Đột phá toán hình học 8910 edited

CHƯƠNG 1 VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
CHUYÊN ĐỀ 1: VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA VECTƠ
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa véc tơ
Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm
đầu, điểm nào là điểm cuối.
 
A
Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B ta kí hiệu: AB a
   
Vectơ còn được kí hiệu là: a, b, x, y,...
B

Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Kí hiệu là 0 .
2. Hai vec tơ cùng phương, cùng hướng, hai vec tơ bằng nhau.
Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ.



Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ dài vectơ AB , kí hiệu AB . Ta có AB  AB .
Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là vectơ cùng phương.

Hai vectơ cùng hướng

Hai vectơ ngược hướng

Hai vectơ bằng nhau

Hai vectơ cùng phương nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Chú ý: Vectơ – không cùng hướng với mọi vectơ
3. Các quy tắc về vec tơ

  
Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta có AB  AC  CB .

  
Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD là hình bình hành khi đó ta có: AC  AB  AD .
  
Quy tắc trung điểm: Cho I là trung điểm AB, M là điểm bất kì: 2MI  MA  MB .
   
Quy tắc trọng tâm: G là trọng tâm tam giác ABC: GA  GB  GC  0
   
3MG  MA  MB  MC (M là điểm bất kỳ)
  
Quy tắc tam giác đối với hiệu hai vectơ: với ba điểm bất kì A, B, C ta có: AB  CB  CA

  



Vec tơ đối của vectơ a kí hiệu là a . Đặc biệt a  a  0, AB  BA

 

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định một vectơ
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho 7 điểm không thẳng hàng, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm
đầu và điểm cuối là các điểm trên?
A. 21.

B. 42.

C. 12.

D. 7

Hướng dẫn
Lấy 2 điểm bất kì trong 7 điểm ta được một đoạn thẳng, do đó có C27  21 đoạn thẳng.
Trang 1




Mỗi một đoạn thẳng tạo thành 2 vectơ, ví dụ đoạn thẳng AB sẽ tạo ra hai vectơ AB và BA .

Vậy số vectơ được tạo ra là 2C27  42
→ Chọn B.
Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Khẳng định
nào sau đây là sai?
 
 
 
 
A. MN  QP .
B. QP  MN .
C. MQ  NP .
D. MN  AC
Hướng dẫn

MN / /PQ

1
Ta có 
(do cùng song song và bằng AC )
2
MN  PQ
Nên MNPQ là hình bình hành.
     
Do đó MN  QP, QP  MN , MQ  NP là các đáp án đúng.

 
 1 
Đáp án MN  AC sai do MN  AC
2
→ Chọn D.
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với có điểm đầu
và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:
A. 4.

B. 6.

C. 7.

D. 9.

Câu 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC. Hỏi cặp vectơ nào
sau đây cùng hướng?









A. MN và CB .
B. AB và MB .
C. MA và MB .
D. AN và CA
Câu 3. Hai vectơ gọi là bằng nhau khi và chỉ khi:
A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau.
B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.
C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.
D. Chúng cùng hướng và và độ dài của chúng bằng nhau.
Đáp án:
1–B

2–B

3–D

Dạng 2: Các phép toán vectơ
1. Ví dụ minh họa

   
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và một điểm M thỏa mãn MA  MB  MC  0 . Mệnh đề nào sau đây là
đúng?
A. M là trung điểm của BC.

B. M là trung điểm của AB.

C. M là trung điểm của AC.

D. ABMC là hình bình hành.

Hướng dẫn
   
  
 
MA  MB  MC  0  MA  MB  MC  BA  MC
Trang 2


Vậy ABMC là hình bình hành.
→ Chọn D.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Hệ thức nào đúng?
     
     
A. AB  BE  CF  AB  AC  BC .
B. AB  BE  CF  AF  CE  BD .
     
     
C. AD  BE  CF  AE  BF  CD .
D. AD  BE  CF  BA  BC  AC
Hướng dẫn
Áp dụng quy tắc cộng ta được
                 
AD  BE  CF  AE  ED  BF  FE  CD  DF  AE  BF  CD  ED  FE  DF  AE  BF  CD





→ Chọn C.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của, I là trung điểm của AM. Khẳng định nào sau đây
đúng?
   
   
A. IB  2IC  IA  0 .
B. IB  IC  2IA  0 .
   
   
C. 2IB  IC  IA  0 .
D. IB  IC  IA  0 .
Hướng dẫn
Vì M là trung điểm của BC nên theo quy tắc trung tuyến ta có:
 

IB  IC  2IM
  
Mặt khác I là trung điểm AM nên IA  IM  0
  
 
  
Suy ra IB  IC  2IA  2IM  2IA  2 IM  IA  0





→ Chọn B.

 
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh C, AB  2 . Tính độ dài của AB  AC
 
 
A. AB  AC  5 .
B. AB  AC  2 5 .

 
C. AB  AC  3 .

 
D. AB  AC  2 3 .
Hướng dẫn

Ta có AB  2  AB  CB  1
Gọi I là trung điểm BC. Xét tam giác ACI vuông tại C, ta có:
AI  AC2  CI 2 

5
2

Áp dụng quy tắc trung điểm ta có:
 

 

5
AC  AB  2AI  AC  AB  2 AI  2.

 5
2

→ Chọn A.

Trang 3


 

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC  30 0 và BC  a 5 . Tính độ dài của vectơ AB  AC
B. a 5 .

A. a 2 .

C. a 7 .

D. a 3 .

Hướng dẫn
Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành.
  
Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có AB  AC  AD
Vì tam giác ABC vuông ở A nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật suy ra

AD  BC  a 5
  
Vậy AB  AC  AD  AD  a 5
→ Chọn B.
2. Bài tập tự luyện

Câu 1. (ID:8129)Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tìm khẳng định đúng?
 
