Hướng dẫn giải bài toán tích phân hàm ẩn – Nguyễn Hoàng Việt

TÍCH PHÂN HÀM ẨN

 Ba Đồn – Quảng Bình

“Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường.”

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ...............................................................................................................................1



MỤC LỤC
DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM ............................................1
DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN ..............................10
DẠNG 3 : TÍCH PHÂN HÀM ẨN - PP ĐỔI BIẾN ..........................................................................12
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: Ta gặp ở bài toán đơn giản loại ......................................12
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: Bài tập thường cho ở dạng ..............................................18

CHÚ Ý 1: Với những hàm số có tính chẵn lẻ ta cần nhớ ............................................................................20
CHÚ Ý 2: Cách đổi biến ngược đối với hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến. ......................22
CHÚ Ý 3: Bài toán tích phân có dạng sau: ...................................................................................................23
CHÚ Ý 4: Một số bài toán không theo khuôn mẫu sẵn thì yêu cầu học sinh phải có tư duy, có kĩ
năng biến đổi để đưa về dạng quen thuộc. ..................................................................................................26

DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN.......................................................................................31
BÀI TẬP .....................................................................................................................................................46

THẦY VIỆT 

0905.193.688

0

/>
MỘT SỐ CHÚ Ý ĐẶC SẮC VỚI TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN ..........................................20


“Thành công là nói không với lười biếng”

 Ba Đồn – Quảng Bình

TÍCH PHÂN HÀM ẨN
DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM



Ví dụ 1: Cho

5

2

2

5

 f  x  dx  10 . Kết quả  2  4 f  x  dx bằng
D. 32 .

C. 40 .

B. 36 .

A. 34 .

Lời giải
Chọn A
Tacó

2

2

2

5

5

5

5

 2  4 f  x  dx  2 dx  4 f  x  dx  2x 2  4 f  x  dx  2.  5  2   4.10  34 .

Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  liên tục trên

5

2

và F  x  là nguyên hàm của f  x  , biết

9

 f  x  dx  9
0

và F  0   3 . Tính F  9  .
A. F  9   6 .

C. F  9   12 .

B. F  9   6 .

D. F  9   12 .

Lời giải
Chọn C
9

/>
Ta có: I   f  x  dx  F  x   F  9   F  0   9  F  9   12 .
9

0

0

Nhận xét 1: Trong hai ví dụ trên ta thấy tích phân cần tính có cùng cận với tích phân ở giả
thiết bài toán nên học sinh có thể dễ dàng nhận thấy và có thể làm được ngay. Trong một số
trường hợp thì học sinh cần phải dùng tính chất để biến đổi cận tích phân hoặc phải dùng đến

tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ.
Ví dụ 3: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn
2

6

0

4

6

4

0

2

 f  x  dx  10 và  f  x  dx  6 . Tính

giá trị của biểu thức P   f  x  dx   f  x  dx .
C. P  8 .

B. P  16 .

A. P  4 .`

D. P  10 .

Lời giải

Chọn A
Ta có

1

6

2

4

6

0

0

2

4

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx
THẦY VIỆT 

0905.193.688


TÍCH PHÂN HÀM ẨN

 Ba Đồn – Quảng Bình

2

6

6

4

0

4

0

2

 P   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  10  6  4 .

\0 , thỏa mãn f   x  

Ví dụ 4: Cho hàm số f  x  xác định trên

f  2   b . Tính f  1  f  2  .
A. f  1  f  2   a  b .

1
, f  1  a và
x  x5
3

B. f  1  f  2   a  b .

C. f  1  f  2   a  b . D. f  1  f  2   b  a .
Lời giải
Chọn C
Ta có f    x  

Do đó

1

 x    x 
3

5



1
  f   x  nên f   x  là hàm số lẻ.
x  x5
3

2

1

2

2

2

1

 f   x  dx  0   f   x  dx   f   x  dx .

Suy ra f  1  f  2    f  2   f 1  f  1  f  2   f  2   f 1  a  b .
Nhận xét 2: Trong một số trường hợp đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng phân tích, tổng hợp, kĩ
năng biến đổi và phải có cái nhìn sâu hơn về bài toán.

 f  t  dt  x.cos  x . Tính f  4  .

/>
Ví dụ 5: Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;   và thỏa

x2

0

A. f  4   123 .

B. f  4  

2
.
3

C. f  4  

3
.
4

D. f  4  

1
.
4

Lời giải
Chọn D
Ta có: F  t    f  t  dt  F '  t   f  t 
Đặt G  x  

x2

 f  t  dt  F  x   F  0 
2

0

 

 

 G '  x    F x2   2x. f x 2 (Tính chất đạo hàm hợp: f ' u  x   f '  u .u '  x  )



/

Mặt khác, từ gt: G  x  

x2

 f t  dt  x.cos  x
0

 G '  x    x.cos  x  '  x sin  x  cos  x
THẦY VIỆT 

0905.193.688

2


“Thành công là nói không với lười biếng”

 Ba Đồn – Quảng Bình

 

 2x. f x2  x sin  x  cos  x (1)

Tính f  4   ứng với x  2

Thay x  2 vào (1)  4. f  4   2 sin 2  cos 2  1  f  4  

1
4

 
Ví dụ 6: Cho hàm số G  x    t.cos  x  t  .dt . Tính G '   .
2
0
x

 
A. G '    1 .
2

 
B. G '    1 .
2

 
C. G '    0 .
2

 
D. G '    2 .
2

Lời giải:
Chọn B
Cách 1: Ta có: F  t    t.cos  x  t  dt  F '  t   t.cos  x  t 

x

Đặt G  x    t.cos  x  t  dt  F  x  F  0 
0

/
/
 
 G '  x    F  x   F  0   F '  x   F '  0    x cos  x  x   0   x '  1  G '    1
2

/>
x

Cách 2: Ta có G  x    t.cos  x  t  dt . Đặt u  t  du  dt , dv  cos  x  t  dx chọn
0

v   sin  x  t 
x

x

0

0

 G  x   t.sin  x  t    sin  x  t  dt   sin  x  t  dt  cos  x  t   cos 0  cos x  1  cos x
x

0

x

0

 

 G '  x   sin x  G '    sin  1
2
2
Ví dụ 7: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên

thỏa

 f  0   f   0   1;
. Tính

 f  x  y   f  x   f  y   3xy  x  y   1, x,y  .
A.

