CHUYÊN đề PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN lớp 8

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

a ( a + 1) = k 2
Dạng 1: Sử dụng tính chất:
x2 + x − y 2 = 0
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
x = 0
2
x +1 = 0
x ( x + 1) = y

=>
x 2 + y 2 + 3 xy = x 2 y 2
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
2
( x + y ) = x 2 y 2 − xy = xy ( xy − 1)

x2 − y 2 − x + 2 y = 1
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
2
x 2 − x = y 2 − 2 y + 1 => ( y − 1) = x ( x − 1)

x 2 + xy + y 2 = x 2 y 2
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
2
( x + y ) = x 2 y 2 + xy = xy ( xy + 1)

1
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


Dạng 2: Đưa về tổng các số chính phương

4 x 2 + 8 y 2 + 8 xy + 4 y − 8 = 0
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
2
2
( 2 x + 2 y ) + ( 2 y + 1) = 9 = 02 + 32

x2 + y 2 − x − y = 8
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
( 4 x 2 − 4 x + 1) + ( 4 y 2 − 4 y + 1) = 34
Nhân với 4 ta được:
x 2 − 4 xy + 5 y 2 = 169
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
2
( x − 2 y ) + y 2 = 169

x 2 + 5 y 2 + 2 y − 4 xy − 3 = 0
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
2
2
( x − 2 y ) + ( y + 1) = 4

x 2 + 13 y 2 − 6 xy = 100
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
HD:
2
( x − 3 y ) + 4 y 2 = 100

2 x 6 + y 2 − 2 x3 y = 64
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
2
t 2 + ( t − y ) = 64
x3 = t
nếu đặt
x+

1
1
+ y+ =4
x
y

(x

+ 1) ( x 2 + y 2 ) = 4 x 2 y

Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
2

2
1  
1 

x
−
+
y
−

÷ =4

÷
x  
y÷


2

Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:

x 4 + x 2 y 2 + x 2 + y 2 = 4 x 2 y => ( x 2 − y ) + x 2 ( y − 1) = 0
2

2

2 x 2 + y 2 − 2 xy + 2 y − 6 x + 5 = 0
Bài 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên::
HD :

2
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


(x

2

− 2 xy + y 2 ) − 6 x + 2 y + x 2 + 5 = 0

( x − y)

2

− 2 ( x − y ) − 4x + x2 + 5 = 0

=>

( x − y − 1)

2

+ ( x − 2) = 0
2

=>

x2 + 4 y 2 − 2x − 4 y + 2 = 0
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên:

HD:
( x2 − 2 x + 1) + ( 4 y 2 − 4 y + 1) = 0

4 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 − 4 xy − 4 xz + 2 yz − 6 y − 10 z + 34 = 0
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
2
( 2 x ) − 4 x ( y + z ) + y 2 + 2 yz + z 2 + y 2 − 6 y + z 2 − 10 z + 34 = 0

(

( 2x − x − y )

2

) (

) (

)

+ ( y 2 − 6 y + 9 ) + ( z 2 − 10 z + 25 ) = 0

=>

x2 + y 2 − x − y = 8
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
1  2
1  17

2
2
 2
=> ( 2 x − 1) + ( 2 y − 1) = 34
 x − x + ÷+  y − y + ÷ =
4 
4 2

m 2 + n 2 = 9m + 13n − 20

Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
( 4m2 − 36m + 81) + ( 4n2 − 52n + 169 ) = 170
Nhân 4
x 2 − 6 xy + 13 y 2 = 100
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
( x − 3 y ) 2 = 4(25 − y 2 )
y 2 ≤ 25, y 2
, mà
là số chính phương nên =>y
x 2 − 4 xy + 5 y 2 − 16 = 0
Bài 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
HD :
x 2 − 4 xy + 5 y 2 − 16 = 0
Ta có phương trình trở thành :
2
x 2 − 4 xy + 4 y 2 + y 2 = 16 => ( x − 2 y ) + y 2 = 16
( x − 2y) ∈ Z
=>

, Vì x,y là số nguyên nên
2
2
( x − 2 y ) + y = 16 = 0 + 16 = 16 + 0
=>
x 2 + y 2 + 5 x 2 y 2 + 60 = 37 xy
Bài 16: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn:
HD:

3
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


( x − y)

2

= − x 2 y 2 + 35 xy − 60 => ( x − y ) = 5 ( xy − 3 ) ( 4 − xy )
2

≥0

5 ( xy − 3) ( 4 − xy ) ≥ 0 => 3 ≤ xy ≤ 4

Giả sử có x,y nguyên thỏa mãn: VT
=>
Do x,y nguyên nên xy=3 hoặc xy=4
2
( x − y ) = 0 => x = y
Nếu xy=3 thì

và xy=3( vô lý)
2
( x − y ) = 0 => x = y = 2
Nếu xy=4 thì

.

10 x 2 + 20 y 2 + 24 xy + 8 x − 24 y + 51 < 0
Bài 17: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình:
HD:
2
2
2
( 3x + 4 y ) + ( x + 4 ) + ( 2 y − 6 ) − 1 < 0
3x + 4 y = 0, x + 4 = 0, 2 y − 6 = 0
Biến đổi:
khi
2
x + y 2 − 8 x + 3 y = −18
Bài 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD:
x5 + 29 x − 30 y = 10
Bài 19: CMR: phương trình sau không có nghiệm nguyên:
HD:

4
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


DẠNG 3 : ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

x2 + 4x − y 2 = 1
Bài 1 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
( x2 + 4x + 4) − y 2 = 5
x − y + 2 xy = 6

Bài 2 :Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:
Ta có:
<=> x ( 1 + 2 y ) − y = 6 <=> x ( 1 + 2 y ) − y −

