Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 4 và lớp 5

Một số dạng Toán tính nhanh
I. Các bài toán về dãy cách đều.

A. Công thức tính.
Tổng = (Số đầu + số cuối) x số số hạng : 2
Số khoảng cách = (Số lớn nhất - số bé nhất) : giá trị 1
khoảng cách
Số số hạng = Số k/cách + 1 = (Số lớn nhất - số bé nhất) : giá
trị 1 k/ cách + 1
Số lớn nhất = giá trị 1 khoảng cách x số k/cách + số bé nhất
Số bé nhất = Số lớn nhất - giá trị 1 khoảng cách x số k/cách
Giá trị1 khoảng cách = hiệu 2 số liền nhau
B. Bài tập vận dụng.
Tính nhanh các tổng sau.
1, 1 + 3 + 5 + 7 + ( dãy có 50 số hạng)
Giải
Dãy trên là dãy cách đều, hai số liền nhau hơn kém nhau 2 đơn
vị: 3-1=2 ; 5-3=2
Dãy có 50 số hạng nên số đầu cách số cuối 49 khoảng cách 2 đơn
vị hay hiệu của chúng bằng : 49 x 2 = 98
Số cuối của dãy là : 1 + 98 = 99.
Tổng của dãy là : (1 + 99) x 50 : 2 = 2500
Đáp số : 2500
2, 1,2 + 1,5 + 1,8 + . . . 6,6 + 6,9
Giải
Dãy trên là dãy cách đều, hai số liền nhau hơn kém nhau 0,3 đơn
vị: 1,5-1,2= 0,3 ; 1,8-1,5 = 0,3. . .
Số số hạng của dãy là: (6,9 - 1,2) : 0,3 + 1 = 20 (số hạng)
Tổng của dãy là : (1,2 + 6,9) x 20 : 2 = 81
Đáp số : 81
C. Bài tập tự làm:

Bài 1: Tính nhanh giá trị các dãy sau:
1, Tổng của 20 số lẻ liên tiếp đầu tiên
2, 3 + 6 + 9 + . . . (dãy có 20 số hạng)
3, 0,1 + 0,2 + . . . + 0,98 + 0.99
4, 1,1 - 1,11 + 1,12 - 1,13 - 1,97 + 1,98
Bài 2 : Tìm x, biết:
1, (x+9) + (x-2) + (x+7) + (x - 4) + (x+5) + (x - 6) + (x + 3) + (x 8) + (x + 1) =95
2, (x+1) + (x+2) + (x+3) . . . + (x+99) (x+100) = 5250
ii. các bài toán về dãy cấp số nhân.

A. Công thức tính.
S= + + +...+
Nếu : = : = = k thì S x k = + + + +
S x (k - 1) = - ; S = ( - ) : (k - 1)
1

= +S-


B. Bài tập vận dụng.
Tính nhanh giá trị các dãy sau:
1, + + + +
Cách 1:
Giải
Ta thấy : : =2 ; : = 2 ; : = 2; : = 2
Đặt S = + + + +
Sx2=2x(+ + + + )=1+ + + +
Sx2=1+SBớt S ở cả hai vế, ta có:
S=1- =
Đáp số: S =

Cách 2:
Giải
Ta thấy : = 1 - ;
= -;
= - ; = - ; = Vậy : + + + + = 1 - + - + - + - + - = 1 - =
Đáp số :
Cách 3:
Giải
Ta thấy : + = = 1 - ; + + = = 1 - ;
Vậy : + + + + = 1 - =
Đáp số :
2, 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 8192
Giải
Ta thấy : 1 + 2 = 3 = 4 -1
1+2+4=7=8-1
1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 16 -1.(hay = 8 x 2 -1) . . .
Vậy 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 8192 = (8192 x 2) - 1 = 16384 - 1 =
16383
Đáp số : 16383
C. Bài tập tự làm:
Bài 1 : Tính nhanh giá trị các dãy sau:
1, + + + +
2, + + + +
3, + + + + . . . ( Dãy có 8 số hạng)
Bài 2 : Tìm x.
1, + + + + + =
2, x X ( + + + + ) =
iii. các bài toán qui về thừa số đối nhau

A. Công thức tính.

+ + = - + - + - = - (Với c-b = d-c = e-d = a)
B. Bài tập vận dụng.
Tính nhanh giá trị các dãy sau.
1, + + +
Giải
Ta thấy : = = 1 - ; = = - . . .
Vậy : + + + = 1- + - + - + - = 1 - =
Đáp số :
2


2, 1 x + x + x + x
Giải
Ta có : 1 x + x + x + x = + + +
Đặt : S = + + +
Sx2 = 2 x ( + + + ) = + + +
Sx2 = 1 - + - + - + - = 1- =
S= :2=
Vậy : 1 x + x + x + x =
Đáp số :
C. Bài tập tự làm:
Tính nhanh giá trị các dãy sau:
1, x + x + x + x + x
2, + + +
3, + + + + +
iv. các bài toán vận dụng các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng (phép
nhân, . .) để đa về tổng (tích,. . . ) tròn chục, tròn trăm

A. Lí thuyết.
a+b=b+a

axb=bxa
a+0=0+a=a
ax0= 0
ax1=a
a:1=a
0:a=0
(a + b) + c = a + (b + c)
(a x b) x c = a x (b x c)
(a + b) x c = a x c + b x c
(a - b) x c = a x c - b x
c
(a + b) : c = a : c + b : c
(a - b) : c = a : c - b : c
(a : b) : c = a : b : c = a : c : b
(a x b) : c = (a : c) x b
= a x (b : c)
a : (b : c) = a : b x c = a x c : b
a : (b x c) = a : b : c =
a:c:b
a - (b + c - d - e) = a - b - c + d + e
a + (b + c - d - e) = a
+b+c-d-e
a x 0,25 = a : 4
a : 0,25 = a x 4
a x 0,5 = a : 2
a : 0,5 = a x 2
a x 0,125 = a : 8
a : 0,125 = a x 8
a x 0,2 = a : 5
a : 0,2 = a x 5

a x 0,75 = a x 3 : 4
a : 0,75 = a : 3 x 4
a x 5 = a x 10 : 2
a : 5 = a : 10 x 2
a x 25 = a x 100 : 4
a : 25 = a : 100 x 4
....
....
- Chia nhẩm (nhân nhẩm) một số thập phân cho (với) 10;
100; 1000ta dời dấu phẩy của số đó sang trái (sang phải)
một, hai chữ số
- Nhân nhẩm (chia nhẩm) một số thập phân với (cho) 0,1;
0,01; 0,001ta dơid dấu phẩy của số đó sang phải (sang
trái) một, hai .chữ số.
- Cùng thêm hoặc cùng bớt một lợng ở cả hai số thì hiệu hai
số không thay đổi.
3


- Thêm bao nhiêu ở số này và bớt bấy nhiêu ở số kia thì
tổng hai số không thay đổi.
- Thêm a đơn vị ở số trừ và giữ nguyên số bị trừ thì hiệu
giảm a đơn vị
- Thêm a đơn vị ở số bị trừ và giữ nguyên số trừ thì hiệu
tăng a đơn vị
.....
B. Bài tập vận dụng.
Tính nhanh các giá trị sau:
1, 36,75+ 1,32 - 1,75 + 3,68 + 0,5
Giải

36,75+ 1,32 - 1,75 + 3,68 + 0,5
= (36,75 - 1,75) + (1,32 + 3,68) + 0,5
= 35 + 5 + 0,5 = 40 + 0,5 = 40,5
Đáp số : 40,5
2,

12,52 : 0,5 x6,25 : 0,25 x 2
2 x3,13 x1,25 : 0,2 x 4

Giải
12,52 : 0,5 x6,25 : 0,25 x 2 12,52 x 2 x 6,25 x 4 x 2 3,13x 4 x 2 x1,25 x5 x 4 x 2
= 4 x2 = 8
=
=
2 x3,13x1,25 : 0,2 x 4
2 x3,13 x1,25 x5 x 4
2 x3,13 x1,25 x5 x 4

