Vận dụng tính kế thừa trong dạy học giải bài tập toán nhằm tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh lớp 11 trường THPT (thể hiện qua dạy học hình học không gia

1

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Định hớng đổi mới phơng pháp dạy học trong giai đoạn
hiện nay nhằm phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo và
độc lập suy nghĩ của học sinh, đòi hỏi học sinh chủ động
trong quá trình tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiƯm vơ
nhËn thøc díi sù tỉ chøc, híng dÉn cđa giáo viên. Vì vậy, việc
giáo dục Toán học ở trờng THPT đặt ra yêu cầu đối với ngời
học phải có nền tảng tri thức cơ bản vững vàng, nâng cao
khả năng ứng dụng, vận dụng vào học tập và đời sèng.
Chóng ta biÕt r»ng, kh«ng mét tri thøc, kiÕn thøc mới hay một
công trình khoa học mới nào bắt đầu từ chỗ hoàn toàn trống
rỗng về kiến thức. Mỗi tri thức mới hay một công trình khoa
học phải thừa kế các kết quả nghiên cứu trong các lĩnh vực
khoa học rất xa khác nhau. Hầu nh hàng loạt phơng hớng
nghiên cứu mới và các bộ môn khoa học mới xuất hiện chính là
kết quả kế thừa lẫn nhau giữa các bộ môn khoa học.
Liên quan đến tính kế thừa trong dạy học Toán, đà có
một số luận án, luận văn, các công trình nghiên cứu khoa học
của các tác giả đề cập đến vấn đề này. Chẳng hạn, luận án
Tiến sü Gi¸o dơc häc cđa Ngun Ngäc Anh (1999): "Khai
th¸c ứng dụng của phép tính vi phân để giải các bài toán
cực trị có nội dung liên môn và thực tế, nhằm chủ động góp
phần rèn luyện ý thức và khả năng ứng dụng Toán học cho học
sinh lớp 12 THPT" [1], các công trình nghiên cứu của GS.TS.
Đào Tam (1998): "Bồi dỡng học sinh khá giỏi ở THPT: Năng lực
huy động kiến thức khi giải các bài toán" [20], "Rèn luyện kỹ
năng chuyển đổi ngôn ngữ thông qua việc khai th¸c c¸c ph-

2
ơng pháp khác nhau giải các dạng toán Hình học ở Trờng
THPT" [21].
Dù khai thác theo định hớng nào, các tác giả đều có quan
điểm chung trên tinh thần đổi mới phơng pháp giảng dạy
theo Lý thuyết kiến tạo, tức là: học sinh phải huy động kiến
thức, tập trung suy nghĩ, độc lập sáng tạo để giải quyết vấn
đề dới sự hớng dẫn, gợi động cơ của giáo viên.
Từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của
luận văn là: "Vận dụng tính kế thừa trong dạy học giải
bài tập Toán nhằm tổ chức hoạt động nhận thøc cho
häc sinh líp 11 trêng THPT (ThĨ hiƯn qua dạy học Hình
học không gian)".
2. Mục đích nghiên cứu
2.1. Xác định vai trò, ý nghĩa của việc "vận dụng tính
kế thừa đối với hoạt động nhận thức cho học sinh thông qua
việc giải bài tập Toán".
2.2. Đề ra một số biện pháp thực hiện điều đó.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:
3.1. Nghiên cứu một sè vÊn ®Ị lý ln vỊ tÝnh kÕ thõa,
vËn dơng tính kế thừa trong hoạt động nhận thức.
3.2. Xác định rõ những cơ sở lý luận và thực tiễn để
vận dụng tính kế thừa trong dạy học Toán.
3.3. Xác lập những định hớng cơ bản làm cơ sở cho việc
xây dựng thực hiện các biện pháp s phạm.
3.4. Xây dựng mét sè biƯn ph¸p thùc hiƯn vËn dơng tÝnh
kÕ thõa trong dạy học giải bài tập Toán nhằm tổ chức hoạt
động nhận thức cho học sinh.

3
4. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở bám sát vào chơng trình và sách giáo khoa
Hình học 11 hiện hành nếu ngời thầy giáo biết quan tâm,
khai thác và vận dụng tính kế thừa trong dạy học giải bài tập
Toán thì sẽ tổ chức tốt hoạt động nhận thức cho học sinh và
từ đó góp phần

nâng cao hiệu quả dạy học Toán ở trờng

THPT.
5. Phơng pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận:
- Nghiên cứu các tài liệu về phơng pháp dạy học Toán, các
cơ sở về Tâm lý học, Giáo dục học, Triết học, sách giáo khoa,
sách giáo viên, sách tham khảo về chơng trình Hình học
không gian ở trờng phổ thông.
- Nghiên cứu các bài báo về khoa học Toán học phục vụ
cho đề tài.
- Nghiên cứu các công trình, các vấn đề có liên quan trực
tiếp đến đề tài (luận án, luận văn, khoá luận tốt nghiệp, các
chuyên đề, công trình nghiên cứu khoa học...).
5.2. Thực nghiệm s phạm:
- Tổ chức thực nghiệm kiểm chứng thông qua các lớp học
thực nghiệm và các lớp học đối chứng trên cùng một lớp đối tợng.
- Đánh giá kết quả định tính, định lợng bằng phơng
pháp thống kê trong khoa học giáo dục.
6. Đóng góp luận văn