 
A. AB  AC  a .
B. AB  AC  a 3 .
 
3
C. AB  AC  a
.
2

 
D. AB  AC  2a .

Câu 2. (ID:8223)Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
   
    
A. AB  BC  BD  0 .
B. AC  BD  CB  DA  0 .
  
   
C. AD  DA  0 .
D. OA  BC  DO  0 .
Câu 3. (ID:13413)Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, đường cao AH. Khẳng định nào sau đây sai?
   
   
A. AH  HB  AH  HC .
B. AH  AB  AH  AC .

   

C. BC  BA  HC  HA .

 
D. AH  AB  AH

Đáp án:
1–B

2–D

3–B

Dạng 3: Phân tích vec tơ. Quỹ tích vec tơ
1. Phương pháp giải
Phân tích vectơ: Sử dụng định lí mọi vectơ đều phân tích được thành 2 vectơ không cùng phương. Sử
dụng quy tắc tam giác, quy tắc hình bình hành trong phép cộng vectơ, quy tắc ba điểm trong phép trừ hai
vectơ để phân tích một vectơ theo nhiều vectơ.
Quỹ tích vectơ: Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó đưa
về các tập hợp điểm cơ bản đã biết.
 
Nếu phương trình có dạng MA  MB , trong đó A, B cố định thì tập hợp điểm M là đường trung trực
của đoạn thẳng AB.


Nếu phương trình có dạng MA  a , trong đó A cố định, a là độ dài đã biết thì tập hợp điểm M là đường
tròn có tâm A, bán kính a.
Trang 4


Tập hợp những điểm cách đều 2 đường thẳng cắt nhau là đường phân giác của góc được tạo bởi hai

đường thẳng đó.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Khẳng định nào sau
đây đúng?
 1  
 1  
A. AI  AB  AC .
B. AI  AB  AC .
4
4
 1  1 
 1  1 
C. AI  AB  AC .
D. AI  AB  AC .
4
2
4
2









Hướng dẫn
 


Vì M là trung điểm của BC nên AB  AC  2AM (1)
 
Mặt khác I là trung điểm của AM nên 2AI  AM (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
 

 1  
AB  AC  4AI  AI  AB  AC
4





→Chọn A.



Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M, N sao cho 3AM  2AB và
 



3DN  2DC . Tính vectơ MN theo hai vectơ AD, BC
 1  1 
A. MN  AD  BC .
3
3
 1  2 
C. MN  AD  BC .

3
3

 1  2 
B. MN  AD  BC .
3
3
 2  1 
D. MN  AD  BC
3
3

Hướng dẫn
   
   
Ta có MN  MA  AD  DN và MN  MB  BC  CN
   
  
Suy ra 3MN  MA  AD  DN  2 MB  BC  CN



   
 
 MA  2MB  AD  2BC  2 DN  2CN











  
  
Theo bài ra, ta có MA  2MB  0 và DN  2CN  0
  
 1  2 
Vậy 3MN  AD  BC  MN  AD  BC
3
3
→Chọn C.
Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD và I là giao điểm của hai đường chéo. Tìm tập hợp các điểm M thỏa
   
mãn MA  MB  MC  MD
A. Trung trực của đoạn thẳng AB.
C. Đường tròn tâm I, bán kính

AC
.
2

B. Trung trực của đoạn thẳng AD.
D. Đường tròn tâm I, bán kính

AB  BC
.

2

Trang 5


Hướng dẫn
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Khi đó theo công thức đường trung tuyến ta có:
 

MA  MB  2ME

  
MC

MD

2MF

   


 
Do đó MA  MB  MC  MD  2 ME  2 MF  ME  MF
Vì E, F là 2 điểm cố định nên từ đẳng thức (*) ta có tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn
thẳng EF hay chính là trung trực của đoạn thẳng AD.
→Chọn B.
Ví dụ 4: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức
    
2MA  3MB  4MC  MB  MA là đường tròn cố định có bán kính R. Tính bán kính R theo a.
A. r 

a
.
3

B. r 

a
.
9

C. r 

a
.
2

D. r 

a
.
6

Hướng dẫn
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
  
 
 
 
Ta có 2MA  3MB  4MC  2 MI  IA  3 MI  IB  4 MI  IC



 

 



   
     
Chọn điểm I sao cho 2IA  3IB  4IC  0  3 IA  IB  IC  IC  IA  0





  

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC  IA  IB  IC  3IG
   
   
 
Khi đó 9IG  IC  IA  0  9IG  AI  IC  0  9IG  CA

Do đó:
    
    
AB
2MA  3MB  4MC  MB  MA  9MI  2IA  3IB  4IC  AB  9MI  AB  MI 

9
Vì I là điểm cố định thỏa mãn (*) nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm I bán kính
r

AB a

9
9

→Chọn B.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. (ID:8212) Cho tam giác ABC, E là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BE 

1
BC . Hãy chọn đẳng
4

thức đúng?

 
A. AE  3AB  4AC .

 3  1 
B. AE  AB  AC .
4
4
 3  1 
 1  1 
C. AE  AB  AC .
D. AE  AB  AC .

4
4
4
4



Câu 2. (ID:13287) Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Tính AB theo AM và BC .

Trang 6


  1 
A. AB  AM  BC .
2
  1 
C. AB  AM  BC .
2

  1 
B. AB  BC  AM .
2
  1 
D. AB  BC  AM .
2

Câu 3. (ID: 13471) Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, Với I trung điểm của AB. Tìm tập hợp các
   
điểm M thỏa mãn đẳng thức MA  MB  MA  MB
A. Đường tròn tâm I, đường kính

AB
.
2

B. Đường tròn đường kính AB.
C. Đường trung trực của đoạn thẳng AB.
D. Đường trung trực của đoạn thẳng IA.
Đáp án:
1–B

2–C

3–B

Phần 3. BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. (ID: 8162) Cho tam giác đều ABC. Nhận định nào sau đây là sai?
 
