Giải tích 2 Lý thuyết và Bài tập Tích Phân Kép

TÍCH PHÂN KÉP- TÍCH PHÂN BỘI HAI (DOUBLE INTEGRAL)
1. Định nghĩa
1.1 Nhắc lại định nghĩa về tích phân xác định
 Bài toán diện tích hình thang cong

y  f  x

Cho hàm số
liên tục, đơn điệu và không âm trên đoạn
các đường thẳng x = a, x = b, trục Ox và đường cong y = f(x).

 a, b . Xét hình thang ABCD được giới hạn bởi

Ta chia đoạn [a; b] một cách tùy ý thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia
Trên mỗi đoạn nhỏ được chia

a  x0  x1  ...  xk  xk 1  ...xn  b

 xi 1; xi  ta dựng một hình chữ nhật với chiều rộng là xi  xi  xi 1 và chiều cao
n

f 



 � x ; x



i với i
i 1

i . Tổng diện tích của n hình chữ nhật trên là:
là
hình bậc thang như hình 1).

Sn  �f  i  xi
i 1

(chính là diện tích

Nhận xét: Diện tích của hình bậc thang gần bằng diện tích của hình thang cong ABCD khi n càng lớn và các đoạn

được chia càng nhỏ. Do đó diện tích S của hình thang ABCD đã cho là:

S  limSn 
n��

n

lim �f    x

max  �0 i 1

i

i

 Định nghĩa tích phân xác định
Cho f(x) là hàm số xác định trên đoạn [a; b], chia đoạn [a; b] một cách tuỳ ý thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia

a  x0  x1  ...  xk  xk 1  ...xn  b

Đặt

d  max  xi 

với

xi  xi  xi 1 ; i  1,...n
n

x

Trên mỗi đoạn i 1
hàm f(x) trên [a; b].

; xi 

lấy điểm

Tăng điểm chia lên vô hạn

i  i  1,...n 

i 1

b

 i thì I được gọi là tích phân xác định của hàm f(x) trên [a; b].

n

I �
f  x  dx  lim�f  i  xi
a

và gọi là tổng tích phân của

 n � � sao cho d � 0 , nếu trong quá trình đó I n � I (hữu hạn) mà không phụ

thuộc vào cách chia đoạn [a; b] và cách lấy điểm

Kí hiệu:

tuỳ ý, lập tổng:

I n  �f  i  xi

d �0 i 1

Khi đó ta nói hàm f(x) khả tích trên [a; b].
1.2 Định nghĩa tích phân kép
Tương tự như trên, ta cũng có thể xây dựng định nghĩa tích phân kép như sau:


Cho hàm

z   x, y 

xác định trong miền đóng, giới nội (bị chặn) D. Chia miền D thành n phần

không dẫm nhau (các phần trong Dk không có phần chung). Gọi

một điểm bất kỳ

M k  xk ; yk 

D1 , D2 ,..., D n

S k là diện tích của Dk . Trong mỗi miền Dk lấy

.Thiết lập tổng:

n

Sk  �f ( x k , y )  Sk
k

k 1

Tổng này còn được gọi là tổng tích phân kép của hàm f(x,y).
Có thể thấy, tổng

Sn phụ thuộc vào cách chia miền D và cách lấy điểm trung gian M k .
max  d  Dk   � 0

Cho n→∞, sao cho
giữa hai điểm bất kỳ thuộc D.
Khi đó, nếu tổng
điểm trung gian

với

d  Dk 

là ký hiệu đường kính mảnh

Dk , bằng khoảng các lớn nhất

Sn tiến đến một giới hạn hữu hạn S không phụ thuộc vào cách chia miền D cũng như cách lấy

M k thì giới hạn S đó được gọi là tích phân kép của hàm f(x,y) trên mền D. Ký hiệu:

f ( x, y ) ds
�
�

Vậy:

f ( x, y )ds 
�
�

n

lim �f ( x k , y )  Sk
k
max( d ( D k )) �0
k 1

Hàm số f(x,y) được gọi là hàm dưới dấu tích phân.
Miền D được gọi là miền lấy tích phân.
ds được gọi là yếu tố diện tích.

Khi đó, ta nói f(x,y) khả tích trên D.
 Chú ý:
Nếu f(x,y) khả tích trên D thì để có tích phân, ta có thể chia D bởi các đường thẳng song song với các trục tọa độ.
Khi đó,

Dk là hình chữ nhật với các cạnh xk , yk .