1 11
=
2 2

2 x ( 1 + 2 y ) − ( 2 y + 1) = 11 <=> ( 2 x − 1) ( 2 y + 1) = 11

x 2 + xy + 3 y = 11
Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
2
2
 2

y y2   y2
 2x + y   y − 3 
 x + 2 x. + ÷−  − 3 y ÷ = 11 => 
÷ −
÷ =2
2 4   4

 2   2 



( 2x + y )

2

− ( y − 3) = 8 <=> ( 2 x + y + y − 3) ( 2 x + y − y + 3) = 8
2

x 2 − 25 = y ( y + 6 )
Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
x 2 − ( y 2 + 6 y ) = 25 => x 2 − ( y 2 + 6 y + 9 ) = 16

( x + y + 3)( x − y − 3) = 16

=>

x − y − 3 + x + y + 3 = 2x

mà

là 1 số chẵn nên 2 số đều chẵn
x ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) = y 2
Bài 5 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
( x2 + 3x ) ( x 2 + 3x + 2 ) = y 2 => ( a + 1 + y ) ( a + 1 − y ) = 1 a = x2 + 3x
với

2
2
x − y = 1999
Bài 6 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:
( x − y ) ( x + y ) = 1999

x 2 + 2 y = xy
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:
 2

y y2   y2
y
x
−
2
x
.
+ ÷−  + 2. .2 + 4 ÷ = −4

2 4   4
2



( x − 2 y − 2 ) ( x + 2 ) = −16

=>
x − y = 6 − 2 xy

Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :

5
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


2 xy + x − y = 6 <=> x ( 2 y + 1) − y −

1 11
=
2 2

2 x ( 2 y + 1) − ( 2 y + 1) = 11 <=> ( 2 x − 1) ( 2 y + 1) = 11

x2 + y 2 = 2x2 y 2
Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:
2 x 2 y 2 − x 2 − y 2 = 0 => x 2 ( 2 y 2 − 1) − y 2 +

1 1
=
2 2

2 x 2 ( y 2 − 1) − ( 2 y 2 − 1) = 1 => ( 2 x 2 − 1) ( 2 y 2 − 1) = 1

=>

xy = 4 ( x + y )

Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
xy − 4 x − 4 y = 0 <=> x ( y − 4 ) − 4 y + 16 = 16 <=> x ( y − 4 ) − 4 ( y − 4 ) = 16 <=> ( x − 4 ) ( y − 4 ) = 16

x ( x − 1) ( x − 7 ) ( x − 8 ) = y 2
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:
( x 2 − 8 x ) ( x 2 − 8 x + 7 ) = y 2 <=> a ( a + 7 ) = y 2

x ( x − 8 ) = y 2 − 116
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:
2
x 2 − 8 x + 16 − y 2 = −110 => ( x − 4 ) − y 2 = −110
xy + 3 x − 5 y = −3
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:
x ( y + 3) − 5 y − 15 = −18 => x ( y + 3) − 5 ( y + 3) = −18

6 x 2 y 3 + 3 x 2 − 10 y 3 = 2
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:
3x 2 ( 2 y 3 + 1) − 10 y 3 − 5 = 2
3 x 2 ( 2 y 3 + 1) − 5 ( 2 y 3 + 1) = 2
=>
2 x 2 + y 2 + 3 xy + 3 x + 2 y + 2 = 0
Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:
2

2
 2

3x + 2 )   2 ( 3x + 2 )
(
y
+ 3x + 2 ÷ = 0
 y + 2. . ( 3 x + 2 ) +
 +  2x −
÷
2
4
4

 

2

=>

3 x + 2  8 x 2 − 9 x 2 − 12 x − 4 + 12 x + 8

y
+
=0

÷ +
2 
4


( 2 y + 3x + 2 )

2

− x 2 = −4

=>

6
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


4 2
+ =1
x y
Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:
4 y + 2 x = xy => x ( y − 4 ) − 2 x = 0
1 1 1
+ =
x y 3
Bài 17 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
⇔ 3 ( x + y ) = xy ⇔ x ( y − 3) − 3 y = 0
xy − x − y = 2

Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
<=> x ( y − 1) − y + 1 = 3 <=> x ( y − 1) − ( y − 1) = 3 <=> ( x − 1) ( y − 1) = 3

x + xy + y = 9

Bài 19 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
x ( y + 1) + y + 1 = 10 <=> ( x + 1) ( y + 1) = 10
x 2 − 2 x − 11 = y 2

Bài 20 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
2
<=> ( x 2 − 2 x + 1) − y 2 = 12 <=> ( x − 1) − y 2 = 12 <=> ( x − 1 − y ) ( x − 1 + y ) = 12
x3 − y 3 = xy + 8

Bài 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Ta có :
3
( x − y ) + 3xy ( x − y ) = xy + 8
x − y = a
a3 − 8
3
3
=>
ft
<=>
a
+
3
ab
=

b
+
8
<=>
a
−
8
=
−
b
3
a
−
1
=>
−
b
=
(
)

3a − 1
 xy = b

Đặt :
27 ( a 3 − 8 ) M3a − 1 => 27 a 3 − 1 − 215M
3a − 1 => 3a − 1 ∈ U ( 215 )
1 1
1
1

+ +
=
x y 6 xy 6

Bài 22 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Ta có :
<=> 6 ( x + y ) + 1 = xy <=> xy − 6 x − 6 y = 1 <=> x ( y − 6 ) − 6 y + 36 = 37
<=> x ( y − 6 ) − 6 ( y − 6 ) = 37 <=> ( x − 6 ) ( y − 6 ) = 37