Đáp số : 8
3, 467 x 138 + 138 x 534
Giải
467 x 138 + 138 x 534 = 467 x 138 + 138 x (533 + 1)
= 467 x 138 + 138 x 533 + 138 x 1 = (467 + 533) x 138 + 138
= 1000 x 138 + 138 = 138000 + 138 = 138138
Đáp số : 138138
C. Bài tập tự làm:
Bài 1 : Tính nhanh giá trị các dãy sau.
1, 32,6 x 98 + 3 x 32,6 - 32,6
4,8 x0,5 + 16 x0,25 + 20 : 10
4200 x0,02

64 x50 + 44 x100
3,
27 x38 + 146 x19
14 x56 + 7 x64 + 28 x6

2,

4,

625 + 426 618 419

5, 1,25 x 25 x 3,86 x 32
2
5

3
4

6, 4 1 7, (792,81 x 0,25 + 792,81 x 0,75) x (11 x 9 - 90 x 0,1 - 9)
8, 87 x 11 x 0,1 + 1,235 x 5555 x (3 : 4 - 0,75)
9, 817 x 15 + 85 x 816
10,

47 x38 15
38 x 46 + 23

11, - + - +
4

12,
__________________________________________________
Một số bài toán về số và chữ số
A. Lí thuyết.
1, Dủng 10 chữ số để viết số trong hệ thập phân : 0,1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2, ab = a x 10 + b
abc = a x 100 + b x 10 + c
= ab x 10 + c
= a x 100 + bc
.....
3, Hai số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau 1 đơn vị
4, Hai số chẵn hoặc hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn
vị
5, Dãy STN liên tiếp bắt đầu từ 1 thì số lợng số của dãy
bằng giá trị số đứng sau cùng. Nếu bắt đầu khác 1 thì số
lợng số của dãy bằng số lớn nhất trừ số bé nhất + 1.
6, Dãy STN liên tiếp bắt đầu chẵn, kết thúc lẻ (hoặc bắt
đầu lẻ, kết thúc chẵn) thì số lợng số chẵn bằng số lợng số
lẻ.
7, Dãy STN liên tiếp bắt đầu chẵn, kết thúc chẵn thì số lợng số chẵn hơn số lợng số lẻ là 1
8, Dãy STN l/ tiếp bắt đầu lẻ, kết thúc lẻ thì số lợng số lẻ
hơn số lợng số chẵn là 1
B. Bài tập vận dụng.
Bài1: Dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 99 có bao nhiêu số? Bao
nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?
Giải
Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 thì số lợng số của dãy bằng
giá trị số đứng sau cùng. Vậy dãy có 99 số.
Dãy STN l/ tiếp bắt đầu lẻ, kết thúc lẻ thì số lợng số lẻ hơn số lợng

số chẵn là1.
Vậy dãy có số lợng số chẵn là : (99 - 1) : 2 = 49 (số)
Số lợng số lẻ là : 99 - 49 = 50 (hoặc 49 + 1 = 50)
Đáp số : 99 số; 49 số chẵn và 50 số
lẻ.
Bài 2: Cho 4 chữ số : 0, 3, 8, 9
a, Ta có thể lập đợc bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau ? Có 3 chữ
số khác nhau ?
b, Hãy lập các số có 3 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đã cho.
Giải
a, Có 3 cách chọn các chữ số đứng ở hàng nghìn (trừ chữ số 0)
Có 3 cách chọn các chữ số đứng ở hàng trăm (trừ các chữ số đã
chọn đứng ở hàng nghìn)
Có hai cách chọn các chữ số đứng ở hàng chục (trừ các chữ số đã
chọn đứng ở hàng nghìn, hàng trăm)
5


Có một cách chọn các chữ số đứng ở hàng đơn vị (trừ các chữ số
đã chọn đứng ở hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục)
Ta lập đợc số lợng số có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số đã cho là:
3 x 3 x 2 x 1 =18 (số)
b, Các số lập đợc là: 389; 398; 380; 308; 390; 309; 893; 839; 809;
890; 803; 830; 983; 938; 908; 980; 903; 930.
Đáp số : 18 số; 18 số trên.
Bài 3: Để đánh quyển sách dày 108 trang cần ghi bao nhiêu chữ
số?
Giải
Có 9 trang đợc ghi bằng 1 chữ số từ 1 đến 9
Có 90 trang đợc ghi bằng 2 chữ số từ 10 đến 99

Số trang đợc ghi bằng 3 chữ số là : 108 - (90 + 9) = 9 (trang)
Để đánh quyển sách dày 108 trang cần ghi số chữ số là:
9 x 1 + 90 x 2 + 9 x 3 = 216 (chữ số)
Đáp số : 216 chữ số
Bài 4: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng nếu thêm chữ số 2
vào bên trái của số phải tìm thì số mới này gấp 9 lần số phải tìm.
Giải
Gọi STN có ba chữ số cần tìm là abc (a = 0);
khi thêm chữ số 2 vào bên trái số đó ta đợc số 2abc.
Theo bài ra ta có: 2abc = 9 x abc
2000 + abc = 9 x abc
Bớt abc ở cả hai vế ta có :
8 x abc = 2000
abc = 2000 : 8
abc = 250
Thử lại :
250 x 9 = 2250
Đáp số : 250
Bài 5: Điền số thích hợp vào các chữ trong các phép tính sau, biết
các chữ khác nhau thay bằng các số khác nhau
a, abcde x 4 = edcba
Giải
Để phép tính có nghĩa thì a và e phải khác 0.
Vì thừa số thứ nhất có 5 chữ số và tích có 5 chữ số nên a <3 (a =
0).
Vậy a = 1 hoặc a = 2.
Ta thấy, e x 4 cho kết quả tận cùng bằng a và là kết quả chẵn, suy
ra a = 2.
Mặt khác, a = 2 nên chữ số hàng chục nghìn của tích bằng 8
hoặc bằng 9, hay e = 8 hoặc e = 9. Vì e x 4 cho tận cùng bằng a

(hay bằng 2), suy ra e = 8.
Ta lại thấy, tích của 4 với chữ số hàng nghìn không qua 10 nên b
<3, vậy b = 0 (hoặc 1; 2) mà 4 x d + 3 (nhớ ở hàng đơn vị sang)
cho kq tận cùng bằng b (là kết quả lẻ) suy ra b = 1.
6


4 x d + 3 cho kq tận cùng bằng b (bằng1); nên d = 7 hoặc d = 2.
Nếu d = 2 thì 4 x c + 1 (nhớ ở hàng chục sang) cho tận cùng bằng c
(loại - vì không có giá trị nào thoả mãn). Vậy d = 7. Với d = 7 thì c
x 4+ 3 (nhớ ở hàng chục sang) cho tận cùng bằng c. Suy ra, c = 9.
Thay a = 2; b = 1; c = 9; d = 7; e = 8 ,ta có phép tính đúng :
21978 x 4 = 87912
Đáp số : abcde = 21978 (a = 2; b = 1; c = 9; d = 7; e
= 8)
b, ab,cd - a,bcd = 17,865
Giải
ab,cd - a,bcd = 17,865
a,bcd x 10 - a,bcd x 1 =
17,865
a,bcd x (10 - 1) = 17,865
a,bcd x 9 = 17,865
a,bcd = 17,865 : 9
a,bcd = 1,985
(hay a =1; b = 9; c = 8; d = 5)
Ta có phép tính đúng : 19.85 - 1,985 = 17,865
Đáp số : a,bcd = 1,985 (a= 1; b = 9; c = 8; d = 5)
C. Bài tập tự làm.
Bài 1: Dãy số tự nhiên 2; 3; 4 .102; 103. có bao nhiêu số? Bao
nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?

