đề - đáp án thi HSG huyện lớp 8 ănm học 2007-2008

kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2007 2008
Môn toán lớp 8

Thời gian làm bài: 150 phút
===================
Đề bài
Bài 1: (
4 điểm
)
Cho biểu thức: A =
32
3
1
1
:
1
1
xxx
x
x
x
x
+
+

Với
1

x
.
a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của A là số chính phơng.
Bài 2: (
4 điểm
)
Cho đa thức M =
( )
22
2
222
4 bacba
+
a, Phân tích đa thức M thành nhân tử.
b, Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác
thì M < 0.
Bài 3: (3
điểm
)
Gọi S
(n)
là tổng tất cả các chữ số của số nguyên dơng n khi biểu

diễn nó trong hệ thập phân. Biết rằng với mọi số n nguyên dơng ta có
0 < S
(n)


n. Tìm số nguyên dơng n sao cho S
(n)
= n
2
- 2007n + 5.
Bài 4: (
6 điểm
)
Cho tam giác ABC, lấy điểm N bất kì thuộc cạnh AC (N khác A, C).
Qua N vẽ đờng thẳng song song với AB cắt BC tại E và đờng thẳng song
song với BC cắt AB tại M. Giả sử AN = BM.
a, Chứng minh tam giác ANE là tam giác cân.
b, Chứng minh AE là tia phân giác của góc BAC.
c, Từ kết quả ở câu a và b hãy suy ra cách dựng đoạn thẳng MN
song song với cạnh BC của tam giác ABC sao cho AN = BM.
Bài 5: (
3 điểm
)
Gọi O là giao điểm hai đờng chéo AC và BD của tứ giác lồi ABCD.
Chứng minh rằng nếu các tam giác AOB, BOC, COD, DOA có chu vi
bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình thoi.
----------------------------------------------------------------------------------
Họ tên và chữ ký của giám thị
Giám thị số 1
:.......................................................................

Giám thị số 2
:.......................................................................
hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2007 2008
Phòng GD&ĐT hải Hậu
------------------*------------------
Môn toán lớp 8
=================================
====

Bài 1: (
4 điểm
)
a, Cho 2,5 điểm.
Với x



1 ta có:
3 2
1 (1 )(1 )
1 1
x x x x
x x
x x
+ +
=

(cho 0,5đ) = 1+ x
2
+ x - x (cho 0,25đ) = 1 + x

2

(cho 0,25đ)
2 3 3 2
1 1
1 (1 ) ( )
x x
x x x x x x
+ +
=
+ + +
(cho 0,25đ) =
2
1
(1 )(1 )
x
x x x x
+
+ +
(cho 0,5đ) =
2
1
(1 )(1 )
x
x x
+
+
(cho 0,25đ) =
2
1

(1 )x
(cho 0,25đ)
Từ đó có A = (1 + x
2
) :
2
1
(1 )x
= (1 + x
2
) (1 - x)
2
(cho 0,25đ)
b, Cho 1,5 điểm.
Với x nguyên, x



1 thì giá trị của A là số chính phơng

1 + x
2
là số
chính phơng nghĩa là 1+x
2
= k
2
(k

Z) (cho 0,25đ)

(k + x)( k - x) = 1
(cho 0,25đ)

1
1
k x
k x
+ =


=

(cho 0,25đ) hoặc
1
1
k x
k x
+ =


=

(cho 0,25đ). Từ đó tìm đợc x =
0 (cho 0,25đ)
Khi x = 0 thì A = 1 là số chính phơng (Thoả mãn). (cho 0,25đ)
Bài 2: (
4 điểm
)
a, Cho 2 điểm.

Ta có M = (a
2
+ b
2
- c
2
+ 2ab)( a
2
+ b
2
- c
2
- 2ab) (cho 0,5đ)
=
( ) ( )
2 2
2 2
.a b c a b c

+

(cho 0,5đ)
= (a + b +c)(a+b - c)(a - b + c)(a - b - c) (cho 1đ)
b, Cho 2 điểm.
Theo câu a có M = ... = - (a + b +c)(a+b - c)(a +c - b)(b + c - a) (cho 0,25đ)
Khi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thì:
a + b +c

0 (cho 0,25đ); a+b - c

0 (cho 0,25đ); a +c - b

0 (cho 0,25đ);
b + c - a

0 (cho 0,25đ).

