Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7

Tốn Họa tổng hợp

Trang 2

[Document title]

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TOÁN 7
ĐỀ SỐ 1. HUYỆN ĐỨC PHỔ - NĂM 15 – 16

Câu 1: (5 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức P  a 

1
1
1
a
, với a 
.
2014
2016
2015

b) Tìm số nguyên x để tích hai phân số

6
x 1
và
là một số nguyên.
x 1
3

Câu 2: (5 điểm)
a) Cho a  2; b  2 . Chứng minh ab  a  b
b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích của hình thứ nhất và diện tích của hình thứ hai tỉ lệ
với 4 và 5, diện tích hình thứ hai và diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 7 và 8, hình thứ nhất và
hình thứ hai có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là 27 cm, hình thứ hai và
hình thứ ba có cùng chiều rộng, chiều dài của hình thứ ba là 24 cm. Tính diện tích của mỗi
hình chữ nhật đó.
Câu 3: (3 điểm)
Cho ∆DEF vuông tại D và DF  DE , kẻ DH vng góc với EF (H thuộc cạnh EF). Gọi M
là trung điểm của EF.
 E
 F

a) Chứng minh MDH

b) Chứng minh EF  DE  DF  DH
Câu 4: (2 điểm)
Cho các số 0  a1  a2  a 3  ....  a15 . Chứng minh rằng

a1  a2  a 3  ...  a15
a5  a10  a15

5

Câu 5: (5 điểm)
 và ACB
 cắt nhau tại I (E, F lần
  120 . Các tia phân giác BE, CF của ABC
Cho ∆ABC có A
  CIN

  300 .
lượt thuộc các cạnh AC, AB). Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho BIM
.
a) Tính số đo của MIN

b) Chứng minh CE + BF < BC
------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.

2

Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !


Tốn Họa tổng hợp

Trang 3

[Document title]

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN 7
HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu
1

NỘI DUNG ĐÁP ÁN
a) Tính giá trị biểu thức P  a 

Thay a 

1
1
1
a
, với a 
.
2014
2016
2015

1
1
1
1
1



vào biểu thức P 
2015 2014
2015 2016
2015

Ta có P 
2.5 đ

1
1

2014 2016

P

2016  2014
2

2014.2016
2014.2016

Đặt A 

0.5

0.5

0.5

1
1

1007.2016 2030112

b) Tìm số nguyên x để tích hai phân số

2.5 đ

0.25

1
1

1
1



2014 2015 2015 2016

P

P 

Điểm

0.75
6
x 1
và
là một số nguyên.
x 1
3

6
x 1

x 1
3



2

x 1

x 1
1



2(x  1)
x 1



2x  2
x 1



2(x  1)  4
4
 2
x 1
x 1

0.25

0.25

0.25

0.25

Để A nhận giá trị nguyên thì x  1 là Ư(4) = 1; 2; 4
Suy ra x  0; 2;1; 3; 3; 5

3

Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !

0.5


Tốn Họa tổng hợp

Trang 4

[Document title]
2

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TOÁN 7

2. a) Cho a  2; b  2 . Chứng minh ab  a  b
0.5

1 1
Từ a  2  
a 2
b2
2đ
Suy ra

1 1

b 2

0.5

1 1
a b
 1
1
a b
ab

0.5
0.5

Vậy ab  a  b
b)
Gọi diện tích ba hình chữ nhật lần lượt là S1, S 2 , S 3 , chiều dài, chiều rộng
3đ

0.5

tương ứng là d1, r1; d2 , r2 ; d3 , r3 theo đề bài ta có:

S1
S2



4 S2
7
;
 và d1  d2 ; r1  r2  27; r2  r3 , d3  24
5 S3
8

0.5
0.25

Vì hình thứ nhất và hình thứ hai cùng chiều dài

S1
S2



r
r
r  r2
4 r1
27
  1  2  1

3
5 r2
4
5
9
9

0.25
0.25

Suy ra chiều rộng r1  12cm, r2  15cm
Vì hình thứ hai và hình thứ ba cùng chiều rộng

S2
S3



7d
7 d2
7.24

 d2  3 
 21cm
8 d3
8
8

Vậy diện tích hình thứ hai S 2  d2r2  21.15  315 cm 2
Diện tích hình thứ nhất S1 
Diện tích hình thứ ba S 3 

4

4
4

S 2  .315  252 cm 2
5
5

8
8
S 2  .315  360 cm 2
7
7

0.25
0.25

0.25
0.25

0.25

Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !


Tốn Họa tổng hợp

Trang 5

[Document title]
3đ

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN 7
F

K
I
M
H

D

E

0.5

 E
 F

a) Chứng minh MDH

Vì M là trung điểm của EF suy ra MD  ME  MF
  MDE

 MDE cân tại M  E
 F
 cùng phụ với E

Mà HDE

0.25
0.25

  MDE

  HDE

Ta có MDH

0.25

 E
 F

Vậy MDH

0.25

b) Chứng minh EF  DE  DF  DH
Trên cạnh EF lấy K sao cho EK  ED , trên cạnh DF lấy I sao cho DI  DH
Ta có EF  DE  EF  EK  KF

0.25

DF  DH  DF  DI  IF

Ta cần chứng minh KF  IF

0.25

  EKD

- EK  ED  DEK cân  EDK

  KDI

  EKD
  HDK
  900
- EDK
  HDK

 KDI

5

0.25

0.25

Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !


Tốn Họa tổng hợp

[Document title]

Trang 6

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TOÁN 7

- DHK  DIK (c-g-c)

4

  DHK

  900
 KID

0.25

Trong ∆KIF vuông tại I  KF  FI điều phải chứng minh

0.25

Ta có a1  a2  a 3  a 4  a 5  5a5

(2đ)

a6  a 7  a 8  a 9  a10  5a10

0.5

a11  a12  a13  a14  a15  5a15

0.5
0.5

Suy ra a1  a2  ........  a15  5(a5  a10  a15 )
Vậy

a1  a2  a 3  ...  a15
a5  a10  a15

5

5

0.5

A

(5đ)
120°

F

E

I
B

M

N

C

0.5

- Vẽ hình đúng, đủ, chính xác.

0.5

.
a) Tính số đo của MIN

0.5

 

Ta có ABC  ACB  180  A  60



0.5

1 1
B  C  300
2
2
  1500
BIC

  CIN
  300  MIN
  900
Mà BIM

0.5
0.25

0.25

b) Chứng minh CE  BF  BC
  1500  FIB

  EIC
  300
- BIC

6

Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !


Tốn Họa tổng hợp

[Document title]

Trang 7

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TOÁN 7

Suy ra BFI  BMI (g-c-g)  BF  BM

0.5

- CNI  CEI ( g-c-g)  CN  CE

0.5

Do đó CE  BF  BM  CN  BM  MN  NC  BC

0.5

Vậy CE  BF  BC

0.25
0.25

- Một bài tốn có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám
khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.

7

Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !


Tốn Họa tổng hợp

Trang 8

[Document title]

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TOÁN 7
ĐỀ SỐ 2. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN

Câu 1.
3
3

11 12  1, 5  1  0, 75
a. Thực hiện phép tính:
5
5
5

0,265  0, 5  
2, 5   1,25
11 12
3
0, 375  0, 3 

b. So sánh:

50  26  1

và

168 .

Câu 2.
a. Tìm x biết: x  2  3  2x  2x  1
b. Tìm x ; y  Z biết: xy  2x  y  5
c. Tìm x; y; z biết: 2x  3y ; 4y  5z và 4x  3y  5z  7
Câu 3.
a. Tìm đa thức bậc hai biết f x   f x  1  x .
Từ đó áp dụng tính tổng S  1  2  3  ....  n .
b. Cho

2bz  3cy
3cx  az
ay  2bx
x
y
z



Chứng minh: 

.
a
2b
3c
a
2b
3c

Câu 4.

  90o ), đường cao AH. Gọi E; F lần lượt là điểm đối xứng của H
Cho tam giác ABC ( BAC
qua AB; AC, đường thẳng EF cắt AB; AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:
a. AE  AF ;
;
b. HA là phân giác của MHN

c. CM //EH ; BN //FH .

