ĐỀ 2.doc

LTC ST&GT
ĐỀ 2
Bài 1: Cho biểu thức M =
x
x
x
x
xx
x
−
+
+
−
+
+
+−
−
2
3
3
12
65
92
a. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M
b. Tỡm x để M = 5
c. Tỡm x
∈
Z để M
∈
Z.
bài 2: a) Tỡm x, y nguyờn dơng thoó món phơng trỡnh

3x
2

+10 xy + 8y
2
=96
b)tỡm x, y biết / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ = 3
Bài 3: a. Cho cỏc số x, y, z dơng thoó món
x
1
+
y
1
+
z
1
= 4
Chứng ming rằng:
zyx ++2
1
+
zyx ++ 2
1
+
zyx 2
1
++

1
≤

b. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: B =
2
2
20062
x
xx +−
(với x
0
≠
)
Bài 4: Cho hỡnh vuụng ABCD. Kẻ tia Ax, Ay sao cho
yAx
ˆ
= 45
0
Tia Ax cắt CB và BD lần lợt tại E và P, tia Ay cắt CD và BD lần lợt tại F và Q
a. Chứng minh 5 điểm E; P; Q; F; C cựng nằm trờn một đờng trũn
b. S
AEF∆
= 2 S
APQ
∆
Kẻ đờng trung trực của CD cắt AE tại M. Tớnh số đo gúc MAB biết
DPC
ˆ
=
DMC
ˆ
Bài 5: (1đ)
Cho ba số a, b , c khỏc 0 thoó món:

0
111
=++
cba
; Hóy tớnh P =
222
b
ac
a
bc
c
ac
++
ĐÁP ÁN
Bài 1:M =
x
x
x
x
xx
x
−
+
+
−
+
+
+−
−
2

3
3
12
65
92
a.ĐK
9;4;0
≠≠≥
xxx
0,5đ
Rỳt gọn M =
( )( ) ( )( )
( )( )
32
2123392
−−
−++−+−−
xx
xxxxx
Biến đổi ta cú kết quả: M =
( )( )
32
2
−−
−−
xx
xx
M =
( )( )
( )( )

3
1
23
21
−
+
=⇔
−−
−+
x
x
M
xx
xx
LTC ST&GT

( )
164
4
16
416
1551
351
5
3
1
5 M . b.
=⇒==⇒
=⇔
−=+⇔

−=+⇒
=
−
−
⇔=
xx
x
xx
xx
x
x

c. M =
3
4
1
3
43
3
1
−
+=
−
+−
=
−
+
xx
x
x

x
Do M
z
∈
nờn 3−x là ớc của 4
⇒
3−x nhận cỏc giỏ trị: -4; -2; -1; 1; 2; 4
{ }
49;25;16;4;1
∈⇒
x
do
⇒≠
4x
{ }
49;25;16;1
∈
x
Bài 2 a. 3x
2
+ 10xy + 8y
2
= 96
<--> 3x
2
+ 4xy + 6xy + 8y
2
= 96
<--> (3x
2

+ 6xy) + (4xy + 8y
2
) = 96
<--> 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96
<--> (x + 2y)(3x + 4y) = 96
Do x, y nguyờn dơng nờn x + 2y; 3x + 4y nguyen dơng và 3x + 4y > x + 2y
3
≥

mà 96 = 2
5
. 3 cú cỏc ớc là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 đợc biểu diễn
thành tớch 2 thừa số khụng nhỏ hơn 3 là: 96 = 3.32 = 4.24 = 6. 16 = 8. 12
Lại cú x + 2y và 3x + 4y cú tớch là 96 (Là số chẵn) cú tổng 4x + 6y là số
chẳn do đú




=+
=+
2443
62
yx
yx
Hệ PT này vụ nghiệm
Hoặc




=+
=+
1643
62
yx
yx



=
=
⇒
1
4
y
x
Hoặc



=+
=+
1243
82
yx
yx
Hệ PT vụ nghiệm
Vậy cấp số x, y nguyờn dơng cần tỡm là (x, y) = (4, 1)
b. ta cú /A/ = /-A/
AA

∀≥
LTC ST&GT
Nờn /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/
3/3//20082005/
=≥−+−≥
xx
(1)
mà /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = 3 (2)
Kết hợp (1 và (2) ta cú / x - 2006/ + / y - 2007/
0
≤

(3)
(3) sảy ra khi và chỉ khi



=
=
⇔



=−
=−
2007
2006
0/2007/
0/2006/
y

x
y
x
Bài 3
a. Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ
b. Với mọi a, b thuộc R: x, y > 0 ta cú
( )
(*)
2
22
yx
ba
y
b
x
a
+
+
≥+
<-->(a
2
y + b
2
x)(x + y)
( )
xyba
2
+≥
⇔
a