2 x 2 − 2 xy − 5 x + y + 19 = 0

Bài 23 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

7
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


HD :
Ta có :
<=> 2 x ( x − y ) − ( x − y ) − 4 x + 19 = 0 <=> ( x − y ) ( 2 x − 1) − 4 x + 2 = −17
<=> ( x − y ) ( 2 x − 1) − 2 ( 2 x − 1) = −17 <=> ( 2 x − 1) ( x − y − 2 ) = −17

x 2 + 2 y 2 + 2 xy + y − 2 = 0

Bài 24 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Ta có :
<=> x 2 + 2 yx + 2 y 2 + y − 2 = 0
∆ ' = y2 − ( 2 y 2 + y − 2) = − y2 − y + 2

Có

, Để phương trình có nghiệm thì :
1 9
3
1 3

∆ ' ≥ 0 <=>  y + ÷ ≤ <=> − ≤ y + ≤ <=> −2 ≤ y ≤ 1
2 4
2
2 2

2

x2 + ( 3 − 2 y ) x + 2 y 2 − 3 y + 2 = 0
Bài 25 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :

∆ ' = 1 − 4y 2

∆ ' ≥ 0 <=> y 2 ≤

Có

1
<=> y = 0 => x = −1, x = −2
4

, để phương trình có nghiệm thì

3x 2 + 4 y 2 + 6 x + 3 y − 4 = 0
Bài 26 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
<=> ( 3 x 2 + 6 x ) + ( 4 y 2 + 3 y ) = 4
x 2 + 5 y 2 − 4 xy + 2 y − 3 = 0

Bài 27 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
2
2
<=> ( x 2 − 4 xy + 4 y 2 ) + ( y 2 + 2 y + 1) = 4 <=> ( x − 2 y ) + ( y + 1) = 4
3 x 2 + y 2 + 4 xy + 4 x + 2 y + 5 = 0

Bài 28 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
∆ y = x 2 − 4 => ∆ y ≥ 0 <=> ( x − 2 ) ( x + 2 ) ≥ 0 => x = ±
Xét :
x 2 − ( y + 5) x + 5 y + 2 = 0
Bài 29 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Theo vi- ét ta có :
 x1 + x2 = y + 5
=> ( x1 − 5 ) ( x2 − 5 ) = 2 = 1.2 = ( −1) . ( −2 )

 x1.x2 = 5 y + 2
x 2 − 2 x − 11 = y 2

Bài 30 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :

8
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


( x − 1)

2

− y 2 = 12 <=> ( x − 1 + y ) ( x − 1 − y ) = 12

Đưa phương trình về dạng :

x 2 + 2 y 2 + 3 xy − x − y + 3 = 0

Bài 31 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Chuyển phương trình thành bậc hai với x
<=> x 2 + ( 3 y − 1) x + ( y 2 − y + 3) = 0
, có :
2
∆ = y − 2 y − 11
∆
, Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm nguyên là là số chính phương
y 2 − 2 y − 11 = k 2 ( k ∈ Z ) => y = 5, y = −3
=>
xy − 2 x + 3 y = 27
Bài 32 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
( x + 3) ( y − 2 ) = 21
Đưa phương trình về dạng :

x ( y + 3) − y = 38
Bài 33 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
( x − 1) ( y + 3) = 35
Đưa phương trình về dạng :
3 xy + x + y = 17
Bài 34 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
( 3x + 1) ( 3 y + 1) = 52
Đưa phương trình về dạng :
x 2 + x + 1 = xy − y
Bài 35 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
( x − 1) ( y − x − 2 ) = 3
Đưa phương trình về dạng :
xy 2 + 2 xy − 243 y + x = 0
Bài 36 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
2
2
x ( y + 1) = 243 y => ( y + 1) ∈ U ( 243)
( x; y ) = ( 54; 2 ) ; ( 24;8 )
=>
2 x 2 − 2 xy = 5 x − y − 19
Bài 37 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
2 x 2 − 5 x + 19
2 x 2 − 5 x + 19 = y ( 2 x − 1) => y =
2x −1

đưa phương trình về :

9
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


y ( x − 1) = x 2 + 2
Bài 38 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
3
y = x +1+
x −1
15 x 2 − 7 y 2 = 9

Bài 39 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
y 2 M3 => y M3 => y = 3 y1 => 5 x 2 − 21 y12 = 3 => xM3 => x = 3 x1
Ta có :
=> 15 x12 − 7 y12 = 1 => y12 ≡ −1( mod 3 )
=> Vô nghiệm
29 x 2 − 28 y 2 = 2000
Bài 40 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
x 2 ≡ 5 ( mod 7 )
Đưa phương trình về thành :
, Vô nghiệm
1999 x 2 − 2000 y 2 = 2001
Bài 41 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :

x 2 ≡ −1( mod 4 )
Đưa phương trình về dạng :
, Vô nghiệm

x 2 y 2 − x 2 − 8 y 2 = 2 xy

Bài 42 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
2
y 2 ( x2 − 7 ) = ( x + y )
Đưa phương trình về dạng :
x= y=0
x2 − 7
Phương trình có nghiệm
, xét x, y # 0 =>
là 1 số chính phương
2
2
x − 7 = a => ( x − a ) ( x + a ) = 7 =>
Đặt :
Tìm x
( 0;0 ) , ( 4; −1) , ( 4; 2 ) , ( −4;1) , ( −4; −2 )
x + xy + y = 9
Bài 43 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
( x + 1) ( y + 1) = 10
Đưa phương trình vê dạng :
y 2 = x ( x + 1) ( x + 7 ) ( x + 8 )
Bài 44 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :

2
y 2 = ( x 2 + 8 x ) ( x 2 + 8 x + 7 ) = z 2 + 7 z => 4 y 2 = ( 2 z + 7 ) − 49
Đưa phương trình thành :