Một cách tổng quát, ta viết:

s  xy

(1)

Do đó, ta ký hiệu:

f ( x, y ) ds  �
f ( x, y ) dxdy
�
�
�
D

D

Vd1: Cho miền D là một miền phẳng trong
(Hình 2)

�2 .

Chia miền D bởi các đường thăng song song với hai trục tọa độ. Giả sử có miền
hình.

Dk và các đại lượng x, y như

Dk : S Dk  xk yk

Khi đó, diện tích hình

Một cách tổng quát ta được: S

 xy

2. Các định lý và tính chất
 Định lý 1: Định lý tồn tại tích phân kép
Hàm f liên tục trên miền D đóng, giới nội, có biên trơn tùng khúc thì khả tích trên miền D ấy.
Định lý này được thừa nhận, không chứng minh.
 Đường cong trơn:
Đường cong C có phương trình tham số : được gọi là trơn nếu các đạo hàm x’(t), y’(t) liên tục và không đồng thời
bằng 0.

r
r
ur

x
'(
t
)
i


y
'(
t
)
j là một hàm vecto liên tục khác 0.
r
'
Điều đó có nghĩa là vecto đạo hàm
Hình3.1
 Đường cong trơn từng khúc:
Đường cong được gọi là trơn từng khúc nếu có thể chia nó thành hữu hạn cung trơn.
Như vậy, đường cong trơn có thể được hiểu là đường cong trơn từng khúc có duy nhất một cung trơn.
Hình3.2
 Tính chất: hàm f(x,y) đã khả tích trên miền D ta có các tính chất sau đây:
i.
ii.
iii.
iv.

ds  S ( D)
�
�
D

với S(D) là diện tích miền D.

Cf ( x, y )ds  C �
f ( x, y ) ds
�

�
�
D

D

[ f ( x, y )  g ( x, y )]ds  �
f ( x, y )ds  �
g ( x, y )ds
�
�
�
�
D

D

D

f ( x, y )ds  �
f ( x, y )ds  �
f ( x, y )ds
�
�
�
�
D

D1

D2

D  D U D2 , D1 và D2 không giẫm nhau tức là giữa chúng chỉ có đường biên chung mà không có phần

1
với
trong chung.

v.

Nếu f ( x, y ) �g ( x, y ) trong D thì:

f ( x, y )ds ��
g ( x, y )ds
�
�
�
D

D

vi. Nếu M, m là các giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm f ( x, y ) trên D thì


mS (D) ��
f ( x, y ) ds �MS ( D)
�
D

 Định lý 2: Định lý về giá trị trung bình

Cho hàm f ( x, y ) liên tục trong miền đóng, giới nội, miền liên thông D. Khi đó, trong D có ít nhất một điểm

M (x 0 , y0 ) sao cho:
f ( x, y )ds  f ( x , y )S(D)
�
�
0

0

D


Khi ấy đại lượng

1
f ( x, y )ds
�
S ( D) �
D
được gọi là giá trị trung bình của hàm f ( x, y ) trên D

 Miền liên thông:
Vd2

(x , y )
Hàm f ( x, y ) liên tục trong miền đóng, giới nội D nên đạt các giá trị nhỏ nhất tại 1 1 và giá trị lớn nhất tại

 x2 , y2  cùng thuộc D.

Khi đó,

m  f  x1 , y1  �f  x, y  �f  x2 , y2   M ,   x, y  �D

Vậy theo tính chất vi: m � �M
Mặt khác, vì D liên thông nên tồn tại một đường cong liên tục

x  x  t  , y  y  t  , t1 �t �t2

 x1 , y1  và  x2 , y2  , tức là x1  x  t1  , y1  y  t1  , x2  x  t2  , y2  y  t2 

Hàm số

F  t  f  x t , y t 

là hợp của các hàm liên tục nên liên tục trên

 t1 , t2  và

t0 � t1 , t2 

sao cho:

F  t1   f  x1 , y1   m F  t2   f  x2 , y2   M

nối hai điểm

;

Vậy theo định lý về giá trị trung gian của hàm một biến F(t) tồn tại

  F  t0   f  x  t0  , y  t0  
Điểm

 x0 , y0  với x0  x  t0  , y0  y  t0  là điểm phải tìm.