 
A. AB  BC .
B. AB  AC .

 
C. AB  BC .

 
D. AC,BC không cùng phương.

Câu 2. (ID:8211) Cho ba điểm phân biệt a, b, c. Khi đó:



A. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AB và AC cùng phương.


B. Điều kiện đủ để A, B, C thẳng hàng là với mọi M thì AB và MA cùng phương.


C. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là với mọi M thì AB và MA cùng phương.
 
D. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AB  AC .
 
Câu 3. (ID: 13434) Cho tam giác vuông cân ABC tại A có AB  a . Tính AB  AC .

 
A. AB  AC  a 2 .

  a 2
B. AB  AC 
.
2
 
D. AB  AC  a .

 
C. AB  AC  2a .

  
Câu 4. (ID:13482) Cho tam giác ABC. Có bao nhiêu điểm M thỏa MA  MB  MC  3
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. Vô số.

Câu 5. (ID:8214) Số các vec tơ có điểm đầu và điểm cuối là 2 trong 6 điểm phân biệt cho trước là:
A. 12.

B. 21.

C. 27.

A. 0.

B. a.

C.

 
Câu 6. (ID:8222) Cho tam giác đều ABC cạnh a. Khi đó bằng AB  AC :
a 3
.
3

D. 30.

D. a 3 .
Trang 7

Câu 7. (ID:13288) Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác ABC.
Khẳng định nào sau đây đúng?
 2  
 1  
A. AG  AB  AC .
B. AG  AB  AC .
3
3
 1  2 
 2  
C. AG  AB  AC .
D. AG  AB  3AC .
3
3
3









Câu 8. (ID:13474) Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn
   
MA  MB  MA  MC
A. Đường trung trực của đoạn thẳng BC
C. Đường tròn tâm G, bán kính

B. Đường tròn đường kính BC.

a
.
3

D. Đường trung trực của đoạn thẳng AG

Câu 9. (ID:13472) Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB. Tìm tập hợp các
   
điểm M thỏa mãn đẳng thức 2MA  MB  MA  2MB
A. Đường trung trực của đoạn thẳng AB.

B. Đường tròn đường kính AB.

C. Đường trung trực của đoạn thẳng IA.

D. Đường tròn tâm A, bán kính AB.

Đáp án:
1–C

2–A

3–A

4–D

5–D

6–B

7–B

8–A

9–A

Trang 8


CHƯƠNG 1 VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Trục và độ dài đại số trên trục
• Định nghĩa: Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là

điểm gốc và một vectơ đơn vị e .
• Điểm O gọi là gốc tọa độ.
• Hướng của vectơ đơn vị là hướng của trục.

• Ta kí hiệu trục đó là  O; e  .




• Cho M là một điểm tùy ý trên trục  O; e  . Khi đó có duy nhất một số k sao cho OM  ke . Ta gọi số k

đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.

 

• Cho hai điểm A và B trên trục  O; e  . Khi đó có duy nhất số a sao cho AB  ae . Ta gọi số a là độ dài

đại số của vectơ AB đối với trục đã cho và kí hiệu a  AB .
2. Hệ trục tọa độ
Hệ gồm hai trục tọa độ Ox, Oy vuông góc với nhau.
 
Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là i , j . O là gốc
tọa độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung.
3. Tọa độ của vectơ
 



u   x; y   u  x; y   u  x i  yj .

x gọi là hoành độ của vectơ u .

y gọi là tung độ của vectơ u .
Các công thức vectơ:


Cho hai vectơ u   u1 ; u 2  , v   v1 ; v 2 

u  v1
 
• uv 1
u 2  v 2
 

• u  v   u1  v1 ; u 2  v 2  ;
 
• u  v   u1  v1 ; u 2  v 2  ;


• k u  (ku1 ; ku 2 ), k  R .

• Độ lớn của vectơ u  u12  u 22 .


• Hai vectơ u   u1 ; u 2  , v   v1 ; v 2  cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho u1  kv1 và

u 2  kv 2 .

  
 
• Tích vô hướng: u.v  u . v cos  u, v  .
Trang 1



u.v  u1v1  u 2 v 2 .
 
u  v  u1v1  u 2 v 2  0 .


u1v1  u 2 v 2
u.v
 
• Góc giữa hai vectơ: cos  u; v     

.
u.v
u12  u 22 . v12  v 22
4. Tọa độ của một điểm

 
M   x; y   OM  x i  yj.
Các công thức:
Cho ba điểm A  x A ; y A  , B  x B ; y B  , C  x C ; y C  .

• AB   x B  x A ; y B  y A  .

• AB  AB 

 x B  x A    yB  yA 
2

• Tọa độ trung điểm I của AB: x1 

2

.

xA  xB
y  yB
, y1  A
.
2
2

• Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: x G 

xA  xB  xC
y  yB  yC
, yG  A
3
3

• Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k  1: x M 

x A  kx B
y  ky B
, yM  A
.
1 k
1 k

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tọa độ vectơ, tích vô hướng của hai vectơ
1. Ví dụ minh họa


 


Ví dụ 1: Cho hai vectơ a   2; 4  , b   5;3 . Tọa độ vectơ u  2a  b là:
A.  7; 7  .

B.  9; 11 .



Ta có: 2a   4; 8  ,  b   5; 3 .
 

Ta có: u  2a  b   4  5; 8  3   9; 11 .

