Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 8

Chủ đề 1: Những hằng đẳng thức đáng nhớ
I/ Mục tiêu
• HS sử dụng thành thạo 7 HĐT đáng nhớ vào giải 1 số bài toán khó.
• Bồi dưỡng cho HS khả năng phán đoán, suy luận toán học, tư duy logic.
• HS thấy được sự phong phú của toán học từ đó mà thích bộ môn toán.
II/ Chuẩn bị:
GV: Chọn lọc bài tập.
HS: nắm chắc các HĐT
III/ Tiến trình trên lớp:
A/ Ổn định tổ chức:
B/ Kiểm tra bài cũ: Viết công thức của 7 HĐT
C/ Bài mới:
Hoạt động của thầy Hoạt động của trò
1/ Tính nhanh kết quả các biểu thức sau
22
4343.11457
++=
A

22
4343.57.257
++=
=
2
)4357(
+
=
2
100
= 10000
)115()115(3.5

2244
+−−=
B
=
111515)115()4.5(
4444
=+−=−−
C =
222222
12...47484950
−++−+−
=
( )
)12(...)4748(4950
222222
−++−+−
= (50 - 49)(50 + 49) + (48 – 47)(48 + 47) + … +
(2 + 1)(2 – 1)
= 50 + 49 + 48 + 47 + … + 2 + 1
= (50 + 1) + (49 + 2) + … + (25 +26)
= 51 . 25 = 1275
2/ So sánh các số sau:
a/ A = 1999 . 2001 và B =
2
2000
A = (2000 – 1)(2000 + 1) =
12000
2
−
B =

2
2000
Vậy A < B
b/ C = (2 + 1)(
( )
12)12()12
842
+++
và D =
16
2
Nhân 2 vế của C với 2 – 1 ta được:
(2 – 1) C = (2 – 1) (2 + 1) (
)12
2
+
(
)12()12
84
++
=
)12()12()12(
844
++−
= (
)12()12
88
−+
=
16

2
Vậy C < D
3/ Chứng minh các biểu thức sau luôn dưới dạng
với mọi giá trị của x:
? ta thấy biểu thức A có dạng
HĐT nào
? biểu thức B có chứa HĐT
nào? Hãy KT ?
? Dùng tính chất kết hợp ta
nên kết hợp như thế nào để
xuất hiện HĐT
? đây là dãy số tự nhiên từ 1
đến 50 ở những lớp dưới ta
làm như thế nào.
? ta cần biến đổi số A,B ?
C đã có HĐT nào chưa?
(chưa)
Ta có cách nào để C có
HĐT?
a/ A =
22
2
++
xx
= (
1)12
2
+++
xx
= (

1)1
2
++
x
> 0 với mọi x
b/ B =
1
2
+−
xx
=
4
3
4
1
2
1
2
2
+






+−
xx
=
4

3
2
1
2
+






−
x
> 0 với mọi x
4/ Chứng minh các biểu thức sau luôn âm với mọi
giá trị của x.
a/ M =
42
2
−+−
xx
=
)42(
2
+−−
xx
= - [
( )
312
2

++−
xx
]
= - [
3)1(
2
+−
x
< 0 với mọi x.
b/ N =
5,11025
2
−−−
xx
=
)5,11025(
2
++−
xx
= - [(
]5,0)11025
2
+++
xx
= -
5,0)15[(
2
++
x
< 0 với mọi x

? tách 2 để xuất hiện HĐT (
2
)BA
+
D Củng cố:
• Chú ý 3 HĐT bậc 2
•
2
)( BA
±
∀≥
0
giá trị của biến
E Hướng dẫn:
• Xem các bài đã chữa để nắm phương pháp
• Bài tập về nhà : 20 → 26 trang 19 SKT

Chuyên đề 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
(Bằng phương pháp tổng quát)
I. Mục tiêu:
• Giúp học sinh hình thành công thức tổng quát để phán đoán việc phân
tích đa thức bậc cao (n, 2n → n chẵn)
• Rèn luyện vận dụng thành thạo công thức dễ dùng vào việc phân tích đa
thức thành nhân tử.
II. Chuẩn bị :
GV: Nghiên cứu tài liệu
HS: Ôn tập các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
III. Tiến trình lên lớp
A. Ổn định tổ chức
B. Kiểm tra: Xem vào giờ học