Bài 2: Cho bốn chữ số 1; 2; 4; 7 .Ta cố thể lập đợc bao nhiêu số có
4 chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho? (không liệt kê các số để
tính).
Bài 3: Để đánh một quyển sách dày 128 trang thì cần ghi bao
nhiêu chữ số?
Bài 4: Ngời ta phải đánh quyển sách dày bao nhiêu trang để tổng
số chữ số của các trang gấp đôi số trang?
Bài 4: Thay a, b,c bởi các chữ số thích hợp trong các biểu thức sau
để có phép tính đúng:
1, a,b : (a + b) = 0,5
2, a7b,8c9 : 10,01 = ac,b
3, cab = 3 x ab + 8
4, 15abc : abc = 121
5, abab + ab = 2550
Bài 5 : Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5
vào bên phải số đó thì nó tăng thêm 1112 đơn vị.
Bài 6: Cho một số có ba chữ số, nếu ta xoá bỏ chữ số hàng trăm
thì số đó giảm đI 7 lần. Tìm số đó.
Bài 7: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó chia cho hiệu
các chữ số của nó đợc thơng là 28 và d 1.
Bài 8: Tìm số có hai chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào
bên phải số đó ta đợc số lớn hơn số phải tìm 230 đơn vị.
Bài 9: Hiệu của hai số là 319. Nếu xoá bỏ chữ số 4 ở hàng đơn vị
của số bị trừ thì ta đợc số trừ. Tìm hai số đã cho.
Bài 10: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng viết thêm chữ số 0 xen
giữa chữ số hàng trăm và hàng chục ta đợc một số lớn gấp 7 lần số
đó.
7

Bài 11: Cho một số thập phân, dời dấu phẩy của số thập phân đó
sang bên phải một chữ số đợc số TP thứ hai. Cộng hai số TP lại ta
đợc 294,58. Tìm số TP ban đầu.
Bài 12: Cho một số TP, dời dấu phẩy của số TP đó sang bên trái hai
chữ số, ta đợc số thứ hai. Lấy số ban đầu trừ đi số thứ hai ta đợc
hiệu bằng 261,657. Tìm số thập phân ban đầu.
Bài 13: Cho một số TP, dời dấu phẩy của số đó sang bên phải một
chữ số ta đợc số thứ hai, dời dấu phẩy của số ban đầu sang bên
trái một chữ số ta đợc số thứ ba, cộng ba số lại ta đợc tổng bằng
360,306. Hãy tìm số TP ban đầu.
Bài 14: Khi thực hiện phép cộng hai số TP, một HS đã viết nhầm
dấu phẩy của một số hạng sang bên phải một chữ số, do đó đợc
kết quả là 692,22. Em hãy tìm hai số đã cho, biết tổng đúng của
chúng bằng 100,556.
Bài 15: Trong một phép trừ có số bị trừ là số tự nhiên, số trừ là số
thập phân mà phần thập phân có một chữ số. Một HS vì chép
thiếu dấu phẩy nên đã tiến hành trừ hai số tự nhiên và tìm đợc
kết quả là 164. Em hãy tìm số bị trừ, số trừ đã cho biết hiệu đúng
của chúng bằng 328,7.
Bài 16: Khi nhân một số tự nhiên với 45, một HS đã đặt các tích
riêng thẳng cột nh trong phép cộng nên đợc kết quả là 2934. Em
hãy tìm tích đúng của phép tính.
Bài 17: Không thực hiện phép tính, hãy tìm chữ số tận cùng của
kết quả mỗi phép tính sau (có giải thích).
a, 1 x 3 x 5 x 7 x 9 x. . . x 99
b, (1999 + 2378 + 4545 + 7956) - (315 + 598 +736 + 89)
c, 56 x 66 x 76 x 86 - 51 x 61 x 71 x 81.
Bài 18: Một ngời viết liên tiếp nhóm chữ CHAM HOC CHAM LAM
thành dãy CHAM HOC CHAM LAM CHAM HOC CHAM LAM .
a, Chữ cái thứ 1000 trong dãy là chữ gì?

b, Nếu đếm đợc trong dãy có 1200 chữ H thì đếm đợc bao nhiêu
chữ A?
c, Một ngời đếm đợc trong dãy có 1996 chữ C, hỏi ngời đó đếm
đúng hay sai? Giải thích tại sao?
Bài 19: Điền các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 vào các ô tròn sao cho tổng
3 ô liền nhau trong một hàng bằng nhau và bằng 10; bằng 12.

Bài 20: Tìm x là số tự nhiên biết :
a, (x + 238) x 45 = 22140
b, 6203 : x = 326 (d 9)
c, 4,25 x (x + 41,53) - 12,5 = 53,5
d, x : 6 X 7,2 + 1,3 X x + x : 2 + 15 = 19,95
e, 7,75 - (0,5 X x : 5 - 6,2) = 5
8


g, + = 1
h, (0,3 x x - 2,7) : 9,1 = 0
I, < <
k, 12,34 < x X 2 < 13,34
l, (x - ) x = m, 200 - 18 : (372 : 3 X x - 1) - 28 = 166
_____________________________________________________
Dấu hiệu chia hết
A. Lí thuyết
1, Dấu hiệu chia hết cho 2 : Các số chẵn thì chia hết cho 2
(các số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8; )
2, Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có chữ số tận cùng là 0; 5
thì chia hết cho 5.
3, Số chia hết cho cả 2 và 5: Là những số có chữ số tận cùng
bằng 0.

4, Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia
hết cho 3 thì số đó chia hết cho 3.
5, Dấu hiệu chia hết cho 9: Các số có tổng các chữ số chia
hết cho 9 thì số đó chia hết cho 9. (Những số chia hết cho
9 thì chia hết cho 3)
6, a : c và b : c thì (a + b) : c và (a - b) : c
7, (a + b) : c mà a : c (d r) thì (b + r) : c.
8, a : c (d r) và b : c (d r) thì (a - b) : c
9, a : b và a : c thì a : (b x c) và ngợc lại.
10,Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25): Là những số có 2
chữ số tận cùng hợp thành số chia hết cho 4 (hoặc 25).
11,Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125): Là những số có 3
chữ số tận cùng hợp thành số chia hết cho 8 (hoặc 125).
12,Số 1001 : 7 : 11 : 13 vì 7 x 11 x 13 = 1001.
B. Bài tập vận dụng.
Bài 1: Viết một chữ số vào dấu * để số 123*:
a, Chia hết cho 2: 1230; 1232; 1234; 1236; 1238
b, Chia hết cho 9: 1233
c, Chia hết cho 5: 1230; 1235
d, Chia hết cho cả 2 và 3: 1230; 1236
e, Chia hết cho cả 2 và 5: 1230
g, Chia hết cho 2 nhng không chia hết cho 3: 1232; 1234; 1238.
Bài 2: Không thực hiện phép tính, hãy giải thích tại sao : 2010 và
1992 có tổng và hiệu đều chia hết cho cả 2 và 3.
Giải
2010 : 2 và 1992 : 2 (vì 2010 và 1992 đều là số chẵn)
nên (2010 + 1992) : 2 và (2010 - 1992) : 2
2010 : 3 (vì 2 + 0 + 1 + 0 = 3; 3 : 3) và 1992 : 3 (vì 1 + 9 + 9 +
2 = 21 ; 21: 3)
Nên (2010 + 1992) : 3 và (2010 - 1992) : 3

9


Bài 3: Thay x và y trong số 1996xy để đợc số chia hết cho cả 2,; 5;
và 9
Giải
Để 1996xy : 2 thì y = 0 (hoặc 2; 4; 6; 8)
Để 1996xy : 5 thì y = 0 hoặc 5.
Để 1996xy : 2 : 5 thì y = 0
Thay y = 0 ta có : 1996xy = 1996x0
Để 1996x0 : 9 thì (1 + 9 + 9 + 6 + x + 0 ) : 9 hay (25 + x) : 9
Vì 25 : 9 = 2 (d 7) nên (x + 7) : 9 ; x là số tự nhiên bé hơn 10 nên x
= 2.
Thay x = 2 vào ta có : 1996x0 = 199620
199620 : 2 : 5 : 9
Vậy với x = 2 ; y = 0 ta có 1996xy = 199620 : 2 : 5 : 9
Đáp số : x = 2 ; y = 0 ta đợc số 199620 : 2 : 5 : 9
Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 2 d 1; chia cho 3 d 2; chia
cho 4 d 3 và chia cho 5 d 4 và chia cho 6 d 5.
Giải
Gọi số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là A.
A : 2 d 1 nên (A + 1) : 2;
A : 3 d 2 nên (A + 1) : 3
A : 4 d 3 nên (A + 1) : 4
A : 5 d 4 nên (A + 1) : 5
A : 6 d 5 nên (A + 1) : 6
Số chia hết cho 6 thì sẽ chia hết cho 2 và 3 (vì 6 = 2 x 3)
Số nhỏ nhất chia hết cho cả 6 và 4 là 12 .
Vậy số nhỏ nhất chia hết cho cả 2; 3; 4; 5; 6 bằng : 12 x 5 = 60
Hay A + 1 = 60