6.1. Về mặt lý luận:


4
- Làm rõ các cơ sở khoa học, xác định rõ vai trò và vị trí
của việc vận dụng tính kế thừa trong dạy học giải bài tập
Toán nhằm tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh.
6.2. Về mặt thực tiễn:
- Xây dựng đợc một số biện pháp dạy học để sử dụng
tính kế thừa nhằm tăng cờng hiệu quả hoạt động nhận thức
của học sinh.
- Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho các
giáo viên ở các trờng THPT.
7. Cấu trúc luận văn
Luận văn ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham
khảo, có 3 chơng:
Chơng 1: Một số vấn đề về cơ së lý ln
1.1. TÝnh kÕ thõa
1.1.1. C¸c kh¸i niƯm vỊ tính kế thừa
1.1.2. ích lợi của việc nghiên cứu tính kế thừa
1.1.3. Tính kế thừa trong hoạt động dạy Toán
1.2. Hoạt động nhận thức
1.2.1. Khái niệm
1.2.2. Một số thao tác t duy của hoạt động nhận thức
1.2.3. Vai trò của tính kế thừa với tổ chức hoạt động nhận
thức cho học sinh
1.3. Các cơ sở khoa học trong việc vận dụng tính kế thừa
trong dạy học Toán ở Trờng THPT nhằm tổ chức hoạt động
nhận thức cho học sinh
1.3.1. Cơ sở thực tiễn

1.3.2. Cơ sở Triết học
1.3.3. Dựa vào xu hớng đổi mới phơng pháp giảng dạy
1.3.4. Cơ sở Tâm lý - Gi¸o dơc häc


5
1.4. Kết luận
Chơng 2: Các biện pháp vận dụng tính kề thừa trong
dạy học giải bài tập Toán ở trờng THPT nhằm tổ chức
hoạt động nhận thức cho học sinh
2.1. Các định hớng trên cơ sở đó đề ra các biện pháp s
phạm nhằm tổ chức HĐNT cho học sinh trong dạy học giải bài
tập Toán ở trờng THPT
2.2. Một số biện pháp s phạm nhằm tổ chức HĐNT Toán
học học sinh trên cơ sở vận dụng tính kế thừa
2.3. Kết luận
Chơng 3: Thực nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Nội dung thực nghiệm
3.3. Tổ chức thực nghiệm
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm


6
Chơng 1:

Một số vấn đề về cơ sở lý luận
1.1. Tính kế thừa
1.1.1. Khái niệm về tính kế thừa
Nghiên cứu khoa học là một quá trình xâm nhập vào thế

giới của những sự vật, hiện tợng mà con ngời cha biết. Vì
vậy, quá trình nghiên cứu khoa học là một quá trình sáng tạo
luôn luôn hớng tới những phát hiện mới hoặc sáng tạo mới. Nhng không có một công trình nghiên cứu khoa học nào lại bắt
đầu từ chỗ trống không hoàn toàn về mặt kiến thức. Mỗi
công trình nghiên cứu phải kế thừa các kết quả nghiên cứu
trong các lĩnh vực khoa học rất khác nhau. Chẳng hạn, khi
nghiên cứu Kinh tế học, Marx đà kế thừa những kiến thức về
mô hình Hình học để thiết lập mô hình Toán học của quá
trình tái sản xuất xà hội [8, tr.15].
Vậy tính kế thừa là gì?
Theo Từ điển Tiếng Việt, kế thừa có nghĩa là: Thừa hởng, giữ gìn và tiếp tục phát huy [17, tr.187].
Theo một số tác giả khác: Tính kế thừa hiểu là: "Mối
quan hệ giữa các hiện tợng trong quá trình phát triển khi cái
mới thay cho cái cũ, bảo toàn nó một số yếu tố nào của nó"
[26].
Ví dụ 1:

Khái niệm hình bình hành đợc phát triển

thành khái niệm hình hộp: Khái niệm cạnh đối đợc phát
triển thành mặt đối và bảo toàn tính song song. Các cạnh
đối là "đoạn" đợc phát triển thành "hình bình hành" và bảo
toàn tính bằng nhau...


7
Khái niệm hình chữ nhật: đợc định nghĩa thông qua
khái niệm hình bình hành bảo toàn hai yếu tố là hai cặp
cạnh song song và hai cặp cạnh đối bằng nhau.
Tính kế thừa còn hiểu theo nhiều nghĩa khác nhau:

- Tính kế thừa xem nh là mối liên hệ giữa các phân môn
riêng biệt trong quá trình dạy học Toán, Vật lý và Toán, Toán
và Họa hình, Hình học và Đại số, Toán THCS và Toán THPT...
[26].
- Đó có thể là sử dụng các kiến thức có trớc khi nghiên cứu
các kiến thức sau trong cùng một môn học [26].
Ví dụ 2: Chơng Véctơ và Chơng Quan hệ vuông góc
[4].
Từ khái niệm tích vô hớng ta có: Đờng thẳng a vuông góc
với đờng thẳng b khi và chỉ khi tích vô hớng của hai véctơ
chỉ phơng của hai đờng thẳng bằng 0. Hoặc là mặt
phẳng () vuông góc với mặt phẳng () khi và chỉ khi tích
vô hớng của hai véctơ pháp tuyến m và n tơng ứng của hai
mặt phẳng đó bằng 0.
- Tính kế thừa cũng có thể xem là yêu cầu nhất quán đối
với việc chuyển kiến thức từ cấp học này đến cấp học khác,
lớp này ®Õn líp kh¸c [26].
VÝ dơ 3: ë líp 9 c¸c em đà đợc học về khảo sát hàm số
bậc hai có dạng:
y = ax2. Lên lớp 10, các em đợc khảo sát lại hàm số bậc hai: y =
ax2 và trên cơ sở các bớc khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm
số bậc hai: y = ax2, ngời ta xây dựng các bớc khảo sát sự biến
thiên và vẽ đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c.
Theo Giáo s, Tiến sỹ khoa học Nguyễn Cảnh Toàn đà đề
cập đến tính kế thừa thông qua sự ph©n tÝch quy lt "Phđ


