Sử dụng tính đơn điệu trong giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A) Phương pháp :
1. Đối với loại phương trình có 3 hướng để giải quyết:

Hướng 1:
Bước 1: Đưa phương trình về dạng :
kxf
=
)(
(1)
Bước 2 : Xét hàm số
)(xfy
=
Dùng lập luận để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến
Bước 3 : Lúc đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất
0
xx
=
( mà ta nhẩm được)

Hướng 2:
Bước 1 : Đưa phương trình về dạng :
)()( xgxf
=
(1)
Bước 2 : Xét hai hàm số
)(xfy
=
và
)(xgy
=

Dùng lập luận để khẳng định
)(xfy
=
là hàm đồng biến (nghịch biến)
và
)(xgy
=
là hàm nghịch biến (đồng biến)
Bước 3 : Lúc đó nếu phương trình (1) có nghiệm
0
xx
=
là nghiệm duy nhất

Hướng 3:
Bước 1: Đưa phương trình về dạng
)()( vfuf
=
(1)
Bước 2 : Xét hàm số :
)(tfy
=
.
Dùng lập luận để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến
Bước 3 : Khi đó từ (1) suy ra :
vu
=
2. Đối với loại bất phương trình có 2 hướng để giải quyết:
Hướng 1:
Bước 1: Đưa phương trình về dạng :

kxf
>
)(
(1)
Bước 2: Xét hàm số
)(xfy
=
.Dùng lập luận để khẳng định hàm số tăng (giảm)
Bước 3: Từ (1) ta thấy
)()(
α
fxf
>
Bước 4: Dựa vào định nghĩa về đơn điệu suy ra
α
>
x
nếu hàm số tăng hay
α
<
x

nếu hàm số giảm
Hướng 2:
Bước 1: Đưa phương trình về dạng :
)()( vfuf
>
(1)
Bước 2: Xét hàm số
)(xfy

=
.
Dùng lập luân để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến
Bước 3: Khi đó từ (1) suy ra:
vu
>
nếu đồng biến ,
vu
<
nếu nghịch biến
B) Bài tập ứng dụng :
Loại 1: Giải các phương trình
1.
11414
2
=−+−
xx
2.
1sin2sin3
=−−+
xx
3.
541
3
+−−=−
xxx
4.
2
5
1

)223(log
13
2
3
2
=






+++−
−−
xx
xx
5.
21
)1(22
2
−=−
−−
x
xxx
6.
1sin4
1
5sin8
1
1sin45sin8

−
−
−
=−
−−
xx
ee
xx
7.
1111
22
=++++−+−+
xxxxxx

Bài làm:
1.
11414
2
=−+−
xx
Điều kiện:



≥−
≥−
014
014
2
x

x
2
1
≥⇔
x
Nhận xét : số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hàm số
1414
2
−+−=
xxy
và
1
=
y
Xét hàm số
1414
2
−+−=
xxy
• Miền xác định :






+∞=
,
2
1

D
• Đạo hàm
2
1
0
14
4
14
2
2
'
≥∀>
−
+
−
=
x
x
x
x
y
Suy ra hàm số đồng biến
Do đó hàm số có nghiệm duy nhất và đó là
2
1
=
x
2.
1sin2sin3
=−−+

xx
Đặt
xt sin
=
, điều kiện
1
≤
t
Khi đó phương trình có dạng :
123
=−−+
tt
tt
−+=+⇔
213
(*)
Xét hàm số :
• Hàm số
ttf
+=
3)(
là hàm đồng biến trên
[ ]
1,1
−=
D
• Hàm số
ttg
−+=
21)(

là hàm nghịch biến trên
[ ]
1,1
−=
D
Từ (*) suy ra :
)()( tgtf
=
nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất
Ta thấy
1
=
t
là nghiệm phương trình (*), do đó :
Zkkxx
∈+=⇔=
π
π
2
2
1sin
3.
541
3
+−−=−
xxx
(*)
Điều kiện :
1
≥

x
Xét hàm số
1)(
−=
xxf
là hàm đồng biến trên
[
)
+∞=
,1D
Xét hàm số
54)(
3
+−−=
xxxg
• Miền xác định
[
)
+∞=
,1D
• Đạo hàm :
⇔∈∀<−−=
Dxxy 043
2'
hàm số nghịch biến
trên
D
Từ (*) ta có :
)()( xgxf
=

.
Do đó phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.Ta thấy
1
=
x
thoả mãn phương trình
Vậy phương trình có nghiệm
1
=
x
4.
2
5
1
)223(log
13
2
3
2
=






+++−
−−
xx
xx

(*)
Điều kiện :
023
2
≥+−
xx



≥
≤
⇔
2
1
x
x
Đặt
0,23
2
≥+−=
uxxu
Lúc đó :
22
113 uxx
−=−−
Khi đó : (*)
2
5
1
)2(log