A = 60 - 1
A = 59
Đáp số : A = 59
Bài 5: Chứng tỏ rằng không thể thay mỗi chữ cái trong phép tính
sau bằng chữ số thích hợp để đợc một phép tính đúng.
HOC HOC HOC
_
TOT TOT TOT
1234 567 891
Giải
Tổng các chữ của HOC HOC HOC là : 3 x ( H + O + C) : 3
Tổng các chữ của TOT TOT TOT là : 3 x ( T x 2 + O ) : 3
Nên 3 x (H + O + C) + 3 x ( T x 2 + O ) :3 hay (HOC HOC HOC - TOT
TOT TOT) :3
Mà số 1234 567 891 không chia hết cho 3 nên ta không thể thay
thế mỗi chữ cái trên bằng chữ số thích hợp đẻ có phép tính đúng.
Bài 5: Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh (trong
mỗi rổ chỉ đựng một loại quả). Số quả trong mỗi rổ lần lợt là 104;
115; 132; 136 và 148 quả. Sau khi bán đợc một rổ cam, ngời bán
hàng thấy rằng số chanh còn lại gấp 4 lần số cam. Hỏi cửa hàng đó
có bao nhiêu quả mỗi loại?
Giải
Tổng số cam và chanh cửa hàng có là:
104 + 115 + 132 + 136 + 148 + 635 (quả)
10


Khi bán đi một rổ cam thì số chanh còn lại gấp 4 lần số cam nên
tổng số chanh và cam còn lại phải chia hết cho 5.
Tổng số quả là số chia hết cho 5 (635 : 5) ; số quả còn lại sau khi

bán là số chia hết cho 5 (vì chanh gấp 4 lần cam nên tổng số quả
còn lại gấp 5 lần cam) nên rổ cam bán đi có số quả là số chia hết
cho 5 . Trong 5 rổ chỉ có một rổ có số quả chia hết cho 5 . Vậy rổ
cam bán đi là rổ 115 quả.
Số quả còn lại là: 635 - 115 = 520 (quả)
Ta có sơ đồ số quả còn lại :
Cam :
520 quả
Chanh :
Theo sơ đồ Tổng số phần bằng nhau là: 1 + 4 = 5 (phần)
Số cam còn lại là : 520 : 5 = 1 0 4 (quả)
Số cam lúc đầu là : 115 + 104 = 219 (quả)
Số chanh lúc đầu là: 635 - 219 = 416 (quả)
Đáp số : 219 quả ; 416 quả.
C. Bài tập tự làm
Bài 1: Cho 4 chữ số 0; 1; 5 và 8. Hãy thiết lập các số có 3 chữ số
khác nhau thoả mãn điều kiện:
a, Chia hết cho 6
b, Chia hết cho 15
Bài 2:Hãy xác định các chữ số a, b để khi thay vào số 6a49b ta đợc sốchia hết cho:
a, 2; 5 và 9
b, 2 và 9
Bài 3: Cho a = 5x1y. Hãy thay x, y bằng những chữ số thích hợp để
đợc một số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 2; 3 và chia cho 5
d 4.
Bài 4: Viết:
a, Số lớn nhất có hai chữ số và là số chia hết cho 5
b, Số nhỏ nhất có ba chữ số và là số không chia hết cho 5
c, Số lớn nhất có ba chữ số và là số chia hết cho 5.
Bài 5: Tìm tất cả các số chẵn có ba chữ số mà khi chia mỗi số đó

cho 9 ta đợc thơng là số có ba chữ số
Bài 6: Cho ab là số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng ab chia hết
cho 9; chia cho 5 d 3. Tìm các chữ số a, b.
Bài 7: cho a = x459y. Hãy tìm x, y bởi những chữ số thích hợp để
khi chia a cho 2, 5 và 9 đều d 1.
Bài 8: Trong một đợt trồng cây, số cây lớp 5 A trồng đợc bằng số
cây lớp 5 B trồng. Tính số cây mỗi lớp trồng, biết tổng số cây của
hai lớp trồng đợc là một số chia hết cho 2; 3 và nhiều hơn 150 cây
nhng ít hơn 200 cây.
Bài 9: Cần phải viết thêm số có hai chữ số nào vào bên phải số
1935 để đợc số mới chia hết cho 102?
Bài 10: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 2 d 1,
cho 3 d 2, cho 4 d 3, cho 5 d 4, cho 6 d 5 và cho 7 d 6.
___________________________________________________
11


Một số bài toán về qui luật của dãy số
A. Lí thuyết
Một số qui luật thờng gặp.
1, Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trớc nó cộng (hoặc trừ) với một số tự nhiên.
2, Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trớc nó nhân (hoặc chia) với một số tự nhiên q khác 0.
3, Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số
hạng đứng trớc nó.
4, Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ t) bằng tổng của số hạng
đứng trớc nó cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của
số hạng ấy.
5, Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trớc nhân với số thứ
tự.
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

B. Bài tập vận dụng.
Viết tiếp ba số hạng vào dãy số sau:
a, 1, 3, 4, 7, 11, 18, . . .
b, 0, 2, 4, 6, 12, 22,
c, 1, 2, 6, 24,
a,
Giải
Ta thấy: 4 = 1 + 3
7=3+4
11 = 4 + 7
18 = 7 + 11 . . . .
Qui luật của dãy : Mỗi số hạng (kể trừ số hạng thứ ba) bằng tổng
của hai số đứng trớc nó.
Ta viết đợc 3 số hạng tiếp theo của dãy là:
29 (29 = 11 + 18) ;
47 (47 = 18 + 29) ;
76 (76 = 29
+ 47)
Ta có dãy : 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76,..
Đáp số : 1, 2, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76
b,
Giải
Ta thấy: 6 = 0 + 2 + 4
; 12 = 2 + 4 + 6 ;
22 = 4 + 6
+ 12
Qui luật của dãy : Kể từ số hạng thứ t trở đi, mỗi số bằng tổng ba
số đứng liền trớc nó.
Ta viết đợc 3 số hạng tiếp theo của dãy là:
40 (40 = 6 + 12 + 22) ;

74 (74 = 12 + 22 + 40) ;
136 (136 =
22 + 40 + 74)
Ta có dãy : 0, 2, 43, 6, 12, 22, 40, 74, 136,
Đáp số : 0, 2, 43, 6, 12, 22, 40, 74, 136,
c,
Giải
Ta thấy : 2 = 1 x 2 ;
6=2x3;
24 = 6 x 4
Qui luật của dãy : Kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số bằng tích
của số hạng đứng liền trớc nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy.
Ta viết đợc 3 số hạng tiếp theo của dãy là:
12


120 (120 = 24 x 5) ;
720 (720 = 120 x 6) ;
5040 (5040 =
720 x 7)
Ta có dãy : 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, .
Đáp số: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, .
C. Bài tập tự làm
Bài 1: Viết tiếp ba số hạng sau của dãy.
a, 0, 3, 7, 12,
b,100, 93, 85, 76,
c, 1, 3, 3, 9, 27,
Bài 2: Tìm số hạng đầu tiên của các dãy sau:
a, , 17, 19, 21.
b, ,64, 81, 1000

biết rằng mỗi dãy có 10 số hạng.
Bài 3: Em hãy cho biết:
a, Các số 50 và 133 có thuộc dãy90; 95; 100; hay không?
b, Số 1996 thuộc dãy 2, 5, 8, 11, hay không?
c, Số nào trong các số 666, 1000, 9999, thuộc dãy 3, 6, 12, 24,
d, Cho dãy số 1, 4, 7, 10, 13, .
Số 1996 có thuộc dãy trên hay không?
Giải thích tại sao?
Bài 4: a, Cho dãy số 11, 14, 17,
Số hạng thứ 1996 là số mấy?
b, Cho dãy số 1, 3, 6, 10, Số hạng thứ 40 của dãy là số mấy?
Bài 5: Điền các số thích hợp vào ô trống, sao cho tổng các số ở 3 ô
liên tiếp đều bằng 1996:
496
996
___________________________________________________
So sánh phân số
A. Lí thuyết
Một số cách so sánh phân số.
1, So sánh hai phân số cùng mẫu số.
Trong hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số lớn hơn
thì phân số đó lớn hơn và ngợc lại. Hai phân số có tử số bằng
nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
2, So sánh hai phân số cùng tử số
Trong hai phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn
thì phân số đó bé hơn và ngợc lại. Hai phân số có mẫu số bằng
nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
3, So sánh với 1
Phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì phân số đó lớn hơn 1 và ngợc
lại.Phân số có tử số bằng mẫu số thì phân số đó bằng 1.