8
định của phủ định" của Triết học duy vật biện chứng. Ông
cho rằng: "Không bao giờ có cái "mới toanh" theo nghĩa không

dính dáng gì tới cái "cũ". Cái "mới" bao giờ cũng từ cái "cũ" mà
ra, các nhà phát minh thế hệ sau bao giờ cũng đứng lên vai
những nhà phát minh thế hệ trớc, kế thừa các thành quả của
họ" [24, tr.54] và "...hữu hạn lắm mới có kết quả mới trớc đó
cha ai biết nhng tầm quan trọng thì nhỏ bé và tính khái
quát của nó thấp..." [23, tr.55].
1.1.2. ích lợi của việc nghiên cứu tính kế thừa
- Tính kế thừa đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu
khoa học nói chung và nghiên cứu phơng pháp dạy học nói
riêng. Nói nh vậy bởi vì một ngời nghiên cứu chân chính
không bao giờ đóng cửa cố thủ trong những "kho tàng" lý
luận "riêng có", "của mình" mà bài xích sự thâm nhập cả
về lý luận và phơng pháp luận từ các lĩnh vực khoa học khác.
Hàng loạt phơng pháp nghiên cứu mới và các bộ môn khoa học
mới xuất hiện chính là kết quả kế thừa lẫn nhau giữa các
môn khoa học.
- Việc nghiên cứu tính kế thừa cũng góp phần quan trọng
trong việc pháp triển năng lực trí tuệ chung nh: t duy trừu tợng và trí tởng tợng không gian, t duy logic và t duy biện
chứng; rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản nh phân tích,
tổng hợp, tơng tự, khái quát hoá; các phẩm chất t duy nh linh
hoạt, độc lập, sáng tạo. Những điều nói trên đợc thể hiện
qua việc giáo viên làm cho học sinh quen và có ý thức sử
dụng những thao tác nh: xét tơng tự, khái quát hoá, quy lạ về
quen... Mọi kiến thức thu nhận đợc đều phải có căn cứ, dựa
trên những quy tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải
tự nhiên mà có.


9
- Ngoµi ra chóng ta cã thĨ vËn dơng tÝnh kế thừa trong

các hoạt động hớng đích gợi động cơ, tạo tiền đề xuất phát
trong quá trình dạy học. Hoạt động hớng đích, gợi động cơ
sẽ có hiệu quả nếu giáo viên làm cho học sinh thấy đợc mối
liên hệ giữa mục đích đặt ra với tri thức mà học sinh đà có.
Còn những tiền đề xuất phát đề cập ở đây là những kiến
thức, kỹ năng đặc thù liên quan trực tiếp đến nội dung sắp
học đến. Có thể thực hiện tốt chức năng này theo quy trình
sau:
Thứ nhất, giáo viên nắm vững tri thức cần truyền thụ
(kiến thức, kỹ năng, phơng pháp).
Thứ hai, giáo viên cần thiết phải biết những kiến thức, kỹ
năng cần thiết có đợc học sinh ở mức độ nào.
Cuối cùng, tái hiện những kiến thức kỹ năng và phơng
pháp cần thiết đó bằng hai cách: Tái hiện tờng minh (tức là
cho học sinh ôn tập trớc khi dạy nội dung mới) và tái hiện ẩn
tàng (cho ôn tập ở những chỗ thích hợp) [25].
1.1.3. Tính kế thừa trong trong hoạt động dạy toán
Toán học là môn học có tính trừu tợng cao. Nó đợc thể
hiện ngay trong định nghĩa của ănghen về Toán học: Toán
học là khoa học nghiên cứu về các quan hệ số lợng, hình dạng
và logic trong thế giới khách quan [13, tr.43].
Môn Toán đợc đặc trng bởi tính hệ thống logic chặt chẽ
của nó, tuy có nhiều vấn đề còn thừa nhận, có những chứng
minh cha thật chặt chẽ do đặc điểm tâm lý nhận thức của
học sinh. Nhng nhìn chung các kiến thức trong môn Toán từ
lớp 1 tới lớp cuối trờng phổ thông đều có tính hệ thống, logic
của nó; kiến thức học trớc là cơ sở cho kiến thức học sau; khái
niệm học sau là đợc minh họa, định nghĩa thông qua các

10
khái niệm học trớc; từ các mệnh đề này suy ra các mệnh đề
khác một cách tuần tự. Tất cả các kiến thức Toán học ở trờng
phổ thông đợc sắp xếp nh những mắt xích liên kết với nhau
một cách chặt chẽ tạo thành những những mạch xuyên suốt
chơng trình.
Tri thức mới với ý nghĩa đúng đắn của nó, chỉ thực sự
đợc hoà nhập với vốn hiểu biết của học sinh khi nó đợc xây
dựng trên cơ sở tri thức vốn có của học sinh. Cũng chính vì
vậy mà khi bàn về cách tìm tòi lời giải các bài toán, G. Polya
thờng nhấn mạnh câu hỏi Bạn có biết bài toán nào giống nó
không? [13, tr.55]. Cũng theo G. Polya: Thực tế khó mà đề
ra một bài toán hoàn toàn mới, không giống một chút nào với
các bài toán khác, hay là không có một điểm nào chung với
một bài toán trớc đây đà giải" [13, tr.55]. Nếu nh có một bài
toán nh vậy nó tất yếu đà giải đợc. Thực vậy, khi giải một bài
toán, ta luôn luôn phải lợi dụng những bài toán đà giải, dùng
kết quả, phơng pháp hay là kinh nghiệm có đợc khi giải các
bài toán đó. Hiển nhiên, những bài toán ta dùng tới phải có liên
hệ nào đó với bài toán hiện có. Việc trả lời câu hỏi của G.
Polya thực chất liên hệ tới tính kế thừa trong giải bài tập Toán.
Mục đích của câu hỏi trên đây để học sinh hoạt động huy
động kiến thức có từ trớc và quy lạ về quen.
Nhà Toán học A. Ia. Khinshin lại cho rằng có thể dùng tính
kế thừa để ôn tập trong quá trình dạy học. Bởi vì theo ông
ôn tập ở đây nh»m cđng cè ®Ĩ dÉn tíi kiÕn thøc míi, cã thể
ôn tập theo từng chủ đề, phân mục để củng cố lại các kiến
thức cơ bản là nền tảng cho viƯc x©y dùng kiÕn thøc míi