2
y
2
+ a
2
xy + b
2
x
2
+ b
2
xy
≥
a
2
xy + 2abxy + b
2
xy
⇔
a
2
y
2
+ b
2
x
2

≥
2abxy

⇔
a
2
y
2
– 2abxy + b
2
x
2

≥
0
⇔
(ay - bx)
2

≥
0 (**) bất đẳng thức (**) đỳng với mọi a, b, và x,y > 0
Dấu (=) xảy ra khi ay = bx hay
a b
x y
=
Áp dung bất đẳng thức (*) hai lần ta cú
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 2 2 2 4 4 4 4
2 2x y z x y z x y x z x y x z
         
+ + +

 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
         
= ≤ + = +
+ + + + + + + +
2 2 2 2
1 1 1 1
1 2 1 1
4 4 4 4
16x y x z x y z
       
 ÷  ÷  ÷  ÷
 
       
≤ + + + = + +
 ÷
 
Tơng tự
1 1 1 2 1
2 16x y z x y z
 
≤ + +
 ÷
+ +
 
1 1 1 1 2
2 16x y z x y z
 
≤ + +
 ÷
+ +

 
Cộng từng vế cỏc bất đẳng thức trờn ta cú:
LTC ST&GT

1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
2 2 2 16 16 16
1 4 4 4 4 1 1 1 1
.4 1
16 16 4
x y z x y z x y z x y z x y z x y z
x y z x y z
     
+ + ≤ + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
+ + + + + +
     
   
≤ + + ≤ + + ≤ =
 ÷  ÷
   
Vỡ
1 1 1
4
x y z
+ + =

( )
2
2
2 2006

0
x x
B x
x
− +
= ≠
Ta cú:
x
xx
B
x
xx
B
2006
20062006.22006
20062
22
2
2
+−
=⇔
+−
=

( ) ( )
2006
2005
2006
2005200620052006
2

2
2
2
2
+
+−
⇔
+−
=⇔
x
x
x
xx
B
Vỡ (x - 2006)
2

≥
0 với mọi x
x
2
> 0 với mọi x khỏc 0

( )
2
2
2006
2005 2005
0 2006
2006 2006 2006

x
B B khix
x
−
⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ = =
Bài 4a.
0
45EBQ EAQ EBAQ
= = ⇒
)
) )
Y
nội tiếp;
ˆ
B
= 90
0
 gúc AQE = 90
0

gúcEQF = 90
0
Tơng tự gúc FDP = gúc FAP = 45
0
 Tứ giỏc FDAP nội tiếp gúc D = 90
0
 gúc APF = 90
0
 gúc EPF = 90
0

…….
0,25đ
Cỏc điểm Q, P,C luụn nhỡn dới 1gúc90
0
nờn 5 điểm E, P, Q, F, C cựng
nằm trờn 1 đờng trũn đờng kớnh EF …………………0,25đ
b. Ta cú gúc APQ + gúc QPE = 180
0
(2 gúc kề bự)
⇒
gúc APQ = gúc AFE
Gúc AFE + gúc EPQ = 180
0

Tam giỏc APQ đồng dạng với tam giỏc AEF (g.g)

2
2
1 1
2
2
2
APQ
APQ AEE
AEF
S
k S S
S
∆
∆ ∆

∆
 
= = = ⇒ =
 ÷
 
c. gúc CPD = gúc CMD  tứ giỏc MPCD nội tiếp  gúc MCD = gúc CPD
(cựng chắn cung MD)
LTC ST&GT
Lại cú gúc MPD = gúc CPD (do BD là trung trực của AC)
gúc MCD = gúc MDC (do M thuộc trung trực của DC)
 gúc CPD = gúcMDC = gúc CMD = gúcMCD  tam giỏc MDC đều  gúc
CMD = 60
0
 tam giỏc DMA cõn tại D (vỡ AD = DC = DM)
Và gúc ADM =gúcADC – gúcMDC = 90
0
– 60
0
= 30
0
 gúc MAD = gúc AMD (180
0
- 30
0
) : 2 = 75
0
 gúcMAB = 90
0
– 75
0

= 15
0
Bài 5Đặt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c  x + y + z = 0 (vỡ 1/a = 1/b + 1/c = 0)
 x = -(y + z)
 x
3
+ y
3
+ z
3
– 3 xyz = -(y + z)
3
+ y
3
– 3xyz
-( y
3
+ 3y
2
z +3 y
2
z
2
+ z
3
) + y
3
+ z
3
– 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz .0 = 0

Từ x
3
+ y
3
+ z
3
– 3xyz = 0  x
3
+ y
3
+ z
3
= 3xyz
 1/ a
3
+ 1/ b
3
+

1/ c
3
3 1/ a
3
.1/ b
3
.1/ c
3
= 3/abc
Do đú P = ab/c
2

+ bc/a
2
+ ac/b
2
= abc (1/a
3
+ 1/b
3
+ 1/c
3
) = abc.3/abc = 3
Nếu 1/a + 1/b + 1/c =o thỡ P = ab/c
2
+ bc/a
2
+ ac/b
2
= 3