------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.

8

Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !


Tốn Họa tổng hợp

Trang 9

[Document title]

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TOÁN 7
HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu

Ý
a. 0,5
điểm

Nội dung
3
3
3
3
3 3 3

 
 
A = 8 10 11 12  2 3 4
53
5
5
5
5 5 5



 
 
100 10 11 12
2 3 4

1
1 1 1
1
1
1
3     
3    
 8 10 11 12 
 2 3 4 
A

 1
1 1 1
53
1
1
 5     5    
 10 11 12 
 2 3 4 
100

0.25

165  132  120  110 


3 
 3

1320


 66  60  55  5
53


 5


100
660

Câu 1
1,5
điểm

3.


263
1320

53
49
 5.

100
660



3
5

263
3.
3
3945
3 1881
1320

 
 
1749  1225 5 5948 5
29740
3300

b. 1
điểm

Ta có:
Vậy:

a. 1
điểm

50  49  7 ;

50  26  1  7  5  1  13  169  168

3
 x  2 ta có: 2  x  2x  3  2x  1  x  2 (loại)
2

Câu 2
Nếu x 

4
điểm

3
4
ta có: 2  x  3  2x  2x  1  x 
2
5

Vậy: x  6 ; x 
b. 1.5

26  25  5

Nếu x  2 ta có: x  2  2x  3  2x  1  x  6
Nếu

9

Điểm

4
5

Ta có: xy  2x  y  5  x (y  2)  (y  2)  3

Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !

0.25

0.5
0,5
0.25
0.25

0.25

0.25
0. 5


Tốn Họa tổng hợp

Trang 10

[Document title]

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TOÁN 7
 (y  2)(x  1)  3.1  1.3  (1).(3)  (3).(1)

điểm

c. 1.5
điểm

y 2

3

1

1

3

x 1

1

3

3

1

x

2

4

2

0

y

1

1

3

5

0.5

Từ: 2x  3y; 4y  5z  8x  12y  15z 

0. 5

x
y
z
4x
3y
5z
4x  3y  5z
7








 12
1
1
1
1
1
1
1 1 1
7
 
8
12
15
2
4
3
2 4 3
12

0.5

 x  12 

a. 0.5
điểm

0. 5

1 3
1
1
4
 ; y  12.  1 ; z  12 

8 2
12
15 5

0. 5

Đa thức bậc hai cần tìm có dạng: f x   ax 2  bx  c (a  0)
Ta có : f x  1  a x  1  b x  1  c .
2



1

a



2

a

1


2
f x   f x  1  2ax  a  b  x  



b

a

0
1



b


2



Vậy đa thức cần tìm là: f x  
Câu 3
1.5
điểm

0.25

1 2 1
x  x  c ( c là hằng số tùy ý).
2
2

Áp dụng:
+ Với x  1 ta có : 1  f 1  f 0.
+ Với x  2 ta có : 1  f 2  f 1.
0.25
………………………………….
+ Với x  n ta có : n  f n   f n  1.
 S  1  2  3    n  f n   f 0 
b. 1
điểm

10

n n  1
n2 n
 c c 
2
2
2

2bz  3cy
3cx  az
ay  2bx




a
2b
3c

Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !


Tốn Họa tổng hợp

[Document title]

Trang 11

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TOÁN 7

2abz  3acy
6bcx  2abz
3acy  6bcx


2
2
a
4b
9c 2
2abz  3acy  6bcx  2abz  3acy  6bcx


0
a 2  4b 2  9c 2

 2bz  3cy  0 
 3cx  az  0 
Câu 4
3
điểm

z
y

(1)
3c
2b

0.25

0.25

x
z
x
y
z

(2); Từ (1) và (2) suy ra: 

a
3c

a
2b
3c
0.25

Hình
vẽ
0. 5 đ

a. 1
điểm

b. 1
điểm

c. 1
điểm

Vì AB là trung trực của EH nên ta có: AE  AH (1)