C. Bài mới:
Hoạt động của thầy Hoạt động của trò
Phân tích đa thức một biến bậc 2
cbxaxxf
++=
2
)(
(a ≠ 0)
1/ Nhận xét
Một đa thức bậc 2 luôn dương (luôn âm) với
mọi giá trị của biến thì không phân tích được.
Chứng minh: giả sử f(x) phân tích được thì
f(x) = (ax + b) (mx + n)
Với x =
a
b
−
→ f(x) = 0
Trái với giả thiết cho f(x) > 0 hoặc f(x) < 0
2/ Công thức
cbxaxxf
++=
2
)(
(a ≠ 0)
0]
4
4
)
2

[(
)
44
2
.2(
)(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
>
−
−+
−+++=
++=
a
cab
a
b
xa
a
b
a
c
a

b
a
b
xxa
a
c
x
a
b
xa
Với
x
∀
Thì f(x) > 0 với mọi x nếu a > 0
f(x) < 0 với mọi x nếu a < 0
→ Không phân tích được.
• Nếu
04
2
≥−
acb
→ Có thể phân tích được
Chú ý:
• Nếu
acb 4
2
−
là bình phương một số hữu
tỉ thì phân thức được dễ dàng.
• Nếu

ac
b
4
2
−
không là bình phương một
? Có nhận xét gì về đa
thức bậc hai f(x) > 0
f(x) < 0
Giáo viên cho học sinh
phân tích đa thức bậc hai
một biến
số hữu tỉ thì không phân tích được ở lớp 8
3/ Áp dụng: Phân tích các đa thức sau:
1.
543
2
++
xx
2.
157
2
+−−
xx
3.
745
2
−+−
xx
4.

6126
2
++
xx
5.
21315
2
−+−
xx
6.
127
2
+−
xx
7.
145
2
−−
xx
8.
134
2
−−
xx
9.
143
2
+−−
xx
10.

3
2
3
7
5
2
−+
xx
11.
1
2
5
2
3
2
++−
xx
12.
1112
2
++
xx
13.
283
2
−−
xx
14.
222222
)(4 acbcb

−+−
15.
89
2
+−
xx
Giáo viên cho học sinh
thảo luận đề cùng làm bài
tập.
Học sinh trình bày bài.
Học sinh khác nhận xét
bài của bạn.
Giáo viên chốt lại cách
làm. Nên dùng công thức
để phán đoán các đa thức
có thể phân tích được.
D. Củng cố: Vận dụng công thức để phán đoán các phân thức đa thức.
E. Hướng dẫn: Xem lại các bài tập đã chữa.
Chuyên đề 3: Quan hệ chia hết
I/ Mục tiêu
• Giúp học sinh nắm được quan hệ chia hết trong tập hợp đa thức
• Rèn luyện kỹ năng tính toán chính xác, vận dụng linh hoạt các phương
pháp.
II/ Chuẩn bị:
GV: Nghiên cứu tài liệu
HS: Ôn luyện về phép nhân, phép chia đa thức.
III/ Tiến trình trên lớp:
A. Ổn định tổ chức
B. Kiểm tra: Xen vào giờ học
C. Bài mới

Hoạt động của thầy Hoạt động của trò
1/ Chia 2 đa thức A(x) và B(x) luôn tồn tại 2 đa thức q(x) và
r(x) sao cho:
A(x) = B(x)q(x) + r(x) (B(x) ≠ 0
r(x) = 0 →A(x) = B(x) q(x) ta nói A(x) chia hết cho B(x)
r(x) ≠ 0 →A(x) có bậc nho hơn B(x) và phép chia có dư
2/ Dùng đồng nhất thức (hệ số bất định)
01
1
1
01
1
1
...)(
...)(
bbxbxbxg
axaxaxaxf
x
n
n
n
n
n
n
n
n
++++=
++++=
−
−

