Các dạng toán hình học 12

Hình học 12
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
TĨM TẮT LÝ THUYẾT
( ) ( ) ( )
( )
( )








=∧
=++⇔=⇔⊥
==⇔=∧⇔=⇔
++=





=
=
=
⇔=
++=
=
±±±=±
−+−+−==

−−−=
21
21
13
13
32
32
332211
3
3
2
2
1
1
332211
33
22
11
2
3
2
2
2
1
321
332211
222
,,a .10
0...0.a .9
0.//a .8

....a .7
a .6
a .5
,,ak. .4
,, .3
.2
),,( .1
bb
aa
bb
aa
bb
aa
b
babababab
b
a
b
a
b
a
babkab
bababab
ba
ba
ba
b
aaa
kakaka
babababa

zzyyxxABAB
zzyyxxAB
ABABAB
ABABAB
cb,,a .11
đồng phẳng
( )
0.
=∧⇔
cba
cb,,a .12
khơng đồng phẳng
( )
0.
≠∧⇔
cba
13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1







−
−
−
−
−
−

k
kzz
k
kyy
k
kxx
M
BABABA
1
,
1
,
1
14. M là trung điểm AB







+++
2
,
2
,
2
BABABA
zzyyxx
M

15. G là trọng tâm tam giác ABC







++++++
,
3
,
3
,
3
CBACBACBA
zzzyyyxxx
G
16. Véctơ đơn vị :
)1,0,0();0,1,0();0,0,1(
321
===
eee
17.
OzzKOyyNOxxM
∈∈∈
),0,0(;)0,,0(;)0,0,(
18.
OxzzxKOyzzyNOxyyxM
∈∈∈

),0,(;),,0(;)0,,(
19.
2
3
2
2
2
1
2
1
2
1
aaaACABS
ABC
++=∧=
∆
20.
ADACABV
ABCD
).(
6
1
∧=
21.
/
.
).(
////
AAADABV
DCBAABCD

∧=

CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác
• A,B,C là ba đỉnh tam giác ⇔

[
→→
AC,AB
] ≠
0


• S
∆
ABC
=
2
1
→→
AC],[AB
• Đường cao AH =
BC
S
ABC
∆
.2
• S
hbh
=

→→
AC],[AB
Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
• Chứng minh A,B,C không thẳng hàng
• ABCD là hbh
⇔

DCAB
=
Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:
• [
→→
AC,AB
].
→
AD
≠ 0
• V
td
=
6
1
→→→
AD.AC],[AB
Đường cao AH của tứ diện ABCD
AHSV
BCD
.
3
1

=

⇒

BCD
S
V
AH
3
=
• Thể tích hình hộp :
[ ]
/
.
.;
////
AAADABV
DCBAABCD
=
Dạng4: Hình chiếu của điểm M
1. H là hình chiếu của M trên mp α
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và
vuông góc mpα : ta có
α
na
d
=
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)
 Viết phương trình mpα qua M và vuông góc

với (d): ta có
d
an
=
α
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
Dạng 5 : Điểm đối xứng
1.Điểm M
/
đối xứng với M qua mp α
 Tìm hình chiếu H của M trên mpα (dạng 4.1)
 H là trung điểm của MM
/
2.Điểm M
/
đối xứng với M qua đường thẳng d:
 Tìm hình chiếu H của M trên (d) ( dạng 4.2)
 H là trung điểm của MM
/

TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectơ pháp tuyến của mp
α
:
n

≠
0

là véctơ pháp tuyến của α

⇔

n

⊥ α
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
GV:NBQ DLĐK
1
TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
MẶT PHẲNG
Hình học 12
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Cặp véctơ chỉ phương của mp
α
:

a


b

là cặp vtcp của α
⇔
a

,
b

cùng // α
3 Quan hệ giữa vtpt

n

và cặp vtcp
a

,
b

:
n

= [
a

,
b

]
4. Pt mp
α
qua M(x
o
; y
o
; z
o
) có vtpt
n

= (A;B;C)

A(x – x
o
) + B(y – y
o
) + C(z – z
o
) = 0
(α) : Ax + By + Cz + D = 0 ta có
n

= (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ;
C(0,0,c) :
1
c
z
b
y
a
x
=++
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần:
1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ
(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
7. Chùm mặt phẳng : giả sử α
1
∩ α
2
= d trong đó

(α
1
): A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
(α
2
): A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
Pt mp chứa (d) có dạng sau với m
2
+ n
2
≠ 0 :
m(A
1
x + B

1
y + C
1
z + D
1
) + n(A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
) = 0
8. Vò trí tương đối của hai mp (α
1
) và (α
2
) :
°
222111
C:B:AC:B:Acắt
≠⇔βα
°
2
1
2
1
2
1