0.25

Vì AC là trung trực của HF nên ta có: AH  AF (2)

0.25

Từ (1) và (2) suy ra: AE  AF

0. 5

  MB là phân giác ngồi
Vì M  AB nên MB là phân giác EMH
góc M của tam giác MNH

0.25

  NC là phân giác ngồi góc
Vì N  AC nên NC là phân giác FNH
N của tam giác MNH

0.25

Do MB; NC cắt nhau tại A nên HA là phân giác trong góc H của tam
.
giác MNH hay HA là phân giác của MHN

0.5

  HB là phân giác
Ta có AH  BC (gt) mà HM là phân giác MHN
ngồi góc H của tam giác HMN

MB là phân giác ngồi góc M của tam giác HMN (cmt)  NB là

11

0.5

Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !

0.25


Tốn Họa tổng hợp

[Document title]

Trang 12

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN 7

phân giác trong góc N của tam giác HMN
 BN  AC ( Hai đường phân giác của hai góc kề bù thì vng góc
với nhau).  BN // HF ( cùng vng góc với AC)

0.25

0.25

Chứng minh tương tự ta có: EH //CM

- Một bài tốn có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo
cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.

12

Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !


Tốn Họa tổng hợp

Trang 13

[Document title]

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TOÁN 7
ĐỀ SỐ 3. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN

Bài 1 ( 2,0 điểm). Tính hợp lý các biểu thức sau:
1 5
1 5
a) 27   13 
4 8
4 8
b) 2

c)

1 3
4
 
2 4
9

22.10  23.6
22.15  24

Bài 2 ( 2,5 điểm). Tìm x biết:
a) 3(x  2) 
b) x 

2
4
5

1
5  7
3

c) (2x  1)7  (2x  1)5
Bài 3 (1,5 điểm):
Ba đội cùng chuyển một khối lượng gạch như nhau. Thời gian để đội thứ nhất, đội
thứ hai và đội thứ ba làm xong công việc lần lượt là 2 giờ, 3 giờ, 4 giờ. Tính số người tham
gia làm việc của mỗi đội, biết rằng số người của đội thứ ba ít hơn số người của đội thứ hai
là 5 người.
Bài 4 (3,5điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A với

AB
3
 và BC  15 cm . Tia phân giác góc C cắt
AC
4

AB tại D. Kẻ DE  BC (E  BC)
a) Chứng minh AC  CE .
b) Tính độ dài AB; AC.
.
c) Trên tia AB lấy điểm F sao cho AF  AC . Kẻ tia Fx  FA cắt tia DE tại M. Tính DCM

Bài 5 (0,5điểm):
Tìm giá trị lớn nhất của biêu thức: A = x  x  2

------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.

13

Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !


Tốn Họa tổng hợp

Trang 14

[Document title]

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TOÁN 7
HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu
1
2,0đ

Nội dung

1 5
1 5 5
1
1
5 35

a ) 27   13   (27  13 )  14. 
4 8
4 8 8
4
4
8
4

b )2

c)

1

1 3
4
1
2 1 2 7
 
2    
2 4
9
4
3 2 3 6

22.10  23.6 23.5  23.6
23 (5  6)
2.11




2
2
4
2
4
2
2
11
2 .15  2
2 .15  2
2 (15  2 )

a) 3(x  2) 

2,5đ

x 2 

0,75

0,75

0,5

2
4
5

3(x  2)  4 

3(x  2) 

Điểm

2
5

0,25

18
5

0,25

6
5

0,25

x

16
5

x

1
5  7
3

x

1
 12
3

0,25

x

1
1
 12 hoặc x   12
3
3

0,25

x 

0,25

35
37
hoặc x  
3
3

0,5

(2x  1)7  (2x  1)5





(2x  1)5 (2x  1)2  1  0

14

0,25

Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !


Toán Họa tổng hợp

[Document title]
2x  1  0

 2x  1  1 

 2x  1  1
 
3

1,5đ

Trang 15

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN 7

x  1

2

 x  1

 x  0


Gọi số người tham gia làm việc của đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba
lần lượt là x; y; z (giờ).