−
−
f(x) = g(x) →









=
=
=
=
−−
ba
ba
ba
ba
nn
nn
00
11
11
.......................
Ví dụ 1:
44
4

≥+
x
> 0 với
x
∀
→ vô nghiệm
( )
)22()22(
42
4444
22
2
2
2
2244
xxxx
xx
xxxx
++−+=
−+=
−++=+
Vậy một đa thức bậc 4 dương (âm) với mọi x (không có
nghiệm) vẫn phân tích được.
Ví dụ 2:
16116
234
++++
xxxx
Dùng hệ số bất định
Ví dụ 3:

)1()(12
22234
+++=++++
xxxxxxx
3/ Một số dạng đặc biệt
a/ Dạng
22
ba
+
(trong đó 2ab =
2
k
)
Giáo viên giới
thiệu cho học sinh
về phép chia đa
thức cho đa thức.
Gồm phép chia
hết và phép chia
có dư.
Sử dụng một số
các phương pháp
có liên quan đến
phép chia
Học sinh quan sát
giaó viên làm ví
dụ mẫu.
Giáo viên giới
thiệu một số dạng

( )
))((
22
2
2
2222
kbakba
kba
ababbaba
−+++=
−+=
−++=+
b/ Dạng f(x) = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + k
(Tổng hai số trong 4 số a,b,c,d bằng tổng 2 số còn lại)
Giả sử: a + b = c + d = m
f(x) =[(x+a)(x+b)][(x+c)(x+d)]+k

kcdmxxabmxx
kcdxdcxabxbax
+++++=
+++++++=
]][[
])(][)([
22
22
4/ Dạng
1
2313
++
++

nm
xx
(m, n là số tự nhiên)
Luôn chứa nhân tử
1
2
++
xx
5/ Dạng
( )
kbxax
++++
4
4
)(
Đặt
2
ba
xy
+
+=
6/ Đa thức đối xứng
• Hệ số của hạng tử bậc cao nhất và hạng tử tự do bằng
nhau
• Hệ số các hạng tử cách đều hạng tử đầu và cuối bằng
nhau,
• Đa thức đối xứng (bậc lẻ đầy đủ) thì có tổng các hệ số
của hạng tử bậc lẻ bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc
còn lại. (Nếu nghiệm = -1 thì phân tích được)
• Đa thức đối xứng (bậc chẵn đầy đủ) thì đặt ẩn phụ:

7/ Áp dụng
a/ Tìm a, b để
baxx
++
24
chia hết cho
23
2
+−
xx

→
( )
)(.2)1(
)(.)23(
224
xgxx
xgxxbaxx
−−=
+−=++
→
bax
x
++
2
4
chia hết cho (x-1) và (x-2)
Theo Bơdu ta có f(1) = 0 và f(2) = 0
→ 1 + a + b = 0 và 16 + 4a + b = 0
→a = -5, b = 4

b/ Tìm a, b để f(x) =
baxx
++
3
chia hết cho
( )
2
1
−
x
23
)1(:)(
−++
xbaxx
= (x + 2) + (a +3)x + b – d
Muốn
baxx
++
3
chia hết cho
( )
2
1
−
x
thì r = (a + 3)x + b – d
= 0
→(a + 3)x = 0 hay a = -3
Và b -2 =0 hay b = 2
c/ Tìm đa thức bậc 2 thỏa mãn f(x) – f(x- 1) = x. từ đó xuy ra

đặc biệt
Yêu cầu học sinh
làm ví dụ
Giáo viên gợi ý
cách làm
Giáo viên giới
thiệu tiếp các dạng
cơ bản
Thế nào là đa thức
đối xứng
Giáo viên giới
thiệu đa thức đối
xứng bậc lẻ, bậc
chẵn.
Giáo viên cho học
sinh thao luận và
giải các bài tập
trên lớp
Cho học sinh lên
bảng trình bày
Học sinh khác
nhận xét
Giáo viên chốt lại
các làm
công thức tính tổng 1+ 2 + 3 +…+ n - 1 + n
Cho n chia hêt cho m. chứng minh
D/ Củng cố:
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Quy trình thực hiện phép chia đa thức.
E/ Hướng dẫn về nhà