 Vd3:
Bản đồ đồng mức trong Hình 12 cho thấy tuyết rơi (theo inches) xuống bang Colorado vào ngày 20 và 21 tháng
12 năm 2006. (Tiểu bang là một hình chữ nhật kích thước 388 dặm từ tây sang đông và 276 dặm từ nam đến
bắc.) Sử dụng bản đồ đồng mức để ước tính lượng tuyết rơi trung bình cho toàn bộ tiểu bang Colorado vào
những ngày này.
(Hình 4)
 Giải


Đặt gốc tọa độ tại góc tây nam của tiểu bang. Khi đó 0 �x �288,0 �y �276 và f(x, y) là tuyết rơi (theo
inches) tại vị vùng x dặm đông và y dặm bắc tính từ gốc tọa độ. Nếu R là hình chữ nhật biểu thị Colorado thì

fTB 
trung bình tuyết roei trong các ngày 20–12 tháng 12 là:

1
A R

f  x, y  dA
�
�
R

Trong đó trong đó A(R) = (388)(276). Để ước lượng giá trị của tích phân kép này, chúng ta sử dụng Quy tắc Trung

điểm với m = n = 4. Nói khác đi, chúng ta chia R thành 16 hình chữ nhật nhỏ kích thước bằng nhau, như
Hình 5. Diện tích của mỗi hình chữ nhật nhỏ là:

A 

1
 388  276   6693
2
16
(dặm)

Sử dụng bản đồ đồng mức để ước lượng giá trị của f tại tâm của mỗi hình chữ nhật nhỏ:
4

4





f  x, y  dA  ��f x i , y j A
�
�
i 1 j 1

R

= A (0 + 15 + 8 + 7 + 2 + 25 + 18.5 + 11 + 4.5 + 28 + 17 + 13.5 + 12 + 15 + 17.5 + 13)
= (6693)(207)

fTB 
Vậy

 6693  207 
 1388  276 

 12,9

Vào 20–21 tháng 12 năm 2006, lượng tuyết rơi trung bình tại Colorado xấp xỉ 13 inches.
3. Cách tính tích phân kép – Đưa về tích phân lặp
3.1 Khái niệm miền đều
3.1.1 Miền đều theo phương Oy

Oy : x  x0 (a �x0 �b) đi qua điểm trong miền D thì chi cắt biên của D tại

Mọi đường thẳng song song với trục
hai điểm: điểm vào miền M và điểm ra miền N.

Khi đó, miền D được gọi là miền đều theo phương Oy.
(Hình 6)
3.1.2

Miền đều theo phương Ox

Ox : y  y ,(c �y �d ) đi qua điểm trong miền D thì chỉ cắt biên của D

0
Mọi đường thăng song song với trục
tại hai điểm: điểm vào miền P và điểm ra miền Q.

Khi đó miền D được gọi là miền đều theo phương Ox.
(Hình 7)
3.2 Tích phân lặp


Giả sử rằng f là hàm của hai biến khả tích trên hình chữ nhật

R   a, b  � c, d 

. Chúng ta sử dụng ký hiệu

d

f  x, y  dy
�
c

để chỉ khi x không thay đổi và f(x,y) được lấy tích phân tương ứng với y từ

y  c cho đến y  d .

d

Cách làm này được gọi là tích phân riêng tương ứng với y. Như thế ta có
vào x và do đó ta có định nghĩa một hàm theo biến x như sau:

f  x, y  dy
�
c

là một hàm số phụ thuộc

d

A x  �
f  x, y  dy
c

b d
�
�
A
x
dx

f  x, y  dy �
dx


�
�
�
�
a�
c
�
Lấy tích phân hàm A với x đi từ a đến b ta được: a
b

Tích phân của vế bên phải được gọi là tích phân lặp. Khi mở các dấu ngoặc, ta được:

d
�
�
f
x
,
y
dxdy

f
x
,
y
dy
dx




�
�
�
�
�
�
a c
a�
c
�
b d

b

Tương tự ta cũng có:
b
�
�
f
x
,
y
dxdy

f
x
,
y
dx
dy




�
�
�
�
�
�
a c

c �
a
�
b d

d

3.3 Định lý Fubini cho hàm f(x,y) liên tục trên miền D
3.3.1 Sơ lược về Guido Fubini và định lý Fubini
Hình 8
Guido Fubini sinh ngày 19/1/1879 tại Venice, Italia và mất ngày 6/6/1943 tại New York, Hoa Kỳ.
Tháng 10/1901, Fubini bắt đầu giảng dạy tại đại học Catania ở Sicily. Năm 1908, ông chuyển đến Turin, nơi ông
dạy ở cả Politecnico và đại học Torino.
Ban đầu, Guido Fibini nghiên cứu về hình học vi phân theo hướng phân tích.
Tác phẩm nổi tiếng nhất của ông là “Hình học vi phân Projective”. (Dịch lại tên sách thử =))
Trong giải tích toán, định lý Fubini được giới thiệu bởi chính Guido Fubini vào năm 1907, là một kết quả xác định
các điều kiện mà theo đó người ta có thể tính toán một tích phân bội bằng cách sử dụng tích phân lặp. Người ta
có thể đổi lại thứ tự của phép lấy tích phân nếu tích phân kép cho một kết quả hữu hạn khi hàm lấy tích phân
được thay thế bằng giá trị tuyệt đối của nó. Kết quả là thứ tự của tích phân sẽ được phép thay đổi trong tích
phân lặp.
Định lý Fubini ngụ ý rằng hai tích phân lặp của một hàm hai biến bằng nhau nếu hàm khả tích.
3.3.2

