093 đề HSG toán 8 danh thắng 2017 2018

TRƯỜNG THCS DANH THẮNG

ĐỀ THI KHẢ SAT HỌC SINH GIỎI LẦN 2
Môn: Toán 8 – NH 2017-2018
Thời gian: 120 phút

Câu 1
1. Chứng minh rằng B  x3 ( x2  7)2  36 x chia hết cho 105 với mọi số nguyên x
2. Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau và thoả mãn:
2a + b 2b + c 2c + d 2d + a
+

+
 6 . Chứng minh A = abcd là số chính phương
ab b+c cd d +a

3. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
2016
x
y
2015



2
x  y y  2015 4031 x  2016

4. Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5.
Chứng minh rằng: a2 + b2  1 + ab
5.

6.


Đáp án

2)
a)

2a + b 2b + c 2c + d 2d + a
+

+
6
ab b+c cd d +a

 1


a
b
c
d
+1+
1
+1+
6
ab
b+c
cd
d +a

a
b
c
d
+

+
2
ab b+c cd d +a

1

a
b
c
d

1

0
ab b+c
cd d +a



b
b
d
d




0
ab b+c cd d +a



b(c - a)
d(a - c)

0
(a  b)(b + c) (c  d )(d + a)

0,25

0,25

 b(c  d )(d  a)  d (a  b)(b  c)  0  abc  acd  bd 2  b2d  0
 (b  d )(ac  bd )  0

0,25


 ac  bd  0  ac  bd (vì b ≠ d)
0,25

Vậy A = abcd = (ac)2 là số chính phương

0,25

0,25

0,25
0,25

3.
+) Với a, b, c, d dương, ta có
a
b
c
d



bc cd d a ab
c   b
d  a(d  a)  c(b  c) b(a  b)  d (c  d )
 a







(b  c)(d  a)
(c  d )(a  b)
bc d a cd ab
a 2  c 2  ad  bc b2  d 2  ab  cd 4(a 2  b2  c 2  d 2  ab  ad  bc  cd)




1
2 1
2
(a  b  c  d )2
b  c  d  a 
c  d  a  b
4
4
F

0,5

(theo bất đẳng thức xy  1 (x  y)2 )
4
2
2
2
2
2
+) Mặc khác: 2(a  b  c  d  ab  ad  bc  cd)  (a  b  c  d)

 a 2  b2  c2  d 2  2ac  2bd  (a  c)2  (b  d) 2  0

Suy ra F  2 và đẳng thức xảy ra  a = c; b = d
+) Áp dụng với a = 2016, b = x, c = y, d = 2015 ta có:
2016
x

y
2015



2
x  y y  2015 4031 x  2016

0,25
0,25

Đẳng thức xảy ra  y = 2016; x = 2015

4.
Với 2 số a, b dương:
Xét: a 2  b2  1  ab  a2 + b2 – ab  1

0,5

 (a + b)(a2 + b2 – ab)  (a + b) ( vì a + b > 0)
 a3 + b3  a + b
 (a3 + b3)(a3 + b3)  (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 )

0,5

 a6 + 2a3b3 + b6  a6 + ab5 + a5b + b6
 2a3b3  ab5 + a5b

0.5

0.5


4
2 2
4
 ab(a – 2a b + b )  0



 ab a 2  b2



2

0,25

 0 đúng  a, b > 0 .

Vậy: a  b  1  ab với a, b dương và a + b = a + b
2

5.

6.

7.

2

3

3

5

5

0,25