Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Hải Dương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT
Năm học 2018-2019
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 04 tháng 10 năm 2018
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I (2,0 điểm)

2x −1
có đồ thị ( C ) . Tìm m để đường thẳng d : y =− x + m cắt ( C ) tại hai
x +1
điểm phân biệt A và B sao cho ∆PAB đều, biết P ( 2;5 ) .

1) Cho hàm số y =

2) Một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 25m , chiều rộng AD = 20m được
chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn MN ( M , N lần lượt là trung điểm BC và AD ).
Một đội xây dựng làm một con đường đi từ A đến C qua vạch chắn MN , biết khi làm đường
trên miền ABMN mỗi giờ làm được 15m và khi làm trong miền CDNM mỗi giờ làm được 30m .
Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ A đến C .
Câu II (2,0 điểm)
(3 x + 1) 2 + 4 y = y 2 + 4 3 x + 1
1) Giải hệ phương trình 
.
3 xy = 4 x + 4 + 2 x + 3

2) Trong cuộc thi: "Thiết kế và trình diễn các trang phục dân tộc" do Đoàn trường THPT tổ
chức vào tháng 3 năm 2018 với thể lệ mỗi lớp tham gia một tiết mục. Kết quả có 12 tiết mục
đạt giải trong đó có 4 tiết mục khối 12, có 5 tiết mục khối 11và 3 tiết mục khối 10. Ban tổ chức
chọn ngẫu nhiên 5 tiết mục biểu diễn chào mừng 26 tháng 3. Tính xác suất sao cho khối nào
cũng có tiết mục được biểu diễn và trong đó có ít nhất hai tiết mục của khối 12.
Câu III (2,0 điểm)
1) Cho dãy số ( un ) xác định bởi =
u1 1, u=
n +1

1 + un2 − 1
, ∀n ≥ 1 . Xét tính đơn điệu và bị chặn
un

của ( un ) .
2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD ( AB / / CD, AB > CD) có
0 , đường thẳng AB đi qua
AD = DC , D(3;3) . Đường thẳng AC có phương trình x − y − 2 =
M (−1; −1) . Viết phương trình đường thẳng BC .
Câu IV (3,0 điểm)
Cho hình hộp đứng ABCD. A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông .
1) Gọi S là tâm của hình vuông A ' B ' C ' D ' . SA , BC có trung điểm lần lượt là M và N .
Tính thể tích của khối chóp S . ABC theo a , biết MN tạo với mặt phẳng ( ABCD) một góc bằng
600 và AB = a .
2) Khi AA ' = AB . Gọi R, S lần lượt nằm trên các đoạn thẳng A’D, CD’ sao cho RS vuông
a 3
. Tính thể tích khối hộp ABCD. A’B’C’D’ theo a .
3
3) Cho AA

=' AB
= a . Gọi G là trung điểm BD ' , một mp ( P ) thay đổi luôn đi qua G cắt các

góc với mặt phẳng (CB ' D ') và RS =

đoạn thẳng AD ', CD ', D ' B ' tương ứng tại H , I , K . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
T=

1
1
1
.
+
+
D ' H .D ' I D ' I . D ' K D ' K . D ' H

Câu V (1,0 điểm)

biểu thức P
Cho các số dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của
=

1
6
.
−
3
a + ab + abc
a+b+c

--- Hết --Họ và tên thí sinh: ....................................................................... Số báo danh: .........................
Chữ kí giám thị coi thi số 1: .................................. Chữ kí giám thị coi thi số 2: .........................


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG

Câu
Câu I.1
1,0 đ

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT
Năm học 2018-2019
Môn thi: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)
Nội dung

2x −1
có đồ thị ( C ) . Tìm m để đường thẳng d : y =− x + m cắt ( C )
x +1
tại hai điểm phân biệt A và B sao cho ∆PAB đều, biết P ( 2;5 ) .

