Tài liệu dạy thêm toán Hình lớp 12
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (14.34 MB, 157 trang )
CHƯƠNG 1: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
CHUYÊN Đ 1: KHỐI ĐA DIỆN
H N 1: LÝ TH
TT
NG TÂM
1. Hình
Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo
b i
t h hạn các đa giác h ng th a mãn hai
đi
iện sau:
• Hai đa giác phân biệt ch có th ho c không có
đi
chung ho c có đ nh chung ho c có
t cạnh
chung.
•
i cạnh c a đa giác nào c ng là cạnh chung c a
đ ng hai đa giác.
2. K
h i đa diện = hình đa diện + h n không gian Các hình là h i đa diện
được gi i hạn b i hình đa diện
Chú ý:
•
i h i đa diện b t kì luôn có th được phân
chia được thành nh ng h i t diện
•
i đ nh c a
ít nh t 3 cạnh
•
t hình đa diện là đ nh chung c a
Các hình không h i h i đa diện
i hình đa diện có ít nh t 6 cạnh
• Không t n tại hình đa diện có 7 cạnh
• Không t n tại
t hình đa diện có:
+
t l n h n ho c b ng
cạnh
+
đ nh l n h n ho c b ng
cạnh
3. K
h i đa diện đ
ch t sau đ
• Các
•
là
t h i đa diện l i có hai tính
t là nh ng đa giác đ
như
là t ng
t ng các
n cạnh
i đ nh là đ nh chung c a đ ng p cạnh
diện đ
ọi
gọi là h i đa diện đ
h i đa
loại n; p
đ nh C là t ng
cạnh và M là
t c a h i đa diện đ
loại n; p . Ta
có:
= 2C = nM
.
Trang 1
H N 2: CÔNG TH C TÍNH NHANH
1. K
h i đa diện đ
đ nh
cạnh
T diện đ
4
6
4
3;3
h il
8
12
6
4;3
6
12
8
3; 4
tđ
20
30
12
5;3
tđ
12
30
20
3;5
hư ng
Bát diện đ
ư i hai
Hai
ư i
t
oại
2.
Hình
t h ng đ i
T diện đ
ng
6
Hình l
hư ng
9
Hình chóp t giác đ
4
Hình h
3
ch nh t
Bát diện đ
9
H N 3: CÁC D NG BÀI T
Ví d 1: Hình đa diện nào dư i đ
không có tâm đ i
ng
Trang 2
A. T diện đ
C. Hình l
B. Bát diện đ
hư ng
D.
ng tr l c giác đ
Hư ng d n
Hình t diện đ
không có tâm đ i
ng
họn A.
Ví d 2: Cho các hình h i sau:
Hình 1
Hình 2
i hình trên g
A. 1.
t
h
Hình 3
hạn đa giác h ng (
B. 2.
c các đi
Hình 4
trong c a nó),
C. 3.
đa diện l i là:
D. 4.
Hư ng d n
h i đa diện được gọi là h i đa diện l i n
đoạn th ng AB c ng th c h i đ
i b t kì hai đi
A và B nào c a nó thì
ọi đi
th
c
Có hai h i đa diện l i là: Hình 1 và hình 4.
họn B.
Ví d 3: Trong các phát bi
A. Hình chóp đ
B. Trong
sau, phát bi
nào sai:
là hình chóp có t t c các cạnh bên b ng nhau và đ
t hình chóp đ
các góc gi a
t cạnh bên và
C. Hình chóp đ
là hình chóp có đ
là đa giác đ
D. Hình chóp đ
là hình chóp có t t c các cạnh b ng nhau.
tđ
là đa giác đ
thì b ng nhau.
và chân đư ng cao trùng
i tâm c a đ
Hư ng d n
Hình chóp đ
+
th a mãn hai đi
iện sau:
là đa giác đ
+ Chân đư ng cao c a hình chóp là tâm c a đ
Các
t bên c a hình chóp đ là các tam giác cân nên các cạnh bên c a hình chóp đ
b ng cạnh đ do đ đ án D là phát bi sai.
chưa chắc đ
họn D.
Trang 3
Ví d 4:
t hình chóp có 46 cạnh có bao nhiêu
A. 24.
B. 46.
t
C. 69.
D. 25.
Hư ng d n
i
đa giác đ
Ta có: 2n 46
có n cạnh n đ nh Hình chóp có 2n cạnh
n 23.
Suy ra hình chóp có 23 cạnh t đ có 23
t ng c ng hình chóp có 24
t bên và 1
tđ
t
họn A.
Ví d 5: h i t diện ABCD.
h i t diện ABCD thành:
A. Hai h i t diện và
ọi M, N l n lượt là trung đi
c a BC và BD.
t h ng (AMN) chia
t h i chóp t giác.
B. Hai h i t diện
C.
t h i t diện và
t h i chóp t giác.
D. Hai h i chóp t giác.
Hư ng d n
t h ng (AMN) chia h i t diện ABCD thành h i t diện ABMN và h i chóp t giác A.MNDC.
họn C.