Xem lại các bài tập đã chữa
Chuyên đề 4: Phân tích đại số
I/ Mục tiêu:
• Giúp học sinh nắm chắc hơn khái niệm về phân thức, giá trị xác định được
của phân thức, hai phân thức bằng nhau.
• Rèn kỹ năng tính toán, trình bày khoa học sáng tạo với nhiều cách giải bài
toán.
• Giáo dục lòng say mê học môn toán cho HSG.
II/ Chuẩn bị:
GV: Nghiên cứu tài liệu tham khảo
HS: Ôn luyện lý thuyết.
III/ Tiến trình trên lớp
A. Ổn định tổ chức
B. Kiểm tra: Xen vào giờ học
C. Bài mới:
Hoạt động của thầy Hoạt động của trò
I/ Định nghĩa:
1/ Phân thức:
B
A
(A, B là các đa thức, B ≠ 0)
2/ Hai phân thức bằng nhau

D
C
B
A
=
Nếu AD = BC
3/ Tính chất cơ bản của phân thức

NB
NA
MB
MA
B
A
:
:
.
.
==
II/ Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm điều kiện của biến để giá trị của đa thức xác định
A =
xx
xx
5
53
2
2
−
−+
(x ≠ 0, x ≠ 5)
B =
1
4
2
2
++
−

xx
x
(mọi x thuộc R)
C =
22
43
yx
yx
−
+
(x ≠ y, x ≠ - y)
D =
22
6
23
23
+++
+
xxx
xx
(x ≠ - 2)
E =
12
1
234
34
+−+−
+++
xxxx
xxx

(với mọi x thuộc R)
G =
134
3
23
2
−−
+
xx
xx
(x ≠ 1, x ≠ -
2
1
)
Bài 2:Với giá trị nào của biền để giá trị của phân thức bằng 0
Giáo viên cho học
sinh ôn lại khái niệm
phân thức, hai phân
thức bằng nhau
Tính chất cơ bản của
phân thức.
Giáo viên cho hs làm
bài
a.
1
1
2
−
−
x

x
→



≠−
=−
01
01
2
x
x
→ x = -1
b.
223
1
234
34
++++
+−+
xxxx
xxx
Ta có
+
0223
234
≠++++
xxxx
0)1()2(
0)2()12(2)1(

2
3
≠+++=
≠+++++=
xxx
xxxxx
→x ≠ -2
+
01
34
=+−−
xxx
( )
0)1(1
2
2
=++−
xxx
→ x = 1
Vậy x= 1 (thỏa mãn điều kiện)
Bài 3: Tính giá trị biểu thức
M =
52
33
52
5
−
−
−
+

−
b
ab
a
ba
(2a + 5 ≠ 0 và 2b – 5 ≠ 0)
Biết 3a – b = 5
→ M =
52
33
52
5
−
−
−
+
−
b
ab
a
ba
=
( )
52
)3(2
52
32
−
−−
−

+
−+
b
bab
a
baa
=
52
52
52
52
−
−
−
+
+
b
b
a
a
=1-1= 0
Bài 4/ Cho
22
22 ba
+
= 5ab và b > a > 0
Tính giá trị của phân thức P =
b
+
−

a
ba
Ta có:
0522
22
=−+
abba

→ a (2a – b) – 2b (a – b) = 0
→ (a – 2b) (2a – b) = 0
→ a = 2b (không thỏa mãn) hoạc b = 2a (thỏa mãn)
P =
3
1
32
2
−
=
−
=
+
−
a
a
aa
aa

Bài 5/ Với giá trị nào của x thì
a. Giá trị của biểu thức A =
0

1
2
>
+
−
x
b. Giá trị của phân thức B =
0
2
3
<
+
−
x
c. Giá trị của phân thức C =
0
4
3
>
−
−
x
x
Hs làm bài trên bảng
Hs khác n x và bổ
sung