11
hoặc vận dụng tính kế thừa để xây dựng tính đồng tâm,
xoáy trôn ốc trong dạy học.
Tất nhiên sự kế thừa trong Toán học đó là theo khuynh hớng chọn lọc, phát triển để đi lên. Một lý thuyết mới ra đời
khi lý thuyết cũ bất lực trong việc giải quyết các vấn đề lý
luận hay thực tiễn mới đặt ra. Lý thuyết mới này vừa kế thừa
những mặt tích cực của lý thuyết cũ, vừa phủ định những
mặt tiêu cực của lý thuyết cũ, theo nghĩa là nó giải quyết
đợc những yêu cầu mới mà lý thuyết cũ tỏ ra bất lực. Nếu có
tính kế thừa mà không có tính phủ định những mặt tiêu
cực, mặt bất lực thì khoa học Toán học không thể tiến lên
đợc vì những mặt tiêu cực hạn chế vẫn ở nguyên tại đó,
không giải quyết đợc [24, tr.199]. Chẳng hạn: Về sự hình
thành và phát triển của các tập hợp số.
Sự phát triển các tập hợp số không phải do lý trí chủ quan
của các nhà Toán học mà do nhu cầu thực tế trong đời sống
hay nhu cầu của việc phát triển kiến thức trong nội bộ Toán
học.
Tập hợp số đợc đa ra đầu tiên là tập số tự nhiên: N = { 0;
1; 2; 3;....}
Tập hợp N các số tự nhiên tồn tại mâu thuẫn, các mâu
thuẫn đó thể hiện bắt nguồn từ thực tế cuộc sống, chẳng
hạn sử dụng số tự nhiên cha phản ánh đợc các hiện tợng thực
tế của thế giới khách quan nh: lÃi và lỗ, đi tiến và đi lùi, nhiệt
độ nóng và lạnh..v.v.. Trên tập hợp các số tự nhiên phép trừ
không luôn luôn thực hiện đợc: 5 - 3 = 2; 3 - 5 = ?


12
Sù më réng tËp sè tù nhiªn N sang tËp các số nguyên Z

hay nói cách khác tập hợp Z các số nguyên ra đời nhằm giải
quyết những mâu thuẫn của tập hợp N các số tự nhiên.
Tuy nhiên, trong tập hợp Z các số nguyên xuất hiện những
mâu thuẫn mới sau đây:
Trớc hết chỉ sử dụng số nguyên cha phản ánh đợc các
hiện tợng thực tế của thế giới khách quan nh: do lũ lụt phải
chia lại đất đai hay chia số cá đánh bắt đợc, chia số con mồi
săn bắt đợc, chia quà cho các em nhỏ... Từ các phép chia trên
dẫn tới thơng không là số nguyên. Đây cũng chính là mâu
thuẫn trong nội bộ Toán học của số nguyên: phép chia không
luôn luôn thực hiện đợc: 8: (- 4) = -2; (-7) : 3 = ?
§øng trớc yêu cầu đó, tập hợp các số hữu tỷ Q ra đời
nhằm giải quyết những mâu thuẫn của tập hợp các số
nguyên Z.
Nhng tập hợp Q các số hữu tỷ lại xuất hiện những khó
khăn mới: không đáp ứng đợc nhu cầu của phép đo đạc hay
tính toán tồn tại những đoạn thẳng có độ dài không là số
hữu tỷ. Chẳng hạn đo độ dài đờng chéo hình vuông có
cạnh bằng 1, hoặc phép khai căn của một số không âm
không luôn luôn thực hiện đợc:

4 2
= Q nhng
9 3

2∉ Q .

Sù më réng tõ tËp hỵp Q sang tập hợp R hay tập hợp R các
số thực ra đời nhằm giải quyết các mâu thuẫn của tập hợp Q
các số hữu tỷ.

Tuy nhiên tập hợp R các số thực xuất hiện các mâu thuẫn
mới: phép khai căn không luôn luôn thực hiện đợc, chẳng
hạn, căn của một sè ©m nh:

−2=?