H N 4: BÀI T
Câu 1:
T NG H
t h ng đ i
A. 10.
ng c a hình t diện đ
B. 8.
Câu 2:
t h ng đ i
A. 9.
ng c a hình đa diện đ
B. T n tại
D. 4.
loại 4;3 là:
C. 7.
ệnh đ sau,
A. T n tại hình đa diện có
D. 6.
ệnh đ nào sai?
cạnh b ng 7.
t hình đa diện có
cạnh nh h n 7.
cạnh đa diện luôn luôn l n h n ho c b ng 6.
D. T n tại hình đa diện có
Câu 4: T ng đ dài
A.
C. 6.
B. 8.
Câu 3: Trong các
C.
là:
8.
Câu 5: Trong các
cạnh l n h n 7.
c a t t c các cạnh c a h i
B.
ệnh đ sau,
16 .
ư i hai
C.
tđ
24 .
cạnh b ng 2.
D.
60 .
ệnh đ nào đ ng
Trang 4
A. T n tại
t hình đa diện có
cạnh b ng
B. T n tại
t hình đa diện có
cạnh và
C.
đ nh và
tc a
ọi m là
t b ng nhau.
t hình đa diện luôn b ng nhau.
D. T n tại hình đa diện có
Câu 6:
đ
đ nh
đ nh và
tđ i
t b ng nhau.
ng c a hình l
hư ng n là
tđ i
A. Không th so sánh m và n.
B. m
C. m
D. m n.
n.
Câu 7: họn
ệnh đ đ ng trong các
là t giác thì có
B. Hình chóp có đ
là hình thang cân thì có
C. Hình chóp có đ
là hình thang vuông thì có
tc
là hình bình hành thì có
Câu 8: Phát bi
nào sau đ
tc
tc
ngoại ti
tc
ngoại ti
ngoại ti
là đ ng
ư i
tđ
có 30 đ nh 12 cạnh 20
t
B. Hình hai
ư i
tđ
có 20 đ nh 30 cạnh 12
t
C. Hình hai
ư i
tđ
có 12 đ nh 30 cạnh 20
t
D. Hình hai
ư i
tđ
có 30 đ nh 20 cạnh 12
t
t hình đa diện có các
A. 3C 2 M.
Câu 10:
t là nh ng tam giác thì
B. C M 2.
đ nh c a
t hình
A. 12.
C. M
ư i hai
tđ
C.
C. 20.
các cạnh c a
t t diện đ
A. các đ nh c a
t hình t diện đ
B. các đ nh c a
t hình bát diện đ
C. các đ nh c a
t hình
D. các đ nh c a
t hình hai
Câu 12: Trong các
t M và
ư i hai
ư i
ệnh đ sau,
cạnh C c a đa diện đ th a mãn
D. 3 M 2 C.
là:
B. 19.
Câu 11: Trung đi
n.
ngoại ti
A. Hình hai
Câu 9:
Khi
ệnh đ sau?
A. Hình chóp có đ
D. Hình có đ
ng c a hình bát diện đ
D. 24.
tạo thành
tđ
tđ
ệnh đ nào sai?
A. T n tại h i t diện là h i đa diện đ
B. T n tại h i l ng tr đ
C. T n tại h i h
là h i đa diện đ
là h i đa diện đ
D. T n tại h i chóp t giác đ
Câu 13: Hình chóp t giác đ
A. 1.
đ nh c a t t c các
A. 12 .
A. 10.
t h ng đ i
B. 2.
Câu 14: T ng các góc
Câu 15:
có
là h i đa diện đ
C. 3.
t c a h i đa diện đ
B. 16 .
t h ng đ i
ng c a hình t diện đ
B. 8.
ng
C. 20 .
D. 4.
loại 3;5 là:
D. 24 .
là:
C. 6.
D. 4.
Trang 5
Câu 16: Cho hình bát diện đ
A. S 4 3a 2 .
cạnh a. ọi S là t ng diện tích t t c các
B. S 3a 2 .
Câu 17: Hình đa diện trong hình
A. 11.
C. S 2 3a 2 .
bên có bao nhiêu
B. 12.
t c a hình bát diện đ
Tính S.
D. S 8a 2 .
t
C. 13.
D. 14.
Câu 18: Cho các hình sau:
Hình 1
i hình trên g
A. 1.
Hình 2
t
h
Hình 3
hạn đa giác h ng (
B. 2.
c các đi
Hình 4
trong c a nó),
C. 3.
hình đa diện là:
D. 4.
án:
1-C
2-A
3-A
4-D
5-D
6-D
7- B
8-D
11 - B
12 - D
13 - D
14 - C
15 - C
16 - C
17 - B
18 - C
9-C
10 - C
Trang 6
CHUYÊN ĐỀ 2: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌN
1. T
tích
TÂM
chóp
1
V B.h
3
Trong đó:
B: diện tích đáy
h: chiều cao của hình chóp
2. Các công
a. ệ th c
hình
hay
ng trong tam giác vuông
Cho ABC vuông
đ
ng cao AH ta có:
nh lý Pitago: BC 2 AB2 AC 2
•
• BA 2 BH.BC ; CA 2 CH.CB
• AB.AC BC.AH
•
1
1
1
2
2
AH
AB AC 2
b. ệ th c
ng trong tam giác th
nh lý côsin:
ng
a 2 b 2 c2 2bc.cosA
b 2 a 2 c2 2 ac.cosB
c 2 a 2 b 2 2 ab.cosC
a
b
c
2R
sin A sin B sin C
nh lý sin:
nh lý đ
ng trung tuy n:
m a2
2b 2 2c2 a 2
4
2a 2 2c2 b 2
m
4
2
b
m c2
2a 2 2b 2 c2
4
c. Các công th c tính diện tích
Công th c tính diện tích tam giác:
S
1
1
a.b.c
a.h a a.b sin C
p.r p. p a p b p c
2
2
4R
Trong đó:
R và r n
p
t là bán kính đ
ng tròn ngo i ti p và n i ti p.
a bc
là n a chu vi.
