CHUYÊN đề TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LỚP 8

CHUYÊN ĐỀ : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
A

ab
4a  b 2

Bài 1: Cho : 4a  b  5ab và 2a  b  0 , Tính giá trị của :
HD :
2
2
2
2
 4a  b   a  b   0
Từ : 4a  b  5ab � 4a  4ab  ab  b  0 �
TH 1: 4a  b  0 � 4a  b ( mâu thẫn vì 2a > b)
a2
1
a  b  0 � a  b  A  2

2
4a  a
3
TH 2:
a b
A
2
2
a b
Bài 2: Cho 3a  3b  10ab và b  a  0 , Tính
HD:
3a 2  3b 2  10ab � 3a 2  9ab  ab  3b 2  0 �  a  3b   3a  b   0

Từ:
TH 1: a  3b  0 � a  3b ( mâu thuẫn vì b > a > 0)
a  3a 1
3a  b  0 � 3a  b  A 

a  3a 2
TH 2:
3x  2 y
A
9 x 2  4 y 2  20 xy  2 y  3 x  0 
3x  2 y
Bài 3: Cho
, Tính
2

HD:
Từ:

2

9 x 2  4 y 2  20 xy �  x  2 y   9 x  2 y   0

TH1:

x  2 y  A 

3x  x 1

3x  x 2

TH2: 9 x  2 y (Mâu thuẫn vì 2y < 3x < 0)
Bài 4: Cho
HD:
Từ

2

x 2  2 y 2  xy ,  y �0, x  y �0 

A

,Tính

x y
x y

x 2  2 y 2  xy � x 2  xy  2 y 2  0 �  x  2 y   x  y   0

TH1:

x  2 y  0 � x  2 y  A 

2y  y 1

2y  y 3

TH2: x  y  0 ( mâu thuẫn vì x + y # 0 )
A

x y

x y

Bài 5: Cho x  y  0 và 2 x  2 y  5 xy , Tính
HD:
2 x 2  2 y 2  5 xy � 2 x 2  5 xy  2 y 2  0 �  x  2 y   2 x  y   0
Từ:
2y  y
x  2 y  A 
3
2
y

y
TH1:
TH2: 2x  y (Mâu thuẫn vì: x > y > 0)
2

2

A

x 2  2 xy
x 2  y 2 , x, y �0

Bài 6: Cho 3 x  y  3z và 2 x  y  7 z , Tính
HD:
3x  y  3z
�
�x  2 z
4 z 2  12 z 2 8



A


�
�
2
2
2
x

y

7
z
y

3
z
4
z

9
z
13
�
�
Từ gt ta có:

1
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


P

1
1
 2
y  xy x  xy

Bài 7: Cho xy  1 , Tính
HD:
 x  y
1
1
x  y
P



1
y  y  x  x  x  y  xy  x  y  1 x  y 
Ta có:
x
2x  3y
A

y2
x6

Bài 8: Cho 3 y  x  6 , Tính giá trị của
2

HD:
Ta có:

3 y  x  6  x  3 y  6  A 
A

3 y  6 2  3 y  6  3 y

 3  1  12
y2
3y  6  6

2015a
b
c


ab  2015a  2015 bc  b  2015 ac  c  1

Bài 9: Cho abc=2015, Tính
HD :
a 2bc
b
c
A



2
ab  a bc  abc bc  b  abc ac  c  1
2
a bc
b
c
ac  c  1




1
ab  1  ac  c  b  c  1  ac  ac  c  1 ac  c  1
a
b
2c
B


ab  a  2 bc  b  1 ac  2c  2
Bài 10: Cho abc=2, Tính
HD :
a
b
abc 2
a
b
abc 2
B






1
ab  a  abc bc  b  1 ac  abc 2  abc a  b  1  bc  bc  b  1 ac  1  bc  b 
a
b
c
A


ab  a  1 bc  b  1 ac  c  1
Bài 11: Cho abc=1, Tính
HD :
a 2bc
b
c
a 2bc
b
c
A





1
2
ab  a bc  abc bc  b  abc ac  c  1 ab  1  ac  c  b  c  1  ac  ac  c  1

a
b
2012c
B


ab  a  2012 bc  b  1 ac  2012c  2012
Bài 12: Cho abc= - 2012, Tính
HD :
a
b
abc 2
a
b
abc 2
B





1
ab  a  abc bc  b  1 ac  abc 2  abc a  b  1  bc  bc  b  1 ac  1  bc  b 
1
1
1


1
1


x

xy
1

y

yz
1

z

zx
Bài 13: Chứng minh rằng nếu xyz=1 thì
HD :

xyz
xyz
1
xyz
xyz
1





 1  VP
2

xyz  x yz  xy xyz  y  yz 1  z  zx xy  z  xz  1 y  xz  1  z  1  z  zx
2010 x
y
z


1
xy

2010
x

2010
yz

y

2010
xz

z

1
Bài 14: Cho xyz=2010, CMR:
VT 

HD :

2
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713

VT 

x 2 yz
y
z


1
2
xy  x yz  xyz yz  y  xyz xz  z  1

16a 2  40ab
a 10
A

8a 2  24ab
Bài 15: Cho b 3 , Tính
HD :
100 2
10
50
16.
b  40. b 2
a 10
10
9
3
  a  b  A 

 9 5
100 2
10 2 10
b 3
3
8.
.b  24. .b
9
3
9
3
3
3
Bài 16: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và a  b  c  0 , CMR: a  b  c  3abc
HD :
3
a  b  c �  a  b   c 3 � a 3  b3  3ab  a  b   c 3 � a 3  b3  c 3  3abc
Ta có :
3
3
3
Bài 17: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và a  b  c  3abc , CMR: a  b  c  0
HD :
a 3  b3  c 3   a  b  c   a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac   3abc
Ta có :
a 3  b3  c 3  3abc   a  b  c   a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca   0
Vì
2
2
2

a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca  0 �  a  b    b  c    c  a   0
Mà
( Mâu thuẫn vì a �b �c )
Nên a  b  c  0
� a�
� b�
� c�
P�
1 �
1 �
1 �
3
3
3
�
�
a  b  c  3abc,  a, b, c �0 
b
c
a�
�
�
�
�
�
Bài 18: Cho
, Tính
HD :
3
3

3
a 3  b3  c 3   a  b  c   a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca   3abc
Ta có :
, Mà a  b  c  3abc Nên
a  b b  c a  c c  a b
a  b  c  0  P 
.
.

. .
 1
b
c
a
b c a
TH1 :
TH2 :

a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca  0  a  b  c  P   1  1  1  1  1  1  8

� a�
� b�
� c�
ab bc ca
B�
1 �
1 �
1 �



�
�
� b�
� c�
� a�
a
b , Tính
Bài 19: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và c
HD :
a  b b  c c  a 2 a  b  c



a
b
abc
Từ gt c
a  b b  c a  c c a b
a  b  c  0  B 
.
.
 . .
 1
b
c
a
b c a
TH1 : Nếu
a  b b  c a  c 2c 2a 2b
a  b  c �0  gt  2  B 

.
.
 . . 8
b
c
a
b c a
TH2 : nếu
� a�
� b�
� c�
A�
1 �
1 �
1 �
�
�
3 3
3 3
3 3
2 2 2
� b�
� c�
� a�
Bài 20: Cho a b  b c  c a  3a b c , Tính

HD :

3
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713

ab  x
�
ab bc ca y z x z x y
�
bc  y  x 3  y 3  z 3  3xyz  x  y  z  0  A 
.
.