4, So sánh phần bù đơn vị của hai phân số.
Trong hai phân số, phân số nào có phần bù đơn vị lớn hơn thì
phân số đó bé hơn và ngợc lại.
Ví dụ : So sánh hai phân số và
Giải
Ta thấy : 1 - = ;
1- =
Vì > nên
<
13


Đáp số: <
(Thờng dùng khi hiệu m/ số và tử số của hai PS bằng nhau hoặc
chia hết cho nhau)
5, So sánh phần hơn đơn vị của hai phân số
Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn đơn vị lớn hơn
thì phân số đó lớn hơn và ngợc lại.
Ví dụ : So sánh hai phân số và
Giải
Ta thấy : - 1 =
-1=
Vì > nên >
Đáp số:
>
(Thờng dùng khi hiệu tử số và m/ số của hai PS bằng nhau hoặc
chia hết cho nhau)
6, Đa về hỗn số để so sánh.
Trong hai hỗn số, hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì hỗn số đó
lớn hơn và ngợc lại; nếu phần nguyên bằng nhau thì hỗn số nào có

phần phần phân số bé hơn 1 lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn.
Ví dụ: a, So sánh hai phân số
và
Giải
Ta thấy : = 4
và
=3
Vì 4 > 3 nên 4 > 3 . Vậy >
Đáp số: và
b, So sánh hai phân số
và
Giải
Ta thấy: = 3
và
=3
Vì <
nên 3 < 3 . Vậy <
Đáp số: <
(Thờng dùng khi các phân số khi đa về hỗn số có sự chênh lệch về
phần nguyên hoặc phần nguyên bằng nhau nhng phần phân số có
các tử số hoặc các mẫu số bằng nhau hay chia hết cho nhau)
7, So sánh hai phân số qua phân số trung gian.
Phân số trung gian là phân số nằm giữa, lớn hơn PS này nhng bé
hơn phân số kia
<
và
<
thì
<
và ngợc lại.

Ví dụ: So sánh hai phân số
và
Giải
Ta thấy: <
mà < . Vậy <
Hoặc
<
mà < . Vậy <
Đáp số:
<
(Thờng dùng khi tử số của phân số A bé hơn tử số của phân số B
nhng mẫu số của phân số A lại lớn hơn mẫu số của phân số B và
ngợc lại. Phân số trung gian trong trờng hợp đó chính là phân số
có tử số của phân số A và mẫu số của phân số B hoặc mẫu số
của phân số A và tử số của phân số B)
8, Rút gọn rồi so sánh.
Rút gọn, đa hai phân số về cùng tử số hoặc cùng mẫu số để so
sánh.
Ví dụ: So sánh hai phân số
và
14


Giải
Ta thấy : = = =
Vì >
nên
>
Đáp số:
>

9, Nhân với phân số nghịch đảo.
A x C > B x C thì A > B
Mục đích của việc nhân với phân số nghịch đảo là để đa một
giá trị về bằng 1 và giá trị còn lại sẽ lớn hơn hoặc bé hơn 1.
Ví dụ: So sánh hai phân số và
Giải
Ta thấy: x = 1
;
x =
Vì 1 <
nên
<
Đáp số:
<
10, Nghịch đảo phân số.
Phân số nào khi nghịch đảo có giá trị lớn hơn thì phân số đó
bé hơn.
Ví dụ: So sánh hai phân số và
Giải
Nghịch đảo phân số ta đợc phân số = 1 = 1
Nghịch đảo phân số ta đợc phân số = 1
Vì > nên 1 > 1 hay >
>
nên
<
Đáp số:
<
11, So sánh thơng tìm đợc.
Ví dụ: So sánh hai phân số
và

Giải
Ta thấy :
= 0,04
;
= 0,15
Vì 0,04 < 0,15 nên
<
Đáp số: <
12, So sánh bằng sơ đồ đoạn thẳng.
Biểu thị giá trị các phân số trên sơ đồ đoạn thẳng rồi so sánh.
Ví dụ: So sánh hai phân số
và
Giải
Ta biểu thị giá trị hai phân số trên sơ đồ đoạn thẳng nh sau:
5/8

7/10

Nhìn vào sơ đồ ta thấy phân số
Đáp số:
13, So sánh số lần gấp của tử số
Ví dụ: So sánh hai phân số và
Giải
Ta thấy: 14 : 2 = 7
30 : 5
15

<
<
và mẫu số.

=6


Vì 7 > 6 nên >
Đáp số: >
(Các cách thờng vận dụng là so sánh phần bù đơn vị, phần hơn
đơn vị, so sánh qua phân số trung gian, so sánh hai phân số cùng
tử số, cùng mẫu số)
B. Bài tập tự làm.
Bài 1: Hãy so sánh các cặp phân số sau bằng cách nhanh nhất.
a, và
b, và
c, và
d, và
e, và
g, và
h, và
i, và
k, và
l, và
m, và
n, và
Bài 2: Hãy chứng tỏ các phân số sau bằng nhau.
a, và
b, và
c, và
Bài 3: Hãy xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần:
;
;
;

;
Bài 4: Không qui đồng mẫu số, hãy so sánh các phân số sau bằng
cách thuận tiện nhất rồi sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần:
a, ;
;
;
b, ;
;
;
Bài 5: Tìm phân số nhỏ nhất trong các phân số sau.
a, ;
;
;
;
b, ;
;
;
;
Bài 6: Hãy tìm 5 phân số nằm giữa hai phân số
a, và
b, và
____________________________________________________
Dạng toán tìm số trung bình cộng
A. Lí thuyết
1, Trung bình cộng của ba số a, b, c là (a + b + c) : 3
2, Trung bình cộng của 3 số là a đơn vị thì tổng của 3 số
bằng a x 3
3, Trong 3 số, nếu một số bằng trung bình cộng của cả 3 số
thì sẽ bằng trung bình cộng của hai số còn lại .
4, Trong 3 số, nếu một số bằng trung bình cộng của hai số

còn lại thì sẽ bằng trung bình cộng của cả ba số đó .
5, Cho 3 số a, b, c . Nếu c vợt mức trung bình cộng cả cả ba
số là d đơn vị thì trung bình cộng của chúng bằng (a + b
+ d) : 2.
6, Cho 3 số a, b, c . Nếu c kém mức trung bình cộng cả cả
ba số là d đơn vị thì trung bình cộng của chúng bằng (a +
b - d) : 2.
7, Trong dãy cách đều, trung bình cộng của dãy chính bằng
trung bình cộng của các cặp số ở hai đầu dãy lại và nếu số
lợng số lẻ thì trung bình cộng của dãy cũng chính bằng giá
trị số đứng giữa.
B. Bài tập vận dụng.
Bài 1: Trung bình cộng của hai số là 13. Nếu xét thêm một số thứ
ba nữa thì trung bình cộng của ba số là 11. Tìm số thứ ba.
16


Giải
Tổng của hai số đầu là : 13 x 2 = 26
Tổng của cả ba số là: 11 x 3 = 33
Số thứ ba là: 33 - 26 = 7
Đáp số: 7
Bài 2: Tìm 5 số lẻ liên tiếp biết tổng của chúng là 105
Giải
Trung bình cộng của 5 số lẻ liên tiếp hay giá trị số đứng ở giữa là:
105 : 5 = 21
Hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị. Hai số lẻ đứng trớc 21 là
19 và 17 còn hai số lẻ đứng sau 21 là 23 và 25
Vậy 5 số lẻ cần tìm là: 17 ; 19 ; 21 ; 23 ; 25
Đáp số: 17 ; 19 ; 21 ; 23 ; 25