2
1
//
D
D
C
C
B
B
A
A
≠==⇔
βα
°
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A

===⇔≡
βα
ª
0
212121
=++⇔⊥
CCBBAA
βα
9.KC từ M(x
0
,y
0
,z
0
) đến (
α
) : Ax + By + Cz + D = 0

222
ooo
CBA
D Cz By Ax
++
+++
=
)d(M,
α
10.Góc gi ữa hai mặt phẳng :
21
21

.
.
nn
nn


=
),cos(
βα
CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
° Cặp vtcp:
→
AB
,
→
AC
°
]
)(
→→
=
AC , AB[nvtpt
qua

ChayBhayA
α
Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
°
→

=
AB vtpt
AB điểm trungMqua
n

α
Dạng 3: Mặt phẳng
α
qua M và
⊥
d (hoặc AB)
°
)....( AB
n
→
⊥
=
d
a vtpt nên (d) Vì
Mqua

α
α
Dạng 4: Mp
α
qua M và //
β
: Ax + By + Cz + D = 0
°
βα

βα
α
n n vtpt nên // Vì
M qua

=
Dạng 5: Mp
α
chứa (d) và song song (d
/
)
 Điểm M ( chọn điểm M trên (d))
 Mpα chứa (d) nên
α
aa
d
=
Mpα song song (d
/
) nên
α
ba
d
=
/
■ Vtpt
[ ]
/
,
d

d
aan
=
Dạng 6 Mp
α
qua M,N và
⊥

β
:
■ Mpα qua M,N nên
α
aMN
=
■ Mpα ⊥ mpβ nên
αβ
bn
=
°
],[
β
α
n nvtpt
N) (hayM qua

→
=
MN
Dạng 7 Mp
α

chứa (d) và đi qua
■ Mp
α
chứa d nên
α
aa
d
=
■ Mp
α
đi qua
)(dM
∈
và A nên
α
bAM
=
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
GV:NBQ DLĐK
2
//
Hình học 12
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
°
],[ AM nvtpt
A qua
→
=
d
a


α
(Cách 2: sử dụng chùm mp)
TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua
M(x
o
;y
o
;z
o
) có vtcp
a

= (a
1
;a
2
;a
3
)
Rt;
tazz
tayy
taxx
(d)
3o
2o
1o
∈






+=
+=
+=
:
2.Phương trình chính tắc của (d)

32
a
z-z
a
yy
a
xx
(d)
o
1
o 0
:
=
−
=
−
3.PT tổng quát của (d) là giao tuyến của 2 mp α
1
và α

2





=+++
=+++
0 DzBxA
0 DzBxA
(d)
2222
1111
Cy
Cy
:

Véctơ chỉ phương








=
22
11
22

11
22
11
,,
BA
BA
AC
AC
CB
CB
a
4.Vò trí tương đối của 2 đường thẳng :
(d) qua M có vtcp
d
a

; (d’) qua N có vtcp
/
d
a

 d chéo d’
⇔
[
d
a

,
/
d

a
].
→
MN
≠
0
(không đồng phẳng)
 d,d’ đồng phẳng
⇔
[
d
a

,
/
d
a
].
→
MN
= 0
 d,d’ cắt nhau
⇔
[
d
a

,
/
d

a
]
0
≠
và [
d
a

,
/
d
a
].
→
MN
=0
 d,d’ song song nhau
⇔
{
d
a

//
/
d
a
và
)(
/
dM

∉
}
 d,d’ trùng nhau
⇔
{
d
a

//
/
d
a
và
)(
/
dM
∈
}
5.Khoảng cách :
Cho (d) qua M có vtcp
d
a

; (d’) qua N có vtcp
/
d
a
Kc t ừ đ iểm đến đ ường thẳng :
d
d

a
AMa
dAd
];[
),(
=
Kc giữa 2 đ ường thẳng :
];[
].;[
);(
/
/
/
d
d
d
d
aa
MNaa
ddd
=
6.Góc : (d) có vtcp
d
a

; ∆ ’ có vtcp
/
d
a
; ( α ) có vtpt

n


Góc gi ữa 2 đường thẳng :
/
/
.
.
'
d
d
d
d
aa
aa


=
)dcos(d,
Góc gi ữa đ ường và m ặt :
na
na
d
d


.
.
=
)sin(d,

α
CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B




=
ABaVtcp
hayBquaA
d
d
)(
)(
Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (
∆
)
∆
=∆
a
d
a vtcp nên )( // (d) Vì
qua

