ax by cz d1 0
.
(Q) : ax by cz d 2 0
M ( x0 ; y0 ; z0 )
.
mp( P) : ax by cz d 0
nP .nQ
y
b
VTPT n AM , ud
Cho
cos ( P), (Q)
x
a
qua M
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Khi đó: d M , ( P)
0.
Phương trình mặt
phẳng được viết
theo đoạn chắn
( P) :
Tính AM , ud .
VTPT n AB, AC
Bài toán 6.4. Viết phương trình mặt phẳng
cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0),
C (0; 0; c) với a, b, c
Bước 1: Chọn điểm A d và một VTCP ud .
qua A
a1a2 b1b2 c1c2
a b12 c12 . a22 b22 c22
2
1
0
0
Chú ý: 0 ( P), (Q) 90 .
Khi đó: d ( P), (Q)
d1 d 2
a 2 b2 c2
với d1 d 2 .
Vò trí tương đối giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình:
( P) : a1 x b1 y c1 z d1 0
. Ta có:
(Q) : a2 x b2 y c2 z d 2 0
a
b c
d
( P) (Q) 1 1 1 1 .
a2 b2 c2 d2
a
b c
d
( P) (Q) 1 1 1 1 .
a2 b2 c2 d 2
( P) & (Q) cắt nhau a1 : b1 : c1 a2 : b2 : c2 .
( P) (Q) a1a2 b1b2 c1c2 0 .
Lưu ý: Các tỉ số trên có nghóa khi mẫu khác 0.
Ví trò tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt phẳng ( P) : ax by cz d 0 và mặt cầu ( S ) có tâm I và bán kính R.
Trường hợp 1: d I , ( P) R ( P) và ( S ) không có điểm chung.
Trường hợp 2: d I , ( P) R ( P) và ( S ) có
Trường hợp 3: d I , ( P) R ( P) cắt ( S )
một điểm chung. Khi đó ta nói ( P) tiếp xúc
theo giao tuyến là một đường tròn.
( S ) hoặc ( P) là tiếp diện của ( S ).
Đường tròn giao tuyến có tâm H (là trung điểm
AB), bán kính r R 2 IH 2 với IH d I ,( P) .
Ta có: IM ( P) với M là tiếp điểm.
7. Phương trình đường thẳng:
Đường thẳng d
qua A( xA ; y A ; z A )
VTCP u (u1; u2 ; u3 )
x x A u1t
Phương trình tham số d : y y A u2t với
z z u t
A
3
có:
t là tham số.
Phương trình chính tắc
d:
Vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng d là
vectơ khác 0 , có giá nằm trên d hoặc song song với d.
x xA y y A z z A
u1
u2
u3
a d
Lưu ý: Nếu có cặp vectơ khác 0 không cùng phương sao cho
b d
với u1.u2 .u3 0 .
thì d có VTCP là: ud a, b .
7.1. Ví trò tương đối giữa hai đường thẳng:
Xét vò trí tương đối của hai đường thẳng d1 , d2 với d1
Bước I
u1 , u2
0
Hai đường thẳng
d1 , d2 song song hoặc trùng nhau.
u1 , u2
0
Hai đường thẳng d1 , d2
cắt nhau hoặc chéo nhau.
qua M
VTCP u1
Bước II
u1 ; MN
0
u1 ; MN
0
qua N
, d1
VTCP u2
.
Kết luận
d1
d2
(Hai đường thẳng trùng nhau)
d1
d2
u1 ,u2 .MN
0
d1 cắt d2
u1 ,u2 .MN
0
d1 & d2 chéo nhau
7.2. Ví trò tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng:
x
x0
u1t
Xét vò trí tương đối giữa đường thẳng d : y
y0
u2 t và mặt phẳng (P) : ax
z
z0
u3 t
Bước I:
Thay phương trình tham số d vào
Bước II:Giải PT (*), ta gặp
1 trong 3 trường hợp sau
PT (*) vô nghiệm
by
cz
d
Kết luận
d ( P)
0 .
phương trình ( P) , ta được PT (*):
a( x0 u1t) b( y0 u2t) c(z0 u3t)
d
x x0
0 PT (*) có 1 nghiệm
y y0
z z
0
d cắt ( P) tại điểm
có tọa độ ( x0 ; y0 ; z0 ) .
d
PT (*) có vô số nghiệm
(P)
7.3. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
Bước 1: Chọn điểm A d và một VTCP ud .
Cho điểm M và đường thẳng d (có
phương trình tham số hoặc chính tắc).
Bước 2: d M , d
ud , AM
.
ud
7.4. Góc giữa hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng d1 , d 2 lần lượt có VTCP là u1 , u2 .
Ta có: cos d1 , d 2
u1.u2
.
u1 . u2
7.5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng d có VTCP u và măt phẳng ( P) có VTPT n .
Ta có: sin d , ( P)
u.n
u.n
8. Hình chiếu và điểm đối xứng:
Bài toán
Tìm hình chiếu
của điểm A trên
mặt phẳng (P ) .
Phương pháp
Gọi d là đường thẳng
qua A
( P)
Viết pt tham
số của d với VTCP của d cũøng là VTPT của (P).
Gọi H d ( P) . Thay pt tham số của d vào pt
mp (P) ta tìm được tọa độ H.
Tìm điểm A
đối xứng với A qua
(P ) .
xA 2 xH xA
Ta có H là trung điểm AA y A 2 yH y A .
z 2z z
H
A
A
Cách I
Tìm hình chiếu
của điểm A trên
đường thẳng d.
Gọi H (theo t ) (dựa vào pt tham số của d).
Tìm được t
AH d AH .ud 0
Gọi ( P)
Cách II
qua A
( P)
d
Viết pt mp( P) .
Gọi H d ( P) . Thay pt tham số của
d vào pt mp (P) ta tìm được tọa độ H.
Tìm điểm A
đối xứng với A qua
đường thẳng d.
xA 2 xH xA
Ta có H là trung điểm AA y A 2 yH y A .
z 2z z
H
A
A
Biên soạn: Hoàng Xuân Nhàn
Email góp ý:
.......
Tọa độ H.
.