lý thuyết chương số phức ( cơ bản )

Chơng 4 Giải tích 12 Số Phức
I. S PHC V BIU DIN S PHC :
1. nh ngha: S phc l mt biu thc cú dng
a bi+
, trong ú
2
, ; 1a b i = Ă
.
S phc
z a bi= +
cú
a
l phn thc,
b
l phn o.
S phc
z a bi= +
c biu din bi im
( )
;M a b
hay bi
( )
;u a b=
r
trong
mt phng ta Oxy.
z = a + 0i l s thc
z = 0 + bi l s thun o
z = 0 + 0i va l s thc va l s o
Hai s phc bng nhau :
a c

a bi c di
b d
=

+ = +

=

.
Modun ca s phc
z a bi= +
chớnh l di ca
OM
uuuur
. Vy :
2 2
z OM a b= = +
uuuur
.
S phc liờn hp ca s phc
z a bi= +
l s phc
z a bi=
.
Chỳ ý rng : cỏc im biu din
z
v
z
i xng nhau qua trc honh. Do ú
z

l s
thc khi v ch khi
z z=
,
z
l s o khi v ch khi
z z=
2. CC PHẫP TON TRấN S PHC :
a. Phộp cng, tr, nhõn hai s phc :
( ) ( ) ( ) ( )
a bi c di a c b d i+ + + = + + +
( ) ( ) ( ) ( )
a bi c di a c b d i+ + = +
( ) ( ) ( ) ( )
a bi c di ac bd ad bc i+ + = + +
Chỳ ý :
Cỏc phộp toỏn : cng, tr, nhõn hai s phc thc hin nh rỳt gn biu thc i s
quen thuc vi chỳ ý rng
2
1i =
. Cỏc quy tc i s ó bit trờn tp s thc vn
c ỏp dng trờn tp s phc.
1 2 3 4
, 1, , 1i i i i i i= = = =
. Tng quỏt :
4 4 1 4 2 4 3
1, , 1,
n n n n
i i i i i i
+ + +

= = = =
.
( )
2
1 2i i+ =
;
( )
2
1 2i i =
.
b. Phộp chia hai s phc :
Gv: Lê Phú Trơng Trang 1
Bi 1: S PHC
Chng IV: S PHC

Ch¬ng 4 – Gi¶i tÝch 12 Sè Phøc
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
a bi c di a bi c di
a bi
c di c di c di c d
+ − + −
+
= =
+ + − +
.
Như vậy :
2

. .
.
z z z z z
z z z
z
′ ′ ′
= =

Chú ý :
1
1
i
i
i
+
=
−
.
c. Các tính chất của số phức liên hợp và modun :
•
z z=
;
z z z z
′ ′
+ = +
;
.zz z z
′ ′
=
;

z z
z z
′ ′
 
=
 ÷
 
•
0z ≥
với mọi
z∈ £
,
0 0z z= ⇔ =
.
•
z z=
;
zz z z
′ ′
=
;
z
z
z z
′
′
=
;
z z z z
′ ′

+ ≤ +
• Tính kết hợp: ( z + z
/
) + z
//
= z + ( z
/
+ z
//
)
• Tính giao hoán : z + z
/
= z
/
+ z
• Cộng với 0: z + 0 = 0 + z = z
• z = a + bi = > - z = - a – bi là số đối của z
I. Căn bậc 2 của số phức:
1. Định nghĩa : Số phức
z
là căn bậc hai của số phức w nếu :
2
z w=
.
Như vậy để tìm Số phức
z x yi= +

( )
,x y∈ ¡
là căn bậc hai của số phức

w a bi= +
ta giải hệ phương trình hai ẩn x, y thực sau :
2 2
2
x y a
xy b





− =
=
Chú ý :
• Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0.
• Số thực
0a >
có đúng hai căn bậc hai là :
a±
Gv: Lª Phó Tr¬ng Trang 2
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Ch¬ng 4 – Gi¶i tÝch 12 Sè Phøc
• Số thực
0a <
có hai căn bậc hai là
i a i a± = ± −
. Đặc biệt , số
1−
có
hai căn bậc hai là

i
±
.
II. Phương trình bậc hai :
Cho phương trình bậc hai
2
0az bz c+ + =
(
, , , 0a b c a∈ ≠£
).
• Nếu
0∆ =
, phương trình có một nghiệm kép
2
b
z
a
= −
.
• Nếu
0∆ ≠
, phương trình có hai nghiệm phân biệt :
1,2
2
b
z
a
δ
− ±
=

,
trong đó
δ
là một căn bậc hai của
∆
.
a. Định lý Viet :
Nếu phương trình bậc hai
2
0az bz c+ + =
(
, , , 0a b c a∈ ≠£
) có hai nghiệm
1 2
,z z
thì :
1 2
b
z z
a
+ = −
và
1 2
c
z z
a
=
.
b. Định lý đảo của định lý Viet :
Nếu hai số