Bài 3:Lân có 20 hòn bi. Long có số bi bằng nữa số bi của Lân. Quí
có số bi nhiều hơn trung bình cộng của cả ba bạn là 6 hòn bi. Hỏi
quí có bao nhiêu hòn bi?
Giải
Số bi của Long là: 20 : 2 = 10 (hòn bi)
Tổng số bi của Long và Lân là: 20 + 10 = 30 (hòn bi)
Ta có sơ đồ:
Số bi của Long và Lân (30 bi)
Quí ? bi
6bi
Trung bình cộng
Nhìn vào sơ đồ ta thấy, trung bình cộng số bi của ba bạn là:
(30 + 6) : 2 = 18 (hòn bi)
Số bi Quí có là: 18 + 6 = 24 (hòn bi)
Đáp số: 24 hòn bi.
Bài 4: Có ba con gà, vịt và ngan. Hai con gà và vịt nặng tất cả 5
kg. Hai con gà và ngan nặng tất cả là 9 kg. Hai con ngan và vịt
nặng tất cả là 10 kg. Hỏi trung bình mỗi con nặng tất cả mấy ki
lô gam?
Giải
Theo bài ra ta có: gà + vịt = 5 kg
gà + ngan = 9 kg
ngan + vịt = 10 kg
2 x (gà + ngan + vịt) = 24 kg
Vậy ba con ngan , gà , vịt nặng tất cả là:
24 : 2 = 12 (kg)
Trung bình mỗi con nặng số kg là: 12 : 3 = 4 (kg)
Đáp số: 4 kg
C. Bài tập tự làm
Bài 1: Trung bình cộng của cả ba số là 35. Tìm ba số đó, biết

rằng số thứ nhất gấp đôI số thứ hai và số thứ hai gấp đôI số thứ
ba.
17


Bài 2: Tìm sáu số chẵn liên tiếp biết tổng của chúng là 90.
Bài 3: Trung bình cộng số tuổi của hai anh emít hơn tuổi anh là
4 tuổi. Hỏi anh hơn em mấy tuổi.
Bài 4: Tuổi trung bình của một đội bóng đá (11 ngời) là 22. Nếu
không kể đội trởng thì tuổi trung bình của 10 cầu thủ còn lại
chỉ là 21. Tính tuổi của đội trởng.
Bài 5: Lớp 4A có 40 học sinh. Lớp 4B có 36 học sinh. Lớp 4C có số học
sinh ít hơn trung bình cộng của cả ba lớp là 2 bạn. Tính số học
sinh lớp 4C.
Bài 6: Có ba xe chở gạo. Xe thứ nhất chở 4,9 tấn, xe thứ hai chở 4,3
tấn, xe thứ ba chở kém mức trung bình của cả ba xe là 0,2 tấn.
Hỏi:
a, Mức trung bình của cả ba xe?
b, Xe thứ ba chở bao nhiêu?
___________________________________________________
Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó
A. Lí thuyết
SB = (T - H) : 2
SL = SB + H hoặc SL = T - SB
SL = (T + H) : 2
SB = SL - H hoặc SB = T - SL
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tổng của hai số chẵn là 106. Tìm hai số chẵn đó biết
rằng giữa chúng còn có 5 số lẻ nữa.
Giải

Giữa hai số chẵn còn có 5 số lẻ nên dãy có 6 số chẵn, số chẵn đầu
cách số chẵn cuối 5 khoảng cách 2 đơn vị hay hiệu của chúng
bằng:
2 x 5 = 10
Số chẵn bé là: (106 - 10) : 2 = 48
Số chẵn lớn là: 106 - 48 = 58
(hoặc 48 + 10 = 58)
Đáp số: 48 ; 58
Bài 2: Trong một phép trừ biết tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu
bằng 6542 và hiệu lớn hơn số trừ 684. Tìm số bị trừ, số trừ và
hiệu.
Giải
Ta thấy: Tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu chính bằng hai lần số
bị trừ.
Vậy số bị trừ hay tổng của hiệu và số trừ bằng : 6542 : 2 = 3271
Số trừ bằng: (3271 - 684) : = 1293,5
Hiệu bằng : 1293 + 684 = 1977,5
Đáp số: 3271 ; 1293,5 ; 1977,5
Bài 3: Mẹ sinh ra Tâm lúc mẹ 26 tuổi. Đến năm 2000 thì tổng số
tuổi của hai mẹ con là 42. Hỏi mẹ sinh ra Tâm vào năm nào?
Giải
Mẹ sinh Tâm lúc mẹ 26 tuổi tức mẹ hơn Tâm 26 tuổi.
Đến năm 2000 thì tuổi mẹ là: (42 + 26) : 2 = 34 (Tuổi)
18


Mẹ sinh Tâm cách đây số năm : 34 - 26 = 8 (năm)
Vậy mẹ sinh Tâm năm 2000 - 8 = 1992
Đáp số: Năm 1992.
Bài 4: Tổng của ba số là 1999. Số thứ nhất lớn hơn tổng của hai số

kia 67 đơn vị. Số thứ hai lớn hơn số thứ ba 48 đơn vị. Tìm ba số
đó.
Giải
Theo bài ra ta có sơ đồ:
67
Số thứ nhất:
1999
Tổng hai số kia:
Số thứ nhất là : (1999 + 67) : 2 = 1033
Tổng hai số kia là: 1999 - 1033 = 966
Số thứ hai là : (966 + 48) : 2 = 507
Số thứ ba là : 459 - 48 = 459
Đáp số: 1033 ; 507 ; 459
Bài 5: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 96 m. Biết rằng
nếu tăng chiều rộng thêm 4,5 m và giảm chiều dài đi 5,5 m thì
mảnh đất đó trở thành hình vuông. Hãy tính diện tích mảnh đất
đó.
Giải
Khi tăng chiều rộng thêm 4,5 m và giảm chiều dài đi 5,5 m thì
chiều dài bằng chiều rộng. Vậy lúc đầu chiều dài hơn chiều rộng
số m là :
4,5 + 5,5 = 10 (m)
Nửa chu vi hay tổng chiều dài và chiều rộng mảnh đất là :
96 : 2 = 48 (m)
Chiều rộng mảnh đất là : (48 - 10) : 19 (m)
Chiều dài mảnh đất là: 19 + 10 = 29 (m)
Diện tích mảnh đất là : 19 x 29 = 511 (m2)
Đáp số: 511 m2
C. Bài tập tự làm
Bài 1: Tổng của hai số lẻ liên tiếp là 284. Tìm hai số đó.

Bài 2: Hiện nay mẹ 31 tuổi. Sau 20 năm nữa tuổi mẹ sẽ bằng
tổng số tuổi của con trai và con gái. Tính tuổi hiện nay của mỗi
con, biết rằng con trai kém con gái 3 tuổi.
Bài 3: Một mảnh vờn hình thang có diện tích 2240 m2, chiều cao
35 m và đáy lớn dài hơn đáy bé 34 m. Tìm độ dài mỗi đáy.
Bài 4: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 784 m. Tính diện
tích thử ruộng biết rằng khi viết thêm chữ số 2 vào trớc số đo
chiều rộng thì đợc số đo chiều dài.
Bài 5: Cho một số có hai chữ số và tổng hai chữ số đó là 10. Nếu
đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì số đã cho giảm 54 đơn vị. Tìm
số đó.
Bài 6: Ngày xuân, ba bạn Huệ, Mai, Hằng đi trồng cây. Biết rằng,
tổng số cây của ba bạn trồng đợc là 17 cây. Số cây của hai bạn
19


Huệ và Hằng trồng đợc nhiều hơn số cây của Mai trồng đợc là 3
cây. Số cây của Huệ trồng đợc bằng 2/3 số cây trồng đợc của
Hằng. Em hãy tính xem mỗi bạn trồng bao nhiêu cây?
Bài 7: Hai bể dầu chứa tất cả 3980 lít dầu. Nếu ngời ta chuyển
5000 l dầu từ bể thứ nhất sang bể thứ hai thì lúc đó bể thứ hai sẽ
nhiều hơn bể thứ nhất 160 l dầu. Hãy tính xem lúc đầu mỗi bể
chứa bao nhiêu l dầu?
Bài 8: Khối lớp Bốn của nhà trờng có bốn lớp với tổng số học sinh là
174 bạn. Lớp 4A nhiều hơn lớp 4B là 16 bạn, lớp 4C ít hơn lớp 4A là
10 bạn, lớp 4D và lớp 4B có số học sinh bằng nhau. Hãy tính xem mỗi
lớp đó có bao nhiêu học sinh?
Bài 9: Tìm hai số biết rằng 5/8 tổng hai số lớn hơn hiệu của chúng
là 16 đơn vị. Nửa tổng hai số phải tìm lớn gấp 8 lần nửa hiệu của
chúng.