1
.
2

1
B.  .
4

C.

1
.
4

1

 f  x  1dx .
0

D.

7
.
4

Lời giải
Chọn C
3

THẦY VIỆT 

0905.193.688


TÍCH PHÂN HÀM ẨN

 Ba Đồn – Quảng Bình

Lấy đạo hàm theo hàm số y

f   x  y   f   y   3x2  6xy , x  .
Cho y  0  f   x   f   0   3x2  f   x   1  3x2
Vậy f  x    f   x dx  x3  x  C mà f  0   1  C  1 suy ra f  x   x3  x  1 .

 f  x  1dx   f  x dx   
0

1

1

DẠNG SAU: f '( x)  g( x),

f '( x)
 f ( x)

n

0

 x4 x2

1 1
1
x  x  1 dx     x      1  .
4 2
4
 4 2
 1



3

 g( x) (Trong đó g( x) là hàm số đã biết, n là số dương).

Ví dụ 8: Cho hàm số f  x  xác định trên

\1 thỏa mãn f   x  

f  2   2018 . Tính S  f  3   f  1 .
A. S  1 .

B. S  ln 2 .

C. S  ln 4035 .
Lời giải

1
, f  0   2017 ,
x 1

D. S  4 .



0

0

1

Chọn A

 f  x  dx   x  1 dx  ln  x  1   C .
 f  x   ln  x  1   2017

Theo giả thiết f  0   2017 , f  2   2018 nên 
 f  x   ln  x  1   2018
Do đó S  f  3   f  1  ln 2  2018  ln 2  2017  1 .
1

Cách 1: Ta có

khi x  1
khi x  1

.

0
0

dx
1
 ln x  1 |01  ln
(1)
 f (0)  f ( 1)   f '( x)dx  
x 1
2


1
1
Ta có: 
3
3
 f (3)  f (2)  f '( x)dx  dx  ln x  1 |3  ln 2 (2)
2
2
2 x  1



Lấy (1)+(2), ta được f (3)  f (2)  f (0)  f ( 1)  0  S  1 .
Ví dụ 9: Cho hàm số f ( x) xác định trên

2
1
3
\   thỏa mãn f   x  
, f  0   1 và f    2 .
3x  1
3
3

Giá trị của biểu thức f  1  f  3  bằng
A. 3  5ln 2 .

B. 2  5ln 2 .

C. 4  5ln 2 .

D. 2  5ln 2 .

Lời giải
Chọn A

THẦY VIỆT 

0905.193.688

4

/>
Cách 2:


“Thành công là nói không với lười biếng”

 Ba Đồn – Quảng Bình



1
ln 3x  1  C1 khi x   ; 
3
3
3


 f  x  

dx= 
Cách 1: Từ f   x  
.
3x  1
3x  1
ln 3x  1  C khi x   1 ;  
3

1








1
 f 0  1
ln 3x  1  1 khi x   ; 
3
0  C1  1
C  1



 f  x  
Ta có:   2 
.


 1
0

C

2
C

2

1

f

2

2

2

 3
ln 3x  1  2 khi x   ;  
  

3

Khi đó: f  1  f  3   ln 4  1  ln 8  2  3  ln 32  3  5ln 2 .


 f 0 


Cách 2: Ta có 
 f  3 



f  1  f  x 

0
1

0





f   x  dx 

1
3

3

3

3

0

3

 3x  1 dx  ln 3x  1

1

0
1

 ln

3
3
2
3
f    f  x  2   f   x  dx  
dx  ln 3x  1 2  ln 8
3
3
3
2
2 3x  1

1
4

 1

2

2
Lấy  2    1 , ta được: f  3   f  1  f  0   f    ln 32  f  1  f  3   3  5ln 2 .
3
Ví dụ 10: Cho hàm số f  x  xác định trên

1
2
\   thỏa mãn f   x  
và f  0   1 . Giá trị
2x  1
2

/>
của biểu thức f  1  f  3  bằng
A. 4  ln15 .

B. 3  ln15 .

C. 2  ln15 .

D. ln15 .

Lời giải
Chọn C
1
2. d  2 x  1
2
Ta có f  x    f   x  dx  
dx   2
 ln 2x  1  c .

2x  1
2x  1

f  0   1  c  1  f  x   ln 2x  1  1 .
 f  1  ln 3  1
 f  1  f  3   2  ln15 .

 f  3   ln 5  1
Ví dụ 11: Cho hàm số f ( x) xác định trên

1
2
\   thỏa mãn f ( x) 
, f (0)  1 và f (1)  2 .
2x  1
2

Giá trị của biểu thức f (1)  f (3) bằng
A. 4  ln 5 .

B. 2  ln15 .

C. 3  ln15 .

D. ln15.

Lời giải
5

THẦY VIỆT 

0905.193.688


TÍCH PHÂN HÀM ẨN

 Ba Đồn – Quảng Bình

Chọn C

1

2
Cách 1: • Trên khoảng  ;   : f ( x)  
dx  ln(2 x  1)  C1 .
2x  1
2

Lại có f (1)  2  C1  2.


1
2
• Trên khoảng  ;  : f ( x)  
dx  ln(1  2 x)  C2 .
2
2x  1


Lại có f (0)  1  C2  1.

1
ln(2 x  1)  2 khi x 


2.
Vậy f ( x)  
1
ln(1  2 x)  1 khi x 


2

Suy ra f (1)  f (3)  3  ln15.
Cách 2:
0
0

2dx
1
 ln 2 x  1 |01  ln
(1)
 f (0)  f ( 1)   f '( x)dx  
2x  1
3

1
1

Ta có: 
3
3
 f (3)  f (1)  f '( x)dx  2dx  ln 2 x  1 |3  ln 5 (2)
1
1
1 2x  1



Lấy (2)-(1), ta được f (3)  f (1)  f (0)  f ( 1)  ln15  f ( 1)  f (3)  3  ln15 .
Ví dụ 12: Cho hàm số f ( x) xác định trên

1
3
\   thỏa mãn f   x  
, f  0   1 và
3x  1
3

2
f    2 . Giá trị của biểu thức f  1  f  3  bằng
3
B. 2  5ln 2 .

C. 4  5ln 2 .

/>
A. 3  5ln 2 .

D. 2  5ln 2 .

Lời giải
Chọn A



1
ln 3x  1  C1 khi x   ; 
3
3
3


 f  x  
dx= 
Cách 1: Từ f   x  
.
3x  1
3x  1

1

ln 3x  1  C khi x  ; 
3

1






1
 f 0  1
ln 3x  1  1 khi x   ; 
3
0  C1  1
C  1



 f  x  
Ta có:   2 
.

 1
0

C

2
C

2

1

f


2

2
 2
ln 3x  1  2 khi x  ; 
 3
3

  



Khi đó: f  1  f  3   ln 4  1  ln 8  2  3  ln 32  3  5ln 2 .

THẦY VIỆT 

0905.193.688

6


“Thành công là nói không với lười biếng”

 Ba Đồn – Quảng Bình




 f 0 


Cách 2: Ta có 
 f  3 



f  1  f  x 

0
1

0





f   x  dx 

1
3

3

3

3

0

0

3
1
dx

ln
3
x

1
 ln
1 3x  1
1
4

3
3
2
3
f    f  x  2   f   x  dx  
dx  ln 3x  1 2  ln 8
3
3
3
2
2 3x  1

 1

2

2
Lấy  2    1 , ta được: f  3   f  1  f  0   f    ln 32  f  1  f  3   3  5ln 2 .
3
Ví dụ 13: Cho hàm số f  x  xác định trên

\2; 2 và thỏa mãn f   x  

f  0   1 và f  3   2 . Tính giá trị biểu thức P  f  4   f  1  f  4  .
A. P  3  ln

3
.
25

B. P  3  ln 3 .

5
C. P  2  ln .
3
Lời giải

4
; f  3   0 ;
x 4
2

5
D. P  2  ln .
3

Chọn B

Từ f   x  

4dx
4dx
4

 f  x   2
x 4
x 4
 x  2  x  2 
2


ln


 ln


ln


x2
 C1 khi x   ; 2 
x2
x2
 C2 khi x   2; 2 
x2

x2
 C3 khi x   2;  
x2

/>

 f  3   0
ln 5  C1  0
C1   ln 5



Ta có  f  0   1  0  C2  1
 C2  1
 1

C  2  ln 5
 3
 f  2   2
ln  C3  2
 5


ln


 f  x   ln


ln



x2
-ln5
x2

khi x   ; 2 

x2
1
x2

khi x   2; 2  .

x2
 2  ln 5 khi x   2;  
x2

1
Khi đó P  f  4   f  1  f  4   ln 3  ln 5  ln 3  1  ln  2  ln 5  3  ln 3 .
3

Nhận xét 3: Những bài tập kiểu này học sinh cần chú ý, nếu làm theo cách một thì hằng số ở
nguyên hàm trên mỗi khoảng có thể khác nhau. Nếu làm theo cách hai thì việc chọn cận khi lấy
tích phân có làm học sinh khó khăn, chắc chắn cần sự hướng dẫn tỷ mỉ của người thầy khi học.

7

THẦY VIỆT 

0905.193.688


TÍCH PHÂN HÀM ẨN

 Ba Đồn – Quảng Bình

Ví dụ 13: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và liên tục trên đoạn 
 1;1 , thỏa mãn

f  x   0, x 

và f '  x   2 f  x   0 . Biết f  1  1 , tính f  1 .

A. f  1  e 2 .

C. f  1  e 4 .

B. f  1  e 3 .

D. f  1  3 .

Lời giải
Chọn C

f '  x

f '  x  2 f  x  0 

ln

f  1

f  1

 4 

f  x

f  1

f  1

 2 

1



1

1
1
f '  x
df  x 
dx   2dx  
 4  ln f  x 
f  x
f
x



1
1

1
1

 4

 e 4  f  1  f  1 .e 4  e 4 .

Ví dụ 15: Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện f   x    2x  3  f 2  x  và
1
a
f  0    . Biết rằng tổng f 1  f  2   f  3   ...  f  2017   f  2018   với
2
b
a
a  , b   và là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng?
b



A.



a
 1 .

b

B.

a
 1.
b

C. a  b  1010 .



Biến đổi:

D. b  a  3029 .

Lời giải

Ta có f   x    2x  3  f 2  x  



f  x
f

2

f  x

f 2  x

dx    2 x  3  dx  

 x

/>
Chọn D

 2x  3

1
 x 2  3x  C .
f  x

1
Vì f  0     C  2 .
2

Vậy f  x   

1

 x  1 x  2 



1
1

.

x 2 x1

Do đó f  1  f  2   f  3   ...  f  2017   f  2018  

1
1
1009
.
 
2020 2
2020

Vậy a  1009 ; b  2020 . Do đó b  a  3029 .

THẦY VIỆT 

0905.193.688

8


“Thành công là nói không với lười biếng”

 Ba Đồn – Quảng Bình

Ví dụ 16: Cho hàm số y  f  x   0 xác định, có đạo hàm trên đoạn 0;1 và thỏa mãn:
x

g  x   1  2018  f  t  dt , g  x   f 2  x  . Tính
0

A.

1011
.
2

B.

1009
.
2

1

 g  x dx .
0

C.

2019
.
2

D. 505 .

Lời giải
Chọn A

x

Ta có g  x   1  2018  f  t  dt  g  x   2018 f  x   2018 g  x 
0

g  x 



g  x

2



t

 2018  

g  x 

g  x

0

t

dx  2018  dx  2
0



g  x



t
0

t

 2018 x 0



g  t   1  2018t (do g  0   1 )

 g  t   1009t  1
1



/>
0

1

 1009 2 
1011
.

g  t dt  
t t 
2
 2
0

Ví dụ 17: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn f   0   9
và 9 f   x    f   x   x   9 . Tính T  f 1  f  0  .
2

A. T  2  9ln 2 .

B. T  9 .

C. T 

1
 9 ln 2 .
2

D. T  2  9ln 2 .

Lời giải
Chọn C





Ta có 9 f   x    f   x   x   9  9 f   x   1    f   x   x   

2

Lấy nguyên hàm hai vế  
Do f   0   9 nên C 

f   x   1

2

 f   x   x 

2



1
.
9

f   x   1

1
1
x
dx   dx 
 C .
9
f  x  x 9
 f '  x   x 
2

9
9
1
suy ra f   x   x 
 f  x 
x
x1
x1
9
1


x2 
 9

1
 x  dx   9 ln x  1    9 ln 2  .
Vậy T  f  1  f  0    
2 0
x1
2


0
1

9

THẦY VIỆT 

0905.193.688


TÍCH PHÂN HÀM ẨN

 Ba Đồn – Quảng Bình

Nhận xét 4: ở ba ví dụ sau ta nhận thấy bài toán đã có vẻ phức tạp hơn và yêu cầu học sinh
phải nhớ dạng toán và cách biến đổi để đưa về dạng này. Bài tập ở mức vận dụng.
DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN
và F  x  là nguyên hàm của f  x  , biết

Ví dụ 18: Cho hàm số f  x  liên tục trên

9

 f  x  dx  9
0

và F  0   3 . Tính F  9  .
C. F  9   12 .

B. F  9   6 .



A. F  9   6 .

D. F  9   12 .

Lời giải
Chọn C
9

Ta có: I   f  x  dx  F  x   F  9   F  0   9  F  9   12 .
9

0

0

2

2

0

0

Ví dụ 19: Cho I   f  x  dx  3 . Khi đó J    4 f  x   3 dx bằng:
C. 8 .

B. 6 .

A. 2 .

D. 4 .

Lời giải

Chọn B
2

2

2

0

0

0

Ta có J    4 f  x   3 dx  4  f  x  dx  3 dx  4.3  3x 0  6 .



f  x  dx  10 và

2

4

4

2

2

 g  x  dx  5 . Tính I   3 f  x   5g  x  dx

C. I  5 .
Lời giải

B. I  15 .

A. I  5 .

/>
4

Ví dụ 20: Cho

2

D. I  10 .

Chọn A
4

4

4

2

2

2

Có: I    3 f  x   5 g  x   dx  3 f  x  dx  5 g  x  dx  5 .

Ví dụ 21: Cho

5

2

2

5

 f  x  dx  10 . Kết quả  2  4 f  x  dx bằng:
D. 32 .

C. 40 .

B. 36 .

A. 34 .

Lời giải
Chọn A
2

2

2

5

5

5

5

Tacó   2  4 f  x  dx  2  dx  4  f  x  dx  2 x 2  4  f  x  dx  2.  5  2   4.10  34 .
THẦY VIỆT 

0905.193.688

5

2

10


“Thành công là nói không với lười biếng”

 Ba Đồn – Quảng Bình

Ví dụ 22: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn 0;10  và

10



f  x  dx  7 và

0

2

10

0

6

6

 f  x  dx  3 . Tính
2



P   f  x  dx   f  x  dx .
D. P  10 .

C. P  4 .

B. P  4 .

A. P  7 .

Lời giải
Chọn C
Ta có

10

2

6

10

0

0

2

6

 f  x  dx  7   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  7

2

10

0

6

  f  x  dx   f  x  dx  7  3  4 .
Vậy P  4 .
Ví dụ 23: Cho y  f  x  , y  g  x  là các hàm số có đạo hàm liên tục trên 0; 2  và
2

2

2

0

0



0 g  x  . f   x  dx  2 ,  g  x  . f  x  dx  3 . Tính tích phân I    f  x  .g  x  dx .

/>
C. I  5 .
Lời giải

B. I  6 .

A. I  1 .

D. I  1 .

Chọn C
2

2

0

0


Xét tích phân I    f  x  .g  x  dx    f   x  .g  x   f  x  .g  x  dx
2

2

0

0

  g  x  . f  x  dx   g  x  . f   x  dx  5 .
2

2

1

1

Ví dụ 24: Cho   3 f  x   2 g  x   dx  1 ,   2 f  x   g  x   dx  3 . Khi đó,
A.

11
.
7

5
B.  .

7

C.

6
.
7

2

 f  x  dx bằng
1

D.

16
.
7

Lời giải
Chọn B

5
a   7
 3a  2b  1
Đặt a   f  x  dx , b   f  x  dx , ta có hệ phương trình 

2
a


b


3

1
1
b  11

7
2

11

2

THẦY VIỆT 

0905.193.688


TÍCH PHÂN HÀM ẨN

 Ba Đồn – Quảng Bình
2

Vậy

 f  x  dx   7 .
5

1

DẠNG 3 : TÍCH PHÂN HÀM ẨN - PP ĐỔI BIẾN
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: Ta gặp ở bài toán đơn giản loại
b

Cho  u '( x). f u( x) .dx , tính

b

b

b

a

a

a

 f ( x).dx . Hoặc cho  f ( x).dx , tính  u '( x). f u( x).dx .

a



Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến t  u( x) và lưu ý cho học sinh tích phân
của hàm số thì không phụ thuộc vào biến số.
4

Ví dụ 25: Cho



2

 f  2x  dx

f  x  dx  16 . Tính

0

0

A. 16 .

C. 32 .
Lời giải

B. 4 .

D. 8 .

Chọn D
2

Xét tích phân

 f  2x  dx

0

ta có

1
Đặt 2x  t  dx  dt . Khi x  0 thì t  0 ; khi x  2 thì t  4 .
2
2

Do đó



f  2 x  dx 

0

6

Ví dụ 26: Nếu



4

4

1
1
1

f  t  dt   f  x  dx  .16  8 .

20
20
2

f  x  dx  12 thì

0

2

 f  3x  dx bằng
B. 36 .

A. 6 .

C. 2 .

/>
0

D. 4 .

Lời giải
Chọn D
Đặt t  3x  dt  3dx . Đổi cận: x  0  t  0 , x  2  t  6
2

Khi đó:



f  3x  dx 

0

2

Ví dụ 27: Cho

 
1

6

1
1
f  t  dt  .12  4 .

30
3
5



f x 2  1 xdx  2 . Khi đó I   f  x dx bằng:

A. 2 .

2

B. 1 .

C. 1 .

D. 4 .

Lời giải
Chọn D
Đặt t  x2  1  dt  2xdx .
Đổi cận: x  1  t  2 , x  2  t  5 .
THẦY VIỆT 

0905.193.688

12


“Thành công là nói không với lười biếng”

 Ba Đồn – Quảng Bình
2

 

Khi đó:



f x2  1 xdx 

1

5

5

2





1
f  t  dt   f  t dt  2  f x 2  1 xdx  4 .

22
2
1
5

5

2

2

Mà tích phân không phụ thuộc vào biến nên: I   f  x dx   f  t dt  4 .
1

Ví dụ 28: Cho hàm số f  x  liên tục trên

và thỏa mãn

 f  x  dx  9 .

2

  f 1  3x   9 dx .
0

A. 27 .

D. 75 .

C. 15 .

B. 21 .

Lời giải
Chọn B
Đặt t  1  3x  dt  3dx .
Với x  0  t  1 và x  2  t  5 .
2

2

5

2

dt
 9x
Ta có   f  1  3x   9  dx   f  1  3x  dx   9dx    f  t  
3
0



/>
Tính tích phân

5

0

0

2
0

1

1

1
1

 f  x  dx  18  .9  18  21 .

3 5
3

Ví dụ 29: Cho hàm số f  x  liên tục trên
2

A.


0

x
5
f   dx  .
2
2

2

B.


0

thỏa

1

2

0

0

x

 f  x  dx  10 . Tính  f  2  dx .

x
f   dx  20 .
2

2

C.


0

x
f   dx  10 .
2

2

D.

x

 f  2  dx  5 .
0

Lời giải
Chọn B
Đặt t 

1
x
 dt  dx .
2
2

Đổi cận: x  0  t  0 ; x  2  t  1 .
2

Ta có:


0

x
f   dx  2. f  t  dt  2.10  20 .
2
0
1

Ví dụ 30: Cho hàm số f  x  liên tục trên 1;   và

3


0

f





2

x  1 dx  8 . Tích phân I   xf  x  dx
1

bằng:
A. I  16 .
13

B. I  2 .

C. I  8 .

D. I  4
THẦY VIỆT 

0905.193.688

TÍCH PHÂN HÀM ẨN

 Ba Đồn – Quảng Bình

Lời giải
Chọn D
3

I f





x  1 dx  8 . Đặt t  x  1  t 2  x  1  2tdt  dx ;

0

đổi cận: x  0  t  1 ; x  3  t  2 .
2

2

1

1

1

2

Khi đó I   2tf  t  dt  8   tf  t  dt  4 . Vậy I   xf  x  dx  4 .
2

4

1

1

Ví dụ 31: Cho  f  x  dx  2 . Tính I  

f

 x  dx bằng
x

D. I 

C. I  4 .

B. I  2 .

A. I  1 .

1
.
2

Lời giải
Chọn C
Đặt t  x  dt 
f

4

I

 x  dx 
x

1

1
2 x

dx ; đổi cận: x  1  t  1 , x  4  t  2

2

2

1

1

 f t  2dt  2 f t  dt  2.2  4 .



thỏa mãn

f

 x  dx  6 và
x

1



/>
Ví dụ 32: Cho hàm số f  x  liên tục trên

16

2

 f  sin x  cos xdx  3 .
0

4

Tính tích phân I   f  x  dx .
0

C. I  9 .

B. I  6 .

A. I  2 .

D. I  2 .

Lời giải
Chọn B
Xét I 

16



f

 x  dx  6 , đặt

1

x

x t

dx
2 x

 dt
4

4

1

1

Đổi cận: x  1  t  1 ; x  16  t  4 nên I  2  f  t  dt  6   f  t  dt 

6
 3.
2


2

 J   f  sin x  cos xdx  3 , đặt sin x  u  cos xdx  du
0

THẦY VIỆT 

0905.193.688

14


“Thành công là nói không với lười biếng”

 Ba Đồn – Quảng Bình

Đổi cận: x  0  u  0 ; x 


2

1

 u  1  J   f  u  du  3
0

4

1

4

0

0

1



Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  3  3  6 .
Ví dụ 33: Cho hàm số f  x  liên tục trên

thỏa

1

2

0

0

 f  2x  dx  2 và  f  6x  dx  14 . Tính

2

 f  5 x  2  dx .

2

D. 36 .

C. 34 .

B. 32 .

A. 30 .

Lời giải
Chọn B
1

+ Xét

 f  2x  dx  2 . Đặt u  2x  du  2dx ; x  0  u  0 ; x  1  u  2 .
0

1

2

2

1
Nên 2   f  2 x  dx   f  u  du   f  u  du  4 .
20
0
0
2

+ Xét

 f  6x  dx  14 . Đặt v  6x  dv  6dx ; x  0  v  0 ; x  2  v  12 .

/>
0

12

12

2

1
Nên 14   f  6 x  dx   f  v  dv   f  v  dv  84 .
60

0
0
2

+ Xét

 



f 5 x  2 dx 

2

* Tính I1 

0

 

2



2





f 5 x  2 dx   f 5 x  2 dx .
0

0

 f  5 x  2  dx .

2

Đặt t  5 x  2 .Khi 2  x  0 , t  5x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 .

I1 

12
2
2
 1
1
1

f
t
d
t

f
t
d
t
f

t
d
t







   84  4   16 .
0
5 12
5  0
 5
2





* Tính I1   f 5 x  2 dx .
0

Đặt t  5 x  2 .Khi 0  x  2 , t  5x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 .

15

THẦY VIỆT 

0905.193.688


TÍCH PHÂN HÀM ẨN

 Ba Đồn – Quảng Bình
12
 1
1
1
f  t  dt    f  t  dt   f  t  dt    84  4   16 .

50
52
0
 5

12

I2 

2

2

Vậy

 f  5 x  2  dx  32 .

2

Hoặc:

Do



f 5 x 2

hàm

2

0

2

2



là

hàm

số

chẵn

nên

 f  x  dx  18 . Tính I   x  2  f  3x

11

Ví dụ 34: Biết

2

1

2



 f  5 x  2  dx  2  f  5 x  2  dx  2.16  32 .



 1 dx .

0

A. I  5 .

D. I  10 .

C. I  8

B. I  7 .

Lời giải
Chọn B
Đặt t  3x2  1  dt  6xdx . Đổi cận x  0  t  1 , x  2  t  11
2







2

2

0

0





I   x 2  f 3x 2  1 dx   2 xdx   xf 3x 2  1 dx  4 
0

Ví dụ 35: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

1

và



f  2 x  dx  8 . Tính I 

 xf  x  dx
2

D. 32 .

C. 8 .
Lời giải

Chọn C
Đặt x2  2t  2xdx  2dt  xdx  dt . Đổi cận: x  0  t  0 , x  2  t  1 .
1

Ta có: I   f  2t  dt  8 .
0

Ví dụ 36: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

và thỏa mãn f  4  x   f  x  . Biết

3

 xf  x  dx  5 .
1

3

Tính I   f  x  dx .
1

A. I 

5
.
2

B. I 

7
.
2

C. I 

9
.
2

D. I 

11
.
2

Lời giải
Chọn A
THẦY VIỆT 

0905.193.688

16

/>
B. 16 .

2

0

0

A. 4 .

11

1
1
f  t  dt  4  .18  7

6 1
6


“Thành công là nói không với lười biếng”

 Ba Đồn – Quảng Bình

Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh
Cho hàm số f  x  liên tục trên  a; b  và thỏa mãn điều kiện
b

f  a  b  x   f  x  , x a; b . Khi đó

 xf  x  dx 



a

ab
f  x  dx
2 a
b

Chứng minh:
Đặt t  a  b  x  dx  dt , với x   a; b . Đổi cận: khi x  a  t  b ; khi x  b  t  b
Ta có

b

b

a

a

a

b

 xf  x  dx   xf  a  b  x  dx    a  b  t  f t  dt

b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

   a  b  t  f  t  dt   a  b   f  t  dt   tf  t  dt   a  b   f  x  dx   xf  x  dx
b

b

a

a

b

 2  xf  x  dx   a  b   f  x  dx 

 xf  x  dx 
a

ab
f  x  dx .
2 a
b

Áp dụng tính chất trên với a  1 , b  3 .

f  x  liên tục trên  a; b  và thỏa mãn f 1  3  x   f  x  .
3

Khi đó  xf  x  dx 

/>
1

1 3

5
f  x  dx   f  x  dx  .

4 1
2
1
3

3

Cách 2: Đổi biến trực tiếp:
Đặt t  4  x , với x  1; 3 .
Ta có

3

3

3

3

3

1

1

1

1

1

 xf  x  dx   xf  4  x  dx    4  t  f t  dt  4 f t  dt   t. f t  dt
3

3

1

1

 5  4  f  t  dt  5   f  t  dt 

5
.
2

Ví dụ 37: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn 1; 3  thỏa mãn f  4  x   f  x  , x  1; 3 và
3

3

 xf  x  dx  2 . Giá trị

 f  x  dx bằng

A. 2 .

B. 1 .

1

1

C. 2 .

D. 1 .

Lời giải
Chọn B
3

Xét I   xf ( x)dx (1).
1

17

THẦY VIỆT 

0905.193.688


TÍCH PHÂN HÀM ẨN

 Ba Đồn – Quảng Bình

Đặt x  4  t , ta có dx  dt ; x  1  t  3 , x  3  t  1 .
3

3

3

1

1

1

Suy ra I    4  t  f (4  t )dt    4  t  f (t )dt , hay I    4  x  f ( x)dx (2).
3

3

1

1

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được 2 I   4 f ( x)dx   f ( x)dx 

I
 1 .
2

b

Tính

 f  x  dx

,

biết

hàm

f  x

số

thỏa

mãn :

a

A. f  x  B. u. f  u  C. f  a  b  x  g x .
Đối với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai về ta cần chú ý rằng :
+ Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A, B, C .
+ Nếu f  x  liên tục trên  a; b  thì

u  a   a
+ Với 
thì
u  b   b
u  a   b
+ Với 
thì

u  b   a

b

b

b

a

a

 f  a  b  x  dx   f  x  dx
b



1
f  x  dx 
g  x  dx .
A  B  C a

b

1
f  x  dx 
g  x  dx .
A  B  C a

a


a



TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: Bài tập thường cho ở dạng

b

+ Học sinh có thể nhớ công thức hoặc thực hiện hai lần đổi biến khác nhau như dạng
1.
6
3x  1

/>
 

Ví dụ 38: Cho hàm số f  x  liên tục trên 0;1 thỏa mãn f  x   6 x 2 f x 3 

. Tính

1

 f  x  dx
0

A. 2 .

C. 1 .

B. 4 .

D. 6 .

Lời giải
Chọn B
Cách 1: (Dùng công thức)

 

Biến đổi f  x   6 x 2 f x 3 

6
3x  1

 

 f  x   2.3x 2 . f x 3  

6
3x  1

với A  1 ,

B  2 .
1

Áp dụng công thức ta có:


0

1
6
f  x  dx 
dx  4 .

1   2  0 3x  1
1

Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức)
THẦY VIỆT 

0905.193.688

18


“Thành công là nói không với lười biếng”

 Ba Đồn – Quảng Bình

 

Từ f  x   6 x 2 f x 3 

1

1

1

 

  f  x  dx  2  3x 2 f x 3 dx  6 

6
3x  1

0

0

1
3x  1

0

dx

Đặt u  x3  du  3x2dx ; Với x  0  u  0 và x  1  u  1 .



1

Khi đó

 

0

1


0

1

1

0

0

2
3
 3x f x dx   f u du   f  x  dx thay vào  *  , ta được:

1

1

f  x  dx  2  f  x  dx  6 
0

1

3x  1

0

1

dx   f  x  dx  6 

1

0

0

1
3x  1

dx  4 .

Ví dụ 39: Cho hàm số f ( x) liên tục trên 0; 2  và thỏa mãn điều kiện f  x   f  2  x   2x . Tính
2

giá trị của tích phân I   f  x  dx .
0

4
C. I  .
3
Lời giải

1

B. I  .
2

A. I  4 .

D. I  2 .

Chọn D
Cách 1:(Dùng công thức)

f  x   f  2  x   2x

Với
2

ta

có

B  1,

A  1;

suy

ra:

2

2

/>
1
x2
2
x
dx
I   f  x  dx 

 2.
1  1 0
2 0
0
Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
2

2

2

0

0

0

Từ f  x   f  2  x   2x   f  x  dx   f  2  x  dx   2xdx  4 (*)
Đặt u  2  x  du   dx ; Với x  0  u  2 và x  2  u  0 .
2

Suy ra

 f  2  x  dx
0



2

2

0

0

 f  u du   f  x  dx .
2

2

0

0

Thay vào (*), ta được 2  f  x  dx  4   f  x  dx  2 .





2
3
Ví dụ 40: Xét hàm số f  x  liên tục trên 
 1; 2  và thỏa mãn f  x   2xf x  2  3 f 1  x   4x .

Tính giá trị của tích phân I 

2

 f  x  dx .

1

A. I  5 .

B. I 

5
.
2

C. I  3 .

D. I  15 .

Lời giải
19

THẦY VIỆT 

0905.193.688


TÍCH PHÂN HÀM ẨN

 Ba Đồn – Quảng Bình

Chọn C
Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2)





Với: f  x    2x  f x2  2  3 f 1  x   4x3 . Ta có:

u  1  1
A  1; B  1; C  3 và u  x2  2 thỏa mãn 
. Khi đó áp dụng công thức có:
u
2

2






2

2

2

1
x4
3
I   f  x 
4
x
dx

1  1  3 1
5
1

3.
1

Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)





Từ f  x   2xf x2  2  3 f 1  x   4x3 .
2

2

1

1





2

2

1

1

  f  x  dx   2 x. f x2  2 dx  3  f 1  x  dx   4 x3dx

* 

+) Đặt u  x2  2  du  2xdx ; với x  1  u  1 và x  2  u  2 .
2

Khi đó





2
 2x. f x  2 dx 

1

2



f  u  du 

1

2

 f  x  dx 1

1

+) Đặt t  1  x  dt  dx ; Với x  1  t  2 và x  2  t  1 .
2

2

1

1

1

 f 1  x  dx   f  t  dt   f  x  dx  2 
2

2

1

1

/>
Khi đó

2

Thay  1 ,  2  vào  *  ta được: 5  f  x  dx  15   f  x  dx  3 .
MỘT SỐ CHÚ Ý ĐẶC SẮC VỚI TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN
CHÚ Ý 1: Với những hàm số có tính chẵn lẻ ta cần nhớ
Nếu hàm f  x  CHẴN thì

a

a

a

0

 f  x  dx  2 f  x  dx

2. Nếu hàm f  x  LẺ thì

a

 f  x  dx  0

a

0

Ví dụ 41: Cho hàm số

y  f  x

1

 f  x  dx  2

2

và

4

2

 f  2x  dx  4

4; 4 
là hàm lẻ và liên tục trên 
biết

. Tính

A. I  10 .

I   f  x  dx
0

B. I  6 .

.
C. I  6 .
Lời giải

D. I  10 .

Chọn B
THẦY VIỆT 

0905.193.688

20


“Thành công là nói không với lười biếng”

 Ba Đồn – Quảng Bình
x2

x

1 2
f  ax  b  dx   f  ax  dx
a x1



Cách1: Sử dụng công thức:

x1

a; a 
f  x
với
là hàm số lẻ trên đoạn 
.
Áp dụng, ta có:
2



 4   f  2 x  dx  
2 



2

và tính chất

 f  x  dx  0

a

2
1 4
1 2
f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  8 .

4
2 2
2 4

1

0

a

f   x  dx    f  x    f  x    f  x   2
0

2

2

2

0

0

Suy ra: 0   f  x  dx  
4

 0 8



4

2

2

4

f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx



4

2

0

f  x  dx   f  x  dx  I  0  8   0  2   I  I  6 .
2

2

0

0

0

 f  x  dx  2

2

Cách2:Xét tích phân
.
Đặt x  t  dx  dt .Đổi cận: khi x  2 thì t  2 ; khi x  0 thì t  0 do đó
0



2

0

2

2

2

2

0

0

0

f   x  dx    f  t  dt   f  t  dt   f  t  dt  2   f  x  dx  2
Do hàm số

Do đó

y  f  x

là hàm số lẻ nên

2

2

2

1

1

1

f  2x    f  2x 

 f  2x  dx   f  2x  dx   f  2x  dx  4

.

.

.

/>
2

Xét

 f  2x  dx
1

.

1
 dx  dt
2 .Đổi cận: khi x  1 thì t  2 ; khi x  2 thì t  4 do đó
Đặt 2x  t
2



f  2 x  dx 

1

Do

4

4

4

1
f  t  dt  4   f  t  dt  8   f  x  dx  8
2 2
2
2
.

4

2

4

0

0

2

I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx

Ví dụ 42: Cho hàm số chẵn y  f  x  liên tục trên

 2  8  6 .
1

và

f  2x 

 1 2

1

B. 4 .

A. 2 .

C. 8 .

x

dx  8 . Tính

2

 f  x  dx .
0

D. 16 .

Lời giải

Chọn D
1

Ta có

 1 2

1

21

f  2x 
x

dx  8 

2

f  x

2

1 2



x

dx  16 .

THẦY VIỆT 

0905.193.688


TÍCH PHÂN HÀM ẨN

 Ba Đồn – Quảng Bình

Đặt t  x  dt  dx , khi đó 16  I 



2

Suy ra 2 I 

2

f  x

2

1 2



2 f  x

f  x

2

1 2

x

2

dx  
x

1 2

2

x

dx 

2



2

x

dx   
2

1 2

t

t

dt  

1 2

2

2

0

t

dt .

2

 f  x  dx  16 .
0

1

 f  x  dx  2 . Kết quả

f  x
 1  e dx bằng

2 f t 

2

f  x  dx  2  f  x  dx . Vậy

Ví dụ 43: Cho f  x  là hàm số chẵn liên tục trong đoạn 
 1; 1 và
I

f  t 

2

1

1

x

1

A. I  1 .

D. I  4 .

C. I  2 .

B. I  3 .

Lời giải
Chọn A

I

1

f  x

 1 e

1

dx 
x

0

f  x

 1 e

1

1

dx  
x
0

f  x
1  ex

dx  I1  I 2

f  x
dx. Đặt x  t  dx  dt , đổi cận: x  0  t  0 , x  1  t  1
1  ex
1
0

Xét I1  
0

I1  
1

f  x
1  e t

1

 dt   

et . f  x 

0

1

dt . Lại có

1  et

0

I

f  x

 1 e

1

x

1

dx  
0

et . f  t 
1  et

1

dt  
0

f t 
1  et

1  et

1

dt  

ex . f  x 
1  ex

0

dx .

1  e  . f t  dt  f t  dt  1 f t  dt  1 .
dx  

2
1 e
1

t

1

1

0

1

t

0

CHÚ Ý 2: Cách đổi biến ngược đối với hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến.
Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn g  f  x   x và g  t  là hàm đơn điệu (luôn đồng
biến hoặc nghịch biến) trên

. Hãy tính tích phân I   f  x  dx .
b

a

Cách giải: Đặt y  f  x   x  g  y   dx  g  y  dy

b

x  a  g  y   a  y  
Đổi cận 
Suy ra I   f  x  dx   yg  y dy
a



x  b  g  y   b  y  

Ví dụ 44: Cho hàm số f  x  liên tục trên

thỏa mãn f 3  x   f  x   x , x 

. Tính

I   f  x  dx
2

0

THẦY VIỆT 

0905.193.688

22

/>
Suy ra:
1



et . f  t 


“Thành công là nói không với lười biếng”

 Ba Đồn – Quảng Bình

A. I  2 .

B. I 

3
.
2

C. I 

1
.
2

D. I 

5
.
4

Lời giải



Chọn D



3

x  0  y  y  0  y  0

3

x  2  y  y  2  y  1
1
1
5
f  x  dx   y 3y 2  1 dy   3y 3  y dy  .
0
0
4

Đổi

I

2

0



y  f  x   x  y 3  y  dx  3y 2  1 dy

Đặt

cận







Khi

đó



thỏa mãn 2 f 3  x   3 f 2  x   6 f  x   x , x  . Tính

Ví dụ 45: Cho hàm số f  x  liên tục trên
5

tích phân I   f  x  dx .
0

A. I 

5
.
4

B. I 

5

.
2

C. I 

5
.
12

D. I 

5
.
3

Lời giải
Chọn B





Đặt y  f  x   x  2 y 3  3y 2  6 y  dx  6 y 2  y  1 dy .

/>
Đổi cận: với x  0  2 y 3  3y 2  6 y  0  y  0 và x  5  2 y 3  3y 2  6 y  5  y  1 .
1

1

0

0



1







Khi đó I   f  x  dx   y.6 y 2  y  1 dy  6  y 3  y 2  y dy 
0

thỏa mãn x  f 3  x   2 f  x   1 , x  R . Tính

Ví dụ 46: Cho hàm số f  x  liên tục trên

I

5
.
2

1

 f  x  dx .

2

A. I 

7
.
4

B. I 

7
.
2

C. I 

7
.
3

D. I 

5
.
4

Lời giải
Chọn A





Đặt y  f  x   x  y 3  2 y  1  dx  3y 2  2 dy .
Đổi cận: Với x  2   y 3  2 y  1  2  y  1 ; x  1   y 3  2 y  1  1  y  0 .
0





Khi đó: I   y 3 y 2  2 dy 
1

7
.
4

CHÚ Ý 3: Bài toán tích phân có dạng sau:

23

THẦY VIỆT 

0905.193.688


TÍCH PHÂN HÀM ẨN

 Ba Đồn – Quảng Bình
b

Bài toán: Cho f  x  . f  a  b  x   k 2 , khi đó I  
a

dx
ba

2k
k  f  x

Chứng minh:

b

Khi đó I  
a

b

2I  
a

b

dx

k  f  x  a

b
dx
1 f  x  dx
.

k a k  f  x 
k2
k
f t 

b
b
ba
1
dx
1 f  x  dx 1
.
 
  dx   b  a   I 
k
2k
k  f  x k a k  f  x k a

Ví dụ 47: Cho hàm số f  x  liên tục và nhận giá trị dương trên 0;1 . Biết f  x  . f 1  x   1 với
1

dx
0 1  f  x

x  0;1 . Tính giá trí I  

A.

3
.
2

B.

1
.
2

C. 1 .



dt  dx

Đặt t  a  b  x  
k 2 và x  a  t  b ; x  b  t  a .
f
x

   f t 


D. 2 .

Lời giải

Chọn B
f  x

1  f  x



/>
Ta có: 1  f  x   f  x  f 1  x   f  x  

1
f 1  x   1

1

dx
.
1

f
x


0

Xét I  

Đặt t  1  x  x  1  t  dx  dt . Đổi cận: x  0  t  1 ; x  1  t  0 .
1
1

1
f  x  dx
dt
dt
dx
Khi đó I   



1 1  f 1  t 
0 1  f 1  t 
0 1  f 1  x 
0 1  f  x
0

1
1
f  x  dx 1 1  f  x 
1
dx


d
x

0 1  f  x  0 1  f  x  0 1  f (t)
0 dx  1 hay 2I  1 . Vậy I  2 .
1

Mặt khác

Ví dụ 48: Cho hàm số f  x  liên tục trên
tích phân I 

2018


0

A. I  2018 .
THẦY VIỆT 

0905.193.688

, ta có f  x   0 và f  0  . f  2018  x   1 . Giá trị của

dx
1  f  x
B. I  0

C. I  1009

D. 4016
24