13
Và tập hợp các số phức ra đời nhằm giải quyết những
mâu thuẫn của tập hợp R các số hữu tỷ, nh vậy ta đà tìm đợc căn bậc hai của các số âm.
Việc học tập của học sinh có kết quả trong một tiết học
thờng đòi hỏi những tiền đề nhất định về trình độ kiến
thức, kỹ năng sẵn cã cđa ngêi häc. VËn dơng tÝnh kÕ thõa
trong d¹y Toán chính là giáo viên hớng dẫn, gợi mở cho học
sinh khả năng huy động kiến thức để giải đáp nguồn gốc
một khái niệm, các cách hình thành định lý, hoặc giải các
bài tập Toán; tập cho học sinh biết "quy lạ về quen" trong quá
trình giải bài tập Toán... Dạy học Toán luôn phải gắn liền với
sự kế thừa và phát triển xây dựng kiến thức mới.
Ngày nay, tuy khoa học Toán học ngày càng phát triển
và mở rộng hơn rất nhiều nhng chúng vẫn đợc xây dựng dựa
trên các tập hợp số và các khái niệm Toán học cơ bản.
1.2. Hoạt động nhận thức
1.2.1. Khái niệm
Hoạt động nhận thức (HĐNT) là một trong những hoạt
động của con ngời, do đó nó cũng tuân theo cấu trúc tổng
quát của một hoạt động nói chung, HĐNT là quá trình phản
ánh hiện thực khách quan. Nhờ có nhận thức mà con ngêi míi
cã ý thøc vỊ thÕ giíi, nhê ®ã con ngời có thái độ với thế giới
xung quanh, đặt ra mục đích và đa nó vào đó mà hoạt

động. Nhận thức không phải là một hành động tức thời, giản
đơn, máy móc, thụ động mà là một quá trình biện chứng,
tích cực, sáng tạo. Quá trình nhận thức diễn ra theo con ®êng tõ trùc quan sinh ®éng ®Õn t duy trừu tợng, rồi từ t duy
trừu tợng đến thực tiễn. Đó cũng là nhận thức đi từ hiện tợng


14
đến bản chất, tù bản chất kém sâu sắc đến bản chất sâu
sắc hơn.
1.2.2. Một số thao tác t duy đặc trng của hoạt động
nhận thức
Phân tích: là tách một hệ thống thành những sự vật,
tách một sự vật thành những bộ phận riêng lẻ.
Tổng hợp: là liên kết những bộ phận thành một sự vật,
liên kết nhiều sự vật thành một hệ thống.
Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngợc
nhau nhng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất.
Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảng
phân tích và tổng hợp.
Chẳng hạn nh xét định lý về trọng tâm của tam
giác; trong SGK Hình học 10 trình bày theo phép tổng
hợp

nh

sau:

"G

là

trọng

tâm

tam

giác

ABC

thì

GA + GB + GC = 0. Với điểm 0 bÊt kú, ta cã GA = OA − OG ;
GB = OB − OG; GC = OC − OG.
VËy

OA − OG + OB + OG + OC − OG = 0

hay

3OG = OA + OB + OC".
Trong chøng minh trên có thể hớng dẫn học sinh sử dụng
phân tích đi lên nh sau: G là trọng tâm tam giác ABC

⇒

GA + GB + GC = 0
⇒ OA − OG + OB − OG + OC − OG = 0 3OG = OA + OB + OC.
Tơng tự: là một dạng của suy luận qui nạp, là suy luận

trong đó từ chỗ hai đối tợng giống nhau ở một số dấu hiệu,
rút ra kết luận các đối tợng này gièng nhau ë mét sè dÊu hiÖu


15
khác. A và B cũng có dấu hiệu a, b, c, d, A có dấu hiệu riêng i
thì B cũng có dấu hiệu i.
Trừu tợng hoá: là tách những đặc điểm bản chất khỏi
những đặc điểm không bản chất (đơng nhiên, sự phân
biệt bản chất với không bản chất ở đây mang ý nghĩa tơng
đối, nó phụ thuộc vào mục đích hoạt động).
Khái quát hoá: là chuyển thể từ một tập hợp đối tợng
sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu
bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp
xuất phát. Nh vậy, ta thấy rằng trừu tợng hóa là điều kiện
cần của khái quát hoá. Chẳng hạn, khi dạy định lý trọng tâm
tam giác [7, tr.15], có thể cho các em hiểu khái quát hóa nh
sau:
+ Với 2 điểm A, B ta cã I duy nhÊt sao cho: IA + IB = 0 .
+ Víi 3 ®iĨm A, B, C ta cã G duy nhÊt sao cho:
GA + GB + GC = 0.
+ Víi 4 ®iĨm A, B, C, D ta cã duy nhÊt ®iĨm G sao cho:
GA + GB + GC + GD = 0.
Điểm I hay điểm G duy nhất nói trên gọi là trọng tâm
của đoạn thẳng hay của tam giác, tứ giác.
Tuy nhiên đối với học sinh kh¸ - giái cã thĨ më réng nh sau:
Cho n điểm A1, A2...., An tồn tại duy nhất điểm G sao cho:
GA1 + GA 2 + ....+ GA n = 0. G đợc gọi là trọng tâm của hệ n
điểm.
1.2.3. Vai trò của tính kế thừa đối với việc tổ chức