.
.
�
b
c
a
bc
ac
ab
�
ac  z
�
Đặt
 ab bc ac

.
.
 1
bc ac ab
x  y  z  a  b  c  A  8

Hoặc :
a bc bc a c a b


c
a
b
Bài 21: Cho a,b,c là các số thỏa mãn:
,
� a�
� b�
� c�
A�
1 �
1 �
1 �
�
�
� b�
� c�
� a�
Tính
HD :
a bc b c a c  a b a b c



c
a
b

abc
ừ gt=>
T
ab bc ac
a  b  c  0  A 
.
.
 1
a
c
a
TH1 :
TH2 : a  b  c �0  gt  1  a  b  2c, b  c  2a, c  a  2b  A  8
ax  by  c
�
�
bx  ay  a
�
�
cx  ay  b
�

3
3
3
Bài 22: Cho x,y là hai số thỏa mãn:
, CMR : a  b  c  3abc
HD :
 a  b  c  x   a  b  c  y  a  b  c   a  b  c   x  y  1  0
Cộng theo vế của gt=>

3
3
3
TH1: a  b  c  0  a  b  c  3abc

3
3
3
TH2: x  y  1  a  b  c  a  b  c  3abc

N

a2  b2  c2

3
3
3
 a  b  c
Bài 23: Cho a  b  c  3abc và a  b  c �0 , Tính giá trị
HD:
3a 2 1
 a  b  c  N  2 
9a
3
Từ gt
xyz
A

3
3

3
 x  y  y  z  z  x
Bài 24: Cho x  y  z  3 xyz , Rút gọn
HD:
xyz
x3
1
TH 1: x  y  z  0  A 
 1
TH 2 : x  y  z  A 


xyz
2 x.2 x.2 x 8
Từ gt=>

A   a  b  2c    b  c  2a    c  a  2b 
3

3

2

3

Bài 25: Rút gọn :
HD:
Đặt: a  b  2c  x, b  c  2a  y , c  a  2b  z

A   x  y  z   x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx    a  b  2c  b  c  2a  c  a  2b   x 2  y 2  z 2  ...  0

1 1 1
1
1
1
  0
A 2
 2
 2
a  2bc b  2ac c  2ab
Bài 26: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và a b c
, Rút gọn:
HD:

4
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


1 1 1
   0 � ab  bc  ca  0  a 2  2bc  a 2  bc  ab  ca   a  b   a  c 
a
b c
Ta có:
b 2  2ac   b  a   b  c  , c 2  2ba   c  a   c  b 
Tương tự:
1
1
1
cbacba
A




0
a  b  a  c  b  a  b  c  c  a   c  b  a  b  b  c  c  a 

Khi đó:
1 1 1
bc
ac
ab
  0
B 2
 2
 2
a  2bc b  2ac c  2ab
Bài 27: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và a b c
, Rút gọn:
HD:
Theo bài 26 =>
ab  c  b   ac  a  c   ab  b  a 
bc
ac
ab
B



 a  b  a  c   b  a  b  c  c  a  c  b
 a  b  b  c  c  a

Phân tích tử => B
a2
b2
c2
1 1 1
C 2


  0
a  2bc b 2  2ac c 2  2ab
Bài 28: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và a b c
,Rút gọn:
HD:
Theo bài 26
a2  c  b  b2  a  c   c2  b  a 
a2
b2
c2
 C 



 a  b  a  c   b  c   b  a   c  a   c  b
 a  b  b  c  c  a
Phân tích tử =>C
1 1 1
bc ac ab
  0
A 2  2  2

a
b
c
Bài 29: Cho a,b,c �0, và a b c
, Tính
HD:
1 1 1
1 1 1
3
   0  3  3  3 
a b c
abc
Từ gt = a b c
abc abc abc
3
�1 1 1 �
A  3  3  3  abc � 3  3  3 � abc.
3
a
b
c
a
b
c
abc
�
�
Khi đó:

1 1 1

yz
xz
xy
  0
A 2
 2
 2
x  2 yz y  2 xz z  2 xy
Bài 30: Cho x,y,z đôi 1 khác nhau và x y z , Tính
ab
bc
ac
A 2
 2
 2
2
2
2
2
a b c b c a
c  a 2  b2
Bài 31: Cho a+b+c=0 và a,b,c �0, Rút gọn
HD:
2
2
2
2
2
2
Từ a  b  c  0  a  b  c  a  b  2ab  c  a  b  c  2ab

2
2
2
2
2
2
Tương tự: b  c  a  2bc, c  a  b  2ac , Khi đó:
ab
bc
ac
3
A



2ab 2bc 2ac 2
a2
b2
c2
B 2 2 2  2

a  b  c b  a 2  c2 c2  a 2  b2
Bài 32: Cho a+b+c=0, a,b,c �0, Rút gọn
HD:
2
2
2
2
2
2

Từ a  b  c  0  b  c  a  b  c  2bc  a  a  b  c  2bc ,
2
2
2
2
2
2
Tương tự: b  a  c  2ac, c  a  b  2ab , Khi đó:
a2
b2
c2
1
3abc 3
B



a 3  b3  c 3  


2bc 2ac 2ab 2abc
2abc 2

5
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


A

1

1
1
 2
 2
2
2
2
2
b c a
c a b
a  b2  c 2
2

Bài 33: Cho a+b+c=0, a,b,c �0, Rút gọn
HD:
2
2
2
2
2
2
Từ: a  b  c  0  b  c  a  b  c  2bc  a  b  c  a  2bc
2
2
2
2
2
2
Tương tự: c  a  b  2ac, a  b  c  2ab , Khi đó:
1

1
1
1 �a  b  c �
A


 �
� 0
2bc 2ac 2ab 2 � abc �

Bài 34: Cho a+b+c=0, a,b,c �0, Rút gọn
HD:

A

a 2 b2 c 2
 
bc ca ab

a3
b3
c3
3abc
A



3
3
3

3
abc abc abc abc
Từ a  b  c  0  a  b  c  3abc , khi đó:

1 1 1
yz xz xy
   0,  x �0, y �0, z �0 
 2 2
2
y
z
Bài 35: Cho x y z
, Tính giá trị của biểu thức: x
HD:
1
1
1
a  ,b  ,c 
x
y
z , Áp dụng kết quả câu a ta có:
Với
�1 1 1 �
1 1 1
3
yz zx xy xyz xyz xyz
3
 3 3
 2  2  2  3  3  3  xyz � 3  3  3 � xyz.
3

3
x
y
z
xyz
x
y
z
x
y
z
y
z �
xyz
�x
1 1 1
  0
2
2
2
Bài 36: Cho a+b+c=1, a b c
, CMR: a  b  c  1
HD:
a  b  c  1 � a 2  b 2  c 2  2  ab  bc  ca   1
Từ
, (1)
1 1 1
ab  bc  ca
  0�
 0 � ab  bc  ca  0

a b c
abc
Mà:
, thay vào (1)=> ĐPCM
1 1 1
1
1 1
   3
A 2  2  2
x
y
z
Bài 37: Cho x,y,z �0, Thỏa mãn: x  y  z  xyz và x y z
, Tính
HD:
�1
�x  y  z �
1 1 1
1
1 1
1 1 �
1
1 1
   3 � 2  2  2  2 �   � 3 � 2  2  2  2 �
� 3
x
y
z
x
y

z
�xy yz zx �
� xyz �
Từ: x y z
Nên A  2  3  A  1
1 1 1
1
1 1
  2
 2  2 2
2
Bài 38: Cho a,b,c �0 và a b c
, và a  b  c  abc , CMR: a b c
HD:
1 1 1
1
1 1
1
1 �
1
1 1
�1
�a  b  c �
   2 � 2  2  2  2 �   � 4 � 2  2  2  2 �
� 4
a b c
a
b c
a
b c