C.  9;5  .

D.  1;5  .

Hướng dẫn

 Chọn B.



 
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ u  1; 2  , v  1; m  . Tìm m để hai vectơ u , v vuông góc
với nhau.
A.

1
.
2

B.

1
.

2

C.

1
.
3

D.

1
.
3

Hướng dẫn
1
 

Ta có: u  v  u.v  0  1.1  2.m  0  m 
.
2
 Chọn B.

Trang 2




Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ u  1; 2  , v  1; 3 . Góc giữa hai vectơ là:
A. 450 .

B. 600 .

C. 300 .

D. 1350 .

Hướng dẫn
 
Ta có: cos  u; v  

1.1  2.3
12  22 . 12   3

2



5  2
 

  u; v   1350 .
2
5 2

 Chọn D.



 

 
Ví dụ 4: Cho hai vectơ a , b có giá vuông góc với nhau và a  4, a  b  5 . Độ dài b bằng:
A. 9.

B.

3.

C. 3.

D. 1.

Hướng dẫn



2




Ta có: a  b  5  a  b  25  a 2  b 2  2a.b  25 .
  
Vì a  b  a.b  0 , do đó ta có:
2

2 2
2
a  b  25  b  25  a  9  b  3





 Chọn C.






Ví dụ 5: Cho hai vectơ a   3; 2  , b   1; 7  . Tìm tọa độ vectơ c biết c.a  9, c.b  20 .




A. c   1; 3 .
B. c   1;3 .
C. c  1; 3 .
D. c  1;3 .
Hướng dẫn


Gọi tọa độ vectơ c   x; y  .



Ta có: c.a  3x  2y  9 và c.b   x  7y  20 .

3x  2y  9

 x  1 
Do đó có hệ: 

 c  1;3 .
 x  7y  20
y  3
 Chọn B.




Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ a   m;1 , b   3; m  2  . Giá trị của m để vectơ a cùng

phương với vectơ b là:
m  3
A. 
.
m  1

 m  3
B. 
.
 m  1





Vectơ a cùng phương với vectơ b  a  kb

 m  3
C. 
.
m  1

m  3
D. 
.
 m  1

Hướng dẫn

 k  1

 m  3
m

3k
m

3k


Hay 

 
1
 k 
1  k  m  2 
1  k  3k  2 

3

 m  1

Trang 3


 Chọn D.





 
Ví dụ 7: : Cho ba vectơ a   2;1 , b   3; 4  , c   7; 2  . Biểu diễn vectơ c qua các vectơ a , b .
 22  3 
b c .
A. a 
5
5

 22  3 
b c.
B. a 
5
5


 
Giả sử c  ma  nb , ta có hệ phương trình:

 22  3 
b c.
C. a 
5
5

 22  3 
b c.
D. a 
5
5

Hướng dẫn

22

m

7  2m  3n

5


2  m  4n
n  3

5
 22  3 
b c.

Vậy a 
5
5
 Chọn D.

2. Bài tập tự luyện
Câu 1. (ID: 9106) Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?


A. Hai vectơ a   6;3 và b   2;1 ngược hướng với nhau.


B. Hai vectơ a   5;0  và b   4;0  cùng hướng với nhau.


C. Vectơ c   7;3 là vectơ đối của vectơ d  7;3 .


D. Hai vectơ a   6;3 và b   2; 2  cùng phương với nhau.




Câu 2. (ID:9204) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba vectơ a   0;1 , b   1; 2  , c   3; 2  . Tọa độ của
  

vectơ u  3a  2b  4c là:
A. 10;15  .

B. 15;10  .

C. 10; 15  .

D.  10;15  .


Câu 3. (ID:8722) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có AB  5, AC  5, A  30 0 . Giá trị biểu thức
 
AB.AC là:
25 3
25
.
C.
.
D. –25.
2
2

 

 
 
Câu 4. (ID:8750) Cho hai vectơ a , b sao cho a  3, b  5, a, b  1200 . Độ dài vectơ a  b bằng:

A.

25 3
.
2

B.

 

A. 19 .

B. 7.

C. 4.

D. 2.

Đáp án:
1–B

2–A

3–A

4–B

Dạng 2: Tọa độ điểm
1. Ví dụ minh họa

  
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A 1;3 , B  4;0  . Tọa độ điểm M thỏa mãn 3AM  AB  0

Trang 4

là:
A. M  4;0  .

B. M  5;3 .

C. M  0; 4  .

D. M  0; 4  .

Hướng dẫn
Gọi tọa độ điểm M là M  x M ; y M  .


AM   x M  1; y M  3 , AB   4  1 ;0  3   3; 3 .

  
x  0
3  x M  1  3  0
Ta có: 3AM  AB  0  
 M
 M(0; 4) .
 yM  4
3  y M  1  3  0
 Chọn C.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A 1;3 , B  4;0  . Tìm điểm C đối xứng của A qua B.
A. C  7,15  .

B. C  6,14  .

C. C  5,12  .

D. C 15, 7  .

Hướng dẫn
C đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AC.

2x B  x A  x C
 x C  2x B  x A  7
Tọa độ điểm B là 

2y B  y A  y C
 y C  2y B  y A  15
 Chọn A.

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A  2;5  , B 1;1 , C  3;3 và điểm E thỏa mãn

 
AE  3AB  2AC . Tọa độ điểm E là:
A.  3; 3 .

B.  3;3 .

C.  3; 3 .

D.  3;3 .

Hướng dẫn

Giả sử tọa độ điểm E  a; b   AE   a  2; b  5  .



 
Ta có: AB   1; 4  , AC  1; 2   3AB  2AC   5; 8 


 
a  2  5 a  3
AE  3AB  2AC  

 E  3; 3
b  5  8
b  3
 Chọn C.