hoạt động nhận thức cho học sinh


16
Nh chúng ta đà biết, Toán học là kết quả của sự trừu tợng
hóa diễn ra trên những bình diện khác nhau. Có những khái
niệm Toán học là kết quả của sự trừu tợng hóa những đối tợng
vật chất cụ thể, nhng cũng có những khái niệm nảy sinh do
sự trừu tợng hóa những cái trừu tợng đà đạt đợc trớc đó.
Dạy học giải bài tập Toán là điều kiện quan trọng để
thực hiện tốt các mục tiêu dạy học, là một trong những vấn
đề trọng tâm của phơng pháp dạy học Toán ở trờng phổ
thông. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức
chủ yếu của hoạt động Toán học. Các bài toán là phơng tiện
không thể thay thế trong quá trình giúp học sinh nắm vững
tri thức, phát triển t duy, hình thành các kỹ năng, kỹ xảo,
phát triển năng lực sáng tạo, giải quyết các bài toán thực tế.
Vì vậy, việc tổ chức giải các bài toán có hiệu quả sẽ góp
phần quan trọng đối với chất lợng dạy toán. Dạy học giải bài
tập Toán không chỉ dừng lại ở mức độ hớng dẫn học sinh
trình bày đúng đắn, đầy đủ và có căn cứ chính xác lời
giải, mà phải biết cách hớng dẫn học sinh thực hành giải bài
tập theo yêu cầu của phơng pháp tìm tòi lời giải, tập cho học
sinh khả năng độc lập giải quyết vấn đề.
Việc vận dụng tính kế thừa trong quá trình dạy học
Toán học nói chung và giải bài tập Toán nói riêng nhằm giúp
học sinh khắc sâu các định lý, các khái niệm Toán học, giúp
các em nắm vững hệ thống kiến thức một cách cơ bản vững
chắc. Trên cơ sở đó phát huy đợc khả năng t duy của các em,

17
rèn luyện năng lực huy động kiến thức để giải quyết những
tình huống có vấn đề.
Vận dụng tính kế thừa trong giải bài tập Toán còn góp
phần phát triển t duy cho häc sinh: c¸c em biÕt c¸ch ph¸t
triĨn c¸c bài tập trong sách giáo khoa phổ thông, biết tổng
quát hoá, đặc biệt hoá, quy lạ về quen một bài toán hoặc có
thể đề xuất một bài toán tơng tự. Thông qua dạy học bài giải
tập toán rèn luyện cho học sinh thói quen cũng nh khả năng
độc lập phát hiện và giải quyết các vấn đề có liên quan. Từ
đó giúp t duy logic, t duy sáng tạo của các em từng bớc phát
triển, năng lực các em đợc nâng cao.
Trong thực tiễn dạy học, tính kế thừa đối với hoạt động
nhận thức đợc thể hiện qua:
* Các hoạt động gợi động cơ hình thành định lý và
giải bài tập Toán. Từ các khái niệm, định lý cơ bản đà học
xây dựng các quy trình giải bài toán Hình học không gian
điển hình.
* Khả năng huy động kiến thức cơ bản là các khái niệm,
định lý trong sách giáo khoa để giải toán, từ đó hình
thành, hệ thống phơng pháp giải các dạng toán điển hình,
hoàn thiện các kiến thức cơ bản, nâng cao lý thuyết trong
chừng mực có thể làm cho học sinh nhớ và khắc sâu những
lý thuyết đà học. Học sinh có thể phân tích, tổng hợp, khái
quát hoá, phát triển một định lý, tính chất nào đó. Tất cả
những thao tác t duy đó sẽ góp phần củng cố, khắc sâu và
mở rộng kiến thức cho học sinh, giúp các em nhìn các khái

18
niệm, định lý Toán học một cách có chiều sâu, có hệ thống,
điều đó góp phần nâng cao hoạt động nhận thức cho các
em.
Ví dụ 1: Khái niệm và phơng pháp chứng minh 3 điểm A,
B, C thẳng hàng.
Ba điểm A, B, C thẳng hàng nếu chúng nằm trên một
đờng thẳng.
Các cách chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng:
- Chứng minh A, B, C cùng thuộc hai mặt phẳng phân
biệt
- Chứng minh hai góc ở vị trí đối đỉnh tạo bởi đờng
thẳng qua A, B, C bằng nhau.
- Chứng minh đờng thẳng AB và đờng thẳng AC cùng
song song với một đờng thẳng nào đó.
- Chứng minh AB = k.AC , víi k ≠ 0.
- Chøng minh ABC = 180°.
- Chøng minh ba ®iĨm A, B, C cã cùng phơng tích với
hai đờng tròn.
- Sử dụng định lý Talet.
* Đặt bài toán cần giải trong mối quan hệ biện chứng với
các bài tập Toán khác. Các qui luật cđa t duy biƯn chøng chØ
râ r»ng: khi xem xÐt một sự vật phải xuất phát từ chính bản
thân sự vật trong cả quá trình phát triển của nó, phải xem
xét đầy đủ mối liên hệ bên trong của sự vật đó, phải nhận
thức sự vật trong sự phát triển trong sự tự vận động của nó.
Chính vì thế khi xem xét bài toán, học sinh cần phải xem
xét một cách đầy đủ toàn diện với tất cả các mối quan hÖ

19
bên trong bên ngoài, giữa cái chung cái riêng, giữa cái cụ thể
với cái trừu tợng... Trên cơ sở đó, dùng phép tơng tự hoặc
tổng hợp để chuyển cái riêng thành cái chung, cái cụ thể
thành cái trừu tợng và ngợc lại. Từ đó hình thành cho các em
cái nhìn đầy đủ hơn về lịch sử hình thành cũng nh quá
trình phát triển của Toán học.
Ví dụ 2: Quá trình hình thành và phát triển của hệ
trục tọa độ Đecac (Descartes) vuông góc ở trờng phổ thông:
Ngời phát minh ra hệ trục tọa độ là Rene' Descartes
(1596 - 1650) một nhà Triết học kiêm Vật lý và Toán học ngời
Pháp.
Để thực hiện từng bớc phù hợp với trình độ nhận thức học
sinh ở mỗi lớp trong từng bậc học, SGK trình bày theo thứ tự:
- Tia số (Số học lớp 6);
- Trục số hữu tỷ (Đại số lớp 7);
- Trục số thực và mặt phẳng tọa độ (Đại số lớp 9);
- Hệ tọa độ Đecac (Descartes) vuông góc trong mặt phẳng
(Hình học lớp 10);
- Hệ tọa độ Đecac (Descartes) vuông góc trong không gian
(Hình học lớp 12).
Để xác định vị trí của một điểm hoặc một véctơ trong
không gian, ngời ta thờng dùng hệ trục tọa độ Đecac vuông
z
góc trong không gian.
x'
y'
E3
Đó là một hệ gồm ba đờng
thẳng x'Ox, yOy', z Oz' vuông góc