�ab bc ca �
� abc �
1 1 1
  0
Bài 39: Cho a,b,c là ba số thực khác 0, thỏa mãn : a  b  c  3 và a b c
, Tính
2
2
2
A a b c
HD:

6
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


Từ:

a  b  c  3 � a 2  b 2  c 2  2  ab  bc  ca   9

, (1)

1 1 1
   0 � ab  bc  ca  0
Mà: a b c
thay vào (1) A  2.0  9  A  9
1 1 1
1
1 1
  2

A 2  2  2
a b
c
Bài 40: Cho a b c
và a  b  c  abc , Tính
HD:
1 1 
1
1 1
1
1 �
�1
   2 � 2  2  2  2 �   � 4
a b c
�ab bc ca �
Từ: a b c
�a  b  c �
� A  2�
� 4 � A  2  4 � A  2
� abc �
1 1 1
1 1 1
  3
 2  2 7
2
Bài 41: CMR: Nếu a b c
và a+b+c=abc Thì ta có: a b c
a b c
x2 y 2 z 2
x y z

  0
A 2  2  2
  1
a
b
c
Bài 42: Cho a b c
và x y z
, Tính
HD:
x y z
x2 y 2 z 2
�xy yz zx �
�cxy  ayz  bzx �
   1 � 2  2  2  2 �   � 1 � A  2 �
� 1
a
b
c
a
b
c
ab
bc
ca
abc
�
�
�
� (1)

Từ:
a b c
   0 � ayz  bxz  cxy  0
x
y z
Mà:
thay vào (1) ta được: A  2.0  1 � A  1

a2 b2 c2
x y z
a b c
A 2  2  2
   0,    2
x
y
z
x y z
Bài 43: Cho a b c
, Tính
HD:
�ab bc ca �
�abz  bcx  cay �
a b c
a 2 b2 c 2
   2 � 2  2   2 �   � 2 � A  2 �
� 2
x
y
z
xyz

�xy yz zx �
�
�
Từ: x y z
(1)
x y z
   0 � bcx  acy  abz  0
Mà: a b c
thay vào (1) ta được: A  2.0  2  A  2
a b c b2 c2 a2
 2 2   
2
a b c , CMR trong ba số
Bài 44: Cho 3 số hữu tỉ a,b,c thỏa mãn: abc  1 và b c a
a,b,c phải có 1 số bằng bình phương số còn lại
HD:
a
b
c
b2 1 c2 1 a 2 1
x  2 , y  2 , z  2 
 ,  ,   xyz  1
b
c
a
a
x b y c z
Đặt:
và
1 1 1

   xy  yz  zx
x y z
 x  1  y  1  z  1  0  x  1, y  1, z  1
Xét tích:
2
Với x  1  a  b (ĐPCM)

x y z 

x
A

2

 y 2  z 2   a 2  b2  c2 

x y z
2
  �0
ax  by  cz 

a
b
c
Bài 45: Cho
, Rút gọn:
HD:
x y z
   k  x  ak , y  bk , z  ck
Đặt a b c

thay vào A

7
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


2 y  2z  x 2z  2x  y 2x  2 y  z


a
b
c
Bài 46: Cho:
, trong đó a,b,c thỏa mãn:
x
y
z


2b  2c  a, 2c  2a  b, 2a  2b  c �0 , CMR: 2b  2c  a 2c  2a  b 2a  2b  c
HD:
2  2z  2x  y  2  2x  2 y  z    2 y  2z  x

2b  2c  a
Từ gt
=
2  2x  2 y  z   2  2 y  2z  x    2z  2x  y 

2c  2a  b
x

y
z


= 2b  2c  a 2c  2a  b 2a  2b  c
x y z
 
2
2
2
Bài 47: Cho a  b  c  1, a  b  c  1, và a b c , CMR: xy  yz  zx  0
HD:
x y z
   k  xy  yz  zx  k 2  ab  bc  ca 
a
b c
Đặt:
(1)

a  b  c  1 � a 2  b 2  c 2  2  ab  bc  ca   1 � ab  bc  ca  0
Mà:
thay vào (1) ta được:
xy  yz  xz  0

A   a  1
Bài 48: Cho a,b,c thỏa mãn: a  b  c  0, ab  bc  ca  0 , Tính
HD:
Nhẩm thấy a=b=c=0 nên ta xét:
a  b  c  0 � a 2  b 2  c 2  2  ab  bc  ca   0 � a 2  b2  c 2  0

Do đó : a=b=c=0 thay vào

A   1

2015

2015

 b 2014   c  1

2013

 02014  12013  0

x y z 

1 1 1
 
x y z,

Bài 49: Cho x,y,z là ba số thỏa mãn: xyz=1 và
P   x19  1  y 5  1  z1890  1
Tính
HD:
 x  1  y  1  z  1  xyz   xy  yz  zx    x  y  z   1  0
Nhận thấy x=y=z=1, nên ta xét:
Nên hoặc x=1 hoặc y=1 hoặc z=1
Nếu x=1=>P=0, Nếu y=1=>P=0, nếu z=1=>P=0
1 1 1
x yz   

A   x 2015  1  y1006  1  z  1  2016
x
y
z
Bài 50: Cho xyz=1,
, Tính
HD :
x yz 

xy  yz  zx
 xy  yz  zx
xyz

Nhẩm thấy x=y=z=1, ta có :
 x  1  y  1  z  1  xyz   xy  yz  zx    x  y  z   1  0
Xét tích :
Nên hoặc x=1 hoặc y=1 hoặc z=1
Nếu x=1 thì P=2016, Nếu y=1 thì P=2016, Nếu z=1 thì P=2016
1 1 1
x y z   
x y z , Tính
Bài 51: Cho x,y,z là các số thỏa mãn : xyz=1, và
A   x15  1  y 27  1  z 2016  1

HD :

8
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713

x y z 

1 1 1
   xy  yz  zx
x y z

Từ gt ta có :
 x  1  y  1  z  1  xyz   xy  yz  zx    x  y  z   1  0
Xét
Nên hoặc x=1 hoặc y=1 hoặc z=1 khi đó A=0
1
1
1
x2  y 2  z 2  2  2  2  6
2012
2013
2014
x
y
z
Bài 52: Cho
, Tính A  x  y  z
HD :
2

2

2

� �2 1

� 1� � 1� � 1�
�2 1
� �2 1
�
�x  2  2 � �y  2  2 � �z  2  2 � 0 � �x  � �y  � �z  � 0
y
��
�
� x� � y� � z�
�� z
Từ gt=> � x
2012
2014
Vì x , y
luôn nhân giá trị bằng 1 khi x,y nhận giá trị 1 hoặc -1 nên ta có 2 TH :
y

1

A3
TH1 :

TH2 : y  1  A  1

1 1 1
1
  
Bài 53: CMR nếu a,b,c là ba số thỏa mãn: a+b+c=2000 và a b c 2000 , thì 1 trong ba số phải
có 1 số bằng 2000
HD :

