051 đề HSG toán 8 huyện 2015 2016

ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI
Năm học 2015-2016
Bài 1. (6 điểm) Cho biểu thức:
2x  3
2x  8
3  21  2 x  8 x 2

P 2


1
: 2
2
 4 x  12 x  5 13x  2 x  20 2 x  1  4 x  4 x  3
a) Rút gọn P

1
2
c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên
d) Tìm x để P  0
Bài 2. (3 điểm) Giải phương trình:
15 x
1 
 1
a) 2
 1  12 


x  3x  4
 x  4 3x  3 
148  x 169  x 186  x 199  x

b)



 10
25
23
21
19
c) x  2  3  5
Bài 3. (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một người đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng
vận tốc thêm 5km / h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận
tốc dự định đi của người đó.
Bài 4. (7 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối
xứng của C qua P.
a) Tứ giác AMDB là hình gì ?
b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lân AB, AD. Chứng minh
EF / / AC và ba điểm E, F , P thẳng hàng
c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc
vào vị trí điểm P
PD 9
d) Giả sử CP  BD và CP  2,4cm,
 . Tính các cạnh của hình chữ nhật
PB 16
ABCD.
Bài 5. (2 điểm) a) Chứng minh rằng: 20092008  20112010 chia hết cho 2010
b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
1

1
2


1  x 2 1  y 2 1  xy
b) Tính giá trị của P khi x 


ĐÁP ÁN
Bài 1.

1
5
3
7
ĐKXĐ: x  ; x  ; x  ; x  ; x  4
2
2
2
4
2x  3
a) Rút gọn P 
2x  5
1

x


1
2

b) x   
2
x   1

2
1
1
1
2
) x   .....P 
; ) x 
 .....P 
2
2
2
3
2x  3
2
c) P 
1
  x  5 U (2)  2; 1;1;2
2x  5
x 5
x  5  2  x  3(tm)
x  5  1  x  4(ktm)
x  5  1  x  6(tm)
x  5  2  x  7(tm)
Kết luận: x 3;6;7 thì P nhận giá trị nguyên
2x  3
2

1
2x  5
x 5
Ta có: 1  0
2
Để P  0 thì
0 x5 0 x 5
x 5
Với x  5 thì P  0
Bài 2.
a)
15 x
1 
 1

1

12



x 2  3x  4
 x  4 3x  3 

d) P 



 1
15 x

1 
 1  12. 

 DK : x  4; x  1
x

4
3
x

1
 x  4  x  1






 3.15 x  3  x  4  x  1  3.12  x  1  12  x  4 
..............
3 x  0
 x  0 (TM )
 3x  x  4   0  

x  4  0
 x  4( KTM )
S  0
b)
148  x 169  x 186  x 199  x




 10
25
23
21
19
 148  x   169  x
  186  x
  199  x


 1  
 2  
 3  
 4  0
 25
  23
  21
  19


1
1 1
 1
 123  x   
    0  123  x  0  x  123
 25 23 21 19 
S  123

c) x  2  3  5
Ta có: x  2  0x  x  2  3  0 nên x  2  3  x  2  3
Phương trình được viết dưới dạng:
x 2 35 x 2 53 x 2  2
x  2  2
x  4


 x  2  2
x  0
Vậy S  0;4
Bài 3.
Gọi khoảng cách giữa A và B là x(km) ( x  0)

x 3x
1
 (km / h) 3h20'  3 (h)
1 10
3
3
3
3x
Vận tốc của người đi xe gắn máy khi tăng lên 5km / h là:
 5(km / h)
10
 3x

Theo đề bài ta có phương trình:   5  .3  x  x  150(tm)
 10


Vậy khoảng cách giữa A và B là 150km
3.150
 45(km / h)
Vận tốc dự định là:
10
Vận tốc dự định của người đi xe gắn máy là:


Bài 4.

C

D
M

F

P

I
E

A

B

a) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD
 PO là đường trung bình tam giác CAM
 AM / / PO  AMDB là hình thang
b) Do AM / / BD nên OBA  MAE (đồng vị)

Tam giác AOB cân ở O nên OBA  OAB
Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì AIE cân ở I nên
IAE  IEA
Từ chứng minh trên : có FEA  OAB, do đó: EF / / AC (1)
(2)
Mặt khác IP là đường trung bình của MAC nên IP / / AC
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F , P thẳng hàng
MF AD

c) MAF DBA( g.g ) 
Không đổi
FA AB
PD 9
PD PB
d) Nếu
 

 k  PD  9k , PB  16k
PB 16
9
16
CP PB

Nếu CP  BD thì CBD DCP( g.g ) 
PD CP
2
hay  2,4   9.16k 2  k  0,2
Do đó: CP2  PB.PD
PD  9k  1,8(cm);
PB  16k  3,2(cm)

BD  5(cm)
Chứng minh BC 2  BP.BD  16 , do đó: BC  4cm, CD  3cm.
Bài 5.
a) Ta có: 20092008  20112010   20092008  1   20112010  1
Vì 20092008  1   2009  1  20092007  ......  2010......... chia hết cho 2010 (1)


Vì 20112010  1   2011  1  20112009  .....  2010...... chia hết cho 2010 (2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
1
1
2
b)


(1)
2
2
1  x 1  y 1  xy
 1
1   1
1 




0
2
2
 1  x 1  xy   1  y 1  xy 

x( y  x)
y( x  y)


0
2
2
1

x
1

xy
1

y
(1

xy
)
    

 y  x  . xy  1
2



1  x 1  y  (1  xy)
2

2

0

(2)

Vì x  1; y  1  xy  1  xy  1  0
 BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng. Dấu “=” xảy ra khi x  y