1 2
,z z
có tổng
1 2
z z S+ =
và
1 2
z z P=
thì
1 2
,z z
là nghiệm của phương trình :
2
0z Sz P− + =
.
I. Dạng lượng giác của số phức :
Số phức
0z a bi= + ≠
có dạng lượng giác là :
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +
; trong đó :
0r z= >
,
cos
a
r
ϕ

=
,
sin
b
r
ϕ
=
,
( )
,Ox OM
ϕ
=
là một acgumen của
z
.
Các tính chất của acgumen :
Nếu
ϕ
là một acgumen của
z
thì
ϕ
−
là một acgumen của
z
.
Nếu
ϕ
là một acgumen của
z

thì
π ϕ
+
là một acgumen của
z−
.
II. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác :
Nếu
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +
và
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
′ ′ ′ ′
= +
thì :
( ) ( )
cos sinzz rr i
ϕ ϕ ϕ ϕ
′ ′ ′ ′
= + + + 
 
,
( ) ( )
cos sin
z r
i

z r
ϕ ϕ ϕ ϕ
′ ′
= − + − 
 
′ ′
.
III. Lũy thừa số phức dưới dạng lượng giác :
Gv: Lª Phó Tr¬ng Trang 3
Bài 5: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
Ch¬ng 4 – Gi¶i tÝch 12 Sè Phøc
Nếu
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +
thì
( )
cos sin
n n
z r n i n
ϕ ϕ
= +

1n ≥
và
n∈ ¥
.
IV. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :
Nếu

( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +
thì các căn bậc hai của
z
là :
2 2
cos sin
2 2
k k
r i
ϕ π ϕ π
+ +
 
+
 ÷
 
, với
0k =
hay
1k =
.
Bài 1:
Xác đònh phần thực , phần ảo của các số phức sau :
− − a) z = 2 + 5i b) z = 2 i c) z = 3 d) z = 0
− − − + − −
2
e) i + (2 4i) (3 5i) f) ( 2 5i) g) (2 + 3i)(2 3i) h) i(2 i)(3+i)
Bài 2:

− ∈ ¡Cho z = (2a 4) + (3b + 6)i với a,b . Tìm điều kiện của a và b để :
a) z là số thực b) z là số ảo .
Bài 3:
′
Tìm các số thực a,b sao cho z = z với từng trường hợp sau :
′
− − −
′
− − − − −
a) z = ( 3a 6) + i , z = 12 + (2b 9)i
b) z = (2a 5) (3b 1)i , z = (2b 1) + (3a 5)i
Bài 4:
′ ′ ′
−Tính z + z , z z , z . z với :
′
′
a) z = 3+2i , z = 4 + 3i
b) z = 2-3i , z = 5 + 4i
Bài 5:
Tìm nghòch đảo của các số phức sau :
− − a) z = 3 + 4i b) z = 1 2i c) z = 2 + 3i
Bài 6:
Thực hiện các phép tính sau :
− +
− +
+ − +
2 2 3
1 5 6i
A = (1 i) ; B = (2 + 4i) ; D = (1+ i) 13i ; E = ; F =
(1 i)(4 3i) 4 3i

− − −
=
− − −
−
7 2i 1 1 3 2i 3 4i
G = ;H ; I = ; J = ; K =
8 6i 2 5i i 4 i
1 3
i
2 2
Bài 7:
− + + +
2 3 2
1 3 1
Cho z = i . Hãy tính : , z,z ,(z) ,1 z z .
2 2 z
Bài 8:
∈ £Giải các phương trình sau trên tập số phức : với ẩn z

− − − − − −
a) iz + 2 i = 0 b) (2 + 3i)z = z 1 c) (2 i)z 4 = 0 d) (iz 1)(z + 3i)(z 2+3i) = 0
e).
( )
3 3 2 6 7x i i+ − = +
; f).
( ) ( )
5 2 2 7 3i x i i+ + − + = −
.
g).
( )

2
4 2 1 0i i z− − − =
. h).
2 6 2z z i+ = +
.
m).
3 7 5iz z i+ = +
; n).
3 2 5 2z z i+ = +
.
Bài 9:
Tìm các căn bậc hai của các số phức sau :
Gv: Lª Phó Tr¬ng Trang 4
BÀI TẬP
Ch¬ng 4 – Gi¶i tÝch 12 Sè Phøc
− −
− −
a) z = 1 b) z = 9 c) z = 5 + 12i d) z = i
e) z = 1+ 4 3i f) z = 17+ 20 2i g) z = 8 + 6i h) z = 46 14 3i
i).
3 4i−
; j).
5 12i− −
.
Bài 10:
∈ £Giải các phương trình sau trên tập số phức : với ẩn z
= + + + = − + = + − + − =
− − − = − − + − =
2 2 2 2
2 2

a) z z 1 b) z 2z 5 0 c) z z 1 0 d) z ( 2 i)z 2i 0
e) ix 2(1 i)x 4 0 f) x (5 i)z 8 i 0
+ =
2
g) z 4 0
h)
2
2z i=
Gv: Lª Phó Tr¬ng Trang 5