(a + b +c)(a+b - c)(a +c - b)(b + c - a)

0 (cho
0,25đ)

- (a + b +c)(a+b - c)(a +c - b)(b + c - a)

0 (cho 0,25đ). đo đó M

0 (cho
0,25đ)
Bài 3: (3
điểm
)
Giả sử tìm đợc số nguyên dơng n sao cho S
(n)
= n
2
- 2007n + 5 ta có
0

n
2

- 2007n + 5

n (cho 0,25đ)

2
2
2007 5 0
2007 5
n n
n n n

+


+


(cho 0,25đ)

2 (1)
2 (2)
2007 5 0
2008 5 0
n n
n n

+


+

(cho 0,25đ)
Từ (1)

n
2
- 2006n - n + 2006 > 0

(n - 1)(n - 2006) > 0 (cho 0,25đ)

n > 2006 (cho 0,25đ)
Từ (2)

n
2
- 2008n

0

n (n - 2008)

0 (cho 0,25đ)

n

2008 (cho 0,25đ).
Nh vậy: 2006

n

2008 (cho 0,25đ), mà n nguyên nên n = 2007 (cho
0,25đ).
Khi n = 2007 thì S
( 2007 )
= 2 + 0 + 0 + 7 = 9 (cho 0,25đ)
Mặt khác S
( 2007 )
= 2007
2
- 2007. 2007 + 5 = 5 (cho 0,25đ). Do đó không tìm
đợc số nguyên dơng n nào thoả mãn bài ra (cho 0,25đ).
Bài 4: (
6 điểm
)
a, Cho 1,5 điểm
Do NE // AB (gt) và MN // BC (gt)
(cho 0,25đ)

Tứ giác MNEB là hình
bình hành (Dấu hiệu nhận biết) (cho
0,5đ)

NE = MB (Cặp cạnh đối) (cho
0,25đ)
Lại có AN = MB (gt) nên NE = NA (cho
0,25đ)

Tam giác ANE cân tại N (cho
0,25đ)

b, Cho 1,5 điểm
Theo câu a tam giác ANE cân tại N



EAC =

AEN (cho 0,5đ)
Vì NE // AB (gt)



EAB =

EAC (Cặp góc SLT) (cho 0,5đ)



EAB =

EAC (1) (cho 0,25đ)
Lại có E thuộc cạnh BC

AE nằm giữa AB và AC, kết hợp (1)

AE là phân giác của góc BAC(cho 0,25đ)
c, Cho 3 điểm
Từ kết quả câu a và câu b ta suy ra cách
dựng nh sau:
- Dựng tia phân giác AE của góc BAC (cho

0,25đ)
- Dựng tia Ex // AB cắt AC tại N (cho 0,25đ)
- Dựng tia Ny // BC cắt AB tại M (cho 0,25đ)
Ta có MN là đoạn thẳng cần dựng (cho 0,25đ)
Hình vẽ (cho 0,5đ)
Chứng minh:
Theo cách dựng có EN//AB và MN//BC nên
tứ giác MNEB là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết)

NE = MB (1)
(Cặp cạnh đối) (cho 0,25đ)
Mặt khác EN//AB bị cắt bởi cát tuyến AE nên có

EAB =

AEC (Cặp
góc SLT) (cho 0,25đ)
Vì AE là phân giác của góc BAC (Cách dựng)



AEB =

EAC (Tính
chất PG) (cho 0,25đ). Vậy có

AEN =

EAN (cho 0,25đ)

Tam giác
ANC cân tại N
A
B
C
E
M
N
A
B
C
E
M
N
x
y
B
C
D
A
C
1
B
1
O

AN = NE (2)(cho 0,25đ). Từ (1) và (2)

AN = MB (cho 0,25đ)
Bài 5: (

3 điểm
)
Giả sử OA

OC; OD

OB (cho 0,25đ). Gọi B
1
, C
1
tơng ứng là điểm đối
xứng của B và C qua O (cho 0,25đ)

OB = OB
1
, OC = OC
1
(cho 0,25đ).
Từ đó Chu vi ( AOD)

Chu vi ( B
1
OC
1
) = Chu vi ( BOC) = Chu vi
( AOB) (cho 0,5đ)
Dấu = xảy ra

B
1

D; C
1

A (cho 0,25đ)
Khi đó tứ giác ABCD có OA = OC ; OB = OD (cho 0,25đ)

tứ giác
ABCD hình bình hành ( 1 ) ( dấu hiệu nhận biết) (cho
0,25đ)
Mặt khác chu vi ( AOB ) = AB + BO + OA (cho 0,25đ)
chu vi ( BOC ) = BC + OB + OC (cho
0,25đ)
Từ đó có AB = BC (cho 0,25đ). Kết hợp ( 1 ) suy ra
tứ giác ABCD là hình thoi (cho0,25đ)

----------------------------------------------------------------------------------
* Chú ý:
1, Trong từng câu:
+ Học sinh giải cách khác hợp lý, kết quả đúng cho điểm tơng
ứng.
+ Các bớc tính, hoặc chứng minh độc lập cho điểm độc lập, các
bớc liên quan với nhau đúng đến đâu cho điểm đến đó, từ chỗ sai trở
đi không chấm tiếp.
2, Điểm toàn bài là tổng điểm các phần đạt đợc không làm tròn.