2
1
3
=






++⇔
−
u
u
(**)
Xét hàm số :
2
1
3
5
1
)2(log)(
x
xxf
−







++=
• Miền xác định:
[
)
+∞=
,0D
• Đạo hàm :
03ln.5.2.
5
1
3ln)2(
1
)(
2
'
>+
+
=
x
x
x
xf
,
Dx
∈∀
Suy ra hàm số tăng trên D
Mặc khác :
2)1(
=

f
. Do đó (**) có dạng :
)1()( fuf
=
1
=⇔
u
Với
2
53
1
±
=⇔=
xu
Vậy phương trình có nghiệm
2
53
±
=
x
5.
21
)1(22
2
−=−
−−
x
xxx
Biến đổi phương trình về dạng :
xxx

xxx
−+=−+
−−
21
2
212
(*)
Xét hàm số
txf
t
+=
2)(
• Miền xác định :
RD
=
• Đạo hàm :
Dttf
t
∈∀>+=
012.2ln)('
Suy ra hàm số đồng biến
Từ (*) có dạng
)()1(
2
xxfxf
−=−
11
2
=⇔−=−⇔
xxxx

Vậy
1
=
x
là nghiệm của phương trình
6.
1sin4
1
5sin8
1
1sin45sin8
−
−
−
=−
−−
xx
ee
xx
Điều kiện :
Rx
∈∀
Biến đổi phương trình về dạng :
1sin4
1
5sin8
1
1sin45sin8
−
−=

−
−
−−
x
e
x
e
xx
(*)
Xét hàm số
t
etf
t
1
)(
−=
• Miền xác định :
RD
=
• Đạo hàm :
Dx
t
exf
t
∈∀>+=
0
1
)('
2
Suy ra hàm số đồng biến.

Từ (*) có dạng :
1sin45sin8)1sin4()5sin8(
−=−⇔−=−
xxxfxf



−=−
−=−
⇔
xx
xx
sin415sin8
1sin45sin8




=
=
⇔
2
1
sin
1sin
x
x






+=∨+=
+=
⇔
π
π
π
π
π
π
2
6
5
2
6
2
2
kxkx
kx
7.
1111
22
=++++−+−+
xxxxxx
Điều kiện :






≥++++
≥+−+
011
01
2
2
xxx
xxx





−−≥++
−≥+−
⇔
11
1
2
2
xxx
xxx
Với










≥+−
≥−



≥+−
≤−
⇔−≥+−
22
2
2
1
0
01
0
1
xxx
x
xx
x
xxx
x
x
x
∀⇔




≤
≥
⇔
0
0
Với









++≥++
≥−−



≥++
≤−−
⇔−−≥++
121
01
01
01
11
22

2
2
xxxx
x
xx
x
xxx
x
x
x
∀⇔



−≤
−≥
⇔
1
1
Vậy
RD
=

Biến đổi phương trình về dạng :
1)1()1()1(11
22
++−++++=+−+
xxxxxx
1)1()1()1()1(1
22

++−+++++=++−+⇔
xxxxxxxx
(*)
Xét hàm số
1)(
2
+−+=
ttttf
• Miền xác định
RD
=
• Đạo hàm :
1.14
1212
12
)'1(
)('
22
2
2
2
+−+−+
−++−
=
+−+
+−+
=
ttttt
ttt
ttt

ttt
tf
Nhận xét :
01212123)12(124441212
222
≥−+−>−++−=−++−=−++−
tttttttttt
⇔∀>⇒
xxf 0)('
hàm số đồng biến
Khi đó :
(*)
1)1()(
+=⇔+=⇔
xxxfxf
vô nghiệm
Vậy phương trình vô nghiệm
Loại 2:Giải các bất phương trình
1.
5429
>+++
xx
2.
1311632
22
−−−>+−−+−
xxxxxx
Bài làm:
1.
5429

>+++
xx
(1)
Điều kiện:



−≥⇔
≥+
≥+
2
042
09
x
x
x
(*)
Xét hàm số
429)(
+++==
xxxfy
• Miền xác định :
[
)
+∞−=
,2D
• Đạo hàm
Dx
xx
xf

∈∀>
+
+
+
=
0
42
1
92
1
)('
Suy ra hàm số đồng biến trên
D
Ta có :
5)0(
=
f
,do đó :
• Nếu
0
>
x
thì
5429)0()(
>+++⇔>
xxfxf
, nên
0
>
x

là nghiệm
• Nếu
02
≤≤−
x
thì
5429)5()(
≤+++⇔≤
xxfxf
nên
02
≤≤−
x

không là nghiêm.
Vậy với
0
>
x
là nghiệm của (1)
2.
1311632
22
−−−>+−−+−
xxxxxx
Điều kiện:
31
01
03
0116

032
2
2
≤≤⇔







≥−
≥−
≥+−
≥+−
x
x
x
xx
xx
(*)
Biến đổi bất phương trình thânh:

xxxxxx
−++−>−++−
3116132
22
xxxx
−++−>−++−⇔
32)3(12)1(

22
(1)
Xét hàm số
tttf
++=
2)(
2
.Ta thấy hàm số đồng biến trên
[ ]
3,1
Từ (1) ta có
231)3()1(
>⇔−>−⇔−>−
xxxxfxf
So sánh với (*) ta có :
32
≤<
x
là nghiệm của bất phương trình
Loại 3: Giải các hệ phương trình
1.



=−
−=−−
yx
xyx
4
3

)1(
11
2.





+=++
+=++
xyy
yxx
323
323
2
2
3.





=+−+−+
=+−+−+
=+−+−+
xzzzz
zyyyy
yxxxx
)1ln(33
)1ln(33

)1ln(33
23
23
23
Bài làm:
1.



=−
−=−−
yx
xyx
4
3
)1(
11
Điều kiện :