Tuyen Tap DE & DA HSG Huyện Krông Pắc

Trường THCS Hoàng Văn Thụ Giáo Viên : Trần Văn Đào
ÊaKuăng – Krông Pắc - DakLak
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN KRÔNG PẮC
NĂM HỌC : 2003 - 2004
MÔN : TOÁN 9 THỜI GIAN : 150 Phút
Bài 1: (5điểm)
Hai máy bay bay trên cùng một tuyến đường từ sân bay A đến sân bay B , một
máy bay bay hết 2 giờ 20 phút , máy bay kia bay hết 2 giờ 30 phút . hỏi vận tốc
trung bình của mỗi máy bay , biết rằng trung bình cứ 1 phút thì máy bay này bay
nhanh hơn máy bay kia 1 km
Bài 2: (5điểm)
Cho phương trình :
2
x px q 0+ + =
(1)
1/ Gọi
α
và
β
la hai nghiệm của phương trình (1) . Hãy lập một phương trình bậc
hai có các nghiệm là :
2
( )α + β
và
2
( )α −β
2/ Cho thêm phương trình
2
x r x s 0+ + =
(2) và giả sử p > 0 , r > 0,
pr 2(q s)≥ +

thì ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm .
Bài 3: (4điểm)
Chứng minh rằng nếu 4 số dương x, y, z, t thoả mãn hai trong ba hệ thức sau thì
cũng thoả mãn hệ thức còn lại .
(1)
x z
y t
=
(2)
2 2 2
x y z= +
(3)
2 2 2
1 1 1
t y z
= +
Bài 4: (4điểm)
Cho tam giác ABC . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB ; D là một điểm
bất kỳ trên BC . Điểm P nằm trên BF sao cho
DP CFP
. Điểm Q nằm trên CE sao
cho
DQ BEP
. Đoạn PQ cắt BE ở R và cắt CF ở S .
Chứng minh :
PQ
RS
3
=

.
Bài 5: (2điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng :
3 3 3 3
(a b c) a b c 24abc+ + ≥ + + +
= = = = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = = = =
1
Trường THCS Hoàng Văn Thụ Giáo Viên : Trần Văn Đào
ÊaKuăng – Krông Pắc - DakLak
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN KRÔNG PẮC
NĂM HỌC : 2005 - 2006
MÔN : TOÁN 9 THỜI GIAN : 150 Phút
Bài 1: (5điểm)
Cho biểu thức : P =
2
x x 2x x
1
x x 1 x
+ +
+ −
− +
a) Rút gọn P . Tìm x để P = 2 .
b) Giả sử x > 1 . Chứng tỏ rằng :
P P 0− =
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2: (5điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn điều kiện :
2 2 2 2 2 2
a b c (a b) (b c) (c a)+ + = − + − + −

a) Tính
a b c+ +
. Biết rằng
ab bc ca 9+ + =
.
b) Chứng minh rằng : Nếu
c a≥
;
c b≥
thì
c a b≥ +
.
Bài 3: (5điểm)
Cho đoạn thẳng AB và điểm I nằm giữa hai điểm A và B . Trong cùng một nữa mặt
phẳng bờ AB . Kẻ hai tia Ax và By vuông góc với AB . Trên Ax lấy điểm C , tia vuông góc
với IC tại I cắt By tại D .
a) Chứng minh :
AC DB IA IB=. .
.
b) 3 điểm A, B, C cố định . Xác định vị trí của I để diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn
nhất .
Bài 4: (5điểm)
Cho hình vuông ABCD . Kẻ tam giác đều ABE ở bên ngoài hình vuông ABCD.
Gọi
r 6 3=
là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE .
a) Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD .
b) Gọi O, O’ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và tam giác ABE.
Tính đoạn nối tâm OO’.
= = = = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = = = =

2
Trường THCS Hoàng Văn Thụ Giáo Viên : Trần Văn Đào
ÊaKuăng – Krông Pắc - DakLak
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN KRÔNG PẮC
NĂM HỌC : 2006 - 2007
MÔN : TOÁN 9 THỜI GIAN : 150 Phút
Bài 1: (4điểm)
a) Chứng minh đẳng thức :
2
2
2 2
1 a 1 a
a a
b ab 1
b (ab 1)
+ + = + −
+
+
với
b 0 ; ab -1≠ ≠
b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
x(y 3) 5y 36− + =
Bài 2: (5điểm)
a) Giải hệ phương trình :
x y z
6 10 2
4x 3y 2z 1

= =


− −


+ − = −

b) Các nghiệm của phương trình :
2
x px q 1 0+ + + =
;
(q 1)≠ −
là hợp số .
Chứng minh :
2 2
p q+
là hợp số .
Bài 3: (4điểm)
Trên một đường tròn ta lấy 1000 điểm rồi đánh số thứ tự theo cùng một chiều từ 1 cho
đến 1000 . Bắt đầu từ số 1 , cứ 15 số ta đánh dấu một số , tức là đánh dấu các số
1 ; 16 ; 31 ; ……. Tiếp tục quá trình này qua một số vòng cho đến khi số 1 được đánh
dấu lần thứ hai . Hỏi trước lúc đó còn lại bao nhiêu số không bị đánh dấu ?
Bài 4: (4điểm)
Trên xe ô tô đang chạy , B nhìn qua cửa kính và thấy M đang đi ngược chiều với chiều
của ô tô . Sau khi chạy thêm nữa phút , ô tô dừng lại và đã vượt qua M , B xuống ô tô và
đuổi theo M . Nếu vận tốc của B bằng 1/8 vận tốc của ô tô và gấp 3 lần vận tốc của M
thì sau bao lâu B đuổi kịp M . Biết rằng ô tô , B và M đều di chuyển với vận tốc đều .
Bài 5: (3điểm)
Cho tamgiác ABC có ba góc nhọn . Chứng minh rằng nếu ba đường phân giác của tam
giác ABC đều nhỏ hơn 1 thì diện tích tam giác ABC nhỏ hơn 1 .
= = = = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = = = =
3

Trường THCS Hoàng Văn Thụ Giáo Viên : Trần Văn Đào
ÊaKuăng – Krông Pắc - DakLak
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN KRÔNG PẮC
NĂM HỌC : 2007 – 2008
MÔN : TOÁN 9 THỜI GIAN : 150 Phút
Bài 1: (3,5 điểm)
Chứng minh rằng phân thức :
2 2 2
2 2 2
(x a)(1 a) a x 1
A
(x a)(1 a) a x 1
+ + + +
=
− − + +
không phụ thuộc vào x và có nghĩa với mọi x, a .
Bài 2: (3,5 điểm)
Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện :
xy yz xz 1+ + =
. Hãy tính :
2 2 2 2 2 2
2 2 2
(1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x )(1 y )
A x y z
1 x 1 y 1 z
+ + + + + +
= + +
+ + +
. . .
Bài 3: (4điểm)

Hai đội bóng bàn của hai trường THCS thi đấu với nhau . Mỗi đấu thủ của đội này
phải đấu với mỗi đấu thủ của đội kia một trận . Biết rằng tổng số trận đấu bằng 4 lần
tổng số đấu thủ của hai đội và số đấu thủ của ít nhất một trong hai đội là số lẽ . Hỏi mỗi
đội có bao nhiêu đối thủ .
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A , cạnh góc vuông b , c ; M là một điểm trên cạnh BC sao
cho
·
BAM = α
.
Chứng minh rằng :
bc
AM
b cos c sin
=
α + α. .
Bài 5: (5 điểm)
Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;r) tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ tiếp tuyến chung
ngoài BC (B thuộc đường tròn (O) , C thuộc đường tròn (O’)) .
a) Tính
·
BAC
.
b) Tính BC .
c) Gọi D là giao điểm CA với đường tròn tâm O
(D A)≠
. Chứng minh rằng ba điểm
B, O, D thẳng hàng .
d) Tính BA , CA .

Bài 6: (1 điểm)
Tìm các cặp số tự nhiên (x ; y) sao cho :
1 1 1
x y p
+ =
với p là số nguyên tố .
---------- Hết ----------
4
Trường THCS Hoàng Văn Thụ Giáo Viên : Trần Văn Đào
ÊaKuăng – Krông Pắc - DakLak
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN KRÔNG PẮC
NĂM HỌC : 2008 - 2009
MÔN : TOÁN 9 THỜI GIAN : 150 Phút
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức :
15 x 11 3 x 2 2 x 3
P(x)
x 2 x 3 1 x x 3
− − +
= + −
+ − − +
a) Tìm giá trị của x để
1
P(x)
2
=
.
b) So sánh
P(x)
với

2
3
.
Bài 2: (6,0 điểm)
1/ Giải phương trình :
3 2
x(x 5) 2 x 5x 2 2+ = + − −
2/ Cho hệ phương trình với tham số a :
(a 1)x y a 1
x (a 1)y 2
+ − = +


+ − =

a) Giải hệ phương trình với a = 2.
b) Tìm các giá trị nguyên của a để hệ phương trình có nghiệm nguyên.
c) Tìm các giá trị nguyên của a để nghiệm của hệ phương trình thoả mãn.
điều kiện x + y đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3: (2,0 điểm)
Cho a,b,c với
a c,b c 0.> > >
Chứng minh rằng :
c(a c) c(b c) ab− + − ≤
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Phân giác của góc A cắt cạnh
BC tại D, cắt đường tròn (O) ở E. Gọi K và M lần lượt là hình chiếu của D trên AB và
AC.
a) Chứng minh: AE vuông góc với KM.
b) Đặt góc BAC bằng

α
. Gọi S là giao điểm của KD và AC.
Chứng minh:
KM AD.sin= α
.
c) So sánh
AKEM
S
với
ABC
S
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Giả sử (O’) là đường tròn đi
qua trung điểm M,N của các cạnh AB,AC . Gọi I là điểm đối xứng của (O) qua (O’).
Chứng minh rằng AI vuông góc với BC.

---------- Hết ----------
5