2
Trang 1
ABC vuông
A: S
ABC đều c nh a: S
1
AB.AC
2
a2 3
4
iện tích hình vuông: S = c nh c nh
iện tích hình ch nh t: S = chiều dài chiều r ng
iện tích hình thoi: S
1
đ
2
iện tích hình thang: S
ng chéo đ
1
đáy
2
ng chéo
n + đáy nh
chiều cao
iện tích hình bình hành: S = đáy chiều cao
iện tích hình tròn: S .R 2
d. Các hệ th c quan tr ng trong tam giác đều
PHẦN 2: CÔNG TH C TÍNH NHANH
Bài toán
Hình
Th tích t diện ABCD đều c nh a.
Th tích hình chóp S.ABC i các
t (SAB), (SAC), (SBC) vuông
góc i nhau t ng đ i
t diện tích
các tam giác n
t là S1 , S2 , S3 .
Th tích
VABCD
VS.ABC
a3 2
12
2S1.S2 .S3
3
Th tích t diện ABCD g n đều (các
c p c nh đ i t ng ng ng nhau)
AB BC a ,
AC BD c
BC AD b ,
Trang 2
VABCD
2
12
a2
Th tích hình chóp i t ba c nh bên
và ba góc đ nh SA a , SB b ,
SC c , ASB x , BSC y ,
CSA z
1
VABCD .abc 1 2 cos x.cos y.cos z cos 2 x cos 2 y cos 2 z
6
Th tích hình chóp tam giác đều
c nh đáy ng a, c nh bên ng b.
Th tích hình chóp tam giác đều
c nh đáy ng a, t bên t o i đáy
góc
Th tích hình chóp tam giác đều
c nh bên là b, c nh bên t o i
t
ph ng đáy góc
Th tích hình chóp tam giác đều
c nh đáy là a, c nh bên t o i
t
ph ng đáy góc
VS.ABC
VS.ABC
VS.ABC
a 3 tan
24
3a 3 sin .cos 2
4
VS.ABC
VS.ABCD
Th tích hình chóp t giác đều có
c nh đáy ng a, c nh bên ng b
a 2 3b 2 a 2
12
a 3 tan
12
a 2 4b 2 2a 2
6
Khi hình chóp t giác
đều có t t c các c nh
ng a.
VS.ABCD
Th tích hình chóp t giác đều có
c nh đáy ng a, góc t o i t bên
và
VS.ABCD
t đáy là góc SMO
Th tích hình chóp t
c nh đáy
giác đều có
ng a, SAB
i
VS.ABCD
a3 2
6
a 3 tan
6
a 3 tan 2 1
6
Trang 3
;
4 2
Th tích hình chóp t giác đều có
c nh bên ng b, góc t o
i
t
bên và
t đáy là SMO
VS.ABCD
i
4b3 tan
3
2 tan 2
3
0;
2
PHẦN 3: CÁC
1: K
1. P
N
BÀI T P
chóp có
bên vuông góc
pháp
Th tích h i chóp có
đáy:
t c nh bên vuông góc
i Ví d : Cho h i chóp S.ABC có SA vuông góc i
đáy SA 4, AB 6, BC 10 và CA 8 . Tính
1
V .B.h
3
Trong đó:
th tích h i chóp S.ABC.
A. V 40.
B. V 192.
C. V 32.
D. V 24.
B: diện tích đáy.
h = đ dài đ
i đáy.
ng d n
ng cao = đ dài c nh bên vuông góc
Vì SA vuông góc
i đáy nên chiều cao là h SA .
Xét tam giác ABC, ta có:
AB2 AC2 62 82 102 BC 2
Suy ra tam giác ABC vuông t i A, do đó diện tích
tam giác ABC là:
B SABC
1
1
AB.AC .6.8 24
2
2
V y th tích h i chóp S.ABC là:
1
1
1
VSABC B.h .SABC .SA .24.4 32.
3
3
3
h n C.
2. Ví
minh
Ví d 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều c nh 2a, c nh bên SA vuông góc
Trang 4
i
t đáy và SB a 5 . Tính th tích V của h i chóp S.ABC.
A. V
a3 3
.
3
B. V a 3 3.
C. V
a3 3
.
2
D. V
a3 3
.