1 1 1
1
1
ab
ab
�1 1 � �1
�
  
� �  � � 

0
� 0 �
a b c abc
a b � �c a  b  c �
ab c  a  b  c 
�
Từ gt ta có :
c  a  b  c   ab �
 a  b �
�
� 0 �  a  b   b  c   c  a   0

TH1 : a  b  0 � c  2000
TH2 : b  c  0 � a  2000
TH3 : c  a  0 � b  2000
Bài 54: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn : abc=1 và
bằng 1
HD :
1 1 1
a  b  c     ab  bc  ca

a b c
Từ gt ta có :
Xét tích :
hoặc c=1

abc 

1 1 1
 
a b c , CMR có ít nhất 1 số a,b,c

 a  1  b  1  c  1  abc   ab  bc  ca    a  b  c   1  0

nên hoặc a=1 hoặc b=1

100
100
101
101
102
102
2015
2015
Bài 55: Cho các số thực dương thỏa mãn a  b  a  b  a  b , Tính P  a  b
HD :
a100  b100  a101  b101 � a100  a  1  b100  b  1  0
Từ :
(1)
101
101

102
102
101
101
a  b  a  b � a  a  1  b  b  1  0
và
(2)
Từ (1) và (2)
2
2
a101  a  1  b101  b  1  a100  a  1  b100  b  1  0 � a100  a  1  b100  b  1  0
=>
2
�
 a  1  0 �a  1
�
a, b  0  �
��
2
b 1
�
b

1

0
2015
2015
 
�

�
Do
khi đó : P  1  1  2

�
a 3  b3  1
�
�2
2014
2014
a  b2  1
Bài 56: Cho �
, Tính A  a  b

(CL)

9
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


�x  y  a  b
�2
n
n
n
n
x  y 2  a 2  b2
Bài 57: Cho �
CMR: x  y  a  b
HD:

x 2  y 2  a 2  b2 �  x  a   x  a    y  b   y  b   0
Ta có:
 b  y  x  a  b  y  0
Mà x  a  b  y thay vào (1) ta được:
n
2
n
2
TH1 : b  y  0 � b  y  x  a  x  y  a  b

(1)

n
n
n
n
TH2 : x  a  b  y  0 � x  y  b  a  2 x  2b � x  b  y  a => x  y  a  b
x2  y 2  z2
A
2
2
2
 y  z    z  x   x  y
Bài 58: Cho x+y+z=0, Rút gọn:
HD :
x  y  z  0 � x 2  y 2  z 2  2  xy  yz  zx   0 � x 2  y 2  z 2  2  xy  yz  zx 
Ta có :
2 x 2  2 y 2  2 z 2  2  xy  yz  zx  2 x 2  2 y 2  2 z 2  x 2  y 2  z 2  3  x 3  y 2  z 2 
Mẫu :
=

2
2
2
x y z
1
A

2
2
2
3 x  y  z  3
Khi đó :
2
2
a 2  b 2  c 2   a  b  c    ab  bc  ca 

A
2
 a  b  c    ab  bc  ca 
Bài 59: Rút gọn :
HD :
2
2
2
2
a  b  c  x  2y

ab

bx


ca

y
a

b

c

x
Ta có : Đặt :
và
khi đó :
, thay vào A ta có :
2
2
2
x( x  2 y )  y
x  2 xy  y
A

 x  y  a 2  b 2  c 2  ab  ab  ca
x  2y  y
x y
1�
2
2
2
�a  b    b  c    c  a  �

�
2
a
b
c


1
Bài 60: Cho a,b,c khác 0 thỏa mãn : b  c c  a a  b
, Tính giá trị của:

a2
b2
c2
Q


bc ca ab
HD :
Nhận thấy a  b  c  0 không thỏa mãn : nên nhân vào gt với a  b  c  0 ta được :
a
b
c �


 a  b  c �
�
� a  b  c
�b  c c  a a  b �
a  b  c b  c  a

c  a  b
a2
b2
c2
�





 abc
�
bc
bc
ca
ca
a b
a b
Qabc  abc � Q  0
a
b
c


0
Bài 61: Cho a,b,c đôi một khác nhau và b  c c  a a  b
, Tính giá trị của biểu thức :
a
b
c

A


2
2
2
 b  c  c  a  a  b
HD :
1
1 �
b
c �
1
1 �
�1
�a
�1






�
�
�
�
�
� 0
�b  c c  a a  b �

Nhân �b  c c  a a  b �vao gt ta được : �b  c c  a a  b �

10
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


� P
� P

ab
bc
ca


0
 b  c  c  a  c  a  a  b  a  b  b  c

 a  b  a  b   b  c  b  c    c  a   c  a
 a  b  b  c   c  a 

0

� P0

 a  b  b  c  c  a
A
2

2

 1 a   1 b   1 c
Bài 62: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau, thỏa mãn : ab  bc  ca  1 , Tính
HD :
1  a 2  ab  bc  ca  a 2  b  a  c   a  a  c    a  b   a  c 
Ta có :
1  b2   b  a   b  c  1  c 2   c  a   c  b 
Tương tự :
,
khi đó : A  1
Bài 63: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau , thỏa mãn: ab  bc  ca  1 ,
a 2  2bc  1  b 2  2ca  1  c 2  2ab  1

B
2
2
2
a  b  b  c  c  a 

Tính
HD :
Ta có :
2
a  2bc  1  a 2  2bc  ab  bc  ca  a 2  bc  ab  ac  a  a  b   c  b  a    a  b   a  c 
2

2

2

2



b 2  2ca  1   b  a   b  c  c 2  2ab  1   c  a   c  b 
Tương tự :
,
B


1
Khi đó :
Bài 64: Cho a,b,c là ba số khác nhau, CMR :
bc
ca
a b
2
2
2





 a  b  a  c  b  c  b  a  c  a   c  b a  b b  c c  a
HD :
 a  c   a  b  1  1  1  1
bc

a  b  a  c
 a  b  a  c a  b a  c a  b c  a

Ta có : 
ca
1
1
a b
1
1




b  c  b  a b  c a  b  c  a  c  b c  a b  c
Tương tự : 
,
1
1
1
1
1
1
VT 





 VP
a b c a b c a b c a b c
Khi đó :
ab

bc
ca
A


 b  c  c  a  c  a  a  b  a  b  b  c
Bài 65: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau, Tính giá trị :
HD :
a
b
c
 x,
 y,
z
bc
ca
a b
khi đó :
Đặt :
 x  1  y  1  z  1   x  1  y  1  z  1 � xy  yz  zx  1
a
b
c


0
Bài 66: Cho 3 số a,b,c đôi 1 khác nhau thỏa mãn : b  c c  a a  b
, CMR trong ba số a,b,c
phải có 1 số âm, 1 số dương
HD :

1
1
1
a
b
c
a �b, b �c, c �a 


�0


0
bc c a a b
Vì
Mà : b  c c  a a  b
b
c �
1
1 �
�a
�1




�
�
�
� 0

�b  c c  a a  b �
�b  c c  a a  b �

11
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


� a
�
b
c � � ab
ac
bc
��


�


�
2
2
2� �
� 0
b

c
c

a

a

b
b

c
c

a
a

b












b

c
c

a

a

b






�
�
�
�
��
a
b
c


0
2
2
2
b

c
c

a
a


b






Nhận thấy Tổng B �0 =>
, do đó a,b,c không cùng âm, cùng
dương
Nên phải có 1 số âm 1 số dương
A