Điểm

Cho hàm số y =

hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C ) là nghiệm phương trình
2x −1
=− x + m ⇔ x 2 − (m − 3) x − m − 1 =0 (1) ( chọn ngẫu nhiên là Ω

Số phần tử của không gian mẫu là: n( Ω )= C125 = 792
Gọi A là biến cố “ Chọn 5 tiết mục sao cho khối nào cũng có tiết mục được biểu diễn và
trong đó có ít nhất hai tiết mục của khối 12''

0,25

0,25

0,25

0,25


Chỉ có 3 khả năng xảy ra thuận lợi cho biến cố A là :
+ 2 tiết mục khối 12, hai tiết mục khối 10, một tiết mục khối 11
+ 2 tiết mục khối 12, 1 tiết mục khối 10, 2 tiết mục khối 11
+ 3 tiết mục khối 12, 1 tiết mục khối 10, 1 tiết mục khối 11
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: n(A) = C42 .C32 .C51 + C42 .C31.C52 + C43 .C31.C51 =
330 .
330 5
Xác suất cần tìm là=
.
P =
792 12
Câu III.1
1,0 đ

chặn của ( un ) .

Giả sử uk > 0, k ≥ 1=

⇒ uk +1

(1)

1 + uk2 − 1
=
uk

1 + un2 − 1
=
− un
un

⇒ dãy số ( un ) giảm

0,25

0,25
uk
1 + uk2 + 1

>0

Vậy (1) đúng khi n = k + 1 ⇒ un > 0, ∀n ∈ * .
un=
+1 − un

0,25

1 + un2 − 1

, ∀n ≥ 1 . Xét tính đơn điệu và bị
un

Cho dãy số ( un ) xác định bởi =
u1 1, u=
n +1

Chứng minh un > 0, ∀n ∈ * (1) .
u1 = 1 > 0 (1) đúng khi n = 1.

0,25

1 + un2 − 1 − un2
< 0, ∀n ≥ 1 ⇔ un +1 < un , ∀n ∈ *
un

0,25

0,25

Do dãy số ( un ) giảm nên un ≤ u1 , ∀n ∈ * ⇔ un ≤ 1, ∀n ∈ * ⇒ 0 < un ≤ 1, ∀n ∈ * ⇒ dãy số

( un )
Câu
III.2
1,0 đ

bị chặn

Trong

0,25

mặt

phẳng

với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang cân
ABCD ( AB / / CD, AB > CD) có AD = DC , D(3;3) . Đường thẳng AC có phương trình
x− y−2=
0 , đường thẳng AB đi qua M (−1; −1) . Viết phương trình đường thẳng BC .
D

C

H
I
A

D'

M

B

Gọi H là hình chiếu của D trên AC và D ' là
giao điểm của DH với AD .
Vì DC = AD nên ∆ADC cân tại
=
 mà CAB

 = DCA
 (so le
D ⇒ DAC
DCA
= D

trong) ⇒ DAH
' AH ⇒ H là trung điểm của
BB’. BB ' qua B và vuông góc với AC. Ta viết
được phương trình BB’: x + y − 6 =
0
H = BB '∩ AC ⇒ H ( 4; 2 ) . Có H là trung

điểm của DD ' . Do đó D ' ( 5;1) .

AB đi qua M và nhận MD ' làm vtcp nên phương trình
AB : x − 3 y − 2 =
0 ⇒ AC ∩ AB =
A ( 2;0 )
 
Ta có ADCD ' là hình bình hành nên AD = D ' C . Do đó, C ( 6; 4 ) .

Câu
III.1
1,0 đ

0 .Gọi I= d ∩ AB , I là trung
Gọi d là đường trung trực của DC , suy ra d : 3 x + y − 17 =
 53 11 
 43 11 

=
∩d I  ;  ⇒ B ;  .
điểm của AB . AB
 10 10 
 5 5

Đường thẳng BC đi qua C và nhận CB làm vectơ chỉ phương nên BC : 9 x + 13 y − 106 =
0.
Cho hình hộp đứng ABCD. A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông .
1) Gọi S là tâm của hình vuông A ' B ' C ' D ' . SA , BC có trung điểm lần lượt là M và
N . Tính thể tích của khối chóp S . ABC theo a , biết MN tạo với mặt phẳng
( ABCD) một góc bằng 600 và AB = a .