6
ng d n
Do tam giác ABC là tam giác đều nên diện tích đáy là:
B SABC
Vì SA vuông góc
2
2a
3
4
3a 2
i đáy nên chiều cao của hình chóp là:
h SA SB2 AB2 5a 2 4a 2 a
V y th tích V của h i chóp S.ABC là:
1
1
a3 3
VS.ABC B.h a 2 3.a
3
3
3
h nA
Ví d 2: Cho h i chóp S.ABC có SA vuông góc i (ABC), đáy ABC là tam giác vuông cân t i A,
BC 2a , góc gi a SB và (ABC) là 30 . Tính th tích h i chóp S.ABC.
a3 3
A.
.
3
a3 6
B. V
.
3
a3 6
C. V
.
9
a3 2
D. V
.
4
ng d n
SB
ABC B mà SA
ABC nên AB là hình chi u của SB lên ABC suy ra góc gi a SB và
ABC là góc SBA 30 .
Tam giác ABC vuông cân t i A, BC 2a
SA AB.tan 30 a 2.
AB AC a 2
3 a 6
.
3
3
iện tích tam giác ABC là:
SABC
1
AB2 a 2 .
2
V y th tích của h i chóp S.ABC là:
1
1 a 6 2 a3 6
VS.ABC .SA.SABC .
.a
.
3
3 3
9
h n C.
Ví d 3: Cho hình chóp SABC có tam giác SBC đều c nh a, CA a . Hai
vuông góc
A. V
t ABC và ASC cùng
i SBC . Th tích hình chóp là:
a3 3
.
12
B. V
a3 3
.
2
C. V
a3 3
.
4
D. V
a3
.
12
ng d n
Trang 5
Do
ABC
SBC
SAC
SBC
ABC
SAC AC
AC
SBC .
Suy ra AC là chiều cao của hình chóp.
Ta có: AC a
Tam giác SBC đều c nh a nên diện tích đáy là
SABC
a2 3
4
V y th tích của h i chóp S.ABC là:
1
1 a2 3
a3 3
V SSBC .AC
a
3
3 4
12
h n A.
Ví d 4: Cho h i chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t AB a , AD a 3 , SA vuông góc
t ph ng đáy và
t ph ng (SBC) t o
A. V 3a 3 .
B. V
i đáy
3a 3
.
3
i
t góc 60 . Tính th tích của h i chóp S.ABCD.
C. V a 3 .
D. V
a3
.
3
ng d n
Ta có diện tích đáy là:
SABCD AB.AD a .a 3 3 a 2 .
Ta có:
BC
SA
BC
AB
SBC
Vì BC
BC
SAB
BC
SB
ABCD BC
AB ; BC
SB .
SBC , ABCD
SB, AB SBA 60
Xét tam giác SAB vuông t i A có:
tan 60
SA
AB
SA AB tan 60 a 3
V y th tích của h i chóp S.ABCD là:
1
1
VS.ABCD SABCD .SA a 2 3.a 3 a 3 .
3
3
h n C.
Ví d 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t i A, BC a 2 , c nh bên SA vuông
góc i
t ph ng đáy
t bên (SBC) t o i
t đáy (ABC)
t góc ng 45 . Tính th tích V của
h i chóp S.ABC.
Trang 6
A. V
a3 2
.
12
B. V
a3 2
.
4
C. V
a3 2
.
6
D. V
a3 3
.
18
ng d n
Do ABC là tam giác vuông cân t i A, BC a 2 nên
AB=AC
BC
2
a.
iện tích tam giác ABC là:
SABC
SM vuông góc
BC
SA
BC
SM
SBC
Vì BC
BC
1
a2
AB.AC .
2
2
i BC.
SAM
BC
SM
ABC BC
SM ; BC
AM .
SBC , ABC SM, AM SMA 45
Do đó tam giác SAM vuông cân t i A nên ta có SA AM
a 2
.
2
V y th tích của h i chóp S.ABC là:
1
1 a2 a 2 a3 2
VS.ABC .SABC .SA . .
.
3
3 2 2
12
h n A.
3. Bài
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều c nh a. SA vuông góc v i m t ph ng
(ABC). Góc gi a đ ng th ng SB và m t ph ng (ABC) b ng 30 . Tính theo a th tích kh i chóp
S.ABC.
A. V
a 3 13
.
2
B. V
a3
.
12
C. V
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA ng a.
ng 60 . Tính th tích h i chóp S.ABCD theo a.
A.
a3 3
.
6
B.
a3 3
.
3
C.
3a 3 13
.
2
D. V
5a 3 13
.
2
t đáy (ABCD) là hình thoi c nh a, góc ABC
a3
3
.
D.
2a 3
3
.
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i B, AB 2a, BAC 60 .
vuông góc
A. V a 3 .
i
nh bên SA
t ph ng (ABC) và SA a 3 . Tính theo a th tích h i chóp S.ABC.
B. V 3a 3 .
C. V 2a 3 .
D. V 4a 3 .
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có c nh a và SA vuông góc đáy ABCD và
t bên (SCD) h p i đáy
t góc 60 . Th tích hình chóp S.ABCD là:
Trang 7
A.
a3
.
8
B.
a3
.
3
C.
3a 3 3
.
8
D.
a3 3
.
3
áp án
1-B
2-A
2: K
1. P
3-C
chóp có
4-D
bên vuông góc
pháp
Th tích h i chóp có
đáy:
t
1
V .h.B
3
t bên vuông góc
i Ví d : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình vuông có c nh a.
t bên (SAB) là tam giác
đều n
trong
t ph ng vuông góc
i đáy
ABCD. Tính th tích h i chóp S.ABCD.