Bài 67: Cho a,b,c là các số hữu tỉ đôi 1 khác nhau, MCR :
phương của 1 số hữu tỉ
HD :
Ta có :

1

 a  b

2



1

 b  c

2



1

 c  a

2

là bình

2

� 1
1
1 �
1
1
1
2
2
2


�
� a  b   b  c   c  a  �
�  a  b  2   b  c  2   c  a  2   a  b   b  c    b  c   c  a    c  a   a  b 
�

�
2  a  b  2  b  c  2  c  a
A
 A0  A
 a  b  b  c  c  a
Vậy A là bình phương của 1 số hữu tỉ :
a b bc c a
c
a
b
P


Q


c
a
b và
a  b b  c c  a , CMR : P.Q=9
Bài 68: Cho a+b+c=0,
HD :
c
c �b  c c  a �
c b 2  bc  ac  a 2
c  a  b  c  a  b
P.
1



1

.
 1
.
�
�
a

b
a

b
a
b
a

b
ab
a

b
ab
�
�
Xét
2c 2
2c 3
a
2a 3

b
2b3
1
1
P.
 1
P.
 1
ab
abc , Tương tự : b  c
abc và c  a
abc khi đó :

P.Q  3 

2  a3  b3  c 3 

9
abc
Bài 69: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau, Tính giá trị của biểu thức:
a2
b2
c2
A


 a  b  a  c  b  c  b  a  c  b  c  a 
HD :
a 2  c  b   b2  a  c   c 2  b  a 
A

1
 a  b  b  c  c  a

c 2  2  ac  bc  ab 
Bài 70: Cho 3 số a,b,c thỏa mãn: b �c, a  b �c và
,
2
2
a   a  c
ac

2
2
bc
b   b  c
CMR:
HD :
2
2
2
a 2   a  c   a 2  c 2  c 2   a  c   a 2  c 2  2  ac  bc  ab    a  c 
Ta có :
2
2
2
a 2  c 2  2ac  2b  a  c    a  c    a  c   2b  a  c    a  c   2  a  c   a  c  b 





b2   b  c   2  b  c   b  c  a 
Tương tự ta có :
2
a2   a  c
a c

2
2
bc
b   b  c
Khi đó :
2

12
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


Bài 71: Cho x,y,z đôi 1 khác nhau, CMR:
yz
zx
x y
2
2
2






 x  y  x  z  y  z  y  x  z  x  z  y x  y y  z z  x
HD:
 x  y   x  z
yz
1
1
1
1





x  y  x  z
xz x y xy zx
 x  y  x  z
Ta có: 
zx
1
1
x y
1
1




y  z  y  x y  z x  y
z  x  z  y  z  x y  z
Tương tự ta có: 

và 
Cộng theo vế ta được:
Bài 72: Cho a+b+c=0, CMR:
3
3
3
2
2
2
a 5  b5  c5  a  b  c   a  b  c 

.
2  a 5  b5  c 5   5abc  a 2  b 2  c 2 
5
3
2
a,
b,
HD:
a  b  c  0  a 3  b3  c 3  3abc  3abc  a 2  b 2  c 2    a 3  b3  c 3   a 2  b 2  c 2 
Ta có:
3abc  a 2  b 2  c 2   a5  b5  c5  a 3  b 2  c 2   b3  c 2  a 2   c 3  a 2  b 2 
=>
2
2
2
2
b  c  a  b 2  c 2   b  c   2bc  a 2  2bc
Mà:
,Tương tự ta có: c  a  b  2ac

a 2  b 2  c 2  2ab Nên ta có :

a

3

 b3  c3   a 2  b 2  c 2   a5  b5  c5  a 3  a 2  2bc   b3  b 2  2ac   c 3  c 2  2ab 

 2  a 5  b5  c5   2abc  a 2  b 2  c 2  � 2  a 5  b5  c 5   5abc  a 2  b 2  c 2 

a2
b2
c2
3



2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Bài 73: Cho a+b+c=0, CMR: a  b  c b  a  c c  a  b
HD:
2

2
2
2
2
2
Từ a  b  c  0  b  c  a  b  c  2bc  a  a  b  c  2bc ,
2
2
2
2
2
2
Tương tự: b  a  c  2ac, c  a  b  2ab , Khi đó:
a2
b2
c2
1
3abc 3



a3  b3  c3  


2bc 2ac 2ab 2abc
2abc 2
2
2
2
 a  b    b  c    c  a  �2

2
2
2
a  b
b  c
c  a



Bài 74: CMR:
HD :
ab
bc
ca
 x,
 y,
 z  M  x 2  y 2  z 2
bc
ca
Đăt : a  b
, Ta cần CM :

 x  1  y  1  z  1   x  1  y  1  z  1 =>

Từ :

 x  y  z

Dấu bằng khi

2

xy  yz  zx  1 (1)
�0 � x 2  y 2  z 2 �2  xy  yz  zx   2  1  2  M �2

x y z 0�

ab bc ca


0
ab bc ca

2
2
2
4
4
4
Bài 75: Cho a+b+c=0 và a  b  c  14 , Tính A  a  b  c
HD :

142   a 2  b 2  c 2   a 4  b 4  c 4  2  a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2 
2

Ta có :
(1). Ta lại có :
2
2
2

2
a  b  c  0   a  b  c   0 � a  b  c  2  ab  bc  ca   0

13
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


� ab  bc  ca  7 � a 2b 2  b 2c 2  c 2 a 2  2abc  a  b  c   49

, Thay lên (1)

14  A  2.49
2

x2 

1
1
7
x5  5
2
x
x là 1 số nguyên
, CMR:

Bài 76: Cho x>0 thỏa mãn:
HD :
1 �
1 �
� 1 � �3 1 �

x5  5  �x 4  4 �
�x  � �x  3 �
x � x �
� x�� x �
Ta có :
2

1
1 �2 1 �
� 1� 2 1
� 1�� 1�
3
�x  � x  2  2  9  x   3 x  3  �x  2 �
�x  � �x  � 18
x
x
x
x
x
�
�
�
�
� x�� x�
Ta tính :
,
1 �
1�
� 1 � �2 1 �
x 4  4  �x 3  3 �

�x  � �x  2 � 47
x
x
�
�
� x�� x �
Và
x

1
a
x
, Tính theo a các giá trị của:
1
1
x6  6
x7  7
x
x
b,
c,

Bài 77: Cho x �0 và
1
x3  3
x
a,
HD :
1 � 1�
�2 1 � � 1 �

1
1
x 3  3  �x  �
 �x  � a  a 2  2   a
x   a � x2  2  a2  2
�x  2 �
x � x�
� x �� x�
x
x
a,
Nên
2
1 �
1�
x 6  6  �x3  3 � 2
x � x �
b,
1 �3 1 �
�4 1 � � 1 �
 �x  3 �
�x  4 � �x  �
7
x
x
�
�
� x �� x�
c,
1

x2  2  a
x
Bài 78: Cho x �0 và
, Tính theo a các giá trị của:
1
1
1
x3  3
x6  6
x7  7
x
x
x
a,
b,
c,
HD :
x7 

2

1 � 1�
1
 �x  � 2  x   a  2
2
x
x
� x�
Ta có :
Làm giống bài 68

x2 

6

� 1 � �6 1 �
�x  � �x  6 � 2
x� � x �
A �
3
� 1 � �3 1 �
1
2
x

x  2 2
�
� �x  3 �
x
�
� � x �
x
Bài 79: Cho
, và x > 0. Tính
HD :
2
1
1 � 1�
� 1� 2 1
�2 1 � � 1 �
x 3  3  �x  �

�x  � x  2  2  4  x   2
�x  2 � �x  � 2.2  2  2
x
x
x � x�
� x�
� x �� x�
và
2

1 �3 1 �
 �x  3 � 2  2
6
x
� x �
và
thay vào A
2
2
2
2
4
4
4
Bài 80: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn: x+y+z=0 và x  y  z  a , Tính A  x  y  z theo a
HD :
x6 

14
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713

a 4   x 2  y 2  z 2   A  2( x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2 )
2

Ta có :
2
 x  y  z   a 2  2  xy  yz  zx   0

, Mặt khác:

a 2
a4
a4
2
�  xy  yz  zx  
� x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2  2 xyz  x  y  z  
2
4
4
4
4
4
a
a
a
x2 y 2  y 2 z 2  z 2 x2 
a 4  A  2.  A 
4 thay lên trên ta đươc :
4

2

� xy  yz  zx 

2
2
2
Bài 81: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a+b+c=0 và a  b  c  2010, , Tính giá trị của biểu thức:
A  a 4  b4  c 4
HD:
2
 a  b  c    a 2  b 2  c 2  0  2010
ab  bc  ca 

 1005
2
2
Ta có:
2
2
a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2   ab  bc  ca   2abc  a  b  c   1005  2abc.0  10052
=>
=

A  a 4  b4  c 4   a 2  b 2  c 2   2  a 2b 2  b 2c 2  c 2 a 2   2010 2  10052  2020050
2

=>

a4  b4  c4 

2
1 2
1 1 1
a  b2  c 2 
  3

2
Bài 10: CMR: Nếu a b c
và

Bài 82: Cho a+b+c=0, CMR:
1 1 1
 2  2 7
2
a+b+c=abc Thì ta có: a b c
HD :
2
a  b  c   0 � a 2  b 2  c 2  2  ab  bc  ca   0 � a 2  b 2  c 2  2  ab  bc  ca 

Ta có :

a

2

 b 2  c 2   4  ab  bc  ca 
2

2

� a 4  b 4  c 4  2  a 2b 2  b 2c 2  c 2 a 2   4  a 2b 2  b 2c 2  c 2 a 2  2abc  a  b  c  

4
4
4
2 2
2 2
2 2
4
4
4
4
4
4
2 2
2 2
2 2
� a  b  c  2  a b  b c  c a  � 2  a  b  c   a  b  c  2a b  2b c  2c a

� 2  a 4  b4  c 4    a 2  b2  c 2 

2

=> ĐPCM
2
2
3
3
Bài 83: Cho 2 số x,y thỏa mãn: xy  x  y  1, và x y  xy  12 , Tính A  x  y

HD :
�
a  b  1 �
a 3
�xy   x  y   1 �
a  4
�
��
 �
�
�
ab  12
b  4
xy  x  y   12
�
�
b3
Từ gt ta có : �
hoặc �
3
A   x  y   3 xy  x  y 
Khi đó
Bài 84: Cho x+y=9, xy=14, Tính
2
2
3
3
a, x  y
b, x  y
HD :

c, x  y

5
5
d, x  y

x 2  y 2   x  y   2 xy  81  28
2

a,

x3  y 3   x  y   3xy  x  y   93  3.14.9  351
3

b,
c,
d,

 x  y

2

  x  y   4 xy
2

x5  y 5   x 3  y 3   x 2  y 2   x 2 y 2  x  y 

15
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713

A  2  x3  y 3   3  x  y 

2

Bài 85: Cho x-y=2, Tính :
HD :
3
x 3  y 3   x  y   3xy  x  y 
Ta có :
, Mà :
2
2
 x  y    x  y   4 xy  A  2.8  12 xy  3.  4  4 xy 
Bài 86: Cho x>y>0, x-y=7, xy=60, Tính
2
2
3
3
a, x  y
b, x  y
HD :

c, x  y ,

a, x 2  y 2   x  y   2 xy
2

b,

x 3  y 3   x 2  y 2   x  y   xy  x  y 

x  y    x  y   4 xy  49  4.60
, mà : 
A  a 3  b3  3ab  a 2  b 2   6a 2b 2  a  b 
2

2

Bài 87: Cho a+b=1, tính
HD :
3
2
a 3  b3   a  b   3ab  a  b 
a 2  b 2   a  b   2ab
Ta có :
, và
6
6
2
2
A  2  x  y   3  x4  y 4 
Bài 88: Cho x  y  1 , Tính
HD :
x6  y6   x2  y 2   x4  y 4   x 2 y 2  x2  y 2 

x4  y 4   x2  y 2   2x2 y 2
2

, mà :
C  2  a 3  b3   3  a 2  b 2 

, thay vào ta được

Bài 89: Cho a+b=1, Tính giá trị của biểu thức
HD :
C  2  a 3  b3   3  a 2  b 2   2  a  b   a 2  ab  b 2   3  a 2  b 2 
Ta có:
2
2 a 2  ab  b 2  3 a 2  b 2   a 2  b 2  2ab    a  b   1
=
a bc  0
�
�2 2 2
4
4
4
a  b  c  2012
Bài 90: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: �
, Tính A  a  b  c
HD:
2
a 2  b 2  c 2   a  b  c   2  ab  bc  ca   2  ab  bc  ca 



 







2

�a 2  b 2  c 2 � 20122
a b  b c  c a   ab  bc  ca   2abc  a  b  c   �
�
2
4
�
�
=>
20122
4
4
4
2
2
2
2 2
2 2
2 2
A  a  b  c   a  b  c   2 a b  b c  c a  
2
=>
1 1 1
3

2
 3 3
2
2
2
3
 x  y  z   x  y  z và x, y, z �0 , CMR: x y z xyz
Bài 91: Cho
2 2

2 2

2

2

2

HD :
Từ :

 x  y  z

2

 x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  0 

xy  yz  zx
1 1 1
 0     0

xyz
x y z

1 1 1
3
 3 3 
3
y
z
xyz
Khi đó : x
2
 a  b  c   3  ab  bc  ca  thì a=b=c
Bài 92: CMR: Nếu
HD:
2
2
2
a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca  0 �  a  b    b  c    c  a   0
Từ:

16
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


2
2
2
Bài 93: Cho a  b  c  m , Tính theo m giá trị của:
2

2
2
A   2a  2b  c    2b  2c  a    2c  2a  b 

HD:
Phân tích theo hằng đẳng thức:
2
2
2
2
 5a  3b  8c   5a  3b  8c    3a  5b 
Bài 94: Cho a  b  4c , CMR:
HD:
2
2
VT   5a  3b   64c 2  25a 2  30ab  9b 2  16a 2  16b 2   3a  5b 



x2  y 2 



1
1
 2 4
2
x
y

Bài 95: Tìm x,y biết:
HD:
�
�
1
1
x 2  2  2  �y 2  2  2 � 0
x
y
�
�
2
2
x
y
z 2 x2  y 2  z 2

 
3
4
5
Bài 96: Tìm x,y,z biết : 2
HD:
�x 2 x 2 � �y 2 y 2 � �z 2 z 2 �
�  � �  � �  � 0
5 � �4 5 �
�2 5 � �3

a 2  bc b 2  ca c 2  ab
x 2  yz y 2  zx z 2  xy





x
y
z
a
b
c
Bài 97: Cho
, CMR :
HD:
x 2  yz
y 2  zx
z 2  xy
a
,b 
,c 
2
2
2
k
k
k , sau đó tính: a  bc, b  ca, c  ab rồi thay vào
Đặt gt =k=>
ax 2  by 2  cz 2
1
 2000
2