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A  1;1 , B  3;3 . Tìm tọa độ điểm M trên trục Oy để tam
giác MAB cân tại M.
A.  4;0  .

B.  4;0  .

C.  0; 4  .

D.  0; 4  .

Hướng dẫn


Giả sử M  0; y   Oy  MA   1;1  y  , MB   3;3  y  .
Vì tam giác MAB cân tại M nên ta có:

MA 2  MB2  1  1  y   9   3  y   4y  16  0  y  4.
2

2

Vậy M  0; 4  .
Trang 5


 Chọn C.

Ví dụ 5: Cho M  2;0  , N  2; 2  , P  1;3 lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của ABC . Tọa
độ B là:
A. 1;1 .

B.  1; 1 .

C.  1;1 .

D. 1; 1 .

Hướng dẫn
Vì BPNM là hình bình hành nên ta có:

x B  x N  x P  x M
 x  1
 x B  2  2   1

 B


 y B  2  0  3
 yB  1
 yB  y N  yP  yM
Vậy B  1;1 .
 Chọn C.

Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho A  m  1; l  , B  2; 2  2m  , C  m  3;3 . Tìm giá trị m để A, B, C là
ba điểm thẳng hàng?
A. m  2 .

B. m  0 .



Ta có: AB   3  m;3  2m  , AC   4; 4  .

C. m  3 .

D. m  1 .

Hướng dẫn



Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB cùng phương với AC .



3  m 3  2m


m0
4
4

 Chọn B.

Ví dụ 7: Cho A 1; 2  , B  2;6  . Điểm M trên trục Oy sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng thì tọa độ
 10 
A.  0;  .
 3

B.  0; 10  .

C. 10;0  .

D.  10;0  .

Hướng dẫn
Ta có: M trên trục Oy  M  0; y  .


Ba điểm A, B, M thẳng hàng khi AB cùng phương với AM .


Ta có AB   3; 4  , AM   1; y  2  .



1 y  2
10


y .
Do đó, AB cùng phương với AM 
3
4
3
 10 
Vậy M  0;  .
 3
 Chọn A.

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC với AB  5 và AC  1 . Tính toạ độ điểm D là của chân đường phân giác
trong góc A, biết B  7; 2  , C 1; 4  .

Trang 6


 1 11 
A.   ;  .
 2 2

B.  2;3 .

C.  2;0  .

 11 1 
D.  ;  .
 2 2

Hướng dẫn

Theo tính chất đường phân giác:


DB AB

 5  DB  5DC  DB  5DC
DC AC
Gọi



D  x; y   DB   7  x; 2  y  ; DC  1  x; 4  y  .

7  x  5 1  x 
x  2
Suy ra: 

y  3
2  y  5  4  y 
Vậy D  2;3 .
 Chọn B.

Ví dụ 9: Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A 1; 4  , B  2; 2  và C  4; 2  . Xác định tọa độ điểm M
sao cho tổng MA 2  2MB2  3MC2 nhỏ nhất.
 3 
A. M   ;1 .
 2 

 3


B. M   ; 1 .
 2


3 
C. M  ;1 .
2 

3

D. M  ; 1 .
2


Hướng dẫn
2
2
2
2
2
2
MA 2  MB2  3MC2   x  1   y  4   2  x  2    y  2    3  x  4    y  2  





 6x 2  18x  6y 2  12y  93 

Do đó MA 2  2MB2  3MC2 nhỏ nhất bằng

3
147 147
2
2
 2x  3  6  y  1  
2
2
2

147
2

3

 2x  32  0
x 
Dấu bằng xảy ra khi 

2
2
y

1

0

 y  1


3 
Vậy M  ;1
2 
 Chọn C.

2. Bài tập tự luyện


Câu 1. (ID:9161) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A  5; 2  , B 10;8  . Tọa độ của AB là:
A.  2; 4  .

B. 15;10  .

C.  5;6  .

D.  5;6  .

Câu 2. (ID:9175) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A  3;1 , B  2; 2  , C 1;6  , D 1; 6  . Hỏi
điểm G  2; 1 là trọng tâm của tam giác nào sau đây?
A. Tam giác ABC.

B. Tam giác ABD.

C. Tam giác ACD.

D. Tam giác BCD.

Trang 7

Câu 3. (ID:9192) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A  1;0  , B 1;0  . Tìm tọa độ điểm N để tam giác
ABN vuông cân tại A.
A.  1; 2  hoặc  0;3 .

B.  2; 1 hoặc  0; 4  .

C.  1; 2  hoặc  2; 1 .

D.  1; 2  hoặc  1; 2  .

Câu 4. (ID:9191) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M  2; 2  , N 1;1 . Tọa độ điểm P trên trục
Ox thỏa mãn M, N, P thẳng hàng là:
A.  0; 4  .

B.  0; 4  .

C.  4;0  .

D.  0; 4  .

Đáp án:
1–C

2–B

3 –D

4–D

Dạng 3: Ứng dụng tích vô hướng của hai vectơ

1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A  2;1 , B  1; 2  , C  3;0  . Côsin góc A trong tam
giác ABC bằng:
A.

2 5
.
5

B.

2 5
.
5



Ta có: AB   3;1 , AC  1; 1 .
 
  cos AB, AC 
cos A





 3 .1  1.  1
2
2
 3  12 . 12   1

C.

1
.
2

D.

1
.
2

Hướng dẫn



4 2 5
.

5
2 5

 Chọn A.

 1  1 
Ví dụ 2: Cho tam giác vuông cân OAB với OA  OB  a . Độ dài của vectơ v  OA  OB là:
4
3

A.

5
a.
12

B.