E1

với nhau từng đôi một, trên đó lần
x

O

E2
y
z'

Hình 1.1


20
lợt

chọn

các

véctơ

đơn

vị:

e1 = OE1, e2 = OE2 , e3 = OE3
Ba đờng thẳng ấy gọi là ba
trục tọa độ. Trục x'Ox gäi lµ trơc

hoµnh, trơc y'Oy gäi lµ trơc tung
vµ trơc zOz' gọi là trục cao.
Điểm O gọi là gốc tọa độ
(hình 1.1).
Nhận xét:
Sự hình thành và phát triển hệ trục tọa độ Đecac vuông
góc trong không gian theo thứ tự xét trên nửa đờng thẳng,
trên đờng thẳng, trên mặt phẳng và trên không gian. Phát
triển theo số chiều của không gian, có thể mở rộng sau này ở
bậc Đại học đến n chiều. Ngoài ra có thể phát triển theo hớng
không cần các véctơ đơn vị đôi một vuông góc và độ dài
bằng 1, nh hệ tọa độ afin. Phát triển theo các môn học: Số
học, Đại số và Hình học. ích lợi của việc phát triển này, thể
hiện mối quan hệ giữa Số học, Đại số và Hình học: Đại số hóa
Hình học, tạo ra công cụ khá đắc lực để giải các bài toán
Hình học nh: phơng pháp véctơ, phơng pháp tọa độ.
Ví dụ 3: Tính thể tích cđa tø diƯn ABCD cho biÕt AB =
CD = a;
AC = BD = b; AD = BC = c [20].
Khi giải bài toán này, học sinh sử dụng công thức V=
M
1
SBCD.ha sẽ gặp khó khăn trong tính toán.
3
A

B

N
F

C
E

D


21
Những nếu học sinh biết
đặt tứ diện ABCD (nội tiếp)
trong hình hộp chữ nhật
AMBN.ECFD (hình 1.2) có các
kính thớc AM = x, AN = y thì
tính x, y, z đợc tính theo hệ
phơng trình sau:
a

2

= x2 + y

2

b 2 = x2 + z

2

c 2 = y2 + z

2

Hình 1.2

Từ đó tÝnh x, y, z, theo a, b, c,:
x =

a2 + b2 − c2
;
2

y =

a2 + c2 − b2
;
2

z

=

b2 + c2 a2
2
và sử dụng V

ABCD

=

1
VAMBN.ECFD , suy ra thể tích cần

3

tìm.
* Xác lập mối quan hệ giữa Hình học không gian và
Hình học phẳng. Bài tập Hình học không gian có thể là sự
mở rộng hay xét tơng tự một bài toán Hình học phẳng nào
đó hoặc các bài tập Hình học không gian có thể xem là tổ
hợp các bài toán phẳng.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng sáu mặt phẳng, đi qua trung
điểm một cạnh của tứ diện ABCD và vuông góc với cạnh đối
diện thì đồng quy [20].


22
Để giải bài tập trên, chúng ta quan tâm giải bài tập Hình
học phẳng liên quan: "Ba đờng cao của tam giác đồng quy",
khi giải bài toán này cần xem các đờng cao qua trung điểm
của các đoạn AA, BB, CC và vuông góc với cạnh đối diện BC,
CA, AB; theo cách giải có thể chuyển sang cách giải của bài
tập không gian nh sau:
Gọi M, N lần lợt là trung điểm của cạnh BC, CA; O là tâm
đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC; G là trọng tâm của tam
giác ABC; H là giao điểm của OG và đờng cao AA1 khi đó:
GOM GHA vì
(hình 1.3)

GM 1
= và HAG = OMG; HGA = OGM
GA 2
A

A
H

M
N
O

G

O

D
N

G

B

B

H

M

C

I
A

Hình 1.4

Hình 1.3
Từ đó ta có GH = 2GO H cố định và các đờng cao
BB1, CC1 tơng tự cũng đi qua H.
Khi đó, học sinh có thể giải bài toán ở ví dụ 4 bằng cách
tơng tự. Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp, O thuộc mặt
phẳng trung trực của cạnh CD qua trung điểm N. Mặt
phẳng qua trung điểm M của AB vuông góc với CD tại I. Mặt
phẳng (OMI) cắt mặt phẳng qua M vuông góc với CD và
mặt ph¼ng trung trùc cđa CD theo hai giao tun song song
MI và ON. Trọng tâm G của tứ diện ABCD là trung điểm của
MN, OG cắt MI tại H. GON = GHM H là điểm đối xứng


23
của O qua G. Có nghĩa là mọi mặt phẳng qua trung điểm
một cạnh và vuông góc với cạnh đối diện qua H (hình 1.4).
1.3. Các cơ sở lý luận và thực tiễn để hình thành các định hớng dạy học vận dụng tính kế thừa để tổ chức hoạt ®éng nhËn
thøc cho häc sinh