2
2
ax  by  cz  0, a  b  c 
bc
y

z

ac
x

z

ab
x

y






2000 , CMR :
Bài 98: Cho
HD:
2
ax  by  cz   0 � a 2 x 2  b 2 y 2  c 2 z 2  2  abxy  bcyz  acxz 

Từ

bc  y 2  2 yz  z 2   ac  x 2  2 xz  z 2   ab  x 2  2 xy  y 2 
Xét mẫu số:
 bcy 2  bcz 2  acx 2  acz 2  abx 2  aby 2   a 2 x 2  b 2 y 2  c 2 z 2 
 c  ax 2  by 2  cz 2   b  ax 2  by 2  cz 2   a  ax 2  by 2  cz 2    a  b  c   ax 2  by 2  cz 2 

1
 2000
abc

VT 

ay  bx cx  az bz  cy


c
b
a , CMR :
Bài 99: Cho a,b,c là ba số khác 0 thỏa mãn :

 ax  by  cz 

HD:

2

  x 2  y 2  z 2   a 2  b2  c 2 

acy  bcx bcx  abz abz  acy



 k  0  ay  bx  cx  az  bz  cy  0
c2
b2
a2
Đặt gt=k=>
2
2
2
2
2
2
 ay  bx    cx  az    bz  cy   0 �  ay  bx    cx  az    bz  cy   0
=>
  a 2 y 2  b 2 x 2  c 2 x 2  a 2 z 2  b 2 z 2  c 2 y 2   2  aybx  cxaz  bzcy   0

a
=>

2

y 2  a 2 z 2  a 2 x 2    b2 x 2  b2 y 2  b2 z 2    c 2 x 2  c 2 y 2  c 2 z 2 

17
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


  a 2 x 2  b 2 y 2  c 2 z 2  2axby  2bycz  2axcz   0

�  a 2  b 2  c 2   x 2  y 2  z 2    ax  by  cz   0
2

2
2
2
Bài 100: Cho x  yz  a, y  zx  b, z  xy  c CMR :
Với x, y, z �0

=>ĐPCM
ax  by  cz   x  y  z   a  b  c 

HD:
�x 3  xyz  ax
�3
3
3
3
�y  xyz  by  ax  by  cz  x  y  z  3xyz
�z 3  xyz  cz
�

Từ gt=>
 ax  by  cz   x  y  z   x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx    x  y  z   a  b  c 

Bài 101: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn :
HD:

�x 2  2 y  1  0
�2
�y  2 z  1  0
�z 2  2 x  1  0

�

x
Cộng theo vế của gt ta được:

2

2000
2000
2000
, Tính A  x  y  z

 2 x  1   y 2  2 y  1   z 2  2 z  1  0  x  y  z  1

Bài 102: Cho 3 số x,y,z dương thỏa mãn : xy+x+y=3, yz+y+z=8,zx+z+x=15, Tính P  x  y  z
HD:
�
 x  1  y  1  4
�
2
2
2
 x  1  z  1  16   x  1  y  1  z  1  4.16.9   x  1  y  1  z  1  24
�
�
 y  1  z  1  9
Từ gt ta có: �
1
1
1

a b c
b
c
a,
Bài 103: Cho a,b,c là ba số thực đôi 1 khác nhau và khác 0, thỏa mãn:
CMR: abc=1 hoặc abc=-1
HD:
1 1
bc 2
ca
ab
a  b    a  b 
, T  b  c 
,c  a 
c b
bc
ca
ab
Từ gt=>
Nhân theo vế=>
 a  b   b  c   c  a   a  b b  c c  a a 2b 2c 2  1  0
 a  b  b  c  c  a 





2
 abc 

 abc 
Vì a,b,c khác nhau đôi 1 nên

2

 1  abc  1

, hoặc -1
by

cz

a
,
ax

cz

b
Bài 104: Cho x,y,z thỏa mãn:
và
và ax  by  c , Trong đó a,b,c là các số
1
1
1


dương cho trước, CMR : x  1 y  1 z  1 , không phụ thuộc vào a,b,c
HD:
Cộng theo vế của gt ta có:

a  b  c  2  ax  by  cz   a  b  c  2  c  cz   2c  1  z  

1
2c

z 1 a  b  c

1
2a
1
2b

,

Tương tự: x  1 a  b  c y  1 a  b  c
a b
bc
ca
x
,y
,z 
ab
bc
c  a , Thì  1  x   1  y   1  z    1  x   1  y   1  z 
Bài 105: Cho

18
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713

HD:
Tính

x 1 

a b
2a
1 
ab
a  b , tương tự là ra

ab bc a c bc a c ba
.

.

.
 1
Bài 106: Cho a,b,c là ba số thực khác nhau: CMR: a  b b  c c  a b  c c  a a  b
HD:
ab
2a
2b
bc
2a
2c
x
 x  1 
, x 1 
y

 y  1 
, y 1 
a b
a b
a b ,
bc
bc
bc
Đặt:
ca
2c
2a
z
 z  1 
, z 1 
ca
ca
c  a , Khi đó:  x  1  y  1  z  1   x  1  y  1  z  1
xy  yz  zx  1
Khi đó:
Bài 107: Cho x  by  cz và y  ax  by , z  ax  by và x+y+z khác 0.

Tính giá trị:
HD:

A

1
1
1



1 a 1 b 1 c

x  y  z  2  ax  by  cz   2  ax  x   2 x  a  1 

Cộng theo vế gt ta được:
1
2y
1
2z

,

Tương tự: b  1 x  y  z c  1 x  y  z

�2a  by  cz
�
�2b  ax  cz
�2c  ax  by
�

M

1
2x

a 1 x  y  z

1

1
1


x2 y2 z2

Bài 108: Cho
và a  b  c �0 , Rút gọn:
HD:
Cộng theo vế gt ta có:
2a  2b  2c  2ax  2by  2cz � a  b  c  ax  by  cz  ax  2a  a  x  2 


1
b
1
a
1
c



x  2 a  b  c , Tương tự: y  2 a  b  c , z  2 a  b  c

a 2  b2  c 2 b2  c 2  a 2 c 2  a 2  b2


1
2ab
2bc

2ac
Bài 109: Cho
, CMR trong ba số a,b,c có 1 số bằng tổng
hai số kia
HD:
 a 2  b2  c 2  c   b2  c2  a 2  a   c 2  a 2  b2  b  2abc
Từ gt ta có:
 a 2  b2  c 2  2ab  c   b2  c2  a 2  2bc  a   c 2  a2  b2  2ac  b  0

 a  b  c  a  b  c c   b  c  a  b  c  a  a   c  a  b  c  a  b b  0
 a  b  c  a  c  b  b  c  a  0

c  a  b hoặc a  c  b hoặc: b  c  a
2
2
2
bc  y  z   ca  z  x   ab  x  y 
A
ax 2  by 2  cz 2
Bài 110: Cho ax  by  cz  0 , Rút gọn
HD:
ax  by  cz 
Từ 

Xét mẫu số:

2

 0 � a 2 x 2  b 2 y 2  c 2 z 2  2  abxy  bcyz  acxz 

bc  y 2  2 yz  z 2   ac  x 2  2 xz  z 2   ab  x 2  2 xy  y 2 

19
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


 bcy 2  bcz 2  acx 2  acz 2  abx 2  aby 2   a 2 x 2  b 2 y 2  c 2 z 2 

 c  ax 2  by 2  cz 2   b  ax 2  by 2  cz 2   a  ax 2  by 2  cz 2    a  b  c   ax 2  by 2  cz 2 

Khi đó:

A

 a  b  c   ax 2  by 2  cz 2 
ax 2  by 2  cz 2
B

 a bc
x2  y 2  z 2

 y  z   z  x   x  y
Bài 111: Cho x  y  z  0 , Rút gọn:
HD:
2
 x  y  z   x 2  y 2  z 2  2  xy  yz  zx   0 � x 2  y 2  z 2  2  xy  yz  zx 
Ta có:
2  x 2  y 2  z 2   2  xy  yz  zx   2  x 2  y 2  z 2   x 2  y 2  z 2  3  x 2  y 2  z 2 
Khi đó: Mẫu =
1

B
3
Vậy
2

2

2

x4  y 4  z4 x4 y 4 z 4
 4 4 4
4
4
4
a
b
c , Tính
Bài 112: Cho các số thực a,b,c,x,y,z thỏa mãn: a,b,c �0 và a  b  c
2
9
1945
P  x  y  z  2017
HD:
� x4
x4 � � y 4
y4 � � z4
z4 �






�4 4 4
��
��
� 0
a  b  c a 4 � �a 4  b 4  c 4 b 4 � �a 4  b 4  c 4 c 4 �
�
Từ gt=>
nên x  y  z  0  P  2017
1 1 1
1
  
Bài 113: Cho a,b,c là ba số thực �0 thỏa mãn: a b c a  b  c , CMR:
1
1
1
1
 2015  2015  2015
2015
2015
a
b
c
a  b  c 2015
HD:
1
1
bc
bc

�1 1 �

 �  � 0 �

0
a a  b  c �b c �
a  a  b  c
bc
Từ gt ta có:
1
1
1
1
b  c  0  b  c  2015  2015  2015  2015
2015
a
b
b
a  b  b 2015
TH1:
1
1

 0 � bc  a 2  ab  ac  0 �  a  b   a  c   0
2
a

ab

ac

bc
TH2:
=> giống TH1:

a3
b3
c3


 1006
2
2
2
2
2
2
Bài 114: Cho a,b,c thỏa mãn: a  ab  b b  bc  c c  ca  a
,
3
3
3
3
3
3
a b
b c
c a
M 2
 2
 2

2
3
a  ab  b b  bc  c c  ca  a 2
Tính giá trị của biểu thức:
HD :
M  2 a  b  c

x  y 2  xz   1  yz   y  x 2  yz   1  xz 
x
�
y
,
xyz
�
0,
Bài 115: Cho x,y,z thỏa mãn:
và
,
1 1 1
   x y z
CMR : x y z

HD:
Từ GT ta có:

x

2

 yz  y  1  xz   x  1  yz   y 2  xz 

20
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


2
3
2
2 2
2
2
2
2
 x y  x yz  y z  xy z = xy  x z  x yz
2
3
2
2 2
2
2
3
2
2
 x y  x yz  y z  xy z  xy  x z  xy z  x yz  0
xy x  y   xyz yz  y 2  xz  x 2  z x 2  y 2  0
 
x  y �
xy  xyz  x  y  z   xz  yz �
�
� 0

 









xy  xz  yz  xyz  x  y  z 
hay
1
1
a  b  c  , a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca 
2
6 , Tính giá trị
Bài 116: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn :
của biểu thức:
a
b
c
P


bc ca ab
HD:
Do x # y nên

b

x
Bài 117: Cho

xy  xz  yz  xyz  x  y  z   0

2

 c2  a2 

 a   b  c 
;y
  b  c   a  , Tính giá trị của biểu thức M  x  y  xy
2

2

2

2bc

2

x2
x
2

2
3 , Tính độ dài của biểu thức : x 4  x 2  1
Bài 118: Cho biết x  x  1
HD :

x
2
x 2  x  1 3
1
3
1 5



 x   1 
 x  
2
x
2
x
2
x 2
Từ gt ta có : x  x  1 3
2
x4  x2  1
1
25
21
� 1�
x2
4
2

x



1

x


1


1


�
�
2
2
4
2
x
x
4
4 Vậy x  x  1 21
� x�
Nên
1
x1  2, x2 
2 rồi thay vào)
(Hoặc ta có thể giải phương trình đầu ra được
Bài 119: CMR:
HD:

x 2  yz
y 2  xz

x  1  yz  y  1  xz 

với x # y, xyz # 0, yz#1, xz#1, thì xy+xz+yz=xyz(x+y+z)

 x 2  yz  y  1  xz   x  1  yz   y 2  xz 
Từ GT ta có:
2
3
2
2 2
2
2
2
2
 x y  x yz  y z  xy z = xy  x z  x yz
2
3
2
2 2
2
2
3
2
2
 x y  x yz  y z  xy z  xy  x z  xy z  x yz  0
xy x  y   xyz yz  y 2  xz  x 2  z x 2  y 2  0

 
x  y �
xy  xyz  x  y  z   xz  yz �
�
� 0
 









xy  xz  yz  xyz  x  y  z 
hay
x2  y 2
x y
B 2
A
x  y2
x  y và
Bài 120: Cho x>y>0, hãy so sánh
HD:
 x  y  x  y
x2  y 2
x2  y 2
A
2

A


2
2
2
2
2
2
 x  y
2 xy  x 2  y 2 x 2  y 2 Vậy
, Mà x  y  2 xy  x  y , x  y  0 nên
ABài 121: Cho x(m+n)=y(n+p)=z(p+m), Trong đó x,y,z là các số khác nhau và khác 0
Do x # y nên

xy  xz  yz  xyz  x  y  z   0

21
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


mn
n p
pm


CMR : x( y  z ) y ( z  x) z ( x  y )
HD :
x  m  n y  n  p z  p  m

mn n p pm





xyz
xyz
xyz
yz
xz
xy
Từ giải thiết ta có :
 p  m   n  p    m  n   p  m   n  p    m  n
xy  xz
yz  xy
xz  yz
=
= ĐPCM
2
2
2
x  y  z  2 yz x  y  z
2
8
1
A 2
:
x 1 , y  , z  3
2

x

xz

y

yz
x

y

z
3
3
3
Bài 122: Tính giá trị của biểu thức: a,
với
HD:
A

Rút gọn biểu thức

 x  y  z  x  y  z : x  y  z  x  y  z
 x  y  x  y  z  x  y  z x  y

3
2
3
Bài 123: Cho các số a,b lần lượt thỏa mãn hệ thức: a  3a  5a  2011  0, b  3b  5b  2005  0 ,
Tính a+b

HD:
3
3
a  1  2  a  1  2008  0
b  1  2  b  1  2008  0


Từ điều kiện ta có:
và
Cộng theo vế ta được:
3
3
2
2
 2 a  b  2  0
 a  1   b  1   a  b  2   0   a  b  2  �
�a  1   a  1  b  1   b  1 �
� 
2
2
2
2
0
 a  b  2 �
 a  1   a  1  b  1   b  1  2�
�
� , Vì  a  1   a  1  b  1   b  1  2
=>
1
1

1
2
2
2
 a  b    a  1   b  1  2  0
2
2
=2
nên a+b - 2=0=> a+b=2

22
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713