1
a.
5

 
Vì tam giác OAB vuông tại O  OA.OB  0 .

C. a.

D. a 3 .

Hướng dẫn

2
1  2 1   1  2 1
1
25 2
 2  1  1  
Ta có: v   OA  OB   OA  OA.OB  OB  a 2  a 2 
a .
3
6

9
16
9
144
4
 16

5

Vây v  a .
12
 Chọn A.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A  1;1 , B  3;1 , C  0; 4  . Gọi A là hình chiếu của A trên
cạnh BC. Tọa độ điểm A là:
Trang 8


A.  0; 2  .

B. 1;3 .

C.  2;3 .

D.  0;3 .

Hướng dẫn
Giả sử A  x; y  .




AA   x  1; y  1 , BA   x  3; y  1 , BC   3;3
Vì A là hình chiếu của A trên cạnh BC nên B, A , C thẳng hàng và AA  BC


 
x  1
3  x  1  3  y  1  0
AA.BC  0


  
 y  3
   x  3  3k
 y  1  3k

BA  kBC
2

k 
3

Vậy A 1;3 .
 Chọn B.

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A  3; 2  , B  4;3 . Tìm tọa độ điểm C để tam giác CAB
vuông cân tại C.
A. 1; 1 hoặc  0;6  .

B. 1;0  hoặc  0;6  .

C. 1;0  hoặc  0;5  .

D. 1; 1 hoặc  0;5  .

Hướng dẫn


Giả sử C có tọa độ C  x; y   CA   3  x; 2  y  , CB   4  x;3  y 
Vì tam giác CAB vuông cân tại C
 
 3  x  4  x    2  y  3  y   0
CA.CB  0



2
2
2
2
CA  CB
  3  x    2  y    4  x    3  y 

x  0

 x 2  y 2  x  5y  6  0
y  6


x  1

7x  y  6

  y  1
Vậy C 1; 1 hoặc C  0;6  .
 Chọn A.

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 1;3 , B  4; 1 , C  2; 3 . Tọa độ tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
 1 1 
A.  ;  .
 2 2

 1 1 
B.  ;  .
 2 2 

 1 3 
C.  ;  .
 2 2

 1 1 
D.  ;  .
2 2 

Hướng dẫn
Giả sử I  a; b  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
 IA 2   a  1   b  3 , IB2   a  4    b  1 , IC2   a  2    b  3
2

2

2

2

2

2

Trang 9


Ta có hệ:
1

 a  12   b  32   a  4 2   b  12
a  2
IA 2  IB2
6a  8b  7



 2
2
2
2
2
2
6a


12b


3
IA  IC

 a  1   b  3   a  2    b  3
b  1

2
 1 1 
Vậy I  ;  .
2 2 
 Chọn D.

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác MNP có M  1;0  , N  2;0  , P  2;3 . Tọa độ trực
tâm H của tam giác MNP là:
4 

A.  2;  .
3 


 4 
C.  2;  .
 3 

 4
B.  2;  .
 3

4

D.  2;  .
3


Hướng dẫn
Giả sử H  x; y  là trực tâm của tam giác MNP.




Ta có: MH   x  1; y  , NP   4;3 , NH   x  2; y  , MP   1;3
 
 
MH  NP
MH.NP  0
      
 NH  MP
 NH.MP  0
Ta có hệ:

 x  2
4  x  1  3y  0


4

 y  3

  x  2   3y  0
4 

Vậy H  2;  .
3 

 Chọn A.

2. Bài tập tự luyện
Câu 1. (ID:9742) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A  1; 1 , B  3;1 , C  6;0  . Số đo góc B
của tam giác ABC bằng:
A. 450 .

B. 600 .

C. 1200 .

D. 1350 .
 
Câu 2. (ID:8744) Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB  a, AC  2a . Khi đó AB.AC bằng bao

B. a 5 .

C. a.

nhiêu?
A. a 3 .

D. 2a.

Câu 3. (ID:8959) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A  4;0  , B  5; 3 , C  2; 4  .
Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
A.  2;1 .

B.  0;1 .

C. 1; 2  .

D. 1;0  .

Đáp án:
Trang 10


1–D

2–B

3–D

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP




Câu 1. (ID:9095) Trên trục tọa độ  O, e  cho điểm M sao cho OM  2e . Tọa độ của điểm M đối với

trục đã cho là:
A. 1.

C. –1.
D. –2.



 
Câu 2. (ID:8702) Tích vô hướng của hai vectơ a, b a, b  0 là số dương khi:


A. a và b cùng chiều.

B. 2.






 

B. a và b cùng phương. C. 00  a, b  900 .

 

 
D. 900  a, b  1800 .

 



 1 
Câu 3. (ID:9183) Cho hai điểm B  9;7  , C 11; 1 và MN  BC . Tọa độ vectơ MN là:
3

A.  2; 8  .

B.  2;8  .

 2 8 
C.  ;  .
 3 3

 2 8 
D.  ;  .
3 3 

Câu 4. (ID:9238) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A  2; 1 , B  0;3 , C  4; 2  và điểm D thỏa mãn
  
2AD  3BD  4CD  0 . Tọa độ điểm D là:
A. 1;12  .

B. 12;1 .

C. 12; 1 .

D.  12; 1 .

Câu 5. (ID:9188) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A  2m; m  , B  2m; m  . Với giá trị nào của m
thì đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ O?
A. m  3 .

B. m  5 .

C. m   .

D. m  0 .

C.  2; 1 .

D.  1; 2  .

Câu 6. (ID:9203) Cho điểm M  2;1 . Tọa độ điểm M1 đối xứng với M qua gốc tọa độ O là:
A.  2; 1 .