10
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


49 = ( 2 z − 2 y + 7 ) ( 2 z + 2 y + 7 )
=>

x ( 1 + x + x 2 ) = 4 y ( y + 1)

Bài 45 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
2
1 + x + x 2 + x3 = 4 y 2 + 4 y + 1 => ( x + 1) ( x 2 + 1) = ( 2 y + 1)
Phương trình <=>
( x + 1) , ( x 2 + 1)
Vì VP là 1 số lẻ =>
là số lẻ ,
1 − x 2 Md
1 + x Md
=> 

2
2
( x + 1; x2 + 1) = d
1 + x Md
1 + x Md

Giả sử :
=> d lẻ , Mà :
2
=> ( 1 + x ) ( 1 + x )
x + 1 = x 2 + 1 => x = 0
là số chính phương =>
x 2 + xy + y 2 = x 2 y 2
Bài 46 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Ta có :
2
x 2 + xy + y 2 = x 2 y 2 => ( x + y ) = x 2 y 2 + xy = xy ( xy + 1)
 xy = 0
=> 
 xy + 1 = 0
x + y + xy = x 2 + y 2

Bài 47 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
x 2 − ( y + 1) x + ( y 2 − y ) = 0
, Điều kiện để phương trình có nghiệm là :
2
2
2
∆ ≥ 0 <=> 3 y − 6 y − 1 < 0 <=> 3 ( y − 1) ≤ 4 => ( y − 1) ≤ 1
y = 0,1, 2

Từ đó ta có :
x 2 + 2 y 2 + 3 xy − x − y + 3 = 0

Bài 48 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
x 2 + ( 3 y − 1) x + ( 2 y 2 − y + 3) = 0
Đưa phương trình về dạng :
∆≥0
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
Làm giống bài trên
( x2 + y ) ( x + y 2 ) = ( x − y ) 3
Bài 49 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
y  2 y 2 + ( x 2 − 3 x ) y + ( x + 3x 2 )  = 0
Đưa phương trình về dạng :
TH1 : y=0 => ...

11
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


y ≠ 0 => 2 y 2 + ( x 2 − 3 x ) y + ( x + 3 x 2 ) = 0

TH2 :
∆ ≥ 0 => ( x + 1) x ( x − 8 )
2

Điều kiện để phương trình có nghiệm là
phải là 1 số chính phương
2
x ( x − 8 ) = a ( a ∈ N ) => ( x − 4 − a ) ( x − 4 + a ) = 16
=>

=> Tìm x
Đáp án : (x ; y)= ( 9 ; -6), (9 ; -21), (8 ; -10), (-1 ; -1), (m ; 0) với m là số nguyên
7 ( x + y ) = 3 ( x 2 − xy + y 2 )
Bài 50 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
3x 2 − ( 3 y + 7 ) x + 3 y 2 − 7 y = 0
Đưa phương trình về dạng :
∆
Để phương trình có nghiệm thì phải là 1 số chính phương
12 x 2 + 6 xy + 3 y 2 = 28 ( x + y )
Bài 51 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Cách 1 : Đánh giá miền cực trị của x :
2
142
14  196
2

2
9 x = −3 ( x + y ) + 28 ( x + y ) =
− 3 ( x + y ) −  ≤
3
3
3


x 2 ≤ 7 => x 2 ∈ { 0;1; 4}
=>
Cách 2 : Tính

∆
x 2 + xy + y 2 = 2 x + y

Bài 52 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
x2 + ( y − 2) x + y2 − y = 0
Đưa phương trình về dạng :
∆≥0
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
x 2 + xy + y 2 = x + y
Bài 53 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
x 2 + ( y − 1) x + y 2 − y = 0
Đưa phương trình về dạng :
∆≥0
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
x 2 − 3 xy + 3 y 2 = 3 y
Bài 54 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
x 2 − 3 yx + 3 y 2 − 3 y = 0
Đưa phương trình về dạng :
∆≥0
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
x 2 − 2 xy + 5 y = y + 1
Bài 55 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :

12
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713

x 2 − 2 yx + 5 y 2 − y − 1 = 0
Đưa phương trình về dạng :
Điều kiện để phương trình có nghiệm là

∆≥0
x2 − 4 y 2 = 1

Bài 56 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
( x − 2y) ( x + 2 y) = 1
Biến đổi phương trình thành :
x 2 − y 2 = 91
Bài 57 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
( x − y ) ( x + y ) = 91
Biến đổi phương trình thành :
2 x3 + xy = 7
Bài 58 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
x ( 2 x2 + y ) = 7
Biến đổi phương trình thành :

x3 + 7 y = y 3 + 7 x

Bài 59 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
x3 − y 3 − ( 7 x − 7 y ) = 0 <=> ( x − y ) ( x 2 + xy + y 2 ) − 7 ( x − y ) = 0
<=> ( x − y ) ( x 2 + xy + y 2 − 7 ) = 0

x=y
TH1 :
x 2 + xy + y 2 = 7 => ( x − y ) = 7 − 3 xy => xy <
2

TH2 :

 x = 1 => y = 2
7
=> 
3
 x = 2 => y = 1

3x 2 + 10 xy + 8 y 2 = 96

Bài 60 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
( x + 2 y ) ( 3x + 4 y ) = 96
Đưa phương trình về dạng :
( x + 2 y ) + ( 3x + 4 y ) = 2 ( 2 x + 3 y )
Chú ý : Vì
là 1 số chẵn nên có tính chất cùng chẵn
xy + 3x − 5 y = −3
Bài 61 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
x ( y + 3) − 5 y − 15 = −18 => x ( y + 3) − 5 ( y + 3) = −18
Đưa phương trình về dạng :