Trong đó:
A.
B: diện tích đáy.
a3 3
.
3
B.
h = đ dài đ ng cao = đ dài đ ng cao h t đ nh
a3
C.
.
chóp của t bên vuông góc i c nh đáy.
6
a3 3
.
6
D. a 3 3.
ng d n
Chú ý:
Cho
t ph ng hai
P
Q
P
Q a
b
P
a
t bên (SAB) là tam giác đều n
trong
ph ng vuông góc
i đáy ABCD
SAB
ABC đều
b
Q
t
và
ABCD AB.
i H là trung đi
Khi đó:
b
t ph ng (P) và (Q) và
Do đó SH
SH
của AB.
AB.
ABCD .
ng cao của hình chóp là SH.
iện tích đáy ABCD là:
B SABCD a 2
Tam giác SAB đều nên h SA
a 3
.
2
V y th tích h i chóp S.ABCD là:
1
1
a3 3
V h .B .SH .SABCD
.
3
3
6
h n B.
Trang 8
2. Ví
minh
Ví d 1: Cho hình chóp S.ABC có SA a , tam giác ABC đều tam giác SAB vuông cân t i S và n
trong t ph ng vuông góc i t ph ng đáy. Th tích h i chóp S.ABC ng
6a 3
.
4
A.
6a 3
.
24
B.
C.
6a 3
.
12
D.
6a 3
.
8
ng d n
Tam giác SAB vuông cân t i S và SA a nên AB a 2.
i M là trung đi
AB, ta có SM
AB và SM
AB a 2
(SM là đ
2
2
ng trung tuy n của tam giác
SAB vuông cân t i S).
t khác SAB
SM
ABC , SM
AB và SAB
ABC AB nên
ABC .
Suy ra SM là đ
ABC.
ng cao của hình chóp S.ABC ng
i đáy là tam giác
iện tích tam giác ABC là:
2
SABC
a 2 . 3
4
Th tích h i chóp S.ABC là:
VS.ABC
2
1
1 a 2 a 2
SM.SABC .
.
3
3 2
4
3
a3 6
.
12
h n C.
Ví d 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t i AB 2a , AD a . Hình chi u của S
lên t ph ng (ABCD) là trung đi H của c nh AB, đ ng th ng SC t o i đáy
t góc 45 . Tính th
tích V của h i chóp S.ABCD.
A. V
2 2a 3
.
3
B. V
a3
.
3
C. V
2a 3
.
3
D. V
3a 3
.
2
ng d n
Ta có diện tích hình ch nh t ABCD là:
SABCD AB.AD 2 a .a 2a 2 .
Ta có:
SC
ABCD C
SH
ABCD
Do đó SC, ABCD
SCH 45
Do đó tam giác SHC vuông cân t i H nên SH HC.
Mà HC BH 2 BC2 a 2 a 2 a 2 SH.
Trang 9
V y tích h i chóp S.ABCD là:
1
1
2a 3 2
VABCD .SABCD .SH .2a 2 .a 2
.
3
3
3
h n A.
Ví d 3: Cho hình chóp S.ABC có góc gi a SC và
t đáy
có AB 2a , góc ABC 60 và hình chi u của S lên
tích h i chóp S.ABC
2.a 3 39
.
3
A. V
B. V
a 3 39
.
3
ng 45 , đáy ABC là tam giác vuông t i A
t ph ng (ABC) là trung đi
C. V
2.a 3 37
.
3
AB. Tính theo a th
D. V
4.a 3 39
.
3
ng d n
i H là trung đi
AB. Theo đề bài ta có SH
ABC .
Ta có:
SC
ABC C
SH
ABCD
Do đó SC, ABC SCH 45 .
Tam giác SHC vuông cân t i H nên SH HC
Vì ABC là tam giác vuông t i A có AB 2a , góc ABC 60 . Ta có
AC AB.tan 60 2a 3.
iện tích tam giác ABC là:
SABC
1
AB.AC 2a 2 3.
2
Tam giác AHC vuông t i A: HC AH 2 AC 2 a 13.
Do đó SH HC a 13.
V y tích h i chóp S.ABC là:
1
1
2a 3 39
VS.ABC SH.SABC a 13.2a 2 3
.
3
3
3
h n A.
Ví d 4: Cho hình chóp t giác S.ABCD có đáy là hình vuông,
trong
t ph ng vuông góc
i đáy. Bi t ho ng cách t đi
t bên (SAB) là tam giác đều và n
Bđ n
t ph ng (SCD)
ng
D. V
3 3
a .
2
3 7a
. Tính
7
th tích V của h i chóp S.ABCD.
1
A. V a 3 .
3
B. V a 3 .
C. V
2 3
a .
3
ng d n
i M, H n
SM
t là trung đi
ABCD và CD
của AB, CD.
MH
CD
SMH .
Trang 10
t AB x
AB 3 x 3
.
2
2
MH AD x,SM
MK vuông góc
i SH K SH
MK
SCD .