Công thức 1


Cho miền D là miền đều theo phương Oy có cùng đường vào

y  y1  x 

và cùng đường ra

y  y2  x 

x  x1  y 

và cùng đường ra

x  x2  y 

.

Khi đó, miền D được xác định bởi:

D   a �x �b, y1  x  �y �y2  x  
Thì ta có công thức sau:
y2  x 
�
�
f
(x,
y)
dxdy

f
(
x
,
y
)

dy
dx
�
�
�
�
��
�
�
D
a�
y1  x 
�
b

3.3.3

Công thức 2

Cho miền D là miền đều theo phương Ox có cùng đường vào
Khi đó, miền D được xác định bởi:

D   c �y �d , x1  y  �x �x2  y  
Thì ta có công thức sau:
x2  y 
�
�
f
(
x

,
y
)
dxdy

f
(
x
,
y)dx
�
�dy
�
�
��
�
�
D
c �
x1  y 
�
d

x2

 Vd1: Tính tích phân

 3x  y  dy
�
x

x2

x2

�
y2 �
x4 � 2 x2 �
3
(3 x  y ) dy  �
3 xy  �  3x   �
3x  �
�
2 �x
2 �
2 �
�
x

 Vd2: Tính tích phân
1

x

1

x

0

0

dx xydy
��
1

1

x3
1 x4
1
dx xydy  �dx  .

��
2
2 4 0 8
0
0
0

 Vd3: Tính tích phân

y ln xdxdy
�
�
D

với D được giới hạn bởi các đường xy  1, y 

Hình 9 (vẽ giùm nha) Bài giải đưa sau

3 2

x ydxdy
�
�
2

 Vd4: Tính tích phân sau:
Bài giải đưa sau

0 1

(27/2)

x, x  2 .

.


3.4 Quy tắc trung điểm (Midpoint Rule)

f  x, y  dA ;
�
�

r u
r
f
x
,

y
i
��
j A
m



n

i 1 j 1



u
r
r
�
y ;y �
y
x
;
x


Với x i là trung điêm của i 1 i và j là trung điểm của � j 1 j �
R

 x  3 y  dA
�

�
2

 Vd: Sử dụng Quy tắc Trung điểm với m = n = 2 để ước lượng giá trị của tích phân

R

R   x, y 0 �x �2,1 �y �2

trong đó

Giải
Khi sử dụng quy tắc trung điểm với m=n=2 chúng ta lượng giá hàm
chữ nhật nhỏ. (hình 10 vẽ sau nha)

Vì vậy

x1 

tại bốn tâm của hình

1
3
5
7
, x2  , y1  , y2 
2
2
4
4

A 

Diện tích của mỗi hình chữ nhật nhỏ là

 x  3 y2 dA ;
�
�
R

f  x, y   x  3 y 2

1
2

f x , y   f  x , y   f  x , y   f  x , y  � �    �   11,875
��f  x , y  A  2 �
�
� 2 � 16 16 16 16 � 8
2

2

i 1 j 1

1

i

j

1 � 67 139 51 123 � 95

1

1

1

2

2

1

2

2

 Chú ý:
Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ phát triển một phương pháp hiệu quả để tính tích phân kép và chúng ta sẽ thấy
rằng giá trị chính xác của tích phân kép trong Ví dụ trên là –12. Nếu tiếp tục chia mỗi hình chữ nhật nhỏ trong
Hình 10 thành bốn cái nhỏ hơn với hình dạng tương tự, chúng ta sẽ nhận được các xấp xỉ theo Quy tắc Trung
điểm được hiển thị trong biểu đồ bên. Chú ý rằng các xấp xỉ này tiến dần đến giá trị đúng của tích phân kép là –
12.

Hình 1
/>%20tich%202%202014%20Chuong%203.pdf

Hình 2

Hình 3.1, 3.2

Hình 4 ( là hình
trong link này)


Hình 5 (là hình 13
trong link này)

Hình 6

Hình 7

Hình 8