13

GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


<=> ( x − 5 ) ( y + 3) = −18
x + y + 1 = xyz
Bài 62 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
x≤ y
Giả sử :
x = y => 2 x + 1 = x 2 z => x ( xz − 2 ) = 1 => x = y = 1, z = 3
TH1 :
x < y => xyz < 2 y + 1 => xyz ≤ 2 y <=> xz ≤ 2 => x = 1, y = 2, z = 2
TH2 :
hoặc
x = 2, y = 2, z = 1
2 x 2 − 2 xy − 5 x + 5 y = −19

Bài 63 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
2 x ( x − y ) − 5 ( x − y ) = −19 <=> ( 2 x − 5 ) ( x − y ) = −19
Đưa phương trình về dạng :
4 x + 11 y = 4 xy
Bài 64 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
( 4 x − 11) ( y − 1) = 1
Đưa phương trình về dạng :
x 2 − 656 xy − 657 y 2 = 1983
Bài 65 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
( x + y ) ( x − 567 y ) = 1983

Đưa phương trình về dạng :
7 x − xy − 3 y = 0
Bài 66 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
( x + 3) ( 7 − y ) = 21
Đưa phương trình về dạng :
y 2 ( x + 1) = 1576 + x 2
Bài 67 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
( x + 1) ( y 2 − x + 1) = 1577 = 19.83
Đưa phương trình về dạng :
x 2 + 2003 x + 2004 y + y = xy + 2004 xy 2 + 2005
Bài 68 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
( x − 1) ( x + 2004 − 2004 y 2 − y ) = 1
Đưa phương trình về dạng :

14
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


DẠNG 4 : ĐƯA VỀ ƯỚC SỐ
x 2 − 3x + 9 = − xy + 2 y
Bài 1 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
y ( x − 2 ) = x2 − 3 x + 9
Phương trình tương đương với :
=> x 2 − 3x + 9M2 − x
y=

x 2 − 3x + 9
2− x

Với x=2 không phải là nghiệm khi đó ta có :
x2 y + 2 y = x + 4
Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
y ( x 2 + 2 ) = x + 4 => y =

Biến đổi phương trình thành :

x+4
x2 + 2

x2 y + 2 y − 2x +1 = 0
Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
y ( x 2 + 2 ) = 2 x − 1 => y =

Biến đổi phương trình thành :

2x −1
x2 + 2

x3 − x 2 y + 3x − 2 y − 5 = 0
Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
x3 + 3x − 5 = x 2 y + 2 y = y ( x 2 + 2 )
Biến đổi phương trình về dạng :
x3 + 3x − 5

=> y =
x2 + 2
A=

x3 − 2 x2 + 7 x − 7
x2 + 3

Bài 5 : Tìm x nguyên để biểu thức sau nguyên :
HD :
4x −1
A = ( x − 2) + 2
=> ( 4 x − 1) Mx 2 + 3 => ( 4 x − 1) ( 4 x + 1) Mx 2 + 3
x +3
Ta có :
7 ( x − 1) + 3 y = 2 xy
Bài 6 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
7 x − 7 + 3 y = 2 xy => 7 ( x − 1) = 2 xy − 3 y = y ( 2 x − 3 )
ta có :
7x − 7
=> y =
2x − 3
x 2 y + xy + y − x − 1 = 0
Bài 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :

15
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713

y ( x 2 + x + 1) = x + 1 => y =

Biến đổi phương trình thành :

x +1
x + x +1
2

x2 y − 2x + 2 y +1 = 0
Bài 8 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
2x −1
y ( x 2 + 2 ) = 2 x − 1 => y = 2
x +2
x3 − x 2 y − 2 x 2 − 3 y − 7 x − 7 = 0
Bài 9 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình trở thành :
x3 − 2 x 2 − 7 x − 7 = x 2 y + 3 y = y ( x 2 + 3)
x3 − 2 x 2 − 7 x − 7
=> y =
x2 + 3
3 x + 4 y − xy = 16
Bài 10 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
xy − 3 x − 4 y = −16 <=> x ( y − 3) − 4 y + 12 = −4

x ( y − 3) − 4 ( y − 3) = −4 => ( y − 3 ) ( x − 4 ) = −4

xy − 3x − 4 y = 9

Bài 11 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
x ( y − 3) − 4 y + 12 = 21 <=> ( x − 4 ) ( y − 3) = 21
2 xy − 5 = 6 x + y

Bài 12 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
2 xy − 6 x − y = 5 <=> 2 x ( y − 3) − y + 3 = 8

( y − 3) ( 2 x − 1) = 8
( y + 2) x2 + 1 = x 2
Bài 13 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
x2 −1
x2 − 1
y + 2 = 2 => y = 2 − 2
x
x
x 2 + 2 xy + x + 1 + 3 y = 15
Bài 14 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :

16
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713

Biến đổi phương trình thành :
x 2 + x + 1 − 15 = − y ( 2 x + 3) => − y =

x 2 + x − 14
2x + 3
5 x + 25 = 8 y 2 − 3xy

Bài 15 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
3 xy + 5 x = 8 y 2 − 25 => x ( 3 y + 5 ) = 8 y 2 − 25

x=

8 y 2 − 25
3y + 5
2 xy 2 + x + y + 1 = x 2 + 2 y 2 + xy

Bài 16 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
( 2 xy 2 − 2 y 2 ) − ( xy − y ) − ( x 2 − x ) = −1
<=> 2 y 2 ( x − 1) − y ( x − 1) − x ( x − 1) = −1 <=> ( x − 1) ( 2 y 2 − y − x ) = −1

( y + 2) x2 + 1 = y2
Bài 17 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
y2 −1

x2 =
y+2
5 x − 3 y = 2 xy − 11

Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
2 xy − 5 x + 3 y = 11 <=> x ( 2 y − 5 ) = 11 − 3 y => x =