A
d )(
Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp
α

α

α
n
d
a vtcp nên )( (d) Vì
qua

=⊥
A
d)(
Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên
α
: d
/
=
α

∩

β

 Viết pt mpβ chứa (d) và vuông góc mpα

( )
( ) ( )








=⇒
=⇒⊥
=⇒⊃
∈
];[
)()(
)(
αβ
βα
β
αβ
β
β
nan
bn
aad
dquaM
d
d
ª



)(
)(
)(
/
β
α

d
Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d
1
),(d
2
)
]
d
a ,
d
a [ avtcp
qua
1 2
)(

=
A
d
Dạng 6: PT d vuông góc chung của d
1
và d
2

:
+ Tìm
d
a
= [
a


d1
,
a

d2
]
+ Mpα chứa d
1
, (d)
; mp
β
chứa d
2
, (d)

⇒
d = α ∩ β
Dạng 7: PT qua A và d cắt d
1
,d
2
: d =
α

∩

β

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
GV:NBQ DLĐK

3
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
Qui ước:
Mẫu = 0 thì Tư û= 0
Hình học 12
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
với mpα = (A,d
1
) ; mpβ = (A,d
2
)
Dạng 8: PT d //
∆
và cắt d
1
,d
2
: d =
α

1

∩

α

2
với mpα
1
chứa d

1
// ∆ ; mpα
2
chứa d
2
// ∆
Dạng 9: PT d qua A và
⊥
d
1
, cắt d
2
: d = AB
với mpα qua A, ⊥ d
1
; B = d
2
∩ α
Dạng 10: PT d
⊥
(P) cắt d
1
, d
2
: d =
α

∩

β

với mpα chứa d
1
,⊥(P) ; mpβ chứa d
2
, ⊥ (P)
TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Ph ương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R

( ) ( ) ( )
2
Rczbyax:R)S(I,
222
=−+−+−
(1)

0d2cz2by2axzyx:R)S(I,
222
=+−−−++
(2)
(
0dcbavới
222
>−++
)
• Tâm I(a ; b ; c) và
dcbaR
−++=
222
2.Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Cho
( ) ( ) ( )
2
Rczbyax:(S)
222
=−+−+−
và α : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,α) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến
mpα :
 d > R : (S) ∩ α = φ
 d = R : α tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, α:
tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là hchiếu của tâm I trên mp
α
)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I
và vuông góc mpα : ta có
α
na
d
=
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
 d < R : α cắt (S) theo đường tròn có pt
( ) ( ) ( )



=+++α
=−+−+−

2
0DCzByAx :
Rczbyax:(S)
222
*Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn:
+ bán kính
),(
22
α
IdRr
−=
+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mpα)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và
vuông góc mpα : ta có
α
na
d
=
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu






+=
+=
+=
tazz

tayy
taxx
d
3o
2o
1o
:
(1) và

( ) ( ) ( )
2
Rczbyax:(S)
222
=−+−+−
(2)
+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm
CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
ª
( ) ( ) ( )
2
Rczbyax:R)S(I,
222
=−+−+−
(1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2
Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
 Tâm I là trung điểm AB

 Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp α
222
..
)(
CBA
D
I
zC
I
yB
S
++
+++
==
I
A.x
)d(I, R
I tâmcầu mặt Pt
α
Dạng 4: Mặt cầu tâm I và tiếp xúc ( ∆ )

)d(I, R
I tâm
∆=
)(S
Dạng 5: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Dùng (2)

0d2cz2by2axzyx:R)S(I,
222
=+−−−++
A,B,C,D
∈ mc(S)
⇒
hệ pt, giải tìm a, b, c, d
Dạng 6:Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I
€ (α)

0d2cz2by2axzyx:R)S(I,
222
=+−−−++
(2)
A,B,C ∈ mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2)
I(a,b,c)∈ (α): thế a,b,c vào pt (α)
Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d
Dạng 7: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
GV:NBQ DLĐK
4
MẶT CẦU
Hình học 12
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tiếp diện
α
của mc(S) tại A :
α
qua A,
→

=
IA n vtpt

Dạng 8: Mặt phẳng α tiếp xúc (S) và ⊥ ∆
+ Viết pt mpα vuông góc ∆ :
),,( CBAan
==
∆
+ Mpα : Ax + By + Cz + D = 0
+ Tìm D từ pt d(I , α ) = R
Dạng 9: Mặt phẳng α tiếp xúc (S) và // 2 đt a,b :
R )d(I, từ
0CzByAx :pt
] b, a[ n
D
D
⇒=
=+++
=
α
α


Dạng 10: Mp
α
chứa ∆ và tiếp xúc mc(S ) :
nm, )d(I, R
chứa mp chùm thuộc
⇒=
∆

α
α


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
GV:NBQ DLĐK
5