0,25

0,25

0,25
0,25


S

M

I

H

C

A

600

Gọi H là trung điểm của AC => SH là trung tuyến
trong tam giác ∆.SAC . Mặt khác ∆SAC cân tại S
=> SH là đường cao ⇒ SH ⊥ AC
AC 
( SAC ) ⊥ ( ABC ) ; ( SAC ) ∩ ( ABC ) =

SH ⊂ ( SAC ) ; SH ⊥ AC

⇒ SH ⊥ ( ABC )

0,25

N

a
B

Câu
III.2
1,0 đ

Gọi I là trung điểm của AH , mà M là trung điểm của SA => IM là đường trung bình trong
 IM / / SH

tam giác SAH ⇒ 

1
 IM = 2 SH
SH ⊥ ( ABC ) 
 (
⇒ MNI
MN ,=
( ABC ) ) 600
 ⇒ IM ⊥ ( ABC )=
IM / / SH

3
3
CI =
AC
a 2 .
∆ABC vuông cân tại B , có AB = a => BC = a; AC = a 2 => CI ==
4
4
a
1
 = 450 .
; ∆ABC vuông cân tại B ⇒ 
=
NC =
BC
A=C
2
2
 = a 10 ⇒ MI = IM .tan 600 = a 30
Xét ∆CNI CÓ : NI = CI 2 + CN 2 − 2CI .CN .cos ICN

4
4
3
a 30
1
1 1
a 30
⇒ SH = 2 MI =
⇒ VS . ABC = .S∆ABC .SH = . . AB.BC.SH =
2
3
3 2
12
Khi AA ' = AB . Gọi R, S lần lượt nằm trên các đoạn thẳng A’D, CD’ sao cho
RS vuông góc với mặt phẳng (CB ' D ') và RS =

0,25

0,25

0,25

a 3
. Tính thể tích khối hộp
3

ABCD. A’B’C’D’ theo a .
     
  
     

Đặt A ' A =m, A ' D ' =n, A ' B ' =p ⇒ m =n = p =b; m.n =n. p =p.m =0

 

D'
C'=
và A ' R x=
. A ' D; D ' S y.D ' C
n
Ta
có


 

    
A'
B'
'
.
.
;
'
.
.
A
R
=
x
m

+
x
n
D
S
=
y
m
+
y
p ⇒ RS = RA ' + A ' D ' + D ' S
p
=

S
R







( y − x ) m + (1 − x ) n + y p

0,25

m
D

C

A
B

Do đường thẳng RS vuông góc với mặt phẳng (CB’D’) nên ta có


  
 
 ( y − x ) m + (1 − x ) n + y p . m + n =
0
 RS .B ' C = 0

⇔


  
  

0
 ( y − x ) m + (1 − x ) n + y p . m + p =
 RS .D ' C = 0
2

 2   1 
 x = 3
0
1 + y − 2 x =
Vậy R, S là các điểm sao

cho A ' R =
=
A ' D; D ' S
D 'C
⇔
⇔
0
1
3
3
2 y − x =
y =

3

(
(

)(
)(

)
)

0,25

0,25


Câu

III.3
1,0 đ


1  1  1 
b2
b 3 a 3
⇒ RS =
− m + n + p ⇒ RS 2 =⇒ RS = = ⇔ b =
a ⇒ VABCD. A ' B 'C ' D ' =
a3
3
3
3
3
3
3
Cho AA
=' AB
= a . Gọi G là trung điểm BD ' , một mp ( P ) thay đổi luôn đi qua G cắt

0,25

các đoạn thẳng AD ', CD ', D ' B ' tương ứng tại H , I , K . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1
1
1
.
+
+

T=
D ' H .D ' I D ' I . D ' K D ' K . D ' H
D'

D'

G

B'