11 − 3 y
2y −5

xy − 2 x − 3 y + 1 = 0

Bài 19 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình ta có :
5
y = 2+
x −3

y ( x + 1) = x 2 + 2
Bài 20 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình ta có :
3
y = x +1+
x −1
2 x − 3 y + 5 xy = 39

Bài 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

17
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


HD :
Biến đổi phương trình thành :
2 x − 39
y=
=> 2 x − 39 ≥ 3 − 5 x => −12 ≤ x ≤ 6
3 − 5x
=> ( 2 x − 39 ) ≥ ( 3 − 5 x )
2

2

5 x − 3 y = 2 xy − 11

Bài 22 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình về dạng :
x+5
2
2
y = 2+
=> x + 5 ≥ 2 x + 3 => ( x + 5 ) ≥ ( 2 x + 3)
2x + 3

Bài 23 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :
Đưa phương trình trở thành :
( y − 1) x 2 + ( y + 1) x + y − 1 = 0

x2 − x + 1
y= 2
x + x +1

TH1 : y=1=>x=0
y ≠ 1 => ∆ x ≥ 0 <=>

TH2 :

1
≤ y ≤ 3 => y ∈ { 0;1; 2;3}
3

A=

x2 + x + 1
xy − 1

Bài 24 : Tìm các cặp (x ; y) nguyên sao cho A có giá trị nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
x + y +1
yA = x + 1 +
=> x + y + 1 ≥ xy − 1 => ( x − 1) ( y − 1) ≤ 3
xy − 1

2 ( y + z ) = x ( yz − 1)
Bài 25 : Tìm các cặp số nguyên dương x,y,z biết :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
2 y + 2z
x=
=> 2 y + 2 z ≥ yz − 1 => yz − 1 − 2 y − 2 z ≤ 0
yz − 1
A=
Bài 26 : Tìm các cặp nguyên dương a, b biêt A có giá trị nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
2 ( a + b ) M( ab + 2 ) => 2 ( a + b ) = k ( ab + 2 )

a2 − 2
ab + 2

Chứng minh k=1=>a=4, b=3
x 2 − y 2 = 2003
Bài 27 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

18
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


HD:

( x − y ) ( x + y ) = 2003
Biến đổi phương trình thành:
3 x 2 + 7 y 2 = 2002

Bài 28 : Có tồn tại hay không hai số nguyên x, y thỏa mãn :
HD:
Biến đổi phương trinhg thành:
x2
3. + y 2 = 286 => x 2 M7
x 2 < 286 => 7 ≤ x ≤ 16
x M7 => x = 7, x = 14
7
và
và
2
x = 7 => y = 165 ( l )
Với
x = 14 => y 2 = 202 ( l )
Với
x 3 + y 3 + z 3 = x + y + z + 2006
Bài 29 : Có tồn tại hay không hai số nguyên x, y thỏa mãn :
HD:
Biến đổi phương trình thành:
x 3 − x = x ( x 2 − 1) = ( x − 1) x ( x + 1) M
3
y 3 − y M3, z 3 − z M3
Tương tự ta có:

, Mà

/3
2006 M

, Vậy không tồn tại x,y,z
x + 3 = 3026
2

y

Bài 30 : Tìm các cặp số tự nhiên thỏa mãn :
HD:
y = 0 => x 2 = 3026 − 1 = 3025 => x = 55
Xét
y > 0 => 3 y M3
x2 : 3
Xét
còn
dư 0 hoặc 1
2
y
x +3 :3
=>
dư 0 hoặc dư 1, Mà 3026 chia 3 dư 2=> Vô lý

x 2 − 2 y = 2005

Bài 31 : Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên :
HD:
Với y<0 => Phương trình vô nghiệm
nếu y=0,1,2,3=> Phương trình cũng vô nghiệm
y > 3 => 2 y M8 => PT <=> x 2 − 2005 = 2 y M
8
nếu

x 2 ≡ 5 ( mod 8 )
=>
( Vô lý) do số chính phương chia 8 dưa 0 hoặc 1 hoặc 4
Bài 32: Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là 1 số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu
vi
HD:
(1≤ x ≤ y < z)
Gọi x, y là các cạnh của hình vuông
xy = 2 ( x + y + z )
x2 + y 2 = z 2
ta có:
và
(2)
2
2
2
z = ( x + y ) − 2 xy = ( x + y ) − 4 ( x + y + z )
Khi đó ta có:

19
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


=> ( x + y ) − 4 ( x + y ) + 4 = z 2 + 4 z + 4
2

=> ( x + y − 2 ) = ( z + 2 ) => ( x + y − 2 = z + 2 )
2

2

z = x+ y−4

Thay

vào (2) ta được

5 x − 3 y = 2 xy − 11

Bài 33 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
HD:
5 x + 11
x+5
y=
= 2+
=> 2 ( x + 5 ) M2 x + 3 => 7 M2 x + 3
2x + 3
2x + 3
Đưa phương trình thành:
x 2 − 2 x − 11 = y 2
Bài 34 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
HD:
( x2 − 2 x + 1) − y 2 = 12 <=> ( x − 1 − y ) ( x − 1 + y ) = 12
Biến đổi phương trình thành:

y ( x − 1) = x 2 + 2
Bài 35 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
HD:
x2 + 2
3

y=
= x +1+
x −1
x −1
Biến đôi phương trình thành:
xy 2 + 2 xy − 243 y + x = 0
Bài 36 : Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :
HD:
Biến đổi phương trình thành:
2
2
2
/ ( y + 1) => 243M
x ( y + 1) = 243 y
yM
( y + 1)
Vì
x + y = xy
Bài 37 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
HD:
Biến đổi phương trình thành:
( x − 1) ( y − 1) = 1
xy + 1 = x + y