Tam giác SMH vuông t i M, có:
1
1
1
2
2
MK
SM
MH 2
1
3a 7
7
2
1
1
2
x x 3 2
2
7
7
2
2
9a
3x
x a 3.
V y th tích h i chóp S.ABCD là:
1
1 3a
V .SM.SABCD . . a 3
3
3 2
2
3a 3
.
2
h nD
3. Bài
Câu 1. Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều c nh a, tam giác SBC vuông cân t i S và n m trong m t
ph ng vuông góc v i (ABC). Tính th tích kh i chóp SABC.
A.
a3
.
9
B.
a3 3
.
9
C.
a3 3
.
24
a3
.
16
D.
3a
. Hình chi u vuông góc H của đ nh
2
của đo n AB. Tính theo a th tích h i chóp S.ABCD.
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a, SD
S lên
t ph ng (ABCD) là trung đi
A. V
a3
.
3
B. V
2a 3
.
3
C. V
Câu 3. T diện ABCD có ABC là BCD là hai tam giác đều
i nhau i t AD a . Tính th tích t diện.
A.
a3 6
.
9
B.
a3 3
.
9
C.
2a 3
.
13
n
a3 3
.
36
D. V
tn
trong hai
D.
2a 3
.
5
t ph ng vuông góc
a3 6
.
36
áp án:
1–C
3: K
1. P
2–A
3–D
chóp
pháp
Th tích hình chóp đều :
1
V .h .B
3
Trong đó :
B: diện tích đáy.
h = đ dài đ ng cao = đ dài đ
t i tâm hình chóp.
ng cao h t đ nh
Ví d : Cho chóp tam giác đều S.ABC c nh đáy
ng a và c nh bên ng 2a. Tính th tích chóp đều
S.ABC.
A.
a 3 11
.
12
B.
a 3 12
.
11
C.
a3
.
12
D.
a3
.
11
Trang 11
Chú ý:
h i chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều
chân đ ng vuông góc h t đ nh là tâm của đáy.
ng d n
i O là tr ng tâm tam giác ABC. Vì tam giác
h i chóp t giác đều có đáy là hình vuông, chân ABC đều nên SO
ABC .
đ ng vuông góc h t đ nh là giao đi hai đ ng
Xét tam giác ABC đều ta có:
chéo.
2
2a 3 a 3
AO AH
.
3
3 2
3
Trong tam giác vuông SOA
SO 2 SA 2 OA 2
h SO
11a 2
3
a 11
.
3
iện tích tam giác ABC là:
B SABC
a3 3
.
4
V y th tích h i chóp S.ABC là:
1
a 3 11
V SABC .SO
3
12
h n A.
2. Ví
minh
Ví d 1: Cho h i t diện đều ABCD c nh
A.
a3 2
.
12
B.
ng a. Tính th tích h i t diện đều ABCD.
a3 3
.
12
C.
a3 2
.
6
D.
a3
.
6
ng d n
i O là tr ng tâm của ABC , do ABCD là t diện đều nên DO
ABC
Tam giác ABC đều c nh a nên diện tích tam giác ABC là:
SABC
i I là trung đi
a2 3
.
4
AB. Do đáy là tam giác đều nên
Trang 12
OC
2
2 a 3 a 3
CI .
3
3 2
3
Trong tam giác vuông DOC:
DO DC 2 OC 2
a 6
3
V y th tích t diện ABCD là:
1
a3 2
V SABC .DO
3
12
h n A.
Ví d 2: Tính th tích của h i chóp t giác đều có c nh bên
60 .
A. 2a 3 3 .
B. 2a 3 .
C.
ng 2a, góc gi a c nh bên và
2a 3 3
.
3
t đáy
ng
D. 6a 3 .
ng d n
i O là giao đi
hai đ
ng chéo. Vì t giác S.ABCD là t giác đều nên SO
ABCD .
Ta có:
SB
ABCD B
SO
ABCD
Do đó SB, ABCD
SBO 60 .
Xét tam giác SBO vuông t i O.
1
OB SB.cos 60 2 a . a .
2
dài đ
ng cao: SO SB.sin 60 2a.
3
a 3.
2
Xét tam giác ABO vuông t i O: AB AO 2 BO 2 a 2.
iện tích đáy ABCD là:
SABCD AB2 a 2
2
2a 2
V y th tích h i chóp t giác đều S.ABCD là:
1
1
2a 3 3
V .SO.SABCD .2a 2 .a 3
.
3
3
3
h n C.
3. Bài
Câu 1. Cho hình chóp t giác đều S.ABCD có c nh đáy b ng 2a, c nh bên b ng a 3 . Tính th tích
h i chóp S.ABCD.
A.
8a 3
.
3
B.
a3 3
.
3
C.
4a 3
.
3
D.
2a 3
.
3
Trang 13
Câu 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có c nh đáy a và
tích hình chóp S.ABC.
A.
a3 3
.
12
B.
a3 2
.
24
C.
Câu 3. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có c nh đáy
t góc 60 . Tính th tích của h i chóp S.ABC.
A.
a3 3
.
3
B.
a3 3
.
6
C.
t bên h p
i đáy
a3 3
.
24
D.
t góc 60 . Tính th
a3
.