1.3.1. C¬ së thùc tiƠn
Qua thùc tế dạy học, chúng tôi thấy:
* Học sinh chỉ có thể lĩnh hội đợc kiến thức mới nếu
nh có nền tảng kiến thức cơ sở vững vàng và khả năng huy
động kiến thức đó để giải thích hoặc chứng minh, tìm tòi
kiến thức mới.
* Học sinh khi giải toán thờng dựa trên sự bắt chớc hay
nói cách khác theo ngôn ngữ Toán học đó là xem bài toán đó
tơng tự nh một bài toán đà giải. Các em quan sát, thu nhận và

bắt chớc giáo viên đà giải bài toán đó nh thế nào và thực
hành lại một cách có chọn lọc. Giáo viên muốn phát triển khả
năng giải các bài tập Toán của học sinh thì phải tạo hứng thú
cho học sinh, đảm bảo cho học sinh nhiều điều kiện học hỏi
(bắt chớc) và thực hành.
* Kiến thức Toán học đợc trình bày một cách có logic và
hệ thống chặt chẽ từ lớp 1 đến lớp 12. Kiến thức trớc là nền
tảng của kiến thức sau. Kiến thức sau là sự mở rộng của kiến
thức trớc. Nhng đa số các em còn lúng túng trong việc ứng
dụng khai thác, mở rộng, phát triển các kiến thức. Điều này
hạn chế không nhỏ tới việc huy động vốn kiến thức của học
sinh, ảnh hởng đến việc rèn luyện t duy, khả năng thu nhận
kiến thức cũng nh sự hiểu biết thế giíi quan khoa häc cđa
häc sinh.


24
1.3.2. C¬ së TriÕt häc
Theo triÕt häc duy vËt biƯn chứng, mâu thuẫn là động
lực thúc đẩy quá trình phát triển. Một vấn đề đợc gợi cho
học sinh hứng thú học tập, tự giác độc lập tìm tòi và khám
phá, chính là mâu thuẫn giữa yêu cầu nhận thức mới với kiến
thức và kinh nghiệm sẵn có. Tình huống này phản ánh một
cách logic và biện chứng quan hệ bên trong giữa kiến thức
cũ, kỹ năng cũ, kinh nghiệm cũ với yêu cầu tìm hiểu, giải
thích sự kiện mới, t duy mới hay đổi mới tình thế hoặc bài
toán nào đó. Và thế cứ mỗi lần mâu thuẫn xuất hiện rồi đợc
giải quyết thì hiểu biết của học sinh lại tiến thêm một bớc
theo một quy luật gọi là phủ định của phủ định. Nh thế
có nghĩa là nói có mâu thuẫn xuất hiện tức là có một sự

bất lực nào đó của kiến thúc hiện có trớc nhiệm vụ giải
quyết hay giải thích một sự việc hay hiện tợng nào đó; nh
vậy là sự vật hay hiện tợng này phủ định kiến thức hiện có.
Trớc tình hình đó yêu cầu học sinh phải tìm cách giải quyết
hay giải thích sự vật hiện tợng đó. Nghiên cứu khoa học sẽ đa đến những kiến thức mới cho phép giải quyết sự vật hay
giải thích hiện tợng. Những kiến thức này, ban đầu tởng nh
mâu thuẫn với kiến thức cũ (phủ định lần 1) nhng sau khi đÃ
hiểu sâu nó, lại thÊy thèng nhÊt víi kiÕn thøc cị, trïm lªn
kiÕn thøc cũ. Sự thống nhất này phủ định kết quả của lần
phủ định trớc (cho rằng lý thuyết mới trái với lý thuyết cũ).
Qua hai lần phủ định ta đợc ta đợc một lý thuyết mới trùm lên
lý thuyết cũ, mở rộng lý thuyết cũ. Vì vậy kết quả của sự
phát minh sáng tạo trong lĩnh vực khoa học cơ bản bao giê


25
cịng lµ kÕ thõa cã më réng cđa mét kiÕn thức cơ bản nào
đó.
Ta có thể khẳng định các quy luật của phép biện chứng
duy vật đà kết luận: cái mới bao giờ cũng là kế thừa và mở
rộng cái cũ. Không có cái mới nào tách rời cái cũ. Tuy nhiên kiến
thức mới phải kế thừa kiến thức cũ một cách có chọn lọc, phát
triển thì khoa học mới ngày càng tiến lên và trình độ nhận
thức của học sinh mới ngày càng nâng cao.
1.3.3. Dựa trên các quan điểm đổi mới phơng pháp
giảng dạy
Trong những năm gần đây, khối lợng trí thức khoa học
tăng lên một cách nhanh chóng. Theo các nhà khoa học cứ tám
năm nó lại tăng lên gấp đôi. Thời gian học tập ở trờng phổ
thông lại có hạn. Để hoà nhập và phát triển víi x· héi, con ngêi

ph¶i tù häc tËp, trau dåi tri thức các kỹ năng kỹ xảo biết ứng
dụng các kiến thức tích luỹ trong nhà trờng vào cuộc sống.
Đứng trớc tình trạng đó, các nhà Tâm lý s phạm, các nhà Giáo
dục trên thế giới và trong nớc đà có những đóng góp tích cực
vào công cuộc đổi mới phơng pháp dạy học theo quan điểm
của lý thuyết kiến tạo. Lý thuyết kiến tạo (LTKT) là về việc
học và pháp huy tối đa vai trò tích cực và chủ động của ngời
học trong quá trình học tập. Đối với hoạt động dạy học Toán,
LTKT quan niệm quá trình học toán là: học trong hoạt động,
học là vợt qua chứng ngại, học qua sự tơng tác xà hội, học
thông qua hoạt động giải quyết vần đề. Tơng thích với quan
điểm này về quá trình học tập; LTKT quan điểm về quá
trình dạy học là quá trình giáo viên chủ động tạo ra các tình
huống học tập giúp học sinh thiết lập các tri thức cần thiết;