0,25

0,25

ĐK: x ; y; z  0
Cùng một khối lượng công việc, số người tham gia và thời gian làm việc
tỷ lệ lệ nghịch.
Theo bài ra ta có: 2x  3y  4z và y – z  5
y
z
y z
5
 

 60
1

1
1 1
1

3
4
3 4
12
y  20, z  15, x  30 (thoả mãn điều kiện bài toán)

4

0,5

0,25

0,25

Vậy số người tham gia làm việc của đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba
lần lượt là 30 người, 20người, 15 người

0,25

Vẽ hình, ghi GT, KL đúng :

0,5đ

3,5đ

a) Chứng minh được ACD  ECD ( cạnh huyền- góc nhọn)

 AC  CE (hai cạnh tương ứng)

15

1
0,5

Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !


Tốn Họa tổng hợp

[Document title]

Trang 16

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TOÁN 7

b)

AB
3
AB
AC
 (gt ) 

AC
4
3
4



AB 2
AC 2
AB 2  AC 2
BC 2
152




9
9
16
9  16
25
25

0,25

0,5

AB 2  9.9  81  AB  9cm
AC 2  9.16  144  AC  12cm

0,25

c) Kẻ Cy  Fx cắt nhau tại K
  900

Ta thấy AC  AF  FK  CK  CE và ACK

0,25

Chứng minh được CEM  CKM ( cạnh huyền- cạnh góc vng)

  KCM
 (hai góc tương ứng)
 ECM

0,25

  DCE
  ECM
  1 ACK
  1  90  45
Mà DCM
2
2
5

Xét các trường hợp:

0,5đ

+ TH1 : x  2  A  x  (x  2)  2
+TH2 : 0  x  2  A  x  x  2  2x  2  2

0,25

+ TH3 : x  0  A  x  x  2  2  2
 Với mọi giá trị của x thì A  2
Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 2 khi x  2

0,25

- Một bài tốn có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo
cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.

16

Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !


Tốn Họa tổng hợp

Trang 17

[Document title]

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TOÁN 7
ĐỀ SỐ 4. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN

Câu 1(5 điểm):
a) Cho biểu thức: P  x  4xy  y . Tính giá trị của P với x  1, 5; y  0, 75

b) Rút gọn biểu thức:

A

212.35  46.81

2 .3
2

6

 8 4.35

Câu 2 (4điểm):
a) Tìm x, y, z, biết: 2x  3y; 4y  5z và x  y  z  11
b) Tìm x, biết: x  1  x  2  x  3  4x
Câu 3(3 điểm). Cho hàm số: y  f x   4x 3  x
a) Tính f 0, f 0, 5
b) Chứng minh: f a   f a .
Câu 4: (1,0 điểm): Tìm cặp số nguyên x ; y  biết:

x  y  x .y

Câu 5: (6 điểm):Cho ABC có góc A  90 . Vẽ ra ngồi tam giác ABC các tam giác vng
cân tại A là ABM và ACN
a) Chứng minh rằng: AMC  ABN
b) Chứng minh: BN  CM;
c) Kẻ AH  BC (H  BC) . Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN.
Câu 6 : (1 điểm):Cho ba số a, b, c thõa mãn: 0  a  b  1  c  2 và a  b  c  1 . Tìm giá
trị nhỏ nhất của c .

------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.

17

Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !


Tốn Họa tổng hợp

Trang 18

[Document title]

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN 7
HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu

Nội dung

Điểm

a) Ta có: x  1, 5  x  1, 5 hoặc x  1, 5
+) Với x  1, 5 và y  0, 75 thì
Câu 1

P  1, 5  4.1, 5 0, 75  0, 75  1, 5 1  3  6  0, 75  5,25

(5điểm)

+) Với x  1, 5 và y  0, 75 thì

1,5

1,5

P  1, 5  4 1, 5. 0, 75  0, 75  1, 5 1  3  0, 75  6, 75

212.35  212.34
212.34 (3  1) 1
 12 5

b) A 
= 12 6
6
2 .3  212.35
2 .3 (3  1) 3
22.3  8 4.35
212.35  46.81

 

a) 2x  3y; 4y  5z




x
y y
z
x
y y
z

 ;  
 ; 
3 2 5 4
15 10 10 8

2
1

x
y
z
x y z
11 1

 