Bài 10: Tổng của hai số bằng 3618. Nếu viết thêm chữ số 2 vào
bên trái số bé thì đợc số lớn. Tìm hai số đã cho lúc đầu.
____________________________________________________
Dạngtoán tìm cácsố khi biết tổng(hiệu) và tỉ số của chúng
A. Lí thuyết.
Các bớc giải.
Bớc 1: Vẽ sơ đồ
Bớc 2: Tìm tổng (hiệu) số phần bằng nhau.
Bớc 3: Tìm giá trị một phần = tổng (hiệu) : tổng (hiệu) số phần
bằng nhau.
Bớc 4: Tìm các giá trị của bài toán.
Số lớn = giá trị 1 phần x số phần của số lớn.
Số bé = giá trị 1 phần x số phần của số bé (hoặc lấy tổng - số
lớn)
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tổng của hai số bằng 0,25 . Thơng của hai số cũng bằng
0,25 . Tìm hai số đó.
Giải
0,25 =
Theo bài ra ta có sơ đồ bài toán
Số thứ nhất :
0,25
Số thứ hai:
Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là: 1 + 4 = 5 (phần)
Số thứ nhất là: 0,25 : 5 x 1 = 0,05
Số thứ hai là: 0,05 x 4 = 0,2
Đáp số: 0,05 ; 0,2

20

Bài 2: Một ngời có số gạo tẻ nhiều hơn số gạo nếp là 25 kg. Ngời đó
đã bán 10,5
kg gạo mỗi loại nên số gạo nếp còn lại bằng số gạo tẻ
còn lại. Hỏi lúc đầu ngời đó có tất cả bao nhiêu kg gạo?
Giải
Khi bán 10,5 kg số gạo mỗi loại thì số gạo tẻ vẫn hơn số gạo nếp 25
kg.
Ta có sơ đồ bài toán: Số gạo nếp:
25
kg

Số gạo tẻ:
Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 7 - 3 = 4 (phần)
Số gạo nếp còn lại sau khi bán là: 25 : (7 - 3 ) x 3 = 18,75 (kg)
Số gạo nếp ngời đó có lúc đầu là: 18,75 + 10,5 = 29,25 (kg)
Số gạo tẻ ngời đó có lúc đầu là: 29,25 + 25 = 54,25 (kg)
Lúc đầu ngời đó có tất cả số kg gạo là: 29,25 + 54, 25 = 83,5 (kg)
Đáp số : 83,5 kg
Bài 3: Kho I chứa 35,4 tấn ngô, kho II chứa 27,8 tấn ngô. Ngời ta
vừa chuyển một số
tấn ngô từ kho I sang kho II nên lợng ngô ở
kho I bằng lợng ngô ở kho II. Hỏi ngời ta đã chuyển bao nhiêu tấn
ngô từ kho I sang kho II?
Giải
Tổng số ngô ở kho I và kho II là: 35,4 + 27,8 = 63,2 (tấn)
Khi chuyển một số tấn ngô ở kho I sang kho II thì tổng số ngô ở
cả hai kho không thay đổi hay vẫn bằng 63,2 tấn.
Ta có sơ đồ số ngô sau khi chuyển :
Kho I

:
63,2 tấn
Kho II

:

Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là : 2 + 3 = 5 (phần)
Số ngô ở kho I sau khi chuyển sang ở kho II là : 63,2 : (2 + 3) x 2 =
25,28 (tấn)
Ngòi ta đã chuyển số tấn ngô từ kho I sang kho II là: 35,4 - 25,8 =
9,6 (tấn)
Đáp số: 9,6 tấn
Bài 4: Lừa và ngựa cùng nhau thồ hàng, các bao hàng đều nặng
bằng nhau. Lừa kêu ca là mang nặng. Ngựa bèn nói: Bạn còn kêu
nỗi gì? Nếu tôi cho bớt bạn 1 bao hàng thì chúng ta mới mang
nặng ngang nhau. Còn nếu bạn cho bớt tôi 1 bao hàng thì số bao
hàng của tôi sẽ gấp đôi của bạn. Tính xem mỗi con mang mấy
bao hàng?
Giải
Ngựa cho Lừa 1 bao thì số bao chúng mang bằng nhau. Vậy số bao
lúc đầu Ngựa mang nhiều hơn Lừa là : 1 + 1 = 2 (bao)
21


Nếu Ngựa bớt sang cho Lừa 1 bao thì số bao Ngựa mang nhiều
hơn Lừa là:
2 + 1 x 2 = 4 (bao)
Theo bài ra, ta có sơ đồ:
Lừa:
4 bao

Ngựa :
Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 2 - 1 = 1 (phần)
Lúc đầu, Ngựa mang số bao hàng là: 4 : 1 x 2 - 1 = 7 (bao)
Lúc đầu, Lừa mang số bao hàng là: 7 - 2 = 5 (bao)
Đáp số : 5 bao ; 7 bao
Bài 5: số kẹo của Dũng thì bằng số kẹo của Hùng. Hai bạn có tất
cả 38 cáikẹo. Tính số kẹo của mỗi bạn?
Giải
=
; =
Hay số kẹo của Dũng = số kẹo của Hùng
Ta có sơ đồ bài toán:
Dũng :
38 kẹo
Hùng :
Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là: 9 + 10 = 19 (phần)
Dũng có số kẹo là : 38 : 19 x 10 = 20 (kẹo)
Hùng có số kẹo là : 38 - 20 = 18 (kẹo)
Đáp số : 20 kẹo ; 18 kẹo.
C. Bài tập tự làm.
Bài 1: Hai tấm vải xanh và đỏ dài tất cả 68 m. Nếu cắt bớt tấm
vải xanh và tấm vải đỏ thì phần còn lại của hai tấm vải dài bằng
nhau. Tính chiều dài của mỗi tấm vải.
Bài 2: Tuổi của Tuấn (tính theo số ngày) thì bằng tuổi của bố
(tính theo số tuần). Còn tuổi của Tuấn (tính theo số tháng) thì
bằng tuổi của ông (tính theo số năm). Biết rằng nếu tính theo số
năm nh bình thờng thì ông hơn bố 30 tuổi. Tính số tuổi bình
thờng của mỗi ngời.
Bài 3: Cho 4 số có tổng là 45. Nếu đem số thứ nhất cộng với 2, số
thứ hai trừ đi 2, số thứ ba nhân với 2, số thứ t chia cho 2 thì đợc

bốn kết quả bằng nhau. Tìm bốn số đã cho.
Bài 4: Vờn nhà em có số cây cam bằng 75% số cây chuối, số cây
chanh bằng số cây cam. Biết rằng số cây chuối nhiều hơn số
cây chanh 33 cây, hãy tính số cây mỗi loại.
Bài 5: Lớp A và lớp B tham gia trồng cây. Ngày đầu cả hai lớp trồng
đợc 115 cây. Ngày sau lớp A trồng đợc 20 cây, lớp B trồng đợc 15
cây. Sau hai ngày trồng cây,
số cây của lớp A đã trồng bằng số
cây của lớp B đã trồng. Hỏi mỗi lớp đã trồng đợc bao nhiêu cây?
22


Bài 6: Ba khu vực dân c A, B và C có tổng số dân là 12 000 ngời.
Hãy tính số dân
mỗi khu vực, biết rằng số dân khu vực A bằng
50% số dân khu vực B và bằng 40% số dân khu vực C.
Bài 7: Cho phân số . Hãy tìm một số nào đó sao cho khi tử số trừ
đi số đó và mẫu
số cộng với số đó thì đợc phân số mới có giá
trị bằng
Bài 8: Tổng số học sinh các khối lớp 1,2,3 của một trờng Tiểu học là
430 em. Biết tỉ
số giữa học sinh khối1 và số học sinh khối 2 là ;
Tỉ số giữa học sinh khối 2 và khối3
là . Hỏi mỗi khối có bao
nhiêu học sinh
Bài 9: Hiệu hai sốtự nhiên bằng 1996. Nếu số bị trừ cộng thêm 24
thì đợc số mới gấp 5 lần số trừ. Tìm hai số đã cho.
Bài 10: Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 72 và số thứ nhất
bé hơn số thứ hai 1 đơn vị.

