002 đề HSG toán 8 bắc giang 2012 2013

�� 2 nên có các trường hợp
sau:
m  n  2  2009 m  1005
TH 1: 

m  n  2  1
n  1002

m  n  2  287
m  147
TH 2 : 

m  n  2  7
n  138
m  n  2  49 m  45
TH 3: 

m  n  2  41
n  2
Vậy các số cần tìm là 1002;138;2
Câu 4.

B

A
H

I

D

C

E

1)
a) Gọi E là trung điểm của CD, chỉ ra ABED là hình vuông và BEC là tam giác vuông
cân
Từ đó suy ra AB  AD  a, BC  2a
Diện tích của hình thang

AB  CD  . AD  a  2a .a 3a 2

ABCD là S 


2

2

b) ADH  ACD(1) (hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng vuông góc)
Xét hai tam giác ADC và IBD vuông tại D và B có:

2


AD IB 1

 , do đó hai tam giác ADC và IBD đồng dạng
DC BC 2

Suy ra ACD  BDI

(2)

Từ 1 ,  2   ADH  BDI
Mà ADH  BDH  450  BDI  BDH  450 hay HDI  450
2)

M

A

B

D

C

Gọi AD là đường phân giác trong góc A, qua C kẻ đường thẳng song song với AD
cắt đường thẳng AB tại M
Ta có: BAD  AMC (hai góc ở vị trí đồng vị)

DAC  ACM (hai góc ở vị trí so le trong)


Mà BAD  DAC nên AMC  ACM hay ACM cân tại A, suy ra AM  AC  b
AD BA
c
Do AD / /CM nên



CM BM b  c
c
AD
1 11 1
Mà CM  AM  AC  2b 

    
(1)
b  c 2b
la 2  b c 
1 1 1
1 1 1 1
    (2);     (3)
lb  c a 
lc 2  a b 
Cộng 1 ;  2 ;  3 vế theo vế ta có điều phải chứng minh

Tương tự ta có:

Câu 5.
Ta có: a 2  1  2a; b2  1  2b  a 2  b2  2  2a  2b  a  b  2
1 1
4
Chứng minh được với hai số dương x, y thì  
x y x y
1 
4
 1


1
Do đó: S  2  
2
a 1 b 1
 a 1 b 1
Vậy GTLN của S là 1, dạt được khi a  b  1