Bài 38 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
HD:
( x − 1) ( y − 1) = 0
Biến dổi phương trình thành:
x 2 − xy = 6 x − 5 y − 8
Bài 39 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :

HD:
Biến đổi phương trình thành:
x2 − 6 x + 8
3
y=
= ( x − 1) +
x −5
x −5

20
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


x 3 − y 3 = xy + 8
Bài 40 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
HD:
Biến đổi phương trình thành:
x − y = a
3

( x − y ) + 3xy ( x − y ) = xy + 8
 xy = b
, Đặt:
Khi đó phương trình trở thành:
a3 − 8
a 3 + 3ab = b + 8 => −b =
=> a 3 − 8M3a − 1 => 27 ( a 3 − 8 ) M3a − 1
3a − 1

27 a 2 − 1 − 215M3a − 1 => 3a − 1 ∈U ( 215 )

xy − 2 x − 3 y + 1 = 0

Bài 41 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
HD:
Biến đổi phương trình thành:
2x −1
5
y=
= 2+
x−3
x −3
x 2 y 2 − x 2 − 8 y 2 = 2 xy
Bài 42 : Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :
HD:
2
y 2 x2 − 7 = ( x + y )

(

)

Biến đổi phương trình thành:

x= y=0
Phương trình đã cho có nghiệm:
x, y ≠ 0,
x2 − 7
Xét:
từ (1) =>
là 1 số chính phương

2
2
x − 7 = a => ( x − a ) ( x + a ) = 7
Đặt
=> Tìm đc x
=> (0; 0), (4; -1), (4; 2), (-4; -1), (-4; -2)

(1)

3 x 2 + 4 y 2 = 6 x + 13
Bài 43 : Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :
HD:
Biến đổi phương trình thành:
2
3 x 2 − 6 x + 3 = 16 − 4 y 2 => 3 ( x − 1) = 4 4 − y 2

(

)

=> 4 − y 2 ≥ 0 => y 2 ≤ 4 => y ≤ 2 => y = 1, y = 2

21
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


DẠNG 5: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
x4 + x2 + 1 = y 2
Bài 1 : Tìm tất cả x,y nguyên thỏa mãn :
HD:

Ta có:

x 2 + 1 ≥ 1 > 0 => y 2 = x 4 + x 2 + 1 > x 4 = ( x 2 )

2

y 2 = x 4 + 2 x 2 + 1 − x 2 = ( x 2 + 1) − x 2 ≤ ( x 2 + 1)
2

Mặt khác

(x )

2 2

(1)
2

< y 2 ≤ ( x 2 + 1) => y 2 = ( x 2 + 1)
2

(2)
2

Từ (1) và (2) ta có:
y =1
=> x 4 + x 2 + 1 = x 4 + 2 x 2 + 1 <=> x = 0 => y 2 = 1 => 
 y = −1
x4 − y 4 = 3 y2 + 1
Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :
Ta có :

x 4 = y 4 + 3 y 2 + 1 = y 4 + 2 y 2 + 1 + y 2 = ( y 2 + 1) + y 2 ≥ ( y 2 + 1)
2

2

x 4 = y 4 + 3 y 2 + 1 = y 4 + 4 y 2 + 4 − y 2 − 3 = ( y 2 + 2 ) − ( y 2 + 3) < ( y 2 + 2 )
2

Mặt khác :

(y

2

+ 1) ≤ x 4 < ( y 2 + 2 ) => x 4 = ( y 2 + 1)
2

2

2

2

Khi đó :
x 4 = y 4 + 2 y 2 + 1 => y 4 + 3 y 2 + 1 = y 4 + 2 y 2 + 1 => y = 0, x = ±1
x3 − y 3 − 2 y 2 − 3 y − 1 = 0
Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD :
Ta có :
3
x 3 = y 3 + 2 y 2 + 3 y + 1 = y 3 + 3 y 2 + 3 y + 1 − y 2 ≤ ( y + 1)

(

)

(1)
3
x = y + 2 y + 3 y + 1 = y − 3 y + 3 y − 1 + 5 y + 2 > ( y − 1)
3

3

2

(

3

2

)

2

mặt khác :
3

3
( y − 1) < x3 ≤ ( y + 1)
Khi đó :
 y = −1
3
3
x = y => 
=> x = −1
 y = − 1 (l )

2
TH1 :
3
x 3 = ( y + 1) => y 2 = 0 => x = 1
TH2 :
1 + x + x 2 + x3 = y 3
Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :

22
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


Ta có :
2

1 3 3

1 + x + x 2 =  x + ÷ + ≥ > 0 => y 3 = ( 1 + x + x 2 ) + x3 > x 3
2 4 4



y 3 = x 3 + 3x 2 + 12 x + 8 − 5 x 2 − 11x − 7 = ( x + 2 ) − ( 5 x 2 + 11x + 7 ) < ( x + 2 )
2

3

Mặt khác :

Khi đó :

x = 0
y =1
3
3
x 3 < y 3 < ( x + 2 ) => y 3 = ( x + 1) => 
=> 
 x = −1  y = 0

Bài 5 : Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là 1 số chính phương :
HD :
x 4 + 2 x3 + 2 x 2 + x + 3 = y 2
Đặt

x 4 + 2 x3 + 2 x 2 + x + 3

=> ( x 4 + 2 x 3 + x 2 ) + ( x 2 + x + 3 ) = ( x 2 + x ) + ( x 2 + x + 3) = y 2
2

=> y 2 > ( x 2 + x )

2

(x

(1)