B. 1; 2  .

Câu 7. (ID:9214) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A 1;1 , B  3; 2  , C  m  4; 2m  1 . Tìm m để ba
điểm A, B, C thẳng hàng.
A. 1.

B. 0.

C. –1.

D. –2.

Câu 8. (ID:9230) Cho tam giác ABC có A  6;1 , B  3;5  và trọng tâm của tam giác là G  1;1 . Tọa
độ đỉnh C là:
A.  6; 3 .

B.  6;3 .

C.  6; 3 .

D.  3;6  .

Câu 9. (ID:9235) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1; 2  , B  0; 4  , C  3; 2  . Tìm tọa độ điểm
D sao cho ABCD là hình bình hành.
A. D  2;0  .

D. D  0; 2  .
     
Câu 10. (ID:8925) Cho tam giác đều ABC cạnh a. Giá trị biểu thức AB.BC  BC.CA  CA.AB bằng:
A.

3a 2
.
2

B. D  4; 4  .

B.

3a 2
.
2

C. D  4; 4  .

C.

a2 3
.
2

D.

a 2 3
.
2

Câu 11. (ID:8937) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A  2; 1 , B  3; 4  , M  m;0  . Giá trị của
m để MA 2  MB2 đạt giá trị
Trang 11


A.

1
.
2

B. 0.

C. 1.

D.

1
.

2

Câu 12. (ID:8964) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A  1;3 , B  3;1 và trực tâm H 1;1 . Tọa độ
đỉnh C là:
A.  1; 2  .

B. 1; 3 .

C.  1; 3 .

D. 1; 2  .

Câu 13. (ID:8977) Cho tam giác ABC có A  5;6  , B  3; 2  , C  0; 4  . Chân đường phân giác trong
của góc A có tọa độ là:
A.  5; 2  .

 5 2 
B.  ;  .
2 3 

 5 2 
C.  ;  .
3 3 

 5 2 
D.  ;  .
 2 3 

Câu 14. (ID:8996) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A  2;0  , B  0;1 , M  2m  4; m  . Giá trị
của m để MA  MB lớn nhất là:

A.

1
.
2

B. –1.

C.

1
.
2

D. 1.

Đáp án:
1–B

2–C

3–D

4–D

11 – D

12 – C

13 – C

14 – A

5–C

6–A

7–A

8–C

9–B

10 – A

Trang 12


CHƯƠNG 1 : VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTD VÀ ÚNG DỤNG
CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định lí côsin
Trong tam giác ABC với BC = a, AC = b và AB = c. Ta có:

a 2  b 2  c 2  2bc.cos A; b 2  c 2  a 2  2ca.cos B;c 2  a 2  b 2  2ab.cosC
Hệ quả:
cos A 

b2  c2  a 2
c2  a 2  b2

a 2  b2  c2
;cos B 
;cosC 
.
2bc
2ca
2ab

2. Định lí sin
Trong tam giác ABC với BC  a, AC  b, AB  c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có:
a
b
c


 2R.
sin A sinB sin C

3. Độ dài trung tuyến
Cho tam giác ABC với m a , m b , m c lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C. Ta có :

m 
2
a

2  b2  c2   a 2
4

;m 
2

b

2  a 2  c2   b2
4

;m 
2
c

2  a 2  b2   c2
4

.

4. Diện tích tam giác
Với tam giác ABC ta kí hiệu h a , h b , h c là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB;
R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p 

a bc
là nửa chu vi tam giác; S
2

là diện tích tam giác. Khi đó ta có:
1
1
1
S  ah a  bh b  ch c
2
2
2



1
1
1
bcsin A  casin B  absinC
2
2
2

abc
4R
 pr



 p  p  a  p  b  p  c  (công thức Hê-rông).
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định các yếu tố trong tam giác.
1. Ví dụ minh họa


Ví dụ 1: Tam giác ABC có A  150 0 , BC  6 Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

Trang 1


A. 5.

B. 6.

3
.
2

C.

D. 4.

Hướng dẫn
Áp dụng công thức hàm số sin ra có:
BC
BC
6
6
6
 2R  R 



 6.
0
0
1
sin A
2sin A 2.sin150
2.sin 30
2.
2
 Chọn B.



Ví dụ 2: Cho tam giác ABC thỏa mãn: b2  c2  a2  3bc. Tính độ lớn góc A .




A. A  30 0

B. A  450





C. A  60 0

D. A  750

Hướng dẫn
Theo định lý côsin ta có:
cos A 

b 2  c2  a 2
3bc
3


.
2bc

2bc
2



Vậy A  30 0
 Chọn A.

1
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A có CA  3cm,CB  4cm,sin B  . Tính diện tích tam giác.
2

A. 3cm 2 .

B. 4cm 2 .

C. 5cm 2 .

D. 6cm 2 .

Hướng dẫn


1
Ta có C  B nên sin C  sin B  .
2

1
1
1

S  CA.CBsin C  .3.4.  3cm 2 .
2
2
2
 Chọn A.

3
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và cosA = . Tính cạnh BC, và độ dài đường cao kẻ từ
5
A.

A. BC  2, h a 

29
.
29

B. BC  29, h a 

6 29
.
29

C. BC  17, h a 

16 17
.
17

D. BC  29, h a 

3 29
.
29

Hướng dẫn
3
Áp dụng định lí côsin ta có BC2  AB2  AC2  2AB.AC.cos A  42  52  2.4.5.  17
5

Trang 2


Suy ra BC  29.
Vì sin 2 A  cos2 A  1 nên sin A  1  cos2 A  1 
Theo công thức tính diện tích ta có SABC 

9 4
 .
25 5

1
1
4
AB.AC.sin A  .4.5.  8 1 .
2
2
5

1

1
Mặt khác SABC  a.h a  . 17.h a
2
2

Từ 1 và  2  suy ra

2 .