____________________________________________________
Dạng toán tìm hai số khi biết hai tỉ số
A. Lí thuyết.
Đối với dạng toán này cần tìm giá trị không đổi của một đại lợng
trọng bài toán, biểu thị các đại lợng còn lại qua giá trị không đổi
đó.
B. Bài tập vận dụng.
Bài 1: Một giá sách gồm hai ngăn: số sách ngăn dới bằng số sách
ngăn trên. Nếu xếp thêm 15 cuốn sách mới mua vào ngăn trên thì
lúc đó số sách ngăn dới bằng số sách ngăn trên. Hỏi lúc đầu ở mỗi
ngăn có bao nhiêu cuốn sách?
Giải
Lúc đầu số sách ngăn dói bằng số sách ngăn trên hay số sách ngăn
trên bằng số
sách ngăn dới.
Sau khi xếp thêm 15 quyển vào ngăn trên thì số sách ngăn dới
bằng số sách ngăn
trên hay số sách ngăn trên bằng số sách ngăn
dới.
Phân số chỉ 15 quyển sách là: - = (số sách ngăn dới)
Lúc đầu ngăn dới có số sách là: 15 : = 180 (quyển)
Lúc đầu ngăn trên có số sách là: 180 x = 150 (quyển)
Đáp số: 180 quyển ; 150
quyển
(Khi thêm 15 quyển vào ngăn trên thì số sách ngăn trên thay đổi,
số sách ngăn dới không thay đổi; ta biểu thị số sách ngăn trên qua
số sách ngăn dới).
Bài 2: Cuối học kì I, lớp 5A có số học sinh giỏi bằng số học sinh còn
lại của lớp.
Cuối năm học, lớp 5A có thêm 4 học sinh giỏi nên tổng

số học sinh giỏi bằng số học sinh còn lại của lớp. Hỏi lớp 5A có tất
cả bao nhiêu học sinh?
Giải
Cuối kì I, lớp 5A có số học sinh giỏi bằng số học sinh còn lại của
lớp tức bằng tổng số học sinh cả lớp.
23


Cuối năm học, lớp 5A có số học sinh giỏi bằng số học sinh còn lại
của lớp tức bằng
tổng số học sinh cả lớp.
Phân số chỉ 4 học sinh giỏi là: - = (số học sinh cả lớp)
Lớp 5A có số học sinh là: 4 : = 40 (em)
Đáp số : 40 em
Bài 3: Hiện nay tuổi cha gấp 4 lần tuổi con. Trớc đây 6 năm, tuổi
cha gấp 13 lần tuổi con lúc đó. Tính tuổi cha hiện nay.
Giải
Hiệu tuổi hai cha con hiện nay là : 4 - 1 = 3 (lần tuổi con)
Vậy tuổi con bằng hiệu tuổi hai cha con
Cách đây 6 năm, hiệu tuổi hai cha con là : 13 - 1 = 12 (lần tuổi
con)
Hay tuổi con bằng hiệu tuổi hai cha con.
Vì hiệu tuổi hai cha con không đổi nên 6 năm ứng với :
- = (hiệu tuổi hai cha con)
Hiệu tuổi hai cha con là: 6 : = 24 (tuổi)
Tuổi con hiện nay là: 24 x = 8 (tuổi)
Tuổi cha hiện nay là: 8 x 4 = 32 (tuổi)
Đáp số: 42 tuổi
Cách 2:
Giải

Hiệu tuổi hai cha con hiện nay là : 4 - 1 = 3 (lần tuổi con)
Cách đây 6 năm, hiệu tuổi hai cha con là : 13 - 1 = 12 (lần tuổi
con)
Vì hiệu tuổi hai cha con không thay đổi nên 3 lần tuổi con hiện
nay = 12 lần tuổi con cách đây 6 năm. Hay tuổi con hiện nay =
4 lần tuổi con cách đây 6 năm.
Ta có sơ đồ bài toán:
Tuổi con cách đây 6 năm :
6 tuổi
Tuổi con hiện nay :
Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 4 - 1 = 3 (phần)
Tuổi con hiện nay là: 6 : 3 x 4 = 8 (tuổi)
Tuổi cha hiện nay là: 8 x 4 = 32 (tuổi)
Đáp số: 32 tuổi
(Đối với cách giảI 2, ta đã qui bài toán về dạng toán tìm hai số khi
biết hiệu và tỉ số của hai số đó. HS có thể giải theo các cách
khác)
C. Bài tập tự làm
Bài 1: Hiện nay tuổi cha gấp 4 lần tuổi con. Sau 20 năm nữa tuổi
cha sẽ gấp đôI tuổi con. Tính tuổi mỗi ngời hiện nay.
Bài 2: Trong một buổi sinh hoạt văn nghệ của lớp 5A, số bạn lên
biểu diễn bằng số bạn ngồi xem. Sau đó, trong số bạn ngồi xem
có 1 bạn lên tham gia nhóm biểu diễn
nên lúc đó số bạn biểu
diễn bằng số bạn ngồi xem còn lại. Hãy tính số bạn ngồi xem lúc
sau.
24


Bài 3: Cho hai số tự nhiên mà số thứ nhất gấp 4 lần số thứ hai. Nếu

số thứ nhất thêm 30 đơn vị, số thứ hai bớt đi 4 đơn vị thì số thứ
nhất gấp 6 lần số thứ hai. Tìm hai số đã cho.
Bài 4: Trớc đây, số dân phờng A bằng số dân phờng B. Hiện nay,
do số dânphờng A đã tăng thêm 8000 ngời và phờng B tăng thêm
4000 ngời nên số
dân phờng A bằng số dân phờng B. Tính số
dân hiện nay của mỗi phờng.
Bài 5: Trong một nhà máy có số nam công nhân bằng 75% số nữ
công nhân. Nếu chuyển 56 nữ công nhân đi nhà máy khác thì
số nam bằng 90% só nữ còn lại. Hỏi lúc đầu nhà máy có bao nhiêu
công nhân?
____________________________________________________
Dạng toán tìm hai số khi biết hai hiệu số
A. Lí thuyết.
Các bớc giải
- Xác định hiệu thứ nhất
- Xác định hiệu thứ hai
- Tìm thơng hai hiệu để xác định một số cần tìm.
- Thc hiện các phép tính tiếp theo để tìm số thứ hai.
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Có một số kẹo đem chia cho một số trẻ em mẫu giáo. Nếu
mỗi em đợc 3 cái thì còn thừa 2 cái; nếu mỗi em đợc 4 cái thì còn
thiếu 3 cái mới đủ chia. Hỏi có bao nhiêu trẻ em, có bao nhiêu cái
kẹo?
Giải
Ta có sơ đồ bài toán.
Số kẹo đủ chia cho 1 em 3 cái

2 cái
3 cái

Số kẹo đủ chia cho 1 em 4 cái
Nhìn vào sơ đồ ta thấy,số kẹo đủ chia mỗi em 4 cái nhiều hơn
số kẹo đủ chia mỗi em 3 cái là: 3 + 2 = 5 (kẹo)
Mỗi em đợc chia 4 cái nhiều hơn mỗi em đợc chia 3 cái số kẹo là:
4 - 3 = 1 (kẹo)
Số trẻ em mẫu giáo đợc chia kẹo là: 5 : 1 = 5 (em)
Số kẹo đem chia là : 5 x 3 + 2 = 17 (kẹo)
Đáp số: 5 em ; 17 kẹo.
Bài 2: Một tổ xe có một số xe tải. Ngời tổ trởng tính rằng: nếu mỗi
xe chở 20 bao gạo thì còn thiếu một xe; nếu mỗi xe chở 30 bao
gạo thì lại thừa một xe. Hỏi:
a, Tổ xe có mấy xe tải và định chở mấy bao gạo?
b, Nếu muốn sử dụng tất cả số xe đó chởt hết gạo thì phải bố trí
mấy xe chở 20 bao gạo và mấy xe chở 30 bao gạo?
Giải
25