A'

K

H

E
I

C'

G

F

C

A

C

D

0,25
B'

A

B

Vì AA
=' AB
= a nên ABCD. A ' B ' C ' D ' là hình lập phương có G là trung điểm BD ' nên G
là tâm của ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi E, F lần lượt là tâm ADD'A' và BB'C'C ⇒ E, F lần lượt là
trung điểm A'D và B'C; G là trung điểm EF
   
  
 1   
0 ⇔ D ' G = D ' A + D'C + D'B'
⇒ GA + GB ' + GC + GD ' =2GE + 2GF =
4
 D ' A  D ' C  D ' B ' 
 a 2  a 2  a 2 
'G
.D ' H +
.D ' K +
.D ' I ⇔ D=
'G
.D ' I +
.D ' K +

.D ' H (1)
⇔ 4 D=
4D ' I
4D ' K
4D ' H
D'H
D'K
D'I

(

)

Vì 4 điểm H,I,K,G đồng phẳng nên

 
 
 
 
GH =kGI + l.GK ⇔ D ' H − D ' H =k ( D ' I − D ' G ) + l ( D ' K − D ' G )




1
k
l
.D ' I +
.D ' K −
.D ' H (2)

D 'G
⇔=
0,25
k + l −1
k + l −1
k + l −1
  
a 2
a 2
a 2
do D ' I , D ' K , D ' H không đồng phẳng nên từ (1) và (2) ta được
+
+
=
1
4D ' I 4D ' K 4D ' H
1
ta chứng minh được (ab + bc + ca ) ≤ (a + b + c) 2 nên
3
0,25
1
1
1
1 1
1
1 2
8
T
)
=

+
+
≤ (
+
+
=
3a 2
D ' H .D ' I D ' I . D ' K D ' K . D ' H 3 D ' I D ' H D ' K
8
3a 2
Nghĩa là: (P) đi qua G và song song với
⇒ T=
⇔ D ' H= D ' I= D ' K=
2
3a
4
0,25
8
mp(ABC). Vậy giá trị lớn nhất của T là 2 .
3a
Câu V
Cho các số dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1,0 đ
1
6
.
=
P
−
3

a + ab + abc
a+b+c
a + 4b
Vì a,b,c là các số dương ⇒ a + 4b ≥ 2 a.4b ⇔ a + 4b ≥ 4 ab ⇔ ab ≤
(1) .
4
Đẳng thức xảy ra ⇔ a =
4b .
Vì a,b,c là các số dương
0,25
a
+
4
b
+
16
c
⇒ a + 4b + 16c ≥ 3 3 a.4b.16c ⇔ a + 4b + 16c ≥ 12 3 abc ⇔ 3 abc ≤
( 2) .
12
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = 4b = 16c .


a + 4b a + 4b + 16c
+
4
12
4
a
+

b
a
+
b
+
c
4
4
16
⇔ a + ab + 3 abc ≤ ( a + b + c ) .
⇔ a + ab + 3 abc ≤ a +
+
3
4
12
1
3
3
6
⇒P≥
−
⇔
≥
(3)
4(a + b + c)
a+b+c
a + ab + 3 abc 4 ( a + b + c )

Từ (1) và (2) => ⇔ ab + 3 abc ≤

0,25

Đặt t =

a + b + c (t > 0)
3 6
3
6
1
Từ (3) xét f (t ) = 2 − (t > 0); f '(t ) =− 3 + 2 ; f '(t ) =0 ⇔ t = .
4t
2t t
4
t
*) Bảng biến thiên :
+∞
t
0
1
4
f '(t )
0
+

f (t )

0,25

+∞

−12

(

)

1
a + b + c ≥ f ( ) =−12, ∀a, b, c > 0
4
1

 a = 21
a 4=
b 16c

=
1


đẳng thức xảy ra ⇔ 
1 ⇔b=
84
 a + b + c =

4
1

c = 336

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -12

Nhìn vào bảng biến thiên ⇒ P ≥ f

Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

0,25