1
16 17
. 17.h a  8  h a 
.
2
17

Vậy độ dài đường cao kẻ từ A là h a 

16 17
.
17

 Chọn C.

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi a  BC, b  CA, c  AB. Khẳng định nào sau đây là
đúng:





B. GA 2  GB2  GC2 

A. GA 2  GB2  GC2  2 a2  b2  c2 .
C. GA 2  GB2  GC2 

1 2
a  b 2  c2 .
2





1 2
a  b 2  c2 .
3









D. GA 2  GB2  GC2  3 a2  b2  c2 .
Hướng dẫn

Theo tính chất của trọng tâm ta có: GA 

 GA 2 

2
AM
3

4
AM 2 .
9

Áp dụng công thức tính trung tuyến của một tam giác, ta có:

1
BC2  1  2
a2 
2
AM 2   AB2  AC2 

c

b



.
2
2  2
2
GA 2 

4
4 1
a2  2 
a2 
AM 2  .  c2  b2     c2  b2  
9
9 2
2  9
2

2
b2 
Tương tự: GB2   a2  c2   .
9
2 
2 2
c2 
2
GC   a  b   .
9
2
2

Do đó: GA 2  GB2  GC2 

1 2
a  b 2  c2 .
3





 Chọn B.

Ví dụ 6: Khi khai quật một ngôi mộ cổ, người ta tìm được một mảnh của 1 chiếc đĩa phẳng hình tròn bị
Trang 3


vỡ. Dựa vào các tài liệu đã có, người ta đo được kích thước của tam giác ABC trên đĩa là AB = 4,3cm,
BC = 3,7cm, AC = 7,5cm. Các nhà khảo cổ muốn tạo lại 1 chiếc đĩa có kích thước như vậy. Hãy giúp nhà
khảo cổ tìm bán kính chiếc đĩa?
A. R = 6,735(cm).

B. R = 6,535 (cm).

C. R = 5,735 (cm).

D. R = 5,835 (cm).
Hướng dẫn

Cách 1: Ta có: AB = 4,3cm, BC = 3,7cm, AC = 7,5cm.
Áp dụng định lí hàm số cosin ta có:
AB 2  AC 2  AB 2 4,32  7,5 2  3,7 2 407
cos BAC 


2. AB. AC
2.4,3.7,5
430







Như vậy, sin BAC  1  (cos BAC ) 2  0,323

BC

2R 





sin BAC

3,7
 11,47
0,323

 R  5,735  cm  .

Cách 2: Sử dụng công thức diện tích

a.b.c
a bc
 p.  p  a  p  b  p  c  . Trong đó: p 
Từ đó ta

4R
2

tìm được đáp án là 5,735(cm).
 Chọn C.

2. Bài tập tự luyện


Câu 1. (ID:14020) Cho ABC có AB  3; C  450 . Bán kính đường tròn ngoại tiếp là:
A. 1.

B.

3
2

.

C.


3
.
2



Câu 2. (ID:14022) Cho ABC có A  450 ; B  30 0 . Tỉ số
A.

2
.
2

B.

3
.
2

C.

1
2

D.

2
.
2

AC
là:
BC

D.

5
.

2

Đáp án:
1–B

2-A

Dạng 2: Giải tam giác.
1. Phương pháp giải
Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên một số điều kiện cho trước. Trong các bài
toán giải tam giác người ta thường cho tam giác với ba yếu tố như sau: biết một cạnh và hai góc kề cạnh
đó; biết một góc và hai cạnh kề góc đó; biết ba cạnh.
Để tìm các yếu tố còn lại ta sử dụng định lí côsin và định lí sin; định lí tổng ba góc trong một tam giác
bằng 1800 và trong một tam giác đối diện với góc lớn hơn thì có cạnh lớn hơn và ngược lại đối diện với
cạnh lớn hơn thì có góc lớn hơn.
Trang 4


2. Ví dụ minh họa


Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có cạnh a  2 3 , b  2, C  30 0 Tính cạnh c, góc A.
A. 4 và 1200 .

B. 2 và 1100 .

C. 2 và 1200 .

D. 4 và 1100 .

Hướng dẫn
Theo định lí côsin ta có: c2  a2  b2  2ab cos C  12  4  2.2 3.2.cos300  4.
Vậy c = 2 và tam giác ABC cân tại A có b = c = 2.






Ta có C  30 0 nên B  30 0 và A  180 0  2.30 0  120 0
 Chọn C.


Ví dụ 2: Giải tam giác ABC biết b = 32; c = 45 và A  87 0








A. A  53,8, C  36 0 , B  57 0









B. A  53,8, B  40 0 , C  530

C. A  52,8, B  36 0 , C  57 0

D. A  53,8, B  36 0 , C  57 0
Hướng dẫn

Theo định lí côsin ta có:
a2  b2  c2  2bc.cos A  322  452  2.32.45.cos870.

Suy ra a  53,8.
Theo định lí sin ta có:
sin B 


b sin A 32. sin 87 0

 B  36 0
a
53,8






Suy ra C  180 0  A B  180 0  87 0  36 0  57 0
 Chọn D.



Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có các cạnh AC  10 cm, BC  16cm và góc C  110 0 Tính cạnh AB của
tam giác đó.
A. 20 cm.

B. 21,6cm.

C. 12,6cm.

D. 12,8 cm.

Hướng dẫn
Đặt BC  a, CA  b, AB  c.
Theo định lí côsin ta có:
c2  a2  b2  2ab cos C
 162  102  2.16.10.cos1100

c2  465,44.
Vậy c  465,44  21,6 cm.
 Chọn B.

Trang 5