2

+ x ) < y 2 < ( x2 + x + 2)
2

2

Vậy ta cần chứng minh

y 2 − ( x 2 + x ) = x 2 + x + 3 > 0 => y 2 > ( x 2 + x )
2

2

Thật vậy :

y 2 = ( x 2 + x + 2 ) = 3x 2 + 3x + 1 > 0
2

2
x = 1
y 2 = ( x 2 + x + 1) => x 2 + x − 2 = 0 => 
 x = −2

2 x 2 + 3 y 2 + 4 x = 19
Bài 6 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
2
4 x 2 + 6 y 2 + 8 x = 38 <=> ( 2 x ) + 2.2 x.2 + 4 + 6 y 2 = 42
Ta có :
2
2
( 2 x + 2 ) + 6 y 2 = 42 ≥ ( 2 x + 2 ) ≥ 0

( 2x + 2)
Mà

2

M4

=> Tìm x => Tìm y
x2 + 2 y 2 = 5

Bài 7 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Ta có :
2 y 2 M2
mà 5 :2 dư 1=> x2 chia 2 dư 1=> x2 chia 8 dư 1=>2y2 +x2 chia 8 dư 1 hoặc 3
mà 5 chia 8 dư 5=> Vô lý
vậy không có giá trị x, y nguyên thỏa mãn
9 x + 5 = y ( y + 1)
Bài 8 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

23
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


HD:
Nhân với 4 ta có:
36 x + 20 = 4 y 2 + 4 y

36 x + 21 = 4 y 2 + 4 y + 1 = ( 2 y + 1)

=>
2
36 x + 21M
3 => 2 y + 1M3 => ( 2 y + 1) M
9
Do
vậy không tồn tại x, y nguyên

, mà

2

/9
36 x + 21M

=> Vô lý

2 x 2 + 4 x = 19 − 3 y 2
Bài 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên :

HD:
ta có:
2
2 x 2 + 4 x + 2 = 21 − 3 y 2 => 2 ( x + 1) = 3 7 − y 2

(

=> 7 − y M2 => y
2

)

x = 2
y = ±1 => 
 x = −4

2

là số lẻ < 7=>
2x + 3 = y 2
Bài 10 : Tìm x, y nguyên sao cho :
HD:
x = 0 => y = ±2
Xét
x = 1 => y 2 = 5 =>
Xét
Vô lý
2
y 2 = 4k 2 + 4k + 1: 4
x ≥ 2 => 2 M4 => VT : 4

Với
dư 3=> y là số lẻ=> y=2k+1=>
dư 1 (vl)
Vậy không tồn tại x, y nguyên
2 x + 57 = y 2
Bài 11 : Tìm x, y nguyên sao cho :
HD :
TH1 : x là số lẻ :
x = 2n + 1( n ∈ N ) => 2 x = 2 2 n +1 = 2.4n = 2 ( 3 + 1)

n

= 2 ( B ( 3) + 1) = B ( 3) + 2
n

=>
VP là 1 số chính phương chia 3 không dư 2
TH2 : x là số chẵn :
=> x = 2n ( n ∈ N ) => y 2 − 2 2 n = 57 => ( y + 2n ) ( y − 2n ) = 3.19
y + 2n > 0 => y − 2 n > 0
Thấy
 y + 2n = 57
=> 
n
y − 2 =1

chia 3 dư 2

y + 2n > y − 2n

và
 y + 2 = 19

n
y −2 = 3
n

hoặc

x 4 + 4 x3 + 7 x 2 + 6 x + 4 = y 2
Bài 12 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD:
Ta có:

(x

4

+ 4 x 3 + 4 x 2 ) + ( 3x 2 + 6 x + 4 ) = y 2 > ( x 2 + 2 x ) + 2 ( x 2 + 2 x ) + 1 + x 2 + 2 x + 3
2

24
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713


=> y 2 > ( x 2 + 2 x + 1) + ( x 2 + 2 x + 3)
2

y 2 ≤ ( x 2 + 2 x + 3)

2

Ta cần chứng minh:
x 4 + 4 x 3 + 7 x 2 + 6 x + 4 ≤ x 4 + 4 x 2 + 9 + 4 x 3 + 12 x + 6 x 2
Khi đó:

(x

2

+ 2 x + 1) < y 2 ≤ ( x 2 + 2 x + 3)
2

vậy

=> y 2 = ( x 2 + 2 x + 2 )

2

y 2 = ( x 2 + 2 x + 3)

2

2

hoặc
x 2 + y 2 + z 2 + xyz = 20
Bài 13 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
HD:
1 ≤ x ≤ y ≤ z => VT = x 2 + y 2 + z 2 + xyz ≥ x 2 + x 2 + x 2 + x 2 = 4 x 2

Giả sử:
x = 1
=> 20 ≥ x 2 => x ≤ 2 => 
x = 2
y 2 + z 2 + yz = 19 > y 2 + y 2 + y 2 = 3 y 2 => y 2 <

19
3

TH1: Với x=1=>
y =1
y 2 < 6 => 
y = 2
=>
Nếu y=1=> Z không có giá trị, Nếu y=2=> z=3
TH2 : Với x=2 làm tương tự
1 1 1
+ + =1
x y z
Bài 14 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
HD:
3
1 ≤ x ≤ y ≤ z => 1 ≤ => x < 3 => x ∈ { 2;3}
x
Giả sử:
làm tương tự bài trên
1 1 1 1
1
1
+ + +

+ +
a b c ab bc ca
Bài 15 : Tìm các số nguyên dương a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn :

có

giá trị nguyên
HD:
ta có:
A.abc = ab + bc + ca + a + b + c => a, b, c

Giả sử :

a
có cùng tính chẵn lẻ:
a = 1
a ≥ 3 => b ≥ 5, c ≥ 7 => A < 1( l ) => 
a = 2

Nếu
b ≥ 3, c ≥ 5 => 1 < A < 3 => A = 2

nếu a=1=>

thay a=1 và A=2 vào ta được:

25
GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713