15 10 8 15  10  8
33 3

 x  5; y 
Câu 2

10
8
;z 
3
3

1

(4 điểm)
b) x  1  x  2  x  3  4x (1)
Vì VT  0  4x  0 hay x  0 , do đó:

1

x  1  x  1; x  2  x  2; x  3  x  3
(1)  x  1  x  2  x  3  4x  x  6

a) f 0  0
Câu 3
(3điểm)

1

 1
1 1 1
f (0, 5)  4        0
 2 
2 2 2

1

b) f a   4 a   a  4a 3  a

0,5

3

3

18

1

Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !


Tốn Họa tổng hợp

Trang 19

[Document title]

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TOÁN 7
f (a )   4a 3  a   4a 3  a


0,5

 f a   f a 

Câu 4

x  y  x .y  xy  x  y  x (y  1)  y  x 

(1 điểm)

y

y 1

vì x  z  y  y  1  y  1  1 y  1  1 y  1 ,
0,5

do đó y  1  1  y  2 hoặc y  0
Nếu y  2 thì x  2
Nếu y  0 thì x  0

0,5

Vậy các cặp số nguyên (x;y) là: (0,0) và (2;2)

Câu 5
(6 điểm)

a) Xét AMC và ABN , có:
AM  AB ( AMB vuông
cân)

1,0

AC  AN ( ACN vuông
cân)

0,5

  NAC

MAC

)
(  90  BAC

0,5

Suy ra AMC ABN
(c - g - c)

Hình vẽ 0,5 đ

b) Gọi I là giao điểm của BN với AC, K là giao điểm của BN với MC.
Xét KIC và AIN , có:
  KCI
 (AMC  ABN)
ANI
  KIC
 (đối đỉnh)
AIN

  NAI
  90 , do đó: MC  BN
 IKC

19

1
1
0,5

Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cơ giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Tốn 7 !

Tốn Họa tổng hợp

Trang 20

[Document title]

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TOÁN 7

c) Kẻ ME  AH tại E, NF  AH tại F. Gọi D là giao điểm của MN và
AH.

 
  90 )
- Ta có: BAH  MAE  90 (vì MAB
 
  BAH

Lại có MAE  AME  90 , nên AME
Xét MAE và ABH , vng tại E và H, có:
  BAH
 (chứng minh trên)
AME
MA  AB

Suy ra MAE  ABH (cạnh huyền-góc nhọn)
0,25

 ME  AH

- Chứng minh tương tự ta có AFN  CHA
0,25

 FN  AH

Xét MED và NFD , vuông tại E và F, có:
ME  NF( AH)

  FND
 (phụ với MDE
 và FDN
 , mà MDE
  FDN
 )
EMD

0,25

 MED  NFD  BD  ND

Vậy AH đi qua trung điểm của MN.
Câu 6
(1 điểm)

0,25

Vì: 0  a  b  1  c  2 nên
0  a b 1 c  2  c  2 c  2 c  2
 0  4  3c  6 (vì a  b  c  1 )

Hay 3c  2  c  

0,5

2
.
3

Vậy giá trị nhỏ nhất của c là: 

2
5
khi đó a  b 
3
3

0,5

- Một bài tốn có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo
cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.

20

Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !


Tốn Họa tổng hợp

[Document title]

Trang 21

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TOÁN 7
ĐỀ SỐ 5. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN

Bài 1: (4 điểm)
Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì: 3n 2  2n 2  3n  2n chia hết cho 10.
Bài 2: (3điểm)
Cho 2 đa thức : P x   1  x  x 2  x 3  x 4  ...  x 2009  x 2010 và

1
1
Q x   1  x  x 2  x 3  x 4  ...  x 2009  x 2010 . Giá trị của biểu thức P    Q   có dạng
 2 
 2 
biểu diễn hữu tỉ là

a
; a,b   ; a,b là 2 số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh a  5
b