24
ng a, các c nh bên SA, SB, SC đều t o
a3 3
.
9
D.
i đáy
a3 3
.
12
áp án:
1–C
2–C
4: T
1. P
3–D
tích
pháp
Cho hình chóp S.ABC, trên c nh SA, SB, SC
n
t A , B và C .
y Ví d : Cho t diện ABCD có th tích V và các
Khi đó ta có:
VS.A B C SA SB SC
.
.
VS.ABC
SA SB SC
đi
M, N, P th a mãn điều
AN 3AC và AP 4AD .
đ ng
A. VAMNP
V
.
24
iện AM 2AB ,
ệnh đề nào d
iđ y
B. VAMNP 24V.
C. VAMNP 8V.
D. VAMNP
V
.
8
ng d n
Chú ý:
Công th c trên ch áp d ng cho hình chóp tam giác.
T gi thi t ta có:
AM 2AB nên
AB 1
.
AM 2
AN 3AC nên
AC 1
.
AN 3
AP 4AD nên
AD 1
.
AP 4
Áp d ng công th c t ệ th tích ta có:
Trang 14
VA.BCD AB AC AD 1 1 1 1
.
.
.
VA.MNP AM AN AP 2 3 4 24
Suy ra VA.MNP 24.VA.BCD 24V.
h n C.
2. Ví
minh
Ví d 1: Hình chóp S.ABC có M, N, P theo th t là trung đi
SA, SB, SC.
t k
VMNPA BC
. Khi đó
VSABC
giá tr của k là:
A.
8
.
7
B.
7
.
8
C. 8
D.
1
.
8
ng d n
Do M, N, P theo th t là trung đi
SA, SB, SC nên ta có:
SM SN SP 1
.
SA SB SC 2
Áp d ng công th c t ệ th tích ta có:
VSMNP SM SN SP 1 1 1 1
.
.
. . .
VSABC SA SB SC 2 2 2 8
Do đó:
VMNPABC VSABC VSMNP
V
1 7
1 SMNP 1
VSABC
VSABC
VSABC
8 8
7
k .
8
h nB
Ví d 2: Cho hình chóp S.ABC có chiều cao ng 9, diện tích đáy ng 5.
i M là trung đi
SB và N thu c c nh SC sao cho NS 2NC . Tính th tích của h i chóp A.BMNC.
A. V 15.
B. V 5.
C. V 30.
của c nh
D. V 10.
ng d n
T gi thi t ta có
SN 2
SM 1
và
.
SC 3
SB 2
1
Th tích h i chóp VS.ABC .9.5 15.
3
Ta có
VS.AMN SM SN 1
.
VS.ABC SB SC 3
1
VS.AMN VS.ABC
3
1
2
2
VABMNC VS.ABC VS.MNP VS.ABC VS.ABC VS.ABC .15 10
3
3
3
h n D.
Ví d
3: Cho hình chóp S.ABC.
SN 2CN .
i M, N
n
t thu c các c nh SB, SC sao cho SM MB ,
t ph ng (AMN) chia h i chóp thành hai ph n g i V1 VS.AMN và V2 VABCNM .
h ng
đ nh nào sau đ y đ ng
Trang 15
1
B. V1 V2 .
3
A. V1 V2 .
C. V1
1
V2 .
2
D. V1
2
V2 .
3
ng d n
SM 1
.
SB 2
Do SM MB
SN 2CN
SN 2
.
SC 3
Áp d ng công th c t ệ th tích, ta có:
VS.AMN SM SN 1 2 1
.
. .
VS.ABC SB SC 2 3 3
1
VS.AMN .VS.ABC
3
V y V1
VABCNM
2
VS.ABC
3
1
V2 .
2
h n C.
Ví d 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t.
t ph ng đi qua A, B và trung
đi
M của SC.
t ph ng chia h i chóp đ cho thành hai ph n có th tích
V1
V2 . Tính t
V1
.
V2
A.
V1 1
.
V2 4
B.
V1 3
.
V2 8
C.
V1 5
.
V2 8
D.
n
t là V1 , V2
i
V1 3
.
V2 5
ng d n
MN CD N CD , suy ra ABMN là thi t diện của h i chóp.
Ta có VS.ABMN VS.ABM VS.AMN .
VS.ABM SM 1
VS.ABC SC 2
VS.ABM
VS.AMN SM SN 1
.
VS.ACD SC SD 4
Do đó VS.ABMN
1
1
VS.ABC VS.ABCD .
2
4
1
VS.AMN VS.ABCD .
8
1
1
3
VS.ABCD VS.ABCD VS.ABCD .
4
8
8
5
Suy ra VABMNDC VS.ABCD .
8
V y
V1 3
.
V2 5
h n D.
Ví d 5: Cho hình chóp S.ABCD.
i M, N, P, Q n
t là trung đi
tích của h i chóp S.MNPQ và h i chóp S.ABCD ng:
của SA, SB, SC, SD. T
th
Trang 16
A.
1
.
8
B.
1
.
16
C.
1
.
4
D.
1
.
3
ng d n
Ta có:
VS.MNP SM SN SP 1 1 1 1
.
.
. . .
VS.ABC SA SB SC 2 2 2 8
T
VS.MPQ
T
VS.ACD
SM SP SQ 1 1 1 1
.
.
. . .
SA SC SD 2 2 2 8
1
1
1
VS.MNPQ VS.MNP VS.MPQ VS.ABC VS.ACD VS.ABCD
8
8
8
V1 1
.
V2 8
1
V1 V2
8
h n A.
Ví d 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD c nh a, SA vuông góc
i B , D là hình chi u của A
n
t lên SB, SD.
t ph ng AB D
i đáy SA a 2 .
c t SC t i C . Th tích h i
chóp S.AB C D là:
A. V
2a 3 3
.
9
B. V
2a 3 2
.
3
C. V
a3 2
.
9
D. V
2a 3 3
.
3
ng d n
i O là tâm hình vuông ABCD.
I SO
BD
Ta có:
C AI
BC
AB
BC
SA
i có AB
SB
Do đó AC
SC
BC
AB
SC.
AB
SC , t
ng t AD
SC
Xét tam giác SAB có:
SB .SB SA 2
T
ng t
Do đó
SB SA 2 2
SB SB2 3
SC SA 2 2
SC SC 2 4
VS.AB C 2 2 1
. , do tính ch t đ i
VS.ABC 3 4 3
VS.AB C D 1
a3 2
; VS.ABCD
VS.ABCD 3
3
V
ng nên:
a3 2
.
9
h n C.
3. Bài
Trang 17
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc v i m t đáy, SA a , ABC đều c nh 2a. G i M, N
l nl
A.
t thu c các c nh SB, SC sao cho SM MB,SN 2CN . Tính th tích kh i AMNCB.
2 3a 3
.
9
B.
3a 3
.
9
C.
Câu 2. Cho h i chóp t giác đều S.ABCD.
t
th tích của hai ph n h i chóp
A.
1
.
3
B.
t
4 3a 3
.
9
D.
2 3a 3
.
3
t ph ng qua A, B và trung đi
phân chia
i
3
.
8
M của SC. Tính
t ph ng đó.
C.
3
.
5
D.
5
.
8
áp án:
1–A
2-C
PHẦN 4: BÀI T P T N
H P
Câu 1. Cho hình chóp t giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, c nh bên SA vuông góc
v i m t ph ng đáy và SA 2a . Tính th tích V của kh i chóp S.ABCD.
A. V
2a 3
.
6
2a 3
.
4
B. V
Câu 2. Cho t diện ABCD có AD vuông góc
C. V 2a 3 .
i
2a 3
.
3
D. V
t ph ng ABC và AB 3a , BC 4a , AC 5a ,
AD 6a . Th tích h i t diện ABCD là:
A. 6a 3 .
B. 12a 3 .
C. 18a 3 .
D. 36a 3 .
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có c nh bên SA vuông góc i đáy và AB a , AC 2a , BAC 120 .
t ph ng (SBC) t o i đáy
t góc 60 . Tính th tích của h i chóp S.ABC.
A. V
a 3 21
.
14
B. V
a 3 21
.
13
C. V
2a 3 21
.
13
D. V
3.a 3 21
.
14
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t có AB 3a , AD 4a , SA
SC t o
ABCD ,
i đáy góc 45 . Tính th tích h i chóp S.ABCD
A. V 20a 3 .
B. V 20a 3 2.
C. V 30a 3 .
D. V 22a 3 .
Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a , ASB 90 , BSC 120 , ASC 90 . Th tích
kh i chóp S.ABC là:
A.
a3
.
2
B.
a3
.
6
C.
a3 3
.
4
D.
a3 3
.
12
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình ch nh t có AB a , BC 2a .
c nh AB, SH vuông góc
A. V
a3
.
3
i
t ph ng đáy c nh bên SA
B. V
2a 3
.
3
i H là trung đi
a 5
. Tính th tích hình chóp S.ABCD.
2
C. V
2a 3
.
13
D. V
2a 3
.
5
Câu 7. Cho chóp tam giác đều S.ABC c nh đáy b ng a và c nh bên b ng 2a. Tính th tích chóp đều
S.ABC.
Trang 18
A.
a 3 11
.
12
B.
a 3 12
.
11
C.
a3
.
12
D.
a3
.
11
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông t i A và D, c nh bên SD vuông góc
i đáy cho AB AD a , CD 3a , SA a 3 . Th tích h i chóp S.ABCD là:
A.
2a 3
.
3
B.
4a 3
.
3
C.
a3 2
.
3
D.
2a 3 2
.
3
Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông t i B, AB a , ACB 60 , c nh bên SA vuông
góc i t ph ng đáy và SB t o i t đáy
t góc ng 45 . Th tích h i chóp S.ABC là:
A.
a3 3
.
6
B.
a3 3
.
18
C.
a3 3
.
9
D.
a3 3
.
12
Câu 10. Cho h i chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
i B, D n
t là trung đi
của
SB và SD.
t ph ng AB D c t SC t i C . Tính t
th tích của hai h i chóp S.AB C D và S.ABCD .
A.
1
.
2
B.
1
.
4
C.
1
.
6
D.
1
.
8
áp án:
1-D
2-B
3-A
4-A
5-D
6-B
7-A
8-D
9-B
10 - C
Trang 19