Bài 3: (3 điểm)
Cho dãy tỉ số bằng nhau:
2a  b  c  d a  2b  c  d
a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b

c
d
Hãy tìm giá trị của biểu thức: M 

a b b c c d d a



c d d a a b b c

Bài 4: (4điểm)
Cho M 

a
b
c


với a, b, c > 0.
a b b c c a

a) Chứng minh M  1.
b) Chứng tỏ rằng M không phải là số nguyên.
Bài 5: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy
điểm E sao cho CE  BD . Gọi I là trung điểm của DE. chứng minh ba điểm B, I, C thẳng
hàng.
Bài 6: (2,5 điểm)
  100 , tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Chứng minh:
Cho ABC cân tại A, có A

AD  BD  BC .

------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.

21

Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !


Tốn Họa tổng hợp

[Document title]

Trang 22

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TOÁN 7
HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài

Đáp án



Điểm

 

1(4điểm)

3n 2  2n 2  3n  2n  3n 2  3n  2n 2  2n



1,0đ

 10.3n  5.2n

1,5đ

Vì n nguyên dương nên 2n  2  5.2n 10 và 10.3n 10

1,0đ

Vậy: 3n 2  2n 2  3n  2n 10

0,5đ
3

5

2009

1
1
1 1
1
1
Đặt A  P    Q    2           ...   
 2 

 2 
 2   2 
 2 
 2 
3

2007

1 1
1
suy ra 4A  10        ...   
 2   2 
 2 

(2)

8

2009

2 (3điểm)

( 1)

1
Từ ( 1) và ( 2) suy ra 3A  8   
 2 

A

1
2009

2
3



22012  1 a

b
3.22009

( 2 điểm)

3,0đ

Ta thấy: 22012  1  41006  1 3 ; 22012 – 1 và 22009 là 2 số nguyên tố cùng nhau
nên 22012 – 1  3a.
3a  22012  1  16503  1 . Vì 16503 có chữ số tận cùng là 6 nên 3a có chữ số
tận cùng là 5 suy ra số này chia hết cho 5. 3,5 là 2 số nguyên tố cùng nhau
nên a  5 .

Từ

2a  b  c  d a  2b  c  d
a  b  2c  d a  b  c  2d




a
b
c
d

2a  b  c  d
a  2b  c  d
1 
 1=
a
b
a  b  2c  d
a  b  c  2d
1 
1
c
d

3 (3điểm)

=>

=>

a b c d a b c d a b c d
a b c d



a

b
c
d

Nếu a  b  c  d  0 thì a  b  c  d , khi đó: M  1  1  1  1  4

22

1,0đ

0,5đ
0,5đ

Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !


Tốn Họa tổng hợp

[Document title]

Trang 23

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TOÁN 7

Nếu a  b  c  d  0 thì a  b   c  d ; b  c   d  a ;
c  d   a  b ; d  a   b  c .

1,0đ

Khi đó: M  1  1 1  1  4.

a) Vì a, b, c  0 nên:
=> M 

a
a
b
b
c
c

;

;

a b a b c b c a b c c a a b c

a
b
c
a b c



1
a b b c c a a b c

1,0đ

1,0đ

4 (4điểm)

Vậy: M  1 (1)

 a
b
c   b
c
a 
 + 





b) Mà: 
a  b b  c c  a  a  b b  c a  c 
 a
b   b
c   c
a 
  
  
 = 3



= 
a  b a  b  b  c b  c  c  a c  a 

1,0đ

 b
c
a 
 > 1 (tương tự câu a)


Vì 
a  b b  c a  c 
 a
b
c 
  2 .


Suy ra: M = 
a  b b  c c  a 

0,5đ
(2)

Từ (1) và (2) suy ra: 1  M  2 nên M không phải là số nguyên.

0,5đ

Học sinh vẽ hình đúng

5 (3,5 điểm)

A

D

0,5đ

B

F

I

C

E

23

Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !


Tốn Họa tổng hợp

Trang 24

[Document title]

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TOÁN 7

Kẻ DF //AC (F thuộc BC)

  ACB
 (2 góc đồng vị)
DFB
  ACB
 (tam giác ABC cân)
Mà ABC

1,5đ

  ABC
  DBF cân tại D
DFB
DB  DF , mà DF  CE (gt)
 DF  CE
 IDF  IEC (c-g-c)
  EIC

DIF

0,5đ
0,5đ

Vậy: 3 điểm B, I, C thẳng hàng (vì 3 điểm D, I, E thẳng hàng)

0,5đ

HS vẽ hình đúng
A
D

6 (2,5 điểm)

B

E F

0,5đ

C

Trên cạnh BC lấy 2 điểm E,F sao cho:
BE  BA và BF  BD .

0,5đ

HS chứng minh được: AD  DE
HS chứng minh được: DFE cân tại D
Suy ra: DE  DF

0,5đ

HS chứng minh được: DFC cân tại F
Suy ra: DF  FC .
Suy ra: DE  FC

1,0đ

Suy ra: AD  BD  BC .

- Một bài tốn có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo

cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.

24

Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cơ giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Tốn 7 !


Tốn Họa tổng hợp

[Document title]

Trang 25

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TOÁN 7
ĐỀ SỐ 6. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN

Bài 1 (4 điểm):
a) So sánh hai số:

– 5

39

và  – 2

91

b) Chứng minh rằng: Số A  11n 2  122n 1 chia hết cho 133 , với mọi n N
Bài 2 (4 điểm):
a) Tìm tất cả các cặp số x ; y  thỏa mãn: 2x  y  7 

2012

 x 3

2013

0

b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1  2  3  . . .  n  aaa
Bài 3 (4 điểm): Ba lớp 7 ở trường K có tất cả 147 học sinh. Nếu đưa

1
số học sinh của lớp
3

1
1
số học sinh của lớp 7A2 và số học sinh của lớp 7A3 đi thi học sinh giỏi cấp huyện
4
5
thì số học sinh cịn lại của ba lớp bằng nhau. Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường
K.

7A1 ,

  3B
  6C
.
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC có A

a) Tính số đo các góc của tam giác ABC.
b) Kẻ AD vng góc với BC (D thuộc BC). Chứng minh: AD  BD  CD.
Bài 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia
CA lấy điểm N sao cho AM  AN  2AB.
a) Chứng minh rằng: BM  CN
b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của góc BAC cắt nhau tại K. Chứng minh
rằng: KC  AC
------------------------------------------Hết--------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

25

Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cơ giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Tốn 7 !


Tốn Họa tổng hợp

Trang 26

[Document title]

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TOÁN 7
HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài

Đáp án

Điểm

a) So sánh hai số:  – 5 và  – 2
39

91

2,0đ

 

 12513

0,75đ

 

 12813

0,75đ

13

Ta có: (5)39  539   53

13

(2)91  291   27

Ta thấy: 12513  12813  12513  12813  (5)39  (2)91
b) Chứng minh: Số A  11n2  122n1 chia hết cho 133, với mọi n  

1
4
điểm

 

Ta có: A  11n 2  122n 1  112  11n  12  122

n



2,0đ

 121.11n  12.144n

 (133  12)  11n  12.144n  133.11n  12.11n  12.144n

 133.11n  12. 144n  11n

0,5đ

1,0đ



Ta thấy: 133.11n 133

144

n







 11n (144  11)  133  12. 144n  11n 133



0,5đ



Do đó suy ra: 133.11n  12. 144n  11n chia hết cho 133
0,5đ
n 2

Vậy: số A  11

2n 1

 12

chia hết cho 133, với mọi n  

a) Tìm tất cả các cặp số (x; y):

2,0đ

Ta có: 2012 là số tự nhiên chẵn  (2x  y  7)2012  0
và x  3  0  x  3

2013

0

0,5đ

2
Do đó, từ 2x  y  7   x  3
0
4
điểm
2012
2013
suy ra: 2x – y  7   0 và x  3
0
2012

2013

 2x – y  7  0 (1) và x – 3  0 (2)
Từ (2)  x  3

26

0,5đ

0,5đ
0,5đ

Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !